Matematická analýza pro fyziky II. Robert Černý & Milan Pokorný

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Matematická analýza pro fyziky II. Robert Černý & Milan Pokorný"

Transkript

1 Mtemtická nlýz pro fyziky II Robert Černý & Miln Pokorný 29. ledn 2017

2 2

3 Obsh 8 Číselné řdy Zákldní pojmy Řdy s nezápornými členy Dodtek:Kondenzční kritérium Řdy s obecnými členy Přerovnávání řd součin řd Aritmetické průměry, cesrovské součty Dodtek k číselným řdám: nekonečné součiny Mocninné řdy Zákldní vlstnosti mocninných řd Dodtek: derivce funkce komplexní proměnné Mocninné řdy Tylorův rozvoj Řešení diferenciálních rovnic pomocí řd Zvedení funkcí sin, cos exp Obyčejné diferenciální rovnice Limit spojitost funkcí více proměnných Zákldní pojmy Zákldní existenční věty Sklární rovnice 1. řádu Rovnice y = f(x) Rovnice y = g(y) Rovnice y = f(x)g(y) Homogenní diferenciální rovnice Rovnice, které lze převést n homogenní diferenciální rovnici Lineární diferenciální rovnice prvního řádu Bernoulliov rovnice Lineární rovnice n-tého řádu Homogenní rovnice: obecné výsledky Vrice konstnt Splnění počátečních podmínek Homogenní rovnice s konstntními koeficienty

4 4 OBSAH Metod speciální prvé strny pro rovnice s konstntními koeficienty Eulerov rovnice Dlší typy rovnic vyšších řádů Rovnice tvru y (n) = f(x) Rovnice tvru y (n) = f(x, y (n 1) ) Rovnice tvru y (n) = f(y (n 2) ) Rovnice tvru y (n) = f(x, y (k), y (k+1),..., y (n 1) ) Rovnice tvru y (n) = f(y, y,..., y n 1 ) Metrické prostory Zákldní pojmy Konvergence posloupnosti v metrickém prostoru Podmnožiny metrického prostoru Hustot seprbilit Hustot polynomů v C([, b]) seprbilit C([, b]) Úplné metrické prostory Omezenost kompktnost Pokrývcí věty Bnchov vět o kontrkci Existenční věty pro ODR 1.řádu Limit spojitost n metrických prostorech Dif. počet funkcí více proměnných Prciální derivce, totální diferenciál Derivce vyšších řádů, Tylorův vzorec Potenciál vektorového pole Vět o implicitní funkci Rovnice ve tvru totálního diferenciálu Lokální extrémy funkcí více proměnných Globální extrémy funkcí více proměnných Vět o regulárním zobrzení Vriční počet Úvod Abstrktní teorie Funkcionály reprezentovné integrálem Euler Lgrngeov rovnice Euler Lgrngeov rovnice pro funkcionály speciálních typů Klsifikce extremál zložená n chování druhého diferenciálu Konjugovné body Jcobiho rovnice Vázné extrémy Postčující podmínk pro globální extrém Klsické úlohy vričního počtu Nejkrtší spojnice v rovině Problém princezny Dido

5 OBSAH Úloh o minimální rdiálně symetrické ploše Úloh o zvěšeném řetězu Úloh o brchystochroně Aplikce vričního počtu v klsické mechnice Spojitá závislost n dtech pro lineární ODR

6 6 OBSAH

7 Kpitol 8 Číselné řdy V dlším se budeme zbývt otázkou konvergence číselných řd. Podobně jko u konvergence Newtonov integrálu je konvergence řd jen mezivýsledek, který nám později umožní určovt součty řd z pomoci metod, které konvergenci vyždují. N druhou strnu, někdy nám výsledek, zd řd konverguje či ne, dává přesně tu informci, kterou potřebujeme, přesná hodnot součtu řdy není ž tk důležitá. Někdy vystčíme s více či méně přesným odhdem součtu řdy. Od této kpitoly výkld teorie poněkud zrychlíme. Při citování použitých vět již nebudeme uvádět podrobné ověření jejich předpokldů mimo situce, kdy je ověření obtížné, jink práci přenecháme (čsto bez vrování) čtenáři. Dále budeme v odhdech používt C jko (nejčstěji multipliktivní) neškodnou konstntu, která může z řádku n řádek měnit svoji hodnotu (vzpomeňte si n důkz ritmetiky limit, kde jsme chtěli vždy zkoumnou veličinu odhdnout násobkem ε n velikosti multipliktivní konstnty nezáleželo). Dále symbol + budeme zkrcovt n, kdykoliv bude jsné, že prcujeme n R. 8.1 Zákldní pojmy Definice (Řd). Nechť { k } R je posloupnost. Symbol k=1 k budeme nzývt řdou. Pro k N se číslo k nzývá k-tý člen, číslo s n := n k=1 k se nzývá n-tý částečný součet {s n } nzveme posloupností částečných součtů řdy k=1 k. Existuje-li vlstní s := lim n s n, říkáme, že řd konverguje. Pokud je uvedená limit nevlstní, řd diverguje pokud limit částečných součtů neexistuje, řd osciluje. V prvních dvou přípdech číslo s nzýváme součtem řdy píšeme k=1 k = s. Poznámk V přípdě, kdy s existuje, má symbol k=1 k vlstně dv význmy. Jednk zstupuje posloupnost, kterou se snžíme sečíst, jednk její součet (tedy číslo). Bývá zvykem v tkovéto situci přednostně chápt k=1 k jko číslo s. 7

8 8 KAPITOLA 8. ČÍSELNÉ ŘADY Poznámk V některých situcích bude přirozené prcovt s k=0 k. Nzývejme posloupností rovněž zobrzení z N 0 do R (opět budeme psát { k } k=0 či jen { k }). Poznámk Řdy komplexních čísel se definují nlogicky. Nebude-li řečeno jink, v dlším se budeme zbývt řdmi reálných čísel. Odvození podobných výsledků pro komplexní řdy přenecháváme čtenáři jko cvičení, popřípdě budou okomentovány zvlášť. Příkld (i) Nechť q C 0 C \ {0}. Pro kždé k N 0 definujme k = 0 q k. Vzniklá řd se nzývá geometrická řd díky identitě (1 + q + + q n )(1 q) = 1 q n+1 pltné pro kždé n N její částečné součty splňují pro q 1 1 q n+1 s n = 0. 1 q Pltí-li q < 1, řd konverguje dostáváme k=0 0q k = 0 1 q. Pokud q = 1, prcujeme s řdou k=0 0 dostáváme k=0 0 = C. Pokud q = 1 q 1, řd osciluje. Konečně, pro q > 1 dostáváme k=0 0q k = C (reálný přípd vyžduje ohlídání jk sign 0 tk sign q, pro q < 1 řd osciluje). (ii) Uvžme hrmonickou řdu k=1 1 k. Její částečné součty tvoří monotonní posloupnost, mjí tedy limitu v R. Pltí pro ně s 1 = 1 s 2 = = 3 2 s 4 = > = 4 2 s 8 = > = 5 2 indukcí lze získt s 2 n > n+2 2. Odtud k=1 1 k =. Připomeňme ještě, že v kpitole o určitém integrálu jsme diverenci této řdy už ukázli tkto s n = n k=1 1 n+1 k > (R) 1 n+1 1 dx = (N ) dx = [log]n+1 1 = log(n + 1) n. 1 x 1 x (iii) Dlším typem řd, které umíme sečíst, jsou teleskopické řdy. Příkldem je řd k=1, pro kterou máme s n = n k=1 1 k(k+1) 1 k(k + 1) = n k=1 ( 1 k 1 ) = 1 k n 1 n + 1 = 1 1 n 1. n + 1 Obecně pro teleskopickou řdu typu k = b k b k+m kde m N lim k b k = 0,

