Vytvořující funkce. I. kapitola. Mnohočleny a jejich koeficienty

Transkript

1 Vytvořující fukce I. kapitola. Mohočley a jejich koeficiety I: Fratišek Zítek (author): Vytvořující fukce. (Czech). Praha: Mladá frota, pp Persistet URL: Terms of use: Fratišek Zítek, 1972 Istitute of Mathematics of the Czech Academy of Scieces provides access to digitized documets strictly for persoal use. Each copy of ay part of this documet must cotai these Terms of use. This documet has bee digitized, optimized for electroic delivery ad stamped with digital sigature withi the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library

2 I. MNOHOČLENY A JEJICH KOEFICIENTY 1. Mohočley. Převážou většiu čteářů této kížky budou bezpochyby tvořit žáci středích škol, kteří se hlouběji zajímají o matematiku, takže sad ebude emísté očekávat, že mají jisté základí zalosti středoškolské algebry. Půjde tu především o mohočley (polyomy) s reálými koeficiety. Předpokládáme tedy, že aši čteáři zají ejeom samotý pojem mohočleu, ale že se sezámili i s jedoduššími vlastostmi mohočleů, vědí apř., co to jsou koeficiety mohočleu, absolutí čle, stupeň mohočleu, ulový mohočle atp., dovedou také s mohočley zacházet, tz. upravovat je j provádět s imi základí početí operace sčítáí a ásobei, umějí dosazovat do mohočleu za proměou reálé hodoty atd. Mohou si ostatě pokud by si sad v těchto věcech ebyli jisti své vědomosti o mohočleech doplit a z obecějšího hlediska prohloubit prostudováím příslušých partií 26. svazku Školy mladých matematiků, tj. kížky K. Hruši Polyomy v moderí algebře (Mladá frota, Praha 1970). Četbu Hrušový kížky můžeme doporučit všem, eí však ezbytě utá pro porozuměi ašemu dalšímu výkladu. Mohočley zde budeme obvykle psát v základím tvaru se čley uspořádaými podle moci proměé a 0 + aix + a 2 x 2 -> a x, (1) přičemž většiou evypisujeme čley s ulovými koefi- 7

3 ciety ai koeficiety, které jsou rovy jedé. Zápis (1) vyjadřuje tedy mohočle stupě, je-li a 0, resp. obecě mohočle stupě ejvýše. Předpokládáme také, že aši čteáři vědí, že dva mohočley jsou si rovy (a to ideticky, pro všechy reálé hodoty proměé x) právě tehdy, jestliže mají u stejých moci proměé vesměs také stejé koeficiety. Této věty budeme v dalším často používat. Pro úplost připojme ještě sad úplou samozřejmost, že zalost mohočleů a početích operací s imi utě předpokládá zalost reálých čísel (a operací s imi), jež v mohočleech vystupují v roli koeficietů: jedak se operace s mohočley i četé jejich vlastosti obvykle převádějí a obdobé operace s jejich koeficiety, jedak tvoří reálá čísla vlastě je zvláští případ mohočleů ' mohočley ultého stupě eboli kostaty. 2. Biomické koeficiety. Již a středí škole se při růzých příležitostech setkáváme s čísly (j^), defiovaými pro celá > k ^ 0 vzorcem (0! = i ) ; (2) tuto defiici pak rozšiřujeme pro všecha celá ezáporá, k tak, že při k > klademe (j^ = 0. V kombiatorice záme čísla pod ázvem kombiačí čísla: číslo (j^) udává počet kombiací k-té třídy z wprvků", eboli vyjádřeo moderější termiologií 8

4 počet všech růzých ^-prvkových podmoži daé možiy o prvcích. V jié souvislosti se ám čísla objevují v tzv. biomickém vzorci, tj. ve vzorci pro «-tou mociu dvojčleu (biomu): (a + by = a» + + (2) + (3) C) b -> zde se číslům (j^) říká biomické koeficiety. O obou těchto výzamech i o četých dalších vlastostech čísel pojedává mj. kížka J. Sedláčka, Faktoriály a kombiačí čísla, která vyšla jako 10. svazek Školy mladých matematiků (Mladá Frota, Praha 1964); doporučujeme čteářům, aby si ji příležitostě také pročetli. V dalším ás budou zajímat především vlastosti čísel jakožto biomických koeficietů; k souvislostem s kombiatorickými problémy se vrátíme až později, ke koci aši kížky. Budeme tu vycházet z biomického vzorce (3), který si však upravíme dosazeím a = 1, b = x a výhodější tvar ť 1 +*)" - (S) + (í) * + GD ť + + G) ** O *.» k=0 ( Sg 0, celé

5 číslo (fy je tu koeficietem při x k v mohočleu (1 + x)". Některé jedoduché vlastosti čísel jsou všeobecě zámé a sado se odvodí přímo z jejich defiice (2). Tak apř. víme, že pro všecha celá ezáporá, k platí Přímý důkaz rovosti (5) pomocí vyjádřeí (2) eí opravdu ijak obtížý a vyžaduje je jisté elememetárí úpravy odpovídajících výrazů. Jestliže však už záme vztah (4), můžeme ho využít k poěkud méě pracému odvozeí rovosti (5). Skutečě, stačí k tomu vyjít z idetity (1 + *) +1 = (1 + *) (1 + *)» = (1 + *)» + + *(1 + *)». Podle věty o rovosti koeficietů v mohočleech, kterou jsme si připoměli v předchozím odstavci, je koeficiet při v mohočleu a levé straě a to je právě číslo (/fe + l) utě rove odpovídajícímu koeficietu v mohočleu a pravé straě, resp. součtu všech takových koeficietů v mohočleech, jejichž součet tuto pravou strau idetity tvoří. To však je právě součet čísel + j) a Q) ; tím je rovost (5) obecě dokázáa. Věty o rovosti koeficietů však můžeme použít také v obráceém směru. Mají-li dva mohočley vesměs stejé koeficiety u odpovídajících si moci proměé, jsou si také ideticky rovy a můžeme tudíž do ich dosadit za iroměou libovolou reálou hodotu; rovost zůstae chováa. Také tohoto postupu dosazováí reálých

6 hodot za proměou lze využít k odvozeí růzých vztahů a vlastostí biomických koeficietů. Takřka triviálím příkladem je důkaz zámé rovosti GD+ +GD+-+G) *i«> dostaeme ji ze (4) dosazeím x = 1. Tyto dva jedoduché příklady azačují vlastě již základí myšleku celé další teorie, využití věty o rovosti koeficietů k odvozovái vztahů mezi imi; tuto myšleku budeme yí dále rozvíjet. Nejprve si však pro pocvičeí odvodíme obdobým způsobem ještě ěkolik dalších, zámých i méě zámých, prostých i méě samozřejmých vlastostí čísel. Přiklad 1. Přimým zobecěím vzorce (5) je rovost y=o J J platá pro celá ezáporá, m a k = 0, 1, 2,..., + m. Odvodíme si ji sado porováím koeficietů při x k v mohočleech v idetitě (1 + *)»+«= (1 + x)» (1 + x) m. Předpokládáme, že si čteář dovede představit, jak vypadají koeficiety v součiu dvou mohočleů. Vzorec (5) je pak speciálím případem vzorce (7), a to pro m = 1.» Příklad 2. Celkem sadá a ostatě z (2) zcela zřejmá je rovost li

