Matematická analýza I (pro učitelské obory) Stanislav Trávníček Pavel Calábek Jaroslav Švrček

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Matematická analýza I (pro učitelské obory) Stanislav Trávníček Pavel Calábek Jaroslav Švrček"

Transkript

1 Mtemtická nlýz I (pro učitelské obory) Stnislv Trávníček Pvel Clábek Jroslv Švrček

2

3 Mtemtická nlýz I (pro učitelské obory) Stnislv Trávníček Pvel Clábek Jroslv Švrček

4

5 Obsh Úvod Číselná os, supremum infimum Zákldní číselné množiny Zákldní vlstnosti číselných množin Supremum infimum Několik vět o reálných číslech číselných množinách Klsifikce bodů vzhledem k množině Rozšířená reálná os Číselné posloupnosti Pojem posloupnosti Zákldní vlstnosti číselných posloupností Limit posloupnosti Nulové posloupnosti Aritmetická posloupnost geometrická posloupnost Některé význmné limity Číslo e Pojem funkce Definice funkce Řešení rovnic nerovnic Vlstnosti funkcí Operce s funkcemi Funkce inverzní Rozšíření pojmu funkce Elementární funkce Přehled elementárních funkcí Algebrické funkce Goniometrické funkce funkce cyklometrické Funkce exponenciální logritmické Funkce hyperbolické hyperbolometrické Limit funkce Limit funkce podle Heineho Věty o limitách funkcí Výpočet limit Limit funkce podle Cuchyho Spojitost funkce Pojem spojitosti funkce Funkce spojité n množině Vlstnosti funkcí spojitých n intervlu Stejnoměrná spojitost Derivce funkce Pojem derivce funkce Derivce funkce n množině

6 7.3 Vlstnosti derivcí Derivce elementárních funkcí Diferenciál funkce Derivce diferenciály vyšších řádů Derivce různých typů funkcí Zákldní věty diferenciálního počtu Úvod Věty o střední hodnotě Některé důsledky vět o střední hodnotě Tylorův vzorec Užití diferenciálního počtu Monotónnost funkce Lokální extrémy Největší nejmenší hodnot funkce n intervlu Konvexnost konkávnost Inflexe inflexní body Asymptoty Průběh funkce Užití extrémů funkcí Metody integrce pro funkce jedné proměnné Zákldní vzorce Integrce užitím substitucí Metod per prtes Integrce rcionálních funkcí Integrce některých ircionálních funkcí Eulerovy substituce Goniometrické hyperbolické funkce Goniometrické hyperbolické substituce Užití Eulerových vzorců pro výpočet některých integrálů Riemnnův určitý integrál Definice Riemnnov integrálu Newtonův vzorec Zákldní vlstnosti určitého integrálu Výpočet určitých integrálů Dlší vlstnosti určitého integrálu Užití Riemnnov integrálu Přibližné metody výpočtu Riemnnov integrálu Užití určitého integrálu v geometrii Technické křivky Užití určitého integrálu ve fyzice Nevlstní integrály Nevlstní integrál vlivem meze Nevlstní integrál vlivem funkce Vlstnosti nevlstních integrálů Kriteri konvergence nevlstních integrálů

7 14 Elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic Zákldní pojmy Zákldní problémy Seprce proměnných Užití substitucí Lineární diferenciální rovnice 1. řádu Ortogonální izogonální trjektorie Užití diferenciálních rovnic Číselné řdy Zákldní pojmy Některé vlstnosti číselných řd Řdy s nezápornými členy Řdy s libovolnými členy, bsolutní konvergence Alternující řdy Přerovnávání číselných řd Mocninné řdy Násobení řd Seznm doporučené litertury

8

9 Úvod Učební text Mtemtická nlýz I (pro učitelské obory) je určen především posluchčům prvního ročníku učitelských kombincí s mtemtikou n Přírodovědecké fkultě UP v Olomouci v rámci bklářského studijního progrmu. Skriptum vzniklo přeprcováním studijní opory, kterou vytvořil první z utorů této publikce jko doplněk ke stejnojmenné přednášce. Aktulizovný částečně doplněný učební text obshuje 15 kpitol, jejichž obsh pokrývá veškerou problemtiku zákldního kurzu mtemtické nlýzy v prvním ročníku výše uvedených studijních oboru, tj. úvod do diferenciálního integrálního počtu funkce jedné reálné proměnné. N tomto místě bychom chtěli vyjádřit nše vřelé poděkování oběm recenzentům prof. RNDr. Svtoslvu Stňkovi, CSc., doc. RNDr. Jitce Litochové, CSc., z jejich cenné připomínky, jimiž přispěli ke zkvlitnění celého učebního textu. Vydání této publikce bylo podpořeno projektem A-Mt-Net, síť pro trnsfer znlostí v plikovné mtemtice, č. CZ.1.07/2.4.00/ Autoři Olomouc, duben

10

11 Kpitol 1 Číselná os, supremum infimum 1.1 Zákldní číselné množiny Uvedeme nejprve přehled zákldních číselných množin jejich oznčení. V celém textu budeme prcovt s následujícími množinmi, jejichž vlstnosti jsou probírány už n střední škole: N = {1, 2, 3,..., n,...} je množin všech přirozených čísel. Přirozená čísl používáme npř. jko pořdová čísl, třeb při zápisu členů posloupnosti: ( n ) = 1, 2, 3,..., n,... N 0 = {0, 1, 2, 3,..., n,...} = N {0} je množin celých nezáporných čísel. Těmito čísly je vyjádřen počet prvků konečných množin. Později uvidíme výhody použití čísel z N 0 jko indexů členů nekonečných mocninných řd: x + 2 x n x n +... Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} je množin všech celých čísel. Celá čísl používáme npř. pro zápisy vzthující se k periodičnosti funkcí; npř. funkce y = cotg x není definován pro x = kπ, kde k Z je libovolné (celé) číslo. Q množin všech čísel rcionálních. Rcionální číslo je definováno jko číslo, které lze vyjádřit ve tvru k n, kde k Z n N. Podle potřeby lze tkový zlomek uvést n zákldní tvr, kde čittel jmenovtel jsou čísl nesoudělná. Rcionální čísl se používjí npř. při konstrukci některých méně obvyklých mtemtických objektů (viz dále). Množin Q je n číselné ose hustě uspořádán, mezi kždými dvěm rcionálními čísly leží dlší rcionální číslo (npř. jejich ritmeticky průměr). Rcionální čísl lze zpst i jko čísl desetinná. Jejich desetinný (dekdický) rozvoj je ukončený nebo periodický, dostneme jej ze zlomku k n dělením. Obrácený postup je již náročnější. Příkld 1 Rcionální číslo = 1,572 zpište ve tvru zlomku. Návod: První způsob řešení vychází z toho, že periodická část desetinného rozvoje čísl je geometrická řd. Pltí tedy = 1, = Ve druhém způsobu řešení zpíšeme = 1, = 157,272, =... = odkud po odečtení první rovnice od druhé dostneme 99 = 155,7, tedy = =

12 R množin všech čísel reálných, je pro zákldní kurs mtemtické nlýzy zákldní číselnou množinou (pokud není řečeno jink, budeme rozumět pod pojmem číslo vždy číslo reálné). Dostneme ji tk, že vhodným způsobem zvedeme ircionální čísl. Reálná čísl zobrzujeme n číselné (reálné) ose: je to přímk, n níž zvolíme bod O jko obrz čísl 0 (počátek číselné osy) bod J jko obrz čísl 1, pomocí těchto dvou bodů pk n ní zobrzujeme všechn reálná čísl; body n číselné ose oznčujeme zprvidl přímo zobrzovnými čísly. Při rozšiřování pojmu číslo z Q n R vznikjí dvě otázky: zd existuje potřeb ircionálních čísel ( jk je zvést), zd zobrzení množiny R n číselnou osu je bijekce, tj. zd tké nopk i kždý bod číselné osy je obrzem nějkého reálného čísl. Vět Neexistuje rcionální číslo, jehož druhá mocnin by byl rovn 2. Důkz: (sporem) Předpokládejme, že není splněno tvrzení věty, tj. že r Q: r 2 = 2. Číslo r je zřejmě kldné; vyjádříme je zlomkem v zákldním tvru r = p q, tedy p, q jsou čísl nesoudělná pltí rq = p. Umocníme: r 2 q 2 = p 2, tj. 2q 2 = p 2, odtud p 2 je sudé, což nstne, právě když p je sudé. Tedy p = 2k, odtud 2q 2 = 4k 2, proto q 2 = 2k 2, tkže q je sudé. Odtud plyne, že zlomek p q lze krátit dvěm. To je spor s předpokldem, že tento zlomek je v zákldním tvru. Bez ircionálních čísel (tj. v množině Q) bychom tk npř. nedovedli změřit úhlopříčku jednotkového čtverce (neměl by délku). Existuje tedy potřeb čísel, která nejsou rcionální která jsme nzvli ircionální. Logik rozšiřování číselných oborů říká, že nový druh čísel zvádíme pomocí čísel již dříve definovných. Při zvádění čísel reálných (tedy vlstně ircionálních, jen t jsou nová) lze postupovt tk, že definujeme tzv. řez v množině Q jko kždý rozkld množiny Q n dvě třídy, dolní horní, kde tedy kždé rcionální číslo ptří právě do jedné z těchto tříd kždé číslo z horní třídy je větší než kždé číslo z dolní třídy. Ircionální číslo pk ztotožníme s tkovým řezem, kde v dolní třídě není největší prvek v horní třídě není prvek nejmenší. Npř. číslo 2 je dáno řezem v Q, kde do dolní třídy ptří všechn čísl záporná t x z nezáporných, pro něž je x 2 < 2, do horní třídy ptří všechn zbývjící rcionální čísl. S podrobnostmi toho přístupu se seznámíte v přednáškách z lgebry ve třetím ročníku, kdy budete probírt Dedekindovy řezy; tm se tké seznámíte s jiným přístupem pomocí Cntorovy teorie fundmentálních posloupností. Množinu všech ircionálních čísel oznčíme Q ; je Q Q = R = Q Q. Všimněme si dekdického rozvoje: rcionální čísl mjí dekdický rozvoj ukončený nebo periodický, ircionální čísl mjí svůj dekdický rozvoj neukončený neperiodický; pro ircionální čísl čsto známe jen konečný počet míst jejich dekdického rozvoje (npř. pro číslo π), le není to prvidlo. Příkld 2 Npište dekdický rozvoj tkového ircionálního čísl, u něhož dovedeme jednoduše určit číslici n libovolném místě rozvoje. Návod: Uvžujte npříkld číslo 1, , kde jedničky v desetinné části jsou po řdě odděleny 1, 2, 3, 4,... nulmi. Zjistěte, jké číslice jsou n desetinném místě. [1 0] 12

