Gaussův zákon elektrostatiky

Transkript

1 Gaussů zákn elektrstatiky elektrstatickém pli nyní staníme hdntu určitéh integrálu : d tk (ektru) elektrické intenzity uzařenu plchu Tt pjmenání pět pchází z hydrdynamiky, kde se čast pčítá analgický integrál pr ektr rychlsti kapaliny, přes plchu, která becně nemusí být uzařená (jen spjitá) : d Pdíejme se, s pmcí následujícíh brázku, jaký je ýznam tht integrálu : d d α α csα Částice kapaliny při sém phybu prtínají zlenu plchu. Zětšený brázek malé (diferenciální) části plchy d splu s ektrem rychlsti daném místě nám pmůže stanit důsledek tht phybu : uědmíme-li si, že dráha částice za jedntku času je číselně rna její rychlsti, je pak jasné, že eškerá kapalina prteklá za jedntku času přes tut malu plšku d musí yplnit bjem (iz. br): d cs α d

2 celký bjem kapaliny prteklý za času přes celu plchu získáme sečtením integrací těcht ýrazů přes plchu : d bjemý tk kapaliny Prt se každý integrál e taru : d nazýá tk ektru plchu, i když se pět - stejně jak u becné cirkulace ektru nemusí jednat reálný phyb hmty. Ueďme dále matematicku ětu, která se e fyzice elmi čast pužíá pr úprau integrálů typu tk ektru : Nechť je bjem uzařený spjitu plchu (tz. uzařená plcha ), pak pr liblnu spjitu ektru funkci plhy, tj. : platí ztah : d ( ) ( r ) ( x, y,z), ( x, y,z), ( x, y,z) x di d y z Gaussa (-Ostrhradskéh) ěta matematiky kde d je rientaný ektr plchy a di je matematický perátr diergence ektru. Zpakujme si dále stejně jak u předchzích perátrů gradient a rtace - matematické znalsti perátru diergence. Nejpre jeh definice : di x x + y y + z z diergence ektru idíme, že diergence ytří z ektru (z ektré funkce) funkci skalární. Definici lze frmálně zapsat pět pmcí známéh perátru nabla, který byl již pužit u perátrů gradient a rtace : di + + x y z (,, ) x y z

3 Fyzikální ýznam lze u tht perátru stanit kupdiu elmi snadn : Napišme Gaussu ětu matematiky, za předpkladu splnění jejích pdmínek : d di d d d d předstame si, že uzařený bjem zmenšujeme, matematicky až limitě. Ptm šem není ptřebné pr integraci dělit taký bjem na (neknečně) malé části, nebť n sám je (neknečně) malý, a hdntu integrálu na praé straně můžeme ihned (přibližně) yjádřit e taru : d di d ɺ di Pzn. : Uažte s pmcí brázku, že u plšnéh integrálu na leé straně rnice ale pdbné přibližné yjádření není mžné. Diergenci nyní můžeme rnici samstatnit - rnst bude šem platit přesně jen e ýše uedené limitě : di lim ds di r ( ) Tat limita, e které se bjem zmenší až d nuly - tj. d bdu, nám dbře ukazuje, že di je (skalární) funkcí plhy (místa). Pkusme se dále určit smysl praé strany : tk ektru přes uzařenu plchu je lastně ýtk ektru z danéh bjemu (předpkládáme kladné hdnty integrálu, tj. d, iz. br.) dělen bjemem znamená přepčet na jedntký bjem tedy ýtk z jedntkéh bjemu Diergence ektru je (číselně) rna ýtku ektru z jedntkéh bjemu daném místě. 3

4 peciálně, kdyby se jednal kapalinu ( daném místě je zdrj (zřídl) kapaliny : di zřídlé ple ), pak případ nenulé diergence znamená, že Nulá diergence pak samzřejmě ppisuje kapalinu bez zdrjů : di nezřídlé ple Pjmy zřídlé ple a nezřídlé ple ptm pět frmálně pužíáme jakémkli ektrém pli, které i neppisuje žádný reálný phyb hmty (například silém pli). Nyní se raťme k elektrstatice: Předpkládejme nejpre nejjedndušší mžný případ, kdy elektrické ple by byl způsben jediným bdým nábjem a ypčítejme tk elektrické intenzity - tj. hdntu určitéh integrálu : d Rzlišíme pak dě mžné plhy tht nábje zhledem ke zlené plše : ) Nechť nábj leží unitř plchy, tj. bjemu : Plžme pak d místa nábje pčátek sustay suřadnic a d integrálu dsadíme dříe dzený ztah pr elektricku intenzitu bdéh nábje : 4