9 8.1. ZÁKLADNÍ POJMY 9 máme n s n = k = k=1 k=1 n (b k b k+m ) = b 1 + +b n (b m+1 + +b m+n ) n b 1 + +b m. k=1 (iv) Uvžme řdu k=1 1 k. Opět se jedná o řdu s nezápornými členy, proto jsou 2 částečné součty monotonní existuje jejich limit. Nvíc máme n 1 n s n = k 2 = n k n k(k 1) = 1 + ( 1 k 1 1 ) = 2 1 k n, k=2 k=2 odkud dostáváme konvergenci. Dlo by se tké postupovt přes (N ) (v) Uvžme řdu k=1 s 2n = ( 1) k k ( k=2. Částečné součty si přepišme do tvru ) ( ) ( n ) 2n ( 1 s 2n+1 = ( 1 + 3) 4 5) 1 ( n 1 ). 1 1 x 2 dx. 2n + 1 Odtud vidíme, že {s 2n } {s 2n+1 } jsou monotonní posloupnosti s členy v intervlu [ 1, 0] (neboť vždy 1 < s 2n+1 < s 2n < 0). Obě tedy musí být konvergentní. Nvíc s 2n+1 s 2n = 1 n 0, 2n + 1 proto mjí obě limity stejnou hodnotu. Zkoumná řd tedy konverguje. Rozmyslete si, že v této situci není možné použít přístup přes určitý integrál. Poznámk Konvergence řdy byl definován jko konvergence jejích částečných součtů. Nbízí se tedy myšlenk, že budeme-li studovt limitní chování posloupnosti s k, získáme tím nejen informci o konvergenci studovné řdy, le i její součet. Žádnou teorii pro řdy by pk nebylo nutné budovt, neboť vystčíme s teorií pro limity posloupností. Velice čsto všk bývá obtížné či nemožné z předpisu pro k-tý člen k získt vzorec pro s k (ve vzácných přípdech se podle chování prvních několik členů posloupnosti {s k } dá odhdnout správný vzorec, ten se pk dokáže indukcí). V dlším se nebudeme snžit vzorce pro s k hledt budeme budovt teorii prcující jen s předpisem pro člen k. Poznámk Povšimněte si, že n konvergenci řdy nemá vliv přidání, vynechání či změn hodnoty u konečného počtu členů. Nejprve si uvedeme kritérium, pomocí něhož konvergenci vylučujeme. Vět (Nutná podmínk konvergence řdy). Nechť řd k=1 k konverguje. Pk lim k k = 0. Důkz. Oznčme L := k=1 k. Pro částečné součty pk pltí lim k s k = L, proto lim k k = lim k (s k s k 1 ) = lim k s k lim k s k 1 = L L = 0.

10 10 KAPITOLA 8. ČÍSELNÉ ŘADY Silnějším nástrojem je B-C podmínk (jedná se jen o přepis B-C podmínky pro posloupnosti), která dává ekvivlentní chrkterizci konvergence číselných řd. Vět (B-C podmínk pro řdy). Číselná řd k=1 k konverguje právě tehdy, když splňuje B-C podmínku ε > 0 n 0 N n N [n 0, ) p N n+p k=n+1 k < ε. Cvičení Dokžte tuto větu přepisem n stndrdní Bolzno Cuchyovu podmínku pro konvergenci číselných posloupností. Příkld (i) Nechť 1, d R. Definujme ritmetickou posloupnost předpisem k = 1 + (n 1)d. S výjimkou přípdu 1 = d = 0 odpovídjící řd nemůže konvergovt kvůli nutné podmínce konvergence. (ii) Hrmonická řd k=1 1 k nesplňuje B-C podmínku díky vlstnosti 1 2 n n n + 2 n > 1 2. Poznámk (i) Později si předstvíme ještě několik dlších kritérií pro vyloučení konvergence řdy. Tto kritéri budou všk prcovt jen s řdmi, jejichž členy nemění znménko (myslíme nekonečněkrát, nezpomínejme n poznámku o konečném počtu změn). (ii) Nutná podmínk je jen speciálním přípdem B-C podmínky, v němž vlstně uvžujeme p = 1, tedy zkoumáme n+1 k=n+1 k = n+1. (iii) Ve světle předchozích dvou částí této poznámky bude B-C podmínk jediným nším kritériem pro vyloučení konvergence řdy u řd s tkzvnými obecnými členy (kde nekontrolujeme znménkové změny). Z ritmetiky (nevlstních) limit plikovné n částečné součty dostáváme okmžitě následující výsledek. Vět (Aritmetik řd). Nechť k=1 k = A R, k=1 b k = B R, α, β R. Pk (α k + βb k ) = αa + βb, k=1 kdykoliv má prvá strn smysl. Příkld (i) Řd k=1 členů divergentní konvergentní řdy. (ii) Řd k=1 by konvergovt i k=1 ( 1 k + 1 k 2 ) diverguje, neboť její členy jsou součty ( ( 1) k + 1 k 2 ) osciluje. Skutečně, pokud by konvergovl, musel ( 1) k = (( 1) k + 1 k 2 1 ) k 2 = (( 1) k + 1 ) k 2 k=1 Divergenci vyvrátíme podobně. k=1 k=1 1 k 2.

11 8.1. ZÁKLADNÍ POJMY 11 Při nšem budoucím studiu nás bude jen zřídk zjímt konvergence řdy k=1 k. Podsttně důležitější pro nás bude konvergence k=1 k. Proto zvádíme následující pojmy. Definice (Absolutní nebsolutní konvergence). Říkáme, že číselná řd k=1 k konverguje bsolutně, jestliže konverguje k=1 k. Říkáme, že řd k=1 k konverguje nebsolutně, jestliže konverguje k=1 k le nekonverguje k=1 k. Poznámk Řd k=1 k má monotonní částečné součty. Může tedy jen konvergovt divergovt, nikoliv oscilovt. Příkld Již jsme si ukázli, že konverguje k=1 1 k diverguje. Proto ( 1) k k=1 k k=1 konverguje nebsolutně. ( 1) k k Vět (Absolutní konvergence implikuje konvergenci). Jestliže číselná řd k=1 k konverguje bsolutně, pk konverguje klsicky. Důkz. Splnění B-C podmínky pro k=1 k implikuje splnění B-C podmínky pro k=1 k, neboť pro všechn n, p N máme n+p k=n+1 k n+p k=n+1 k. Stejná myšlenk důkzu nám dává následující kritérium. Vět (Srovnávcí kritérium I). Nechť pro všechn k N pltí k R, b k 0 k b k. Jestliže k=1 b k konverguje, pk k=1 k konverguje (dokonce bsolutně). Důkz. Splnění B-C podmínky pro k=1 b k implikuje splnění B-C podmínky pro k=1 k, neboť pro všechn n, p N máme n+p k=n+1 k n+p k=n+1 b k. Podle předchozí věty proto tké k=1 k konverguje. Příkld (i) Řd k=1 1 k konverguje. 2 (ii) Řd k=1 N [4, ), k=1 1 k 3 konverguje, neboť 1 k 1 3 k 2 pro všechn k N 1 1 konverguje, neboť 1 log(k 1 2 )k2 log(k 1 2 )k2 k pro všechn k 2 konverguje konvergence řdy nezávisí n chování konečného k=1 1 k 2 počtu členů (můžeme kupříkldu první tři členy studovné řdy nhrdit nulou). (iii) Řd k=1 1 k diverguje, neboť díky nezáporným členům nemůže oscilovt kdyby konvergovl, konvergovl by i k=1 1 k (používáme 1 k 1 k není prvd. k N), což