13 O množinách R Q říkáme, že jsou husté v množině R reálných čísel, což znmená, že mezi libovolnými dvěm reálnými čísly leží lespoň jedno číslo rcionální též lespoň jedno číslo ircionální. Důležitá cest k poznání množiny Q vede přes mohutnosti množin. Ztímco množiny N, Z, Q jsou spočetné (prvky těchto množin lze uspořádt do posloupnosti), tk množin R (tedy i Q ) spočetná není; říkáme, že R má mohutnost kontinu. C množin všech čísel komplexních; komplexní čísl zobrzujeme v Gussově rovině. Pltí: N N 0 Z Q R C. 1.2 Zákldní vlstnosti číselných množin O relcích opercích v číselných množinách o jejich přirozeném uspořádání pojednává podrobně lgebr. Avšk i v mtemtické nlýze se zbýváme mnoh význmnými číselnými množinmi. Při vyšetřování číselných množin využíváme jejich vlstnosti, o nichž dále pojednáme. Definice Množin M se nzývá shor omezená, právě když L R tk, že x M pltí x L. Toto číslo L se nzývá horní odhd (resp. horní závor). Množin M se nzývá zdol omezená, právě když K R tk, že x M pltí x K. Toto číslo K se nzývá dolní odhd (resp. dolní závor). Množin M se nzývá omezená, právě když je omezená shor i zdol. Příkld 1 Kolik horních (dolních) odhdů má číselná množin? Vyjádřete, co znmená, že dná množin M není omezená shor, zdol, že není omezená. Co znmená, že číslo B není horním odhdem dné množiny? Pokud některý horní odhd množiny M ptří do množiny M, pk jej nzýváme největší prvek množiny M oznčujeme jej mx M. Podobně nejmenší prvek množiny M (definujte) oznčujeme min M. Příkld 2 Určete největší nejmenší prvek množin M 1 = { 1, 1 2, 1 4, 1 8,...}, M 2 = { 1 2, 1 2, 2 3, 2 3, 3 4, 3 4,...}, M 3 = { 0, 1, 1 2, 1 3, 1 4,...}. Návod: Množin M 1 má největší nemá nejmenší prvek, M 2 nemá největší ni nejmenší prvek, M 3 má prvek největší i nejmenší. K nejdůležitějším číselným množinám ptří intervly. Definice Pro všechn, b R, < b, definujeme uzvřený intervl, b = {x R; x b}, otevřený intervl (, b) = {x R; < x < b}, podobně, b), (, b. Všechny tyto intervly mjí délku b. 13

14 Definice Množinu, + ) = {x R; x } nzýváme neomezený intervl. Podobně (, + ), (, b, (, b). Množinu R zpisujeme též jko (, + ). Příkld 3 Definujte intervl, který zprv uzvřený zlev otevřený. Definujte intervl, který je nopk zprv otevřený zlev uzvřený (tzv. polouzvřený nebo polootevřený intervl). Někdy uvžujeme též degenerovné intervly:, = {}, (, ) = (prázdná množin). Pojmem intervl budeme všk dále vždy rozumět nedegenerovný intervl. Jestliže J je intervl s koncovými body, b (npř. J = (, b ), pk J = b znčí délku tohoto intervlu. Definice Absolutní hodnot (modul) čísl R se oznčuje je definován tkto: { pro 0 = pro < 0. Vět (vlstnosti bsolutní hodnoty) Pro všechn, b R pltí ) 0, přičemž = 0, právě když = 0, b) =, c) + b + b, d) b b, e) b = b, f) pro b 0 je = b b. Vlstnost c) (trojúhelníkovou nerovnost) můžeme zobecnit (užitím principu mtemtické indukce vzhledem k n): c ) Pro všechny n-tice reálných čísel 1, 2,..., n pltí nebo zkráceně n n n i i=1 n i. Geometrický význm bsolutní hodnoty: znčí vzdálenost obrzu čísl od počátku číselné osy, b = b vzdálenost obrzů čísel, b n číselné ose. i=1 0 b b Příkld 4 V oboru reálných čísel řešte nerovnice rovnici: ) x 3 < 2, b) 2 x x 2x 4, c) x x x 2 = 0. 14

15 1.3 Supremum infimum Definice Nechť M R, M. Číslo β R nzýváme supremum množiny M píšeme β = sup M, právě když má tyto dvě vlstnosti: 1. Pro všechn x M pltí x β, 2. Pro kždé β < β existuje x M tk, že pltí x > β. Vlstnost 1. znmená, že β je horní odhd, vlstnost 2. říká, že β je ze všech horních odhdů nejmenší, tedy: sup M je nejmenší horní odhd (závor) množiny M. Ovšem z definice nijk neplyne, že tkový nejmenší horní odhd existuje. β x β Definice Nechť M R, M. Číslo α R nzýváme infimum množiny M píšeme α = inf M, právě když má tyto dvě vlstnosti: 1. Pro všechn x M pltí x α, 2. Pro kždé α > α existuje x M tk, že pltí x < α. Vlstnost 1. znmená, že α je dolní odhd, vlstnost 2. říká, že α je ze všech dolních odhdů největší, tedy: inf M je největší dolní odhd (závor) množiny M. Z definice opět nijk neplyne, že tkový největší dolní odhd existuje. Příkld 1 Určete sup M inf M pro množinu M = { 1 2, 2 3, 3 4,...}. Návod: Pltí sup M = 1, neboť všechny prvky množiny M jsou prvé zlomky jsou tedy menší než 1; jestliže všk vezmeme libovolné číslo r < 1, existuje vždy v M prvek n n+1, který je větší než r. Dále inf M = 1 2, neboť žádný prvek M není menší než 1 2, když zvolíme libovolné číslo s > 1 2, pk vždy právě pro prvek 1 2 pltí 1 2 < s. Přitom sup M není inf M je prvkem zdné množiny M. Tedy: supremum infimum množiny mohou, le nemusí být prvky této množiny. Pokud sup M je prvkem množiny M, je jejím největším prvkem; podobně pro inf M. Tké nopk, pokud má M největší prvek, je to součsně sup M; podobně pro nejmenší prvek. Vět (o existenci suprem infim) Kždá neprázdná shor omezená množin reálných čísel má supremum. Kždá neprázdná zdol omezená množin reálných čísel má infimum. Tuto větu budeme povžovt z xiom vyjdřující zákldní vlstnost číselné osy. Tedy: existuje bijekce množiny R n číselnou osu kždé reálné číslo lze zobrzit n číselné ose kždý bod číselné osy je obrzem nějkého reálného čísl. Říkáme též: číselná os je spojitá. Pojmy číslo bod číselné osy povžujeme z synonym říkáme npř. bod x 0 místo číslo x 0 pod. Pojmy supremum infimum vět o existenci suprem infim jsou pro mtemtickou nlýzu velmi důležité. Hrjí podsttnou roli v řdě důkzů (viz npř. dále 1.4, důkz věty o vložených intervlech) při definici dlších důležitých mtemtických pojmů. 15

16 Reálná čísl relit Mtemtik svými prostředky modeluje relitu přitom používá metody bstrkce: bstrhuje od mnoh vlstností reálných objektů (které mohou být pro relitu velmi význmné) ponechává jen ty, které upotřebí při vytváření mtemtických modelů. Vytváří tk různé bstrktní objekty, jko je bod, čtverec, číslo, funkce, řd d. Tyto bstrktní modely jsou velmi vhodné pro popis studium relity, le přesto nesmíme změňovt model relitu. V určitých přípdech se nše reálné předstvy zkušenosti dostávjí do rozporu s některými mtemticky zcel přesně definovnými pojmy vlstnostmi. Npř. v reálném životě není nekonečno, tkže některé jeho vlstnosti odporují nšim prktickým zkušenostem, třeb to, že nekonečná množin je ekvivlentní s některou svou prvou částí; npř. množin všech lichých přirozených čísel má týž počet prvků (tj. stejnou mohutnost) jko množin N. Podobně n zákldě zkušeností z reálného svět je nepředstvitelné, že Q má větší mohutnost než Q (že ircionálních čísel je více než čísel rcionálních. Nše zkušenost říká, že když vedle sebe jsou umístěny nějké objekty, tk mezer mezi nimi je tk nějk stejně jko objektů (plňkový plot), le u čísel rcionálních ircionálních je to úplně nepředstvitelně jink. Mezi kždými dvěm čísly rcionálními je lespoň jedno číslo ircionální mezi kždými dvěm čísly ircionálními je lespoň jedno číslo rcionální, přičemž těch ircionálních mezi dvěm rcionálními je množin mohutnosti kontinu, ztímco rcionálních mezi dvěm ircionálními je jen spočetná množin. Definice ircionálních čísel, ť už použijeme jkoukoli metodu, vytváří jen mtemtický model nikoli relitu. Spojitost číselné osy, která se skládá z rcionálních ircionálních bodů, si nelze předstvit; snd i proto, že v reálném světě je to jink, tm neexistuje žádná přímk pohodu číselné osy jko dobře fungujícího mtemtického modelu nrušují různé fyzikální částice. N počítči se s reálnými čísly prcuje dvěm způsoby: čísl celá jsou uložen ve dvojkové soustvě podle počtu použitých bytů je dán jejich rozsh dostčující pro použití v prxi, výpočty jsou přesné; desetinná čísl se ukládjí jiným způsobem, to jen s určitou přesností, která hrje u složitých rozsáhlých výpočtů velkou roli. 1.4 Několik vět o reálných číslech číselných množinách Vět (o ritmetickém geometrickém průměru dvou nezáporných čísel) Jsou-li, b libovolná nezáporná reálná čísl, pk jejich ritmetický průměr je větší nebo roven jejich průměru geometrickému, tj. + b b, 2 přičemž rovnost průměrů nstává právě při rovnosti obou čísel, b. Důkz: (princip) Zde je vhodný důkz přímý, přičemž vyjdeme z pltné nerovnosti ( b ) 2 0, jejíž úprvou dostneme přímo dné tvrzení. Příkld 1 Všimněte si slovní formulce věty. Přepište ji do formy převážně symbolické do formy zcel symbolické. Předcházející větu lze zobecnit následujícím způsobem, její důkz zde neuvádíme. 16