7 C D - C. - 0 w můžeme ji získat i tak, že ve vzorci (4) budeme předpokládat x 0 a položíme y = 1 jx; bude pak (ideticky) J k = O k = 0 k = 0 = 2 ( - k ) * - k=0 Jak vidíme, může být ěkdy přímá cesta sazší ež oklika přes koeficiety mohočleů, to^však ijak esižuje užitečost obecého postupu. Aby vztah (8) platil i při k>, kdy je (J^ = O, doplňuje se ěkdy defiice čísel (j^ pro záporá k tak, že také zde klademe = O (tedy pro ^ O > k). Přiklad 3. Trochu méě zámá je sad rovost o = t q y - J 7 = 0 \ K jejímu odvozeí užijeme rovosti (8), která umožňuje psát (9) ve tvaru 12

8 (? ) - 2 C") C l ; ) ' J y=o ^ Potom však již ejde o ic jiého ež o zvláští případ rovosti (7), položíme-li v í m =, k =. Píšeme-li v (4) všude x místo x, dostaeme vztah ( i - * )» = 2 (-!)***; do) v mohočleu (1 x) je tedy koeficiet při x k rove ( 1)* (j^)- Také odtud lze odvodit řadu zajímavých vlastosti čísel ( ) Dosadíme-li apř. do (10) x = 1, dostaeme (,_,). = 0 = 2 (-«' G) - (5) - G) + ("> Podobě dosazeím x = 2 vychází 2 (-2) fc G) =(-!)" (12) k = 0 Příklad 4. Poěvadž (1 + *) (1 - x) = 1 - * 2, platí ideticky (1 + x)* (1 - x) = (1 - * 2 )». Porováím koeficietů při stejých mociách roiéé x odtud dostáváme podle toho, zda jde o sudtiú či lichou mociu, jedak y! 13

9 2 m 2 C 2m "- *) = <-»"(:) A = 0 pro 0 ^ m <, jedak 2m- 1 2 c-')* CD G A - O pro všecha /m 0. Příklad 5. Ukážeme si yí ještě jedo zobecěí vztahu (5); vyjdeme přitom ze zámé idetity a+1 _ f,+l = _,) (^ a-2 2 _(_ ob"' 1 + b ). (13) Položme zde a = 1 + b = x, takže (1 + x) H+1 - X +1 = (1 + x) + *(1 + *) _1 + + x 2 (l + x) ~ x ~\\ + *) + :*;". (13') V této idetitě porováme koeficiety při x k (k = 0, 1, 2,..) a obou straách; obdržíme tak rovost ("Í 1 ) = G) + G = D + G=2)+ (") j = 0 J Píšeme-li zde m k t j. = m + k 1, dostae rovost (14) ový tvar, totiž vrř*)-r + i" 1 )+rí-r 2 )+ w 14 V ;=0

10 Vzorce (14') ještě použijeme v dalších odstavcích. Vzorci a vztahy, které jsme si tu doposud uvedli, ejsou přirozeě vyčerpáy všechy možosti. Odvozeí ěkolika dalších vztahů přeecháváme pro pocvičeí čteáři. Cvičeí Dokažte rt L (») = 2 (k) (»»-*) ' 0 ^m ^. 2 - = k = 0 m k = t ( ) = í i 2 "*') - k"0 A Stirligova čísla. Přirozeé mociy dvojčleu x, resp. 1 x ejsou ovšem jediými mohočley, jejichž koeficiety mají zvláští výzam. Podobou úlohu jako biomické koeficiety (J^ hrají v kombiatorice i jié koeficiety, mj. tzv. Stirligova čísla, jež si yí zavedeme. 15

11 Součiy tvaru mim 1) (TM 2)... (m + 1) potkáváme v kombiatorice takřka a každém kroku, vlastě i v biomických koeficietech. Nahradíme-li zde m proměou x, dostaeme mohočle F(x) = x(x - 1) (x - 2)... (x - + 1) (15) zřejmě -tého stupě. Přepíšeme si jej v obvyklém tvaru, uspořádaý podle moci proměé x a ozačíme s(, k), k = 0,1,...,», jeho koeficiety, tedy F (x) = J(K, 0) + S(M, 1)* + s(, 2)x í s(, )x. (16) Čísla s(, k), k = 0,1,..., \ = 1, 2,3,... se azývají Stirligova čísla prvího druhu. K jejich výzamu v kombiatorice se ještě vrátíme později, zde si je stejým způsobem jako v případě biomických koeficietů formálě ódvodíme ěkteré vztahy a vlastosti Stirligových čísel. Bezprostředím porováím vyjádřeí (15) a (16) zjistíme, že je vždy, tj. pro všecha přirozeá, <«,0) = 0, s{,«) = 1, (17) a že pro k > je s(, k) = 0, eboť F (x) je stupě právě. Zároveň je však z (15) ihed vidět, že platí F + l(x) = F{x).{x ) = xf(x) F {x). (18) Přepíšeme si tuto idetitu pomocí (16) + l ^ + k)x k = ^ s(, k)x k+1 - «^ s ( > ty*" k=0 k O k=0 Porováím koeficietů při stejých mociách proměé x dostaeme vztah 16

12 s( + 1, k) = s(, k-1)- s(, k), 1 (19) Spolu s hodotami (17) umožňuje ám rekuretí relace (19) postupě vypočítat všecha Stirligova čísla pro 1, 2, 3,... Několik hodot s(, k) pro malá, k (^ 8) uvádíme v ásledující tabulce, kde jsme připojili též kovecí staoveé hodoty s(0,0) = 1, s(0, k) = = 0 pro k > 0 tz. F 0 (x) = 1 : k= = Vztah (18) eí ovšem jediou možou úpravou rovosti (15). Stejě dobře můžeme podle (15) psát apř. F + l(x) = xf {x - 1), (20) odkud po přechodů k vyjádřeí (16) plye rovost «+1 ^ s( + 1, k)x k = 2 <«> k) x(x - l) fc = k=0 k=0 k = 2 s(, k) J (*) ** +1 (- k=o j=o J 17

13 Dalšími, celkem jedoduchými úpravami odtud dostáváme akoec idetitu l 1 2 s( + 1, k)x* = (21) k = 0 ti-l-k = 2** 2 C + í _1 ) k=l Jako obvykle porováme ted koeficiety při x k straách idetity (21) a máme a obou -l-k s(w+l,*)= T (-íy^ + ^-^s^r + ^-l), (22) r = 0 ebo po dosazeí m = + 1, q = r -f k, m s(m, k) = (22') = (-!)«-*(* I - 1» í-l)> l o k t í m. i=k Příklad 6. Pro = 1, 2,3,... platí -!-l 2 (>) <«+ 1,;) = (23) j=k = s(, k) + s(, k l), Tuto rovost lze rověž odvodit z (20), jestliže tam apíšeme všude x + 1 amísto x, tedy F + l(.x + 1) = (* + 1) F 00 = xf{x) +' F (x). (20') 18

14 Podle (16) pak bude jedak +1 F + l(x + 1) = 2 < + l > *) (* +!)* = k = 0 = (?)*'= ="f ('*)«+ ^ jedak *F (*) + F (x) = 2 <«> *) ** s ( Wj V xk = k=0 k=0 = s(,0)* +2* 0 + *("> k)]^ + s(, ) x» +1. k= i A yí stačí již je opět porovat koeficiety při x k, k = 1, 2,...,«+ 1, abychom dostali požadovaou rovost (23). Příklad 7. Pro; = 0, 1, 2,...,«platí > 2 *(», (y) - (-1)»*] = 0. (24) K odvozeí této rovosti vyjdeme opět z (15), kde však místo x píšeme všude x 1, tedy F (-x - 1) = (-* - 1) (-* - 2)... (-* - ). Odtud však plye užitečý vztah 19

