PRAVDĚPODOBNOSTNÍ VÝPOČTY V MECHANICE 1

Transkript

1 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Vysoká škola báňská Techncká unverza Osrava Frydrýšek, K.: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, skrpum, Kaedra pružnos a pevnos, Fakula srojní, VŠB-TU Osrava, ISBN , Osrava,, pp.49. NOTC Tao učebnce je zaměřena na sochasckou mechanku a na pravděpodobnosní pojeí posudku spolehlvos, keré využívají smulační echnky přímé meody Mone Carlo (MC). Jsou využy analycké modely, numercké modely (MKP) a plně pravděpodobnosní meoda Smulaon-Based Relably ssessmen (SBR). V prakckých aplkacích je využo sofware nhll, Mahcad, MSC.Marc/Mena a Pyhon. V úvodu jsou vysvěleny základní pojmy eore pravděpodobnos, sasky, spolehlvos, meoda MC, meoda SBR a její nové směry Inegrovaného plně pravděpodobnosního navrhování (IN). Do IN, keré aké uplaňuje přímý vlv ekonome, ekologe, polky ap., paří Performance-Based Desgn (PBD), fe-cycle ssessmen (C), Rsk ngneerng (R) aj. Pak následují aplkace meody SBR: FS. PRVDĚPODOBNOSTNÍ VÝPOČTY V MCHNIC Karel FRYDRÝŠK Úloha a Rovnné příhradové konsrukce namáhané slově a eploně (sacky určá konsrukce pě vsupních vzájemně nezávslých náhodných velčn, sacky neurčá konsrukce dvanác vsupních vzájemně nezávslých náhodných velčn). Pro odvození analyckých modelů jsou využy eore. a. řádu.. Úloha až 6 Nosníky na pružném podkladu (analycké modely, sacky neurčé). Řešen je veknuý nosník s rojúhelníkovým spojým zaížením (šes vsupních vzájemně nezávslých náhodných velčn), přejezd auomoblu po mosu (dese vsupních vzájemně nezávslých náhodných velčn), nosník vysavený obecnému poču svslých sl (panác vsupních vzájemně nezávslých náhodných velčn), nosník na proměnlvém podkladu (osm vsupních vzájemně nezávslých náhodných velčn).. Úloha 7 aplkace PBD (analycko-erační model, návrh průměru hřídele dle dovolené pravděpodobnos poruchy, kombnované namáhání, nverzní úloha pravděpodobnos, pě vsupních vzájemně nezávslých náhodných velčn). 4. Úloha 8 analýza napjaos spojky článkového řeězu (horncví, analycký model, křvý nosník proměnlvého průřezu, sacky neurčý, šes vsupních vzájemně nezávslých náhodných velčn). 5. Úloha 9 plkace meody SBR ve spojení s MKP (horncví, pravděpodobnosní analýza slových poměrů př procesu rozpojování planové rudy, rovnná deformace, mechancký konak se řením, elaso-plascký maerál, deakvace elemenů dle kréra lomu, paralelní počíače, porovnání s expermenem, čyř vsupní vzájemně nezávslé náhodné velčny). 6. Úloha plkace meody SBR ve spojení s MKP (návrhové výpočy masvního zkušebního sroje pro únavové esy železnčních dvojkolí ve frmě BONTRNS a.s. Bohumín, dynamka, modální analýza, ransenní analýza rozběhu sroje, vyšeřování provozuschopnos sroje, paralelní počíače, šes vsupních vzájemně nezávslých náhodných velčn). Učebnce je zaměřena pro pořeby předměu Pravděpodobnosní výpočy v mechance, kerý se vyučuje v magserské a dokorské formě výuky oboru plkovaná mechanka (kaedra pružnos a pevnos, Fakula srojní, VŠB-TU Osrava) Osrava

2 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava NNOTTION Ths book s focused on he sochasc mechancs and he probablsc approach of relably assessmen, whch use smulaon echnques of drec Mone Carlo (MC) mehod. nalycal models, numercal models (FM) and fully probablsc Smulaon-Based Relably ssessmen (SBR) Mehod are appled. Sofware nhll, Mahcad, MSC.Marc/Mena and Pyhon are used n praccal applcaons. In he nroducon are explaned he basc concepons of he heory of probably, sascs, relably, MC mehod, SBR mehod and s new developmen endences "Inegraed fully probablsc Desgn" (ID). Ino ID, whch can exer a drec nfluence of economy, ecology, polcs ec., belongs Performance-Based Desgn (PBD), fe-cycle ssessmen (C), Rsk ngneerng (R) ec. Then follow he applcaons of SBR mehod:. Problem and Plane russes loaded by forces and emperaures (sacally deermnae srucure fve muually ndependen probablsc npus, sacally ndeermnae srucure welve muually ndependen probablsc npus). Theores of. and. orders are used for dervaons of he analycal models.. Problems o 6 Beams on elasc foundaon (analycal models, sacally ndeermnae). Clamped beam wh rangular dsrbued loadng (sx muually ndependen probablsc npus), car crossng over a brdge (en muually ndependen probablsc npus). Beam s exposed o a general number of vercal forces (ffeen muually ndependen probablsc npus), beam on varable foundaon (egh muually ndependen probablsc npus).. Problem 7 pplcaon of PBD (analycal-erave model, proposon of he beam dameer based on he accepable probably of possble falure, combned loadng, nverse problem of probably, fve muually ndependen probablsc npus). 4. Problem 8 srengh analyss of he chan couplng lnk (mnng, analycal model, curved beam wh varable shape, sacally ndeermnae o he rd degree, sx muually ndependen probablsc npus). 5. Problem 9 pplcaon of SBR mehod n connecon wh FM (mnng, probablsc analyss of he force condons durng he planum ore dsnegraon process, plane sran, mechancal conac wh frcon, elaso-plasc maeral, elemen deacvaon accordng o he fracure creron, parallel compuers, comparson wh expermen, four muually ndependen probablsc npus). 6. Problem pplcaon of SBR mehod n connecon wh FM (proposal calculaons of a massve esng machne for he fague ess of ralway axles n he BONTRNS a.s. company n Bohumín, dynamcs, modal analyss, ransen analyss for sarng of machne, denfcaon of servceably of a machne, parallel compuers, sx muually ndependen probablsc npus). Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava KYWORDS Probably, relably, Mone Carlo mehod, Smulaon-Based Relably ssessmen (SBR) mehod, analycal models, russ srucures, s order heory, nd order heory, sragh beams, elasc foundaon, PBD (Performance-Based Desgn), sress analyss, curved beams, chan couplng lnks, FM, ore dsnegraon process analyss, planum ore, forces n he cung b, parallel compung, dynamcs, modal analyss, ransen analyss, programmng. PODĚKOVÁNÍ Rád bych poděkoval: Své drahé manželce Marcele za porozumění, rpělvos a podporu př vorbě éo učebnce. Všem kolegům na kaedře pružnos a pevnos (FS VŠB-TU Osrava) za movac, cenné náměy, konzulace a přpomínky. Především však doc. Ing. eo VÁCVKOVI, CSc., prof. Ing. Jřímu NRTOVI, CSc. Kolegům prof. Ing. Pavlu MRKOVI, DrSc. (ÚTM V ČR, Praha) a prof. Ing. Horsu GONDKOVI, DrSc. (kaedra výrobních srojů a konsruování, FS VŠB-TU Osrava) za jejch osobní movac mé osoby a za důležé náměy vhodné pro aplkac meody SBR. Recenzenům Ing. Rolandu JNČOVI, Ph.D., ING-PD IGIP (Insu aplkovanej mechanky a mecharonky, SjF STU v Braslave, Slovensko) a prof. Ing. Horsu GONDKOVI, DrSc. (kaedra výrobních srojů a konsruování, FS VŠB-TU Osrava). Vedení Fakuly srojní VŠB-TU Osrava za movac, podporu a poskynuí olk pořebných fnancí. Granové agenuře VČR, proože ao učebnce využívá poznaků a aké je publkovaná v rámc projeku GČR /7/557 s názvem Pravděpodobnosní posuzování nženýrské spolehlvos konsrukcí. Fondu rozvoje vysokých škol, ao učebnce aké využívá zkušenos z projeku FRVŠ 54/8F s názvem Nový předmě "Pravděpodobnosní výpočy v mechance" jako novace výuky na FS VŠB-TU Osrava. Jako křesťan bych aké rád poděkoval Pánu Bohu, kerý mne v žvoě vede. KÍČOVÁ SOV Pravděpodobnos, spolehlvos, meoda Mone Carlo, meoda Smulaon-Based Relably ssessmen (SBR), analycké modely, pruové konsrukce, eore. řádu, eore. řádu, přímé nosníky, pružný podklad, PBD (Performance-Based Desgn), analýza napjaos, křvé nosníky, spojky článkových řeězů, MKP, analýza procesu rozpojování rudy, planová ruda, síly v nož, paralelní výpočy, dynamka, modalní analýza, ransenní úloha, programování.

3 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava OBSH NOTC NNOTTION KÍČOVÁ SOV KYWORDS PODĚKOVÁNÍ OBSH 4 SZNM SYMBOŮ ZKRTK 8. ÚVOD 8. PROBMTIK POSUDKŮ SPOHIVOSTI SOUČÁSTÍ STROJŮ KONSTRUKČNÍCH CKŮ. Formulace řešeného problému. Současný sav možnosí sanovení posudku spolehlvos. ÚVOD DO TORI PRVDĚPODOBNOSTI 4. Defnce pravděpodobnos 4. Pojem náhodné velčny a dsrbuční funkce 5. Husoa pravděpodobnos a pravděpodobnosní funkce 6.4 Kvanlová funkce 7.5 Ohrančené hsogramy 8.6 Charakersky náhodných velčn 4. MTOD MONT CRO 4. Pojem, použelnos a hsore meody Mone Carlo Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava 4. Generáory náhodných čísel 5. MTOD SBR (SIMUTION-BSD RIBIITY SSSSMNT) 5. Spolehlvos konsrukcí a srojních čásí 5. Meody pro určování spolehlvos konsrukcí a srojních čásí 5. Pravděpodobnosní meody spolehlvos Meoda SBR Přesnos a odhad chyby meody SBR Poznámky ke spolehlvos prvků, dílců a celých sysémů Inegrované navrhování a další směry rozvoje problémy meody SBR 4 6. POUŽÍTÝ SOFTWR nhll MSC.Marc/Mena Mahcad Pyhon PIKC MTODY SBR PŘI ŘŠNÍ ROVINNÝCH PRUTOVÝCH KONSTRUKCÍ Teore. a. řádu pro eor malých deformací nalycké řešení jednoduché sacky určé srukury - úloha plkace meody SBR (jednoduchá sacky určá srukura) - úloha nalycké řešení jednoduché sacky neurčé srukury - úloha plkace meody SBR (jednoduchá sacky neurčá srukura) - úloha PIKC MTODY SBR PŘI ŘŠNÍ NOSNÍKŮ N PRUŽNÉM PODKDU

4 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava 8. Úvod do eore nosníků na pružném podkladu plkace meody SBR (porovnání deermnsckého a pravděpodobnosního přísupu řešení nosníků na pružném podkladu) - úloha 7 8. plkace meody SBR (porovnání deermnsckého a pravděpodobnosního přísupu řešení nosníků na pružném podkladu) - úloha plkace meody SBR (posudek spolehlvos nosníků na pružném podkladu) - úloha plkace meody SBR (posudek spolehlvos nosníků na proměnlvém pružném podkladu) - úloha plkace meody SBR (Performace-Based Desgn, návrh průměru hřídele př zadané dovolené pravděpodobnos poruchy) - úloha PIKC MTODY SBR V HORNICTVÍ 89 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava PŘÍOH Č. (ŘŠNÍ ÚOHY Z KPITOY 7.5) 7 PŘÍOH Č. (ŘŠNÍ ÚOHY Z KPITOY 8.) 4 PŘÍOH Č.4 (ŘŠNÍ ÚOHY 6 7 Z KPITOY ) 4 PŘÍOH Č.5 (ZMNŠNÝ VÝKRS SSTVY SPOJKY ČÁNKOVÝCH ŘTĚZŮ, ÚOH 8 Z KPITOY 9. 9.) 48 PŘÍOH Č.6 (OSNOVY PŘDMĚTU PRVDĚPODOBNOSTNÍ VÝPOČTY V MCHNIC ) Úvod D a D model analýzy napjaos spojky článkového řeězu důlní rakce - úloha plkace meody SBR (pravděpodobnosní analýza napjaos spojky článkového řeězu důlní rakce) - úloha Zadání pravděpodobnosní analýzy slových poměrů př rozpojování planové rudy - úloha plkace meody SBR a MKP (výsledky pravděpodobnosní analýzy slových poměrů př rozpojování planové rudy) - úloha 9 7. PIKC MTODY SBR V DYNMICKÝCH ÚOHÁCH (ZKUŠBNÍ STROJ PRO TSTOVÁNÍ ÚNVY ŽZNIČNÍCH NÁPRV) 5. Úvod 5. Sručně o řešení programem nhll, MSC.Marc/Mena a Pyhon úloha 7. Pravděpodobnosní posudky provozuschopnos (spolehlvos) zkušebního sroje úloha 4 ITRTUR 6 PŘÍOHY 6 PŘÍOH Č. (ŘŠNÍ ÚOHY Z KPITOY 7.) 6 6 7

5 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava SZNM SYMBOŮ ZKRTK Použé velčny, symboly, zkraky a jejch vysvělení je uvedeno v následujícím exu. Pokud je o nuné, ak v lomených závorkách jsou uvedeny aké jednoky. Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Dferencál ohybového momenu /Nm/, Dferencál normálové síly a posouvající síly /N/, až Dferencály délky /m/,, až Příčná plocha průřezu příslušného nosníku nebo pruu a Kóa /m/ v, M Pomocné konsany /N - m/, /m/ /m / dv dx dv DT, dx Úhel naočení nosníku Deermnscké a pravděpododobnosní dv PRO dv dx hodnoy velčny dx /rad/ /rad/ ISC mercan Insue of Seel Consrucon b Šířka nosníku nebo kóa /m/ b, b Deermnscká a pravděpododobnosní hodnoa velčny b b Varabla velčny b // b až b Šířka nosníku /m/ B až B, B Inegrační konsany, pomocné konsany /m/ 4 b až b, 8 b Konsany mocnnné řady /m/ až /m -7 /, /m - / c Kóa /m/ C, D CIDS /m/ Pomocné konsany // Cenrum negrovaného navrhování progresvních savebních konsrukcí CPU Cenral Processor Un D Průměr hřídele /mm/ x Rozpyl (éž sřední kvadracká odchylka, sřední kvadracká flukuace, varance nebo aké dsperze) D Dskrmnan kubcké rovnce DT Deermnscký přísup d, d až d, Dferencály délky /m/ Modul pružnos maerálu /Pa/, Deermnscká a pravděpododobnosní hodnoa velčny e Kóa /m/ Varabla velčny //, e e až e 6 Vzdálenos příslušných ěžšť průřezu od neurální osy křvého nosníku,, Moduly pružnos příslušných maerálů /Pa/ C urokódy, Srucural urocodes U vropská une, x Dsrbuční funkce, x f Kóa /m/, x, Husoa pravděpodobnos (spojé rozložení náhodné velčny) nebo pravděpodobnosní funkce (dskréní rozložení náhodné velčny) F, F, F až F Síly /N/ f Sedmá a osmá krcká frekvence (dynamka) /Hz/ CR 7, Fo 8 x, x,, x Odsředvá síla od přídavné hmoy (nevývažku) Funkce sdružené husoy pravděpodobnos nebo sdružená pravděpodobnosní funkce /Pa/ /m/ /N/ 8 9

6 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava f M ( x j ), ( x j ) f v Sumační funkce,,,,,, Funkce spolehlvos F, F F, F x Deermnscká a pravděpododobnosní hodnoa velčny F Deermnscká a pravděpododobnosní hodnoa velčny F Inverze dsrbuční funkce (kvanlová funkce) FM Fne lemen Mehod FTI Fne lemens Tearng and Inegrang FORM Frs-Order Relably Mehod g M ( x j ), ( x j ) g v Sumační funkce Modul pružnos ve smyku maerálu nosníku /N/ /N/ /Pa/, Deermnscká a pravděpododobnosní hodnoa velčny, K ( x) Modul slačelnos podloží /Nm - /,,, Konsana úměrnos podloží (koefcen slačelnos podloží) Deermnscká a pravděpododobnosní hodnoa velčny Deermnscká a pravděpododobnosní hodnoa velčny /m 4 / /Pa/ /Nm - / k Koefcen bezpečnos // Varabla velčny //, K Modul slačelnos podloží na levé a pravé sraně podloží Směrnce závslos modulu slačelnos podloží /Pa/ /Nm - / /Nm -4 / G, H Pomocné konsany //,,, Funkce defnující výpočový model h, h až h Výška nosníku /m/ h, h Deermnscká a pravděpododobnosní hodnoa velčny h h Varabla velčny h // Indexy I, J Pomocné konsany // IN, ID Inegrované navrhování, Inegraed Desgn ISO j Indexy, J, ZT J až ZT Inernaonal Organsaon for Sandardzaon J Hlavní kvadracký momen průřezu nosníků ZT 6 počíaný k ose Z /m/ /m 4 /,,,, Délka /m/,, Deermnscká a pravděpododobnosní hodnoa velčny Rozeč náprav auomoblu a délka podloží mosu Varabla velčny //,,,, Deermnscká a pravděpododobnosní hodnoa velčny Příslušné délky pruů nebo úseků nosníků C fe Cycle ssessmen RFD oad and Ressance Facor Desgn, Spojě rozložený momen (nenza momenu) Hmonos přídavného závaží (nevývažku) /kg/ Kroucí momen /Nm/ /m/ /m/ /m/ /N/

7 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava,, M o ( x ) Ohybový momen /Nm/,, Deermnscké a pravděpododobnosní hodnoy velčny /Nm/ M o MX j Maxmální ohybový momen /Nm/, Deermnscká a pravděpododobnosní hodnoa velčny /Nm/ M, M, M Reakční momeny /Nm/,, í, ý,, Pravděpodobnos poruchy (nepříznvého savu) jednoho prvku sysému Pravděpodobnos poruchy (nepříznvého savu) příslušných prvků sysému Pravděpodobnos poruchy paralelního a sérového sysému Pravděpodobnos nepříznvých savů dle mezního savu použelnos a mezních savů únosnos // // // // MX Maxmum MC Mone Carlo MIN Mnmum MKP Meoda konečných prvků,, N ( x ) Normálová síla /N/ n Poče zaěžujících sl nebo poče prvků // n b Oáčky přídavného závaží (nevývažku) /s - / PBD Performance-Based Desgn PRO Pravděpodobnosní přísup (ndex) Kvanlová funkce (Inverze dsrbuční funkce) q, q Spojé zaížení (nenza síly) /Nm - / q, q Deermnscká a pravděpododobnosní hodnoa velčny q /Nm - / q, q Spojá reakce v podloží nosníku /Nm - / n b MX, n b MIN n b WORK N N Maxmální a mnmální oáčky přídavného závaží Pracovní frekvence (oáčky) zkušebního sroje Celkový poče smulací, celkový poče možných výsledků Poče realzací zkoumaných vlasnosí jevů, j. poče nepříznvých savů /s - / /s - / // // q Konsanní spojé zaížení /Nm - / q q, q Maxmální velkos rojúhelníkového spojého zaížení Deermnscká a pravděpododobnosní hodnoa velčny q /Nm - / /Nm - / q Varabla velčny q // R Funkce odolnos konsrukce nebo součás,, Příslušné normálové síly v pruech nebo nosnících Pravděpodobnos, // p Kóa /m/ /N/ r Poloměr sřednce křvého nosníku /m/ r Poloměr křvos nosníku /m/ /m/ Poloměr ěžšě přídavného závaží (nevývažku) /m/,,, Návrhová (přjaelná) pravděpodobnos poruchy nebo havarjního savu // R Návrhová hodnoa odolnos řešené srukury (meoda dílčích součnelů) Pravděpodobnos jevu, pravděpodobnos poruchy nebo nepříznvého savu // R Referenční (dovolená) hodnoa

8 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava R Krcká hodnoa Mez pružnos maerálu /MPa/,, Mez kluzu maerálu, mez kluzu v ahu, mez kluzu ve smyku. /MPa/ Mez pevnos maerálu /MPa/ R Výsledná maxmální reakční síla v nož V MX XP (sanovena z expermenu) R Výsledná maxmální reakční síla v nož V MX SBR, MKP (SBR-MKP řešení) R V MX SBR, MKP MD Medánová hodnoa výsledné maxmální reakční síly v nož (SBR-MKP řešení) /N/ /N/ /N/, Deermnscká a pravděpododobnosní hodnoa velčny Počáeční (monážní) eploa / o C/,/K/ Provozní eploa (kapola 7) nebo eploa v horních vláknech nosníku (kapola 8) /N/ / o C/,/K/ Teploa v dolních vláknech nosníku / o C/,/K/ U Deformační energe /J/, Posunuí ve směru souřadné osy X /mm/ Posunuí pruů v bodu /m/ u RD Radální průhyb hřídele /m/ R, R, R, R Reakční síly v nož (výsledné, ve směru osy X, ve směru osy Y a výsledná dovolená) /N/, /kn/, Průhyby nosníků nebo posunuí ve směru souřadné osy Y /m/ R až R Reakční síly /N/ R Rsk ngneerng RF, RF, RF Funkce provozuschopnos zkušebního sroje /s - / S Funkce účnku zaížení S S Účnek zaížení Návrhová hodnoa účnku zaížení (meoda dílčích součnelů) SBR Smulaon-Based Relably ssessmen S.Č.Ř. Spojka(-ky) článkových řeězů SORM Second-Order Relably Mehod sw Sofware,, T ( x ) Posouvající síla /N/ Čas /s/, /rok/, Deermnscké a pravděpododobnosní hodnoy velčny Maxmální posouvající síla /N/ /N/ v B Relavní průhyb mez body, B /m/, Deermnscké a pravděpododobnosní hodnoy velčny, Dovolený průhyb, maxmální průhyb /m/, /mm/,, Deermnscká a pravděpododobnosní hodnoa velčny Průhyb nosníku v mísě dle eore. respekve. řádu /m/ /m/, /mm/ W o Modul odporu průřezu v ohybu /m / wall me Celkový čas řešení počíačem /hod/ x, x, x, x Obecné značení náhodné velčny (náhodná proměnná) x, x Deermnscká a náhodná velčna x Náhodná velčna popsující jev x.řá, x.řá Vypočená medánová velčna dle eore. řádu respekve. řádu x rmecký průměr ( mean value ) /m/ 4 5

9 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava x Geomercký průměr x Varační koefcen x Medán, plaí x x.5 x Modus (nejčasější hodnoa v sasckém souboru),, až Souřadnce ve směru sřednce nosníku /m/ Úhel /rad/,,,,,, β, až Součnele eploní rozažnos příslušných maerálu /K - /, / o C - / Úhel a jeho příslušné erace (dle eore. Řádu) Součnele rozložení smykového napěí po průřezu nosníku /rad/ Součnel odolnos (meoda dílčích součnelů) // Součnel spolehlvos zaížení (meoda dílčích součnelů) // Odhad chyby, chyba /%/ Chyba výpoču medánové hodnoy R MX maxmální reakční síly Změna eploy / o C/,/K/ % Chyba výpoču medánové hodnoy (porovnání eore. a. řádu), Prodloužení příslušného pruu /m/ Possonovo číslo (poměr) // π udolfovo číslo // Dovolené napěí /MPa/ // /%/ /%/, Deermnscká a pravděpododobnosní hodnoa velčny /MPa/ σ MX Nejvěší napěí (globální maxmum) /MPa/ GOB σ Ohybové napěí v hřídel /MPa/,, σ x Směrodaná odchylka Napěí v pruech až (vz kapola 7), nebo hlavní napěí (vz kapola 9) /MPa/ Smykové napěí /MPa/ Maxmální smykové napěí /MPa/, ϕ, Deermnscká a pravděpododobnosní hodnoa velčny /MPa/ ϕ B, Úhel naočení /rad/ až Úhel /rad/ Ω Ω Míra množny Ω, ω ω Míra podmnožny ω Operáor paří.hs,.ds Jevové pole (množna, kerá popsuje celkovou realzac zkoumaných vlasnosí jevu) Vlnová charakerska nosníku na pružném podkladu Úhlová rychlos přídavného závaží (nevývažku) Deermnscká a pravděpododobnosní hodnoa velčny Realzace zkoumaných vlasnosí jevu (podmnožna jevového pole) Ω Soubory defnce hsogramů použé v programu nhll /m - / /rad s - / /m - / Napěí dle eore HMH (von Mses) /MPa/, σ, σ až MX j MX σ MX Maxmální normálové napěí /MPa/ 4 6 7

10 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava. ÚVOD Mez hlavní vůrčí posupy současných konsrukérů paří aké aplkace echnckých norem a meod posuzování spolehlvos. Normy a posudky spolehlvos doposud vždy procházely a aké v budoucnu budou procháze různým změnam, jež souvsí s akuálním rozvojem vědy a echnky. Hsor nedávný vývoj norem, posupů a meod, keré souvsí s posudkem spolehlvos lze naléz např. v [64], [66], [7], [7], [78], [79], [8] až [8], [89], [9] až [9], [97], [4], [5], [9] [] a []. V současnos jsme mmo jné aké svědky přechodu od původních (původně předpočíačových ) deermnsckých meod k novým ( počíačovým ) čásečně nebo plně pravděpodobnosním meodám posudků spolehlvos nženýrských srukur. V éo prác je jako hlavní násroj posudku spolehlvos použa meoda SBR (Smulaon- Based Relably ssessmen). uorem éo meody je prof. Ing. Pavel MRK, DrSc., blíže vz [64], [78], [79], [89] a [9] až [9] a aké kapola 5 v éo učebnc. Kapoly až 6. jsou zaměřené na eorecký úvod, použé násroje a vysvělení pojmů. Kapoly 7 až jsou aplkační, zaměřené na využí meody SBR ve vědeckoechncké prax. Kapola éo učebnce slouží k vymezení řešené problemaky, podává přehled současného savu poznání a nasňuje budoucí rozvoj. Kapola je sručným úvodem do eore pravděpodobnos a sasky. Je zde vysvělení pojmu náhodné velčny, defnce pravděpodobnos, dsrbuční funkce, funkce husoy pravděpodobnos, pravděpodobnosní funkce, kvanlové funkce, ohrančených hsogramů a dalších charakersk náhodných velčn. Kapola 4 se sručně zaměřuje na meodu MC. Je uvedena hsore vývoje a použelnos meody MC a aké jsou vysvěleny generáory náhodných (pseudonáhodných) čísel. Kapola 5 je zaměřena na meody spolehlvos, přčemž hlavní pozornos je věnována meodě SBR. Je uvedena aké hsore vývoj meody SBR směrem k IN - negrovanému navrhování (j. nové aplkace: PBD, C, R aj.), keré umožňuje aké zohlednění vlvu ekonome, ekologe, socologe, polky a jných aspeků př navrhování č posudku konsrukcí a srojních čásí. Kapola 5 aké uvádí defnce úrovní spolehlvos dle akuálních českých norem, poznámky o komplexní spolehlvos složějších sysémů (sérové, paralelní a kombnované sysémy) a meody zrychlení a modfkace způsobu výpoču smulací (Imporance Samplng, Srafed Samplng, an Hypercube Samplng, paralelní programování). Kapola 6 uvádí komerční programy využé př řešení éo učebnce (nhll, MSC.Marc/Mena, Mahcad a Pyhon). Kapola 7 ukazuje aplkace meody SBR př řešení jednoduchých rovnných příhradových konsrukcí, namáhaných slam a eploně. Pro odvození analyckých modelů je využo eorí. a. řádu. Je zde uvedena úloha (sacky určá konsrukce 5 vsupních vzájemně nezávslých náhodných velčn) a úloha (sacky neurčá konsrukce vsupních vzájemně nezávslých náhodných velčn). Posudky spolehlvos jsou provedeny dle mezního savu únosnos. V závěru obou úloh jsou aké porovnány a zhodnoceny oba přísupy dle eore. a. řádu. Kapola 8 se zaměřuje na aplkac meody SBR a porovnání deermnsckého a pravděpodobnosního přísupu př řešení nosníků na pružném podkladu. Př řešení jsou použy analycké modely odvozené v auorových knhách [], [5] a čásečně uvedené aké v auorových skrpech [5]. Posudky spolehlvos jsou provedeny dle mezního savu únosnos. Je zde uvedena úloha (veknuý nosník s rojúhelníkovým spojým zaížením 6 vsupních vzájemně nezávslých náhodných velčn), úloha 4 (přejezd auomoblu po Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava mosu, kvazsacká úloha vsupních vzájemně nezávslých náhodných velčn), úloha 5 (nosník vysavený obecnému poču svslých sl 5 vsupních vzájemně nezávslých náhodných velčn), úloha 6 (nosník na proměnlvém podkladu osm vsupních vzájemně nezávslých náhodných velčn). V závěru kapoly 8 je uvedena úloha 7 (aplkace PBD, nverzní úloha pravděpodobnos, analycko-erační model, návrh průměru hřídele dle dovolené pravděpodobnos poruchy, kombnované namáhání, 5 vsupních vzájemně nezávslých náhodných velčn). Kapola 9 ukazuje aplkace meody SBR v horncví. Úloha 8 se zabývá analýzou napjaos spojky článkového řeězu důlní rakce (D analycký model křvého nosníku proměnlvého průřezu, kerý je sacky neurčý je řešen pomocí Casglánových vě, šes vsupních vzájemně nezávslých náhodných velčn). V úloze 8 je uvedeno aké řešení D elasckého a elaso-plasckého modelu pomocí MKP s uvažováním mechanckého konaku se řením. Teno D model však v současnos nelze řeš pomocí meody SBR a o z důvodu nedosaečné rychlos současných běžně dosupných počíačů. Úloha 9 se zabývá aplkací meody SBR ve spojení s MKP př pravděpodobnosní analýze slových poměrů vznkajících v průběhu procesu rozpojování planové rudy (rovnná deformace, mechancký konak se řením mez rozpojovacím orgánem a rudou, rozpojovaní rudy provedeno řízenou deakvací elemenů, keré vyhovují kréru lomu dle eore HMH, 4 vsupní vzájemně nezávslé náhodné velčny). plkace paralelních počíačů byla nezbyná pro pořebné zkrácení výpočového času výpoču smulací meodou MC. V závěru úlohy 9 je provedeno aké porovnání s expermenem (měření slových podmínek př rozpojování planové rudy ze sloje Merenský, důlní společnos groplanum Cooperaed med, JR). Kapola ukazuje aplkac meody SBR př řešení dynamckých úloh konsrukční praxe. Úloha se zabývá návrhovým výpočy dynamckého chování masvního sroje pro esování únavy maerálu železnčních dvojkolí (D model řešený kombnací MKP a meody SBR modální analýza a ransenní analýza, aplkace paralelních počíačů). Př výpoču bylo uvažováno 6 vsupních vzájemně nezávslých náhodných velčn. Úloha byla řešena ve spoluprác s frnou BONTRNS, a.s. Bohumín. V přílohách jsou uvedeny programové výpsy pro sw nhll (pro úlohu až ), anglcky psaný článek publkovaný v Řecku na meznárodní konferenc rd IC-SCC (násn řešení úlohy 6 a 7), výkres spojky článkových řeězů (úloha 8) a základní nformace a osnova nového předměu Pravděpodobnosní výpočy v mechance určeného k výuce na FS VŠB- TU Osrava. 8 9

11 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava. PROBMTIK POSUDKŮ SPOHIVOSTI SOUČÁSTÍ STROJŮ KONSTRUKČNÍCH CKŮ. Formulace řešeného problému xsuje elemenární oázka: Jak má bý konsrukce (srojní součás) bezpečná (spolehlvá)? Nejčasější odpověď poencálního užvaele zní: Chc dokonale bezpečnou konsrukc! Ovšem př blžším zkoumání je zřejmé, že nelze realzova konsrukc (srojní součás) jako absoluně bezpečnou (bezporuchovou). Je omu aké proo, že se nelze vždy spolehnou na přesné znalos vlasnos maerálu, přesné znalos geomerckého uspořádání srukury, přesné znalos a jsoy zaížení, přesné dodržení echnologcké kázně př výrobě ap. Někeré příčny varably ěcho základních vlasnosí souvsí s ldskou čnnosí a někeré naopak s ldskou čnnosí nesouvsí. Obecně plaí, že jevy v reálném svěě podléhají jsé náhodnos. Nejnak je omu aké jevů spojených s posudkem spolehlvos. Konsrukce (srojní součás) edy není nkdy zcela bezpečná (spolehlvá), ale její návrh a provedení musí vés k mnmalzac souvsejících rzk, ak aby ao rzka byla přjaelná (ekonomcky, ekologcky, socologcky, polcky, ap.). Spolehlvosí se edy rozumí schopnos konsrukce (srojní součás, objeku) pln požadované funkce v požadovaném časovém úseku. Sanovení posudku spolehlvos je jedním z nejčasějších požadavků př řešení konsrukc nebo srojních čásí. V pozadí každého posudku spolehlvos je vždy eore pravděpodobnos a sasky (nuné respekování nejso zaížení, rozměrů, výpočových modelů, degradačních procesů, maerálových vlasnosí ap.). Problémem je, že yo nejsoy se mnohdy vůbec nerespekují. Z hledska projekana se edy věšna současných norem jeví jako deermnscké (aplkace čených součnelů, doporučených vzorců ap. mnohdy bez přímého fyzkálního opodsanění), což ale ve svém důsledku odporuje realě. Někeré normy (např. ČSN 74, ISO aj.), vz [5], [7] až [75], jž přpoušějí jako alernavu aké plně pravděpodobnosní přísupy sanovení spolehlvos konsrukcí, což je nesporně velkým úspěchem. Současný rend, kerý souvsí s prudkým rozvojem a běžnou dosupnosí výpočení echnky, nabízí nové možnos aplkací plně pravděpodobnosních přísupů sochascké mechanky založených na smulačních echnkách meody MC. právě meoda SBR (Smulaon-Based Relably ssessmen) je oho příkladem. Meoda SBR paří mez současné op rendy sochasckého pohledu na svě a především fyzku. Přčemž se objevují aké aplkace spojené s ekonomkou, ekologí ap. Tao meoda respekuje (pomocí hsogramů) varablu vsupních velčn. Vsupní výsupní velčny pak mají aké náhodný charaker, kerý lépe a přesněj vyshuje reálnou suac. Spolehlvos se pak určuje porovnáním vypočené pravděpodobnos poruchy s návrhovou pravděpodobnosí. Použelnos, aplkovaelnos a rozvoj meody SBR aké souvsí s rozvojem počíačů. Díky sále se zvyšující výkonnos počíačů, lze jž v současné době řeš rozsáhlé úlohy mechanky, jejchž řešení bylo před pě a více ley nemožné. V éo prác jsou ukázány někeré nové a orgnální aplkace meody SBR a pravděpodobnosního posudku ve vědecko-echncké prax. Nejprve je předvedeno analycké řešení sacky určých a sacky neurčých příhradových konsrukcí dle přísupů podle eore. a. řádu, dále řešení různých ypů nosníků uložených na pružném podkladu a návrh dle PBD (auorovy vlasní aplkace souvsející s knham [] a [5]). Pak následuje první aplkace v horncví (pravděpodobnosní analýza napjaos spojky článkových řeězů Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava důlní rakce) a druhá aplkace v horncví (pravděpodobnosní analýza slových poměrů mez rozpojovacím orgánem a planovou rudou v průběhu procesu rozpojovaní rudy). Druhá aplkace v horncví souvsí aké se spojením meod SBR a MKP a s využím paralelních počíačů. plkace meody SBR edy souvsí s řešením dle nejnovějších poznaků vědy a echnky. Proo jsou aplkace meody SBR émaem éo učebnce.. Současný sav řešené problemaky V souvslos s kompleací a uvedením sousavy urocodů do projekční praxe lze občas zaslechnou názory někerých pedagogů a výzkumníků, že v prvních několka desíkách le nového sícleí se z hledska koncepce posudku spolehlvos nebude ve vývoj norem pro navrhování konsrukcí nc nového dí a posačí sousřed se ve výuce mladých nženýrů na výklad meody dílčích součnelů aplkovanou v urocodech. Je eno názor opodsaněný? Má bý vzdělávání sudenů a projekanů omezeno na nerpreac překonané meody s opakováním výroku norma říká bez důkladného vysvělení podsay posudku spolehlvos a bez seznamování s dalším vývojem ovlvněným rozvojem výpočení echnky? Jak známo meoda dílčích součnelů byla navržena a rozvíjena v éře prmvních výpočeních násrojů. Vývoj posupně dospěl k aplkac éo meody v normách pro navrhování a posuzování spolehlvos konsrukcí (vz zejména urocode a v US normy ISC - RFD). Před zhruba dvace ley došlo z hledska vorby pravdel hry posuzování spolehlvos k dramacké změně základních podmínek. V osmdesáých leech ve svěě a v devadesáých leech u nás, se v průběhu několka málo roků objevl na sole každého projekana výkonný osobní počíač, což zásadně ovlvnlo projekování konsrukcí včeně posudku jejch spolehlvos, j. bezpečnos, použelnos a rvanlvos. Velký poencál počíačů vyvořl předpoklady k výraznému kvalavnímu zdokonalení podsay posudku. ze edy právem očekáva, že dosud používaná meoda dílčích součnelů, nebo jné deermnscké meody, založené na řadě zjednodušujících podmínek a omezení, spolu s rosoucím poencálem počíačů nepovznesou posudek spolehlvos na kvalavně vyšší úroveň. Je nezbyné vyvíje, rozvíje a aplkova kvalavně nový posup sanovování spolehlvos odpovídající éře počíačů. Problemaka kvalavního zdokonalení posudku spolehlvos konsrukcí souvsejícího s počíačovou revolucí je sále předměem mnoha dskusí a úvah. K navrhovaným novým cesám k dosažení kvalavně nové úrovně navrhování paří plně pravděpodobnosní meoda SBR (Smulaon-Based Relably ssessmen) spojená s meodou MC. Základní pravdla meody jsou defnována v knze [9]. Meoda SBR, jejímž auorem je prof. Ing. Pavel MRK, DrSc., je rozvíjena na ÚTM VČR v Praze a zejména na VŠB-TU Osrava, kde do éo doby bylo úspěšně obhájeno už více než osmnác dokorských a hablačních prací založených na éo meodě, vz např. [64], [77], [79], [84], [89], [9] až [9], [4], [7], [6]. Rozvoj meody SBR je dokumenován více než pě sy pracem publkovaným v posledních dvou dekádách doma nebo v zahrančí, vz aké nerneové sránky: hp:// V současnos lze rozděl echncké normy (respekve posudky spolehlvos) do čyř skupn:. Deermnscké normy a posudky (meoda supně bezpečnos, meoda dovolených namáhání, aj.).. Polopravděpodobnosní normy a posudky (meoda dílčích součnelů, někeré nové evropské normy, norma ISC RFD v US,...).