17 Vět (nerovnost mezi ritmetickým geometrickým průměrem, AG nerovnost) Jsou-li 1, 2,..., n libovolná nezáporná reálná čísl, potom pltí n n Rovnost nstává, právě když 1 = 2 =... = n. n n Vět (Bernoulliov nerovnost) Pro kždé reálné číslo h > 1, kde h 0 pro kždé přirozené číslo n 2 pltí (1 + h) n > 1 + nh. Důkz: (princip) Užijeme princip mtemtické indukce vzhledem k n. V prvním kroku dokážeme tvrzení pro n = 2, tedy (1 + h) 2 = 1 + 2h + h 2 > 1 + 2h, ve druhém kroku předpokládáme, že pro jisté n 2 pltí (1 + h) n > 1 + nh. Obě strny poslední nerovnosti vynásobíme kldným číslem (1+h) dále n prvé strně vynecháme člen nh 2. Bernoulliov nerovnost se používá npř. při některých důkzech vlstností posloupností. Vět (o rovnosti reálných čísel) Nechť p, q R. Jestliže ε > 0 pltí p q < ε, pk p = q. Důkz: (sporem) Kdyby p q, bylo by p q > 0. Zvolíme-li ε = p q, dostáváme, že p q < ε součsně p q = ε, což dává spor. Proto p = q. Tto jednoduchá vět usndňuje některé důkzy, npř. důkz následující věty. Vět (o vložených intervlech) Nechť (J n ) je posloupnost omezených uzvřených intervlů J n = n, b n tkových, že J 1 J 2 J 3... Pk existuje bod x 0, který leží ve všech intervlech J n pro n N. Jestliže nvíc ε > 0 n N tk, že J n < ε, je tkový bod x 0 jediný. Důkz: (princip) Uvžujeme množinu A všech levých krjních bodů n intervlů J n množinu B jejich prvých krjních bodů b m ; pro všechn m, n N pltí n < b m. Podle věty o existenci suprem tedy existuje α = sup A, pro něž α b m ; podobně existuje β = inf B pro všechn n N pltí n α β b n, tedy n N: α, β n, b n. Pro důkz tvrzení věty stčí volit x 0 α, β. Je-li intervl α, β degenerovný, dostáváme x 0 jednoznčně. To nstává právě tehdy, když je splněn druhá podmínk věty, tedy když ε > 0 n N tk, že b n n < ε. Jelikož je β α b n n < ε, je podle věty o rovnosti reálných čísel α = β. Podmínk věty, zjišťující jednoznčnost společného bodu x 0 může být formulován i tkto: Jestliže posloupnost ( J n ) délek intervlů J n je nulová... Větu o vložených intervlech používáme při důkzech některých důležitých vlstností posloupností funkcí, zejmén ve spojení s tzv. Bolznovou metodou důkzu. 17

18 1.5 Klsifikce bodů vzhledem k množině Definice Okolím bodu nzveme kždý otevřený intervl (c, d) konečné délky, který obshuje bod (tj. kde (c, d)); oznčení okolí bodu : U(). c d Tto je definice je formulován ve smyslu topologickém. Vět (vlstnosti okolí) Okolí bodu má tyto vlstnosti: Pro kždé U() je U(). Ke kždým dvěm okolím U 1 (), U 2 () existuje okolí U() tk, že U() U 1 () U 2 (). Je-li b U(), pk existuje U 1 (b) tk, že U 1 (b) U(). Pro libovolná b existují U 1 (), U 2 (b) tk, že U 1 () U 2 (b) =. Pro důkzy některých vět je vhodnější definovt okolí bodu ve smyslu metrickém. Definice ε-okolím bodu, kde ε R, ε > 0, nzýváme intervl ( ε, + ε); oznčení: U(, ε) nebo též U(). ε + ε Lehce ověříme, že ε-okolí má všechny uvedené vlstnosti okolí. Místo x U(, ε) lze rovněž psát x < ε. Definice Prstencovým (redukovným) okolím bodu nzýváme množinu P () = U() {}. Podobně P (, ε) = U(, ε) {}. Dále se definuje levé U( ) resp. prvé U(+) okolí bodu jko intervl (c, nebo ( ε, resp., d) nebo, + ε); jsou to tzv. jednostrnná okolí. Ještě uvžujeme jednostrnná prstencová (redukovná) okolí P ( ) resp. P (+) to když z jednostrnného okolí vypustíme bod. Užitím pojmu okolí bodu lze klsifikovt body z R vzhledem k dné číselné množině M. Uvedeme si nyní zkrácené definice některých důležitých pojmů, používných v mtemtické nlýze. Vnitřní bod množiny M: Bod množiny M, který do M ptří i s některým svým okolím. Vnitřek množiny M: Množin všech vnitřních bodů množiny M. Hrniční bod množiny M: V kždém jeho okolí existuje bod množiny M též bod, který do M neptří. (Hrniční bod může, le nemusí ptřit do M.) 18

19 Hrnice množiny M: Množin všech hrničních bodů množiny M. Vnější bod množiny (vzhledem k množině) M: Bod číselné osy, který není vnitřním ni hrničním bodem množiny M. Vnějšek množiny M: Množin všech vnějších bodů množiny M. Množin M je otevřená: Kždý její bod je jejím vnitřním bodem. Množin M je uzvřená: Obshuje svou hrnici. Uzávěr M množiny M: Sjednocení množiny M její hrnice. Hromdný bod množiny M: V kždém jeho prstencovém okolí leží lespoň jeden bod množiny M. Izolovný bod množiny M: Bod množiny M, který není jejím hromdným bodem. Diskrétní množin: Všechny její body jsou izolovné. Derivce M množiny M: Množin všech hromdných bodů množiny M. Jelikož všechny tyto pojmy jsou zloženy vlstně jen n pojmu okolí, setkáváme se s nimi ve všech prostorech, kde se prcuje s okolím. N číselné ose (n rozdíl npř. od roviny) všk prcujeme i s pojmy levé okolí prvé okolí můžeme tedy definovt i levý hromdný bod prvý hromdný bod těchto pojmů skutečně využíváme při definování jednostrnných limit funkce. Příkld 1 Všechny výše uvedené pojmy plikujte n množinu M = 1, 0) { 1 2, 2 3, 3 } 4, Rozšířená reálná os Je to model číselné osy, kterou rozšíříme o dv nové prvky: nevlstní číslo + nevlstní číslo. Oznčení rozšířené reálné osy: R = R {, + }. Zvedení nevlstních čísel nám umožňuje hlouběji, lépe jednodušeji formulovt mnohé pozntky mtemtické nlýzy. 19

20 Vlstnosti nevlstních čísel N rozšířené reálné ose definujeme přirozené uspořádání početní operce tk, že rozšíříme příslušná prvidl pltná n R. Uspořádání : x R: < x < +, zvláště < + ; ( ) = +, (+ ) =, + = = +. Okolí : U(+ ) toto oznčení budeme používt pro kždý intervl (c, + R ), le pokud budeme prcovt n R, použijeme toto oznčení (pro zjednodušení vyjdřování) též pro intervly (c, + ) R, což jsou vlstně prstencová okolí P (+ ) n R. Podobně pro U( ) P ( ). Supremum infimum: Pro množinu M, která není shor omezená, je sup M = +, pro množinu M, která není zdol omezená, je inf M =. Hromdné body: Definice je formálně stejná, tedy + nzveme hromdným bodem množiny M R, právě když v kždém jeho okolí P (+ ) leží lespoň jeden bod množiny M. Podobně pro. Npř. množin Z všech celých čísel má hromdné body +, sup Z = +, inf Z =, le smozřejmě + / Z, / Z. Početní operce s nevlstními čísly Operce s reálnýmy čísly můžeme rozšířit n nevlstní čísl následujícím způsobem: Sčítání odčítání : x R definujeme ±x + (+ ) = (+ ) ± x = ±x ( ) = (+ ) + (+ ) = (+ ) ( ) = +, ±x + ( ) = ( ) ± x = ±x (+ ) = ( ) + ( ) = ( ) (+ ) =. Nedefinujeme (+ ) (+ ), (+ ) + ( ), ( ) + (+ ), ( ) ( ). Násobení : x R, x > 0 definujeme Podobně pro x < 0. x (+ ) = (+ ) x = (+ ) (+ ) = ( ) ( ) = +, x ( ) = ( ) x = (+ ) ( ) = ( ) (+ ) =. Nedefinujeme 0 (+ ), (+ ) 0, 0 ( ), ( ) 0. Dělení : x R definujeme x/(+ ) = x/( ) = 0. Pro x > 0 je + /x = +, /x =, pro x < 0 je + /x =, /x = +. 20