12 12 KAPITOLA 8. ČÍSELNÉ ŘADY k=1 Dlší kritérium je zložené n nšich myšlenkách z důkzu konvergence řdy ( 1) k k. Vět (Leibnizovo kritérium). Nechť { n } je nezáporná nerostoucí posloupnost. Pk k=1 ( 1)k k konverguje právě tehdy, když lim k k = 0. Důkz. Tto implikce plyne z nutné podmínky konvergence. Částečné součty si přepišme do tvru s 2n = ( ) + ( ) +... ( 2n 1 + 2n ) s 2n+1 = 1 + ( 2 3 ) + ( 4 5 ) +... ( 2n 2n+1 ). Odtud vidíme, že {s 2n } {s 2n+1 } jsou monotonní posloupnosti s členy v intervlu [ 1, 0] (neboť vždy 1 s 2n+1 < s 2n 0). Obě tedy musí být konvergentní. Nvíc n s 2n+1 s 2n = 2n+1 0, proto mjí obě posloupnosti stejnou limitu. Zkoumná řd tedy konverguje. Poznámk Předchozí kritérium by se dlo plikovt tké n řdu , pokud bychom prcovli s b k := 2k 1 + 2k (dostáváme nové členy střídjící znménko s nerostoucími bsolutními hodnotmi). Čsem si předstvíme Dirichletovo kritérium, které bude zobecňovt Leibnizovo kritérium tímto směrem. 8.2 Řdy s nezápornými členy Připomeňme, že v této situci má posloupnost částečných součtů vždy limitu, proto může řd jen konvergovt nebo divergovt. Předstvíme si zde dlší kritéri konvergence. Ještě připomeňme, že se zbýváme přípdem, kdy není znám obecný předpis pro s n, proto musíme prcovt s předpisem pro k. V některých přípdech vznikjí jednoduché formule z výrzů k+1 k či k k. Nše kritéri budou připrven prcovt i s těmito výrzy. Čsto budeme využívt skutečnost, že změn konečného počtu členů neovlivní konvergenci řdy. Poznmenejme ještě, že všechny nše výsledky v této části textu lze tké chápt jko výsledky pro bsolutní konvergenci řd. Vět (Srovnávcí kritérium II). Nechť { k }, {b k } [0, ), k 0 N je splněn lespoň jedn z podmínek (i) k b k k k 0 (ii) k+1 k b k+1 b k k k 0 (tedy { k }, {b k } (0, )) k=1 k konverguje. Pk k=1 b k konverguje.

13 8.2. ŘADY S NEZÁPORNÝMI ČLENY 13 Důkz. U obou podmínek můžeme předpokládt, že k 0 = 1, jink vhodným způsobem změníme prvních k 0 1 členů zkoumných řd. Pltí-li podmínk (i), výsledek plyne ze Srovnávcího kritéri I (Vět ). Nechť pltí podmínk (ii), pk pro všechn k N máme k = k k b k b k 1... b 2 1 = 1 b k. k 1 k 2 1 b k 1 b k 2 b 1 b 1 Odtud b k b1 1 k pro všechn k N. Nprvo máme členy konvergentní řdy, proto lze užít první část věty jsme hotovi. Poznámk (i) První podmínku ve větě je možno tké nhrdit podmínkou C k b k (díky ritmetice řd). (ii) Předchozí vět tké říká, že pokud dvě řdy s nezápornými členy splňují (i) nebo (ii) k=1 b k diverguje, pk k=1 k diverguje. k k+1 b k (iii) Podmínk (ii) se dá přepst do tvru b k+1. S tímto tvrem se příjemně prcuje v přípdě řd typu k=1 1 k (velice brzy budeme umět chrkterizovt α konvergenci těchto řd v závislosti n α R pk je budeme velice čsto používt ve srovnávcích kritériích), neboť = (1 + 1 k )α prvá strn se dá k k+1 = 1 k α 1 (k+1) α ještě uprvovt pomocí Tylorov rozvoje. Z první části Srovnávcího kritéri II se sndno získá dlší užitečný nástroj. Vět (Limitní srovnávcí kritérium). Nechť { k }, {b k } (0, ) dále nechť lim k k b k (0, ). Pk k=1 k konverguje právě tehdy, když k=1 b k konverguje. Jestliže { k }, {b k } (0, ) lim k k b k [0, ) k=1 b k konverguje, pk k=1 k konverguje. Důkz. Nejprve dokžme první část kritéri. Oznčme L := lim k k b k. Z definice limity existuje k 0 N tkové, že L 2 b k k 2Lb k pro k k 0. Nyní již stčí použít první část Srovnávcího kritéri II (Vět 8.2.1). Důkz druhé části je podobný, používáme nerovnost k (L + 1)b k. Poznámk Limitní srovnávcí kritérium je díky použití limity v předpokldech poměrně rychlý nástroj. N druhou strnu není tk silný jko jeho původní nelimitní verze, která existenci limity nepožduje umožňuje díky tomu 1+( 1) k k 2 třeb ukázt konvergenci řdy k=1 pomocí konvergence řdy k=1 1 k. 2 Nyní si znčně rozšíříme množství známých řd, s nimiž budeme vyšetřovné řdy srovnávt (zejmén o řdy typu k=1 1 k ). α Vět (Integrální kritérium). Nechť N f : R R je spojitá, kldná nerostoucí n [, ]. Pk k= f(k) konverguje (N ) f dx R.

14 14 KAPITOLA 8. ČÍSELNÉ ŘADY Důkz. Díky monotonii funkce f máme f(k + 1) (N ) Proto pro libovolné n N, n >, pltí n+1 k=+1 f(k) = k+1 k n f(k + 1) (N ) k= f dx f(k). n+1 f dx n f(k). Pokud Newtonův integrál konverguje, je (neklesjící) primitivní funkce omezená nutně pk jsou podle levé části nšeho odhdu omezené (neklesjící) částečné součty řdy k= f(k). Tto řd proto konverguje. Nopk, omezenost částečných součtů řdy k= f(k) implikuje omezenost (neklesjící) primitivní funkce, t proto musí mít vlstní limitu v nekonečnu. k= k k + 1 Obrázek 8.1: Integrální kritérium: odhdy integrálu. Příkld (i) Funkce x 1 x splňuje pro α > 0 předpokldy Integrálního α kritéri (Vět 8.2.5), protože 1 1 [ 1 α x1 α ] 1 = pro α < 1 (N ) 1 x α dx = [log x] 1 = pro α = 1 1 [ 1 α x1 α ] 1 = 1 1 α pro α > 1, dostáváme (pro α 0 je dokonce porušen nutná podmínk konvergence řd) k=1 1 k α konverguje α > 1. (ii) Uvžme řdu typu 1 k=2, kde α, β R (řdu sčítáme ž od druhého k α log β k členu, neboť první není definován). Pokud α > 1 β R, Limitní srovnávcí kritérium (Vět 8.2.3) plikovné n nši řdu řdu k=1 spolu s předchozí částí příkldu dávjí konvergenci nší řdy. 1 k α+1 2 ( k α+1 2 k α log β k 0)