12 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava. Pravděpodobnosní (plně pravděpodobnosní) normy a posudky. Někdy nazývané aké normy a posudky. úrovně. V ěcho případech je spolehlvos konsrukce chápána jako pravděpodobnos, se kerou budou (nebo nebudou) zachovány požadované vlasnos konsrukce. Paří sem analycké a numercké echnky (FORM, SORM, ap.) a hlavně smulační echnky založené na meodě MC. Do éo skupny paří aké meoda SBR, kerá je založena na přímé meodě MC. 4. Jné (např. aplkace eore fuzzy množn jako jednu z možných alernav popsu náhodného jevu,...). Přechod ke kvalavně vyšší plně pravděpodobnosní koncepc posudku, jehož jsme v současnos svědkem, vyžaduje, aby projekan změnl svůj způsob myšlení (j. dosavadní deermnscký způsob myšlení nahradl pravděpodobnosním). vropská odborná nsuce C považuje vzdělávání projekanů v omo směru za velce žádoucí, a proo např. prosředncvím agenury eonardo da Vnc v Bruselu podpořla dlouhodobý projek TRCO (Tachng Rlably COnceps usng smulaon), vz []. Výsledným produkem projeku, zpracovaného as 5 auory z osm sáů vropy a US, je v roce vydaná monografe [9]. Tao monografe seznamuje čenáře s podsaou plně pravděpodobnosního posudku spolehlvos konsrukcí, př čemž k demonsrac koncepce je použa jednoduchá a z hledska projekana přáelská meoda SBR a 5 řešených příkladů. Na přloženém dsku CD-ROM nalezne čenář výpočení pomůcky dovolující přímo řeš zvolené příklady na počíač, zárodek daabáze mechanckých vlasnosí konsrukčních ocelí, vybrané hsogramy (zaížení, výrobní olerance apod.), manuály k smulačním programům a vybrané prezenace příkladů (PowerPon - Mcrosof). Ve spojos s meodou SBR jsou v současnos nejvýznamnější akvy v ČR ( SBR ým v okolí prof. Ing. Pavla MRK, DrSc.). Významné jsou aké akvy v dalších sáech U, US a Kanadě. Ze současných projeků, souvsejících s meodou SBR a pravděpodobnosním posudkem spolehlvos, je řeba uvés aké projeky, ve kerých byl auor éo učebnce aké zapojen. Je o projek GČR /7/557 s názvem Pravděpodobnosní posuzování nženýrské spolehlvos konsrukcí a projek FRVŠ 54/8F s názvem Nový předmě "Pravděpodobnosní výpočy v mechance" jako novace výuky na FS VŠB-TU Osrava. Nuno podoknou, že v rámc výsledků výše uvedeného projeku GČR /7/557 je v současné době přpravovaná nová echncká norma, kerá je zaměřena na plně pravděpodobnosní pojeí posudku spolehlvos a s ím souvsející aplkace meody SBR. Další někeré domácí projeky, např. GČR /4/45, GČR /5/66, GČR /6/674, GČR /8/589, GČR /8/4, MŠMT ČR - M59, MŠMT ČR - M579 (v rámc čnnos cenra CIDS) a někeré zahranční projeky, např. VG /45/6, VG /849/8, dokládají význam pravděpodobnosních posudků, eore spolehlvos a meody SBR. V současnos aké exsují různé domácí a zahranční počíačové programy využelné př rozmaných aplkacích meody SBR a sanovení posudku spolehlvos, vz např. nhll (využý v éo prác, vz hp:// dále FRT (hp:// PROBCC (hp:// M-STR (vz hp:// VaP, STRUR, STTR, COMR, SYSR, NSR, SNG, C-FIT, CRYST B, CODC, SR, aj., blíže vz []. Významný je aké rozvoj meody SBR jako součás negrovaného navrhování (IN). Přehled současných nových rendů meody SBR spojených s IN (PBD, C, R - j. se sraegem plně pravděpodobnosního navrhování a posuzování včeně zahrnuí přímého vlvu ekonome, ekologe, socologe, polky ap.) je uveden v [78] a []. Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Dalším relavně novým rendem spojeným se zvyšováním výkonnos výpočení echnky je aké aplkace paralelních počíačů, kerá vede k razannímu snížení výpočových časů řešení úloh (aplkace meod doménové dekompozce př řešení sousav lneárních rovnc, např. FTI algormus využý aké v éo prác př řešení problemaky řešení procesu rozpojování planové rudy). Meoda SBR je poměrně mladá, proo je jedním ze současných rendů aké hledání nových aplkací. Proo je ao učebnce aké zaměřena na aplkac meody SBR v nových oblasech mechanky. V éo prác jsou řešeny nové (orgnální) úlohy, kerým jsou ukázky aplkací nosníků na pružném podkladu, návrh hřídele dle koncepce PBD, pevnosní analýza spojky článkových řeězů důlní rakce a hlavně sanovení slových poměrů v průběhu procesu rozpojování planové rudy (kombnace meody SBR a MKP). Pro úplnos je řeba doda, že meoda SBR a pravděpodobnosní posudek spolehlvos má aké velm blízko k Sochascké meodě konečných prvků (Sochasc Fne lemen Mehod SFM), vz např. [8], [96] a [98]. Z uvedeného je zřejmé, že meoda SBR se přímo nabízí k překonání nových obzorů současné vědy a echnky. uor éo učebnce (podobně jako mnozí další kolegové) věří, že budoucnos (podobně jako současnos) povrdí sěžejní význam éo meody v rozvoj vědy a echnky. Velčny, běžně používané ve vědě a echnce, jsou ož éměř výhradně sochascké a sejně ak sochascká je aké meoda SBR.

13 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava. ÚVOD DO TORI PRVDĚPODOBNOSTI Kapola slouží jen jako uvedení do problemaky, a proo pouze sručně uvádí základní defnce a skuečnos využé v aplkační čás éo učebnce.. Defnce pravděpodobnos xsuje několk defncí pravděpodobnos:. Klascká defnce pravděpodobnos, kerá vychází z logcké úvahy. Předpokládejme, že určý jev může vykáza N různých dsjunkních, j. vzájemně se vylučujících, možných výsledků. Jeslže poče N z ěcho výsledků má za následek nevyhnuelně realzac určých zkoumaných vlasnosí jevu (např. porucha sroje, poče ldí sarších 7 le ap.) a zbylých N N výsledků j vylučuje, poom pravděpodobnos jevu (j. záps ) je dána vzahem: N =.. N Vzah (.) je absoluně přesný pouze pokud jsou známé počy N a N.. Geomercká defnce pravděpodobnos, kerá vychází z možnos nahrad pojem "poče" v klascké defnc pomocí vhodně zvolené míry (např. délka, plocha, objem, poče obyvael ap.). Mějme množnu Ω (jevové pole), kerá popsuje celkovou míru realzací jevu a její podmnožnu ω, kerá značí míru realzace zkoumaných vlasnosí jevu, vz obr... Poom pravděpodobnos náhodné volby bodu z podmnožny ω je dána vzahem: = ω Ω. kde Ω a ω jsou vhodně zvolené míry uvedených množn. n defnce (.) není úplnou defncí pojmu pravděpodobnos. Obr.. K odvození geomercké defnce pravděpodobnos.. Sascká defnce pravděpodobnos sledovaného jevu je aké možno defnova jako lmu relavních čenosí př rosoucím poču pokusů: Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava N = lm,. N Přčemž an ao defnce není úplnou defncí pravděpodobnos. Výše uvedené defnce pravděpodobnos vznkly z pořeby vymez a nerpreova eno pojem. Ve. a. leech mnulého soleí byl s použím eore množn a eore míry vybudován axomacký sysém eore pravděpodobnos, kerý defnoval ruský maemak. N. KOMOGOROV. V důsledku shora uvedených defnc (.) až (.) je zřejmé, že př rosoucím poču pozorování (expermenů, smulací) v obecném případě plaí: N,.4 N přčemž je zřejmé, že s rosoucím počem pozorování klesá chyba sanovení. To je významná skuečnos, kerá je plně využa př řešení úloh meodam MC a SBR. Z uvedeného je zřejmé, že v obecném případu plaí:, respekve př méně obvyklém vyjádření v procenech % %. Více nformací o eor pravděpodobnos, o jejch axomech ap., lze naléz v [], [64], [66] [89], [9] až [9], [9] aj.. Pojem náhodné velčny a dsrbuční funkce Náhodná velčna (náhodná proměnná) je jedním z nejdůležějších pojmů eore pravděpodobnos a sasky. Náhodná velčna je omezená nervalem MIN x MX, přčemž její mnmum č maxmum v obecném případu může růs nade všechny meze. xsují náhodné velčny nespojé (dskréní), keré mají konečný poče hodno (např. čísla, až 6 př hodu koskou), a náhodné velčny spojé, keré mají nekonečný poče hodno (j. všechna čísla z defnovaného spojého konečného nebo nekonečného nervalu). Náhodné velčny mohou bý děleny aké na jednorozměrné nebo vícerozměrné. Náhodná velčna je daná svým rozdělením (rozložením) pravděpodobnos, dsrbuční funkcí a husoou pravděpodobnos. Rozdělení pravděpodobnos je defnováno množnou všech výsledků, ve keré může sledovaný jev vyús, a množnou všech pravděpodobnosí, se kerým odpovídající suace nasanou. Pravděpodobnosní chování náhodných velčn lze popsa mnoha způsoby. K ucelenému popsu všech ypů náhodných velčn lze použí dsrbuční funkce, keré paří pro svou názornos mez nejobvyklejší. Dsrbuční funkce, pro jejíž hodnoy plaí: x, vz obr.., kde body x a MIN x MX jsou konkréní a obecná realzace (hodnoy) náhodně proměnné x. Pak plaí: x = x x.5 4 5

14 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava x = x = MX = x MX = x =..7 Pravděpodobnos, že náhodná velčna x nabude hodnoy z blíže zkoumaného nervalu x x x, vz obr.., je daná relací: a) b) Obr.. Dsrbuční funkce a) spojá náhodná proměnná x, b) dskréní náhodná proměnná x. Z obr.. je aké zřejmé, že dsrbuční funkce je funkcí neklesající (j. x ) a aké. Dsrbuční funkce edy udává pravděpodobnos s jakou náhodná velčna x nepřekročí zadanou hodnou x. Pro případy vícerozměrných náhodných velčn je zaveden pojem sdružená dsrbuční funkce.. Husoa pravděpodobnos a pravděpodobnosní funkce Náhodná velčna x je defnovaná aké husoou pravděpodobnos, kerá je (na rozdíl od dsrbuční funkce) defnovaná jen pro spojé rozložení náhodné velčny. Dsrbuční funkc lze defnova aké pomocí husoy pravděpodobnos vzahem: x x x = x x = x = x x..8 Pokud má náhodná velčna x spojou dsrbuční funkc, pak ve všech bodech, kde exsuje dervace dsrbuční funkce, plaí: x = x,.9 Pro dskréní rozdělení lze hodnoy dsrbuční funkce urč z pravděpodobnosní funkce, (kerá je analogí k husoě pravděpodobnos pro spojé rozdělení, vz rovnce (.6) a obr..4): x = x dx,. vz obr... x = x,.6 Obr..4 a) husoa pravděpodobnos, b) pravděpodobnosní funkce. Náhodnou velčnu s dskréním rozdělením lze edy defnova konečným výčem hodno x s příslušným pravděpodobnosm s jakým jednolvé hodnoy nabývá. Pro případy vícerozměrných náhodných velčn je zaveden pojem sdružená husoa pravděpodobnos respekve sdružená pravděpodobnosní funkce. vzah: Obr.. Vzah mez husoou pravděpodobnos a dsrbuční funkcí. Pro husou pravděpodobnos plaí. Husoa pravděpodobnos aké splňuje.4 Kvanlová funkce Inverzní dsrbuční funkce, zvaná aké kvanlová funkce, kerá je defnovaná vzahem: = x,. je další důležou formou reprezenace náhodných velčn. Pomocí kvanlové funkce lze pro danou pravděpodobnos nají odpovídající hodnou -kvanlu. Inverzní funkc lze vyvoř pouze ke spojé, rosoucí dsrbuční funkc, edy pouze pro spojá rozdělení. V případě dskréních a smíšených rozdělení exsují nervaly, na kerých je dsrbuční funkce 6 7

15 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava konsanní a proo nverzní funkce x neexsuje. Pro yo případy je vhodné defnc kvanlové funkce zobecn: = x x,. pak je pro dané hodnoa x na nervalech, kde je funkce x rosoucí, rovna funkční hodnoě a na nervalech, kde je x konsanní, je hodnoa x určena nejvěší dolní závorou. Tako je funkce zleva spojá na celém defnčním oboru ;. Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava hsogramy, keré zpravdla lépe aproxmují reálné náhodné velčny. Hsogram nebo aké hsogram čenosí je edy zjednodušenou a přblžnou grafckou reprezenací husoy pravděpodobnos respekve pravděpodobnosní funkce. Hsogram je sloupcový graf vořený nepřekrývajícím se obdélníky různé výšky, jejchž celková plocha je rovna jedné. Šířka jednolvých obdélníků může bý různá, ale nejčasěj jsou používány hsogramy se shodnou šířkou všech obdélníků, vz obr..6. mprcké kvanlové funkce (zv. Queeleovy funkce) lze získa ze vzorků da vzesupným seříděním jejch hodno x x x, a vyvořením schodové funkce se svslým segmeny s délkam x a vodorovným segmeny s délkam, vz obr Ohrančené hsogramy Obr..5 Sanovení emprcké kvanlové funkce. Mez eoreckým rozdělením jsou rozdělení mající alespoň jednu mez defnčního nervalu rovnou nebo velm časá. Napro omu věšna reálných, prakcky používaných velčn nabývá pouze hodno z omezeného reálného nervalu MIN x MX. Např. velčny jako délka, hmonos aj. nemohou nabýva záporných hodno, když časo bývají popsány normálním rozdělením defnovaným na nekonečném nervalu x. Obr..6 Transformace časového průběhu zaížení na hsogram zaížení. Programy použé v meodě SBR (sw nhll), pracují se dvěma ypy ohrančených hsogramů: s hsogramy reprezenujícím dskréní rozdělení pravděpodobnos a s hsogramy reprezenujícím po čásech spojé rozdělení pravděpodobnos, vz obr..7. Dalším důvodem k omezení defnčního nervalu náhodných velčn může bý požadavek generování náhodných velčn pomocí počíače. V akových případech bývá generované rozdělení aproxmací rozdělení požadovaného, a o jak z důvodu omezené přesnos reprezenace čísel, ak z důvodu jejch omezeného rozsahu. Na základě pozorování, měření nebo pokusů lze vyvoř hsogramy (sloupcové grafy čenosí) různých náhodně proměnných fyzkálních velčn. Z výsledků měření věšnou vyplývá, že yo náhodné velčny se časo výrazně lší od známých eorecky sanovených neomezených rozdělení pravděpodobnos (éměř vždy nabývají konečných hodno - dskréní rozdělení). Z ohoo důvodu jsou časo zavedeny zv. ohrančené Obr..7 Dskréní ohrančené hsogramy a po čásech spojé ohrančené hsogramy. 8 9

16 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava.6 Charakersky náhodných velčn Pro pops hlavních vlasnosí náhodných velčn bylo zavedeno mnoho číselných charakersk. V následujícím exu jsou uvedeny jen y nejdůležější. rmecký průměr ( mean value ) je nejčasěj používaný sascký pojem sřední hodnoy. Pro armecký průměr je charakerscké, že jedna hodnoa, kerá se velce výrazně odlšuje od osaních, může velm ovlvn hodnou armeckého průměru ak, že vyjadřuje zcela luzorní údaje. rmecký průměr je pro da s hodnoam x defnován vzahem: x = x N.. Medán je hodnoa, jež dělí plochu hsogramu na dvě sejné polovny. Plaí, že nejméně 5% hodno je menších nebo rovných a nejméně 5 % hodno je věších nebo rovných medánu. Medán není přílš ovlvněný exrémním hodnoam na rozdíl od armeckého průměru. Medán je aké odhad sřední hodnoy, kerý mnmalzuje absoluní chybu. Medán je číslo, keré splňuje nerovnos: x x.5 a zároveň x x.5..4 Modus náhodné velčny je hodnoa, kerá se v daném sasckém souboru vyskyuje nejčasěj (hodnoa s nejvěší relavní čenosí). Modus nemusí bý určen jednoznačně (zn., že se sejnou nejvyšší frekvencí se může vyskyova více hodno). Rozpyl (éž sřední kvadracká odchylka, sřední kvadracká flukuace, varance nebo aké dsperze) vyjadřuje varablu rozdělení souboru náhodných hodno kolem její sřední hodnoy. Rozpyl je pro dskréní náhodnou velčnu defnován vzahem: x = x x p = x p x..5 Rozpyl je pro spojou náhodnou velčnu defnován vzahem: x = x x x dx = x x dx x..6 Směrodaná odchylka je kladná hodnoa odmocnny rozpylu: σ x = x..7 Varační koefcen je poměr směrodané odchylky a armeckého průměru: x = σ x = x..8 x x Dalším charakerskam jsou aké škmos, špčaos, varance, korelace aj. vz [], [64], [89], [9] až [9] aj. Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava 4. MTOD MONT CRO Kapola 4 slouží jen jako uvedení do problemaky, a proo pouze sručně uvádí a vysvěluje základní defnce a skuečnos využé v aplkační čás éo učebnce. 4. Pojem, použelnos a hsore meody Mone Carlo Meoda Mone Carlo (MC) je obecný název pro meody, keré využívají k výpočům posloupnosí náhodných čísel. Pomocí meody MC lze získa přblžná řešení různých ypů problémů, pokud lze jejch řešení vyjádř jako číselnou charakersku nějaké náhodné velčny. Tuo meodu lze použí pro řešení pravděpodobnosních deermnsckých úloh. Meoda MC může bý využa pro smulování sochasckých (náhodných) problémů, proože yo problémy jsou popsány pravděpodobnosním způsobem. Pro řešení deermnsckých problémů je řeba yo problémy převés na řešení problémů sochasckých a pak lze aplkova meodu MC. Výpoče hodnoy určého negrálu nebo řešení sousav rovnc paří mez ypcké deermnscké úlohy řešené meodou MC. Z ohoo pohledu lze meodu MC aké považova za numerckou meodu. Vlasní řešení meodou MC spočívá v mnohonásobném opakování pokusů (smulačních kroků, smulací). Odhady hledaných velčn jsou získávány sasckým zpracováním shromážděných da. Možnos aplkace meody je založena na planos zákona velkých čísel a cenrální lmní věy. Na jeho základě lze předpokláda, že emprcké rozdělení realzací náhodné velčny konverguje k eoreckému rozdělení éo velčny s rosoucím počem vzorků. Meoda MC je dnes všeobecně akcepována a sala se sandardním násrojem v mnoha oblasech. K získání výsledků (s dosaečnou přesnosí) je řeba provés velké množsví (obvykle síce až mlony) kroků a proo je generování náhodných čísel, vlasní smulace záznam a následné vyhodnocování výsledků prováděno pomocí počíače. Vzrůsající výkon a kapaca počíačů umožňuje řešení rozsáhlých úloh, vyžadujících zpracování velkého množsví proměnných a provedení velkého množsví kroků. To dovoluje řešení úloh dříve prakcky neřešelných. Sysemacké využívání a rozvoj meod MC začalo kolem roku 94, ale lze nají několk ranějších případů. Za první dokumenované použí meody MC je považován Buffonův expermen s jehlou z druhé polovny osmnácého soleí. Tehdy G. COMT de BUFFON náhodně vrhal jehlu délky na desku s narýsovaným rovnoběžkam ve vzájemné vzdálenos a na základě známé pravděpodobnos, že ako vržená jehla prone lbovolnou z rovnoběžných přímek, určl hodnou čísla π. Název meody MC byl vyvořen koncem druhé svěové války členy ýmu pracujícího na výrobě aomové bomby v rámc projeku Manhaan. Meoda byla nazvána podle známého cenra hazardních her Mone Carla, hlavního měsa knížecví Monaco. Teno název byl zvolen pro podobnos mez náhodným charakerem použých výpočeních posupů a hazardních her. Podsaou přímé (klascké) meody MC je numercká smulace předpokládaného jevu (např. chování konsrukce s možnosí jejího poškození ap.). Posup výpoču ouo meodou odpovídá ěmo krokům: V prvním kroku se vygenerují jednolvé hodnoy náhodných vsupních velčn (např. zaížení, geomere, maerálové vlasnos, ap.) v závslos na svých rozděleních pravděpodobnos. V dalším kroku se vypoče funkce spolehlvos na základě příslušného výpočového modelu.

17 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Ve řeím kroku se pak vypoče pravděpodobnos poruchy dle vzahu (.). Výhodou použí přímé meody MC je její srozumelnos, ransparennos a možnos průběžného zobrazení výsledné funkce spolehlvos pomocí hsogramu č kumulavní dsrbuční funkce. Její nevýhodou je nunos provádě velký poče smulací pro malé pravděpodobnos poruchy. Přímá meoda MC je mplemenována v počíačových programech vyvořených č použých pro aplkac meody SBR a zpracování jejch výsledků (vz kapola 6.) př řešení jednodušších nebo složějších úloh. Kromě přímé meody MC exsuje aké její modfkace např. meoda kvaz-mone Carlo, kerá vznkla ve snaze zrychl řešení přímé meody MC. 4. Generáory náhodných čísel Všechny výpočy využívající meod MC nebo smulace sochasckého ypu vyžadují generování numerckých realzací náhodných velčn s daným rozdělením. Tyo realzace jsou nazývány náhodná čísla. Jen velm omezené množsví problémů lze řeš s použím malého poču náhodných čísel. Ve věšně případů je řeba generova velké množsví náhodných čísel. Zpracování pořebného velkého množsví náhodných čísel a následných smulací výpočů je prakcky provedelné pouze s využím počíače. Požadavky na vlasnos generáoru se lší v závslos na jeho aplkac. K obvyklým požadavkům paří rovnoměrné pokryí celé množny generovaných hodno, nízká korelace mez prvky posloupnos apod. Volba generáoru náhodných čísel a způsob jeho realzace ovlvňuje rychlos výpoču přesnos výsledků. Generování náhodných čísel s požadovaným rozdělením se provádí obvykle ve dvou krocích. Nejprve je pomocí prmárního generáoru generována posloupnos náhodných, vzájemně nezávslých čísel s rovnoměrným rozdělením. Z éo posloupnos je vhodnou ransformací vyvořena posloupnos čísel s požadovaným rozdělením. Volba ransformace a způsob její mplemenace je věšnou kompromsem mez dosaženou přesnosí generovaného rozdělení, rychlosí výpoču a paměťovým nároky. Mez základní ypy generáorů náhodných čísel paří: Fyzkální generáory - pro generování náhodných čísel využívá zvolený fyzkální prncp s náhodnou charakerskou (např. házení koskou, generáor šumu ap.). Dnes se používají zřídka. Tabulky náhodných čísel - např. čísla s elefonního seznamu, sčíání ldu ap. Dnes se používají zřídka. Generáory pseudonáhodných čísel - rekurenní algormy pro generování náhodných posloupnosí. Posloupnos pseudonáhodných čísel je ve skuečnos zcela deermnscká, neboť vznká pomocí deermnsckého předem naprogramovaného algormu, avšak má náhodné vlasnos. Generovaná posloupnos je opakovaelná. Rekurenní algormy vyžadují před použím ncalzac, spočívající v zadání výchozí hodnoy nebo vekoru. Pro daný výchozí vekor je generována vždy sejná posloupnos. Př konkréní mplemenac bývá kromě možnos explcního zadání výchozího vekoru aké možnos náhodné ncalzace. Př ní je pro vyvoření vsupního vekoru použa nějaká nformace mající v podsaě éměř náhodný charaker, např. okamžá hodnoa sysémového času. Po jsém poču členů se generovaná posloupnos cyklcky opakuje. Délka ohoo cyklu se nazývá peroda pseudonáhodného generáoru. Př prakckém použí by měla bý peroda posloupnos ak dlouhá, aby př smulacích nedošlo k opakování. Generáor pseudonáhodných čísel (zv. rekurenní yp) je mplemenován aké v programu nhll, vz [64] a kapola 6. v éo prác. Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava 5. MTOD SBR (SIMUTION-BSD RIBIITY SSSSMNT) 5. Spolehlvos konsrukcí a srojních čásí V současnos jsme mmo jné aké svědky přechodu od původních předpočíačových deermnsckých meod k novým počíačovým čásečně nebo plně pravděpodobnosním meodám posudků spolehlvos nženýrských srukur. Pravděpodobnosní přísup, kerý se v současnos ve svěě bouřlvě rozvíjí, je moderním a velce perspekvním rendem současné mechanky. Mnohé základní vsupy (j. maerálové vlasnos, geomere srukury, zaížení, ad.) mají v reálných úlohách více č méně náhodný charaker (j. obvykle o nejsou deermnscké hodnoy) a mohou bý vyjádřeny pomocí hsogramů. Tyo hsogramy charakerzují velkos a čenos vsupů. Př řešení (získání výsledků) je poom aplkovaná eore pravděpodobnos a sasky a získané výsledky mají aké náhodný charaker. Pravděpodobnosní posuzování meodou SBR je v současnos aké aplkované v oblasech návrhové pravděpodobnos, vz dále. Návrhová pravděpodobnos závsí na referenční hodnoě a dále slně souvsí s mnoha dalším fakory, jako jsou fnanční náklady pořebné k realzac, údržbě, rekonsrukc, bezpečnosí, vlvu prosředí, společenské důležos, zvyklosech ap. Návrhová pravděpodobnos se edy sanovuje dle reálných požadavků zadavaele a paří do oblas moderních rendů desgnu, kerým jsou Performance- Based Desgn (PBD), fe Cycle ssessmen (C), Rsk ngneerng (R) aj. Meody PBD, C, R apod. jsou, dle mnohých odborníků, nesporně meodam budoucnos, keré povedou ke změnám od klasckých deermnsckých předpsových meod (vz např. věšna U a ČSN norem) ke kvalavně novým pravděpodobnosním meodám (pravděpodobnosním normám) spojeným s aplkací meody SBR. Mezní sav je suace, kdy konsrukce přesává vyhovova návrhovým krérím. Spolehlvos konsrukcí a srojních čásí lze ve věšně případů nerpreova jako funkc mnoha náhodně proměnných velčn, mez keré paří především vlvy: zaížení a jejch vzájemná kombnace, maerálové vlasnos a jejch vzájemná kombnace, požadavky únosnos, použelnos a rvanlvos, volba konsrukčního sysému, jednolvých prvků a konsrukčních dealů, kvala výroby, monáže a úroveň jejch konroly, údržba a předepsané konrolní prohlídky, odpovídající užívání nebo používání konsrukce č součás, přesnos ransformačních (výpočových) modelů, jné. 5. Meody pro určování spolehlvos konsrukcí a srojních čásí Př navrhování konsrukcí nebo srojních čásí je jedním z důležých úkolů posouzení spolehlvos konsrukce, př čemž spolehlvosí konsrukce se rozumí její schopnos

18 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava zachováva požadované vlasnos po sanovenou dobu echnckého žvoa. Kvala používaných meod navrhování a posuzování konsrukcí se vyvíjí s rosoucí úrovní eoreckých a prakckých znalosí a se zvyšujícím se možnosm výpočeních prosředků, vz obr. 5. a 5.. Obr. 5. Meody posudku spolehlvos. Obr. 5. Schéma rozvoje od klasckých deermnsckých meod k modernímu negrovanému navrhování a posuzování konsrukcí a srojních čásí. Meody posudku spolehlvos:. Deermnscké meody, pocházející z devaenácého soleí, jsou hsorcky nejsarším meodam pro navrhování a posuzování spolehlvos konsrukcí a srojních čásí. Výhodou ěcho meod je jejch jednoduchos. Nevýhodou ěcho meod je, že neuvažují reálné sochascké vlasnos vsupních velčn. První z nch, meoda dovolených namáhání, byla do nedávné doby nejrozšířenější a nejpoužívanější meodou pro posuzování spolehlvos všech ypů konsrukcí. Veškerá zaížení, maerálové geomercké vlasnos jsou považovány za deermnscké. Účnky zaížení S jsou nejčasěj vyjádřeny jako nejnepříznvější kombnace napěí (značeno např. jako ) od jednolvých normovaných zaížení. Dovolené (referenční) namáhání R (nejčasěj dovolené napěí ) je odvozené Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava z krckého namáhání R (nejčasěj z meze kluzu a někdy aké z meze pevnos ) poděleného součnelem bezpečnos k. Návrhová podmínka je poom vyjádřena zv. desgnovou nerovncí jako:, resp. k. 5. k V obecném případě lze podobným způsobem esova aké maxmální průhyby, naočení, vzpěr, šíření rhln č jné degradační procesy a návrhové vlasnos konsrukce nebo součás. V obecném případu edy plaí: S R, R R, 5. k kde součnel zahrnuje (prmvním způsobem) veškeré nejsoy jak na sraně zaížení, ak na sraně odolnos maerálu a geomere srukury. Tyo nejsoy jsou mplcně obsažené aké ve způsobu určování zaížení a dovolených namáhání. Koefcen je edy nejčasěj vyjádřen jako odhad míry bezpečnos. Získané výsledky mohou bý v někerých případech velm scesné (např. předmenzování nebo poddmenzování konsrukce). Nuno podoknou, že savební nženýř jž uo meodu éměř vůbec nepoužívají. však mez srojař je ao sará meoda poměrně dos rozšířená.. Polopravděpodobnosní meody vznkly ve druhé polovně dvacáého soleí z pořeby přesnějšího vysžení vlasnosí vsupních velčn, charakerzujících jednolvá zaížení, maerálové a geomercké vlasnos konsrukcí (krka deermnsckých meod). Polopravděpodobnosní meody reprezenuje především meoda dílčích součnelů, kerá je v současné době použa v mnoha normách pro navrhování konsrukcí, a je založena na koncepc mezních savů př uvažování náhodného charakeru vsupních velčn. Vsupní velčny jsou reprezenovány zv. charakersckou (normovou) hodnoou a př určování kombnace vsupních velčn jsou jejch charakerscké hodnoy upravovány dílčím součnel. Př určování hodno součnelů se předpokládají jednoduchá rozdělení vsupních velčn (normální, lognormální), jejch jednoduché vzahy (součy, součny) srovnaelný vlv všech vsupních velčn. To umožňuje poměrně snadné analycké řešení v někerých případech složých kombnací. Zanedbávání skuečných sasckých vlasnosí vsupních náhodných velčn nedovoluje přímé určení pravděpodobnos poruch apod. Pomocí součnelů jsou Obr. 5. Meoda dílčích součnelů. vyjádřeny kombnace zaížení, sav konsrukce, kvala maerálu, výrobní nepřesnos koncepce a přesnos výpočeních posupů. Základní podmínku pro posouzení spolehlvos dle meody dílčích součnelů lze vyjádř vzahem: S R, 5. vz obr. 5., kde S je návrhová hodnoa účnku zaížení a R je návrhová hodnoa odolnos řešené srukury, pro keré plaí vzahy: S S, R R. 5.4 V rovnc (5.4) je S je charakerscká (normová) hodnoa účnku zaížení, R je charakerscká hodnoa odolnos, a jsou součnele spolehlvos zaížení 4 5