21 Nedefinujeme + /+, + /, td., x/0 pro žádné x R, ni 0/0 nebo ± /0. Mocniny: n N definujeme (+ ) n = +, (+ ) n = 0, ( ) n = ( 1) n (+ ). Nedefinujeme (+ ) 0, ( ) 0, 0 0, 1 +, 1. Poznámk: Z prktických důvodů se někdy píše místo + jen, tkže npř. místo výrzu (+ )+(+ ) lze npst jen +. Jestliže všk prcujeme v komplexním oboru, kde se zvádí jediné komplexní nekonečno oznčovné, musíme dát pozor n jeho odlišení od + z rozšířené reálné osy R. Příkld 1 Vypočtěte = + 5 ( )/3 + ( ) 3 (100 ) 1200!/+. 21

22 Kpitol 2 Číselné posloupnosti 2.1 Pojem posloupnosti Definice Kždé zobrzení N do R nzýváme číselná posloupnost. Zápis: ( n ) n=1 nebo jen ( n ); n se nzývá n-tý člen posloupnosti. Definici číselné posloupnosti lze zložit i n pojmu (reálné) funkce; pk je to funkce definovná n množině N všech přirozených čísel. Způsoby zdání posloupnosti Číselná posloupnost bývá zdán několik prvními členy (tk, by bylo ptrné prvidlo, jk vytvářet dlší členy), n-tým členem nebo rekurentně. Příkld 1 Je dán posloupnost Určete její n-tý člen. Návod: 1 1 4, 3 4 7, , ,... n = 2n 1 (3n 2)(3n + 1) Při zdání n-tým členem zse nopk lze z příslušného vzorce počítt jednotlivé členy posloupnosti. Příkld 2 ( Příkldy číselných posloupností zdných n-tým členem: (( n ) n), ( + (n 1)d). Vypočtěte členy jejich 1, 2, 3, 4. n n+1 ), ( ( 1) n n ), (q n 1 ), Rekurentní zdání obshuje zprvidl 1. člen (nebo několik prvních členů) prvidlo, jk vytvořit dlší člen ze členů předcházejících. Npříkld v sekci 2.5 n strně 27 je ritmetická posloupnost zdán tkto: 1 = n+1 = n + d pro n N. Podobně geometrická posloupnost je definován 1 = n+1 = n q pro n N. Příkld 3 Posloupnost ( n ) je zdán rekurentně tkto: 1 = 1, n+1 = 1 ( n + 10 ) ; 2 n je to posloupnost proximcí čísl 10. Vypočtěte první čtyři proximce. 22

23 Příkld 4 Fiboncciov posloupnost (f n ) je definován tkto: f 1 = 1, f 2 = 1, f n+2 = f n+1 + f n. Vypočtěte prvních 10 členů této posloupnosti. Posloupnost ( n ) je třeb odlišovt od množiny (všech) jejích členů (kdy se užívjí složené závorky). Npř. množin (všech) členů posloupnosti ( ) { 1 n je 1, 1 2, 1 3,..., 1 n,...}, množin (hodnot) členů posloupnosti (( 1) n ) je { 1, 1}. Definice Posloupnost (b n ) se nzývá vybrná z posloupnosti ( n ) (nebo též podposloupnost), právě když existuje posloupnost přirozených čísel k 1 < k 2 < k 3 <... tk, že n N je b n = kn. Npř. posloupnost všech prvočísel je vybrná z posloupnosti (n) všech čísel přirozených, le není vybrná z posloupnosti (2n 1) všech čísel lichých. 2.2 Zákldní vlstnosti číselných posloupností V této kpitole se dále zbýváme jen číselnými posloupnostmi. Definice Posloupnost se nzývá (shor, zdol) omezená, právě když tuto vlstnost má množin všech jejích členů. Npř. posloupnost (2n 1) je zdol omezená, není omezená shor, není omezená. Posloupnost (( 1) n ) je omezená shor i zdol, je omezená. Stcionární posloupnost (c) je omezená. Definice Posloupnost ( n ) se nzývá rostoucí, právě když n N pltí n < n+1, klesjící, právě když n N pltí n > n+1, nerostoucí, právě když n N pltí n n+1, neklesjící, právě když n N pltí n n+1. Společný název pro všechny tyto druhy posloupností: posloupnosti monotonní pro první dv druhy: posloupnosti ryze monotonní. Definice Operce s posloupnostmi jsou definovány tkto: násobení reálným číslem c: c ( n ) = (c n ); ritmetické operce součet, rozdíl, součin, podíl: ( n ) + (b n ) = ( n + b n ), ( n ) (b n ) = ( n b n ), ( n ) (b n ) = ( n b n ), ( n )/(b n ) = ( n /b n ), (pro b n 0); opčná posloupnost k ( n ) je ( n ); reciproká posloupnost k ( n ) je (1/ n ) (pro n 0). 23

24 2.3 Limit posloupnosti Definice Říkáme, že posloupnost ( n ) má limitu, právě když pro kždé okolí U() existuje n 0 N tk, že pro všechn n N tková, že n n 0, pltí n U(), symbolicky zpsáno U() n 0 N n N: n n 0 n U(). Je-li R, nzývá se vlstní limit posloupnost ( n ) se nzývá konvergentní, pokud = ±, nzývá se nevlstní limit. Neexistuje-li vlstní limit, nzývá se posloupnost ( n ) divergentní. Zápisy: lim n = ; lim n = ; n pro n +. n Posloupnost tedy buď konverguje, nebo diverguje. V tomto druhém přípdě buď diverguje k + nebo k, nebo osciluje (tj. nemá limitu vlstní ni nevlstní). ( Npř. posloupnost n n+1 ) je konvergentní, má limitu 1, stcionární posloupnost (c) je konvergentní má limitu c, posloupnost ( n 100) je divergentní, má nevlstní limitu +, posloupnost (q n ) je pro q 1 divergentní, nemá limitu (osciluje). Definice Je-li V (n) nějká výroková form pltí-li, že výrok: Existuje n 0 N tk, že pro všechn n N z nerovnosti n n 0 plyne V (n), je prvdivý výrok, pk říkáme, že V (n) pltí pro skoro všechn n. Pomocí tohoto vyjádření lze vyslovit definici limity posloupnosti npř. tkto: Říkáme, že posloupnost ( n ) má limitu, právě když v kždém okolí U() leží skoro všechny členy této posloupnosti. Věty o limitách Vět Kždá číselná posloupnost má nejvýše jednu limitu. Důkz: (sporem) Kdyby existovly dvě limity, b, pk by existovl disjunktní okolí U(), U(b) tk, že pro skoro všechn n by mělo pltit součsně n U(), n U(b), což je spor. Vět Má-li posloupnost ( n ) limitu, pk kždá posloupnost (b n ) vybrná z posloupnosti ( n ) má tutéž limitu. Důkz: Oznčme tuto limitu ; pk U() n 0 N tk, že n N: n n 0 n U(); pro k n > n 0 je ovšem též b m = kn U(), tkže b m U() pro skoro všechn m. Limit posloupnosti se tedy nezmění, vynecháme-li nebo pozměníme-li libovolný konečný počet členů posloupnosti. Při výpočtu limit využíváme tké tohoto postupu: 1. zjistíme, že dná posloupnost je konvergentní 2. njdeme limitu nějké vhodné vybrné posloupnosti. Pk toto je i limitou dné posloupnosti. Když nopk zjistíme, že nějká vybrná posloupnost je divergentní, znmená to podle předchozí věty, že je divergentní i dná posloupnost. Podobně zjistíme-li, že dvě vybrné posloupnosti mjí různou limitu, je dná posloupnost divergentní. 24

25 Vět Kždá konvergentní posloupnost je omezená. Důkz: Oznčme limitu ; zvolme ε = 1. Pk množin M těch členů posloupnosti, které neleží v okolí U(, 1), je konečná. n N pk pltí min{min M, 1}, mx{mx M, + 1}. Tto vět ovšem nepltí obráceně, neboť npř. posloupnost (( 1) n ) je omezená, le je divergentní. Větší hloubku pohledu do vzthu mezi omezeností konvergencí dává následující vět. Vět (Bolzno-Weierstrssov) Z kždé omezené posloupnosti lze vybrt konvergentní podposloupnost. Důkz: (princip: Bolznov metod půlení intervlů) Nechť ( n ) je omezená posloupnost, tj. K 1, L 1 tk, že n N je n K 1, L 1. Konstrukce vybrné posloupnosti: Z b 1 zvolíme libovolný člen dné posloupnosti ( n ), nechť v ní má index k 1. Intervl K 1, L 1 rozpůlíme oznčíme K 2, L 2 tu část, do níž je zobrzeno nekonečně mnoho členů posloupnosti ( n ). V K 2, L 2 vybereme z b 2 libovolný tkový člen posloupnosti ( n ), který má index k 2 > k 1. Intervl K 2, L 2 rozpůlíme, td. Oznčíme (jediný) společný bod všech intervlů K n, L n (podle věty o vložených intervlech). Pk U() pro skoro všechn n pltí inkluze K n, L n U(), tkže též b n U(), tedy b n. Vět Kždá neklesjící shor omezená posloupnost je konvergentní. Důkz: (princip) Mějme dánu posloupnost ( n ); z omezenosti množiny M = { 1, 2,...} plyne existence vlstního suprem = sup M. Ze druhé vlstnosti suprem plyne, že v libovolném levém okolí U( ) leží lespoň jedno n, tkže vzhledem k monotónnosti ( n ) leží v U( ) skoro všechny členy posloupnosti ( n ). Vět (o limitách součtu, rozdílu, součinu podílu) Nechť lim n =, lim b n = b. Pk pltí, pokud výrzy n prvých strnách mjí v R smysl: ) lim( n + b n ) = + b, lim( n b n ) = b, b) lim( n b n ) = b, c) pro b n 0, b 0 je lim( n /b n ) = /b, d) lim n =. Důkz: ukázk pro součet, kde, b jsou vlstní limity: ε > 0 n 1, n 2 N tk, že: n n 1 n U(, ε/2); n n 2 b n U(b, ε/2). Nechť n 0 = mx{n 1, n 2 } n n 0. Pk pltí ε/2 < n < + ε/2, b ε/2 < b n < b + ε/2. Sečtením obou nerovností dostneme ( n + b n ) U( + b, ε). Příkld 1 Dokžte větu pro součet, kde je vlstní limit b = +. 25