15 8.2. ŘADY S NEZÁPORNÝMI ČLENY 15 Pokud α < 1 β R, srovnání s 1 k=1 dává divergenci. Pokud α = 1, k α+1 2 Limitní srovnávcí kritérium (Vět 8.2.3) kombinovné s první částí příkldu je nepoužitelné. N druhou strnu, pro α = 1 umíme funkce tvru x 1 x α log β x sndno integrovt máme 1 1 [ 1 β log1 β x] 2 = pro β < 1 (N ) 2 x log β x dx = [log(log x)] 2 = pro β = 1 1 [ 1 β log1 β x] 2 = 1 β 1 log1 β 2 pro β > 1. Integrální kritérium (Vět 8.2.5) plikujeme n [, ), kde > 2 je dost velké, by zde pltilo ( 1 ) log β x x log β x = x 2 + β log β 1 x x 2 = log β 1 x x 2 ( log x β) < 0. Celkově dostáváme 1 k=2 k α log β k konverguje α > 1 (α = 1 β > 1). (iii) Mohli bychom náš postup použít i n přípd k=3 1 k α log β k log γ (log k). S výjimkou přípdu α = β = 1 se djí opět kombinovt předchozí výsledky spolu s Limitním srovnávcím kritériem (Vět 8.2.3). Ve vyloučeném přípdě se nopk dobře integruje. Celkově se dostne k=3 1 k α log β k log γ (log k) konverguje α > 1 (α = 1 β > 1) (α = 1 β = 1 γ > 1). Poznámk (i) Povšimněme si, že npříkld ke zkoumání konvergence řd typu 1 k=2 k α log β k pro α 1 nám stčí znlost chování řd 1 k=2 k log β k, neboť pro α 1 < 1 < α 2, β 1, β 2 R k N dosttečně velké máme 1 k α2 log β2 k < 1 k log β k < 1 k α1 log β1 k ( 1 k=2 k log 2 k konverguje, 1 k=2 k log k diverguje). (ii) Nejčstěji budeme studovné řdy srovnávt s řdmi q k, k=1 k=1 1 k α, k=2 1 k log α k, k=3 1 k log k log α (log k),.... Je výhodné si pmtovt, že ve všech výše uvedených typech řd je číslo jedn hrniční hodnotou prmetru (q či α) z hledisk konvergence řdy.

16 16 KAPITOLA 8. ČÍSELNÉ ŘADY Poznámk Nikdy nebudeme mít ntolik univerzální kritérium, by nám o kždé řdě řeklo, zd konverguje či diverguje. Jednk je to tím, že se nám nepodřilo njít hrniční řdu tkovou, že by řdy s většími členy divergovly s menšími konvergovly (tková řd ni existovt nemůže, ť už by konvergovl či divergovl, neboť ritmetik řd, konkrétně násobení kldným číslem, by nám dl spor). Nvíc členy řd nemusí mít srovntelný pokles s nějkou důležitou řdou uvedenou výše. Lze třeb vymyslet konvergentní i divergentní řdy splňující k 1 k 2 pro nekonečně mnoho k k 1 k pro nekonečně mnoho k. Nyní si uvedeme dvě kritéri zložená n srovnání s geometrickou řdou. Vět (Cuchyovo odmocninové kritérium). Nechť { k } [0, ) k 0 N. (i) Jestliže existuje q [0, 1) tkové, že k k q pro všechn k k 0, pk k=1 k konverguje. Speciálně, pokud lim k k k < 1, řd konverguje. (ii) Jestliže k k 1 pro všechn k k 0, pk k=1 k diverguje. Speciálně, pokud lim k k k > 1, řd diverguje. Důkz. Dokžme (i). V prvním přípdě máme k q k pro q [0, 1) k k 0, přičemž řd k=1 qk je konvergentní. Výsledek tedy plyne ze Srovnávcího kritéri II (Vět 8.2.1). Pokud lim k k k < 1, stčí zfixovt q (lim k k k, 1). Njdeme k 0 tk, že pltí k k q pro všechn k k 0 jsme v situci jko výše. Dokžme (ii). Zde máme odhd k 1 pro všechn k k 0 máme porušenu nutnou podmínku konvergence číselných řd. Předpokld lim k k k > 1 vede n tutéž situci. Příkld Studujme konvergenci řdy k=1 ( k k+2 )k2. Máme ( lim k k = lim 1 2 ) k = e 2 < 1 k k k + 2 (lze využít lim k (1 + 1 k )k = e, nebo si přepst obecnou mocninu pomocí funkce exp, což vede n limitu stndrdní obtížnosti). Poznámk (i) Cuchyovo odmocninové kritérium (Vět 8.2.9) si nepordí s žádnou z řd k=1 1 k 1 k, α > 0, neboť lim α k k = 1. Zároveň vidíme, že α přípd lim k k k = 1 připouští jk konvergentní, tk divergentní řdy. (ii) Přestože je odmocninové kritérium poměrně slbé, nchází upltnění v situcích, kdy se zápis členu k znčně zjednoduší po plikci k-té odmocniny. Aplikce mocného integrálního kritéri n předchozí příkld by jistě příjemná nebyl. Dlší kritérium je opět slbé, leč leckdy uživtelsky velice příjemné. Vět (d Alembertovo podílové kritérium). Nechť { k } (0, ) k 0 N. (i) Jestliže existuje q [0, 1) tkové, že k+1 k q pro všechn k k 0, pk k=1 k konverguje. Speciálně, pokud lim k+1 k k < 1, řd konverguje.

17 8.2. ŘADY S NEZÁPORNÝMI ČLENY 17 (ii) Jestliže k+1 k 1 pro všechn k k 0, pk k=1 k diverguje. Speciálně, pokud lim k+1 k k > 1, řd diverguje. Důkz. Dokžme (i). V prvním přípdě máme pro libovolné k > k 0 k = k k 1 k 1 k 2... k 0+1 k0 k0 q k k0 k0 = Cq k konvergence studovné řdy je důsledkem konvergence geometrické řdy. V přípdě, že lim k+1 k k < 1, pro zfixovné q (lim k+1 k k, 1) vždy njdeme k 0 N tk, že máme k+1 k q pro všechn k k 0 jsme v situci jko výše. Dokžme (ii). V tomto přípdě máme pro libovolné k > k 0 k = k k 1 k 1 k 2... k 0+1 k0 k0 k0, je tedy porušen nutná podmínk konvergence. Předpokld lim k+1 k k n tutéž situci. Příkld Studujme konvergenci řdy (k!) 2 k=1 (2k)!. Máme > 1 vede k+1 k = ((k + 1)!)2 (2k)! (k!) 2 (2k + 2)! = (k + 1) 2 k 1 (2k + 2)(2k + 1) 4. Nše řd proto konverguje podle d Alembertov podílového kritéri (Vět ). Poznámk (i) Ani toto kritérium nefunguje n řdy typu k=1 1 k, α > α 0, či obecně v přípdě lim k+1 k k = 1. Oceníme jej zejmén v situcích, kdy se dobře počítá lim k+1 k k nerovná se jedné. (ii) Poznmenejme ještě, že ve výrzu k+1 k dochází ke znčnému zjednodušení fktoriálu, který se čsto vyskytuje v Tylorových řdách. Poznámk Limitní verze kritéri je opět rychlejší, le slbší než nelimitní. Stčí uvážit řdu (střídá se k+1 k = 1 2 k+1 k = 1 4 ). Poznámk Přestože obě výše dokázná kritéri jsou shodně zložen n vlstnostech geometrické řdy, fungují odlišně. Npříkld s řdou (střídá se k+1 k = 1 4 k+1 k = 2), si odmocninové kritérium pordí, podílové nikoliv. Podílové kritérium se dá zobecnit tk, že si spočítáme k+1 k pro řdy typu k=1 1 k získný výsledek budeme kombinovt s druhou částí Srovnávcího kritéri II (Vět α 8.2.1).