15 F[-(x + 1)] = (-1)» F (x + ). (25) Přejdeme yí k vyjádřeí (16); a levé straě idetity (25) dostáváme postupě 2 í(»,*)(-i)*c*+1)*= *=o = 2 <«,*H-I)* 2(/)*'= jt=o L A y=o J = 2 *'2 c-i)* (?)> y-o *=y - i ť\ L.* J kdežto a pravé straě vyjde k (-1)»2 <,k)(x + y = k=o k = (-i)» 2 <»> *) 2 0 ) k=o i y=o o 3 = 2 ^ 2 y-o *=y xik ~ }= Porováme koeficiety při stejých mociách x a odečteme 2 (/)[(-i) b " í; --' - (-i)*l= 1 1 J *=y Vyásobeím této rovosti číslem ( l) dostaeme (24). 20

16 Pro pocvičeí přeecháváme čteářům odvozeí ěkolika jedoduchých vztahů; k jejich formulaci poskytuji ispiraci výsledky uvedeé výše (včetě tabulky hodot s(, k)). Cvičei Dokažte 6. s( + 1, 1) = (-1)»\, = 0,1,2, Í(«+1,«)= - ("t 0 ' «= 0,1,2, < > k ) W ~ C" 1 )" - *] = 0 > «= 1, 2, 3,... k = 0 4. Derivace. Pojem derivace fukce patří svou podstatou do matematické aalýzy a pojat obecě přesahuje poěkud rámec všeobecých středoškolských zalostí. V algebře však můžeme defiovat derivaci mohočleu zcela formálě jako jistou operaci provedeou s jeho koeficiety, bez přímé souvislosti s výzamem derivace jakožto limity podílu přírůstků fukce a jejího argumetu; to si yí ukážeme. Mějme dá mohočle M(x) = a 0 + aix + a 2 x a x = (26) = 2 ; * = 0 jeho derivací azveme a M'(x) mohočle ebo DM(x) ozačíme 21

17 M'(x) = a'o + a'xx + a' 2 x a' x, pro jehož koeficiety platí a\_\ = k at (k = 1, 2,...,«)> a',. = o pro k >, tedy mohočle M'(x) = ai + 2a z * + 3a^ «a»*"" 1 - (27) 1 = ^ katx*- 1 = J (* + IH+i** A=1 A = 0 Příklad 8. Derivací mohočleu je mohočle 2-3* 2 + 5r» - x 7 + x 8-6* + 15x 2-7*«+ 8x 7 ; derivací mohočleu 3 x -f- \ x 4 je mohočle 1 + o Z defiice derivace mohočleu je zřejmé, že derivací mohočleu stupě > 0 je mohočle stupě 1. Derivací mohočleu stupě ula (tj. kostaty) je vždy mohočle ulový: je-li M(x) = c je M'(x) = 0; také derivace ulového mohočleu je mohočle ulový. Derivace mohočleu je jedozačě určea jeho koeficiety. Platí-li pro dva mohočley M(x), N(x) rovost M(x) = N(x) (ve smyslu idetity, tj. rovosti všech koeficietů), platí také M'(x) = N'(x). Toto tvrzeí elze obrátit, eboť existují zřejmě růzé mohočley mající stejou derivaci. Jsou-li M(x) = a 0 + aix + a%x z a x a N(x) = á 0 + aix + a 2 x a x 22 i

18 dva mohočley s růzými absolutími čley (a 0 # a ), mají přesto touž derivaci M'(x) - N'(x) = ai + 2a 2 x + 3a 3 * a x. Vzhledem k početím operacím sčítái a ásobei mohočleů platí pro operaci derivováí ásledující jedoduchá pravidla: 1. Derivace součtu dvou mohočleů je rova součtu jejich derivací D[Af(*) + N(x)] = DM(x) + DNO) ( 28 ) Skutečě, echť M(x) = 2 a k x k, N(x) = 2 bkx k, pak D[Aí(*) + N(x)] = D[Za k x k + St***] = = D[S(a* + b k )x k ] = Zk(a k + 6*)**" 1 = = Zkatx*- 1 + Zkb/cx"- 1 = DAÍ(*) + DN(x). 2. Je-h c reálé číslo a M(x) mohočle, pak derivací mohočleu cm(x) je c-ásobek derivace mohočleu M(x) Je totiž pro M(x) = D[cAÍ(*)] = cdm(x). (29) ^a k x k D [cm(x)] = T>[cLa k x k ] = D[2ca*x*] = = Xkca k x k ~ 1 = clka k x k ~ x = cdaf(x). Derivací mohočleu x k (k = 0, 1, 2,...) je zřejmě vždy mohočle foe* -1 ; záme-u pravidla 1 a 2 a umíme-li derivovat tyto jedoduché mohočley tvaru x*, umíme už derivovat libovolý mohočle, eboť si každý mohočle M(x) můžeme představit jako součet mohočleů (vlastě jedočleů) tvaru x k ásobeých reálými kostatami (koeficiety mohočleu M(x)). 3. Pro derivaci součiu dvou mohočleů platí vzorec 23

19 D[AÍ(x). N(x)] = M(x). N'(x) + M'(x). N(x). (30) Nechť M(x) = ^ a k x k, N(x) = ^ bi xl > potom D[AÍ(x). N(x)] D akx k. J V] = = D [2 2 a k b jx *+l] = 2 2 (k + j)a k b } x«+l-^ = = 2 2 kai c x k ~ 1 bjx ] akx^'bjx^1 k j k j = 2 kdkx*- 1 2 bjxi + 2 a k x k 2 jbjxi' 1 = = M'(x) N(x) + M(x) N'(x). Příklad 9. Nechť M(x) = 1 + 2x + x 2, N(x) = 1-2x + x z a počítejme derivaci součiu obou těchto mohočleů. Je M'(x) = 2 + 2x, N'(x) = 2 + 2x, takže podle (30) bude D[AÍ(*). N(x)] = M'(x) N(x) + M(x). N'(x) = = (2 + 2x) (1-2x + * 2 ) + (1 + 2x + x 2 ) (-2 + 2x) = = 2-2x - 2x 2 + 2JC x + 2x 2 + 2s 3 = = - 4x + 4X 3. Na druhé straě však sado zjistíme, že M(x) = (1 + x) 2, N(x) = (1 - x) 2, takže M(x). N(x) = [(1 + x) (1 - x)] 2 = = (1 x 2 ) 2 = 1 2x 2 + x 4, a tedy přímo podíle defiice derivace je D[Af(x). N(x)] = -4x + 4x> ; obě cesty vedou přirozeě k témuž koečému výsledku. Vzorce (28) a (30) lze idukcí sado rozšířit a případ libovolého (koečého) počtu sčítaců, resp. čiitelů. Z (28) tak máme pro m mohočleů Mi(x), Mz(x),.. M m (x) : 24 =

20 m m D [ 2 Mj(x)] = 2 M'j(x) = M\{x) + M' 2 (x) + (31) L J=1 J 7= M' m (x) a obdobým zobecěím vzorce (30) je D[Afi(x) M 2 (x)... M m (x)] = M'i(x) M2(x)... M m (x) + + Afi(x) M ' 2 ( x ) M 3 ( x )... M m (x) Mi(x) M2(x)... M m -i(x) M' m (x), (32) tjm D í M,(x) 1 = 2. M k (x). (32') Ly=i J jťi k=i,k=j Položíme-li v (32) Mj(x) = M(x) pro všecha j 1, 2,..., m, dostaeme vztah DM m {x) = mm m ~\x) M'(*) (33) (vzorec pro derivaci mociy mohočleu). Příklad 10. Nechť M(x) = 1 + x, takže [M(x)] m = = (1 + x) m, a počítejme derivaci DM m (x). Podle (33) to bude D M*(x) = D[(l + x) m ] = m{l + x) ' 1. 1 = 2 c r V - k=0 Zároveň však (1 + *)">= 2 m k = 0 ) x "> t 3^ 25