26 Vět (limit nerovnosti) Nechť lim n =, lim b n = b pro nekonečně mnoho n pltí n b n. Pk b. Důkz: (sporem) Kdyby bylo > b, existovl by disjunktní okolí U(), U(b) tk, že x U() y U(b) by pltilo x > y. Pro skoro všechn n je všk n U(), b n U(b), tedy by pltilo n > b n, což dává spor s předpokldem věty. Pro konvergentní posloupnosti ( n ), (b n ) zřejmě pltí, že když pro nekonečně mnoho členů je n b n pro nekonečně mnoho členů je n > b n, pk = b. Vět (vět o třech limitách) Nechť lim n =, lim b n = nechť pro skoro všechn n je n c n b n. Pk lim c n =. Důkz: (princip) Podle definice limity ptří do libovolného okolí U() skoro všechny členy posloupnosti ( n ) tké skoro všechny členy posloupnosti (b n ). Proto do U() ptří tké skoro všechny členy posloupnosti (c n ). Pro nevlstní limity má vět o třech limitách (zvná též vět o třech posloupnostech) speciální tvr. Je-li totiž lim n = +, lze brát z b n posloupnost (+ ), proto z nerovnosti n c n plyne lim c n = +. Podobně lze větu o třech limitách uprvit pro nevlstní limitu. 2.4 Nulové posloupnosti Jsou to posloupnosti, kde lim n = 0. Nulové posloupnosti fkticky nejsou jen zvláštním přípdem konvergentních posloupností, le i nopk, konvergenci bychom mohli definovt užitím nulových posloupností podle věty: Vět n, právě když ( n ) 0. Dále uvedeme některé věty, které mjí vzth k nulovým posloupnostem. Vět Jestliže n, pk n. Obrácená vět k této větě pro 0 nepltí, le pro = 0 no. Vět Jestliže n +, je 1/ n posloupnost nulová. Jestliže jmenovtel zlomku konverguje k nule, je situce složitější: Vět Je-li n N: n > 0, n 0, pk 1/ n +, n < 0, n 0, pk 1/ n, n 0, n 0, pk 1/ n +. Nulových posloupností se s výhodou využívá při výpočtech limit. 26

27 Příkld 1 Vypočtěte následující limity 6n 2 + n lim n + 4n 2 + 5, lim 6 2 2n n 4 n + 2 2n+1 2 n + 15, lim 7n n + n 2 0,25, lim n + n 3 8n 9n Aritmetická posloupnost geometrická posloupnost Někdy se pro uspořádné n-tice používá název konečné posloupnosti, který zčásti nvozuje použití posloupností v prxi. V prxi je mnoho situcí, kdy známe několik prvních členů 1, 2, 3,..., n nějké posloupnosti pomocí této znlosti chceme zjistit, zkonstruovt nebo předpovědět její dlší člen n+1. Může jít o posloupnost peněžních částek, (čsovou) posloupnost údjů o objemu výroby, posloupnost čsových termínů nebo intervlů d. Problémem je, jk určit dlší člen (nebo lespoň jeho přibližnou hodnotu) ze znlosti předchozích. Může jít o nlezení vzorce pro n-tý člen, rekurentního prvidl nebo i o jiný postup. Zvláštní pozornosti si zslouží posloupnost ritmetická posloupnost geometrická, které se v prxi vyskytují poměrně čsto. Aritmetická posloupnost je (definován jko) posloupnost, která je dán svým prvním členem 1, konstntní diferencí d rekurentním prvidlem n N: n+1 = n + d. Pokud nebude řečeno jink, budeme předpokládt, že 1 d jsou reálná čísl. Aritmetickou posloupnost lze všk rovněž definovt jko posloupnost, u níž rozdíl libovolných dvou po sobě jdoucích členů je konstntní. Z rekurentního prvidl dostneme vzorec pro n-tý člen: n = 1 + (n 1) d. (Dokzuje se jednoduše npř. užitím principu mtemtické indukce). Vidíme, že ritmetická posloupnost má pro d > 0 limitu +, pro d < 0 limitu. Příkld 1 V posledních třech měsících činil celkový objem zkázek přibližně 1 = 325 tis. Kč, 2 = 354 tis. Kč 3 = 383 tis. Kč. Jký objem lze očekávt ve 4. měsíci? Návod: Lze vyslovit hypotézu, že objem zkázek tvoří ritmetickou posloupnost, kde 1 = 325, d = 29 (tis. Kč). Pk 4 = 3 + d = 412 (tis. Kč). Lze očekávt objem zkázek z 412 tis. Kč. (Smozřejmě korektnost vyslovení tkové hypotézy závisí n prktických okolnostech.) Prktický význm může mít i součet s n prvních n členů ritmetické posloupnosti. Vzorec pro s n lze odvodit npř. tkto: Vyjádříme s n dvěm způsoby: s n = 1 + ( 1 + d) + ( 1 + 2d) ( 1 + (n 1)d), s n = n + ( n d) + ( n 2d) ( n (n 1)d) po sečtení máme 2s n = n( 1 + n ), tkže s n = n 2 ( 1 + n ). Příkld 2 N skládce jsou uloženy roury tk, že v dolní vrstvě jich je 26 kždá rour v kždé vyšší vrstvě vždy zpdá mezi dvě roury ve vrstvě nižší; vrstev je celkem 12. Kolik je n skládce rour? Návod: Položíme 1 = 26; pk d = 1. V horní vrstvě je 12 = ( 1) = 15 rour celkem s 12 = 6( ) = 246 rour. 27

28 Geometrická posloupnost je (definován jko) posloupnost, která je dán svým prvním členem 1, konstntním kvocientem q rekurentním prvidlem n N: n+1 = n q. V této definici mohou být 1 q libovolná reálná čísl, v dlším textu všk budeme předpokládt (pokud nebude řečeno jink), že 1 0 q 0. Z těchto předpokldů lze tedy geometrickou posloupnost rovněž definovt jko posloupnost, u níž podíl libovolných dvou po sobě jdoucích členů je konstntní. Z rekurentního prvidl dostneme vzorec pro n-tý člen: n = 1 q n 1. (Dokzuje se jednoduše npř. mtemtickou indukcí). Příkld 3 V prvním měsíci roku činil obrt Kč v kždém dlším měsíci byl o 5 % větší než v měsíci předchozím. Určete předpokládný listopdový obrt. Návod: Jde o geometrickou posloupnost, kde 1 = 300, q = 1,05, n = 11. Pk 11 = 300 1, ,629 = 489 tis. Kč. Viz poznámku z příkldem 1. Je-li 1 > 0, pk geometrická posloupnost ( 1 q n 1 ) má limitu 0 (pro q < 1) nebo 1 (pro q = 1) nebo + (pro q > 1) nebo nemá limitu (pro q 1). Prktický význm může mít opět součet prvních n členů geometrické posloupnosti (tj. n-tý částečný součet geometrické řdy). Vzorec pro s n lze odvodit tkto: Vyjádříme s n q s n : s n = q + 1 q q n 1 q s n = 1 q + 1 q q n q n. Odečtením druhé rovnice od první obdržíme s n (1 q) = 1 (1 q n ), tudíž s n = 1 1 q n 1 q tj. též s n = 1 q n 1 q 1. Příkld 4 Vynálezce šchové hry poždovl podle pověsti odměnu z kždé ze 64 polí šchovnice tkto: z 1. pole jedno obilní zrno, z 2. pole 2 zrn, z 3. pole 4 zrn, td., z kždé dlší vždy dvojnásobek. Kolik zrnek obilí měl dostt? Návod: Jde o geometrickou posloupnost, kde 1 = 1, q = 2, n = 64. Proto s 64 = = , to je více obilí, než se kdy n Zemi urodilo. Aritmeticko-geometrická posloupnost (c n ) je definován jko součin ritmetické posloupnosti ( n ) geometrické posloupnosti (b n ) ve smyslu definice součinu dvou posloupností. 2.6 Některé význmné limity Vět > 0: lim n + n = 1. Důkz: (princip) Pro > 1 položíme n = 1 + u n, tedy u n > 0. Podle Bernoulliovy nerovnosti je = (1 + u n ) n > 1 + nu n, odkud 0 < u n < 1 n podle věty o třech limitách je u n 0. Pro < 1 použijeme předchozí výsledek n číslo 1/, pro = 1 je výsledek zřejmý. Podobně lze užitím vhodných odhdů odvodit následující limity: 28