19 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava a odolnos. Charakerscké hodnoy S a R jsou sanoveny na základě norem. Součnele a explcně vyjadřují nejsoy vyplývající z nepřesnosí a náhodného charakeru vsupních velčn použých modelů. I když je meoda dílčích součnelů založena na pravděpodobnosním eoreckém modelu, zůsává její nerpreace z hledska užvaele deermnsckou. Více nformací nebo krku ěcho meod je možno naléz v [66], [7], [8], [89], [9] až [9], [9], [] aj.. Pravděpodobnosní meody (někdy nazývané jako meody. úrovně) exsují jako analycké meody a smulační (přímé) meody. Do éo skupny paří aké meoda SBR, kerá využívá smulačních echnk přímé meody MC. Pravděpodobnosní meody jsou více rozebrány v kapole Jné (např. meody využívající fuzzy-pravděpodobnos aj.). Těmo meodám není v éo prác věnována pozornos. Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Konsrukce (součás) je považovaná za spolehlvou pokud. Porucha (nežádoucí sav) pak nasává pokud <. Hrance poruchy (rovnce přímky) = dělí prosor návrhových paramerů na oblas spolehlvou a nespolehlvou, vz různé nerpreace na obr. 5.4 a Pravděpodobnosní meody spolehlvos Pro určení spolehlvos konsrukcí a srojních čásí pravděpodobnosním meodam jsou nejprve defnována kréra spolehlvos na základě funkconálního vzahu mez vsupním velčnam, zvaným základní náhodné proměnné, kde,,,. Teno vzah se nazývá funkce spolehlvos (někdy aké funkce bezpečnos, funkce použelnos, funkce rezervy spolehlvos nebo aké funkce poruchy) a je v dalším exu značen jako : =,,,. 5.5 Obr. 5.5 Funkce spolehlvos (nerakce účnku funkce odolnos R a funkce zaížení S). Pravděpodobnos poruchy je daná v obecném případu -rozměrným negrálem: x =, x,, x x x x,,,, < 5.7 kde,,, je funkce sdružené husoy pravděpodobnos (pro spojé náhodné velčny) nebo sdružená pravděpodobnosní funkce (pro dskréní náhodné velčny). Inegrace je edy provedena přes celou oblas poruchy, j. přes oblas kde plaí,,, <. Podle způsobu řešení negrálu (5.7) je možno pravděpodobnosní meody posudku spolehlvos rozděl na:. nalycké meody - explcní řešení negrálu (5.7), keré je v obecném případu velm složé nebo nemožné.. Smulační meody - keré je dále možno rozděl na aproxmační (meoda FORM - Frs-Order Relably Mehod, meoda SORM - Second-Order Relably Mehod, ad., vz [] aj.), keré využívají aproxmace negrálu (5.7), a na přímé meody založené na meodě MC (meoda SBR, vz následující kapola 5.4). 5.4 Meoda SBR Obr. 5.4 Funkce spolehlvos (D hsogram nerakce účnku funkce odolnos R a funkce zaížení S). Funkce spolehlvos aké může bý defnovaná vzahem: = R S, 5.6 kde R je funkce odolnos konsrukce nebo součás (např. mez kluzu, přípusný průhyb ap.) a S je funkce účnku zaížení (např. maxmální napěí v ělese, maxmální průhyb ap.). Funkční závslos,,, předsavuje výpočový model. Výpočový model (nejčasěj analycký nebo numercký) věšnou založený na zjednodušujících předpokladech, je éměř vždy dealzací fyzkální realy. Mez smulační meody paří meoda SBR (Smulaon-Based Relably ssessmen), vyvořená s cílem využí dosupných výkonných osobních počíačů ke kvalavnímu zdokonalení posudku spolehlvos konsrukcí a srojních čásí, umožňujícímu přechod od deermnsckého k pravděpodobnosnímu pojeí posudku spolehlvos. Vývoj meody SBR započal v roce 987, vz obr. 5.. Meoda SBR řeší úlohu určení pravděpodobnos poruchy jako určení hodnoy negrálu (5.7) pomocí meody MC. Průkopníkem meody SBR je prof. Ing. Pavel MRK, DrSc., kerý je aké hlavním auorem základních publkací, vz obr Důležé nformace a zkušenos ýkající se meody SBR lze naléz např. v [7], [5] až [7], [9], [], [], [5] až [], [5], [5], [55] až [57], [64], [66], [77] až [8], [84], [85], [89] až [95], [97], [], [5], [7], [], [] a [6]. 6 7

20 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava V příloze éo normy je uvedena abulka návrhových pravděpodobnosí poruchy pro návrhovou žvonos konsrukce 8 le, vz ab. 5.. ÚROVŇ SPOHIVOSTI: NÁVRHOVÁ PRVDĚPODOBNOST PORUCHY Mezní savy únosnos: Mezní savy použelnos: Snížená: 5, j..5%.6, j. 6% Obvyklá: 7, j..7%.7, j. 7% Obr. 5.6 Základní publkace ýkající se meody SBR, vz [89], [9] až [9]. Vsupní obecně náhodné velčny, mez něž paří zaížení, mechancké a geomercké vlasnos konsrukce ad., jsou pomocí výpočového modelu ransformovány na výsupní velčny, vyjadřující složky účnků zaížení a referenční hodnoy, jež jsou zobecněním odolnos. Vsupní náhodné velčny jsou považovány za omezené (defnované na omezeném nervalu) a aproxmovány neparamerckým rozdělením (hsogramem). Teno způsob popsu dosaečně přesně vyjadřuje skuečné vlasnos reálných velčn. mprcké rozdělení výsupních velčn je získáno přímou smulací MC. V rámc jednoho smulačního kroku je pro náhodné vsupní velčny vygenerován vekor jejch realzací, vyhodnocením modelu jsou vypočeny hodnoy výsupních velčn a eno vekor, vořící jednu z možných nerakcí mez odolnosí (referenčním hodnoam) R a účnky zaížení S, je zaznamenán. Po provedení velkého poču kroků (j. smulací ), reprezenují zaznamenané vekory obecně mnohorozměrné emprcké rozdělení výsupních velčn. Spolehlvosní funkce, vz rovnce (5.6) je defnována jako funkce výsupních náhodných velčn a rozděluje R, S prosor na bezpečnou oblas (j. ) a nebezpečnou oblas (j. < ), vz aké obr. 5.4 a 5.5. Too dvourozměrné zobrazení bodů dvou velčn je v meodě SBR označováno ermínem mravenšě, jež je vořeno jednolvým body - mravenc. Vyhodnocením spolehlvosní funkce pro každý zaznamenaný vekor výsupních velčn lze zjs případy, ve kerých nerakce mez odolnosí a účnky zaížení paří do oblas poruchy. Tyo případy předsavují selhání konsrukce. Čenos případů selhání, vz rovnce (.4), určuje pravděpodobnos poruchy, kerá je základním ukazaelem spolehlvos konsrukce. Pokud je dosaečný poče smulací N, pak s dosaečnou přesnosí plaí: N =, 5.8 N Zvýšená: 8, j..8%., j..% Tab. 5. Návrhové pravděpodobnos poruchy dle normy ČSN 74, vz [5]. Z výše uvedené podsay posudku spolehlvos na základě pravděpodobnosní meody SBR vyplývá, že eno posup nevyžaduje výpoče sřední hodnoy a směrodané odchylky funkce spolehlvos an určení návrhového bodu, ndexu spolehlvos, an dalších sasckých paramerů, jež se uplaňují v pravděpodobnosních meodách nžších úrovní. kde N je poče nepříznvých savů. Vypočená pravděpodobnos poruchy je následně porovnána s návrhovou pravděpodobnosí poruchy na základě kréra spolehlvos daného nejčasěj nerovnosí:. 5.9 Pravděpodobnos je daná normou nebo jným způsobem (např. dohoda s nvesorem), vz aké ab. 5.. Návrhové pravděpodobnos poruchy jsou zpravdla zvoleny dferencovaně v závslos na významu konsrukce a druhu mezního savu. Česká národní norma pro navrhování ocelových konsrukcí [5] jako jedna z prvních na svěě zavedla možnos plně pravděpodobnosního posouzení spolehlvos ocelových konsrukcí. Obr. 5.7 Časově závslý posudek spolehlvos, vz aké [89], [9] až [9]. V případech, kdy spolehlvos konsrukce ovlvňuje časově závslá odezva konsrukce S respekve časově závslá referenční funkce R, vz obr. 5.7, lze použí k ověření 8 9

21 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava příslušné podmínky spolehlvos časově závslou funkc spolehlvos, vz např. [8], [89], [9] až [9] a [5]. Poom plaí zobecněné rovnce (5.6) a (5.9): R S, Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Například, pro požadovanou přesnos odhadu chyby = % a pro obvyklou úroveň spolehlvos dle mezního savu únosnos = 7, vz ab. 5., vyplývá z rovnce (5.) pořebný poče smulací N = Další nformace o chybách a jných způsobech sanovení odhadu poču pořebných smulací jsou uvedeny v [6]. 5.5 Přesnos a odhad chyby meody SBR Přesnos určení pravděpodobnos poruchy na základě výpoču přímou meodou MC je závslá na poču smulačních kroků. Požadavek návrhové pravděpodobnos ze srany norem může bý přísný řádově se obvykle pohybuje od do, vz ab. 5.. Ke sanovení ak malých pravděpodobnosí může bý zapořebí velkého poču smulačních kroků. Oázkou sanovení opmálního množsví smulačních kroků ve vzahu k přesnos výpoču se v mnulos zabývala řada auorů. Například HDR a MHDVN [66] a aké [6] uvádějí vzah pro odhad chyby /%/ vypočené pravděpodobnos : = N, 5. ze kerého vyplývá, že pro případ kdy N plaí. Z rovnce (5.) vyplývá vzah pro poče pořebných smulací meodou MC př zvolené chybě vypočené pravděpodobnos: 5.6 Poznámky ke spolehlvos prvků, dílců a celých sysémů Komplexní spolehlvos sysému (např. budovy, auomoblu,...) odráží jeho celkovou bezpečnos, použelnos, rvanlvos aj. požadavky. V současnos není k dspozc dosupný úplný maemacký model, kerý by popsoval komplexní spolehlvos sysému v obecném smyslu. Na základě éo skuečnos, obsahují současné normy pouze jednolvé spolehlvosní podmínky pro konsrukční prvky, dílce a čásí zn. posouzení spolehlvos je založeno na posupu, kdy se konsrukce rozdělí na jednolvé zolované prvky a y jsou pak odděleně navrženy a posouzeny. Too zjednodušení má ovšem za následek neznalos spolehlvos celého sysému. Jeden z možných, posupů jak analyzova komplexní spolehlvos celé konsrukce, je sesavení komplexního modelu konsrukce z jednolvých prvků, keré jsou mez sebou navzájem spojené buď sérově anebo paralelně (vz např. [9] a []). N = 4, 5. jejíž závslos jsou znázorněny na obr Obr. 5.9 Příklady sérových konsrukčních sysémů: a) článkový řeěz, b) kovení ve savebncví. Obr. 5.8 Pořebný poče smulací meodou MC v závslos na zvolené hodnoě a. V sérových sysémech jsou jednolvé prvky mez sebou zapojeny do sére. Porucha jednoho prvku má za následek selhání celého sysému, vz obr Mez nejčasěj se vyskyující sérové sysémy paří sacky určé konsrukce. Pravděpodobnos poruchy sérového sysému ý (v případě nulové korelace funkcí spolehlvos pravděpodobnosí poruchy jednolvých prvků =,,, ) lze vypočía z rovnce: 4 4

22 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava ý, 5.4 kde n je poče jednolvých prvků sérového sysému. Z uvedené rovnce vyplývá, že pravděpodobnos poruchy sérového sysému se zvyšuje s počem prvků a je výrazně závslá na pravděpodobnos poruchy nejslabšího prvku. U paralelních sysémů jsou jednolvé prvky mez sebou zapojeny paralelně, vz např. obr. 5.. K poruše celého sysému dojde až v případě poruchy všech prvků nebo čás prvků sysému. V případě nulové sascké závslos funkcí spolehlvos dílčích prvků, lze pravděpodobnos poruchy paralelního sysému í vypočía ze vzorce: í. 5.5 Obr. 5. Příklad paralelního konsrukčního sysému (př cesování na kole s poškozeným výpleem je ješě ve věšně případů možné bez věších problémů doje na dané míso). Výbuch v neděl 4. února 8 poškodl ř byy v pěparovém panelovém domě v Praze 8. Další dva byy pončl čásečně. dé ze znčených byů se budou moc na určou dobu přesěhova do ubyovny pařící osmé měsské čás. Do ní budou moc přesídl případní zájemc z byů, keré výbuch nepoškodl. Sak, kerý dům prohlédl, konsaoval, že př výbuchu vypadl panel z vnější sěny domu. Další dva panely v ní budou muse bý smonovány. Předsedkyně byového družsva Danela Kosková řekla, že vodu už se podařlo zapnou. Věšna ldí se podle ní do byů už vrála. Obr. 5. Příklad poškození kombnovaného (smíšeného) sysému, blíže vz nerneové sránky hp:// Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava V oblas navrhování konsrukcí a srojních čásí se čsě paralelní sysémy vyskyují zřídkakdy. Mnohem časěj se vyskyují kombnované (smíšené) sysémy, keré jsou složené z dílčích paralelních sysémů vzájemně spojených sérově. Mez yo sysémy se řadí zejména sacky neurčé konsrukce, vz např. obr. 5.. Pravděpodobnos poruchy složených sysémů lze urč posupnou redukcí na jednodušší sysémy. Posupný kolaps, kerý je velm nebezpečný a časo "nečekaný", může vznknou u konsrukcí, kde porucha někerého z prvků sysému zapříční poruchu dalších prvků. 5.7 Inegrované navrhování a další směry rozvoje problémy meody SBR Rychlý rozvoj pravděpodobnosní meody SBR, doložený sovkam publkací, vede ke hledání nových pravděpodobnosních přísupů. V rámc rozvoje éo meody jsou sudovány rozmané aplkace a možnos dovolující progresvní pravděpodobnosní posudek spolehlvos. Přpravují se návrhy nových norem, což s vyžádá "re-engneerng" ěcho dokumenů z hledska jejch návaznos na posupně vořené daabáze, smulační výpočy, aplkace MKP aj. numerckých meod ap. kuální současné směry a rendy rozvoje a aplkace meody SBR jsou:. Tvorba a upgrade počíačových programů pro aplkac meody SBR, vz například sofware nhll využý v éo prác nebo mplemenace pravděpodobnosních posupů do sávajících programů ([9], [6], [64], [77] až [79], [85], [89], [9] až [9]).. Inegrované navrhování (IN), keré je moderním rendem desgnu, jemuž paří budoucnos. Do negrovaného navrhování je možno zařad meody Performance- Based Desgn (PBD), fe-cycle ssessmen (C), Rsk ngneerng (R) aj, vz aké obr. 5.. Př navrhování se jž uplaňuje aké mnohem více měřelný vlv ekonome, socologe, ekologe, polky ap. plkace PBD obvykle začíná sanovením přípusné pravděpodobnos poškození nebo přípusné pravděpodobnos poruchy, respekve sanovením pravděpodobnos přípusného havarjního savu součás nebo konsrukčního celku (zv. Performance Requremens - reálné požadavky bezpečnos, vše po konzulac se zákazníkem, vz obr. 5.). PBD může bý aké defnován jako navrhování součásí nebo konsrukčních celků s přípusnou možnou pravděpodobnos poškození. Jná defnce PBD zní: navrhování s ohledem na užné vlasnos. Obr. 5. K defnc Performance-Based Desgn. 4 4

23 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Mnohé vsupní velčny (rozměry, maerálové vlasnos, zaížení ap.) obecně vykazují velkou varablu. Proo je návrh dle PBD vždy založen na sochasckých meodách a eor pravděpodobnos. Meoda SBR slouží jako základ pro rozvoj IN. Více nformací a aplkací IN je možno naléz v lerauře [], [], [9], [], [5], [64], [78], [79], [8], [89], [9] až [9], [], [] aj.. Zavádění nových algormů, keré souvsí se zaváděním meod Imporance Samplng (j. výběr podle důležos, kerý preferuje př smulac oblas, keré jsou pro výpoče negrálu (5.7) důležější), Srafed Samplng (j. srafkovaný výběr, na podnervalech a v každém z nch lze provés jný poče smulací př použí rovnoměrného rozdělení), an Hypercube Samplng aj. Těmo meodam je možno aké sníž pořebný poče smulací až o řád př mírném zvýšení chyby. Blíže vz [], [7], [64], [66], [4], [] aj. 4. plkace paralelních počíačů ve spojení s meodou SBR (např. využí meod doménové dekompozce, např. FTI algormus). Využí paralelních počíačů vede k razannímu zkrácení času výpoču pořebných smulací. 5. Hledání nových aplkací ve všech odvěvích vědy a echnky. Všechny řešené úlohy meodou SBR v éo učebnc jsou původní auorovy práce. Úlohy nosníků na pružném podkladu a aplkace PBD jž byly publkované v auorových knhách [] a [5]. Úplně nové jsou aké auorovy aplkace v horncví, vz kapola 9.4 a 9.5, publkované např. v časopsech [9] a [6] a na konferenc [], a aké řešení dynamckých úloh, vz kapola. Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava 6. POUŽÍTÝ SOFTWR 6. nhll Pro rozšíření meody SBR byl vyvnu český počíačový program nhll, kerý umožňuje pronknou do podsay posudku spolehlvos na základě počíačové smulace meodou MC. nhll pro Wndows předsavuje základní násroj pro výpoče spolehlvos a sasckou analýzu, vz obr. 6., a umožňuje řeš úlohy defnované sochasckým maemackým modelem a sochasckou spolehlvosní funkcí. Vsupní náhodné velčny jsou popsány buď obecným dskréním, nebo po čásech spojým rozdělením. V každém smulačním kroku jsou generovány vsupní velčny, jež jsou následně vyhodnoceny na základě defnovaného maemackého modelu, přčemž vybrané výsupní velčny jsou uchovány v podobě buď numerckých hodno, hsogramů nebo záznamu. Generování hodno vsupních velčn, výpoče modelu a záznam hodno výsupních velčn je opakováno v poču zadaných smulačních kroků N. Po výpoču N smulačních kroků lze zobraz vypočené sasky, hsogramy, pravděpodobnos, kvanly a dvourozměrné grafy. Hledaná pravděpodobnos poruchy zadané spolehlvosní funkce se určí ze vzahu (5.8). Program nhll je použý př všech úlohách řešených v éo prác, vz kapoly 7 až. Více akuálních nformací o programu nhll a jeho použí je možno naléz například na nerneovské adrese: hp:// Je zřejmé, že počíače nesporně oevřely dveře ke kvalavně značně vyššímu (pravděpodobnosnímu) pojeí posudku spolehlvos. Naskýá se oázka proč nadále používáme v projekční prax nejčasěj meody v podsaě předpsové, keré se od dávno překonaného pojeí plně deermnsckého lší? Jak známo akce vyvolá reakc. Návrh zavés pravděpodobnosní meodu míso dosavadních deermnsckých č quas-deermnsckých meod vyvolal vznk rozmaných zábran. Mez yo zábrany paří nejčasěj: nechuť uč se něco nového, slepé zamínuí bez hlubšího prozkoumání možnosí meody, srach ze sasky, slepé respekování norem a sávajících meod. I přes yo zábrany se meoda SBR sále prudce rozvíjí, šíří a využívá j sále více ldí z celého svěa. 6. MSC.Marc/Mena Obr. 6. Program nhll pro Wndows. Program MSC.MRC/Mena, vz obr. 6., slouží k numerckému řešení úloh v oblas fyzky a používá deformační varany MKP, vz eore a manuály [98], [99], [], [8] [], [], auorovy skrpa [4], [4] a řešené aplkace [4], [8] až [], [6], [], [6], [8], [9], [4] až [49], [54], [58] až [6], [6], [65]. Tímo programem je možno řeš šroké spekrum úloh saky, knemaky, dynamky, pružnos a pevnos, úloh mechanckého konaku ěles, creepu, lomové mechanky, únavy maerálu, popsu chovaní zemn a hornn, ermomechanky, přenosových jevů, dále aké problémy akusky, proudění ekun, elekromagnesmu ap. Př vlasním řešení lze uvažova různé ypy maerálů (kovy, kompozní maerály, plasy, pěny, pryže, skla, zemny aj.). Kvala a přednos ohoo 44 45

24 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava sofware spočívají především v šroké možnos řešení nelneárních úloh. Velkou pomocí př řešení komplkovaných úloh mohou bý aké adapvní změny síě, zaížení a okrajových podmínek v průběhu řešení ("dapve Meshng", "dapve oadng", "Rezonng" a "Remeshng"). Program MSC.Marc má vlasní pre & pos-procesor MSC.Mena, kerý není přímo součásí řešče MSC.Marc. Jako další plně zaměnelná a kompablní alernava pre & pos-procesoru může bý použý aké sysém MSC.Nasran/Paran. Program MSC.Marc využívá aké paralelzace (j. výpoče je možné provádě pomocí meod doménové dekompozce na více procesorech, aplkace FTI algormu). Velm výhodné je aké o, že s užvael může navíc vyvoř zv. užvaelské procedury ("User s Subrounes") v jazyce FORTRN, kerým lze zavés nové ypy elemenů, zaížení, okrajových a počáečních podmínek, nové algormy konaku ěles, vyvoř vlasní numerckou meodu řešení, defnova vlasní nové chovaní maerálu ap. Další posílení sw MSC.Marc/Mena je aké vorba dalších rozšíření v běžném programovacím jazyku Pyhon, vz kapola 6.4. Samozřejmě je možno načía soubory aké z jných pre-procesorů, nebo MKP programů. Za zmínku sojí aké o, že MSC.Marc je odborníky považován jž éměř 4. le za svěovou špčku v oblas řešení nelneárních úloh, především v oblas popsu maerálového chování, úloh velkých deformací (např. váření) a mechanckého konaku ěles. Program MSC.Marc/Mena je použý v kapolách 9 a. Více akuálních nformací o programovém balíku MRC/Mena a jeho použí je možno naléz například na nerneovských sránkách: hp:// hp:// a hp://mscsofware.cz/. Pro základní seznámení s programem MSC.Marc/Mena jsou aké vhodné česky psané učebnce [4] a [4]. 6. Mahcad Obr. 6. Program MSC.Marc/Mena. Program Mahcad je velm výkonný výpočení sysém pokrývající šrokou oblas použí (běžné echncké výpočy se zadávají přímo maemackým zápsem, jednoduchá grafka). Pro někeré specální oblas a úlohy se dodávají další rozšřující balíky. Teno program negruje ex, výpočy, grafku, echncké výkresy aj. do jednoho dokumenu, přčemž nerakvně a názorně zobrazuje výsledek výpoče. Někeré prakcké zkušenos s ímo sw jsou předvedeny např. v publkacích [5], [8], [], [4], [89], [94] a [97]. Program Mahcad je použý v kapole 9. Více nformací o programu Mahcad lze naléz například na éo nerneové adrese: hp:// Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava 6.4 Pyhon S nsalací sofwaru MSC.MRC/MNTT dosanee kvalní nerpreovaný programovací jazyk Pyhon.5. Zdrojový kód jazyka je volně dosupný a použí zdarma pro komerční účely. K dnešnímu dn dospěl Pyhon do verze., kerá je ovšem do jsé míry nekompablní s verz.5 dodávanou s produky frmy MSC Sofware. Jeho možnos jsou s jsě velm dobře vědom fanoušc lnuxových dsrbucí, kde je součásí základní nsalace. Jazyk vyvořl v roce 99 Holanďan Gudo van Rossum, s ohledem na produkvu a jednoduchos, ale současně př zachování rychlos prováděného skrpu díky vývoj v jazyce C. Pyhon ovlvnly jazyky jako Perl, BC, sp ad. K vývoj grafckého rozhraní slouží moduly Tkner v základní nsalac, wxpyhon, pro pokročlé PyGTK, PyQT nebo navní PyWn pro sysémy Wndows. V operačních sysémech sofwarového gganu Mcrosof byl Pyhon použ jako jeden z engnu WSH (Wndows Scrp Hos), dnes je celá plaforma WSH nahrazována PowerShellem. IronPyhon je mplemenován do plaformy.nt. Pyhon je plně objekově orenovaný jazyk, ale pro kraší skrpy, můžeme použí procedurální yp programování vz obr..6. Jazyk paří do akzvané case-sensve věve (Java, C, C, Ruby, ad.), pro užvaelé lnuxových dsrbucí naprosá samozřejmos, pro užvaele Wndows časý zdroj chyb a neporozumění. Další zvlášnos je odsazování logckých bloků což vede začínající programáory k psaní přehledného kódu. Nejlépe je Pyhon vhodné vyzkouše spušěním konzoly ID, kerá vypadá na první pohled prmvně, ale na základní operace je zcela vyhovující a jako všechny jazyky vycházející z unxového svěa má slnou podporu napovídání klávesou TB (abuláor). Konzolu ID může využí jako klascký kalkuláor s operáory, -, /, a ečkou jako desenným znaménkem. Pro použí maemackých funkcí jako snus, mocnna, odmocnna, Pí ad. vložíme do prvního řádku příkaz mpor mah bez uvozovek a v dalších řádcích napíšeme mah na konc ečku a zmáčkneme klávesu TB a měl bychom uvdě nabídku všech funkcí v modulu mah. Proměnné deklarujeme znakem = a prosým názvem bez háčku a čárek (j. bez dakrky), jak už bylo řečeno dříve, je řeba s dá pozor na velkos písmen (case-sensve, příklad: proměnná "Cslo" se nerovná proměnné "cslo"). Pyhonovské skrpy mají vyhrazenou příponu souborů "py" pro konzolové provedení, jeslže se programová konzola po provedení auomacky zavře a užvael nevdí výsup, je nuné přda na konec skrpu řádek "raw_npu()" ve verz a "npu()" ve verz Pyhon, konzola poom čeká na ukončení běhu ssknuím klávesy ner. Pyhonovské skrpy s příponou "pyw", kde exekuce probíhá bez prosředncví konzoly, jsou vhodné pro programy s užvaelským rozhraním nebo skrpy. Skrpy s příponou "pyw" byly použy v éo učebnc. Zvládnuí synaxe programu Pyhon je jednoduché a nvesce do naučení programovacího jazyka je dnes určě výhodná. Pro začáečníky je Pyhon jednou z nejlepších voleb jak začí pronka do ajů programování. Pyhon je vhodný aké pro y, jež se chějí seznám s objekovým programováním, keré dnes zažívá svůj vrchol. Jazyk je velm dobře zdokumenovaný a na nerneu lze nají velké množsví uorálů. Začí lze řeba na nerneu ve wkped nebo na adrese: hp:// s množsvím odkazů na další sránky a zdroje. Jelkož s Pyhon vzal příklad z mnoha jných jazyků a mnoho moderních jazyků se Pyhonem nsprovalo, bude Vám synaxe osaních jazyků přpada přnejmenším povědomá. Program Pyhon je využý v kapole (spojení meody SBR a MKP př řešení úloh dynamky návrhové výpočy zkušebního sroje pro esování únavy maerálu železnčních dvoukolí)

25 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava 7. PIKC MTODY SBR PŘI ŘŠNÍ ROVINNÝCH PRUTOVÝCH KONSTRUKCÍ Tao kapola je zaměřena na elasckou kvazsackou analýzu jednoduchých rovnných pruových sacky určých a sacky neurčých konsrukcí. Syčníky a pruy jsou považovány za deálně přímé. Pro řešení (úlohy a ) je použa eore. a. řádu a výsledky jsou porovnány. Zaížení je slové a eploní. Př výpoču se neuvažují počáeční vnřní pnuí (zbyková napěí) v maerálech pruů. 7. Teore. a. řádu pro eor malých deformací plkace eore. a. řádu souvsí s nerespekováním nebo respekováním vlvu zaížení na deformace a změnu geomere srukury nebo jejch čásí. Jeslže změny deformací a geomere vznklé vlvem zaížení jsou zanedbaelné vzhledem k rovnováze vnřních a vnějších sl, pak lze daný problém řeš podle eore. řádu (obvykle jednodušší úlohy mechanky). Jeslže změny deformací a geomere vznklé vlvem zaížení nelze zanedba vzhledem k rovnováze vnřních a vnějších sl, pak je nuné daný problém řeš podle eore. řádu (obvykle složější úlohy mechanky). Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava deformací srukury vyvolané zaížením nelze zanedba. Teore. řádu je aké dobře vysvělena a předvedena v [6]. Tabulka 7. znázorňuje vysvělení eore malých deformací v konexu eore velkých deformací (příklad veknuého nosníku zaíženého dvěma slam - původní a deformovaná sousava). Je edy zřejmé, že v případu eore. řádu a eore velkých deformací, jsou rovnce rovnováhy odvozeny z deformovaného savu srukury, vz následující příklady v kapolách 7. až 7 5. Teor. řádu lze vždy použí pro případy eore. řádu, získané výsledky jsou pak přesnější. 7. nalycké řešení jednoduché sacky určé srukury - úloha Na obr. 7. (úloha ) je znázorněna jednoduchá symercká pruová konsrukce skládající se ze dvou pruů (značeno, ). Sousava je zaížena verkální slou F. Je řeba sanov normálové síly v pruech a verkální posuv bodu (j. hodnou ) podle eore. a. řádu. Zaížení je považováno za kvazsacké. TORI MÝCH DFORMCÍ: Teore. řádu: Teore. řádu: TORI VKÝCH DFORMCÍ: Obr. 7. Jednoduchá příhradová konsrukce složená ze dvou pruů (původní a deformovaná sousava, defnce normálových sl). Zadané hodnoy: síla F /N/, délka pruů /m/, modul pružnos = = /Pa/ a příčná plocha průřezu = = /m /. Úloha je převzaa a přeložena z auorových anglckých skrp [4]. Ze syčníkové meody aplkované v bodu lze pro příslušné normálové síly a odvod rovnce: ΣF cos cos = N N = N = N, (7.) X bod Reakční momen: M = F neární závslos mez zaížením a deformacem. Reakční momen: M = F F neární nebo nelneární závslos mez zaížením a deformacem. Reakční momen: M = F F Nelneární závslos mez zaížením a deformacem. Získa řešení je poměrně Získa řešení je obvykle Získa řešení je obvykle jednoduché. složější. komplkované. Tab. 7. Vysvělení eore. a. řádu (nosník vysavený kombnovanému zaížení, příklad výpoču reakčního momenu). ΣF sn sn Y = N N F=. (7.) bod Odud vyplývá: F N = N =, (7.) sn Podle eore. řádu lze zanedba změnu geomere řešené srukury. Poom plaí, (vz. sloupec v ab.7. v závěru kapoly 7.). Pak je zřejmé, že eore. řádu dává v omo příkladu nesprávné řešení (j. normálové síly = a posunuí = ). proo musí bý eno příklad řešen podle eore. řádu (vz druhý sloupec v ab. 7.). Norma urocode, vz reference [], věnuje zvlášní pozornos omu kdy eore. řádu musí bý použa. Teor. řádu je vždy nuné použí, pokud druhoné efeky 48 49

26 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Úhel je edy neznámý a je nuné jej urč z deformační podmínky. Z rojúhelníku,, B lze odvod: cos = = =, (7.4) N N TORI. ŘÁDU TORI. ŘÁDU kde je prodloužení pruu nebo. Z rovnc (7.) a (7.4) vyplývá: cos F cos = = F sn cos sn F = an cos. Obr. 7. Funkce vyplyne: F F (7.5) Rovnce (7.5) udává nelneární závslos mez zaěžující slou F a úhlem. Podle rozvoje Maclaurnových řad lze psá: an, cos, (7.6) vz obr. 7.. Z rovnce (7.5) a (7.6) F. (7.7) Pro hledaný verkální posuv pak plaí: u = an. (7.8) an, cos a jejch aproxmace. Získané výsledky (eore. a. řádu) a jejch porovnání je znázorněno v ab. 7.. Odvozené analycké vzahy, keré jsou plané pro eor. řádu, jsou použy jako vsupní rovnce pro aplkac meody SBR v následující kapole 7.. Rovnc (7.5) lze aké řeš přesněj eračním posupem, kde vzah (7.7) lze vzí jako počáeční aproxmac, vz vzah (7.) v následující kapole 7.. N = N,, F = = sn F sn = F = Závěr: Nelze řeš podle eore. řádu! F vz aké obr. 7. Nelneární rovnce: = an cos,, proxmace: F u an =, F N = N =. sn Pro úhel lze aké použí přesnější aproxmac vzahem (7.) Závěr: ze řeš podle eore. řádu! Tab. 7. Získané výsledky (porovnání eore. a. řádu, jednoduchá sacky určá příhradová konsrukce). POZNÁMK K ŘŠNÍ ÚOHY (přídavné eploní zaížení, řešení dle eore. řádu) V případě uvažování dalšího přídavného zaížení od rovnoměrného oeplení >, j. eploa pruů se zvýší z počáeční (monážní) hodnoy /K/ na hodnou /K/, vz obrázek, pak plaí rovnce (7.) až (7.), avšak deformační podmínka (7.4) získá (dle eore. řádu) rozšířený var: cos = = =, N ( ) N kde /K / je součnel eploní rozažnos. Po dosazení do rovnce (7.) vyplyne rozšířená nelneární rovnce, kerá respekuje aké vlv rovnoměrného oeplení, vz porovnání se vzahem (7.5): F cos = ( ) cos an =, F ( ) sn ze keré lze obdobným posupem sanov hledaný úhel. Více nformací o epelných deformacích a namáhání lze naléz např. v auorových pracích [5] a [5]. Řešení sacky neurčé příhradové konsrukce zaížené aké oeplením je předvedeno v kapole 7.4 a