21 Dia+x)»i = 2 k ffi = 2 ( k + 1 } G+i)* fc - Z porováí obou výsledků vyplývá celkem zámý (resp. z (2) zřejmý) vztah mezi biomickými koeficiety (*+l) (k+l) = m ( m H 1 ) ' k = 0,\,...,m-\. (34) Příklad 11. Jak jsme si právě ukázali, platí pro m > 0 m D[(l + x) m ] = J k (J) xk ~ l = + *) m_1 k=i Dosadíme-li sem x = 1, vyjde ám ový vztah pro biomické koeficiety m 2 k (X) =m 2ml; (35) můžeme ho jiak získat též porováím (34) a (6). Poěvadž derivace každého mohočleu M(x) je sama opět mohočleem, můžeme ji zovu derivovat, výsledek tedy derivaci derivace M'(x) azveme druhou derivací mohočleu M(x) a ozačíme M"(x) ebo D 2 M(x): M"(x) = D 2 M(x) = D[DAf(*)]. Obdobě defiujeme dále derivaci třetí, čtvrtou atd., obecě -tou (k = 2, 3, 4,...) jako derivaci derivace (k - l)-vé: M(i) = D[D* _1 M(x)]. (36) 26

22 Jest ovšem D 1^*) = DM(x) = M'(x); umluvíme se avíc, že pod ultou derivací D AÍ(x) budeme rozumět samotý mohočle M(x). Tato kovece ám zjedoduší ěkteré další úvahy a vzorce, apř. (41). Pro všecha celá ezáporá, m bude pak platit, jak sado ahlédeme, vztah D m [D re AÍ(x)] = D m+ AÍ(jc). (37) Pro prví derivaci M'(x) mohočleu (26) máme explicití vzorec (27); jeho obdobou a zobecěím pro A-tou derivaci je D*M(x) = J JO' - 1)... (J - * + 1 )aix ] ~ k = j=k -k = 2!) 0' + 2) U + k ) a^kxí > (38) y=o jak se sado dokáže idukcí. Zatímco pravidla 1 a 2 pro derivaci součtu a kostatího ásobku se dají bezprostředě přeést i a případ vyšších derivací D*[Ař(x) + iv(*)] - D k M(x) + D k N(x), (39) * = 0,1,2,..., D*[cAÍ(x)] = ct> k M(x), / (40) je zobecěím vztahu (30) sám o sobě zajímavý tzv. Leibizův vzorec pro k-tou derivaci součiu k D*[AÍ(*). N(x)] = ^ ( k ) V"'' N ( x ) (41) Vzorec (41) se dokáže sado idukcí. Pro k = 1 je (41) 27

23 totéž co (30) a pro k = 0 je to triviálí idetita. Idukčí krok pak využívá vztahů (39) a (36) a ovšem také (5), totiž D* +1 [AÍ(*) N(x)] = D(D*[AÍ(x). A7(*)]) = k = D [ 2 ( / ) j=o = 2 ( k ) [D }+1 M(x) D*-* N(x) + DiM(x) N(x)] = J=0 1 k = + 2 [(y +(y)] DM(x) D fc+1_^ N(x) + D k - x M{x). N(x) = *+i = 2 (* 47 WM(x) Dk+1-1 #(*). Řekli jsme si už a také (27) to potvrzuje, že derivováím se síží stupeň mohočleu o jedotku; k-tá derivace mohočleu stupč je tedy mohočleem stupě k, pokud ^ k, jak je ostatě vidět také z (38). Při k > je už k-tk derivace ideticky rova ule (je to ulový mohočle). Mají-li dva mohočley M(x) a N(x) stejé k-té derivace D fc Af(x) = D*N(x), pak jejich rozdíl M(x) N(x) má, jak plye z uvedeých pravidel (39) a (40), -tou derivaci rovou (ideticky) ule, a je tudíž sám mohočleem stupě ižšího ež k, příp. je to přímo mohočle ulový, když M(x) = N(x). Jestliže do mohočleu (26) dosadíme x = 0, dostaeme 28

24 Aí(0) = a. Dosadíme-li touž hodotu do derivace M'(x), vyjde M'(0) = a\. Obecě pak pro -tou derivaci (k = 0, 1,2,..., ) vychází z (38) rovost D*AÍ(0) = k\a k. (42) Obráceě tedy můžeme vyjádřit koeficiety a k (k = 0, 1, 2,..., ) mohočleu (26) pomocí hodot jeho derivací D k M(x) pro x = 0 takže platí a k = -D*AÍ(0), M(x) = M(0) + xm'(0) + x 2 \ M"(0) (43) A + x ~ D"AÍ(0) = D*AÍ(0). A = 0 Vzorec (43) se azývá MacLaurigva formule. Přiklad 12. Pomocí MacLauriovy formule se dá také mj. odvodit biomický vzorec, tz. dokázat, že koeficiety mohočleu B{x) = (1+X)«= 2 ( ) ** k = 0 jsou dáy vzorcem (2). Podle (33) máme totiž DB (x) = = B -i(x), takže obecě pro k = 0,1,2,... platí D*B (JC) = ( - 1)... («- k + 1 ) _*(*). (44) Odtud po dosazeí x = 0 vychází podle (42) 29

25 ,\ _ < - 1) ( - 2)... ( - k + 1) _ U; k\ = ~k\(-k)\ ' a to je právě vzorec (2). Příklad 13. Ve třetím paragrafu jsme pozali mohočley F (x), jejichž koeficiety jsou Stirligova čísla s(, k). Počítejme derivaci F' (x) podle vyjádřeí (15). Užitím pravidla o derivaci součiu dostáváme > F'(x) = D[F-i(x)(x - + 1)] = = F'^(x). (x - + 1) + F _!(x). Dosadme sem x = 0: F' (0) = F _i(0) - ( - l)f' _i(0). Avšak z (15) je vidět, že F (0) = 0 pro > 0, kdežto F 0 (0) = 1. Zároveň je podle (16) F' (0) = s(, 1), takže celkem vychází < 1,1) = 1, s(, 1) = -(«- 1) s( -1,1). Z těchto dvou rovostí pak přímo plye (viz též cvičeí 6). 30 Cvičeí s(, l) = (-l)»- 1 (w- 1)! 9. Najděte mohočley E {x), = 1, 2, 3,..., takové,

26 že E (x) je stupě právě a D k E {x) = (k = 1, 2,.. - 1), D,(*) = 1. E -k(x) Dokažte vztahy 10. F'{x) = V Fk^xix) F-k(x - k). k=l Dm _ Tti > Aíí(x)l = J D*AÍ,0), y=í y=i kde Aíj(x) (_/ = 1, 2,..., m) jsou libovolé mohočley, k > D 3 M m (x) = F 3 (m) M m ~ a (x) [Aí'(*)] F 2 (OT) Af"»- 2 (jc) Aí'(*) Aí"(*) + + Fi(m)M m '\x) M"'(x), (Af m (x) je m-tá mocia mohočleu M(x), m = 3, 4,5,...). 5. Substituce. Operaci, kterou jsme již často s mohočley prováděli a kterou jsme považovali za dostatečě zámou bez zvláštího vysvětlováí, je operace dosazeí pevé reálé hodoty za proměou. Výsledkem dosazeí je pak vždy určité reálé číslo, hodota mohočleu odpovídající daé hodotě proměé. Obdobou (o ěco obecější) operací je dosazeí" jedoho mohočleu do druhého; tuto operaci si ted probereme. Pro odlišeí od prostého dosazeí čísla ji budeme azývat substitucí. Mějme dva mohočley M(x) = a 0 + aix + a 2 x a x = ^ a k x k (26) k = 0 a N(x). Spolu s N(x) jsou ovšem mohočley i všechy 31