18 18 KAPITOLA 8. ČÍSELNÉ ŘADY Vět (Rbeho kritérium). Nechť { k } (0, ) k 0 N. (i) Existuje-li q > 1 tk, že k( k k+1 1) q pro všechn k k 0, pk řd k=1 k konverguje. Speciálně, jestliže lim k k( k k+1 1) > 1, řd konverguje. (ii) Jestliže k( k k+1 Speciálně, jestliže lim k k( k k+1 1) 1 pro všechn k k 0, pk řd k=1 k diverguje. 1) < 1, řd diverguje. Důkz. V prvním přípdě provedeme srovnání s konvergentní řdou k=1 1 k, kde α zfixujeme α (1, q). Položme tedy b k = 1 k pro k N zfixujme ještě β (α, q). α Pro k dosttečně velké dostáváme odhd ) α b ( k = = ) α β 1 + b k+1 k k. ( 1 k 1 k+1 Skutečně, Tylorův rozvoj funkce (1 + x) α v počátku Lgrngeův tvr zbytku dávjí (1 + x) α = 1 + αx α(α 1)(1 + ξ)α 2 x 2, kde ξ (0, x). Pro x dosttečně blízko k počátku proto můžeme poslední člen prvé strny odhdnout libovolně mlým násobkem předposledního. Z předchozích odhdů předpokldu k( k k+1 1) q máme k 1 + q k+1 k > 1 + β k b k. b k+1 Druhá část Srovnávcího kritéri II (Vět 8.2.1) nám dává konvergenci k=1 k. Nechť nyní k( k k+1 1) 1 pro všechn k k 0. Odtud k k+1 k = k 1 k+1 druhá část Srovnávcího kritéri II nám dává divergenci, neboť k=1 1 k diverguje. Poznámk (i) Rbeho kritérium se používá v situcích, kdy je zápis k+1 k jednodušší než zápis k, le podílové kritérium je v dné situci příliš slbé. Typicky se k Rbeho kritériu přechází po neúspěšné plikci podílového kritéri (mějte ovšem n pměti, že jedno z kritérií prcuje s výrzem k+1 k, ztímco druhé s k k+1 ). (ii) Rbeho kritérium není v žádném přípdě všemocné. Ověřte si smi, že si nepordí s řdmi typu 1 k=1 k log α k, α > 0. Dlší krůček ve zjemnění práce s výrzem k k+1 nám dává následující kritérium. Vět (Gussovo kritérium). Nechť { k } (0, ). Nechť existují p, q R ε, C > 0 tk, že k = p + q k+1 k + t k k 1+ε, kde t k C.

19 8.2. ŘADY S NEZÁPORNÝMI ČLENY 19 (i) Jestliže p > 1, řd k=1 k konverguje. Jestliže p < 1, řd diverguje. (ii) Jestliže p = 1 q > 1, řd konverguje. (iii) Jestliže p = 1 q 1, řd diverguje. Důkz. Všechny přípdy, kdy p 1 nebo q 1 nám dává Rbeho kritérium. Uvžme zbývjící přípd p = q = 1. Definujme b k = 1 k log k, k N \ {1}. Pk b k (k + 1) log(k + 1) = = (k + 1)( log k + log(1 + 1 k )) b k+1 k log k k log k = k + log(1 + 1 k ) log k + log(1 + 1 k ) k log k. Protože pro dosttečně velké k máme odhd log(1 + 1 k ) 1 2k log(1+x) limitu lim x 0 x = 1), dostáváme Celkově i s předpokldem b k b k+1 k + 1 2k log k k k k + C k 1+ε pro k dosttečně velké. k k+1 k + C k 1+ε k + 1 2k log k (využíváme známou proto máme pro k dosttečně velké b k b k+1 Srovnávcí kritérium II (Vět 8.2.1) nám dává divergenci studovné řdy, neboť 1 k=2 k log k diverguje. Poznámk Přestože jsme v důkzu používli řdu 1 k=2 k log k, s touto řdou si Gussovo kritérium nepordí, neboť pro žádnou volbu p, q R ε > 0 zbytkový člen t k k nemá omezený čittel (podívejte se n nejndějnější přípd 1+ε p = q = 1 v předchozím důkzu). Dokonce nepomůže ni zesílená verze Gussov kritéri z Cvičení níže. Cvičení Dokžte, že řd k=1 k diverguje i z předpokldu, že pro α > 1 k k 0 kde t k C, nezávisle n k. k k+1 = k + t k k log α k, (k+)(k 1+)... k!k b. Příkld Nechť, b R. Zkoumejme konvergenci k=1 Pltí (ověřte si smi pomocí Tylorov rozvoje, že r k, s k, t k jsou v dlším omezené) k = k + 1 k+1 k = ( k + 1 ) b = ( 1 )( ) b k k k ( 1 k + r )( k k b k + s ) k k 2 = 1 + b + t k k k 2. Zkoumná řd tedy konverguje právě tehdy, když b > 1.

20 20 KAPITOLA 8. ČÍSELNÉ ŘADY Poznámk Celá výše probírná teorie se dá plikovt n řdy se zápornými členy (vytkneme znménko mínus, nebo ve všech kritériích nhrdíme k z k ). Vzhledem k tomu, že změn konečného počtu členů neovlivní konvergenci řdy, nše teorie se dá rozšířit i n všechny řdy, které nemjí zároveň nekonečně mnoho kldných členů nekonečně mnoho záporných členů. 8.3 Dodtek k řdám s nezápornými členy: kondenzční kritérium Někdy se používá ještě následující kritérium, zejmén v přípdě, kdy se teorie číselných řd vykládá dříve než teorie integrálu. Vět (Lobčevského kondenzční kritérium). Nechť { k } [0, ) je nerostoucí posloupnost. Pk k konverguje k=1 2 k 2 k konverguje. k=1 Důkz. Implikce plyne z odhdu (používáme monotonii) ( ) + ( ) Implikce plyne z odhdu (opět používáme monotonii) ( 2 ) + ( ) + ( ) = 1 ( ) Příkld (i) Konvergence řdy ekvivlentní konvergenci řdy k=1 1 k α je podle Lobčevského kritéri k=1 2 k 1 (2 k ) α = k=1 1 (2 k ) α 1 = k=1 1 (2 α 1 ) k, což nstává právě tehdy, když α > 1. (ii) Konvergence řdy 1 k=2 k log α k je podle Lobčevského kritéri ekvivlentní (připomeňme, že konečný počet členů není schopen ovlivnit konvergenci, proto nám stčí monotonie od jistého k 0 N) konvergenci řdy k=2 2 k 1 2 k log α (2 k ) = log α (2) opět dostáváme nám již známý výsledek. k=2 1 k α