29 Vět n n = 1. lim n + Vět > 1, k > 0: než mocnin n k.) Příkld 1 log Dokžte, že > 1: lim n n + n n lim n + n k = +. (Říkáme, že exponenciál n roste k + rychleji = 0. Návod: Pro ε > 0 je ε > 1, tkže pro skoro všechn n pltí 1 < n n < ε, odkud po zlogritmování nerovnosti při zákldu plyne uvedené tvrzení. Příkld 2 Vypočtěte lim n + q n, kde q > 0. n! Návod: Pro q 1 je tto limit rovn 0. Pro q > 1 má čittel i jmenovtel limitu +, tkže nelze použít větu o limitě podílu. Uvedený výrz oznčme n ; pk n+1 = q n + 1 n, ( ) proto pro skoro všechn n je posloupnost ( n ) klesjící zdol omezená (nulou), tkže má limitu; oznčme ji. Přejdeme-li v rovnosti ( ) k limitě, máme = 0. Říkáme, že fktoriál roste k + rychleji než exponenciál q n. Příkld 3 Ukžte, že kždé ircionální číslo je limitou neklesjící posloupnosti rcionálních čísel; njděte tyto posloupnosti pro r = π, s = 2. Návod: Lze uvžovt npř. posloupnost dolních desetinných proximcí. Poznámk: Kromě číselných posloupností prcujeme v mtemtické nlýze i s dlšími typy posloupností; uvžují se třeb posloupnosti množin (npř. intervlů), posloupnosti funkcí, td. Definice těchto posloupností vytvoříme podle stejného schémtu. Npř. posloupnost funkcí definujeme jko zobrzení množiny N do množiny všech funkcí. Prcujeme-li s jinými posloupnostmi než s posloupnostmi číselnými, je třeb dbát n korektnost definice posloupnosti, přípdně její limity. 2.7 Číslo e Funkce y = e x funkce y = ln x(= log e x) ptří k nejdůležitějším funkcím v mtemtické nlýze; v obou přípdech je zákldem Eulerovo číslo e. Číslo e je definováno jko limit posloupnosti (( n) n ). Abychom tuto definici mohli povžovt z korektní, je třeb dokázt, že uvedená posloupnost je konvergentní; její členy oznčujme dále n. Důkz existence limity posloupnosti ( n ) lze provést ve dvou krocích: (i) dokážeme, že tto posloupnost je rostoucí, (ii) dokážeme, že je shor omezená. Existence konečné limity pk plyne z věty o limitě monotónní posloupnosti. d (i) Užitím AG nerovnosti pro n čísel ( n) číslo 1 dostneme ( ) n < n ( ) n + 1 n n + 1 n+1 = n + 2 n

30 Umocněním obou strn této nerovnosti číslem n + 1 dostneme n = ( 1 + n) 1 n ( < ) n+1 = n+1, n + 1 což znčí n < n+1, tedy posloupnost ( n ) je rostoucí. d (ii) Ukážeme, že posloupnost s členy b n = ( n) n+1 = n ( n) je klesjící. Jelikož n > 1, dostneme pk n < b n < b 1 = 4. Vskutku, podle AG nerovnosti pro n + 1 čísel 1 číslo ( n) pltí n n < (n + 1) + (1 + 1 n ) n + 2 = (n + 1)2 n(n + 2). Obě strny této nerovnosti umocníme n n + 2, vynásobíme n (n + 2) n+2 vydělíme (n + 1) n+2. Tím získáme s ní ekvivlentní nerovnost ( ) n+2 ( < n+1, n + 1 n) tedy b n+1 < b n, což znčí, že posloupnost (b n ) je klesjící. Závěr: Podle věty o limitě monotónní posloupnosti existuje limit posloupnosti ( n ); nzýváme ji Eulerovo číslo oznčujeme ji e. Z předchozího plyne, že 2 < e < 4. Jiný přístup: d (i) Podle binomické věty je n = ( n) n = 1 + ( ) n 1 1 n + ( ) n 1 2 n ( ) n 1 k n k ( ) n 1 n n n. První dv členy součtu n prvé strně jsou rovny 1, pro kždý dlší člen provedeme úprvu ( ) n 1 n(n 1)...(n k + 1) = k nk n k 1 ( k! = 1 1 ) ( 1 2 ) (... 1 k 1 ) 1 n n n k!. Pro posloupnost ( n ) tk pltí, že kždý její člen n je součtem n + 1 kldných výrzů, v nichž jsou činitelé tvru ( 1 ( n) j. Jestliže ) nyní přejdeme ( ) od n k n + 1, je n+1 součtem n + 2 výrzů s činiteli tvru 1 j n+1. Jelikož 1 j n+1 > ( 1 n) j nvíc v n+1 je o jeden kldný sčítnec víc, je n+1 > n, posloupnost ( n ) je rostoucí. ( ) d (ii) Ve výrzu pro n nhrdíme všechny závorky 1 j n+1 číslem 1, tkže pltí 30 n < c n = ! + 1 3! n! < < 3. 2n 1

31 Výpočet čísl e Hodnotu čísl e lze vcelku sndno určit jko součet číselné řdy. Vidíme, že pro konstntní k < n pltí ( n > ) ( 1 n 2! ) ( 1 2 ) (... 1 k 1 ) 1 n n n k!. Odtud pro n + máme e c k tkže pltí n < c n e; podle věty o třech limitách pk je lim c n = e. Přitom c n je podle své definice tzv. n-tým částečným součtem řdy n + tkže ( e = lim ) n = n + n 1! + 1 2! = 2, n! Tto řd poměrně rychle konverguje má jednoduchý lgoritmus výpočtu členů, tkže výpočet hodnoty čísl e n zdný počet desetinných míst lze provést vcelku rychle. 31

32 Kpitol 3 Pojem funkce 3.1 Definice funkce Písmeno x nzýváme proměnná n (číselné) množině M, právě když může být ztotožněno s libovolným prvkem množiny M. Pojem funkce nvzuje n pojem binární relce n pojem zobrzení jejichž zákldní znlost zde předpokládáme. Definice Kždé zobrzení f z R do R (tj. zobrzení v R) nzýváme reálná funkce jedné reálné proměnné. Je-li (x, y) f, píšeme y = f(x); x se nzývá nezávisle proměnná, y závisle proměnná; říkáme též, že y je funkcí x. Chceme-li vyjádřit, že y je (ztím nepojmenovnou) funkcí x, zpíšeme y = y(x). Vedle vyjádření funkce f se tolerují též zápisy funkce f(x) (chceme-li zdůrznit oznčení nezávisle proměnné) nebo funkce y = f(x) (chceme-li zdůrznit oznčení obou proměnných). S pojmem funkce jsou spjty dvě význmné množiny: definiční obor funkce: D(f) = {x R; (x, y) f}, funkční obor (obor hodnot): H(f) = {y R; (x, y) f}. Hodnotu proměnné vyjdřujeme číslem nebo symbolem proměnné s indexem. Npř. v bodě x 0 = 2 má funkce y = 3x hodnotu y 0 = 6. Je-li M D(f), je f(m) oznčení pro {f(x); x M}. Je tedy H(f) = f(d(f)). Nopk, je-li B H(f), pk definujeme f 1 (B) jko množinu {x D(f); f(x) B}. Grfem funkce f v krtézských souřdnicích rozumíme množinu všech bodů krtézské soustvy souřdnic Oxy, pro jejichž souřdnice x, y pltí (x, y) f. Grfické znázornění funkce čsto svou názorností pomáhá k pochopení vlstností průběhu funkce; pro některé funkce všk grf nedovedeme sestrojit, npř. pro Dirichletovu funkci (viz dále). Grfy funkcí lze uvžovt tké v polární souřdnicové soustvě, kdy ovšem dostáváme jiné křivky. Npř. grfem přímé úměrnosti y = kx v krtézských souřdnicích je přímk, grfem téže funkce ϱ = kϕ v polárních souřdnicích je Archimedov spirál. Neřekneme-li jink, uvžujeme vždy grf v krtézských souřdnicích. Způsoby definice funkce Funkci f lze vyjádřit tkto: f = {(x, y) D(f) R; V (x, y)}. Zdt (definovt) funkci f tedy znmená udt její definiční obor D(f) jisté prvidlo V (x, y), jehož oborem prvdivosti je f které stnovuje, jk k zdnému x D(f) njít (vypočítt) hodnotu f(x). Podle toho, jk je toto prvidlo formulováno, rozlišujeme tto zdání funkce: ) (Explicitní) rovnicí, npř. f = {(x, y) R R; y = x 2 1}, nebo jednoduše f: y = x

33 U funkce definovné rovnicí, není-li řečeno jink, bereme z D(f) nejširší množinu, pro niž má rovnice smysl. Je-li předepsán jiný definiční obor, musíme jej uvést, npř. f: y = x 1, x N. b) Tbulkou, npř. x y Tké zdání funkce výčtem prvků lze povžovt z zdání tbulkou, jde jen o jinou formu zápisu; npř. f = {( 2; 3), ( 1; 0), (0; 1), (1; 0), (2; 3), (3; 8)}. Tbulkou či výčtem prvků bývjí zdávány funkce, jejichž funkční hodnoty byly získány měřením nebo kde jsou tyto hodnoty důležitější než příslušné prvidlo (npř. dňové tbulky, bodovcí sportovní tbulky). Tbelci funkce všk používáme i u funkcí definovných jink, pokud může tbulk posloužit lépe k přehlednosti nebo jiné prktické potřebě (npř. tbulk cen v závislosti n hmotnosti zboží). c) Grfem (zprvidl krtézským (obr. vlevo)). Dlší druhy grfů šchovnicový, uzlový (obr. vprvo) nebo grf v polární soustvě souřdnic bývjí méně čsté. y x 5 4 Grfem bývjí čsto vyjdřovány ty funkce, jejichž průběh je zpisován v přístrojích grficky n ppírová médi nebo n displeji. d) Po částech; tk je definován npř. Dirichletov funkce { 0 pro x ircionální χ(x) =. 1 pro x rcionální Podobným způsobem je definován funkce signum (znménko) { 1 pro x < 0 sgn x = 0 pro x = 0. 1 pro x > 0 Rovnice y = χ(x) y = sgn x všk již povžujeme z rovnice funkcí. e) Implicitní rovnicí, npř. x 2 + y 2 = 25; tkto se definují implicitní funkce y = y(x), s nimiž je technik práce někdy poněkud odlišná. Zejmén bývá vymezen množin M R R, pro niž má pltit (x, y) M. Npř. u výše uvedené rovnice může být zdáno, že M je polorovin y 0. f) Prmetricky: Prmetrické vyjádření je tvru x = ϕ(t), y = ψ(t), t J, kde ϕ, ψ jsou funkce definovné n množině (intervlu) J, přičemž funkce y = f(x) je definován vzthem f = {(x, y) R R; t J tk, že (x = ϕ(t)) (y = ψ(t))}. 33

Zavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA

Zavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA Zvedení vlstnosti reálných čísel Reálná čísl jsou zákldním kmenem mtemtické nlýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní mtemtické nlýzy, le množin reálných čísel R je pro mtemtickou nlýzu zákldním

Více

Číselné posloupnosti

Číselné posloupnosti Číselné posloupnosti Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 43 Pojem posloupnosti Každé zobrazení N do R nazýváme číselná posloupnost. 1 a 1, 2 a 2, 3 a

Více

V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.