27 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava 7. plkace meody SBR (jednoduchá sacky určá srukura) - úloha V kapole 7. (vz. sloupec v ab. 7.) jsou odvozeny příslušné analycké vzahy pořebné pro řešení jednoduché sacky určé příhradové konsrukce dle eore. řádu. Řešená konsrukce je znázorněna na obr. 7.. Úlohou je nejprve sanovení úhlu, verkálního posuvu, příslušných normálových sl v pruech a následně výpoče napěí v pruech. Na závěr je řeba provés posudek spolehlvos pomocí meody SBR (sanov pravděpodobnos nepřípusného savu napjaos, dle mezního savu únosnos, j. pravděpodobnos s jakou bude vypočené napěí věší než mez kluzu maerálu ). Návrhová pravděpodobnos poruchy, dle mezního savu únosnos pro obvyklou úroveň spolehlvos, je např. dle ČSN Vsupní velčna: /m/: /Pa/: /m /: F /N/: R p /MPa/: Sručný pops: Délka pruů Modul pružnos pruů Plocha průřezu pruů Vnější síla ve syčníku Mez kluzu maerálu pruů Záps v SW nhll (použý Mnmum: Maxmum: Medan: Mean: hsogram): "Unform", (vz obr. 7.).8 "n-5.ds", (vz obr. 7.4). "n-5.ds", (vz obr. 7.5) 55 "dead.ds", (vz obr. 7.6) "a6-m-con.ds", (vz obr. 7.7) Tab. 7. Vsupní náhodně proměnné velčny a jejch základní charakersky (jednoduchá sacky určá příhradová konsrukce). Pě zvolených vsupních (vzájemně nezávslých) velčn náhodného charakeru a jejch záps pomocí hsogramu je uveden v ab. 7., blíže vz příloha č.. Tyo náhodné velčny musí v prax vyhovova reálným hodnoám echncké praxe. V ab. 7. jsou uvedeny základní sascké údaje a v horních uvozovkách jsou označeny hsogramy: "Unform" značí ohrančené rovnoměrné rozdělení (sandard sw nhll). "n-5.ds" značí ohrančené normální rozdělení ±5% (sandard sw nhll). "dead.ds" značí sálé zaížení, keré se mění v nervalu % (sandard sw nhll). 8.9% Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava "a6-m-con.ds" značí mez kluzu uhlíkové ocel 6 (auorem upravený spojý hsogram z dskréního hsogramu "a6-m.ds", kerý je sandardem sw nhll). Více nformací o ěcho hsogramech je možno naléz v [64], [89], [9] až [8]. Použé hsogramy s příslušným dsrbučním funkcem všech pě vsupních vzájemně nezávslých náhodně proměnných velčn jsou znázorněny na obr. 7. až 7.7. Obr. 7. Hsogram a dsrbuční funkce délky pruů ( = ±.5 m, sw nhll.6). Obr. 7.4 Hsogram a dsrbuční funkce modulu pružnos ( =.8 ±.4 Pa, sw nhll.6). Obr. 7.5 Hsogram a dsrbuční funkce plochy průřezu ( =. ±. m, sw nhll.6). Obr. 7.6 Hsogram a dsrbuční funkce verkální síly (F = 5 ± 5 N, sw nhll.6). 5 5

28 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava. Obr. 7.7 Hsogram a dsrbuční funkce meze kluzu ( 8.. MPa, sw nhll.6). Na základě vzahů z ab. 7. lze řeš zadanou úlohu. Pro prvoní odhad (násřel) úhlu F lze použí vzah (7.7), j. =. Pro další upřesnění lze z modfkované rovnce (7.5) odvod erační vzah: F F an cos cos an F acos. an (7.9). Obr. 7.9 Hsogram a dsrbuční funkce vypočeného posunuí ( =.478. m, eore. řádu, sw nhll.6). Obr. 7. Hsogram a dsrbuční funkce vypočené normálové síly ( = = 5785 N, eore. řádu, sw nhll.6). S dosaečnou přesnosí lze edy psá: F = acos. F an (7.) Pro výpoče napěí v pruech je možno použí vzah = = dsrbuční funkce znázorněné na obr. 7.. N, vz hsogram a Vzah (7.) je použý př výpočech v programu nhll, vz příloha č.. Ze zadaných vsupních hodno lze sanov hledaný úhel a následně aké posunuí a normálové síly v pruech =, vz hsogramy a dsrbuční funkce znázorněné na obr. 7.8 až 7.. Výpočy jsou provedeny pro N = smulací meodou MC. Obr. 7.8 Hsogram a dsrbuční funkce vypočeného úhlu ( =.478 ±.9 rad, eore. řádu, sw nhll.6).. Obr. 7. Hsogram a dsrbuční funkce vypočeného napěí ( = = 7.8. MPa, eore. řádu, sw nhll.6). Výsupní velčna: Sručný pops: Mnmum: Maxmum: Medan: Mean: /rad/ Úhel odklonu pruů od vodorovné osy /mm/ Posunuí bodu = /N/ Normálové síly v pruech = /MPa/ Normálová napěí v pruech Tab. 7.4 Výsupní náhodně proměnné velčny a jejch základní charakersky (sw nhll, jednoduchá sacky určá příhradová konsrukce, eore. řádu)

29 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Vypočené hodnoy výše uvedených náhodných velčn a jejch sascké charakersky jsou zapsané v ab Pravděpodobnosní analýza může bý samozřejmě aké použa pro posudek spolehlvos řešené příhradové konsrukce (nhll sofware, SBR). Funkce spolehlvos (5.6) je v omo případu defnovaná jako: =, 7. edy je defnovaná rozdílem hsogramů z obr. 7.7 a 7.. Funkce a D hsogram vs. je znázorněn na obr. 7.. Je edy evdenní, že pokud > (j. mez kluzu je věší než normálové napěí, ak se jedná o přípusný sav namáhání pod mezí kluzu. Pravděpodobnos, že nasane nepříznvý sav (j. ) počíá sw nhll podle vzahu (5.8). Z prezenovaných výsledků je zřejmé, že: =. (j. cca.46% ze všech možných savů zaěžování vyvolá namáhání nad mezí kluzu). Obr. 7. Jednoduchá sacky neurčá příhradová konsrukce složená ze ří pruů (původní a deformovaná sousava, defnce normálových sl dle eore. a. řádu). Obr. 7. Sanovení spolehlvos (eore. řádu, sw nhll.6). Na závěr lze provés posudek spolehlvos dle vzahu (5.9), kde zadaná návrhová pravděpodobnos poruchy = 7 je daná normou (např. ab. 5.) nebo dohodou s nvesorem. Plaí edy, j Řešená příhradová konsrukce edy vyhovuje zadané podmínce spolehlvos. 7.4 nalycké řešení jednoduché sacky neurčé srukury - úloha Na obr. 7. (úloha ) je znázorněna jednoduchá symercká rovnná příhradová konsrukce, kerá je sacky neurčá. Tao příhradová konsrukce se skládá ze ří pruů (značeno, a ). Sousava je kvazsacky zaížena verkální slou F, přčemž eploa pruů se rovnoměrně zvýší z počáeční (monážní) hodnoy na hodnou (j. rovnoměrné oeplení konsrukce = ). Je řeba sanov normálové síly a napěí v pruech a aké verkální posuv bodu (j. hodnou ) podle eore. a. řádu. Zadané hodnoy: síla F /N/, délky pruů =, /m/, moduly pružnos maerálu pruů =, /Pa/, součnele eploní rozažnos maerálu pruů =, / C /, příčné plochy průřezu =, /m /, eploy, / C/. Ze syčníkové meody aplkované v bodu, lze pro příslušné normálové síly, a odvod dle eore. řádu rovnce: ΣF, (7.) X cos cos bod" = N N = N " N = Σ F = N sn N sn N F. (7.) Y bod " " = Odud vyplývá: N sn N F. (7.4) = Jeslže se ve výše uvedených rovncích (7.) až (7.4) dosadí = (j. sn =, cos = ), vz aké obr. 7., pak lze odvod jednoduché vzahy pro eor. řádu. Je zřejmé, že dle eore. řádu se pruy a jen posunou a neprodlouží (j. plaí N deformační podmínka nulového prodloužení pruů a = = =. Odud vyplývá: N =. plkační vzahy plané za předpokladu planos eore. řádu jsou uvedeny v prvním sloupc ab. 7.5 v závěru éo kapoly. Pro řešení zadané sacky neurčé úlohy podle eore. řádu je nuné sesav dvě deformační podmínky, keré vyplývají z pravoúhlého rojúhelníku,, B, vz obr. 7. a 7.4. Z obr. 7.4 lze odvod např. Obr. 7.4 Odvození u cos = a an deformačních podmínek. =. Pak plaí: ( ) cos cos = N =, (7.5) N cos 56 57

30 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava 58 = = an an N N. (7.6) Po dosazení vzahů (7.5) a (7.6) do rovnce (7.4) se získá: ( ) ( ) (7.7). F an cos F an sn cos cos = = Rovnce (7.7) udává nelneární závslos mez zaěžující slou F a úhlem. Podle rozvoje Maclaurnových řad (7.6), lze vzah (7.7) zjednoduš na přblžnou rovnc: ( ) ( ) ( ) ( ) (7.8). F F F Pro řešení kubcké rovnce (7.8) je řeba nejprve sanov dskrmnan D : ( ) ( ) (7.9). F D = Proože D >, má rovnce (7.9) jen jeden reálný kořen, pro kerý plaí: ( ) ( ) (7. ). D F D F Normálové síly pak lze sanov z rovnc (7.5) a (7.6). Výsledky získané aplkací eore. a. řádu jsou zapsané v ab Odvozené analycké vzahy dle eorí.. řádu, jsou použy jako vsupní rovnce pro aplkac meody SBR v následující kapole 7.5. Pro výpoče úhlu lze aké použí přesnější aproxmac (7.), vz odvození v následující kapole 7.5. Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava 59 TORI. ŘÁDU TORI. ŘÁDU vz aké obr. 7.4 vz aké obr. 7.4, = F N, N N = =, = N u Nelneární rovnce: ( ) F an cos = proxmace: ( ) ( ) F, ( ) ( ) F D =, ( ) ( ) D F D F. Pro výpoče úhlu lze aké použí přesnější aproxmac (7.). ( ) cos cos = = N N, = an N, an = = N u Závěr: Obecně nelze řeš podle eore. řádu! Někeré výsledky jsou zavádějící. Závěr: ze řeš podle eore. řádu! Výsledky jsou přesnější než dle eore. řádu. Tab. 7.5 Získané výsledky (porovnání eore. a. řádu, jednoduchá sacky neurčá příhradová konsrukce). 7.5 plkace meody SBR (jednoduchá sacky neurčá srukura) - úloha V kapole 7.4 (vz ab. 7.5) jsou odvozeny příslušné analycké vzahy pořebné pro řešení jednoduché sacky neurčé příhradové konsrukce dle eore. a. řádu. Řešená kvazsacky zaížená konsrukce (úloha ) je znázorněna na obr. 7..

31 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Úlohou je nejprve sanovení úhlu, verkálního posuvu, normálových sl v pruech, a následně výpoče napěí v pruech,. Na závěr je řeba provés posudek spolehlvos pomocí meody SBR (sanov pravděpodobnos nepřípusného savu napjaos, j. pravděpodobnos s jakou budou vypočená napěí a věší než mez kluzu maerálu ). Návrhová pravděpodobnos poruchy, sanovená dle mezního savu únosnos pro sníženou úroveň spolehlvos, je dle ČSN Dvanác zvolených vsupních (vzájemně nezávslých) velčn náhodného charakeru a jejch záps pomocí hsogramu je uveden na následující sránce v ab. 7.6, blíže vz příloha č.. Tyo náhodné velčny musí v prax vyhovova reálným hodnoám echncké praxe. V ab. 7. jsou uvedeny základní sascké údaje a v horních uvozovkách jsou označeny hsogramy (sručné vysvělení ypů ěcho hsogramů jž bylo aké uvedeno v kapole 7.). Délka pruů = je edy daná sejným hsogramem a dsrbuční funkcí jako délka v kapole 7., vz obr. 7.. Délka pruu je daná hsogramem a dsrbuční funkcí znázorněným na obr Obr. 7.5 Hsogram a dsrbuční funkce délky pruu ( = ±. m, sw nhll.6). Moduly pružnos maerálů pruů = a jsou dané sejným hsogramem a dsrbuční funkcí jako modul v kapole 7., vz obr Plochy průřezů pruů = jsou dané sejným hsogramem a dsrbuční funkcí jako plocha v kapole 7., vz obr Plocha je daná hsogramem a dsrbuční funkcí znázorněným na obr Obr. 7.6 Hsogram a dsrbuční funkce plochy průřezu ( =. ± 8.4 m, sw nhll.6). Síla F a mez kluzu maerálu jsou dané hsogramy a dsrbučním funkcem znázorněným na obr. 7.6 a 7.7. Hsogramy a dsrbuční funkce eplo a jsou znázorněny na obr. 7.7 a 7.8. Hsogramy "emperaure-.ds" a "emperaure-.ds", vz obr. 7.7 a 7.8, byly vyvořeny auorem z několka nerneových a exových zdrojů meeorologckých měření eplo v Holandsku. Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Vsupní velčna: Sručný pops: Délka /m/: pruů, Délka /m/: pruu Modul /Pa/: pružnos pruů, Modul /Pa/: pružnos pruu Plocha /m /: průřezu pruů, Plocha /m /: průřezu pruu Vnější síla F /N/: ve syčníku Mez kluzu /MPa/: maerálu pruů Počáeční / (monážní) C/ eploa pruů Teploa zahřáých / C/ pruů (provozní eploa) /K / /K / Součnel eploní rozažnos pruů, Součnel eploní rozažnos pruu Záps v SW nhll (použý hsogram): "Unform", (vz obr. 7.) "Unform", (vz obr. 7.5).8 "n-5.ds", (vz obr. 7.4).8 "n-5.ds", (vz obr. 7.4). "n-5.ds", (vz obr. 7.5) - "n-4.ds", (vz obr. 7.6) 55 "dead.ds", (vz obr. 7.6) "a6-m-con.ds", (vz obr. 7.7) "emperaure-.ds" (vz obr. 7.7) "emperaure-.ds" (vz obr. 7.8).e-5"n-5.ds" (vz obr. 7.9).e-5"n-5.ds" (vz obr. 7.9) Mnmum: Maxmum: Medan: Mean: Tab. 7.6 Vsupní náhodně proměnné velčny a jejch základní charakersky (jednoduchá sacky neurčá příhradová konsrukce). 6 6

32 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava. C Obr. 7.7 Hsogram a dsrbuční funkce monážní eploy ( 9.8. nhll.6)., sw Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava ( ) aan cos F cos ( ) an F. (7.) Odvozená aproxmace (7.) je dosaečně přesná, j. další erace (zpřesňování) jž není nuné provádě (vše numercky ověřeno pro různé varany zadání). Vzahy (7.9), (7.) a (7.) jsou využy př výpočech v programu nhll, vz příloha č.. Ze zadaných vsupních hodno lze, dle eore. a. řádu, sanov oeplení, hledaný úhel, následně aké posunuí a normálové síly v pruech =,, vz hsogramy a dsrbuční funkce znázorněné na obr. 7. až 7.6. Výpočy jsou v programu nhll provedeny pro N = smulací meodou MC. Podle řešení dle eore. řádu je zřejmé, že = a = F.. C Obr. 7.8 Hsogram a dsrbuční funkce provozní eploy ( =.8. nhll.6)., sw Součnele eploní rozažnos ( =, ) maerálu pruů jsou dané hsogramy a dsrbučním funkcem znázorněným na obr Obr. 7. Hsogram a dsrbuční funkce oeplení ( =.6.., sw nhll.6). Obr. 7.9 Hsogram a dsrbuční funkce součnelů eploní rozažnos maerálu pruů ( = =. ± 6 C, =. ± 6 C, sw nhll.6). Počáeční odhad úhlu (j. hodnou ) lze odvod ze vzahů (7.9) a (7.): F F = D ( ) ( ) D. (7.) Pro další upřesnění lze z modfkované rovnce (7.7) odvod erační vzah: Obr. 7. Hsogram a dsrbuční funkce úhlu vypočeného podle eore. řádu ( =..84. rad, sw nhll.6). Obr. 7. Hsogram a dsrbuční funkce vypočeného posunuí podle eore. řádu ( =..4. m, sw nhll.6). 6 6

33 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Obr. 7. Hsogram a dsrbuční funkce vypočeného posunuí podle eore. řádu (..84. m, sw nhll.6). Obr. 7.7 Hsogram a dsrbuční funkce vypočeného napěí podle eore. řádu ( =. = MPa, sw nhll.6). Obr. 7.4 Hsogram a dsrbuční funkce vypočené normálové síly podle eore. řádu. ( = = N, sw nhll.6). Obr. 7.8 Hsogram a dsrbuční funkce vypočeného napěí podle eore. řádu ( =. = 4.8. MPa, sw nhll.6). Obr. 7.5 Hsogram a dsrbuční funkce vypočené normálové síly podle eore. řádu. ( = = N, sw nhll.6). Obr. 7.9 Hsogram a dsrbuční funkce vypočeného napěí podle eore. řádu ( = MPa, sw nhll.6). Obr. 7.6 Hsogram a dsrbuční funkce vypočené normálové síly podle eore. řádu. ( = N, sw nhll.6). Obr. 7. Hsogram a dsrbuční funkce vypočeného napěí podle eore. řádu ( = MPa, sw nhll.6). N Pro normálová napěí v pruech plaí vzahy = = N, = vypočené hsogramy (dle eore. a. řádu) jsou znázorněny na obr. 7.7 až 7.. a jejch Vypočené hodnoy, sanovené pro výše uvedené náhodné velčny, a jejch sascké charakersky jsou zapsané v ab

34 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Výsupní velčna: / C/ /rad/ /mm/ = /N/ /N/ = /MPa/ /MPa/ Sručný pops: Rovnoměrné oeplení konsrukce Úhel odklonu pruů, od vodorovné osy Posunuí bodu Normálové síly v pruech, Normálová síla v pruu Normálová napěí v pruech, Normálové napěí v pruu Výpoče dle eore:. a. řádu: Mnmum: Maxmum: Medan: Mean: řádu:. řádu: řádu: řádu: řádu: řádu: řádu: řádu: řádu: řádu: řádu: řádu: Tab. 7.7 Výsupní náhodně proměnné velčny sanovené dle eore. a. řádu a jejch základní charakersky (sw nhll, jednoduchá sacky neurčá příhradová konsrukce). Výše uvedenou pravděpodobnosní analýzu lze využí pro posudek spolehlvos řešené srukury (sw nhll, meoda SBR). Funkce spolehlvos (5.6) jsou v omo případu defnované dvěma vzahy jako: =, =, 7. proože je v omo příkladu nuno řeš posudek spolehlvos v pruech, (j. ) a v pruu (j. ). Funkce spolehlvos jsou edy defnované rozdílem výše uvedených hsogramů. Na obr. 7. až 7. jsou uvedeny funkce a D hsogramy vs. a vs. pro eor. a. řádu. Je edy evdenní, že pokud > a > (j. mez kluzu je věší než normálová napěí, ak se jedná o bezpečný sav namáhání pod mezí kluzu. Obr. 7. Funkce spolehlvos dle eore. a. řádu (sw nhll.6). Obr. 7. D hsogram vs. dle eore. a. řádu (sw nhll.6). Vzhledem k omu, že vypočená napěí jsou vždy menší než, pak dle eore.. řádu plaí pro všechny zvolené záěžné savy >, j. nulová pravděpodobnos nepřípusného savu v pruech a, vz obr. 7.. Pravděpodobnos,, že nasanou nepříznvé savy (j., ) počíá sw nhll podle vzahu (5.8), vz obr. 7. až 7. a výsledky v ab = = Obr. 7. D hsogram vs. dle eore. a. řádu (sw nhll.6). Sručný pops: Pravděpodobnos, že v pruech, vznknou plascké deformace (j. ) Pravděpodobnos, že v pruu vznknou plascké deformace (j. ) Výpoče dle eore: Vypočená pravděpodobnos nepřípusného savu:. řádu:. řádu:. řádu: řádu: Tab. 7.8 Vypočené pravděpodobnos nepřípusného savu dle eore. a. řádu (sw nhll.6, jednoduchá sacky neurčá příhradová konsrukce). Z prezenovaných výsledků je zřejmé, že: =. (j. cca.479% ze všech možných savů zaěžování vyvolá dle eore. řádu namáhání nad mezí kluzu). Dále je možno sanov procenuální rozdíl výpoču % /%/ dle eore. řádu pro medánové hodnoy z ab. 7.8, podle vzahu: 66 67

35 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava % x.řá x.řá x.řá, 7.4 kde x.řá je příslušná medánová velčna vypočená dle eore. řádu a podobně x.řá je příslušná medánová velčna vypočená dle eore. řádu. Vypočené procenuální rozdíly jsou zapsané v ab V závěru ab. 7.9 jsou aké uvedené procenuální rozdíly pravděpodobnos havarjních savů dle eore. řádu. Sručný pops: % /%/ Procenuální rozdíl výpoču úhlu dle eore. řádu sanovená pro medánové hodnoy Procenuální rozdíl výpoču posunuí dle eore. řádu sanovená pro medánové hodnoy Procenuální rozdíl výpoču normálové síly = dle eore. řádu sanovená pro medánové hodnoy Procenuální rozdíl výpoču normálové síly dle eore. řádu sanovená pro medánové hodnoy Procenuální rozdíl výpoču napěí = dle eore. řádu sanovená pro medánové hodnoy Procenuální rozdíl výpoču napěí dle eore. řádu sanovená pro medánové hodnoy..... Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava 8. PIKC MTODY SBR PŘI ŘŠNÍ NOSNÍKŮ N PRUŽNÉM PODKDU Tao kapola je zaměřena na lneární analýzu různých ypů přímých nosníků uložených na pružném podkladu. Řešené příklady (úlohy až 7) jž byly auorem publkované v pracích [5] až [7], [] až [], [5], [7] až [], [4], [5], [5], [5], [5], [55] až [57] a [9]. Př řešení se neuvažuje vlv počáečního vnřního (zbykového) pnuí v maerálu nosníku. 8. Úvod do eore nosníků na pružném podkladu Základní nformace o problemace nosníků na pružném podkladu lze naléz v auorových monografích [], [5] a skrpech [5] a [7]. Mez další významné publkace souvsející s nosníky na pružném podkladu paří sarší (avšak sále hojně covaná) knha [67] a nová knha [96]. Přehled současných způsobů řešení problemaky nosníků na pružném podkladu je aké v článku []. Dobrým zdrojem nformací o konsrukcích na pružném podkladu jsou aké webové sránky konference MSF, vz hp://aplmech.vsb.cz/msfe/docs/pdf/, kde jsou aké hodnoné články [], [76], [5], [68], [88], [], [8], []. Mez sacky neurčé úlohy mechanky paří aké nosník na pružném podkladu (podloží). Je o nosník, kerý může bý podepřen podložím buď po celé délce a šířce (obr.8.), nebo jen na délce a šířce někerých úseků (obr.8.). Podloží je spojé prosředí, keré je v obrázcích značeno zakreslením šrafování ypu: nebo. Procenuální rozdíl výpoču pravděpodobnos nepříznvého savu dle eore. řádu Procenuální rozdíl výpoču pravděpodobnos nepříznvého savu dle eore. řádu. Tab. 7.9 Procenuální rozdíl někerých výsledků dle eore. řádu v porovnání s eorí. řádu (jednoduchá sacky neurčá příhradová konsrukce). Ze závěrů je zřejmá oprávněnos použí eore. řádu, kerá dává výsledky blžší realě. larmující je hlavně chyba výpoču pravděpodobnos nepříznvého savu dle eore. řádu, kerá je. %. Posudek spolehlvos řešené sacky neurčé konsrukce (dle eore. řádu) lze sanov aplkací vzahu (5.9):, j Je edy zřejmé, že řešená jednoduchá konsrukce splňuje požadovanou spolehlvos. Obr. 8. Schéma zaížení nosníku Obr. 8. Schéma nosníkové a pruové srukury mosu (uložení na podkladu po celé délce ). (uložení na podkladu pouze na úsecích délky ). Nosníky na pružném podkladu se v prax vyskyují například u železnce (kolejnce uložené na pražcích, vlaková nebo ramvajová doprava), ve savebncví (porubní sysémy zakopané v podloží, základy budov nebo srojů). Typckým příkladem nosníků nebo rámů na pružném podkladu jsou aké důlní výzuže nebo výzuže v unelech č jných podzemních prosorách č vyzužení př výkopových pracích. S nosníky na podkladu je možné seka se aké př různých sporech, např. lyže č snowboard lze pokláda za dynamcky namáhaný nosník proměnlvého průřezu a varu uložený na podkladu (uhlazený nebo čersvě napadaný sníh). Také kořenový sysém sromů uložený v zemně, je vhodným příkladem složého sysému nosníků komplkovaných varů uložených na podkladu. Vodní hladnu lze aké chápa jako pružný podklad a poom někeré čás lodí nebo ponorek lze v prvoním přblížení pokláda za ělesa uložené na pružném podkladu. Dno lod se čásečně ponoří do vodní hladny a prohýbá se vzlakem vody. Podobně používají aké vojác eore nosníků na pružném podkladu př výpoču namáhání mosních plovoucích pononových konsrukcí pro ženjní vojsko. Zajímavé jsou aké aplkace v bomechance aj. Běžné příklady z praxe lze 68 69

36 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava značně zjednoduš zavedením vhodného modelu podkladu a pak je možné v někerých případech jednoduchým způsobem získa analycké řešení. Základní pružný podklad zv. obousměrný Wnklerův (poprvé publkovaný v Praze v r. 867, vz [9], a aké [], [5], [5] [67] a [96]), dále jen Wnklerův podklad, je nejsarším a nejjednodušším modelem podloží. Případné možné plascké deformace podloží se neuvažují. Wnklerův model předpokládá, že spojě rozložená reakce v podloží q q /Nm / je přímo úměrná průhybu = /m/, kde /m/ značí souřadnc ve směru sředncové osy X nosníku. Vlasnos Wnklerova modelu pružného (elasckého) podloží je charakerzována konsanou úměrnos / / nazvanou koefcen slačelnos podloží. Plaí vzah: q =. (8.) Konsanu úměrnos lze urč podle rovnce: = b, (8.) kde /Nm / je modul slačelnos podloží a b /m/ je šířka nosníku, kerá je v nerakc s podložím. Podloží edy působí jako sousava nekonečného poču soumezných a vzájemně nezávslých pružnových podpor, keré mohou obecně působ v kladném záporném směru souřadncové osy Y, vz obr. 8. (spojá reakce q může působ na nosník v kladném záporném směru). Možnos, že by se nosník vlvem zaížení oddáll nebo uvolnl od podloží se u ohoo modelu nepřpouší. Nosník edy pevně přlne k podloží. Základní Wnklerův model pružného podkladu paří mez zv. jednoparamercké modely s lneární odezvou. Modul slačelnos podloží je základní maerálovou konsanou podloží a má velký vlv na sanovení koefcenu slačelnos podloží. Hodnoy konsany mohou mí značný rozpyl. Modul slačelnos podloží závsí aké na kvalě a úpravě podloží a někdy aké na délce a šířce uložení nosníku a aké na hloubce a srukuře podkladu. Další důležé nformace a meody sanovení konsany a jejch závslosech jsou uvedeny v [] nebo [5]. Ze zaěžovacích zkoušek podloží je zřejmé, že pro menší slačení respekve nžší zaěžovací laky je dosaečně přesná lneární aproxmace chování podloží. Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava kde: q = q /Nm / je spojé zaížení (nenza síly), = /N/ je spojě rozložený momen (nenza momenu), = a = / C/ nebo /K/ jsou eploy v dolních a horních vláknech nosníku a h /m/ je výška průřezu nosníku. Příčné oeplení s kladným eploním spádem je defnováno, jeslže pro eploy plaí: >, vz obr. 8.. Důsledkem zaížení je přemísění bodů, do nové polohy (, ) o průhyby,, přčemž vznkne reakční síla podloží q a aké se ndukují vnřní sacké účnky (normálová síla = /N/, posouvající síla = /N/ a ohybový momen = /Nm/). Pro normálovou sílu plaí: > pro ahové zaížení a < pro lakové zaížení. Posup př odvození výsledné dferencální rovnce nosníku na pružném podkladu není přílš složý a je uveden s vysvělvkam v obr. 8.4, přčemž oo odvození plaí za předpokladu, že paramery,, h jsou konsanní, kde /Pa/ je modul pružnos v ahu pro maerál nosníku, // je součnel rozložení smykového napěí po průřezu nosníku, /m / je hlavní kvadracký momen průřezu nosníku počíaný k hlavní cenrální ose Z (prochází ěžšěm), /Pa/ je modul pružnos ve smyku pro maerál nosníku, /m / je plocha příčného průřezu nosníku, /K / nebo / o C / je součnel eploní rozažnos nosníku. Před zaížením: Po zaížení: Obr. 8. Sav obecného zaížení úseku nosníku délky na pružném podkladu. Jeslže nosník na obr. 8. vyhovuje podmínce rovnného ohybu a eor malých deformací, vz např. [], [4], [5] [69] a [86], pak dferencální rovnc průhybové čáry lze sesav z podmínek rovnováhy sl a momenů působících na elemen nosníku (zv. Swedler-Žuravského vě resp. Schwedlerových věy a rovnce ohybu), vz schéma na obr. 8., Obr. 8.4 Odvození dferencální rovnce přímého nosníku uloženého na obecném podkladu. 7 7

37 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Dferencální rovnce nosníku uloženého na obecném ypu podkladu má (dle odvození v obr. 8.4) následující var (8.6). Po dosazení Wnklerova vzahu (8.) do (8.6) vyplývá obecná lneární nehomogenní dferencální rovnce čvrého řádu, kerá má konsanním koefceny: J ZT 4 d v β kj 4 dx G ZT d v N kv = dx dm dx β J G d q J dx h ( ) ZT ZT q d dx. (8.7) Rovnce (8.7) plaí pro obousměrný Wnklerův podklad. Obecné řešení rovnce (8.7) a konkréní prakcké aplkace jsou uvedeny v [], [5] a [5]. Ve složějších případech, kdy se neuvažuje, že nosník a podloží k sobě pevně přlnou, j. ke slačení v podloží dojde jen ehdy, když je průhyb kladný, poom lze zavés modfkované (jednosměrné) Wnklerovo podloží, keré je aké řešeno v [5] (aplkace eračního posupu spojeného s řešením nelneární úlohy pomocí MKP). Jednosměrné podloží není dále v éo knze uvažováno. 8. plkace meody SBR (porovnání deermnsckého a pravděpodobnosního přísupu řešení nosníků na pružném podkladu) - úloha Veknuý nosník délky (obdélníkového průřezu b h), kerý má volný konec, je po celé délce uložený na pružném podkladu. Nosník je aké po celé délce zaížený rojúhelníkovým zaížením q q /, vz obr Úlohou je edy určení maxmálního průhybu, maxmálního ohybového Obr. 8.5 Veknuý nosník délky je po celé délce uložen na pružném podkladu. Nosník je po celé délce zaížený rojúhelníkovým spojým zaížením q q /. momenu, maxmální posouvající síly, maxmálního ohybového napěí a maxmálního smykového napěí. Úlohu je řeba řeš deermnsckým (klasckým) přísupem a pravděpodobnosním přísupem. Výsledky obou posupů je aké řeba porovna. Deermnscký přísup: Pravděpodobnosní přísup: q Nm q q q b.6 m b b b h.5 m h h h.97 m.79 Pa Nm Tab. 8. Zadání úlohy. Tab. 8. Zadání úlohy. Paramery deermnsckého řešení jsou dané konsanam, keré jsou zapsané v ab. 8. a paramery pravděpodobnosního řešení (j. zápsy pomocí hsogramů) jsou zapsané v ab. 8. a ab. 8.. V ab. 8. a 8. značí dolní ndex DT deermnscký přísup Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava a dolní ndex PRO značí pravděpodobnosní přísup. Více nformací o použých hsogramech lze naléz např. v [89] a [9] až [9]. Pravděpodobnosní přísup: q v = dv dx M o ( x) k Tab. 8. Zadání úlohy (použé hsogramy sofware nhll). q ( cosω ωsnω) qcosω B= k ω( cosω cosh ω ) k( cosω cosh ω ) B= B snh B = q( coshω ωsnhω ) qcoshω B4= k ω( cosω coshω ) k( cosω coshω ) B snωx B B cosωx B 4 snωx cosh coshωx cos ωx B [ ω( x) ] ω = 4 = ω B coshωx B snhωx cos k = B ω k T = B ω snhωx B coshωx sn 4 cosωx cosh [ ω( x) ] k 4J ZT q q = ( x) [ ω( x) ] B snhωx B coshωxsn[ ω( x) ] [ ω( x) ] B cosωx B snωx snh[ ω( x) ] 4 q k [ ω( x) ] B cosωx B snωxsnh[ ( x) ] 4 ω B coshωx B snhωx sn 4 cosωx B snωx snh Sručný pops hsogramu: q " dead.hs" Posunué ohrančené normální rozložení [ ω( x) ] B coshωx B snhωx cos[ ω( x) ] [ ω( x) ] B cosωx B snωx cosh[ ω( x) ] Tab. 8.4 plkační vzahy pro veknuý nosník uložený po celé délce na pružném podkladu. Nosník je aké po celé délce zaížený rojúhelníkovým zaížením q q /. Řešení plané na nervalu ;. Obecné řešení (j. rovnce průhybu, naočení, ohybových momenů a posouvajících sl) je auorem odvozeno v [] nebo [5], vz aké ab. 8.4, kde B až /m/ jsou negrační konsany. Ze zadaných paramerů a rozboru ab. 8.4, vyplývá pro maxmální průhyb: % 8.% na nervalu.88; b " n.hs" h " n.hs" Ohrančené normální rozložení ±% na nervalu.97;. " n.hs" Ohrančené normální rozložení ±% na nervalu.99;. " n 5.hs" Ohrančené normální rozložení ±5% na nervalu.85;.5 " n.hs" Ohrančené normální rozložení ±% na nervalu.7;. 4 B 4 7 7