5 d α α d r r dω d r d 4π r r d 4π r d r kalární sučin čitateli ypčítáme pmcí známéh matematickéh ztahu, se znalstí eliksti jedntkéh ektru a s yužitím gemetrických ztahů (iz br.) : r d d csα d Tent skalární sučin tedy yjadřuje průmět plšky d d riny klmé k průdiči daném místě - a elikst tht průmětu je značena d. Dsaďme zpět d integrálu a uažme, že diferenciální plšku na ýše uedené rině klmé k průdiči si lze předstait i na kulé plše plměru eliksti průdiče r. Pak za integrálem znikl ýraz, který je přím pdle matematické definice prstrým úhlem, pd kterým je idět z místa nábje plška d (a rněž plška d ). Integrál, tj. sučet těcht úhlů přes uzařenu plchu, má ptm zřejmě hdntu celéh prstréh úhlu, tedy 4π steradiánů : d 4π d r 4π 4π dω 4π elikst tku elektrické intenzity tedy překapiě ůbec nezáisí na plze nábje (unitř plchy ). ) Dále uažme situaci, kdy bdý nábj leží ně plchy : Pstup ýpčtu musí být zajisté principiálně stejný, tzn. za integrálem pět znikne prstrý úhel dpídající diferenciálnímu elementu plchy. Z brázku šak idíme, že tent prstrý úhel je ždy 5

6 splečný děma plškám na prtilehlých částech a dané uzařené plchy (krmě limitní situace na tečnách, kdy je samzřejmě tent úhel nulý, iz br.) : d d dω d d Integrál je šem (limitní) sučet, nezáleží tedy na přadí sčítanců, a mhu prt sčítat integrat p těcht djicích prtilehlých plšek. Uažme ale ještě, že ektr dlní plšky (iz br.) je prtilehlý ektru intenzity (sírají úhel ětší než praý), a prt je jejich skalární sučin a tedy i hdnta prstréh úhlu záprná (a stejně eliká jak pr hrní plšku) : d 4π dω π dω π dω P ytknutí a tím lastně aplikujeme uedené sčítání p djicích - tak dstááme jednznačný ýsledek: d 4π, ( dω dω ) elikst tku elektrické intenzity uzařenu plchu tedy ani tmt případu (nábj ně plchy) nezáisí na jeh plze a je ždy nulá. Získané ýsledky nyní zbecníme pr sustau íce nábjů : Jestliže prstru zlíme liblnu uzařenu plchu, pak jistě nějaké nábje budu unitř tét plchy a statní zůstanu ně : Nechť tedy unitř uzařené plchy jsu nábje :,, 3,. 6

7 ně tét plchy nechť leží nábje :,, 3,. Pr každý z těcht nábjů nyní napíšeme Gaussů zákn : d d ' d ' d šechny tyt rnice sečteme dhrmady, tj. sečteme dhrmady jejich leé i praé strany : ' ' ( ) d ( + + zárce na leé straně je sučet intenzit d šech nábjů, tedy intenzita ýslednéh elektrickéh ple celé naší sustay nábjů : ' + '......) Na praé straně rnice je šem sučet puze těch nábjů, které leží e nitřku uzařené plchy, tj. celký nábj unitř plchy : Dstááme tak becný ztah : d Gaussů zákn elektrstatiky (integrální tar) lní yjádření : Tk ektru ýsledné intenzity elektrstatickéh ple liblnu uzařenu plchu je určen celkým nábjem unitř tét plchy. 7

8 e skutečnsti jsu šem elektrické nábje rzlženy na různých tělesech unitř uzařené plchy předpkládejme ihned nejbecnější případ nábje spjitě rzlženéh s husttu ρ celém nitřním bjemu tét plchy : d ρd d Pak yjádříme celký nábj unitř plchy : d ρ d a dsadíme h d Gaussa zákna : d ρ d Leu stranu ještě upraíme pmcí Gaussy ěty matematiky : di d ρ d Prnáním bu stran dstaneme rnst integraných funkcí : di ρ Gaussů zákn elektrstatiky (diferenciální tar) Při znalsti smyslu perátru diergence dbře pchpíme, že diferenciální tar Gaussa zákna ppisuje situaci daném místě (bdu) elektrickéh ple, ale má stejný fyzikální ýznam jak jeh integrální tar - diergence na leé straně přece znamená ýtk elektrické intenzity z jedntkéh bjemu (tj. přes plchu bklpující bjem)..a na praé straně je bjemá hustta nábje, tj. nábj bsažený (unitř) práě tmt jedntkém bjemu. Jestliže tedy například nějaké míst elektrickéh ple je bez nábjů, tj. ρ, ptm je nulá diergence, tedy : di ple je nezřídlé 8

9 le případě, že daném místě jsu elektrické nábje, tj. ρ, ptm šem bude : di ple je zřídlé Můžeme prt trdit, že elektrické nábje jsu zřídla (zdrje) elektrickéh ple. ρ (ektry ycházející ze zdrje šem elektrickém pli neppisují skutečný mechanický phyb hmty, jak by tmu byl hydrdynamice, pli prudící tekutiny - jde jen gemetrii siléh ple daném místě prstru.) (knec kapitly) (K.Rusňák, /5) re. a dplň. /7 9