27 jeho mociy N k (x), k = 0, 1, 2,... (N (x) je mohočle ideticky rový jedé.) Je tedy mohočleem také součet a 0 + ain(x) + a 2 N%x) a N (x) = ^a k N*(x). k=o (45) A právě teto mohočle (45) bereme jako výsledek operace substituce mohočleu N{x) do mohočleu M(x); začíme jej obvykle Af[N(x)]. Je-li M(x) = a 0 (mohočle ultého stupě), je také AÍ[iV(x)] = a 0 bez ohledu a to, jaký mohočle N(x) jsme vzali; je-h aopak N(x) = c = kost., je Af[AT(x)] = = Af(c), tedy mohočle ultého stupě ideticky rový hodotě mohočleu M(x) pro x = c. Ztotožňujeme-li mohočley ultého stupě kostaty s reálými čísly, vidíme, že operace dosazei (reálé hodoty za proměou) je zvláštím případem operace substituce, totiž substituce mohočleu ultého stupě, resp. mohočleu ulového (je-li c = 0). Obecě je pak stupeň mohočleu AÍ[N(*)] rove, pokud v (26) je a» ^ 0, stupi mohočleu N (x), a je tedy dá součiem stupňů obou mohočleů M(x) a N(x). Příklad 14. Náš zámý mohočle (1 + x) můžeme mj. považovat za výsledek substituce mohočleu N(x) = = 1 + x do mohočleu M(x) = x. Zároveň odtud vidíme, že při > 1 je AT[Af(x)] = 1 + x" ^ (1 + *)» = AÍ[N(*)] ; substituce N(x) do M(x) je tedy obecě ěco jiého ež substituce M(x) do N(x). 32

28 Sado se přesvědčíme, že z rovosti M(x) = P(x) + + Q( x ) plye také AÍ[AT(*)] = P[N(x)] + Q[Af(*)] (46) pro libovolý mohočle N(x) M(x) = P(x). Q(x) vyplývá a podobě ze vztahu M[N(x)] = P[N(x)]. [N(*)] ; (47) oba vztahy (46) a (47) se dají idukcí rozšířit a libovolý počet sčítaců, resp. čiitelů. V důsledku vzorců (46) a (47) se při prováděí substitucí emusíme omezovat je a mohočley M(x) apsaé v základím tvaru (1), resp. (26); stačí prostě psát v M(x) všude N(x) místo x (v odpovídající mociě) a výsledek bude vždy stejý, totiž AÍ[Af(x)], bez ohledu a tvar, v jakém je mohočle M(x) právě zapsá. Příkladem užité operace substituce bylo vlastě už odvozeí vzorců (20) a (20') ebo vyjádřeí F ( x 1) v příkladě 7. Šlo tu vesměs o velmi jedoduché substituce, v ichž byl mohočle N(x) prvího stupě. Takové substituce azýváme lieárí; budeme se s imi často setkávat (viz též cvičeí 16). Podívejme se ještě, jak vypadá derivace mohočleu po substituci. Podle (45) a pravidel 1 a 2 pro derivováí máme B(M[N(x)]) = D 2 VcW(x) = ^ k=0 k=0 ti Avšak podle cvičeí 12 je D[N*(*)] = kn^x) takže a * D[N*(*)]. k a k N D(AÍ[W(*)1) = 2 k^ x) N '(*) = k=i. N'(x), 33

29 = N'(x) 2 ka k N k ~\x). k=i Ale posledí součet eí podle (27) ic jiého ežli výsledek substituce mohočleu N(x) do mohočleu M'(x); platí tedy obecý vzorec D(M[N(x)]) = AT'[iV(x)]. N'(x). (48) Příklad 15. Mohočle N(x) = 1 + 2x substituujme do mohočleu B (x) = (1 + x), tedy B[N(x)J = ( x)» = (2 + 2x) = 2»B(x). Platí potom (podle pravidla 2 pro derivováí) DB [N(x)] = 2"B' (x) = 2"B _x(x). Podle vzorce (48) však je DB [N(*)] = B' [jv(*)]. N'(x) = B.i[N(x)]. 2 = = 2«( JC)"- 1 = 2 B -i(x). Příklad 16. Počítejme derivaci mohočleu F (x) z vyjádřeí (15). Podle vzorce (20) bude F'(x) = D[xF _i(* - 1)] = = F-1(* - 1) + xf'_ 1(* - 1). 1. Dosadme sem x = 0, vyjde F'{0) = F _i(-1) = (-1) (-2)...(-«+ 1) = = (-1)»-I(b - 1)! Poěvadž podle (16) a (42) je F' (0) = s(, 1), dostáváme odtud zovu zámý vztah (srv. příklad 13 a cvičeí 6) 34 s(, 1) = (-l)»-i( - 1)!

30 Již z vyjádřeí (45) je zřejmé, že výsledkem dosazeí pevé hodoty x = c do mohočleu AÍ[Af(x)] je stejá hodota Aí[iV(c)] tohoto mohočleu, jakou dostaeme, když do mohočleu M(x) dosadíme hodotu mohočleu N(x) pro * = c; je-li N(c) = d, je AÍ[N(c)] = M(d). Toho yí využijeme k odvozeí dalšího důležitého vzorce. Ozačme P(x) výsledek lieárí substituce mohočleu N(x) = c -(- x do mohočleu M(x) z (26). Ježto N'(x) = 1, zjedoduší se vzorec (48) a vztah P'(x) = Aí'[iV(*)], takže bude zcela obecě D* P(x) = D* AÍ[AT(JC)], k = 0,1, 2,... (49) Dosaďme sem x = 0; poěvadž N(0) = c, dostaeme z (49) rovost D* P(0) = M(c), k = 0, 1, 2,... (50) Napišme si teď MacLauriovu formuli pro mohočle P(x) a přepišme ji pomocí (50): P(x) = 2 TT ** D * P(0) = k=0 ' k=0 Avšak P(x) = M[N(x)] = M(x + c). Platí tedy " k M(x + c)= 2 -jr D* Aí(c) ; (51) *=o je to tzv. Taylorova formule. MacLauriova formule (43) je speciálím případem Taýlorovy formule pro c = 0. Lieárí substitucí mohočleu N*(x) = x c do mohočleu P(x) dostaeme (viz též cvičeí 14 a 16) P[N*(x)] = M(N[N*(x)]) = M[N(x - c)] = = M(x -c + c) = M(x) ; formuli (51) lze tedy psát též ve tvaru 35