V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží. NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:

Více

4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.

4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje. 4. přednášk 22. říjn 2007 Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když kždá cuchyovská posloupnost bodů v M konverguje. Příkldy. 1. Euklidovský prostor R je úplný, kždá cuchyovská posloupnost

Více

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.

Více

NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.

NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží. NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:

Více

Posloupnosti a jejich limity

Posloupnosti a jejich limity KMA/MAT Přednáška č. 7, Posloupnosti a jejich ity 5. listopadu 203 Motivační příklady Prozkoumejme, zatím laicky, následující posloupnosti: Posloupnost, 4, 9,..., n 2,... : Hodnoty rostou nade všechny

Více

OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL

OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL Zobecnění Newtonov nebo Riemnnov integrálu se definují různým způsobem dostnou se někdy různé, někdy stejné pojmy. V tomto textu bude postup volen jko zobecnění Newtonov integrálu,

Více

6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace

6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál výpočet, plikce T. Slč, MÚ MFF UK ZS 2017/18 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 1 / 13 6.1 Newtonův integrál Definice 6.1 Řekneme,

Více

Diferenciální počet. Spojitost funkce

Diferenciální počet. Spojitost funkce Dierenciální počet Spojitost unkce Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti

Více

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož

Více

Matematika 2 Úvod ZS09. KMA, PřF UP Olomouc. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25

Matematika 2 Úvod ZS09. KMA, PřF UP Olomouc. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25 Matematika 2 Úvod Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25 Studijní materiály web předmětu: aix-slx.upol.cz/ fiser St. Trávníček: Matematická analýza kag.upol.cz/travnicek/1-matan.

Více

Přednáška 9: Limita a spojitost

Přednáška 9: Limita a spojitost 4 / XI /, 5: Přednášk 9: Limit spojitost V minulých přednáškách jsme podrobněji prozkoumli důležitý pojem funkce. Při řešení konkrétních problémů se nše znlosti (npř. nměřená dt) zpisují jko funkční hodnoty

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

integrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.

integrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu. Přednášk 1 Určitý integrál V této přednášce se budeme zbývt určitým integrálem. Eistuje několik definic určitého integrálu funkce jedné reálné proměnné. Jednotlivé integrály se liší v tom, jké funkce lze

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Primitivní funkce Definice. Nechť funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f n intervlu

Více

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby: .. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto

Více

Riemannův určitý integrál.

Riemannův určitý integrál. Riemnnův určitý integrál. Definice 1. Budiž

Více

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c ) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším

Více

je jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.

je jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5. 10. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Je-li f : (, b) C, pk lze funkci f povžovt z dvojici (u, v), kde u = Re f v = Im f. Rozdíl proti vektorovému poli je v tom, že jsou pro komplexní čísl definovány

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně eistujících dějů lze reprezentovt mtemtickými model, které jsou popsán tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je kždá funkce, která vznikne

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

Obecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)

Obecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4) KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1

Více

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Preklkulus 5. Reálná čísl................................................ 5. Funkce jejich zákldní vlstnosti....................................3

Více

( a) Okolí bodu

( a) Okolí bodu 0..5 Okolí bodu Předpokldy: 40 Pedgogická poznámk: Hodin zjevně překrčuje možnosti většiny studentů v 45 minutách. Myslím, že nemá cenu přethovt do dlší hodiny, příkldy s redukovnými okolími nejsou nutné,

Více

Technická univerzita v Liberci. Pedagogická fakulta. Katedra matematiky a didaktiky matematiky. Matematika I. (Obor: Informatika a logistika)

Technická univerzita v Liberci. Pedagogická fakulta. Katedra matematiky a didaktiky matematiky. Matematika I. (Obor: Informatika a logistika) Technická univerzit v Liberci Pedgogická fkult Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky Mtemtik I (Obor: Informtik logistik) Václv Finěk Kpitol Zákldní pojmy Cílem této kpitoly je vysvětlit význm zákldních pojmů

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n,

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, ZÁKLADNÍ POZNATKY ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množin všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, N0... množin všech celých nezáporných čísel (přirozených čísel s nulou: 0,1, 2, 3,, n, Z... množin všech celých

Více

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí 10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou

Více

R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na

R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.

Více

13. Exponenciální a logaritmická funkce

13. Exponenciální a logaritmická funkce @11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze

Více

množina, na které je zavedena určitá struktura. Zejména, součet každých dvou prvků X = [x 1,..., x n ] R n,

množina, na které je zavedena určitá struktura. Zejména, součet každých dvou prvků X = [x 1,..., x n ] R n, Náplní předmětu bude klkulus R n R (přípdně R m ). Proč se zbývt funkcemi více proměnných? V prxi je čsto třeb uvžovt veličiny, které závisejí n více než jedné proměnné, npř. objem rotčního kužele závisí

Více

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál 7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)

Více

1.2 Množina komplexních čísel... 10

1.2 Množina komplexních čísel... 10 Obsh Číselné množiny reálné funkce 5. Množin reálných čísel...................................... 5. Množin kompleních čísel.....................................3 Reálné funkce jedné reálné proměnné..............................

Více

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 5

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 5 Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 5 Preklkulus 7. Reálná čísl................................................ 7. Funkce jejich zákldní vlstnosti...................................

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26 Určitý integrál Zákldy vyšší mtemtiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu http://kdemie.ldf.mendelu.cz/cz

Více

DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE

DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE Obsh Derivce... Definice derivce... Prciální derivce... Derivce vektorů... Výpočt derivcí... 3 Algebrická

Více

2.1 - ( ) ( ) (020201) [ ] [ ]

2.1 - ( ) ( ) (020201) [ ] [ ] - FUNKCE A ROVNICE Následující zákldní znlosti je nezbytně nutné umět od okmžiku probrání ž do konce studi mtemtiky n gymnáziu. Vyždováno bude porozumění schopnost plikovt ne pouze mechnicky zopkovt. Některé

Více

Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19

Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19 Matematika 1 Jiří Fišer 19. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 19. září 2016 1 / 19 Zimní semestr KMA MAT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy teorie

Více

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x. KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou

Více

Řešené příklady k MAI III.

Řešené příklady k MAI III. Řešené příkldy k MAI III. Jkub Melk 28. říjn 2007 1 Obsh 1 Metrické prostory 2 1.1 Teoretickéotázky.... 2 1.2 Metriky..... 4 1.3 Anlýzmnožin... 4 1.3.1 Uzávěry... 4 1.3.2 Zkoumejtenásledujícímnožiny....

Více

17 Křivky v rovině a prostoru

17 Křivky v rovině a prostoru 17 Křivky v rovině prostoru Definice 17.1 (rovinné křivky souvisejících pojmů). 1. Nechť F (t) [ϕ(t), ψ(t)] je 2-funkce spojitá n, b. Rovinnou křivkou nzveme množinu : {F (t) : t, b } R 2. 2-funkce F [ϕ,

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

Integrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)

Integrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace) Integrální počet - II. část (určitý integrál jeho plikce) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednášk z ESMAT Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 23 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

4. cvičení z Matematiky 2

4. cvičení z Matematiky 2 4. cvičení z Mtemtiky 2 14.-18. březn 2016 4.1 Njděte ity (i (ii (iii (iv 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y 1 2 z 2 y 2 z yz 1 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 2 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 3 (i Pro funkci f(, y = 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y

Více

Nerovnosti a nerovnice

Nerovnosti a nerovnice Nerovnosti nerovnice Doc. RNDr. Leo Boček, CSc. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávcích příležitostí pro ndné žáky studenty v přírodních vědách mtemtice s využitím online prostředí, Operční

Více

Obsah. 1 Základy matematické logiky Typy důkazů Matematická indukce Množiny Zobrazení množin... 12

Obsah. 1 Základy matematické logiky Typy důkazů Matematická indukce Množiny Zobrazení množin... 12 Mtemtická nlýz Obsh Zákldy mtemtické logiky 6. Typy důkzů.................... 7. Mtemtická indukce................ 9 Množiny. Zobrzení množin.................. 3 Reálná čísl 4 3. Mohutnost množin.................

Více

Integrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)

Integrální počet - III. část (určitý vlastní integrál) Integrální počet - III. část (určitý vlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednášk z AMA1 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 18 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

Symbolicko - komplexní metoda I Opakování komplexních čísel z matematiky

Symbolicko - komplexní metoda I Opakování komplexních čísel z matematiky Symbolicko - komplexní metod I pkování komplexních čísel z mtemtiky Použité zdroje: Blhovec,.: Elektrotechnik II, Informtorium spol.s r.o., Prh 005 Wojnr, J.: Zákldy elektrotechniky I, Tribun EU s.r.o.,

Více

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ MATEMATIKA K PŘIJÍMACÍM ZKOUŠKÁM NA PEF

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ MATEMATIKA K PŘIJÍMACÍM ZKOUŠKÁM NA PEF MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ MATEMATIKA K PŘIJÍMACÍM ZKOUŠKÁM NA PEF RNDr. Petr Rádl RNDr. Bohumil Černá RNDr. Ludmil Strá 0 Petr Rádl, 0 ISBN 97-0-77-9- OBSAH Předmluv... Poždvky k přijímcí zkoušce z mtemtiky..