21 8.4. ŘADY S OBECNÝMI ČLENY 21 Poznámk (i) Pokud bychom předchozí příkld zkoumli z pohledu Integrálního kritéri (Vět 8.2.5), zjistili bychom, že Lobčevského kritérium (Vět 8.3.1) vlstně jen pod integrálem provádí logritmickou substituci. (ii) Lobčevského kritérium nám podobně jko Integrální kritérium umožní určit konvergenci několik důležitých ( obtížných) řd. N druhou strnu si nepordí s řdmi, kde není předpis pro k velice jednoduchý. (iii) Zhrub se dá říci, že je jedno, které ze dvojice Integrální Lobčevského kritérium ovládáme, obě zberou n důležité řdy typů k=1 1 k, 1 α k=2 k log α k, td. Vyšetřením konvergence těchto řd obě kritéri splnil svou úlohu už je s největší prvděpodobností čtenář nikdy nevyužije. (iv) Lobčevského kritérium by se dlo přeformulovt dokázt rovněž pro pomocnou řdu k=1 3k 3 k. Nic nového bychom tím ovšem nezískli, stále by se jednlo o ekvivlent jedné logritmické substituce pod integrálem. Skutečný přínos přináší teprve iterování Lobčevského kritéri, tedy npříkld k konverguje k=1 2 k 2 k konverguje k=1 2 k 2 2k konverguje. 2 2 k k=1 Zde jsme provedli operci odpovídjící dvěm logritmickým substitucím. 8.4 Řdy s obecnými členy Nyní se budeme zbývt řdmi, jejichž členy nekonečněkrát změní znménko, neboli nekonečně mnoho členů má znménko kldné nekonečně mnoho záporné. Tto situce je provázen hned několik jevy, které se u řd s kldným znménkem nevyskytovly. Jednk kromě konvergence divergence nyní může nstt i oscilce. Dlším jevem je nebsolutní konvergence. Absolutní konvergence znmenl, že je vhodným způsobem kontrolován velikost členů studovné řdy. V přípdě nebsolutní konvergence již nemusí velikost (bsolutní hodnot) členů řdy splňovt tk přísné podmínky, je-li to kompenzováno dosttečným vzájemným vyrušením kldných záporných členů (uvžte k=2 ( 1) k log k ). V této situci už informce typů (0, ) neimplikují žádný lim k k b k třeb k b k, k b k, k+1 k b k+1 b k vzth mezi konvergencí řd k=1 k k=1 b k (smi si zkonstruujte příkldy jko třeb ( 1) k k=1 k ( ( 1) k ) k=1 k + 1 k ). Vět (Abelovo Dirichletovo kritérium). Nechť { k }, {b k } R { k } je monotonní. (Dirichlet) Jestliže k 0 {b k } má omezené částečné součty, pk k=1 kb k konverguje. (Abel) Jestliže { k } je omezená k=1 b k konverguje, pk k=1 kb k konverguje. Důkz. Nejprve předpokládejme Dirichletovy podmínky ukžme, že zkoumná řd splňuje B-C podmínku. Zvolme ε > 0. Bez újmy n obecnosti můžeme předpokládt, že { n } je nerostoucí. Ve znění nerovnosti z B-C podmínky si členy

22 22 KAPITOLA 8. ČÍSELNÉ ŘADY posloupnosti {b k } vyjádříme pomocí částečných součtů této posloupnosti, které budeme znčit B n, máme n+p k=n+1 k b k = n+1 b n+1 + n+2 b n n+p 1 b n+p 1 + n+p b n+p = n+1 (B n+1 B n ) + n+2 (B n+2 B n+1 ) + + n+p 1 (B n+p 1 B n+p 2 ) + n+p (B n+p B n+p 1 ) = B n n+1 + B n+1 ( n+1 n+2 ) + B n+2 ( n+2 n+3 ) + + B n+p 1 ( n+p 1 n+p ) + n+p B n+p. Odtud s využitím monotonie { k }, omezenosti {B n } vlstnosti k 0 dostáváme pro n dosttečně velká následující odhd n+p k=n+1 k b k Bn n+1 + B n+1 ( n+1 n+2 ) + B n+2 ( n+2 n+3 ) + + B n+p 1 ( n+p 1 n+p ) + n+p B n+p Cε + C( n+1 n+2 ) + C( n+2 n+3 ) + + C( n+p 1 n+p ) + Cε = Cε + C( n+1 n+p ) + Cε Cε + C n+1 + Cε 3Cε. Ověřili jsme B-C podmínku pro limitu částečných součtů řdy k=1 kb k jsme v prvním přípdě hotovi. Nyní předpokládejme Abelovy podmínky. Protože posloupnost { k } je monotonní omezená, má vlstní limitu. Oznčme ji A. Pk k b k = Ab k + ( k A)b k, k=1 k=1 kde první řd nprvo konverguje díky ritmetice řd druhá splňuje předpokldy Dirichletov kritéri. Proto díky ritmetice řd konverguje i řd nlevo. Příkld (i) Z Dirichletov kritéri plyne Leibnizovo kritérium (tedy Vět ), neboť posloupnost {( 1) k } má omezené částečné součty (střídjí se hodnoty 1 0). (ii) Čsto se dá kombinovt Dirichletovo kritérium s Abelovým, jk nám ukzuje příkld k=1 ( 1) k k k ověření konvergence ( 1) k k=1 k k=1 rctn k, kde nejprve použijeme Dirichletovo kritérium pk využijeme právě získnou konvergenci spolu s monotonií omezeností posloupnosti {rctn k} při plikci Abelov kritéri. (ii) Abelovo kritérium se dá použít i vícekrát z sebou. Uvžme npříkld řdu k=1 ( 1) k k k k+1 rctn k, kde jedn plikce Dirichletov kritéri jedn plikce Abelov kritéri dávjí konvergenci k=1 ( 1) k k rctn k (bylo výše) pk

23 8.4. ŘADY S OBECNÝMI ČLENY 23 díky Abelovu kritériu ještě můžeme do řdy přidt omezený monotonní činitel k k+1 = 1 1 k+1. Poznámk (i) Dirichletovo kritérium oproti Abelovu má přísnější podmínky n { k } (konvergence k nule implikuje omezenost) volnější podmínky n {b k } (konvergence řdy implikuje omezenost jejích částečných součtů). Není možné vzít jen omezenost { k } omezenost částečných součtů {b k }, jk ukzuje volb k := 1, b k := ( 1) k. (ii) Není rdno zpomínt n monotonii posloupnosti { k }. Jink Dirichletovo ni Abelovo kritérium nepltí ( k := ( 1)k k le celkově k=1 kb k = 0, b k := ( 1)k k má konvergentní řdu, k=1 1 k diverguje). (iii) Komplexní vrint Abelov Dirichletov kritéri vypdá tk, že { k } je reálná monotonní posloupnost, {b k } je komplexní posloupnost zbytek znění je stejný jko v reálném přípdě. Důkz se získá rozkldem posloupnosti {b k } n reálnou imginární složku, přípdně se zopkuje důkz Věty pro komplexní částečné součty. Nemůže pltit vrint s { k }, {b k } C, neboť pk bychom neměli pojem monotonie bez něho Vět nemůže pltit, jk bylo ukázáno výše. Poznámk Povšimněte si, že v přípdě řd s nezápornými členy nám ni Abelovo ni Dirichletovo kritérium nenbízí nic, co by nám nedlo Srovnávcí kritérium I (Vět ). Předstvíme si ještě dv typy posloupností s omezenými částečnými součty. Tvrzení Nechť R. Pk posloupnost k sin(k) má omezené částečné součty. Posloupnost k cos(k) má omezené částečné součty právě tehdy, když není násobkem čísl 2π. Důkz. Pokud není násobkem 2π, máme Odtud s n : = n sin(k) = k=1 n e ik e ik = 2i k=1 = 1 1 ei(n+1) ei 2i 1 e i 1 1 e i(n+1) e i 2i 1 e i. n k=1 eik n k=1 e ik 2i s n 1 2i ei 1 + ei(n+1) 1 e i + 1 2i e i 1 + e i(n+1) 1 e i e i e i, tedy částečné součty posloupnosti k sin(k) jsou omezené. Pokud je násobkem 2π, sčítáme smé nulové členy výsledek pltí triviálně. Při práci s posloupností k cos(k) použijeme vzorec cos(k) = eik +e ik 2. Je-li násobkem 2π, máme cos(k) 1 částečné součty nejsou omezené. Cvičení Postupem ukázným výše ukžte, že číselné posloupnosti {sin 3 k}, {cos 3 k}, {( 1) k sin 3 k}, {( 1) k cos 3 k} mjí omezené částečné součty (při výpočtu

