KINETICKÁ TEORIE PLYNŮ

Transkript

1 KIETICKÁ TEOIE PLYŮ Cíle a předpklady - snaží se ysětlit makrskpické chání plynů na ákladě chání jedntliých mlekul (jejich rychlstí, pčtu náraů na stěnu nádby, srážek s statními mlekulami Tat terie bere úahu pue kineticku translační energii mlekul, nikli ptenciální energii meimlekulárních interakcí platí pue pr ideální plyny, a ptenciální a kineticku energii aeb mlekulách uažuje částice be nitřní struktury Kinetická terie je alžena na třech předpkladech: Plyn se sestáá mlekul hmtnsti m a průměru d Mlekuly jsu neustálém náhdném phybu elikst mlekul je anedbatelná hledem ke dálenstem, kteru uraí mei jedntliými srážkami 3 Mlekuly jsu tuhé kule, mei nimiž dcháí k elastickým srážkám Elastická je taká srážka, při které se acháá celká kinetická energie sraiších se mlekul Mawell rdělení rychlstí Mlekuly plynu se nephybují stejnu rychlstí Při ájemných srážkách mlekul se neustále mění elikst i směr jejich rychlstí nele určit kamžité rychlsti mlekul, ale prtže psuujeme elký subr mlekul, le yužít statistických metd a určit rdělení rychlstí Předpklady: rychlst (elikst i směr jedntliých mlekul se neustále mění, ale celké rdělení rychlstí na čase neáisí, rychlst phybu trjrměrném (3D prstru le rlžit na 3 slžky pdle s, y a, které jsu na sbě neáislé

2 d symbliuje četnst mlekul (část celkéh pčtu mlekul majících rychlst interalu <, + d > Tat četnst je funkcí rychlsti,, a šířky interalu, d, d f ( d f(d tedy sučasně udáá praděpdbnst, že náhdně ybraná mlekula se phybuje rychlstí interalu <, + d >, f( je t husttní funkce Pan Mawell ddil (860 husttní funkci e taru 3 m m f ( 4 e π, π kde m je hmtnst jedné částice a k je Bltmanna knstanta k m M k Grafické nárnění tét funkce (a pr růné teplty 4,00-3 f(/s m - 3,00-3 T 00 K M r 8,00-3 T 98 K,00-3 T 500 K 0,0 0 α u /m s -

3 (b pr plyny růné mlární hmtnsti 4,00-3 f(/s m - 3,00-3 M r 84 T 98 K,00-3 M r 8,00-3 M r 0, /m s - Známe-li husttní funkci, můžeme určit nejpraděpdbnější rychlst, α f ( 4 m π d π 3 e d f ( 0 d splněn pr : m m d 0 α m minimum maimum střední aritmeticku rychlst,, jak ážený aritmetický průměr rychlstí f 0 ( d 8 πm střední kadraticku rychlst, u _, jak dmcninu áženéh aritmetickéh průměru kadrátů rychlstí u 3 f ( d m 0 3

4 Z distribuce rychlstí le ískat distribuci translační kinetické energie mlekul Zttžníme-li translační kineticku energii mlekuly, ε, s ýraem / m, pak dε m d a pr četnst mlekul, které mají kineticku translační energii interalu <ε, ε + dε > ískáme 3 d ε πε e dε π ε Pr střední hdntu translační kinetické energie pak platí 0 ( ε ε f ε dε 3 Střední kinetická translační energie je přím úměrná tepltě Kdybychm predli dení střední kinetické translační energie pr djrměrný resp jednrměrný phyb, ískali bychm hdnty phyb prstru f( f(ε ε 3 D D D 3 m 3 m ε π e πε 4 π m m e m m π e ekipartiční princip: 3 e π ε e ε ε e 4π a jeden stupeň lnsti phybu připadá ždy stejná střední hdnta energie 4

5 e srážké terii reakční rychlsti budeme ptřebat nát, jaká část mlekul má energii, dpídající děma stupňům lnsti (děma směrům phybu, ětší než je určitá hdnta ε 0 ε ε ε f D ( ε d ε e d ε e ε ε e ε - Bltmannů faktr Odení tahu pr c,m mnmlekulárníh ideálníh plynu c, m Q U n T n T 3 3 U m ε c, m 3 idplyn T du n dt Přímým eperimentálním důkaem th, že růné plyny se phybují růnu střední rychlstí, je je aný efúe plynů Efúe plynů unikání plynů malým trem elkéh reeráru d nádby, přičemž musí být splněn: p» p, aby praděpdbnst, že mlekuly budu prnikat nádby pět d reeráru, byla anedbatelná tr je elmi malý, takže nedcháí k látkému tku plynu reeráru směrem k tru, 5

6 Tlak plynu nádbě (na pčátku eakuané p čase t bude dán pčtem částic, které prjdu trem plše S reeráru d nádby Částice, které mají -u slžku rychlsti (přesněji interalu <, + d >, uraí a čas t dráhu t Otrem plše S prjdu a čas t šechny částice s tut -u slžku rychlsti, které se nacháejí bjemu S t Je-li pčet částic celém reeráru, ptm pčet částic s -u slžku rychlsti,, je reeráru f( d a bjemu S t S t f( d Otrem šem prjdu i částice s kterukli jinu kladnu hdntu -é slžky rychlsti m St f( d St 0 0 π St πm e m d 4 St 6