Více

3.2. LOGARITMICKÁ FUNKCE

3.2. LOGARITMICKÁ FUNKCE .. LOGARITMICKÁ FUNKCE V této kpitole se dovíte: jk je definován ritmická funkce (ritmus) jké má ákldní vlstnosti; důležité vorce pro práci s ritmickou funkcí; co nmená ritmovt odritmovt výr. Klíčová slov

Více

6.1. Limita funkce. Množina Z má dva hromadné body: ±. Tedy Z ={+, }.

6.1. Limita funkce. Množina Z má dva hromadné body: ±. Tedy Z ={+, }. 6.1. Limit funkce Číslo R nzveme hromdným bodem množiny A R, pokud v kždém jeho okolí leží nekonečně mnoho bodů z množiny A. Body z A, které neptří mezi hromdné body A, se nzývjí izolovné. Alterntivně

Více

Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu

Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu 10.1.6 Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervlu Předpokldy: 10104, 10105 Př. 1: Nkresli, jk funkce f ( x ) dná grfem zobrzí vyznčené okolí bodu n ose x n osu y. Poté nkresli n osu x vzor okolí

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 67. ročník mtemtické olympiády Úlohy krjského kol ktegorie A 1. Pvel střídvě vpisuje křížky kolečk do políček tbulky (zčíná křížkem). Když je tbulk celá vyplněná, výsledné skóre spočítá jko rozdíl X O,

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

Integrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek

Integrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek Integrál jeho plikce Tomáš Mtoušek Křivk Definice.(Vektorováfunkce) Funkci ϕ:r R n,kteráreálnémučíslupřiřzuje n-tici reálných čísel(vektor), nzýváme funkcí vektorovou. Lze ji tké popst po složkáchjko ϕ(t)=(ϕ

Více

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Určitý integrál Petr Hsil Přednášk z mtemtiky Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Křivkový integrál funkce

Křivkový integrál funkce Kpitol 6 Křivkový integrál funkce efinice způsob výpočtu Hlvním motivem pro definici určitého integrálu funkce jedné proměnné byl úloh stnovit obsh oblsti omezené grfem dné funkce intervlem n ose x. Řd

Více

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

Logaritmická funkce teorie

Logaritmická funkce teorie Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 Logritmická funkce teorie Eponenciální funkce je funkce prostá, proto k ní eistuje inverzní funkce. Tto inverzní funkce se nzývá

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}?

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}? 1.3.8 Intervly Předpokldy: 010210, 010301, 010302, 010303 Problém Množinu A = { x Z;2 x 5} zpíšeme sndno i výčtem: { 2;3; 4;5} Jk zpst množinu B = { x R;2 x 5}? A =. Jde o nekonečně mnoho čísel (2, 5 všechno

Více

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25 56. ročník Mtemtické olympiády Úlohy domácí části I. kol ktegorie 1. Njděte všechny dvojice (, ) celých čísel, jež vyhovují rovnici + 7 + 6 + 5 + 4 + = 0. Řešení. Rovnici řešíme jko kvdrtickou s neznámou

Více

Správné řešení písemné zkoušky z matematiky- varianta A Přijímací řízení do NMgr. studia učitelských oborů 2010

Správné řešení písemné zkoušky z matematiky- varianta A Přijímací řízení do NMgr. studia učitelských oborů 2010 právné řešení písemné koušky mtemtiky- vrint A Přijímcí říení do NMgr. studi učitelských oborů Příkld. Vyšetřete průběh funkce v jejím mimálním definičním oboru nčrtněte její grf y Určete pritu (sudá/lichá),

Více

Větu o spojitosti a jejich užití

Větu o spojitosti a jejich užití 0..7 Větu o spojitosti jejich užití Předpokldy: 706, 78, 006 Pedgogická poznámk: Při proírání této hodiny je tře mít n pměti, že všechny věty, které studentům sdělujete z jejich pohledu neuvěřitelně složitě

Více

KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t

KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY Má-li se spočítt npř. spotřeb betonu n rovný plot s měnící se výškou, stčí spočítt integrál z této výšky podle zákldny plotu. o když je le zákldnou plotu nikoli rovná úsečk, le křivá

Více

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I)

Matematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I) Matematická analýza pro informatiky I. 3. přednáška Limita posloupnosti (I) Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 25. února 2011 tomecek@inf.upol.cz

Více

Definice limit I

Definice limit I 08 Definice limit I Předpokld: 006 Pedgogická poznámk: N úvod je třeb upozornit, že tto hodin je ze strn studentů snd nejvíce sbotovnou látkou z celé studium (podle rekcí 4B009) Jejich ochot brát n vědomí

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

ZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x.

ZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x. VARIAČNÍ POČET ZÁKLADY V prxi se čsto hledjí křivky nebo plochy, které minimlizují nebo mximlizují jisté hodnoty. Npř. se hledá nejkrtší spojnice dvou bodů n dné ploše, nebo tvr zvěšeného ln (má minimální

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

Masarykova univerzita v Brně Ekonomicko správní fakulta. Matematika B. Miloslav Mikuĺık

Masarykova univerzita v Brně Ekonomicko správní fakulta. Matematika B. Miloslav Mikuĺık Msrykov univerzit v Brně Ekonomicko správní fkult Mtemtik B distnční studijní opor Miloslv Mikuĺık Luboš Buer Brno 2005 Tento projekt byl relizován z finnční podpory Evropské unie v rámci progrmu SOCRATES

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název modulu: Zákldy mtemtiky Zkrtk: ZM Počet kreditů: Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolnský Tutor: Petr Dolnský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH OPOR: ) Skriptum:

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

p 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že

p 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že KAPITOLA 1: Reálná čísla [MA1-18:P1.1] 1.1. Číselné množiny Přirozená čísla... N = {1,, 3,...} nula... 0, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0} Celá čísla... Z = {0, 1, 1,,, 3,...} Racionální čísla... { p } Q =

Více

NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018

NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018 Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 6 6 4

Více

Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci

Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci Mtemtik 1A. PetrSlčJiříHozmn Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická Technická univerzit v Liberci petr.slc@tul.cz jiri.hozmn@tul.cz 21.11.2016 Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 1/

Více

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály. Mtemtik II.5. Nevlstní integrály.5. Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definii Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční oor neohrničený (tj. (, >,

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

Základy teorie matic

Základy teorie matic Zákldy teorie mtic 1. Pojem mtice nd číselným tělesem In: Otkr Borůvk (uthor): Zákldy teorie mtic. (Czech). Prh: Acdemi, 1971. pp. 9--12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401328 Terms of use: Akdemie

Více

Poznámka. Využití: věty o limitách, popisy intervalů: (, 0) = {x R : < x < 0} = {x R : x < 0}, (, + ) = R (otevřené i s ± ).

Poznámka. Využití: věty o limitách, popisy intervalů: (, 0) = {x R : < x < 0} = {x R : x < 0}, (, + ) = R (otevřené i s ± ). v 8--7 Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná č: délky, doplnění it, suprem/infim, řezy R \ Q ircionální čísl, π, e, ) C komplení čísl:

Více

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p. 1. V oboru reálných čísel řešte soustvu rovnic x 2 xy + y 2 = 7, x 2 y + xy 2 = 2. (J. Földes) Řešení. Protože druhou rovnici můžeme uprvit n tvr xy(x + y) = 2, uprvme podobně i první rovnici: (x + y)

Více

Ohýbaný nosník - napětí

Ohýbaný nosník - napětí Pružnost pevnost BD0 Ohýbný nosník - npětí Teorie Prostý ohb, rovinný ohb Při prostém ohbu je průřez nmáhán ohbovým momentem otáčejícím kolem jedné z hlvních os setrvčnosti průřezu, obvkle os. oment se

Více

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1 Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,

Více

FI: JARO 2017 Verze: 9. února 2017

FI: JARO 2017 Verze: 9. února 2017 FI: JARO 7 Verze: 9. únor 7 Přednášky k předmětu MB Autor: Romn Šimon Hilscher Přednášející: Petr Hsil Obsh Přehled přednášek podle strny ukončení iii. Polynomy interpolce.. Interpolce.. Lgrngeův interpolční

Více

1. Těleso komplexních čísel Definice. Množinou komplexních čísel rozumíme množinu R 2.

1. Těleso komplexních čísel Definice. Množinou komplexních čísel rozumíme množinu R 2. 1. Těleso komplexních čísel Definice. Množinou komplexních čísel rozumíme množinu R 2. Množinu komplexních čísel znčíme C. N množině C definujeme operce sčítání + jko v R 2 násobení. předpisem (x, y).(u,

Více

Matematika II: Testy

Matematika II: Testy Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit

Více

m n. Matice typu m n má

m n. Matice typu m n má MATE ZS KONZ B Mtice, hodnost mtice, Gussův tvr Mtice uspořádné schém reálných čísel: m m n n mn Toto schém se nzývá mtice typu m řádků n sloupců. m n. Mtice typu m n má Oznčujeme ji A, B,někdy používáme

Více

Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)

Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál) Integrální počet - IV. část (plikce n určitý vlstní integrál, nevlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednášk z AMA Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4 Obsh

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34. Vzdělávcí mteriál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zářeh, náměstí Osvoození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo název klíčové ktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek pro

Více

8. cvičení z Matematiky 2

8. cvičení z Matematiky 2 8. cvičení z Mtemtiky 2 11.-1. dubn 2016 8.1 Njděte tři pozitivní čísl jejichž součin je mximální, jejichž součet je roven 100. Zdání příkldu lze interpretovt tké tk, že hledáme mximální objem kvádru,

Více