31 M(x) = ^ *=o M (<) (51') Hed a začátku ašich výkladů o mohočleech jsme si v prvím odstavci připoměli důležité tvrzeí o jedozačosti koeficietů, kterého jsme pak také často užívali jako účiého ástroje při odvozováí růzých vztahů a vzorců. Podívejme se teď, jak se podobé otázky řeší při prováděí substitucí. Již ze vzorce (45) je zřejmé, že při daých mohočleech M(x) a N(x) je mohočle AÍ[ÍV(JC)] (a tedy také jeho koeficiety) jedozačě urče. Ptejme se však obráceě, zda, resp. za jakých podmíek kladeých a mohočle N(x) lze k daému mohočleu P(x) ajít mohočle M(x) tak, aby bylo P(x) = M[N(x)]. Odpověď a tuto otázku závisí podstatě a stupi mohočleu N(x). Ozačme po řadě p,, r stupeň mohočleu P(x), M(x), N(x); má-li být P(x) = Aí[JV(x)], musí být, jak víme p = r. Rozlišíme proto tři případy: 1. r > 1. V tomto případě je uté, aby číslo r bylo dělitelem čísla p. Jeom pak existuje takové, že p = r. Je-li tomu tak, lze ajít a to právě jedo číslo, ozačme je a, takové, aby mohočle R\(x) = P(x) a N (x) byl stupě ižšího ežli p (číslo a sado určíme jako podíl koeficietů při ejvyšších, tj. p-tých mociách proměé v mohočleech P{x) a N (x)). Hledaý mohočle M(x) bude pak existovat právě tehdy, podaří-li se ám vyjádřit mohočle Ri(x) obdobě jako Aíi[N(x)]. Ocitáme se tak zovu ve stejé situaci jako a začátku: číslo ri stupeň mohočleu Ri(x) musí být dělitelé číslem r; jediý rozdíl je v tom, že stupeň mohočleu i?i(x) je ižší, ež byl stupeň mohočleu P(x). Naložíme-li s Ri(x) stejě jako s P(x) atd., určíme postupě koeficiety hledaého mohočleu AÍ(JC). Přitom musí být při každém 36

32 kroku splěa podmíka dělitelosti stupňů. Neí-li splěa, hledaý M(x) eexistuje; je-li vždy splěa, jsou jeho koeficiety určey jedozačě. 2. r = 1. Teto případ je jedodušší, mohočle N(x) je prvího stupě: N(x) = c + dx, d # 0, takže N k (x) je stupě právě -tého. Lze tedy vždy alézt, a to právě jedo číslo a tak, aby mohočle R\(x) = P(x) a (c + dx) byl stupě ižšího ež (je totiž utě = p). Tím se ám podařilo sížit stupeň daého mohočleu aspoň o jedotku. Opakujeme-li stejý postup, dostaeme postupě všechy koeficiety a, a -1,..., Oo hledaého mohočleu M(x). V případě lieárí substituce N(x) = c + dx existuje tak ke každému P(x) právě jede M(x), pro který je P(x) = AÍ[ÍV(JC)]. Jiý způsob, jak v tomto případě ajít mohočle M(x), je provést heárí substituci mohočleu i + i x do mohočleu P(x) (viz též cvičeí 14 a 16). 3. r = 0. Posledí případ je triviálí. Je-li p > 0, eexistuje zřejmě žádé», pro které by bylo p =. 0, a tedy eexistuje ai žádý mohočle M(x). Je-li aopak p = 0, tz. P(x) = b = kost., elze mohočle M(x) určit, resp. existuje jich ekoečě moho. Je totiž N(x) = = c = kost. a podmíce vyhoví všechy mohočley M(x), které pro x = c abývají hodoty b. Příklad 17. Nechť P(x) = 1 + 3x 2-2x* + x 6, N(x) = 1 - x 2 ; hledejme M(x) tak, aby P(x) = M[N(JC)]. Je p = 6, r = 2, tedy = p/r = 3. Hledáme a 3 z podmíky, aby mohočle Ri(x) = P(x) - a 3 ( 1-37

33 byl stupě ižšího ež 6. Vyjde a 3 = 1, takže Ri(x) = = 2 + x*. Je tedy = 4 = 2r, a můžeme proto hledat C2 z podmíky, aby mohočle R 2 (x) = Ri(x) - a 2 ( 1 - * 2 ) 2 byl stupě ižšího ež 4. Vyjde az= 1, takže i? 2 = 1 2x 2. Dále je však už zřejmé, že R 2 (x) = 3 2N(x), takže celkem máme tj. P(x) = 3-2N(x) + N%x) - N 3 (x), M(x) = 3-2x + X 2 - JC 3 ; hledaý mohočle M(x) splňující P(x) = AÍ[ÍV(JC)] tedy existuje. Cvičeí Dokažte: 13. Operace substituce je asociativí, tz. že při P(x) = = M[N 2 (X)], Q(x) = N 2[N 3(X)] vždy platí P[N 3 (x)]= = N 1 [Q(x)). 14. Pro každý mohočle M(x) platí, že je-li P(x) = = M(c x), (c = kost.), potom také M(x) - = P(c - x). 15. Nechť Afi[N(x)] = Af 2 [N(*)], kde N(x) je mohočle stupě aspoň prvího; potom Aíi(x) = M 2 (x). 16. Lieárí substituce tvoří grupu. 6. Normálí soustavy mohočleů. Posloupost mohočleů P 0 (x), Pi(x), Pzix),..PK(x),... azveme ormálí soustavou mohočleů, jestliže má tyto tři vlastosti: 38

34 (i) P (*) = 1; (ii) Pk(x), k = 1, 2, 3,..., je mohočle stupě právě k; (iii) pro každé k = 1, 2, 3,... je P k {0) = 0. Příklad 18. Posloupost mohočleů P k {x) = x k, k = = 0,1,2,... tvoří ormálí soustavu. Rověž tak posloupost mohočleů F 0 (x) = 1, F k (x) viz (15) k = = 1, 2, 3,... tvoří ormálí soustavu. Mějme dáu ormálí soustavu mohočleů P k (x), k = = 0,1,2,..., a budiž M(x) libovolý mohočle stupě Aí(x) = a 0 + aix + a 2 x* a x, a ^ 0. (26') Potom lze M(x) vyjádřit ve tvaru M(x) = V c k P k (x) = c 0 + apíix) + (52) k=0 + C 2 P 2 (x) CP(x), a to právě jedím způsobem, tz., že koeficiety c 0, c\,..,,c ve vyjádřeí (52) jsou jedozačě určey mohočleem resp. jeho koeficiety a 0, a\,..., a. Toto tvrzeí dokážeme ejsáze idukcí podle stupě mohočleu M(x). Nejprve dokážeme existeci. Je-li Aí(x) mohočle ulový, stačí vzít všecha č k rova ule. Je-li M(x) mohočle ultého stupě, je M(x) = a 0 = kost.; vzhledem k (i) je tedy M(x) = a 0. P 0 (x), tedy c 0 = = a 0 a c k = 0 pro k > 0. Předpokládejme tedy, že tvrzeí o existeci koeficietů c k platí pro mohočley stupě ejvýše. Dokážeme, že platí také pro mohočley stupě + 1. Budiž tedy M(x) mohočle stupě + 1 M(x) = a 0 + aix + a 2 x a X" + a + ix Jrl, a + \ ^ 0. 39