38 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava MX 4 ( = ) = B snh ω B cosh ω B snω B cos ω v = v x, (8.8) maxmální ohybový momen: ( k Mo = M = ) = B snhω B snω MX o x ω, (8.9) maxmální posouvající sílu: k T MX = T( x = ) = B cosω B snω B coshω B4 snhω, (8.) ω maxmální ohybové a smykové napěí: 6M o MX T σ MX =, τ MX MX = (8.) bh bh Obr. 8.6 Průběh rovnc průhybu a naočení Obr. 8.7 Průběh rovnc ohybových momenů (deermnscký přísup). a posouvajících sl (deermnscký přísup). Pro deermnscké řešení (zvoleno maxmální zaížení a sřední hodnoy osaních velčn) pak plaí výsledky zapsané v ab Průběh rovnc průhybu, naočení, ohybových momenů a posouvajících sl (pro deermnscký přísup) je znázorněn na obr. 8.6 a Deermnscký přísup: k 5 DT = KDTbDT = 7.8 Pa B =.485 m 4 B =.7896 m k K DT DT MX DT ω DT = 4 = 4 =.647 m τ MX DT = 4.94 MPa 4 DT J ZT DT DT h DT bdth DT v MX DT M o T = B DT B snh DT ( ω ) B DT cosh( ω ) sn DT = T ( ω ) B4 DT cos( ω ) =.787 m DT DT DT kdt = B DT snh MX DT DT DT DT DT ω MX DT k = ω DT DT DT B DT B cos 4 DT DT DT DT DT ( ω ) BDT sn( ω ) =.85 Nm ( ω ) B DT sn( ω ) B DT cosh( ω ) snh DT DT ( ω ) = N DT 6M o MX DT 6 DT σ MX DT = B =.9544 m = Pa = MPa b DT h DT B 4 = m Tab. 8.5 Výsledky deermnsckého řešení úlohy. Př aplkac pravděpodobnosního přísupu, vz příloha č., byl použ sofware nhll. Výpočy byly provedeny pro N smulací (a aké pro N = 4 smulací pouze pro průhyb po celé délce) meodou MC. nalogcky jako v ab. 8.5 bylo použo vzahů = b ap., keré respekují vlv hsogramů (j. vlv pravděpodobnos). Př pravděpodobnosním přísupu jsou vsupní výsupní hodnoy dané ohrančeným hsogramy dle zadání (ab. 8. až 8.) a přílohy č., vz obr. 8.8 až 8.. DT DT DT DT Obr. 8.8 Hsogramy spojého zaížení q a uhos podloží (pravděpodobnosní přísup v porovnání s deermnsckým hodnoam q a, sw nhll.5). Obr. 8.9 Hsogramy maxmálního ohybového momenu a maxmální posouvající síly (pravděpodobnosní přísup v porovnání s deermnsckým hodnoam a, sw nhll.5). Obr. 8. Hsogramy maxmálního ohybového napěí a maxmálního smykového napěí (pravděpodobnosní přísup v porovnání s deermnsckým hodnoam a, sw nhll.5)

39 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Obr. 8. Hsogram maxmálního průhybu (pravděpodobnosní přísup v porovnání s deermnsckou hodnoou, sw nhll.5). Průběh rovnce průhybu po celé délce nosníku je vykreslen na obr. 8.. Obr. 8. Průběh rovnce průhybu po celé délce nosníku (pravděpodobnosní přísup, porovnání maxmálního průhybu s deermnsckou hodnoou, sw nhll.5). Porovnání deermnsckého pravděpodobnosního přísupu je vdě z obr. 8.8 až obr. 8. a aké z ab. 8.6, kde operáor značí pravděpodobnos. Velčna : Deermnscký přísup: Pravděpodobnosní přísup: Mnmum: Sřední hodnoa: Maxmum: Pravděpodobnos (porovnání) : q /Nm - /: /MPa/: /MPa/: /MPa/: /mm/: Tab. 8.6 Porovnání výsledků deermnsckého a pravděpodobnosního přísupu řešení úlohy. Ze získaných výsledků je zajímavé aké o, že když př deermnsckém přísupu bylo uvažováno maxmální zaížení (exrémní suace), ak přeso výsledky Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava pravděpodobnosního přísupu dávají v někerých suacích vyšší napěí průhyby! Například pravděpodobnos, že je edy.885, což je 88.5 %. Je edy zřejmé, že v.5 % je maxmální průhyb věší než deermnscká hodnoa, přčemž maxmální průhyb může bý až.99 mm. Z řešeného příkladu je zřejmé, že pravděpodobnosní přísup dokáže respekova možné varace vsupních výsupních hodno, což je velm blízké realě. Naopak deermnscký přísup o ze své podsay neumožňuje vůbec. V závěru výpočů může bý sanovena spolehlvos řešeného nosníku na pružném podkladu (naznačeno řešení). Funkce spolehlvos (dle mezního savu únosnos) pak lze defnova ze vzahu (5.6) například jako: =, =, (8.) kde je mez kluzu maerálu nosníku v ahu a je mez kluzu maerálu nosníku ve smyku, keré mají obecně aké sochascký charaker. Pro příslušné pravděpodobnos nepříznvých savů (pravděpodobnos j. vznku plasckých deformací v nosníku) pak, dle kapoly až 5, plaí: =, =. (8.) Následně, ze vzahu (5.9) vyplývá krérum spolehlvos (dle mezního savu únosnos):,. (8.4) Obdobně, lze aké sanov posudek spolehlvos dle mezního savu použelnos (vše vzaženo k průhybům nosníku): =, (8.5) =, (8.6), (8.7) kde je dovolený průhyb (souvsí s ypem konsrukce). Pro veknuý nosník obvykle plaí: = plkace meody SBR (porovnání deermnsckého a pravděpodobnosního přísupu řešení nosníků na pružném podkladu) - úloha 4 V úloze 4 je předvedeno zjednodušené (kvazsacké) řešení přejezdu auomoblu (Ford Trans model MWB 45 N) po mosu. Na obr. 8. je znázorněna řešená konsrukce jednoduchého krákého mosu s rozpěím, jehož oba konce jsou uloženy po délce na železobeonovém pružném (Wnklerově) podloží. Železobeonové podloží, jako pružný podklad (j. dealzace skuečnos), věšnou dává přesnější výsledky než klascké řešení, keré věšnou používá absoluně uhé podpory (j. aké ješě hrubší dealzace skuečnos). Na železobeonovém podloží jsou uloženy ř nosné profly I, vz obr. 8.. ze zjednodušeně předpokláda, že na každý nosník působí řena veškerého zaížení (j. na každý nosník působí osamělé síly F, F a aké konsanní spojé zaížení q = q ), vz obr Síly F a F, keré mají rozeč =, jsou vyvolány pohybem auomoblu po vozovce mosu. V prvním přblížení lze nosník považova za nekonečně dlouhý (přjaelné zjednodušení). Zadáním úlohy 4 je určení maxmálního průhybu a maxmálního ohybového napěí, a o deermnsckým (klasckým) posupem a pravděpodobnosním přísupem

40 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Dáno:,, F, F,,,,, vz ab. 8.7 až 8.8 (kde dolní ndex DT znamená deermnsckou hodnou a dolní ndex PRO znamená sochasckou hodnou), a aké odkazy [5], [] [5], [6] a []. Deermnscký přísup k řešení ohoo příkladu vychází z provozního zaížení a koefcenů daných normam [4] až [6]. Deermnscký přísup: Pravděpodobnosní přísup: q =. Nm. q = Nm b =.9 m b =.9 ± 9 m h =. m h =. ± m =.54 m =.54 ±. m = 4 m = 4 ±.8 m. F = 978. N F = 8.. N. F = 978. N F = 8.6. N =.8 Pa =.8 ±.4 Pa =.6 m =.6 ± m =.5 Pa =.58.. Pa Tab. 8.7 Zadání úlohy 4. Tab. 8.8 Zadání úlohy 4. Obr. 8. Schéma geomere a základního zaížení jednoduchého mosu uloženého na pružném podkladu... Obr. 8.5 Hsogramy verkálních síl F = 8.. N a F = 8.6. N (pravděpodobnosní přísup, sw nhll.5). Obr. 8.4 Schéma geomere a zaížení nosníku jednoduchého mosu uloženého na pružném podkladu. Pravděpodobnosní přísup k řešení, kerý lépe zohledňuje vlv varably dynamckých účnků (pojezd auomoblu, vlv věru a zeměřesení), geomerckých rozměrů a maerálových paramerů, umožňuje lepší posouzení z hledska spolehlvos. Pro pravděpodobnosní přísup byl použ program nhll. Záěžné účnky (F, F, q), geomercké charakersky (b, h,,,, ), maerálové paramery (, ) a další charakersky jsou v omo případě dané nebo dopočené pomocí hsogramů, vz obr. 8.5 až 8.7. Hsogramy sl F, F a spojého zaížení q v sobě zahrnují aké vlv zaížení věrem, dynamckého účnku pojezdu auomoblu, vlv hmonos maerálu a auomoblu a aké vlv případného slabého zeměřesení.. Obr. 8.6 Hsogramy spojého zaížení q = Nm a délky = 4 ±.8 m (pravděpodobnosní přísup, sw nhll.5). Obr. 8.7 Hsogram koefcenu ložnos =.58.. Pa (pravděpodobnosní přísup, sw nhll.5)

41 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Pro prakcké řešení je vhodné využí odvozených a upravených vzahů z auorovy knhy [5] Z rozboru zaížení je zřejmé, že nosné I-profly jsou nejvíce namáhané jeslže jedna náprava plně naloženého auomoblu (Ford Trans model MWB 45 N) je v polovně délky mosu (j. když = a ), vz aké obr. 8.8, kerý znázorňuje nejnepříznvější varanu průběhu ohybového momenu. Vzahy pro maxmální průhyb, kerý je aké uprosřed mosu (j. když = a ) a maxmální napěí jsou zapsané v ab. 8.9, kde /m W o / je modul odporu průřezu v ohybu, v /N m/ a M /m/ jsou pomocné konsany. Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava. Obr. 8.9 Hsogramy maxmálního průhybu.9. mm a maxmálního. ohybového napěí =4.87. MPa (pravděpodobnosní přísup, sw nhll.5). Porovnání deermnsckého a pravděpodobnosního přísupu je uvedeno v abulce 8., kde jsou vdě deermnscké hodnoy (dolní ndex DT ) pravděpodobnosní hodnoy (dolní ndex PRO ) někerých velčn. Operáor značí pravděpodobnos. V posledním sloupc ab. 8. je edy uvedena pravděpodobnos, pro kerou je deermnscká hodnoa menší než pravděpodobnosní hodnoa. Obr. 8.8 Průběh ohybového momenu v nosníku jednoduchého mosu čásečně uloženého na pružném podkladu (nejvěší záěžný sav, deermnscký přísup k řešení). v σ MX MX = ω n v = F e vf = M M Kb 4J ( ω ) cos ω ( ω ) 4 4 ( ω 6ω ω 4) q( ω 8ω 4ω 48ω 96) 4F e ω n F W ω 4 k = K b ZT n cos ω n sn ω W q ( ) ( ω 6ω ) ω o v ω = 4k o n J W ZT o = h sn ω n 96k = M 8ω ω ( ) Tab. 8.9 Vzahy pro nejvěší průhyb a nejvěší napěí v nosníku jednoduchého mosu čásečně uloženého na pružném podkladu (nejvěší záěžný sav, řešení úlohy 4). Tab. 8. Porovnání výsledku deermnsckého a pravděpodobnosního přísupu k řešení úlohy 4. Zajímavé jsou výsledky vzájemného porovnání hlavně u maxmálních ohybových napěí. Je zřejmé, že skuečné napěí (získané z pravděpodobnosního přísupu) může bý věší než deermnscké (získané dle norem) s pravděpodobnosí.54, j. s pravděpodobnosí 54%, což je poměrně závažný fak! však vzhledem k nízkým hodnoám napěí nebudou ocelové nosníky namáhané nad mezí kluzu. Získané výsledky mohou slouž ke sanovení bezpečnos konsrukce například dle rovnc (8.) až (8.7). Pravděpodobnosní posudek bezpečnos konsrukce nabízí v omo případě nesporně vysžnější vyjádření reálných charakersk zaížení, geomere, maerálu nosníku a podloží a aké kvalavně dokonalejší vyšeření vzájemné kombnace záěžných účnků, než je omu u klasckého deermnsckého posudku bezpečnos konsrukce. Výpočy obdobně zaížených nosníku polonekonečné a konečné (reálné) délky jsou předvedeny aké v auorových knhách [] a [5].. Hledané výsledky (j. maxmální průhyb =.9. mm a maxmální. ohybové napěí =4.87. MPa) získané z programu nhll pro N = smulací meodou MC, jsou znázorněny na obr

42 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava 8.4 plkace meody SBR (posudek spolehlvos nosníků na pružném podkladu) - úloha 5 Vsupní velčny: Úloha 5 souvsí se sanovením pravděpodobnosního posudku spolehlvos nosníku konečné délky, kerý je uložen po celé délce na pružném podkladu. Na nosník aké působí obecných svslých sl v obecných vzdálenosech, vz obr. 8.. Př pravděpodobnosním posudku je řeba provés porovnání maxmálních ohybových napěí vůč mez kluzu. Nosník je vyroben z uhlíkové ocel 6. Zaěžující síly (F, poče n 4) a jejch příslušné polohy ( ), dále rozměry a průřezové charakersky nosníku (b, h,, Obr. 8. Schéma nosníku zaíženého slam F (,,,n), kerý je uložený po celé délce na pružném podkladu. Záps v programu nhll: ), maerál nosníku (, ) a modul slačelnos podloží ( ) jsou dané hsogramy, vz ab. 8. a aké obr a 8. až 8.. Mn.: Mean: Medán: Max.: /Pa/.8 "n-5.ds" b /mm/.9"n-.ds" h /mm/."n-.ds" /m /.6 "n-8.ds" /MPa/ "a6-m-con.ds" /Nm /.5 "n-.ds" /m/ "n-.ds".9... /m/ "n-5.ds".9... /m/ "n-.ds" /m/ 4"n-.ds" /m/ 5"n-.ds" F /N/ 5. "dead.ds" F /N/ 7. "long.ds" F /N/ 8.55 "shor.ds" F /N/ 8.55 "shor.ds" Tab. 8. Vsupní náhodně proměnné velčny a jejch záps pomocí hsogramů (vsupní hodnoy programu nhll). g f v Obr. 8. Hsogramy sl F 4898 N a F 8969 (pravděpodobnosní přísup, sw nhll.5). Obr. 8. Hsogramy sl F N a F N (pravděpodobnosní přísup, sw nhll.5). v n ( xj ) = ( x ) j C = ( ( snh ω cos ω D = sn ω cosh ( snh ω cos cosh [ ω ( )] sn ω cosh ω cos [ ω ( [ ω( )] cos ω snh [ ω( )] ) snh ω [ ω( )] cosh ω sn[ ω( )] ) sn ω B = k F ω ( snh ω sn ω) ω J = e D( snω cosω ) Csnω snhω sn ω M o x j = J ZT fm xj gm xj Tab. 8. Pomocné vzahy pořebné pro řešení zadaného obecného nosníku uloženého na pružném podkladu (řešení plané na nervalu x j ( j ; j ), kde j =,,, n ). H = e G = e I = e ω snh ω sn ω ω D( cos ω sn ω ) C sn ω C cos ω D( cos ω sn ω ) sn ω snh ω ω C cos ω D( sn ω cos ω ) snh ω sn ω = ωx j B e C D j ω x j cosωx j D snωxj e C Dcosω xj D snω xj j = k = Kb ω x j B e G cos[ ω( x j )] H sn[ ω( x j )] = d fv xj fm ( xj ) = dx ω x j e I [ ( )] [ ( )] cos ω x j J sn ω x j v x j = fv x j g ( ) N g M k ω = 4 4 J ZT ( ) ( ) ( ) ( x ) )] ) ( x ) j d gm = dx ( x ) [ ( ) ( )] j v j 8 8

43 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Ze vzahů a souvslosí uvedených v auorových knhách [] a [5], lze odvod obecné vzahy pro rovnce průhybu, naočení, ohybových momenů a posouvajících sl, kde g M s pomocným lze s výhodou využí sumačních funkcí: f v ( ), g v ( ), f M ( ) a ( ) B C D G konsanam /m/, //, //, //, //, // a //, vz ab. 8.. Příklad průběhu ohybového momenu po celé délce nosníku (pro čyř konsanní síly: F 5 N, F =7 N, F =F =855 N, čyř konsanní délky: m, = m, = m, =4 m, =5 m, maerál nosníku: =.8 Pa, geomercké charakersky průřezu I : =.6 m, b =.9 m a modul slačelnos podloží: =.5 Nm ) je znázorněn na obr. 8.. x j H x j I x j J x j Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Průběhy vypočených (náhodně proměnných) maxmálních ohybových napěí σ MX j v poencálních nebezpečných mísech j =,,, 4 (j.: v mísech působšť sl F ), jsou zapsané v ab. 8. a aké znázorněny na obr. 8.4 a 8.5. Obr. 8.4 Hsogramy maxmálního ohybového napěí v mísech a (pravděpodobnosní přísup, sw nhll.5). Obr. 8. Průběh ohybového momenu po celé délce nosníku = 5 m (deermnscké řešení). Z obecného rozboru zaížení je zřejmé, že maxmální ohybový momen (míněno v absoluní hodnoě) je vždy v někerém mísě působšě sl F (j. vždy v někerém z mís kde plaí =, pro j =,,, n ). V ěcho nebezpečných mísech lze sanov maxmální ohybové napěí symerckého průřezu podle vzahu: σ MX = M o MX W, kde j j o W = h /m / je modul odporu průřezu v ohybu a M = M ( x = ) o J ZT o MX j o j j. Všechny vsupní paramery (j. panác náhodně proměnných velčn) jsou vzájemně nezávslé a jsou dané ohrančeným hsogramy (soubory ".ds", j. např. " long.ds" souvsí s dlouhodobým zaížením a " shor.ds" a " shor.ds" souvsí s krákodobým zaížením), blíže vz [89], [9] až [9]. Výpoče v programu nhll byl proveden pro N = smulací meodou MC. Výsupní velčny: Mn.: Mean: Medán: Max.: Pf ( σ MX R e ) σ /MPa/ MX σ /MPa/ MX σ /MPa/ MX σ /MPa/ MX 4 Tab. 8. Výsupní náhodně proměnné velčny a jejch charakersky. j Obr. 8.5 Hsogramy maxmálního ohybového napěí v mísech a 4 (pravděpodobnosní přísup, sw nhll.5). σ, j. V abulce 8. jsou uvedeny aké pravděpodobnos P f ( MX Rp ) pravděpodobnos kdy ohybové napěí překročí mez kluzu v nebezpečných mísech až 4. Porovnání maxmálních ohybových napěí a meze kluzu pro všechny čyř nebezpečná mísa je znázorněno na obr. 8.6 až 8.9. V horních rozích ěcho obrázků je aké vyjádřena procenuální nebezpečnos kdy σ R ( Unsafe ) a procenuální bezpečnos kdy σ R ( safe ). MX j p MX j p Obr. 8.6 Porovnání maxmálního ohybového Obr. 8.7 Porovnání maxmálního ohybového napěí a meze kluzu v mísě. napěí a meze kluzu v mísě. j 84 85

44 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Obr. 8.8 Porovnání maxmálního ohybového Obr. 8.9 Porovnání maxmálního ohybového napěí a meze kluzu v mísě. napěí a meze kluzu v mísě 4. Z výsledků (ab. 8.) je zřejmé, že ohybové napěí překročí mez kluzu pouze v mísech, a 4 a o s pravděpodobnosm 5.6 (j..6%), 4.7 (j..44%) a.9 (j..%). Získané výsledky slouží ke sanovení bezpečnos konsrukce. Nejvíce namáhané míso je edy míso (kde se vyskynou plascké deformace s pravděpodobnosí. %). Pravděpodobnosní posudek bezpečnos konsrukce nabízí v omo případě nesporně vysžnější vyjádření charakersk zaížení, geomere, maerálu nosníku a podloží a aké kvalavně dokonalejší vyšeření vzájemné kombnace záěžných účnků než je omu u klasckého deermnsckého posudku bezpečnos konsrukce. Pravděpodobnosní posudek může bý sanoven dle vzahů (8.) až (8.7). 8.5 plkace meody SBR (posudek spolehlvos nosníků na proměnlvém pružném podkladu) - úloha 6 Obr. 8. Nosník délky, kerý je zaížený verkální slou F, je po celé délce uložen na podloží proměnlvé uhos. Úlohou 6 je sanovení pravděpodobnosního posudku spolehlvos nosníku uloženého po celé délce na pružném podkladu proměnlvé uhos v podélném směru. Nosník s volným konc a s příčným průřezem ve varu I proflu, vz obr. 8., je na pravém konc zaížený verkální slou F. Modul slačelnos podloží se mění spojě podle lneární závslos dané K K rovncí: ( x) = K x = K K x, K vz obr. 8.. Pravděpodobnosní posudek je řeba provés porovnáním maxmálních ohybových napěí vůč mez kluzu. Zadané hodnoy:.6 ± 6.5 m, b.9 ± 9 m,. MPa, h. ± m,.8 ± 9 MPa, ±.75 Nm,.5 ±.75 Nm,. F N,.9 m. Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Řešení éo úlohy, vz příloha č. 4, se hledá ve varu polynomu 6. řádu, j.: 6 b x v = v( x) b. Vypočené výsledky (j. uhos podloží, průhyb, = maxmální průhyb, ohybové napěí v horních respekve v dolních vláknech v každém řezu a aké maxmální ohybové napěí M o MX M o MX h σ MX = σ ( x.6) = = ) byly počíané pro N 5 smulací Wo J ZT meodou MC. Pravděpodobnos, že je 9.57 (j. meze kluzu bude dosaženo s pravděpodobnosí 9.57 ). Jným slovy lze říc, že.. % všech savů bude mí odezvu v plascké oblas namáhání. Více nformací o řešení éo úlohy lze naléz v příloze č. 4 nebo v auorově knze [5]. 8.6 plkace meody SBR (Performance-Based Desgn, návrh průměru hřídele př zadané dovolené pravděpodobnos poruchy) - úloha 7 Nosník (hřídel) kruhového průřezu, vz obr. 8. je namáhán kombnovaným namáháním (j. známým. ohybovým momenem = Nmm, známým krouícím momenem. Obr. 8. Návrh průměru hřídele Nmm a aké známou. D, kerý je namáhán normálovou slou N), keré jsou kombnovaným zaěžováním. zadané hsogramy. Mez kluzu maerálu hřídele. 8.. MPa je aké daná hsogramem. Úlohou 7 je navrhnou průměr hřídele D, kerý je dán normálním ořezaným rozložením % % (j. ). Návrh průměru (aplkace PBD - Performance-Based Desgn) je proveden pomocí D % meody SBR pro zadanou pravděpodobnos poruchy.5.5% sanovenou % vůč mez kluzu. Návrh průměru D % je řeba sanov s přesnosí. mm. plkace PBD (řešený návrh průměru nosníku vysaveného kombnovanému zaěžování od normálové síly, ohybového momenu a kroucího momenu) je uvedena v příloze č. 4 nebo v [5]. Z přílohy č.4 je parné, že dle eore malých deformací plaí pro maxmální redukované napěí /MPa/, počíané dle eore HMH (von MISS, vz [5], [86] a [87]), vzah: 4 k 8M 48 o M N D D π D. (8.8) Funkc spolehlvos lze defnova jako:. Proože úlohou je sanovení průměru D př splnění podmínky, je nuné provés erační řešení (z rovnce (8.) ož nelze explcně vyjádř hledaný průměr D). Př eračním řešení je využa meoda sečen a meoda půlení nervalu. Vypočený průměr.. je pak navržený s pravděpodobnos poškození.. % sanovené vůč mez kluzu. Řešená úloha je nverzní úlohou eore pravděpodobnos, kerá je obecně vždy složější než klascké úlohy eore pravděpodobnos, neboť cílem není 86 87

45 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava sanov pravděpodobnos poruchy, ale sanov rozměry součás př zadané přípusné pravděpodobnos poruchy. Př eravních posupech (j. př hledání závslosí D) bylo využo meody sečen a meody půlení nervalu, přčemž pro řešení je možné použí aké jné meody hledání kořenů rovnc. Celý erační posup a výpoče smulací meodou MC je možno podsaně zrychl využím paralelních počíačů. Více nformací o řešení éo úlohy lze naléz v příloze č. 4. Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava 9. PIKC MTODY SBR V HORNICTVÍ 9. Úvod Současný vědecko-echncký rozvoj, spojený s rozvojem výpočení echnky, umožňuje sále nové možnos př řešení úloh mechanky. Nejnak je omu v horncví, proo je v následujících kapolách předvedeno využí meody SBR př řešení kvazsackých úloh:. Napěťové analýzy spojky článkového řeězu důlní rakce (úlohaa 8, vz kapoly 9. a 9.).. Problemaky rozpojování vrdých hornn pomocí MKP (úloha 9, vz kapoly 9.4 a 9.5). 9. D a D model analýzy napjaos spojky článkového řeězu důlní rakce - úloha 8 Úloha 8 je zaměřenaa na napěťovou analýzu spojky článkových řeězů (S.Č.Ř.) Movace k řešení éo úlohy vznkla aké díky bohaé spoluprác s prof. Ing. Horsem GONDKM, DrSc. (FS, VŠB-TU Osrava), vz [8], [49], [6], [] aj. Na obr. 9. je znázorněn sysém uhelného pluhu obvykle používaný v horncví. Součásí ohoo zařízení (z důvodu plánované monáže a demonáže nebo neplánovaných oprav) jsou aké článkové řeězy, keré jsou spojovány pomocí S.Č.Ř., vz obr. 9.. Obr. 9. Sysém uhelného pluhu v dolech. Obr. 9. Příklad spojky článkového řeězu (ve zkrace S.Č.Ř.). Nejslabší čás řeězovéé rakce je vždy S.Č.Ř. Proo je analycké a numercké řešení S.Č.Ř. (výrobce BCKR-PRÜNT) předvedeno v éo úloze 8, vz obr. 9. a výkres v příloze č.5. Pevnosní analýzy S.Č.Ř. jsou důležé mmo jné aké pro opmalzac varu a esování nových konsrukčních ypů

46 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava a ze ří deformačních podmínek (pro nulový relavní průhyb v B =, nulové úhly naočení ϕ =, ϕ B =, j. aplkace Casglanových vě): Obr. 9. Sesava S.Č.Ř. (Výrobce BCKR-PRÜNT) ). D analycké řešení, jeho zjednodušení a někeré výsledky (lusý křvý nosník s proměnlvým průřezem, sacky neurčý, uvažované elascké a soropní maerálové vlasnos, vzpěra, vz výkres v příloze 5, je považovaná za absoluně uhou) jsou znázorněny na obr Teno yp analýzy dává pouze základní nformace,, a proo slouží jako první krok řešení. Př výpoču se neuvažují počáeční vnřní (zbyková) pnuí v maerálu S.Č.Ř. Ncméně, ao analýzaa je poměrně jednoduše a rychle řešelná a je aké vhodná pro varovou opmalzac. nalycké řešení je, sce s chybam, uvedeno v [6] a [], proo je v dalším exu naznačeno správné řešení. Obr. 9.4 D nalycké řešení a jeho zjednodušení pro lusý křvý nosník. Šes reakčních účnků rovnc rovnováhy: (j. síly R až R 4 a momeny M, M ) byly vyřešeny ze ří v B U = = R = 6 = = 6 = J 6 = re U ϕ = = M J ZT 6 = ZT re U ϕb = = M = J 6 = M o M N ( x ) M o ZT M o o ( x ) M ( x ) ( x ) ( x ) N o N ( x ) N R ( x ) R M o ( x ) ( x ) M M o M ( x ) M o M o ( x ) R ( x ) β d G d ( x ) N M M o ( x ) M ( x ) d d ( x ) N M ( x ) d d r β d G r β d G T( x ) M M ( x ) T R o T( x ) T( x ) ( x ) d ( x ) N R ( x ) T M o ( x ) ( x ) T M N d ( x ) M d ( x ) N N ( x ) ( x ) M M o ( x ) R o ( x ) M ( x ) d =, (9.4) d =, (9.5) 6 M o N M o ( ) d ( ) ( ) d =, r e M M r M M o x M o x N x = (9.6) kde jsou normálové síly, jsou posouvající síly, jsou ohybové momeny, jsou příčné plochy průřezů, J jsou kvadracké momeny průřezů, r je sřední poloměr ZT zakřvených úseků, e je vzdálenos ěžšě průřezu od neurální osy, β jsou součnele rozložení smykových napěí po průřezech, jsou defnované proměnné souřadnce úseků a jsou délky úseků. Pro. až 6. úsek křvého nosníku plaí vzahy zapsané do ab. 9.. FX = R 4 R FY = R R M = M R = F, R = R = R = R, ( ), 4 M R r e R b 4 = (9.) (9.) (9.) 9 9

47 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Karel FRYDRÝŠK: Pravd Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU TU Osrava. úsek: ; a, ~ 6 5, d, T ( x ) = R, M o (x ) = M R x. úsek: ; f ð, ~ 6 5, J ZT = N (x ) = R sn R cos = R sn = b h F(r e) M M cos, r eb d = r, e = r h r h ln r h, e 4 = r h4 r h 4 ln r h 4, 5π π π, =, Ú =, 6 9 D e5 = r, 4 r 4r D ( ) b h Fb M M b h =, T ( x ) = R cos( x ) R 4 sn ( x ) = R cos( x ) sn( x ), J ZT = 4 4, 4 reb J ZT = Pro vlasní řešení ešení sousavy šes lneárních rovnc (9.) až (9.6) je využý sofware Mahcad. Průběhh maxmálního nap napěí σ MX (myšleno v absoluní hodnoě, avšak s uvažování znaménka př vykreslování) po rozvnué délce nosníku je znázorněn znázorněn na obr Napěí čem ppříslušných íslušných ohybových a normálových nap napěí a následným σ MX je sanoveno součem výběrem maxma v příslušných íslušných ppříčných řezech S.Č.Ř. F(r e ) M M b h sn R cos, J ZT =, reb F(r e) M M M o ( x ) = M (R cos R sn )x = M R cos sn x, reb. až 5. úsek: ;, ;, Ú ; Ú, = N (x ) =, T (x ) = R sn R cos = d =, J ZT b h, b h, π D4, 64 N (x ) = R sn(x ) R 4 cos( x ) = R sn(x ) Fb M M cos(x ), reb = b h, Obr. 9.5 Rozložení maxmálních výsledných napěí nap po rozvnué délce křvého nosníku (D analycké řešení). Z průběhu hu napjaos je zzřejmé, že nejvěší napjaos S.Č.Ř. je v mís mísě působšě síly F (j. míso 4, vz obr. 9.4 a 9.5). Tao skuečnos byla aké ověřena ena D MKP modely S.Č.Ř. nejprve pro elascký a pak aké pro elasoplascký maerál, vz obr. 9.6, 9.7 a reference [ [8] a [] (řešení ešení pomocí program programů MSC.Marc/Mena a nsys Workbench). = b h, Ú = πd 4, ~ = ~ 6 5, ~Ú 7, d = r, dú = r Ú, M o ( x ) = M R[a sn ( x )] R 4 (e r[ cos( x )]) = 5 = M R [a sn ( x )] ( Fb M M e r [ cos( x )] reb ) π D4, = πd 4, 6. úsek: ; ð, d = r, ~ 7, J ZT = 6 64 N ( x6 ) = (R sn R cos ) cos (x 6 ) (R cos R sn )sn (x 6 ) = F(r e ) M M F(r e ) M M = R sn cos cos ( x6 ) R cos sn sn (x 6 ), reb reb T ( x 6 ) = (R sn R cos ) cos ( x 6 ) (R sn R cos ) sn ( x 6 ) = Obr. 9.6 D CD model a síť konečných prvků S.Č.Ř. (elascký a elasoplascký maerál, NSYS Workbench. Sofware). F(r e ) M M F(r e ) M M = sn R cos cos ( x 6 ) R sn cos sn (x 6 ), reb reb f M o ( x6 ) = M (R cos R sn ) r sn (x6 ) (R sn R cos )[cos(x6 ) ] = cos F ( r e ) M M f = M R cos sn r sn (x6 ) reb cos F(r e ) M M R sn cos [cos( x6 ) ] reb Tab. 9. Vzahy pořebné pro řešení úlohy 8. 9 Obr. 9.7 D model S.Č.Ř. - rozložení ekvvalenního napěí nap í dle von MISS (elasoplascký maerál, NSYS Workbench. Sofware). 9

48 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Př řešení dvou D modelů S.Č.Ř. pomocí MKP (vz [8], [49] a [] a obr. 9.6 a 9.7) byly respekované jednak elascké, ak elasoplascké maerálové vlasnos, vz obr. 9.8 a aké mechancký konak se slabým řením. Maerál S.Č.Ř. je nízkolegovaná ušlechlá ocel (MnNCrMo dle DIN 75, vhodná k váření za epla, zušlechťování a povrchovému kalení, vhodná pro výrobu zušlechěných vysoce pevnosních svařovaných řeězů - pevnosní řídy 8, vhodná ke svařování). Sacká ahová zkouška maerálu S.Č.Ř. je uvedena na obr Obr. 9. lgormus aplkace meody SBR př řešení úlohy 8. Obr. 9.8 Závslos napěí na Obr. 9.9 Záěžná síla v závslos na maxmálním posuvu poměrné deformac (D model). ve směru osy X (porovnání D elasckého a elasoplasckého modelu, NSYS Workbench. sw). Vlvem plasckého přzpůsobení jsou výsledné napěí u D modelu menší než u D elasckého modelu. Opačně je omu př řešení maxmálního průhybu (naažení S.Č.Ř. v bodu 4, vz obr. 9.9), kde elascký model dává menší hodnoy, blíže vz [8] a []. D model je složen ze 4 elemenů a 458 uzlů a jeho řešení na běžném počíač (nelneární úloha) rvá v současnos více než hodn. D model, vzhledem ke své výpočové náročnos, není v současnos na auorově pracovš možné řeš pomocí meody SBR. Obvyklý přjaelný výpoče pomocí meody SBR ož vyžaduje provés řádově alespoň > výpočů (smulací) a následně je sascky vyhodno. Z ohoo důvodu je v následující kapole 9. použý D model, kerý je poměrně rychle řešelný pomocí meody SBR. plkace meody SBR př řešení složějšího D modelu je edy výzvou pro budoucí generace výkonných paralelních počíačů. Ncméně aké D model lze použí pro opmalzac varu S.Č.Ř. Šes vzájemně nezávslých sochasckých vsupů (j. zaěžující ahová síla F = 5577 N, vz obr. 9., rozměry a=7±.7 mm, e=±.4 mm, vz obr. 9. a 9., úhel =±.6, vz obr. 9.4, modul pružnos maerálu =.8 ±.4 Pa, vz obr. 7.4, a Possonovo číslo maerálu =.5±.5 ), vz obr. 9.5, jsou dané hsogramy. Těcho šes hsogramů popsuje nejvýznamnější velčny S.Č.Ř. Paramery zaížení, maerálových vlasnos a čás geomere jsou edy plně sochascké. Obr. 9. Hsogram síly F=5577 N Obr. 9. Hsogram kóy a=7±.7 mm (sw nhll.6). (sw nhll.6). 9. plkace meody SBR (pravděpodobnosní analýza napjaos spojky článkového řeězu důlní rakce) - úloha 8 nalycké (D) řešení S.Č.Ř., keré je poměrně jednoduché a rychlé a keré je založeno na eor lusých křvých nosníků, je odvozeno pro lneární elascké maerálové vlasnos v kapole 9.. Celý předvedený problém může bý řešen pomocí meody SBR, což je předvedeno v éo kapole. Pro aplkac meody SBR je využo sofware nhll (generování vsupních náhodných velčn dle defnovaných hsogramů) a aké programu Mahcad (řešení sousavy rovnc (9.) až (9.6), výpoče napjaos, rozbor a zpracování výsledků), vz algormus znázorněný na obr. 9.. Obr. 9. Hsogram kóy e=±.4 mm Obr. 9.4 Hsogram úhlu =±.6 (sw nhll.6). (sw nhll.6). Obr. 9.5 Hsogram Possonova čísla maerálu =.5±.5 (sw nhll.6)