24 24 KAPITOLA 8. ČÍSELNÉ ŘADY budete vždy prcovt se čtveřicí konvergentních geometrických řd). Tímto postupem se dá rovněž ukázt, že sin 2 k nemá omezené částečné součty (postup výše vede n součet dvou konvergentních geometrických řd řdy reálných konstnt). Poznámk Smozřejmě, pokud čtenář umí zcházet se součtovými vzorci pro goniometrické funkce všimne si, že ( 1) k = cos(kπ), lze předchozí cvičení vyřešit mnohem sndněji použitím Věty o ritmetice řd (Vět ). Příkld Řdy podle Dirichletov kritéri. k=1 sin k k, k=1 sin3 k k ( 1) k sin 3 k k=1 k jsou konvergentní Pro důkz toho, že zkoumná řd nekonverguje, máme jedinou přímou metodu sice porušení B-C podmínky (přípdně porušení nutné podmínky konvergence, což je ovšem speciální přípd B-C podmínky). Příkld Ukžme, že nekonverguje řd k=1 sin k k. K porušení B-C podmínky využijeme toho, že pro velká k jsou řetězce členů stejného znménk velmi dlouhé. Předně si povšimněme, že k + 1 k = 1 k k 1 2 k. Pro kždé m N zvolme k m N tkové, že k m [2mπ + π 6, 2mπ + π 4 ] (spoň jedno tkové číslo existovt musí, neboť pro m 1 prcujeme nprvo od bodu 2π, tedy k 6, odtud k + 1 k k 12, proto není možné, by dvojice k k + 1 přeskočil intervl délky π 12 > 1 12 ). Z odhdu výše tké vidíme, že km + j [2mπ + π 6, 2mπ + 5π 6 ] pro j = 0, 1, 2,..., 2[ k m ]. Odtud k m+2[ k m] k=k m k m+2[ k sin k m] 1 2 k 2 = 1 k k=k m 4 (2[ k m ] + 1) 1 k m 2 km = 1 k m 2. m Nedá se proto splnit B-C podmínk s volbou ε = 1 2. Výpočet spojený s porušením B-C podmínky bývá čsto zdlouhvý. Občs se proto vypltí jít n příkld oklikou. Příkld Ukžme, že řd k=1 sin2 k k k=1 sin 2 k k = k=1 nekonverguje. Máme ( 1 2k cos(2k) ). 2k Protože řd cos(2k) k=1 2k konverguje podle Dirichletov kritéri (Vět 8.4.1), pokud by konvergovl nše řd, podle ritmetiky řd by konvergovl i řd tím bychom dostli spor. k=1 1 2k

25 8.5. PŘEROVNÁVÁNÍ ŘAD A SOUČIN ŘAD Přerovnávání řd součin řd V dlším si ukážeme, že n součet bsolutně konvergentní řdy nemá přerovnání členů žádný vliv. Nproti tomu u nebsolutně konvergentních řd může mít tto operce závžné následky. Definice (Přerovnání řdy). Nechť { k } R ϕ: N N je bijekce. Pk řdu k=1 ϕ(k) nzveme přerovnáním řdy k=1 k (odpovídjícím bijekci ϕ). Definice (Kldná záporná část). Nechť x R. Kldnou část čísl x definujeme jko x + := mx{x, 0} zápornou část jko x := mx{ x, 0}. Příkld Pro x 0 máme x + = x x = 0, pro x 0 máme x + = 0 x = x = x. Vždy pltí x = x + x x = x + + x. Vět (Chrkterizce bsolutní nebsolutní konvergence). Nechť { k } R. Pk (i) k=1 k konverguje bsolutně k=1 + k k=1 k konvergují. (ii) k=1 k konverguje nebsolutně = k=1 + k = k=1 k =. Důkz. V části (i) plyne implikce z odhdů 0 + k k 0 k k. Implikce plyne z identity k = + k + k ritmetiky konvergentních řd. V části (ii) máme = k=1 k = k=1 (+ k + k ). Alespoň jedn z řd n prvé strně implikce proto musí mít nekonečný součet. Protože zároveň k=1 k = k=1 (+ k k ) konverguje, podle ritmetiky řd nemůže mít nekonečný součet právě jedn řd n prvé strně dokzovné implikce. Poznámk Implikce v části (ii) se nedá otočit, jk ukzuje řd Vět (O přerovnání bsolutně konvergentní řdy). Nechť { k } R řd k=1 k konverguje bsolutně. Pk kždé její přerovnání konverguje bsolutně má stejný součet. Důkz. Nechť k=1 b k je přerovnáním k=1 k. Nejprve uvžme jednoduchý přípd { k } [0, ). Je-li n N, pk existuje k 0 N tkové, že {b 1,..., b n } { 1,..., k0 }, proto n k 0 b k k k R. k=1 k=1 Odtud k=1 b k má omezené monotonní částečné součty, tedy (bsolutně) konverguje pltí k=1 b k k=1 k. Prohozením rolí { k } {b k } dostáváme obrácenou nerovnost. Proto jsou součty obou řd stejné. V obecném přípdě si npíšeme k=1 b k = k=1 b+ k k=1 b k. Pro kždou z řd n prvé strně pltí výsledek dokázný výše. Odtud b k = b + k = + k = k. k=1 k=1 k=1 Absolutní konvergence plyne z konvergence řd k=1 b+ k, k=1 b k. b k k=1 k=1 k=1 k k=1

26 26 KAPITOLA 8. ČÍSELNÉ ŘADY Vět (Riemnnov vět o přerovnání nebsolutně konvergentní řdy). Nechť { k } R řd k=1 k konverguje nebsolutně. Pk pro kždé S R existuje přerovnání řdy k=1 k se součtem S. Důkz. Máme k=1 + k = k=1 k = k 0 pro k. Nechť nejprve S R. Zvolme n 1 N jko nejmenší přirozené číslo splňující S 1 := n 1 > S. Dále vezmeme m 1 N jko nejmenší přirozené číslo splňující S 2 := n m 1 < S. Nyní zse zvolíme n 2 > n 1 jko nejmenší číslo splňující S 3 := n m n n 2 > S. Dále pokrčujeme indukcí. Konstrukce se nikdy nezství, neboť =. Nvíc pro libovolné j N, j 2 máme k=1 k S 2j 1 S + n j j 0 S2j S m j j 0, k=1 + k = neboť vždy n i i, m i i k 0. Celkově dostáváme přerovnnou řdu se součtem S. Pokud S =, provedeme vrintu konstrukce s S 1 > 1, S 2 < 1, S 3 > 2, S 4 < 2, S 5 > 3, td. Pro S = prcujeme podobně. Nším dlším cílem je studovt součiny řd. Pro bsolutně konvergentní řdy k=1 k k=1 b k dostneme vzorec ( )( ) k b k = k=1 k=1 i b j. i,j=1 Výrz nprvo obshuje zápis sumy, s nímž jsme se dosud nesetkli neumíme s ním prcovt. Zčneme tedy optrně definicí. Definice (Zobecněná řd její konvergence). Nechť M je spočetná množin (existuje bijekce mezi M N). Řekneme, že zobecněná řd m M m konverguje, jestliže existuje tková bijekce ϕ: N M, že k=1 ϕ(k) je bsolutně konvergentní. Pk definujeme m M m := k=1 ϕ(k). Poznámk Protože bsolutně konvergentní řdy mjí součet stbilní vůči přerovnání, pokud existuje jedn bijekce s vlstností z definice, všechny osttní bijekce mezi N M dávjí bsolutně konvergentní řdy se stejným součtem. Příkld Uvžme M = N 2 řdu (i,j) N 2 2 (i+j). Uvžme bijekci ϕ, která prvky N 2 seřdí do posloupnosti (1, 1), (2, 1), (1, 2), (3, 1), (2, 2), (1, 3), (4, 1),....