35 Také P +i(x) je podle (ii) mohočle stupě + 1 P + l(x) = b 0 + bix 4- b 2 x bx + b+\x +l, b + 1 # 0. Položme N(x) = M(x) - P + 1(*). P+l Sado se vidí, že N(x) je mohočle stupě ejvýše «, takže podle předpokladu existuje skupia čísel c 0, ci,..., c taková, že JVO) = c 0 + cipi(x) + c 2 P 2 (x) c P (x). Nyí však již StaCÍ je položit C+1 = Q+l/b +1 a bude AÍ(X) = C 0 + CíPiO) + C 2 P 2 (X) C P(x) + + C + lp+l(x), takže vyjádřeí mohočleu M(x) ve tvaru (52) rověž existuje. K důkazu jedozačosti vyjádřeí (52) stačí ukázat, že pro žádou skupiu čísel c 0, ci, c2,..., c, která by ebyla všecha rova ule, emůže být ^ CkPk(x) ulový mo- 4 = 0 hočle. Kdyby však existovalo takové vyjádřeí ulového mohočleu s eulovými Ck, existoval by mezi koeficiety c 0, ci,..., c eulový koeficiet s ejvyšším idexem, ozačme jej c m (cm 0, ck = 0 pro k = m + 1,..., ). m Byl by tedy ulový mohočle rove součtu ^ CkP k (x). *=o Avšak z mohočleů Pk(x), k = 0, 1,..., m je jediě P m (x) mohočleem stupě m; jediě v ěm se tedy vyskytuje x m, a to s eulovým koeficietem. Ježto podle 40

36 předpokladu je i c m r 0, vystupuje x m s eulovým koem ficietem také v celkovém součtu ^ CkPk(x), ale to eí k O možé, poěvadž teto součet je ulovým mohočleem a te má utě koeficiety při všech mociách proměé x rovy ule. Příklad 19. Je-li daou ormálí soustavou mohočleů Pk{x) právě soustava mohočleů x k, k = 0, 1, 2,..., budou čísla Ck z (52) rova koeficietům ak z (26). Je tedy zápis (26) mohočleu M(x) speciálím případem vyjádřeí (52), odpovídajícím speciálí ormálí soustavě mohočleů Pk(x) = x k, k = 0, 1, 2,... Číslům Ck, k = 0,1, 2,... z (52) budeme říkat koeficiety mohočleu M(x) vzhledem k ormálí soustavě Pk(x) (k = = 0, 1, 2,...); obvyklé koeficiety ak z (26) jsou tedy koeficiety mohočleu M(x) vzhledem k soustavě mohočleů x k, k = 0, 1, 2,... Sado se přesvědčíme, že při početích operacích sčítáí mohočleů a ásobeí kostatou se koeficiety vzhledem k libovolé ormálí soustavě chovají vždy stejě. Jestliže je M(x) = ^c k Pk{x) a N(x) = Xd k Pk(x), potom M(x) + N(x) = S(c* + d k ) P k (x), (53) an(x) = Xad k Pk(x), a = kost. (54) Pro operaci ásobeí už toto eplatí, eí totiž Pj + k(x) = = P](x). Pkix), jako tomu bylo u moci x k. Příklad 20. Jestliže za ormálí soustavu, vzhledem k íž mohočley vyjadřujeme, vezmeme posloupost mohočleů x k jk\, k = 0, 1, 2,..., pak pro souči dvou 41

37 mohočleů Aí(x) = Zc k (x k /k!) a N(x) = Zd k (x k lk\) platí vzorec k M(x) N(x) = 2 ( 2 (í) C}dk -> ) JT (55) * 0 ^ ' Te si můžeme ověřit ejlépe přechodem k vyjádřeí mohočleů ve tvaru (26); vzájemý vztah koeficietů vzhledem k soustavám mohočleů x k jk\ a x k je totiž poměrě jedoduchý. Pozorý čteář si patrě již povšiml, že jsme zatím ikde evyužili vlastosti (iii) ormálích soustav. Uvedeá tvrzeí tedy platí i pro takové poslouposti mohočleů, které mají je vlastosti (i) a (ii). V předcházejícím paragrafu jsme se setkali se speciálím případem takových posloupostí. Byly to poslouposti moci N k (x), k = 0, 1, 2,... mohočleů N(x) prvího stupě. Vlastost (iii) přijde ke cti při studiu zobecěí pojmu derivace mohočleu. Budiž M(x) daý mohočle s vyjádřeím (52) vzhledem k daé ormálí soustavě mohočleů P k (x), k = 0, 1, 2,... Derivací mohočleu M(x) vzhledem k této ormálí soustavě azveme mohočle s vyjádřeím Cl + 2C 2PI(X) + 3c 3P 2(*) c N PN-L(x) = = 2 hctpt-1(*) ; (56) V ozačíme jej Dp M(x). Pravidlo pro určováí koeficietů derivace DpAÍ(x) mohočleu M(x) vzhledem k soustavě mohočleů Pk(x) je tedy obdobé pravidlu vyjádřeému vzorcem (27) pro obyčejou derivaci, která se takto jeví jako jede speciálí případ derivace, totiž derivace vzhledem k ormálí sou- 42

38 stavě mohočleů x k > k = 0, 1, 2,.... Výsledý mohočle DPAÍ(X) ovšem závisí velmi podstatě a zvoleé ormálí soustavě, vzhledem k íž derivujeme. Příklad 21. Vezměme opět ormálí soustavu mohočleů x k /k\, k = 0,1, 2,..., a budiž M(x) mohočle (26), takže jeho vyjádřeí tvaru (52) při daé soustavě P{x) = = x k /k\ je M(x) = a 0 + 1! AIPI(X) + 2! A 2P 2(X) «! A N P»(x). Tomu odpovídá podle (56) derivace D P M(x) = ai ! Pi(x) + 3.3! P 2 (*) «! P -i(x), takže DPAÍ(JC) = ai a2x a s x a x ~ l = = 2 Pa*- 1. Neí těžké si ověřit, že pro derivace vzhledem k libovolé ormálí soustavě mohočleů platí rověž pravidla 1 a 2 pro sčítáí a kostatí ásobky, tj. obdoby vzorců (28) a (29), D P[AÍ(X) + N(x)] = DPAÍ(JC) + D P N(x), (28') D P[CAÍ(JC)] = cd P M{x). (29') Při odvozováí stačí je psát všude Dp místo D a Pk(x) místo x k. Vidíme, že k tomu, abychom uměli zderivovat libovolý mohočle M(x) vzhledem k daé ormálí soustavě srv. pozámku za vzorcem (29) a str. 23, stačí umět derivovat mohočley x k (k = 0, 1, 2,...). 43

39 Příklad 22. Vezměme si ormálí soustavu mohočleů F k (x) z (15), k = 1, 2, 3,..., F 0 (x) = 1, a podívejme se, jak vypadají derivace mohočleů vzhledem k této soustavě. S tím souvisí též otázka staoveí koeficietů mohočleu vzhledem k této ormálí soustavě; stačí ovšem obojí řešit je pro mohočley tvaru x k, k = 0, 1,' 2,.... Položme ejprve obecě x" = S(, 0) + S(, 1) F^x) + S(, 2) F 2 (x) rt + S(, ) F {x) = S(, k) F k {x) ; (57) k = 0 čísla S(, k) jsou tedy koeficiety mohočleu x vzhledem k ormálí soustavě mohočleů F k (x). Dosazeím x = 0 do (57) zjistíme sado, že S(, 0) = 0 pro všecha přirozeá. Zde koečě dochází uplatěí vlastost (iii) aší ormálí soustavy. Prvý sčítaec a pravé straě (57) můžeme tedy případě vyechat. Koeficiety S(, k) defiovaé vzorcem (57) se azývají Stirligova čísla druhého druhu. Podle (56) je pak IM*") = 2 S ( > (58) Vztah (58) si dále upravíme pomocí vzorců (18) a (20); podle ich je totiž kf k _i(*) = (k - 1) F*_i(*) + F k _i(x) = = xf k _i(x) - F k (x) + i(x) = = (* + 1) F k _!(x) - F k (x) = = F k (x + 1) - F k (x). Dosadíme-li teto výsledek do (58), dostáváme 44