49 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Další vsupy (rádus r mm,, J, e, β ) jsou zvoleny jako konsanní hodnoy (j. přjaelná dealzace skuečnos provedená vzhledem k náročnos a lmu přenášení da mez sw nhll a Mahcad). Pak je zřejmé, že plaí:.5 / a další dopočené paramery jsou jž vysvěleny a uvedeny v kapole 9., vz ab. 9. a obr Výsledky získané meodou SBR (počíané pro N =5 smulací meodou MC) mají edy sochascký charaker, vz obr. 9.6 a 9.7. Na obr. 9.6 je vykreslen vypočený průběh maxmálního výsledného napěí (příslušné nejvěší součy normálového a ohybového napěí po průřezu nosníku - míněno v absoluní hodnoě, avšak př vykreslování je respekováno znaménko) dsrbuovaného po rozvnué délce křvého nosníku. Charaker napjaos je podobný jako na obr. 9.5, kde je řešena jen jedna smulace (deermnscké řešení). Obr. 9.6 Rozložení napěí po rozvnué délce S.Č.Ř. (získáno pomocí sofware nhll a Mahcad). Nejvěší napěí (j. globální maxmum σ MX - míněné v absoluní hodnoě) je GOB v mísě 4 S.Č.Ř. (j. v mísě působšě síly F). Hsogram napjaos v bodu 4 je znázorněn na obr. 9.7 společně se základním sasckým nformacem. Je edy zřejmé, že 9.84 σ = 4.6 MPa. MX GOB 79. Obr. 9.7 Globální maxmum σ = 4.6 MPa ve S.Č.Ř. (míso 4, získáno MX GOB ZT pomocí sofware nhll a Mahcad). nalycké řešení S.Č.Ř. (jednoduchý D křvý nosník, elascký maerál, pravděpodobnosní přísup) jž lze v současnos řeš na běžném počíač (doba řešení s přípravou da pro N =5 smulací meodou MC je několk hodn). však numercké řešení S.Č.Ř. (varově složý D model, MKP, mechancký konak se řením, Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava elaso-plascký model, pravděpodobnosní přísup uvedený v kapole 9.) lze v současnos v přjaelném čase řeš jen na nejvýkonnějších superpočíačích svěa. Proo je D model vhodný pro základní řešení meodou SBR. Posudek spolehlvos S.Č.Ř., dle mezního savu únosnos, může bý sanoven následovně (naznačení řešení). Pro funkc spolehlvos plaí: nebo: σ MX GOB σ MX. 9.8 GOB V horncví (např. české normy) je ož obvyklé aké sanovova bezpečnos vůč mez pevnos dělenou 7, vz rovnce (9.8). Pravděpodobnos nepříznvého savu je pak daná vzahem:. 9.9 Následně, ze vzahu (5.9) vyplývá krérum spolehlvos:, 9. kde návrhová pravděpodobnos poruchy může bý daná normou (vz např. ab. 5.) nebo právní dohodou s nvesorem. V případě posuzování spolehlvos celého řeězu důlní rakce (složý sérový sysém složený z mnoha článků řeězu a jedné nebo více S.Č.Ř.) je řeba posupova dle vzahu (5.4), vz kapola 5.6. Pro zpřesnění sochascké analýzy je možno (v budoucnos) uvažova aké další vsupní sochascké paramery (především poloměr r, vz obr. 9.4 a následně aké průřezové charakersky J, ). ZT Výše uvedené, avšak modfkované, posupy je možno aké využí v budoucnu aké př řešení únavy maerálu S.Č.Ř., vz např. [58], [59] a [65]. Vhodnější pro yo ypy úloh je D model prezenovaný v kapole Zadání pravděpodobnosní analýzy slových poměrů př rozpojování planové rudy - úloha 9 Úloha 9 je zaměřena na numerckou analýzu rozpojování vrdých hornn (řešena konkréní planová ruda ze sloje Merenský, důlní společnos groplanum Cooperaed med, Jhoafrcká republka), vz foografe na obr. 9.8 a schéma řešení znázorněné na obr Movace k řešení éo úlohy vznkla aké díky bohaé spoluprác s prof. Ing. Horsem GONDKM, DrSc. (FS, VŠB-TU Osrava), vz reference [4], [9], [6], [], [9], [4], [45] až [48], [6], [6] a [7]. Prvoní řešené úlohy ýkající se éo problemaky byly deermnscké povahy, avšak pozděj byly řešeny náročnější úlohy sochascké povahy, keré mnohem přesněj vyshují reálnou suac. Plana je ušlechlý, kujný, ěžký, chemcky mmořádně odolný, drahý a velm vzácný kov sříbřě bílé barvy, kerý se vyskyuje v přírodě zejména v ryzí formě v rudách. Planová ruda obsahuje vždy aké další kovy ze skupny plany (j. rhodum, palladum, rdum) a vedle oho obvykle aky železo, olovo, měď, zlao, sříbro, nkl, ruhenum aj. kovy. Zasoupení plany v zemské kůře je velm malé, odhaduje se, že její průměrný výsky ční.5 až. ppm (mg/kg)

50 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Z hsorckého hledska plana, vz obr. 9., je a byla vždy dražší než zlao, vz porovnání cen na obr. 9.. Nalezšě plany jsou velce omezená a geografcky koncenrovaná v několka oblasech na zeměkoul, především edy v jžní frce, Rusku a Severní merce. JR má nejbohaší svěová nalezšě a dsponuje odhadem až devadesá proceny svěových zásob plany. JR má momenálně as 8% podíl produkce na rhu plany. V někerých hlubnných dolech v JR, se ěží plana až ve čyřklomerové hloubce. Dalším významným producenem je Rusko, keré má as % podíl na svěové produkc, a řadí se ak na druhé míso na svěě. Severní merka vyprodukuje as 6% svěové produkce plany, vz [7]. Obr. 9.8 aboraorní esování rozpojování hornn. Obr. 9. Planová ruda a planové nugey (zdroj nerne). Obr. 9.9 Schéma procesu rozpojování hornn (sw MSC.Marc/Mena). Zajímavá je schopnos plany pohlcova velké objemy plynného vodíku. Plana vykazuje aké vynkající kaalycké vlasnos a o jak ve sloučennách, ak jako kovová. Vzhledem ke svým mechanckým vlasnosem a chemcké odolnos jsou plana a především její slny s rhodem a rdem používány na výrobu odolného chemckého nádobí pro rozklady vzorků avením nebo spalováním za vysokých eplo. Ve sklářském průmyslu je základním maerálem specálních pecí na výrobu opckých vláken. Ve farmaceuckém průmyslu jsou komplexní sloučenny cs-plany základem velm účnných cyosak, edy láek polačujících rakovnné bujení. V energece př výrobě ekologckých palvových článků, kde plana působí jako chemcký generáor př spalování vodíku a kyslíku (odpadem je voda). V auomoblovém průmyslu pro ekologcké kaalyzáory výfukových plynů. Bohaé využí je aké v klenoncví a jných oborech. Obr. 9.a Hsore ceny plany a zlaa (USD/unce) ke dn 4..9 (poklesy cen v roce 8 jsou způsobeny ekonomckou krzí, zdroj nerne)

51 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Obr. 9.b Hsore ceny plany a zlaa (USD/unce) ke dn 7.. (zdroj nerne). Př hlubnném dobývání planových č jných ypů rud nebo hornn jsou obecně nežádoucí prosoje spojené s poškozením nebo časým opravam č výměnam oupených rozpojovacích násrojů (nožů). Z ohoo důvodu (ekonomckého hledska), je velm žádoucí řeš problemaku rozpojování planových (nebo obecně vrdých) hornn (j. sousava nůž rubanna) z hledska budoucí opmalzace řezných podmínek. konomka edy vede důlní společnos k řešení problemaky zvyšování mechanzace ěžby planové rudy. Je známým fakem, že mechanzace ěžby planové rudy je v současné době sále na poměrně nízké echncké úrovn ( v. soleí je 8% planové rudy v JR dobýváno ručním způsobem)! Proo se auor éo učebnce věnuje aké řešení problemaky rozpojování planové rudy. Zaměření následující aplkace je na planovou rudu z nejvýznamnější sloje Merenský, důlní společnos groplanum Cooperaed med, JR. Proces rozpojování masvu planové rudy je hlavní čnnosí v echnologckém procesu ěžby. Provádí se pomocí rozpojovacích orgánů, keré paří mez nejdůležější čás dobývacího sroje. Práce všech osaních čásí dobývacího sroje je podřízena hlavnímu cíl, kerým je zajšění plynulého a efekvního chodu rozpojovacího orgánu (snaha o maxmální výkonnos, snaha o rozpojení rudy s mnmální energeckou náročnosí a s co nejmenším rozdrobením, možnos regulace výšky a šířky záběru nože, vysoká žvonos nože ap.). Prvoním krokem k éo problemace je esování řešení současných možnosí a ypů sávajících mírně modfkovaných nožů a způsobů, keré se používají př poměrně dobře propracované ěžbě uhlí. právě na eno prvoní krok je zaměřena ao kapola, přčemž jako nové a velm výhodné řešení ohoo složého problému se jeví kombnace MKP a meody SBR. Na obr. 9. je znázorněna rubanna (lokální oblas ěžby masvu planové rudy), kerá má základní rozměry (zvolenou délku 5 mm a ypckou výšku 9 mm). Nůž (rozpojovací násroj) zabírá do hlouby 9 mm. Počáeční sykový poloměr oupení břu nože je.5 mm a sykový poloměr v rudě je.7 mm. Úhel břu nože je 7 o. Síť konečných prvků, kerá obsahuje 766 uzlů a 7755 rovnných elemenů, byla v blízkos mísa syku nože a planové rudy zhušěna (j. ve zkoumaném mísě, kde lze očekáva nejvěší hodnoy napěí a aké rozpojování nebol odlamování rudy). okální oblas masvu planové rudy je po řech krajních hranách uchycena (j. jsou předepsané nulové posuvy ve směru souřadných os X a Y, j., keré jsou znázorněny barevným špkam), což přblžně odpovídá veknuí, kerým se nahrazuje zbyek okolí rubanny, vz obr. 9.. Obr. 9. Síť konečných prvků a její základní rozměry (sw MSC.Marc/Mena). Obr. 9. Schéma okrajových podmínek (sw MSC.Marc/Mena).

52 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Vzhledem k velkým rozměrům rubanny a složos úlohy, bylo zvoleno kvazsacké řešení s uvažováním rovnné deformace (zjednodušení D realy). V sofware MSC.Marc/Mena byl zvolen elemen ypu. Teno prvek je jednoduchý čyřúhelníkový nebo rojúhelníkový elemen, kerý má v každém vrcholu jeden uzel ve kerém se hledají neznámé posuvy a, blíže vz manuály sw Obr. 9.4 Použé vary konečných prvků. MSC.Marc/Mena např. [98], [99] nebo obr Schéma okrajových podmínek mechanckého konaku (konakní elemeny) je znázorněno na obr Mez nožem, j. rozpojovacím násrojem (v obrázku značeno jako B n Possble Conac ), a rudou (v obrázku značeno jako Ore n Possble Conac ) vznká mechancký konak se řením. Teno proměnlvý konak vznká, proože nůž se vlačuje do vrdé rudy (posouvá se pro směru souřadné osy X, vz lneární závslos časové funkce v obr. 9.) a následně j rozpojuje. Pro pops řecích poměrů bylo zvoleno Coulombovo ření (koefcen ření.). Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava proměnlvé hodnoy náhodného charakeru souvsející se srukurou, chemckým složením rudy a jným vlasnosm). Obr. 9.6 Defnce maerálu nože a planové rudy (sw MSC.Marc/Mena).. Obr. 9.7 Hsogramy maerálu planové rudy ( MPa,.99.., sw nhll.6). Obr. 9.5 Schéma okrajových podmínek mechanckého konaku mez planovou rudou a nožem (elemeny v konaku, sw MSC.Marc/Mena). Nůž má bř ze slnuého karbdu ( Snered Carbde ), jehož uhos je mnohem věší než uhos rudy ( Ore ). Slnuý karbd je uchycen v ocelové čás nože ( Seel ), vz obr Slnuý karbd je považován za elascký, zoropní a homogenní maerál vyhovující Hookeovu zákonu s deermnsckým vlasnosm (j. zadaný konsanní modul pružnos 6 MPa a konsanní Possonovo číslo.). Podobně aké ocel je považovaná za elascký, zoropní a homogenní maerál vyhovující Hookeovu zákonu s deermnsckým vlasnosm (j. zadané konsanní hodnoy. MPa,.). však planová ruda je modelována pomocí elasoplasckého, soropního a homogenního maerálu se sochasckým vlasnosm. Maerál rudy v elascké oblas. vyhovuje Hookeovu zákonu, kde modul pružnos MPa a Possonovo. číslo.99. jsou dané hsogramy, vz obr. 9.7 (v prax jsou o vždy velm Hookeův zákon maerálu planové rudy plaí jen do meze kluzu MPa, přčemž mez pevnos planové rudy je =.66. MPa, vz závslos a hsogramy obr. 9.8 a 9.9 (v prax velm proměnlvé hodnoy náhodného charakeru souvsející se srukurou, chemckým složením rudy aj. vlasnosm). Znázorněné hsogramy (obr. 9.7 až 9.9) jsou vyvořeny z někerých da uvedených a měřených v [9] a [7]. Měření byla provedena pro ypcké rychlos rozpojovacího orgánu. Blžší údaje o kvaně č kvalě měření nelze (z důvodu uajení) v éo prác uvádě. Plocha plascy byla zvolena dle von MISS (eore HMH), proože planová ruda př své velké nehomogeně umožňuje př zaěžování aké určý rozvoj plasckých deformac. Blíže vz aké [] a []. Ze suda maerálových vlasnosí je zřejmé, že var velkos plochy plascy je velm proměnlvý a má slně sochascký charaker závslý na okamžém chemckém složení rudy a její srukuře. Někeré lokální čás masvu vykazují křehký lom a jné zase naopak várný lom. Prozaím nkde nebyly blíže zkoumány an navrženy žádné vary a ypy ploch plascy ýkající se planových rud. I přes yo neznalos a nejsoy, je navržená plocha plascy dle von MISSS ve spojení s respekováním základních sochasckých vlasnosí planové rudy zřejmě velm vhodným prvoním odhadem reálné suace.

53 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Obr. 9. Schéma modelu rozpojování hornn a) před deakvací vybraných elemenů, b) po deakvac vybraných elemenů - Tes na deakvac je proveden v každém 5. kroku Proože program MSC.Marc/Mena přímo neumožňuje řešení a vyhodnocování úloh sochascké mechanky pomocí meody MC, ak pro řešení problemaky rozpojování hornn je využo kombnací ří programů (j. nhll, MSC.Marc/Mena a Mahcad) dle algormu znázorněném na obr. 9.. Výpoče pro N =5 smulací meodou Mone Carlo je ošeřen v cyklu, jehož jádrem je výpoče každé smulace pomocí MKP (sw MSC.Marc/Mena). Program nhll slouží pro generování sochasckých vsupů a program Mahcad slouží ke zpracování výsledků.. Obr. 9.8 Planová ruda, hsogramy meze kluzu MPa a meze pevnos..66. MPa (sw nhll.6). Obr. 9.9 Planová ruda, závslos ekvvalenního napěí na ekvvalenní plascké deformac. Pro vlasní modelování rozpojování planové rudy je využo esu na překročení meze pevnos v elemenech čás síě konečných prvků, vz obr. 9.. Jeslže ekvvalenní napěí dle von MISSS /MPa/, kde, a /MPa/ jsou hlavní napěí, ve všech uzlech esovaného elemenu překročí mez pevnos, ak dochází k odlomení ohoo elemenu. Odlomení (j. rozpojení čás hornny) pak nasane, pokud je na celém elemenu. V programu MSC.Marc/Mena je o odlomení elemenu ošeřeno zv. deakvací elemenů. Teno způsob modelování dovoluje poměrně výsžně řeš výsledné zaěžující síly, keré vznkají v nož v průběhu dolování. Nevýhodou ohoo posupu je však méně přesný výpoče napjaos v rubanně, což samozřejmě souvsí aké s lomovou mechankou maerálu, což je kvanavně jná úloha echncké mechanky. Přeso ouo meodou lze modelova rozpojování rudy (dolování) pomocí nože a sanov výsledné síly v nož. Výše zmíněný es elemenů dle podmínky (j. deakvace vybraných elemenů, vz obr. 9.) je prováděn auorem vyvořeným algormem v každém páém kroku řešení. Obr. 9. Zjednodušený algormus řešení problemaky rozpojování planové rudy (kombnace meody SBR a MKP). Vzhledem k omu, že ako pojaé řešení procesu rozpojování planové rudy je poměrně rozsáhlou a složou nelneární úlohou (řešený čas =.4 s, j. čas nájezdu nože do hornny, je rozdělen na 7 kroků proměnlvé délky, jejchž řešení se získává obvyklým eračním posupem pomocí obecné Newon-Raphsonovy meody a o vše v cyklu pro N =5 smulací) je nuné zabýva se reálným výpočovým možnosm současných počíačů. Z ohoo důvodu (j. poměrně dlouhá doba výpoču jedné smulace) byly použy pro řešení čyř různé paralelní počíače, přčemž byla využa FTI (Fne lemens Tearng and Inegrang) meoda doménové dekompozce pro dva nebo čyř procesory počíače (CPU), vz obr. 9. a ab. 9.. FTI algormus, vz např. [98] a [99], kerý je běžným sandardem sw MSC.Marc/Mena, podsaně zrychlí řešení sousavy nelneárních rovnc a proo aké je v současnos jedním z hlavních směrů vývoje numercké maemaky počíačů. Pro generování domén (přřazení řešení čás síě konečných prvků danému procesoru) byl použý algormus Mes Bes, kerý je součásí sw MSC.Marc/Mena. 4 5

54 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava 9.5 plkace meody SBR a MKP (výsledky pravděpodobnosní analýzy slových poměrů př rozpojování planové rudy) - úloha 9 Na základě skuečnosí, keré byly uvedeny v předchozí kapole 9.4, je řešena problemaka rozpojování planové rudy (lokální oblas masvu Merenský, JR) jako kvazsacká úloha nelneární mechanky konnua, kerá je velm náročná na srojový čas počíačů. Obrázky 9. až 9.4 (výsledky MKP) znázorňují rozložení napěí ve zvoleném čase pro jednu z N =5 řešených smulací meodou MC (konkréně pro jednu realzac kdy pro maerál planové rudy plaí: = MPa, =.5 MPa, = MPa, a =.). Pohyb rozpojovacího orgánu (nože) a následné rozpojování rudy (j. snžování poču elemenů v maerálu planové rudy deakvace elemenů dle auorova algormu s podmínkou lomu ) jsou dobře parné. Obr. 9. Schéma rozdělení úlohy př doménové dekompozc použé př řešení na paralelních počíačích pro CPU a 4 CPU. Název počíače: lfa: Operon: Quad: Pca6d: Charakersky počíače: nux OS, 8 nodes. Node confguraon: x CPU MD Operon 5 (frequency.4 GHz, MB l cache) wh 4 GB RM (4MHz DDR) nux OS, nodes. Node confguraon: x CPU MD Operon 48 (frequency. GHz) wh 8 GB RM nux OS, 4 nodes. Node confguraon: x CPU MD Operon 848 (frequency. GHz) wh 4 GB RM MS Wndows XP professonal 64 b OS, 4 nodes, confguraon: Inel core quad CPU q9 (frequency.5 GHz) wh 8 GB RM Sofware: Poče CPU: Poče paralelně řešených smulací Wall me /hodny/: MSC.Marc/Mena MSC.Marc/Mena MSC.Marc/Mena MSC.Marc/Mena, nhll, Mahcad maxmum Σ 6 Σ 5 cca 7.4 Tab. 9.. Různé paralelní počíače využé př řešení úlohy 9 (srpen-září 8). Z hodno ab. 9. je zřejmé, že N =5 smulací meodou MC (počíaných souběžně na čyřech rozdílných ypech paralelních počíačů s celkem 6 procesory) rvalo (wall me) cca 7.4 hodn (j..9 dne). Další auorovy prakcké výpočářské zkušenos s využím paralelních počíačů jsou uvedeny aké v [44], [54], [4] a [6]. Obr. 9. Dsrbuce napěí v časech = s (začáek výpoču,. krok řešení) a =.5 s (4. krok řešení). Obr. 9.4 Dsrbuce napěí v časech =.69 s (4. krok řešení) a =.67 s (64. krok řešení). Obrázek 9.b znázorňuje ypcké rozložení napěí dle HRTZOVY konakní eore (suace ješě před prvním odlomením čás planové rudy). 6 7

55 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Obr. 9.5 Dsrbuce napěí v časech =.7 s (78. krok řešení)a =.48 s (94. krok řešení). Obr. 9.8 Dsrbuce napěí v časech =.99 s (44. krok řešení) a =.74 s (68. krok řešení). Obr. 9.6 Dsrbuce napěí v časech =.847 s (6. krok řešení) a =.8 s (7. krok řešení). Obr. 9.9 Dsrbuce napěí v časech =.5796 s (8. krok řešení) a =.6765 s (. krok řešení). Obr. 9.7 Dsrbuce napěí v časech =.98 s (. krok řešení) a =.88 s (6. krok řešení). Obr. 9.4 Dsrbuce napěí v časech =.85 s (8. krok řešení) a =.85 s (4. krok řešení). 8 9

56 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Obr. 9.4 =.6 s (6. krok řešení). Obr. 9.4 Kladné směry reakčních sl v nož. Hlavním cílem ohoo výpoču je sanovení slových účnků v rozpojovacím násroj v závslos na čase a jejch vyhodnocení. Průběh reakčních sl R, R /kn/, (ve směru os souřadného sysému X, Y, vz defnce na obr. 9.4) a jejch výslednce R R R, keré působí v nož je znázorněn na obr Tyo závslos (pro jednu výše zmíněnou smulac) jsou sanovené pomocí sw MSC.Marc/Mena. Obr Průběh výsledné reakční síly v nož (výsledek řešení 5 smulací). Výsledná maxmální reakční síla R V MX SBR, MKP = 568 N (získaná výběrem maxma v každé z 5- smulací meody MC) je znázorněna hsogram, vz obr Obr Maxmální reakční síla R V MX SBR, MKP = 568 N v nož (SBR-MKP řešení, výsledek řešení pě se smulací meodou MC) a jejch následného vyhodnocení. Obr. 9.4 Průběh reakčních sl v nož (příklad řešení jedné smulace). Časový průběh výsledné reakční síly, získané ze všech N =5 řešených smulací meodou MC, je znázorněn na obr Sochascký charaker výsledné reakční síly je dobře parný, což je vzhledem k nehomogenám planové rudy ypcké aké pro reálnou suac v provozu. Vypočená maxmální síla může bý porovnána s expermenálním měřením (j. s čásí obrázku 9.46), vz aké [7]. Z vyhodnocení jednoho dosupného měření (zvoleného časového řešení úseku.4 s) je známá nejvěší hodnoa maxmální síly R V = 58 N. MX XP hodnoy R Relavní chybu /%/ vypočené medánové hodnoy z obr (j. vypočené R MX V MX = SBR, MKP MD N ) je možno sanov dle vzahu: R V MX R XP V MX SBR,MKP MD R = = 4. %. 9. MX R V MX XP

57 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Karel FRYDRÝŠK: Pravd Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU TU Osrava Z uvedeného je zřejmé, řejmé, že kombnace meody SBR s MKP je velm vhodná pro řešení ešení velm složé problemaky rozpojování planové rudy (nelneární úlohy mechanckého konaku). Meoda SBR spojená s MKP aplkovaná př paralelním programování dává úpln úplně nové kvanavně jné (dříve ne neřešelné) možnos př modelování reálných suací rozpojování hornn.. Získané výsledky mají sochascký charaker, kerý dosae dosaečně přesně reprezenuje realu. Je zřejmé, ejmé, že deermnsckým výpočem výpo em a deermnsckým posudkem nelze zodpovědně řeš eš ak sln slně sochasckou úlohu, jakou je předvedená edvedená problemaka rozpojování planové rudy. Proo, pro zpřesnění ní výpo výpoču je řeba zvýš poče smulací sanovených meodou MC, což je náročné na počíačový čový ččas. Namíso provedených N celkem = 5 smulací (wall me Obr Měření sl v nož a schéma porovnání s vypočeným hodnoam sanoveným pomocí SBR-MKP. Chyba R MX = 4. % je přjaelná. Ncméně, aké výsledky expermenů mají velkou varablu, kerá je způsobena anzoropním a sochasckým vlasnosm maerálu a reakčních sl. Škoda jen, že je málo dosupných měření planové rudy a pro řešení bylo použo jen výsledků z jednoho měření, vz [7]. Pravděpodobnosní posudek spolehlvos může bý sanoven následovně (návrh řešení). Pro funkc spolehlvos plaí: ) R MN R, cca 7.4 hodn, vz ab. 9.), je vhodné počía po alespoň > 4 smulací (wall me ppř využí sejně výkonných počíačů čů cca > 58 dní!) Přeso v budoucnos, spojené s růsem výkonnos počíačů, bude řešení ešení rozsáhlých úloh dosupné běžnému b žnému užvael a o samoz samozřejmě v mnohem kraších výpočových časech. Výše uvedené výsledky mohou bý použy pro opmalzac nových konsruk konsrukčních řešení rozpojovacích orgánůů a modelování nových rozpojovacích echnk (vše dle požadavk požadavků echncké praxe). Získané výsledky pak ppřnesou nejen úspory nákladůů a aké zefekvn zefekvnění výrobního procesu. Ve spoluprác s prof. Ing. Horsem GONDKM, DrSc. a v dserační prác [7] (ve spoluprác s auorem éo učebnce), je jž navržen roační ční rozpojovací orgán pro dobývání planové rudy, vz obr a Navržený rozpojovací orgán prozaím není zaveden v provozu. 9. kde R MN /N/ je dovolená reakční síla v nož, kerá může bý sanovena z reálných konsrukčních možnosí poháněcí sousavy (výkon pohonu a jeho možnos, zvolená převodovka a její účnnos ap.). Pro sanovení R MN lze aké použí někeré analycké vzahy uvedené např. v [7] aj. Pravděpodobnos nepříznvého savu je pak daná vzahem (9.9) a krérum spolehlvos lze defnova vzahem: KJ KMN, 9. kde návrhová pravděpodobnos nepříznvého savu KMN může bý v budoucnos daná normou (obdobně jako ab. 5., prozaím zřejmě neexsuje plně pravděpodobnosní norma v horncví) nebo právní dohodou s nvesorem. Hodnoa KMN edy může zahrnova rzko přeížení nebo poškození důlního sroje. Z řešené problemaky a z obvyklých provozních suací v dolech je zřejmé, že spolehlvos konsrukce ovlvňuje časově závslá referenční hodnoa S k R k (proože vlvem posupného opořebení a sárnuí pohonů, převodů, vedení, ložsek ap., se snžuje výkon sroje) a aké časově závslá referenční funkce R k R MN k (proože s množsvím rozpojené rudy se zvěšuje aké posupné oupení nože, keré je aké spojené se vzrůsem reakčních sl v rozpojovacím orgánu), vz obr. 5.7d a aké rovnce (5.). Krérum spolehlvos je pak v omo případu defnované nerovncí: KJ k KMN k. 9.4 Ncméně, řešení ako pojaého komplexnějšího (časově závslého) pravděpodobnosního posudku je mnohem náročnější na výkon výpočení echnky, než je omu v éo řešené aplkac. Pro krérum spolehlvos, dle nerovnce (9.4), jsou ož nuné další výpočy smulací pro různé časy provozu pro celou dobu žvonos rozpojovacího orgánu. Obr Návrh rozpojovacího orgánu pro dobývání planové rudy, vz [ [7].

58 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava. PIKC MTODY SBR V DYNMICKÝCH ÚOHÁCH (ZKUŠBNÍ STROJ PRO TSTOVÁNÍ ÚNVY ŽZNIČNÍCH NÁPRV). Úvod Obr Nůž pro dobývání planové rudy upevněný v držáku, vz [7]. V budoucnos může bý aké řešen D MKP model rozpojování planové rudy (míso D modelu rovnné deformace prezenovaném v éo prác), kerý ješě lépe popsuje realu. Složější D model, ve spojení s meodou SBR, je vzhledem k velkým nárokům na výkonnos počíačů edy úkolem (snad brzké) budoucnos. Další zpřesnění se získá uvažováním posuvného a roačního pohybu rozpojovacího orgánu (prozaím se ve výpočech uvažoval pouze posuvný pohyb). V dalším zpřesnění může bý celá problemaka rozpojování hornn řešena aké jako náročnější dynamcká úloha (v éo prác řešena jen kvazsacká úloha) s uvažováním hmonosních účnků a hlavně vlvu deformační rychlos přímo zahrnué v chování maerálu. Pro další komplexnější řešení bude vhodné respekova aké další vsupní sochascké paramery (v prezenovaném modelu jsou použy jen čyř nezávslé sochascké vsupy, keré souvsí s maerálem planové rudy). Jako další sochascké vsupní velčny se jeví aké možné respekování nahodlých charakersk geomere nože (hlavně časově závslý poloměr oupení R a pak aké řezné úhly, vz obr. 9.) a výška záběru nože v planové rudě. Méně významné, avšak aké vhodné, se jeví respekování sochasckých vlasnosí maerálu nože a slnuého karbdu, vz obr Maerál planové rudy je ve své podsaě slně anzoropní a nehomogenní, avšak z ohoo pohledu fyzky maerálu zřejmě ješě nkdo expermenálně neurčoval jeho mechancké vlasnos. Teno nedosaek byl aké čásečně odsraněn zde prezenovaným zoropním a homogenním elasoplascký maerálem se sochasckým vlasnosm. Vznk a rozvoj plasckých deformací v planové rudě je řízen zvolenou eorí HMH se sochasckým vlasnosm. Nkde v dosupné lerauře zřejmě neexsují žádné nformace ýkající se blžších údajů o schémau vznku a rozvoje plasckých deformací (doporučený var plochy plascy ap.). Řešený maerál planové rudy (ze sloje MRNSKÝ, JR) vykazuje mísy maxmálně 6% plany, maxmálně 7% paláda a maxmálně 5% zlaa. Jedná se edy o várný maerál a proo je zřejmě aplkace eore HMH vhodná, vz [7]. Jako vhodná alernava pro anzoropní maerál (budou-l známá expermenální daa) se jeví HIOV plocha plascy (j. rozšíření eore HMH pro anzoropní maerály). Uvedený posup lze aké použí pro řešení problemaky procesu rozpojování hnědého nebo černého uhlí nebo jných hornn a rud. Jný přsup k řešení problemaky rozpojování hornn (uhlí) je předveden aké v referencích [] a []. V éo úloze (konkréní aplkace pro průmysl) je předvedena pravděpodobnosní koncepce posouzení dynamckých vlasnosí pro návrh zkušebního sroje pro esování únavy železnčních náprav (sručné řešení prosorové úlohy dynamky modální analýza a ransenní úloha s uvažováním lneárního maerálu). Př řešení byly využy především programy nhll, MSC.Marc/Mena a Pyhon, vz kapoly 6., 6. a 6.4. Sanovení posudku spolehlvos (provozuschopnos) je jedním z nejčasějších požadavků př řešení konsrukc nebo srojních čásí. V pozadí každého posudku spolehlvos je vždy eore pravděpodobnos a sasky (nuné respekování nejso zaížení, rozměrů, výpočových modelů, degradačních procesů, maerálových vlasnosí ap.). Problémem je, že yo nejsoy se mnohdy vůbec nerespekují. Z hledska projekana se edy věšna současných norem jeví jako deermnscké (aplkace čených součnelů, doporučených vzorců ap. a o mnohdy bez přímého fyzkálního opodsanění), což ale ve svém důsledku odporuje realě. Správným přísupem, kerý respekuje možnou (reálnou) varablu vsupních výsupních velčn je edy pravděpodobnosní přísup (např. zde použá meoda SBR). Současné evropské normy defnují kvalu železnčních náprav včeně jejch únavových esů, blíže vz [8] až []. Únavové esy železnčních dvojkolí v měříku : jsou nezbyné pro bezpečnos železnční dopravy. Z ohoo důvodu je zkonsruován (v podnku BONTRNS GROUP a.s., Bohumín, ČR) nový druh zkušebního sroje (zv. rezonáor), vz obr.., kerý je založen na prncpu zaěžování odsředvou slou Fo /N/ (namáhání ohybem za roace, kde /kg/ je hmonos přídavného závaží, /m/ je poloměr ěžšě přídavného závaží a /rad s / je úhlová rychlos přídavného závaží). Únavová zkouška je řízena enzomercky pro požadovanou hladnu únavového zaížení. Pro správný návrh nového masvního zkušebního sroje pro únavové esování železnčních náprav, keré jsou rozměrné, je velm důležé zná základní dynamcké charakersky celého sysému. Pro bezpečné určení ěcho charakersk je nejvhodnější aplkova pravděpodobnosní přísupy, přčemž lze výhodně a nově aké využí kombnac MKP (komerční sofware MSC.Marc/Mena 8r) s meodou SBR (sofware nhll). Prvoní výpočy éo úlohy byly deermnscké povahy, vz [8], [4] a [4], avšak ao kapola se zaměřuje na moderní pravděpodobnosní přísup k řešení, kerý mnohem lépe vyshuje realu skuečnos. Deal uchycení nápravy a její přjaelné zjednodušení pro model síě konečných prvků (- uzlové kvádříkové prvky, řídy hex) jsou znázorněny na obr.. a.. Základ sroje je vořen z železobeonu ("CONCRT") a železnční náprava je vyrobena z ocel ("ST"). 4 5