7 Obecně pr pčet náraů,, na jedntku plchu a jedntku času platí 4 Měřitelnu eličinu je tlak nádbě, p, p čase, t p p p T 4 pst 4 T St yužití měřitelných eličin (p, p,, S, t můžeme určit, a tak ěřit spránst Mawella rdělení rychlstí, p áisí na střední aritmetické rychlsti,, a ta na mlární hmtnsti plynů efúe le yužít k určení mlární hmtnsti nenáméh plynu prnání rychlsti tht plynu s plynem námé hdntě M M M Grahamů ákn 3 Srážky mlekul, střední lná dráha Srážky jedné mlekuly s statními mlekulami stejnéh druhu a jedntku času frekence srážek, Zjedndušená předstaa: - mlekuly jsu kule průměru, d, (t efektiní srážký průměr, - srážku je jakýkli dtyk mlekul, - pue ybraná mlekula se phybuje, statní jsu klidu 7

8 d Za jedntku času uraí mlekula průměrnu dráhu t ( t s, a naraí d t šech mlekul, které budu e álci plměru d a ýšce t π d [ ] s Zpřesnění: šechny mlekuly jsu phybu Střední aritmeticku rychlst je třeba nahradit ájemnu střední rychlstí ájemná střední rychlst, B, du rdílných částic a B B B Částice se srážejí pd růnými úhly interalu 0-80, průměru můžeme uažat úhel 90 Pr střední ájemnu rychlst pak platí: B B + B 8 π m + m B adefinujeme-li t redukanu hmtnst, µ, du sraiších se částic a B tahem µ m + m B, dstaneme pr jejich střední ájemnu rychlst tah frmálně shdný se tahem pr střední aritmeticku rychlst jedné částice B 8 πµ, který se pr případ srážky du stejných částic jednduší 8 π m 8

9 Pr pčet srážek jedné mlekuly s statními mlekulami stejnéh druhu a jedntku času pak dstaneme πd ájemné srážky šech mlekul stejnéh druhu a jedntku času jedntce bjemu, πd [ ] m s 3 ájemné srážky mlekul s mlekulami B a jedntku času jedntce bjemu, B B kde předstauje pčet srážek jedné mlekuly s statními mlekulami B, ke kterým djde a jedntku času B B πdb d + db db, B 9

10 Střední lná dráha l je průměrná dráha, kteru částice uletí mei děma srážkami l l πd Střední lná dráha je nepřím úměrná pčtu částic jedntce bjemu tedy tlaku plynu Střední lná dráha neáisí na tepltě 4 Transprtní jey Jak transprtní je se načuje je, při kterém se plynu transprtuje (přenáší jednh místa na druhé určitá mlekulá lastnst (energie, hybnst, látka Knkrétně u plynů přicháí úahu tři transprtní jey: Difúe přens látky místa yšší kncentraci d místa nižší kncentraci Tepelná dist přens energie místa yšší tepltě d místa nižší tepltě iskita přens hybnsti místa yšší rychlsti d místa nižší rychlsti ychlst přensu dané eličiny se yjadřuje pmcí t tku eličiny X, J(X, který je definán jak mnžstí tét eličiny, která prjde jedntku plchu a jedntku času J ( X d X S dt 0

11 Z eperimentálních prání íme, že tk dané eličiny je přím úměrný příslušnému gradientu a prbíhá prti tmut gradientu Př X Tk kladném směru sy je kladný eličina teče kladném směru sy, ale její gradient je áprný J ( X d X d Pr jedntlié transprtní jey byly eperimentálně naleeny tyt tahy: difúe - Ficků ákn dc J ( látka D D - difúní keficient, d tepelná dist - Furiera rnice dt J ( energie λ λ keficient tepelné disti, d iskita - ewtnů ákn laminárníh tku J d - η η - iskitní keficient d ( á slžka hybnsti iskita iskitní (brdná síla niká jak důsledek phybu plynu Budeme uažat případ, kdy se plyn phybuje laminárně e směru sy pdél pené stěny Laminární tk si le předstait tak, že se p sbě psuají rstičky plynu rsta přiléhající ke stěně se nephybuje, rychlst následujících rste se lineárně yšuje e směru sy

12 Mlekuly plynu přeskakují mei jedntliými rstami a přitm přenáší d cílé rsty sji hybnst (-u slžku, kteru měli půdní rstě dálenst mei rstami le ttžnit se střední lnu dráhu, nebť hybnst mlekul se mění při srážkách m D místa umístíme kénk ( m + l ( m l ( m d d jedntké plše a budeme pčítat, klik mlekul s jaku hybnstí přeskčí d tht kénka a jedntku času ( m l l l + l D rsty místě přeskakují jednak mlekuly nižší rsty - místě l, jednak yšší rsty místě + l Hybnsti těcht rstách si můžeme yjádřit pmcí hybnsti e rstě a gradientu hybnsti hledem k lineární áislsti m je tent gradient knstantní (je ren směrnici dané přímky Platí: ( m ( m + l ( m ( m l ( m d + l d d l d ( m Pr tk -é slžky hybnsti kladném směru sy platí r J 4 áprném směru sy platí ( m d l d ( m ( m s d J ( m + l 4 d a tedy pr ýsledný tk -é slžky hybnsti dstaneme

13 r s d J J + J lm d Tk hybnsti je úměrný gradientu rychlsti Prnáním s ewtnu empiricku rnicí dstaneme ýra pr iskitní keficient η η lm ρ l a p úpraě 8 η m πd πm η neáisí na pčtu částic jedntce bjemu, tedy na tlaku resp husttě plynu Se yšující se tepltu η růstá 3