40 D F (x") = ^ k ) F «( x +!) - 2 S( - ' k) Fk{ - x) ' A=1 A=1 a tedy podle (57) D F (x») = (x + 1)» - x",» = 1, 2, 3,... (59) Pro = 0 je ovšem DÍ-(X ) = 0. V důsledku pravidel pro sčítáí a ásobky platí tedy i pro libovolý mohočle M(x) T>F M ( X ) = M(x + 1) - M(x). (60) Operaci derivace vzhledem k ormálí soustavě mohočleů Fk(x) začíme obvykle A místo D F a azýváme ji diferecí. Stejě jako v případě derivace v obvyklém smyslu (viz paragraf 4), lze i pro derivace vzhledem k libovolé ormálí soustavě zavést pojem druhé, třetí,... atd., obecě -té (k = 1, 2, 3,...) derivace; pro k = 0 klademe vždy D paí(x) = Aí(x), bez ohledu a kokrétí volbu soustavy mohočleů P/e(x). Sado pak uvidíme, že vztahy (37), (39) a (40) se rověž přeesou a obecý případ, že tedy platí Dp m [Dp" Aí(x)] = T) P m+ Aí(x), (37') DP*[AÍ(X) + A7(x)] = DPT M(x) + DP* N(x), = 0,1,2,..., (39') ~Dp k [cm(x)] = CDP* M(x) ; (40') při jejich odvozováí stačí zovu je všude psát Dp místo D a Pk(x) místo x k. Vzorce pro derivaci součiu takto zobecit elze z důvodů, které jsme si uvedli už při určováí koeficietů vzhledem k růzým ormálím soustavám. Explicití vzorec (38) pro -tou derivaci, resp. jeho aalogie 45

41 -k DP* M(x) = J F *(j) C}P)-k(x) = i=k (38') = J O' + O' + 2)... (j + k)c uk P,(x), j= o kde Ck (k = O, 1,..., ) jsou koeficiety M(x) z (52), ovšem platí pro každou ormálí soustavu mohočleů Pk(x). Díky vlastosti (iii) ormálích soustav platí také vzorec (42), resp. Dp k M(0) = k\ ck, takže místo (52) můžeme opět zcela obecě psát ^ 1 M(x) = 2 fr p *(*) Dp * k=o To je obecá MacLauriova formule. (42') M ( ) ( 61 > Příklad 23. Zvolme ormálí soustavu mohočleů Fk(x) z (15), F 0 (x) = l,a. vzhledem k í vyjádřeme mohočle M(x) = FÚ{x + c), c = kost., ve tvaru (52), resp. (61). Podle (60) bude Mlí(x) = M(x + 1) - M(x) = = F (x + C + 1) - F {X + C) = = (x + c + 1 X c + 1) F _i(x + c) = = F _i(x + c), > 0, a tedy obecě pro 0 < k ^ 46 A*Aí(*) = MF(x + c) = = { - 1)... (» - k + 1) F -k(x + c) = = Fki) F -k{x + c).

42 Pro x = 0 je tedy A*AÍ(0) = A*F (c) = F*(») F _*(c), takže MacLauriova formule pro mohočle M(x) je A i M(x) = 2 Ji **(*) i k = 0 poěvadž pak F k ()jk\ = a M(x) = F (x + c), platí F(x + c) = 2 (") F k (x) F_ k (c) ; (62) je to tzv. formule Vadermodova. Mohočley F (x) se ěkdy azývají faktoriáli mociy a místo F (x) se píše xw; v tomto zápise pak (62) zí (, x + c)w = 2 (*) ; (62') (tzv. biomický vzorec,pro faktoriáli mociy). Při pevě zvoleé ormálí soustavě mohočleů P k (x), k = 0, 1, 2,..., jsou koeficiety každého daého mohočleu M(x) vzhledem k této soustavě, tj. čísla Ck v (52), zcela jedozačě určey, takže i pro ě platí základí věta o rovosti koeficietů (viz odstavec 1). Toho lze využít k odvozováí růzých vztahů mezi těmito koeficiety podobě, jako jsme to udělali v předcházejících paragrafech s obyčejými koeficiety (tj. s čísly a k z (26)). Ukážeme si ěkteré takové vztahy pro Stirligova čísla druhého druhu. 47

43 Příklad 24. Podle (57) je pro přirozeé -rl 1 = 2 5( + 1, k) F k (x). Zároveň však je k = l = xx = x 2 S ( > k ) F *( x ) A= 1 Avšak x = x k + k a (x k) F k {x) = F k+ i(x), takže x + l = 2 S(tl, k) F k+ 1(*) + J ks ( > k ) F *( X ) k=l Porováím koeficietů při F k (x), k = 1, 2,...,«+ 1 v obou vyjádřeích x +1 dostáváme jedak S( + 1, 1) = 5(w, 1) a S( + 1, + 1) = S(, ), (63) jedak při 1 < <«+1 S(M + 1, k) = 5(M, k - 1) + ks(, k). (64) Ze (63) a z rovosti Fi(x) = x, tz. 5(1, 1) = 1, plye dále 5(M, ) = 5(1, 1) = 1, = 1, 2, 3,... (65) Příklad 25. Vyjdeme ze zřejmé rovosti *»+i==i(i + *-i)» = x 2 ( 2 ) ~ ^ A = 0 a pro mociy x použijeme vyjádřeí (57). Máme tedy 48

44 +1 k 2 S( + 1, r) F r (x) = x ^ (l) J S ( k >J) F > (*"!) = T=i *=o y=o = 2 2 = j=o *=/ + l r 1 *=0 vzhledem k (57) můžeme celkem přirozeě doplit defiici Stirligových čísel tak, že S(k, j) = 0 pro k < j. Porováím koeficietů při F k (x), r = 1, 2,...,» + 1 dostaeme rovost + 1, r) = 2 ( ) *=o S ( k > r - 1) W Stejě jako v případě biomických koeficietů ebo Stirligových čísel prvího druhu euvedli jsme si ai tady všechy zámé zajímavé vztahy mezi čísly S(, k). Některé vlastosti těchto čísel pozá čteář, který si vyřeší připojeá cvičeí, ale i tak zůstae ještě velmi moho vzorců, které si lze s trochou fatazie odvozovat uvedeými metodami téměř bez omezeí. To však již musíme přeechat samostaté prácr čteářů. Cvičeí 17. Dokažte platost vzorců S(w, 2) = 2 _1 1, = 2,3,4,..., 49

45 S(, 3) = -i- (3»"i - 2» + 1), w = 3, 4, 5,.. S(,» 1) = (2), ra= 1,2,3,..., S(,-2)= (3) + 3(4), «= 2,3,4, Z rekuretích vzorců (64), zámých hodot (65) a S(, 0) = 0 vypočtěte S(, k) pro, k ^ 8a sestavte tabulku obdobou tabulce hodot s(, k) ze str Dokažte vztah mezi Stirligovými čísly prvího a druhého druhu ^ f 0 jestliže TM, 2 S(, k) s(k, m) = k { 1 jestliže = m. 20. Odvoďte explicití vzorec pro S(, ): k s(,k)= (k-jy. y j=0 21. Položte a dokažte pak, že B» = 2 k ) B + 1 = ^ ( ) B * A = 0 (B jsou tzv. Bellova čísla; vypočtěte ěkolik z ich umericky.)

46 22. Ozačte F *(x), = 1, 2, 3,... mohočley F»*(x) = F (x + - 1) = x(x + 1)... (x + - 1) a dokažte pro ě rovost obdobou vzorci (62) F*(x + e) = 2 (l) F- k \c) k = 0 (tzv. Norludova formule). 51