59 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava (jednodušší úloha) byl proveden anczosovou meodou a následně byla provedena aké ransenní analýza (složější úloha rozběh sroje až do usáleného savu). Obr.. Deal expermenálního modelu zkušebního sroje a prncp zkušebního sroje na únavové esy. Obr.. Modely síě konečných prvků s - a 6- nelneárním pružnam.. Sručně o řešení programem nhll, MSC.Marc/Mena a Pyhon úloha Př pravděpodobnosním výpoču bylo použo šes základních náhodných maerálových vsupů a o Possonova čísla, modulu pružnos a husoy pro ocel, vz obr..4, a železobeon, vz obr..5. Generování ěcho vsupů bylo provedeno v programu nhll pro smulací dle zadaných hsogramů (generáor pseudonáhodných čísel nasaven na Inal xreme Samplng z důvodu zachycení maxmálních a mnmálních hodno hsogramů). Osaní velčny (maerálové lumení, geomere, charakersky pružn a zaížení) jsou deermnscké (j. konsanní). Obr..4 Hsogramy maerálu ocel (Possonovo číslo, modul pružnos a husoa). Obr.. Model síě konečných prvků. Dvě verze zkušebních srojů (s různým rozměry a s různým počem pryžových pružn s lumením a nelneární charakerskou) byly řešeny, vz obr... Také bylo uvažováno Rayleghovo maerálové lumení ocel železobeonu. Vlasní výpoče modální analýzy Obr..5 Hsogramy maerálu železobeon (Possonovo číslo, modul pružnos a husoa). 6 7

60 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Pro výpoče éo časově náročné úlohy byl použý superpočíač na VŠB-TU Osrava (pro modální analýzu bylo použo CPU a pro ransenní analýzu CPU). Pro pre a pos processng byly použy programy MSC.Mena a Pyhon v..5. Výpočy byly provedeny programem MSC.Marc. Sručný posup řešení úlohy modální analýzy je následující:. V programu MSC.Mena se vyvořl model zadané úlohy, kerý se uložl do souboru s názvem zkus-sroj-unava-modal.mud. Výpoče je nasaven ak, aby byly vypočeny krcké frekvence v zadaném nervalu až 5 Hz.. V programu nhll se vygenerovaly pořebné náhodné proměnné pro smulací (obr..4 a.5) a následně uložly do souboru s názvem csla.csv. Generování a záps rvá cca mnuu.. V programu Pyhon, se oevřel soubor csla.csv a v cyklu pro smulací se provedly pořebné změny vsupních paramerů pro každou smulac (dle hsogramů z obr..4 a.5), vz obr..6. Tyo změny (vsupní daa pro každou smulac) se zapsaly pro program MSC.Mena do souborů.proc až.proc, vz např. obr..7. V programu Pyhon se zároveň aké přpravl dávkový soubor sar.proc až sa.proc, keré se odkazují na procedury.proc až.proc. Nuno podoknou, že program Pyhon je aké součásí nsalačníhoo balíku sofware MSC.Marc/Mena a lze jej aké používa samosaně. Čas operací prováděných v omo bodu rvá cca. mnu.. Obr..8 Soubor vypoce.ba (záps pro spušění výpoču v operačním sysému Wndows). Obr..6 Skrp v programu Pyhon (příprava da pro program MSC.Mena). 8 Obr..7 Soubor..proc (program MSC.Mena. smulace),, kerá vznkla dle algormu z obr V programu MSC.Mena se spusí výše uvedené procedury sar.proc až sa.proc paralelně na - CPU. Vznknou soubory zkus-sroj-unava-modal.da až zkussroj-unava-modal_.da, keré slouží pro spušění výpoču MKP v programu MSC.Marc. Čas operací prováděných v omo bodu rvá přblžně 5 mnu. 5. V programu Pyhon se poměrně jednoduchým způsobem vyvoří dávkové soubory s názvem vypoce.ba až vypoce.ba (záps pro operační sysém Wndows), vz např. obr..8, keré se odkazují na spušění programu MSC.Marc s paramery daným soubory zkus-sroj-unava-modal_.da až zkus-sroj-unava-modal_.da. Čas operací prováděných v omo bodu rvá přblžně.5 mnu. 6. V dalším kroku se spusí paralelně na - CPU soubory vypoce.ba až vypoce.ba, vz např. obr..8, keré spoušějí výpočů MKP v programu MSC.Marc. Po výpoču vznknou výsledkové soubory zkus-sroj-unava- je nejnáročnější modal_.6 až zkus-sroj-unava-modal_.6. Teno bod čásí celého procesu a výpoče smulací rval přblžně mnu. 7. V programu Pyhon se přpraví procedury vysledky.proc až vysledky.proc, keré jsou určeny pro záps výsledků programem MSC.Mena. Čas operací prováděných v omo bodu rvá cca.5 mnu. 8. Po spušění programů MSC.Mena na - CPU, se spusí procedury vysledek.proc až vysledek.proc (sekvence příkazů programu MSC.Mena), vz např. obr..9, keré zapíší do jednoduchých exových souboru vysledky-.ab až vysledky- 9

61 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava.ab, prvních 8. krckých frekvencí, vz obr... Čas operací prováděných v omo bodu rvá cca 8 mnu. Obr..9 Procedura pro zpracování výsledků v programu MSC.Mena (čás souboru vysledek.proc). Obr.. Příklady vypočených hsogramů a dsrbučních funkcí pro. až 8. krckou frekvenc (výpoče proveden pro nelneárních pružn a pro smulací). Obr.. Záps výsledkůů z. smulace vyvořené programem MSC..Mena (soubor vysledky-.ab). 9. V programu Pyhon se načou výsledky ze souborů vysledky-.ab až vysledky- lze následně.ab a uloží se do jednoho souboru vysledky.csv, jehož výsledky zpracova v programu Malab, xcel, Mahcad aj. (vz obr..). Čas operací prováděných v omo bodu rvá cca. mnu. Posup řešení ransenní analýzy je obdobný (př výpoču však bylo, z důvodů vyšší náročnos úlohy, využo jného počíače se CPU). Hsogramy a dsrbuční funkce. až 8. krcké frekvence jsou znázorněny na obr... Tyo hsogramy byly vyvořeny v programu xcel po donsalování ulky nalycké násroje v Možnosech aplkace xcel a podsekc doplňky (podrobnos pro MS Offce 7 na nerneu: hp://offce.mcrosof.com/en-us/excel/h85.aspx). Ve zkoumaném nervalu až 5 Hz se edy vyskyuje jen 8 krckých frekvencí. Je zřejmé, že někeré frekvence jsou dvojnásobné (. a., 5. a 6., 7. a 8.). Nejvýznamnější je 7. a 8. krcká f CR 7,8 frekvence f (obr..e), kerá se pohybuje v nervalu CR 7,8 (.64; 4. ) Hz. Tao frekvence dává dosaečně velké průhyby hřídele nápravy, což bude vyhodnoceno v závěru kapoly. Nžší krcké frekvence (. až 6.) jsou navíc mmo pracovní nerval zkušebního sroje, kerý je n b ( ; 5) Hz. Z výsledků ransenních analýz rozběhu rezonáoru (seady-sae values, vz obr.. a.), lze spočía radální posunuí u RD = u v /m/ a axální posunuí w /m/ na konc poloosy ve sřednc hřídele (uzel 58). Vykreslení posunuí u RD v závslos na frekvenc n b /Hz/ roace hřídele pro jednu smulac je znázorněno na obr..4a a pro smulací je znázorněno na obr..4b.

62 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Obr..4 Závslos radálního průhybu u RD uzlu 58 na frekvenc roace n pro model b s - pružnam. Výsledky získané pomocí MKP a) výsledek jedné smulace b) výsledek smulací meodou Mone Carlo. Obr.. Závslos posunuí u, v /m/ na čase /s/ v uzlu 58 (ransenní analýza, frekvence roace n b = 5 Hz, výsledek jedné smulace získaný pomocí MKP). Obr.. Výsledné posunuí v čase =.45 s (deformace zvěšeny, ransenní analýza, frekvence roace n b = 5 Hz, výsledek jedné smulace získaný pomocí MKP). Obr..5 Závslos maxmálního ohybového napěí σ na frekvenc roace b n pro model s - pružnam. Výsledky získané pomocí MKP a) výsledek jedné smulace b) výsledek smulací meodou Mone Carlo.

63 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Z porovnání obr..4a a.4b je dobře parné zachycení reálného rozpylu, kerý je způsoben použým sochasckým přísupem řešení. Nakonec mohou bý sanoveny maxmální ohybové napěí σ /MPa/ dle obecných základních vzahů pružnos a pevnos pro veknuý nosník, vz obr..5. Vyšší hodnoy ohybových napěí než mez kluzu (obr..5) jsou počíané s chybou, proože plascu maerálu, vzhledem k formulac úlohy, není, nuné uvažova. Ncméně, základní dynamcké charakersky jsou sanoveny dosaečně přesně, proože únavový es se provádí př napěích pod mezí kluzu. Z rozboru obr..5b a požadovaných podmínek únavových esů (maxmální ohybové napěí MPa, blíže vz [bonar-norma] až [bonar-norma]), lze sanov nerval pracovních frekvencí (oáček) únavového sroje n b WORK (.78; 5.8) Hz, kerý po přepoču odpovídá až 677 generovaným únavovým cyklům za den (j. možnos provádění vysokocyklových únavových zkoušek v reálných časech několka dnů).. Pravděpodobnosní posudky provozuschopnos (spolehlvos) zkušebního sroje úloha Z projekové dokumenace a rozboru pohonu je zřejmé, že zkušební sroj se bude nb nb MIN ; nb MX, kde n b MIN = Hz a n b MX = 5 Hz. provozova př oáčkách ( ) Pravděpodobnosní posudek provozuschopnos (j. zda je sroj vhodný k esování únavy maerálu železnčních náprav) může bý v éo úloze defnován řem krér:. Nejvýznamnější krcká frekvence f (.64; 4.) Hz CR 7,8, vz obr..e, by měla bý (vzhledem ke konsrukčním možnosem zkušebního sroje a maxmálnímu zkrácení doby únavových esů) menší nebo rovna oáčkám n. První funkc provozuschopnos RF lze pak defnova vzahem: b MX Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Dle výpočů byl navržen nový zkušební sroj pro esování únavy maerálu železnčních náprav v podnku BONTRNS GROUP a.s., Bohumín, ČR. Pravděpodobnosní výpočy (nové a unkání spojení MKP s meodou SBR př řešení dynamckých úloh, model respekoval 6 náhodných proměnných popsujících maerálové vlasnos a osaní paramery modelu zůsaly deermnscké, smulací meodou Mone Carlo) bezpečně povrdly správnos navržené konsrukce. Orgnální spojení MKP (MSC.Marc/Mena sofware s využím programu Pyhon) a meody SBR, společně s využím víceprocesorových superpočíačů přnáší (v poměrně krákém výpočením čase) daleko přesnější a reálnější výsupy ( s jejch varablou) než je omu u sarších deermnsckých přísupů. V budoucnos je vhodné, v případu pořeby, celý algormus řešení (sručně vysvělený v kapole.) aké zjednoduš. Nabízí se přímo edova vsupy pro výpoče v sofware MSC.Marc (j. soubory.da), keré povedou ke zrychlení přípravy výpočů. Prvoní únavové esy, prováděné na jž vyrobeném zkušebním sroj, povrzují vypočený nerval pracovních frekvencí zkoušek n b WORK (.78; 5.8) Hz. V budoucnos je možné uvažova aké další vsupy aké jako náhodné velčny. Nabízí se především maerálové lumení a rozměry a v druhé řadě aké charakersky uhos a lumení pryžových pružn ve spodní čás zkušebního sroje. Spojení šrokých výpočových možnosí komerčních sofware MKP se sochasckou (reálnou) podsaou děje a posudku spolehlvos (j. s meodou SBR), přnáší nové a donedávna ješě neušené a nedosupné možnos numerckého modelování. RF = n f. (.) b MX CR 7,8. Inerval pracovních frekvencí únavového sroje (.78; 5.8) Hz n WORK b, vz obr..b, by měl bý (vzhledem ke konsrukčním možnosem zkušebního sroje a povaze měření) menší nebo roven krcké frekvenc f. Druhou funkc provozuschopnos RF lze pak defnova vzahem: CR 7,8 RF = f. (.) CR n 7,8 b WORK. Inerval pracovních frekvencí únavového sroje (.78; 5.8) Hz n WORK b, vz obr..b, by měl bý (vzhledem ke konsrukčním možnosem zkušebního sroje) věší nebo roven oáčkám n b MIN. Třeí funkc provozuschopnos RF lze pak defnova vzahem: RF = n n. (.) b WORK b MIN Z prezenovaných výsledků je zřejmé, že nerovnce (.) až (.) jsou splněny ve všech smulovaných případech a proo je konsrukce zkušebního sroje navržena správně. 4 5

64 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava ITRTUR [] NSYS RS 6. DOCUMNTTION: SS IP, Inc., U.S..,. [] BOURGUND, U., BUCHR, C.G.: Code for Imporance Samplng Procedure Usng Desgn Pons ISPUD User s Manual, Ins. ng. Mech., Innsbruck Unversy, Repor No. 8-86, 986. [] BROZZTTI, J., GUŠTR, M., IVNYI, M., KOWCZYK, R., MRK, P., VITKVICIUS, V., T.:. TRCO Teachng Relably Conceps usng Smulaon, eonardo da Vnc Programme, uropean Commsson, Projec No. CZ/98//85/PI/I...a/FPI,. [4] ČSN , Zaížení savebních konsrukcí, včeně změny a) (99) a změny ) (994). [5] ČSN 7 4: Navrhování ocelových konsrukcí, Český normalzační nsu, Praha, 998. [6] ČSN , Zaížení mosů, včeně změny a) (988) a změny b) (989). [7] DOSTÁ, Z., PRKS, P.: Numercké aspeky rozšíření SBR na sysémy, Sborník konference Spolehlvos konsrukcí, ISBN 8--4-, Osrava,, pp.9-4. [8] N Ralway pplcaons Wheelses and Boges Non-Powered xles Desgn Mehod. [9] N 4 Ralway pplcaons Wheelses and Boges Powered xles Desgn Mehod. [] N 6 Ralway pplcaons Wheelses and Boges xles Produc Requremens. [] UROCOD - N 99, Desgn of Seel Srucure. [] FBIÁN, F, KUIBR, Z.: Meoda Mone Carlo a možnos jejího uplanění, Prospekrum spol. s r. o., ISBN , Praha, 998, pp.5. [] FOGR, M.: Srucure-Sol Ineracon of cologcal Overbrdges Durng Consrucon, In CD-ROM: Book of Proceedngs MCHNIC STRUCTURS ND FOUNDTION NGINRING, Deparmen of Mechancs of Maerals, Faculy of Mechancal ngneerng, VŠB Techncal Unversy of Osrava, ISBN , Osrava,, pp.-9. [4] FRYDRÝŠK, K: nalyss of Hard Rock Dsnegraon Process va MSC.MRC/MNTT Sofware, In CD-ROM: Sekání užvaelů INFO DNY 8, MSC.Sofware 8, s.r.o., Brno, 8, pp.-. [5] FRYDRÝŠK, K.: nalýza spolehlvos pro nosník na pružném nelneárním podloží, In: Sborník referáů IX. ročník celosání konference se zahranční účasí SPOHIVOST KONSTRUKCÍ 8, ÚTM V ČR Praha v.v.. & VŠB-TU Osrava, ISBN , Praha, 8, pp.6-6. [6] FRYDRÝŠK, K.: Beam on lasc Foundaon wh ongudnal Changes (Soluon va SBR Mehod), In: Sborník vědeckých prací Vysoké školy báňské Techncké unverzy Osrava, řada srojní, vol IV, no., 8, ISSN -47, ISBN , pp Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava [7] FRYDRÝŠK, K.: Beams on lasc Foundaon Solved va SBR Mehod, In: Book of exended absracs, h Inernaonal Scenfc Conference ppled Mechancs 8, ISBN , Slesan Unversy of Technology, Faculy of Mechancal ngneerng, Deparmen of ppled Mechancs, Glwce, Poland, 8, pp.-4 (full verson also on CD). [8] FRYDRÝŠK, K.: Dynamc Characerscs of a new Machne for Fague Tesng of Ralway xles, In: Sborník vědeckých prací Vysoké školy báňské Techncké unverzy Osrava, řada srojní, vol III, no., 7, ISSN -47, ISBN , pp [9] FRYDRÝŠK, K.: Fne lemen Model of he Ore Dsnegraon Process - Par, In: nnals of he Faculy of ngneerng Hunedoara Journal of ngneerng, Tome VI, Fasccule, ISSN , Unversy Polechnca Tmsoara, Faculy of ngneerng Hunedoara, Romana, 8, pp.-7. [] FRYDRÝŠK, K.: Modelování deformačních a napěťových savů ve zkušebních vzorcích př maerálových zkouškách prováděných jednoduchým kombnovaným záěžným savy, (dserační práce v oboru plkovaná mechanka ), VŠB-TU Osrava, Fakula srojní, 999, pp.54. [] FRYDRÝŠK, K.: Návrh průměru hřídele př zadané přípusné pravděpodobnos poškození (Performance-Based Desgn), In: Sborník referáů IX. ročník celosání konference se zahranční účasí SPOHIVOST KONSTRUKCÍ 8, ÚTM V ČR Praha v.v.. & VŠB-TU Osrava, ISBN , Praha, 8, pp.7-4. (plná verze na CD). [] FRYDRÝŠK, K.: Nosníky a rámy na pružném podkladu, VŠB-TU Osrava, Fakula srojní, ISBN , Osrava, 6, pp.46. [] FRYDRÝŠK, K.: Performance-Based Desgn ppled for a Beam Subjeced o Combned Sress, In: nnals of he Faculy of ngneerng Hunedoara Journal of ngneerng, Tome VI, Fasccule, ISSN , Unversy Polechnca Tmsoara, Faculy of ngneerng Hunedoara, Romana, 8, pp.9-4. [4] FRYDRÝŠK, K.: Prakkum sofware MSC.MRC/MNTT - čás, skrpum, Faculy of Mechancal ngneerng, VŠB-Techncal Unversy of Osrava, Osrava, ISBN , Osrava, 9, Czech Republc, pp.54. [5] FRYDRÝŠK, K.: Pravděpodobnosní přísup př řešení jednoduchého mosu uloženého na pružném podloží, In: Sborník příspěvků konference Modelování v mechance 7, Fakula savební, VŠB-TU Osrava, ISBN , Osrava, 7, pp.7-7. (full verson also on CD). [6] FRYDRÝŠK, K.: Probablsc nalyss of he Hard Rock Dsnegraon Process, ca Polyechnca, ISSN: -79, Vol. 48, No. 4, 8, pp [7] FRYDRÝŠK, K.: Relably nalyss of Beam on lasc Nonlnear Foundaon, In: ppled and Compuaonal Mechancs, vol., no., 7, ISSN 8-68X, Unversy of Wes Bohema, Plzeň, Czech Republc, pp [8] FRYDRÝŠK, K.: Relably nalyss of Beams on lasc Nonlnear Foundaon, In: Sborník příspěvků meznárodní konference Modelování v mechance 8, VŠB-TU Osrava, Fakula savební, Osrava, Czech Republc, 8, pp.9- (full verson on CD). 6 7

65 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava [9] FRYDRÝŠK, K.: Relably ssessmen and Performance-Based Desgn ppled for Beams on lasc Foundaon, In: Proceedngs of he hrd nernaonal conference "Relably, Safey and Dagnoscs of Transpor Srucures and Mean 8", ISBN ,, Unversy of Pardubce, 8, Czech Republc, pp [] FRYDRÝŠK, K.: SBR Mehod and Performance-Based Desgn ppled for Beams, In: New Mehods of Damage and Falure nalyss of Srucural Pars, ISBN ,, Faculy of Meallurgy and Maeral ngneerng, VŠB-Techncal Unversy of Osrava, Osrava, 8, Czech Republc, pp [] FRYDRÝŠK, K.: Soluon of he Beams on lasc Foundaon Usng Superposon Prncples, In: Proceedngs of nd Conference wh Inernaonal Parcpaon Compuaonal Mechancs 5, vol., ISBN , Plzeň, Unversy of Wes Bohema n Plsen, 5, Czech Republc, pp [] FRYDRÝŠK, K.: Soluon of he Smple Brdge on lasc Foundaon va Probablsc pproach, In: Book of exended absracs, 9 h Inernaonal Scenfc Conference ppled Mechancs 7, ISBN , Deparmen of Mechancs of Maerals, Faculy of Mechancal ngneerng, VŠB-Techncal Unversy of Osrava, Osrava, Czech Republc, 7, pp.79-8 (full verson also on CD). [] FRYDRÝŠK, K.: Sochasc Soluon and valuaon of he Ore Dsnegraon Process, In: Proceedngs of he 9 Inernaonal Conference on Scenfc Compung CSC9, ISBN: , CSR Press, as Vegas, US, 9, pp [4] FRYDRÝŠK, K.: Superposon Prncple and Soluon of he Beams on lasc Foundaon, In: Book of xended bsracs, Inernaonal Scenfc Conference on he Occason of he 55 h nnversary of Foundng he Faculy of Mechancal ngneerng, Sesson 9, Compuaonal and xpermenal nalyss of Srengh, ISBN X, Osrava, 5, Czech Republc, pp.- (full verson also on CD). [5] FRYDRÝŠK, K: Smulaon-Based Relably ssessmen and Performance-Based Desgn ppled for Beams, In: Book and CD-ROM of rd Inernaonal Conference From Scenfc Compung o Compuaonal ngneerng" ( rd IC-SCC), pp.-8, hens, Greece. [6] FRYDRÝŠK, K.: The Torson Tes Smulang for Shor Specmens, Sborník vědeckých prací Vysoké školy báňské Techncké unverzy Osrava, řada srojní, no., vol. XV, 999, ISBN , ISSN -47, pp [7] FRYDRÝŠK, K.: Vybrané kapoly z pružnos a plascy, Faculy of Mechancal ngneerng, VŠB-Techncal Unversy of Osrava, Osrava, ISBN , Osrava, 9, Czech Republc, pp.6. [8] FRYDRÝŠK, K.: Výpočová zpráva spojky důlního řeězu zaíženého slou 6 kn, Deparmen of Mechancs of Maerals, Faculy of Mechancal ngneerng, VŠB- Techncal Unversy of Osrava, Osrava,, pp.-9. [9] FRYDRÝŠK, K.: Výpočová zpráva syku nože a planové rudy př ěžbě (Calculaon Repor on Conac beween he B and Planum Ore Durng Mnng), 7, Czech Republc, 7, pp.7 (n Czech language). [4] FRYDRÝŠK, K., DÁMKOVÁ,.: Mechancs of Maerals - xended don (Inroducon, Smple Sress and Sran, Basc of Bendng), skrpum, Faculy of Mechancal ngneerng, VŠB-Techncal Unversy of Osrava, Osrava, ISBN , Osrava, 8, Czech Republc, pp.. Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava [4] FRYDRÝŠK, K., FJKOŠ, R.: Proposal Calculaon for a Machne for Fague Tesng of Ralway xles, In: ca Mechanca Slovaca (44 rd Inernaonal Conference xpermenal Sress nalyss 6 ), vol., no., Faculy of Mechancal ngneerng, The Techncal Unversy n Košce, Košce, Slovaka, 6, ISSN 5-9, pp.9-4. [4] FRYDRÝŠK, K., FRIS, J.: Pevnosní analýzy bubnu pásových dopravníků, In: Techncká dagnoska (6. meznárodní konference DIGO 7, Techncká dagnoska srojů a výrobních zařízení), socace echnckých dagnosků ČR, Zlín, vol. XVI, no. z, 7, ISSN -X, p. 4, (full verson also on CD). [4] FRYDRÝŠK, K., FUSK, M., HRBC, J.: Prakkum sofware MSC.MRC/MNTT - čás, Faculy of Mechancal ngneerng, VŠB-Techncal Unversy of Osrava, Osrava, ISBN , Osrava,, Czech Republc, pp.44. [44] FRYDRÝŠK, K., GNV, N.: Possbles of FM for Verfcaon of X-Ray Measuremen of Resdual Sresses, In: Book of Conrbuons of 46 h Inernaonal Scenfc Conference xpermenal Sress nalyss 8, ISBN , Deparmen of Mechancs of Maerals, Faculy of Mechancal ngneerng, VŠB- Techncal Unversy of Osrava, Osrava, 8, Czech Republc, pp (full verson also on CD). [45] FRYDRÝŠK, K., GONDK, H.: Hard Rock Dsnegraon Process Solved va FM, In: New Mehods of Damage and Falure nalyss of Srucural Pars, ISBN ,, Faculy of Meallurgy and Maeral ngneerng, VŠB-Techncal Unversy of Osrava, Osrava, 8, Czech Republc, pp [46] FRYDRÝŠK, K., GONDK, H.: FM nalyss of Hard Rock Dsnegraon Process, In: Book of exended absracs, h Inernaonal Scenfc Conference ppled Mechancs 8, ISBN , Slesan Unversy of Technology, Faculy of Mechancal ngneerng, Deparmen of ppled Mechancs, Glwce, Poland, 8, pp.5-6 (full verson also on CD). [47] FRYDRÝŠK, K., GONDK, H.: Fne lemen Model of he Ore Dsnegraon Process, In: nnals of he Faculy of ngneerng Hunedoara Journal of ngneerng, Tome VI, Fasccule, ISSN , Unversy Polechnca Tmsoara, Faculy of ngneerng Hunedoara, Romana, 8, pp.-8. [48] FRYDRÝŠK, K., GONDK, H.: Soluon of Hard Rock Dsnegraon Process, In: Book of Conrbuons 46 h Inernaonal Scenfc Conference xpermenal Sress nalyss 8, ISBN , Deparmen of Mechancs of Maerals, Faculy of Mechancal ngneerng, VŠB-Techncal Unversy of Osrava, Osrava, 8, Czech Republc, pp (full verson also on CD). [49] FRYDRÝŠK, K., GONDK, H., NVŘ, M., HDRV, P.: Pevnosní anylýzy spojek článkových řeězů (nalza wyrzymałoścowa złączy ognwowego cęgna łańcuchowego przenośnka zgrzebłowego), In: XVI Mędzynarodowa konferencja naukowo-echnczna TMG 8, ISBN , Glwce-Usroń, Polsko, 8, pp.-7. [5] FRYDRÝŠK, K., JNČO, R.: Nosníky a rámy na pružném podkladu, FS VŠB-TU Osrava, ISBN , Osrava, 8, pp.56. [5] FRYDRÝŠK, K., NRT, J.: Mechancs of Maerals, skrpum, HGF VŠB-TU Osrava, ISBN , Osrava, 5, Czech Republc, pp

66 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava [5] FRYDRÝŠK, K., MRK, P.: Posudek spolehlvos nosníku na pružném podkladě meodou SBR, In: Sborník referáů VIII. ročník celosání konference se zahranční účasí SPOHIVOST KONSTRUKCÍ 7, ÚTM V ČR Praha v.v.., ISBN , Praha, 7, pp.7-. [5] FRYDRÝŠK, K., MRVOVÁ, B., JÁGROVÁ, B.: Vybrané kapoly z pružnos a plascy, skrpum, Faculy of Mechancal ngneerng, VŠB-Techncal Unversy of Osrava, Osrava, ISBN , Osrava, 8, Czech Republc, pp.7. [54] FRYDRÝŠK, K., PYSZKO, R., FOJTÍK, Z.: D Modellng of Transen Thermal Sress- Sran Saes n he Mold for Connuous Casng, In: Book of exended absracs, 9 h Inernaonal Scenfc Conference ppled Mechancs 7, ISBN , Deparmen of Mechancs of Maerals, Faculy of Mechancal ngneerng, VŠB- Techncal Unversy of Osrava, Osrava, 7, pp (full verson also on CD). [55] FRYDRÝŠK, K., VÁCVK,.: Beams on lasc Foundaon Solved va SBR Mehod, In: Sborník příspěvků meznárodní konference Modelování v mechance 6, Fakula savební, VŠB-TU Osrava, ISBN , Osrava, Czech Republc, 6, pp (full verson also on CD). [56] FRYDRÝŠK, K., VÁCVK,.: Probablsc ssessmen of Beams on lasc Foundaon, In: Book of xended bsracs, 8 h Inernaonal Scenfc Conference ppled Mechancs 6, Západočeská unverza v Plzn, ISBN , Plzeň, 6, Czech Republc, pp.- (full verson also on CD). [57] FRYDRÝŠK, K., VÁCVK,.: Soluon of he beams on elasc foundaon (deermnsc and probablsc approach), In: Book of xended bsracs of Naonal Conference wh Inernaonal Parcpaon ngneerng Mechancs 6, Insue of Theorecal and ppled Mechancs cademy of Scences of he Czech Republc, ISBN , Praha, 6, pp.7-7 (full verson also on CD). [58] FRYDRÝŠK, K., VÁCVK,., KUČR, J., NRT, J.: The Sudy of Cyclcal Conac beween Two Spheres n he Feld of ow-cycle Fague, Sborník vědeckých prací Vysoké školy Báňské Techncké unverzy Osrava, číslo, řada srojní, vol XVI,, ISBN , pp [59] FRYDRÝŠK, K., VÁCVK,., KUČR, J., NRT, J.: The Sudy of Cyclcal Conac Beween Two Spheres n The Feld of ow-cycle Fague Par, Sborník vědeckých prací Vysoké školy Báňské Techncké unverzy Osrava, číslo, čás, vol XVII, řada srojní,, ISBN , ISSN -47, pp [6] FUSK, M., FRYDRÝŠK, K.: The Torson Tes Smulang for shor specmens Par, Sborník vědeckých prací Vysoké školy Báňské Techncké unverzy Osrava, číslo, řada srojní, vol XVI,, ISBN , pp [6] GNV, N., FRYDRÝŠK, K., KOŘÍK, K.: Possbles of FM for Verfcaon of X- Ray Measuremen of Resdual Sresses Deph Dsrbuon, In: Book of exended absracs, 9 h Inernaonal Scenfc Conference ppled Mechancs 7, ISBN , Deparmen of Mechancs of Maerals, Faculy of Mechancal ngneerng, VŠB-Techncal Unversy of Osrava, Osrava, 7, pp (full verson also on CD). [6] GONDK, H.: nalýza dynamckého zaížení důležých součásí pluhové sousavy (nalyss of Dynamc oads of Imporan Pars of Coal Plough Sysem), kanddáská dserační práce, Faculy of Mechancal ngneerng, VŠB-Techncal Unversy of Osrava, Osrava, 978, Czech Republc, pp.98. Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava [6] GONDK, H., FRYDRÝŠK, K.: Řešení konaku rozpojovací nůž hornna př použí nože s kuželovým břem, In: "Výzkum rozpojování hornn řezným násroj, valvým dláy a vodním paprskem" - sborník příspěvků meznárodního semnáře u příležos sedmdesán Prof. Ing. JaroslavaVaška, DrSc., Úsav geonky V ČR, ISBN , Osrava, 8, pp [64] GUŠTR, M.: Moderní meody smulace sysémů- meoda SBR, dserační práce, FI VŠB-TU Osrava, Osrava,, pp.44. [65] HM. R., FRYDRÝŠK, K.: Conac Fague Solved va FM, In: Sborník 5 h Inernaonal Scenfc Conference ppled Mechancs, Wydawncwo Kaedry Mechank Sosowanej, Glwce, Polsko,, ISBN , pp [66] HDR., MHDVN S.: Probably, Relably and Sascal Mehods n ngneerng Desgn, John Wlley & Sons, Inc, New York,, ISBN [67] HTÉNYI, M.: Beams on lasc Foundaon, nn rbor, Unversy of Mchgan Sudes, US, 946. [68] HORÁK, J., V., HORÁKOVÁ, D.: Thermoelasc Body Model n Nonlnear Response nvronmen Mahemacal Model and pproxmaon, In CD-ROM: Book of Proceedngs MCHNIC STRUCTURS ND FOUNDTION NGINRING, Deparmen of Mechancs of Maerals, Faculy of Mechancal ngneerng, VŠB Techncal Unversy of Osrava, ISBN , Osrava,, pp.-. [69] HÖSCH, C.: Pružnos a pevnos ve srojncví, SNT - Sání nakladaelsví echncké leraury Praha, 97. [7] hp:// Inroducon o Fne lemen Mehods (SN 57) Fall 7, Deparmen of erospace ngneerng Scences, Unversy of Colorado a Boulder, Chaper, dvanced One-Dmensonal lemen [7] HUDÁK, J.: Spoľahlvos ocelových konšrukcí a meoda medzných savov, Techncká unversa v Košcach, Košce,. [7] HUDÁK, J.: Únavové namáhane oceľových konšrukcí, Techncká unverza v Košcach, Košce,. [7] ISO 94: 998(), General Prncples on Relably for Srucures, 998, hp:// [74] ISO 8: (), Bases of Desgn of Srucures - sessmen of xsng Srucures,, hp:// [75] ISO 5686-: (), Buldng and Consruced sses - Servce fe Plannng,, hp:// [76] JNČO, R.: Soluon Mehods for Beam and Frames on lasc Foundaon Usng he Fne lemen Mehod, In CD-ROM: Book of Proceedngs MCHNIC STRUCTURS ND FOUNDTION NGINRING, Deparmen of Mechancs of Maerals, Faculy of Mechancal ngneerng, VŠB Techncal Unversy of Osrava, ISBN , Osrava,, pp.-. [77] KONČNÝ, P.: Relably of Renforced Concree Brdge Decks wh Respec o Ingress of Chlordes, (Dokorská dserační práce), Fakula savební, VŠB TU Osrava, Osrava, Czech Republc, 7, pp.7 (vz aké nerneovská adresa: hp://fas.vsb.cz/konecny/fles/konecny-docoral_dsseraon.pdf).

67 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava [78] KONČNÝ, P., MRK, P. (DITORS): Spolehlvos konsrukcí - éma: "K cesě od pravděpodobnosního posuzování spolehlvos konsrukcí k negrovanému navrhování", sborník referáů: IX. ročník celosání konference se zahranční účasí, ISBN: , UTM VČR Praha, VŠB-TU Osrava, 8, pp.4. [79] KONČNÝ, P., MRK, P., GUŠTR, M.: Druhá dekáda rozvoje meody SBR (přehled referencí a hlavních akv na UTM V ČR, v.v.. a na VŠB-TU Osrava za období 997-6), Úsav eorecké a aplkované mechanky kademe věd České republky, v.v.., Praha, 7, ISBN , pp.67. [8] KOROUŠ, J., MRK, P.: Určení pravděpodobnos poruchy Pf() s přhlédnuím k výsledku konrol konsrukce, Sborník příspěvků: II. ročník celosání konference Spolehlvos konsrukcí. Dům echnky Osrava, Osrava,. [8] KRJS, M.: Pravděpodobnosní posudek nosné ocelové konsrukce s přesnou defncí referenční úrovně, Sborník příspěvků: II. ročník celosání konference Spolehlvos konsrukcí. Dům echnky Osrava, Osrava,. [8] KŘIVÝ, V., MRK, P.: Probablsc relably assessmen of a seel frame applyng he SBR mehod, n proceedngs of rd SRNe Colloquum 6, SRNe d, Glasgow, Uned Kngdom, 6, ISBN: [8] KUMMOTO, H., HNY,., J.: Probablsc Rsk ssessmen and Managemen for ngneers and Scenss, Second edon. Pscaaway, I Press, 996. [84] OKJ,.: Pravděpodobnosní přísup k návrhu a posouzení spolehlvos dřevěných konsrukcí, hablační práce, kaedra konsrukcí, Fakula savební, VŠB-TU Osrava, Osrava, 8, pp.65. [85] NRT, J.: nalycký pops deformace za creepu, Sborník příspěvků: Meznárodní vědecká konference u příležos 5 le založení fakuly srojní. Sekce 8. VŠB-TU Osrava,, ISBN X. [86] NRT, J.: Pružnos a pevnos I, skrpum, VŠB-TU Osrava, Osrava, 998. [87] NRT, J.: Pružnos a pevnos II, skrpum, VŠB-TU Osrava, ISBN , Osrava, 998. [88] MCHOVÁ, J., NTUK, H.: New pproach o he Problem of an lasc Beam Resng on a Foundaon, In CD-ROM: Book of Proceedngs MCHNIC STRUCTURS ND FOUNDTION NGINRING, Deparmen of Mechancs of Maerals, Faculy of Mechancal ngneerng, VŠB Techncal Unversy of Osrava, ISBN , Osrava,, pp.-5. [89] MRK, P., BROZZTTI, J., GUŠTR M.: Probablsc ssessmen of Srucures Usng Mone Carlo Smulaon Background, xercses and Sofware, ITM CS, Prague,, Czech Republc, ISBN , pp.47 (cd aached). [9] MRK, P., FRYDRÝŠK, K.: Relably nalyss of a Beam on lasc Foundaon, In: Book of exended absracs, 9 h Inernaonal Scenfc Conference ppled Mechancs 7, ISBN , Deparmen of Mechancs of Maerals, Faculy of Mechancal ngneerng, VŠB-Techncal Unversy of Osrava, Osrava, Czech Republc, 7, pp.59-6 (full verson also on CD). [9] MRK, P., GUŠTR, M., NGNOS, T.: Smulaon-Based Relably ssessmen for Srucural ngneers, CRC Press, Inc., Boca Raon, Florda, US, 995, ISBN , pp.65. Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava [9] MRK, P., GUŠTR, M., BTHON,.: Tragwerksbemessung von deermnsschen zu probalsschen verfahren, cadema, Nakladaelsví akademe věd ČR, 998, ISBN , pp.6. [9] MRK, P., BROZZTTI, J., GUŠTR M.: Probablsc ssessmen of Srucures Usng Mone Carlo Smulaon Background, xercses and Sofware, nd edon, ITM CS, Prague,, Czech Republc, ISBN , pp.47 (cd aached). [94] MRK, P., PUSTK, D.: Durably assessmen of seel srucures usng SBR mehod, Sborník příspěvků: rd uropean Conference on Seel Srucures. Combra, Porugal,. [95] MRK, P., VÁCVK,.: Srucural Relably ssessmen - From Componens o Sysems, In: Book of xended bsracs, Inernaonal Scenfc Conference on he Occason of he 55 h nnversary of Foundng he Faculy of Mechancal ngneerng, Sesson 9, Compuaonal and xpermenal nalyss of Srengh, ISBN X, Osrava, 5, Czech Republc, pp (full verson also on CD). [96] MRSKI,., S.: Desgn nalyss of Beams, Crcular Plaes and Cylndrcal Tanks on lasc Foundaons, nd edon, Taylor & Francs Group, ondon, UK, 6, ISBN , pp.84. [97] MNČÍK, J.: Úloha referenčních hodno př posuzování spolehlvos, Sborník příspěvků: III. ročník celosání konference Spolehlvos konsrukcí. Dům echnky Osrava, Osrava,. [98] MSC.MRC/MNTT Documenaon, MSC.Sofware Corporaon, Sana na, Calforna, US, 4. [99] MSC.MRC Volume : Demonsraon problems, Par, MSC.Sofware Corporaon, Sana na, Calforna, US, 4. [] NVŘ, M.: Pevnosní analýza řeězových spojek, dplomová práce (vedoucí dplomové práce: Karel Frydrýšek), Deparmen of Mechancs of Maerals, Faculy of Mechancal ngneerng, VŠB-Techncal Unversy of Osrava, Osrava, 8, Czech Republc, pp.7. [] NIKODÝM, M., FRYDRÝŠK, K.: Fne Dfference Mehod ppled for he Beams on lasc Foundaon xamples, In CD-ROM: Book of Proceedngs MCHNIC STRUCTURS ND FOUNDTION NGINRING, Deparmen of Mechancs of Maerals, Faculy of Mechancal ngneerng, VŠB Techncal Unversy of Osrava, ISBN , Osrava,, pp.-8. [] OKROUHÍK, M., J.: Mechanka poddajných ěles, numercká maemaka a superpočíače, Úsav ermomechanky V ČR, Praha, 997. [] PODGÓRSKI, J., JONK, J.: Numeryczne badana procesu skravana skał zoropovych, ubelske Towarzyswo Naukowe, ubln, Poland, 4, ISBN , pp.8 (n Polsh language). [4] PRKS, P.: nalýza spolehlvos s eračním řešč, (Dokorská dserační práce), Fakula elekroechnky a nformaky, VŠB TU Osrava, Osrava, Czech Republc, 5, pp.7, (vz aké vebovská sránka: hp://am.vsb.cz/heses/praks_phd.pdf). [5] PUSTK, D., MRK, P.: Předpověď doby žvonos ocelové konsrukce meodou SBR, Sborník příspěvků: plkovaná mechanka. Vysoká škola báňská - Techncká unverza Osrava. Fakula srojní, pp.-. Osrava, duben.

68 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava [6] PUŠČÁK,.: Konsrukce na pružném podkladu, bakalářská práce (vedoucí dplomové práce: Karel Frydrýšek), Deparmen of Mechancs of Maerals, Faculy of Mechancal ngneerng, VŠB-Techncal Unversy of Osrava, Osrava, 8, Czech Republc, pp.59. [7] RIGR, M.: Pravděpodobnosní přísup k řešení únavové žvonos kovových mosů, hablační práce, kaedra konsrukcí, Fakula savební, VŠB-TU Osrava, Osrava, 8, pp.4. [8] SKNIN, D.: Deermnaon of Sffness Rao Parameer Kr beween Presressed Foundaon and Subsol, In CD-ROM: Book of Proceedngs MCHNIC STRUCTURS ND FOUNDTION NGINRING, Deparmen of Mechancs of Maerals, Faculy of Mechancal ngneerng, VŠB Techncal Unversy of Osrava, ISBN , Osrava,, pp.-8. [9] SUNDRRJN, C. T..: Probablsc Srucural Mechancs Handbook, Chapman & Hall, New York, 994. [] ŠTĚPÁN,V.: Jednoduchý mos na pružném podkladu, bakalářská práce, obor plkovaná mechanka, (vedoucí dplomové práce Karel FRYDRÝŠK), kaedra pružnos a pevnos, FS VŠB-TU Osrava, 6, pp.58. [] SYS, S.: Bendng of Beam wh Free nds on Non-lnear Subsol, In CD-ROM: Book of Proceedngs MCHNIC STRUCTURS ND FOUNDTION NGINRING, Deparmen of Mechancs of Maerals, Faculy of Mechancal ngneerng, VŠB Techncal Unversy of Osrava, ISBN , Osrava,, pp.-7. [] TPÝ, B., NOVÁK, D.: Spolehlvos savebních konsrukcí, Teore, numercké meody, navrhování, sofware, (. opravené vyd.), ISBN , Brno, CRM, 4, pp.89. [] TIKSKY, P., J.: Reference Values for Durably Based Performance Desgn Crera, Sborník příspěvků: uro-sbrm. ITM CS CZ, Prague,. [4] TRBUŇ, F., ŠIMČÁK, F.: Odolnosť prvkov mechanckých súsav, díca vedeckej a odborném leraúry, Techncká unverza v Košcach, Slovensko, ISBN , N , 4, pp.98. [5] TVRDÁ, K.: Opmal Desgn of Grder Resed on lasc Foundaon, In CD-ROM: Book of Proceedngs MCHNIC STRUCTURS ND FOUNDTION NGINRING, Deparmen of Mechancs of Maerals, Faculy of Mechancal ngneerng, VŠB Techncal Unversy of Osrava, ISBN , Osrava,, pp.-. [6] VÁCVK,.: nalycké výpočové modely, eore druhého řádu a pravděpodobnosní posudek spolehlvos konsrukcí, hablační práce, kaedra pružnos a pevnos, Fakula srojní, VŠB-TU Osrava, Osrava, 6, pp.7. [7] VÍČK, P.: Řešení problemaky rozpojovacích orgánů pro sroje na dobývání planové rudy, dserační práce v oboru Savba výrobních srojů a zařízení, VŠB-TU Osrava, Osrava, 7, ČR, pp.76. [8] VITÁSK,.: Numercké meody, SNT Nakladaelsví echncké leraury, n.p., Praha, 987. [9] WINKR,.: De ehre von der lasza und Fesgke (The Theory of lascy and Sffness), H. Domncus, Prague, 867. Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava [] WNG, Y. H., THM,. G., CHUNG, Y. K.: Beams and plaes on elasc Foundaons - a Revew, Prog. Sruc. ngng. Maer. (Srucural nalyss and CD), Publshed onlne n Wley Iner Scence (hp:// DOI:./pse.), John Wley & Sons, d., 5; 7: pp [] ZHI-HU, ZHONG: Fne lemen Procedures for Conac-Impac Problems, Oxford Unversy Press Inc., New York, U.S.., 99. [] ZUBRZYCKI, J., JONK, J.: Numeryczno-eksperymenalne badana wplyvu ksalu powerchn naarca osrza na obcažene noža skrawajacego nauralny maeral kruchy, ubelske Towarzyswo Naukowe, ubln, Poland, ISBN ,, pp.9 (n Polsh language). [] ZINKIWITZ, O. C.,TYOR, R..: The Fne lemen Mehod (4 h. ed.) Vol.. Basc Formulaon and near Problems, 989, Vol.. Sold and Flud Mechancs, Dynamcs, and Nonlneary, 99, McGraw Hll Book Co., ondon, U.K. [4] ZINKIWITZ, O. C.,TYOR, R..: The Fne lemen Mehod (4 h. ed.) Vol.. Basc Formulaon and near Problems, 989, Vol.. Sold and Flud Mechancs, Dynamcs, and Nonlneary, 99, McGraw Hll Book Co., ondon, U.K. [5] ZINKIWITZ, O. C.,TYOR, R..: The Fne lemen Mehod (4 h. ed.) Vol.. Basc Formulaon and near Problems, 989, Vol.. Sold and Flud Mechancs, Dynamcs, and Nonlneary, 99, McGraw Hll Book Co., ondon, U.K. 4 5

69 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava PŘÍOH Č. (ŘŠNÍ ÚOHY Z KPITOY 7.) Řešení sacky určé pruové sousavy dle eore. řádu programem nhll. uor: Karel FRYDRÝŠK 7. Defnce vsupních proměnných: Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava PŘÍOH Č. (ŘŠNÍ ÚOHY Z KPITOY 7.5) Řešení sacky neurčé pruové sousavy dle eore. a. řádu programem nhll. uor: Karel FRYDRÝŠK 8. Defnce vsupních proměnných: Záps v programu nhll: FS = Rp-sgma ; funkce spolehlvos /MPa/ u = an(alfa) ; posunuí bodu /m/ sgma = e-6n/ ; napěí v pruech /MPa/ N =.5F/sn(alfa) ; normálové síly v pruech /N/ alfa = acos( -.5F / ( can((f/c)^(/)) ) ) ; výpoče úhlu /rad/ c = ; uhos /N/ F = FFvar ; zaěžující síla /N/ = var ; modul pružnos /Pa/ = var ; plocha příčného průřezu pruů /m / = var ; délka pruů /m/ Rp = Rpvar ; mez kluzu /MPa/ Záps v programu nhll: FSsgprorad = Rp-sgprorad ; funkce spolehlvos - pru /MPa/,. řád FSsgprorad = Rp-abs(sgprorad) ; funkce spolehlvos - pruy, /MPa/,. řád sgprorad = e-6nprorad/ ; napěí v pruu /MPa/,. řád sgprorad = e-6nprorad/ ; napěí v pruech, /MPa/,. řád uprorad = ( Nprorad/c f ) ; posunuí bodu /m/,. řád Nprorad = F ; normálová síla v pruu /N/,. řád Nprorad = -fc ; normálové síly v pruech, /N/,. řád FSsgprorad = Rp-sgprorad ; funkce spolehlvos - pru /MPa/,. řád FSsgprorad = Rp-abs(sgprorad) ; funkce spolehlvos - pruy, /MPa/,. řád sgprorad = e-6nprorad/ ; napěí v pruu /MPa/,. řád sgprorad = e-6nprorad/ ; napěí v pruech, /MPa/,. řád Nprorad = c(uprorad/-f) ; normálová síla v pruu /N/,. řád Nprorad = c( -( f)cos(alfaprorad) )/cos(alfaprorad) ; normálové síly - pruy, /N/,. řád uprorad = an(alfaprorad) ; posunuí bodu /m/,. řád alfaprorad = aan (.5(Fcf)/c/(-(c)cos(alfa) c/) ) ; výpoče úhlu /rad/,. řád alfa = (.5(Fcf)/c/(f) odmd )^(/) - ( odmd -.5(Fcf)/c/(f) )^(/) ; počáeční odhad (násřel) úhlu,. řád odmd = ( (.5(Fcf)/c/(f) )^ ( (c-cf)//c//(f) )^ )^.5 ; pomocný vzah (odmocnna dskrmnanu) 6 7

70 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava f=alfdela ; pomocný vzah // f=alfdela ; pomocný vzah // dela = - ; rozdíl eplo /deg/ c = ; uhos - pru /N/ c = ; uhos - pruy, /N/ F = FFvar ; zaěžující síla /N/ = var ; modul pružnos - pru /Pa/ = var ; modul pružnos - pruy, /Pa/ = var ; plocha příčného průřezu pruu /m / = var ; plochy příčného průřezu pruů, /m / = var ; délka pruu /m/ = var ; délka pruů, /m/ Rp = Rpvar ; mez kluzu maerálu /MPa/ = var ; eploa /deg/ = var ; eploa /deg/ alf = alfalfvar ; součnel eploní rozažnos - pru /deg-/ alf = alfalfvar ; součnel eploní rozažnos - pruy, /deg-/ Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava 6. PŘÍOH Č. (ŘŠNÍ ÚOHY Z KPITOY 8.) Řešení nosníku na pružném podkladu programem nhll. uor: Karel FRYDRÝŠK Defnce vsupních proměnných: Záps v programu nhll: vxpro = e(qpro(pro-xpro)/(kpropro)(bshomxpro- Bcohomxpro)cos(omxpro)(Bsn(omxpro)- B4cos(omxpro))cohomxpro) ; průhyb po celé délce nosníku cohomxpro =.5(e^(omxpro) e^(-omxpro)) ; cosh(omega (-x)) cohomxpro =.5(e^(omxpro) e^(-omxpro)) ; cosh(omegax) shomxpro =.5(e^(omxpro) - e^(-omxpro)) ; snh(omegax) omxpro = ompropro-omxpro ; součn omega (-x) omxpro = omproxpro ; součn omegax xpro = xprob ; souřadnce x /m/ aumaxpro = e-6tmaxpro//bpro/hpro ; maxmální smykové napěí /MPa/ sgmaxpro = 6e-6Momaxpro/bpro/hpro^ ; maxmální ohybové napěí /MPa/ Tmaxpro =.5kpro(Bcos(om)Bsn(om)-BcohomB4shom)/ompro ; maxmální posouvající ; síla /N/ Momaxpro =.5kpro(Bsn(om)-Bshom)/ompro^ ; maxmální ohybový momen /Nm/ vmaxpro = e(bshom-bcohombsn(om)-b4cos(om)) ; maxmální průhyb /mm/ B4 = koncohom B = kon(cohom-omshom)/om B = koncos(om) B = kon(cos(om)omsn(om))/om kon = qpro/kpro/(cos(om) shom^) ; pomocná konsana cohom =.5(e^(om) e^(-om)) ; cosh(omega) shom =.5(e^(om) - e^(-om)) ; snh(omega) om = ompropro ; součn omega ompro = (KdeKvar/pro/hpro^)^.5 kpro = KdeKvarbpro pro = devar qpro = qdeqvar pro = devar hpro = hdehvar bpro = bdebvar 8 9

71 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava PŘÍOH Č.4 (ŘŠNÍ ÚOHY 6 7 Z KPITOY ) V éo příloze je uvedený auorův článek prezenovaný na CD-ROM konference " rd IC-SCC" ( rd Inernaonal Conference From Scenfc Compung o Compuaonal ngneerng ), hény 9-. července 8, vz []. rd Inernaonal Conference From Scenfc Compung o Compuaonal ngneerng rd IC-SCC hens, 9- July, 8 SIMUTION-BSD RIBIITY SSSSMNT ND PRFORMNC-BSD DSIGN PPID FOR BMS Karel Frydrýšek Deparmen of Mechancs of Maerals, Faculy of Mechancal ngneerng VSB-Techncal Unversy of Osrava 7. lsopadu 5, 78 Osrava, Czech Republc e-mal: karel.frydrysek@vsb.cz, web page: hp:// Keywords: beams, elasc foundaon, numercal smulaons, Mone Carlo smulaons, probably, Smulaon- Based Relably ssessmen, Performance-Based Desgn bsrac. Ths paper s focused on he soluon of smple beams connually suppored by elasc (Wnkler's) foundaon. The foundaon conans longudnal changes. For he calculaon of dsplacemens, sresses and dmensons are derved and appled some analycal and numercal procedures based on probablsc approaches (Smulaon-Based Relably ssessmen (SBR) mehod, Mone Carlo Smulaon Mehod, Performance-Based Desgn (PBD), nhll sofware). Probablsc approach ncludes nfluences of varably of loads, shape and maeral of he beam, and varably of modulus of he foundaon (descrbed by bounded hsograms). Probablsc approach s used for he relably experse, calculaon of safey and calculaon of dmensons of he beams. PBD s also based on he performance requremens whch are usually defned as a synhess of funconaly, all-n cos, safey ec. Performance requremens can be expressed as an accepable level of damage, whch s defned by accepable probably of possble falure. The accepable level of damage s relaed o he yeld lm. INTRODUCTION TO TH BMS ON STIC FOUNDTION The basc analyss of bendng of beams on an elasc foundaon s developed on he assumpon ha he srans are small and he reacon forces q R = q R ( x ) /Nm / n he foundaon are proporonal a every pon o he deflecon v = v(x) /m/ of he beam a ha pon, ec. (frs proposed by. Wnkler, Prague 867) [], [], [], see Fg.. xernal loads on he beam also evoke bendng momen M o /Nm/, axal (normal) force N /N/ and shearng force T /N/, see Fg.. where: Fgure. lemen of a Beam on lasc Foundaon The general problem s descrbed by ordnary dfferenal equaon: 4 d v 4 dx N J ZT d v β d qr qr dx G dx J ZT = J ZT dm β d q d q dx G dx h dx ( ), () /Pa/ s modulus of elascy n enson of he beam, J = y d /m 4 / s he major prncpal ZT Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava second momen of area /m / of he beam cross-secon, β // s shear deflecon consan of he beam, G /Pa/ s shear modulus of he beam, q /Nm / s dsrbued load (nensy of force), m /N/ s dsrbued couple (nensy of momen), / deg / s coeffcen of hermal expanson of he beam, h /m/ s deph of he beam and / deg/ s ransversal emperaure ncreasng n he beam. For more nformaon abou he dervaon of eq. (), see reference []. In he mos suaons, he nfluences of normal force, shearng force and emperaure can be negleced (or he beam s no exposed o hem). Hence, from eq. () follows: 4 d v q R dm = q dx J J. 4 ZT ZT () From he Wnkler's heory [], [], [] or [6] s evden ha: where funcons: = v k( x) = v b K( x) k ( x) /Pa/ s sffness of he foundaon and ( x) /Nm / q R, () K s modulus of he foundaon whch can be expressed as funcons of varable x /m/ (.e. longudnal changes n he foundaon) and b /m/ s wdh of he beam. Hence, eq. () can be wren n he form: 4 d v b K 4 dx J ( x) ZT v = J ZT dm q. (4) dx FIRST XMP (BM ON STIC FOUNDTION) e us consder he sragh beam on elasc foundaon wh longudnal changes, see Fg.. The beam of lengh /m/ wh free ends s exposed o one vercal force F /N/,.e. oher loads q and m are zero. Modulus K of he foundaon s gven by lnear funcon: K K( x) = K x = K Kx. Fgure. Solved xample of he Beam on lasc Foundaon wh ongudnal Changes Hence, n hs case, he dfferenal eq. (4) can be wren n he form: ( K K x) 4 d v b v =. (5) 4 dx J ZT The approxmae soluon can be found n he form of polynomal funcon of 6 h order: 6 b x v = v( x) b, (6) = 5 where: b /m/, b //,, b6 /m / are unknown consans. quaon (6) mus sasfy he four basc boundary condons and force equaon of equlbrum. The las wo equaons can be derved va varaonal prncples or va sasfacon of dfferenal equaon (5) a chosen pons. For more deals abou see [], [6]. Hence, he resuls are wren n Tab.. The derved resuls (.e. Tab.) fs very well for shor beams. For longer beams mus be used n b hgher approxmaon,.e. funcon: v = v( x) b x, where n 7. = e us consder probablsc approach [], [4], [5], [6], [8] (.e. all npus are gven by bounded (runcaed) hsograms whch ruly nclude he real varably of all npus), whch s he modern and new rend of he soluon of 4 mechancal sysems. Probably analyss ncludes nfluences of varably of I shape ( h =. ± m, J ZT =.6 ± 6.5 m ), maeral: ( =.8 ± 9 Pa b =.9 ± 9 m,, yeld sress 4 4

72 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava R = 6.6 MPa ), load ( F = 574. N ) and also he varably of modulus of he e 4.45 foundaon: ( K =.5 ±.75 Nm, K =.5 ±.75 Nm ), for example see Fg. o 6 (.e. npus for nhll sofware, Smulaon-Based Relably ssessmen (SBR) Mehod) [], [6]. engh of he beam =.9 m. T = J C = 5J k x v b x 4 4 ( 5 6x x ) J F[ k x ( 5 x) J ] k ( 5x 6x ) F x ( 4 x) ZT b 6 6k J dv x K K b b6 k = Kb = b dx 6 M o J ZT d v F x ( x ) = J ZT 5J ZT x ( x ) b K( x) = K K x x ( ; ) 6 dx d v F x ( ) ( x ) ZT J ZT x x x b6 = b 6 C 84 B k ( k k) ZT dx 56 J C b = 648B J 6 ZT F [ 6k ( k k ) k ] ( k k ) ZT k = K b = k ( k k ) 4 5 ZT 8( 4kk 9k 8k ) J ZT ( k k) B = J ZT ( k k ) Table. Solved xample (nalycal Resuls of he Beam on lasc Foundaon). ZT Fgure 7. D Hsogram and s Secons for Oupu Fgure. 8. D Hsogram and s Secons for Oupu Parameer v = v(x). Parameer k = k(x). Fgure. Hsogram of Inpu Parameer /Pa/. Fgure. 4. Hsogram of Inpu Parameer R /MPa/. e Fgure 5. Hsogram of Inpu Parameer F /N/. Fgure 6. Hsogram of Inpu Parameer K /Nm /. The values of resuls parameers (.e. sffness of he foundaon k ( x), dsplacemen v ( x) dsplacemen v = v( x ), bendng sress ( x), maxmal MX = σ and maxmal bendng sress M o MX M o MX h 6 σ MX = σ ( x.6) = = ) were calculaed for 5 smulaons by Mone Carlo Wo J ZT Mehod. Resuls are ploed by hsograms n he followng Fg. 7 o and Tab.. Hence, from he presened resuls s evden ha maxmal dsplacemen s a he rgh end of he beam (.e. a he pon x = =.9 m ) and maxmal sress s a he pon x.6 m. Fgure 9. D Hsogram and s Secon for Oupu Fgure. Hsograms of Oupu Parameers: Parameer σ = σ (x). a) v = v( x =.9m), b) σ = σ( x.6m) MX = Oupu Varables: Mnmum: Medan: Maxmum: See Fgures: k( x) /Pa/ vmx /mm/ and a) σ /MPa/ and b) MX Table. Solved xample (Resuls of nhll Sofware). Probably analyss can be also used for relably experse of he beam (nhll sofware, SBR Mehod). Hence, he funcon of safey F (relably facor) s defned by: S MX 4 4

73 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava F S = R, (7) e σ MX see also Fg. and. Hence, s evden ha he safe suaon occurs when F S > (.e. yeld sress R e s greaer han maxmal bendng sress σ ). MX accuracy. mm. The accepable level of damage s P CCPT =.5 =.5% (sandard relably level) s relaed o yeld sress. In oher words,.5 % of all loadng saes can resul n yeldng. The funcon of safey F was analyzed by nhll sofware. Hence, he probably ha F s S 4 (.e. he yeld sress and plasc deformaons wll be reached wh a probably of of all saes wll resul n yeldng In oher words, % 9.57 S 4 ). Fgure 6. Hsogram of Bendng Momen M Fgure 7. Hsogram of Normal Force o N Fgure. Hsogram of Oupu Parameers F /MPa/ Fgure. D Hsogram of Oupu Parameers For S Calculaon of SCOND XMP (PRFORMNC-BSD DSIGN PPID FOR SHFT SUBJCTD TO COMBIND STRSSS) In he las several decades, he scence and engneerng communy has progressvely venured ousde of radonal boundares n erms of maerals, loads, confguraons ec., for srucural sysems n mechancs. Consequenly, a new desgner's approach called Performance-Based Desgn (PBD) can be defned as: Desgn Fgure. Fgure 4. Srucure of PBD specfcally nended o lm he consequences of one or more perls o defned accepable levels. PBD s based on he heory of probably and depends on many ner-conneced ssues ncludng classfcaon of consruced sysems, defnon of performance, ools for measurng performance, quanave ndces ha may serve as assurance of performance, and especally, how o descrbe and measure performance especally under varous levels of uncerany whch s conneced wh sascs. However, comprehensve approach of PBD s sll n s nfancy. PBD s based on performance requremens whch are usually defned as a synhess of funconaly, all-n cos, safey ec., see Fg. and 4. Performance requremens can be expressed as an accepable level of damage, whch s defned by accepable probably of possble falure P. CCPT In he followng example s used SBR mehod (Smulaon-Based Relably ssessmen, drec Mone- Carlo mehod, nhll sofware). Fgure 5. Shaf Subjeced o Combned Sress shaf of unknown crcular dameer D (see Fg.5), s exposed o bendng momen M Nmm, normal (axal) force M k hsograms, see Fg.6 o 8. Yeld sress of maeral s = R e = = o F S N = N and orque 98. Nmm, whch are gven by bounded MPa, see bounded hsogram n Fg.9. Calculae he value of dameer D whch s gven by normal runcaed dsrbuon ± % (.e. % D % ) wh Fgure 8. Hsogram of Torque M k Fgure 9. Hsogram of Yeld Sress ccordng o he heory of small deformaons [7] can be wren: R e M k τ = and π D 6 σ N M o 4 8M = = N o π D 4 π D π D D, where σ /MPa/ s maxmal normal sress and τ /MPa/ s maxmal shear sress. Hence, for equvalen von Mses sress σ /MPa/ can be wren: HMH 4 8M 48 HMH o M σ = σ τ = N k. (8) π D Facor of safey (.e. probably of suaons when R e D < σ HMH ( ) D ) s defned as: FS = P R e σ HMH <, (9) where operaor P means probably. Hence, when FS, s evden ha yeld lm s no reached (.e. n he shaf are no any plasc deformaons). The goal s o calculae dameer D whch sasfy condon: FS P CCPT. () However, s necessary o appled eraon mehods (because from eq. (8) s no possble o express drecly he unknown parameer D ). Hence, eraon loop wh applcaon of secan mehod can be used, see Fg.. For chosen nal condons (dameers): D = ±. mm and D = 48 ±.48 mm (bounded normal 6 dsrbuons ± % ) s possble o calculae (va SBR mehod for Mone Carlo smulaons) he values of FS = and FS =

74 Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Karel FRYDRÝŠK: Pravděpodobnosní výpočy v mechance, FS VŠB-TU Osrava Fgure. Secan Mehod (Calculaon of D ) Fgure. Bsecon Mehod (Calculaon of D ) Hence, FS PCCPT and FS P. I s evden ha he requred dameer CCPT D mus be n nerval: D ; D = ±.; ( ) ( ) mm D ± From Fg., can be derved new approxmaon of dameer (.e. D ) va secan mehod: D( PCCPT FS ) D ( FS PCCPT ) D = f ( PCCPT ) = = 47.9 ±.48 mm. nd from he resuls of FS FS nhll sofware follows: FS. 5 P =,.e. ( D ; D ) = ( ±.; ) mm CCPT D ±. Nex approxmaon of D (.e. D ) can be also calculaed va bsecon mehod, see Fg.. Hence: D D D = = 8.95 ±.9 mm and FS =.487 PCCPT. I s evden, ha D ; D = 8.95 ±.9; Nex applcaons of bsecon mehod and secan mehod ( ) ( ) mm D ± gve he values of : D 4, D 5,, 8 D ). loop as a funcon = f ( FS) D,.e. ( D ; D ) = ( 45.±.45; ) mm D 8 7 ±, see Fg. (eraon Fgure. Dagram of Convergence for Calculaed Dameer D (Resuls of Ierave Procedures) Because D8 D7 and FS7 PCCPT (wh defned accuracy. mm), he dameer s: D = D7 = 45. ±.45 mm, see hsograms shown n Fg.. Hence he dameer D = 45. ±.45 mm s calculaed wh he accepable level of damage P =.5.5%. Plane (D) hsogram of funcon R v.s. σ s presened n Fg.4. e HMH CCPT = Fgure. Fnal Dameer D = 45. ±.45 mm Fgure 4. D Hsogram R e v.s. σ HMH. CONCUSIONS General soluon for he chosen beam on elasc foundaon wh longudnal changes (.e. frs example) was derved n he form of polynomal funcon of 6 h order. Derved resuls were used for probablsc analyss (SBR mehod, Mone Carlo Smulaon Mehod, nhll sofware). Fnally, he probably ha he plasc deformaons occurs n he beam s.94% (.e. safey s 99.96%). Performance-Based Desgn (PBD) as a new and modern rend n mechancs s based also on heory of probably and sochasc mehods. The calculaon of he dameer D, wh gven accepable probably of damage level (.e. second example, soluon of he nverse problem of heory of probably), s solved va erave approaches (secan mehod, bsecon mehod). Hence, o ge he soluon of hs ype of nverse problem s much dffcul han he classcal problem of heory of probably. Insead of secan mehod or bsecon mehod can be used also anoher mehods such as Regula-Fals Mehod ec. The whole erave procedures and Mone Carlo smulaons can be speed-up by applcaon of parallel compuers. However, on he presen days, s mpossble o solve he large problems of mechancs va PBD. The reason of hs s he low rae of presen-day compuers. The work has been suppored by he Czech projec FRVŠ 54/8 Fb. RFRNCS [] Heény, M. (946), Beams on lasc Foundaon, nn rbor, Unversy of Mchgan Sudes, US, pp.45. [] Frydrýšek, K. (6), Nosníky a rámy na pružném podkladu (Beams and Frames on lasc Foundaon ), VSB-TU Osrava, Faculy of Mechancal ngneerng, Osrava, Czech Republc, ISBN , pp.46, (Wren n Czech anguage). [] Frydrýšek, K., Jančo, R. (8), Nosníky a rámy na pružném podkladu (Beams and Frames on lasc Foundaon ), VSB-TU Osrava, Faculy of Mechancal ngneerng, Osrava, Czech Republc, ISBN , pp.56, (wren n Czech language). [4] Marek, P., Gušar, M., nagnos, T. (995), Smulaon-Based Relably ssessmen for Srucural ngneers, CRC Press, Inc., Boca Raon, Florda, US, ISBN , pp.65. [5] Marek, P., Brozze, J., Gušar M. (), Probablsc ssessmen of Srucures Usng Mone Carlo Smulaon Background, xercses and Sofware, ITM CS, Prague, Czech Republc, ISBN , pp.47. [6] Frydrýšek, K. (7), Relably nalyss of Beam on lasc Nonlnear Foundaon, In: ppled and Compuaonal Mechancs, Vol., No., Unversy of Wes Bohema, Plzen, Czech Republc, ISSN 8-68x, pp [7] Frydrýšek, K., dámková,. (7), Mechancs of Maerals (Inroducon, Smple Sress nd Sran, Basc of Bendng), Faculy of Mechancal ngneerng, VSB-Techncal Unversy of Osrava, Czech Republc, ISBN , pp. 79. [8] Marek, P., Frydrýšek, K. (7), Relably nalyss of a Beam on lasc Foundaon, In: Book of xended bsracs, 9 h Inernaonal Scenfc Conference ppled Mechancs 7, Deparmen of Mechancs of Maerals, Faculy of Mechancal ngneerng, VSB-Techncal Unversy of Osrava, Osrava, Czech Republc, ISBN , pp.59-6 (full verson also on CD)