27 8.5. PŘEROVNÁVÁNÍ ŘAD A SOUČIN ŘAD 27 V tomto přípdě máme S := ϕ(k) = k=1 Dostáváme bsolutně konvergentní řdu (porovnejte částečné součty nší řdy s částečnými součty řdy k=1 k2 k 1, jejíž konvergenci umíte ověřit pomocí odmocninového kritéri). Odtud (i,j) N 2 2 (i+j) = S (ztím S neumíme vyčíslit, le již brzy to umět budeme) tento výsledek nezávisí n volbě bijekce mezi N 2 N. Poznámk Čsto se pro (i,j) N 2 (i,j) používá znčení i,j=1 i,j nebo i,j=1 ij. Vět (Cuchyov vět o součinu řd). Nechť { k }, {b k } R nechť řdy k=1 k k=1 b k konvergují bsolutně. Pk je řd i,j=1 ib j bsolutně konvergentní pltí ( )( i b j = k b k ). i,j=1 k=1 Důkz. Definujme Ãn := n k=1 k, Bn := n k=1 b k pro kždé n N. Bijekci ϕ: N N 2 (jednotlivé složky budeme později znčit ϕ 1 ϕ 2 ) tentokrát zveďme konstrukcí k=1 (1, 1), (2, 1), (2, 2), (1, 2), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (2, 3), (1, 3), (4, 1),.... Dále definujme S n := n k=1 ϕ 1(k)b ϕ2(k) S n := n k=1 ϕ 1(k) b ϕ2(k) pro kždé n N. Absolutní konvergence i,j=1 ib j plyne z toho, že { S n } je neklesjící posloupnost splňující n 2 n n S n 2 = ϕ1(k) b ϕ2(k) = i b j = Ãn B n i b j. k=1 i=1 j=1 Proto je tké k=1 ϕ 1(k)b ϕ2(k) konvergentní pltí i b j : = ϕ1(k)b ϕ2(k) = lim S n = lim S n n n 2 = lim n 2 n i,j=1 k=1 ( n )( n ) = lim i b j = n i=1 j=1 i i=1 j=1 b j. i=1 k=1 j=1 ϕ1(k)b ϕ2(k) Příkld Díky Větě dostáváme, že 2 (i+j) = 2 i 2 j = 1. (i,j) N 2 i=1 j=1

28 28 KAPITOLA 8. ČÍSELNÉ ŘADY 3 ϕ(9) ϕ(8) ϕ(7) 2 ϕ(4) ϕ(3) ϕ(6) 1 ϕ(1) ϕ(2) ϕ(5) Obrázek 8.2: Částečné znázornění bijekce z důkzu Cuchyovy věty. Poznámk Někdy se používá pro součin řd jiná bijekce, která se zpisuje jko ( i b j = i b j ). i,j=1 n=1 i+j=n+1 Tento vzth se tké někdy nzývá Cuchyův vzorec. 3 2 ϕ(6) ϕ(3) ϕ(5) 1 ϕ(1) ϕ(2) ϕ(4) Obrázek 8.3: Částečné znázornění bijekce z Poznámky Metod ritmetických průměrů cesrovské součty Nyní se budeme zbývt otázkou, zd je možné nekonvergentní řdě přiřdit číslo, které bude mít lespoň částečně vlstnosti jejího součtu. Náš přístup bude zložen n následující konstrukci. Lemm (O konvergenci ritmetických průměrů). Nechť { k } R splňuje lim k k = A R. Definujme posloupnost {b k } předpisem b 1 = 1, b 2 = , b 3 = ,..., neboli b j = 1 3 j j k. k=1

29 8.6. ARITMETICKÉ PRŮMĚRY, CESAROVSKÉ SOUČTY 29 Pk lim k b k = A. Důkz. Budeme se zbývt jen přípdem A R, v osttních přípdech se použije podobná myšlenk. Zvolme ε > 0. Pk existuje k 0 N tk, že A ε < k < A + ε pro k > k 0. Je-li potom k > k 0 dosttečně velké, dostáváme b k = k k = k0 k b k = k0 + k k k 0 k k k 0 k > ε + A ε ε( A + ε). Proto lim k b k = A. + k k k k 0 < ε + A + ε k k 0 k k k k k 0 Poznámk Obrácená implikce nepltí. Abychom to demonstrovli, uvžme posloupnost { k } = {( 1) k }. Tto posloupnost limitu nemá. Pro ritmetické průměry všk pltí {b k } = { 1, 0, 1 3, 0, 1 5,... } lim k b k = 0. Příkld Z teorie Tylorových rozvojů víme, že 1 1 x = x k n ( 1, 1). k=0 Jinými slovy, máme posloupnost polynomů {P k } tkových, že st P k = k pro kždé k N 0 P k (x) 1 1 x pro kždé x ( 1, 1) ( v žádném jiném bodě to nepltí). Pokud všk definujeme polynomy Q k := 1 k + 1 k P j, dostáváme posloupnost polynomů stupně k s o něco lepší proximční vlstností Q k (x) 1 1 x pro kžké x [ 1, 1). Poznámk Výsledek předchozího příkldu, tedy získání konvergence v jednom bodě nvíc, není příliš oslnivý. Později se budeme zbývt teorií Fourierových řd, tedy rozvojů typu f(x) = j=0 ( ck cos(kx) + d k sin(kx) ) k=0 ({ k }, {b k } jsou posloupnosti reálných koeficientů), kde metod ritmetických průměrů přináší podsttně zjímvější výsledky. Poznmenejme ještě, že Fourierovy řdy mjí široké upltnění od teorie prciálních diferenciálních rovnic ž třeb po zprcování zvukového záznmu.

30 30 KAPITOLA 8. ČÍSELNÉ ŘADY Metod ritmetických průměrů plikovná n částečné součty posloupnosti { k } má vlstní stručnou terminologii dnou následující definicí. Definice (Cesrovská sčíttelnost). Nechť { n } R. Pro všechn n N definujme S n = n k=1 k σ n = 1 n n k=1 S k. Řekneme, že k=1 k je cesrovsky sčíttelná, jestliže lim n σ n R. Číslo A := lim n σ n pk nzveme cesrovským součtem řdy k=1 k píšeme (C, 1) k=1 k = A. Poznámk Podle Lemmtu o konvergenci ritmetických průměrů (Lemm 8.6.1) je kždá konvergentní řd cesrovsky sčíttelná součty v obou smyslech jsou totožné. Poznámk Metod ritmetických průměrů se dá iterovt. Pro posloupnost { k } definujme (použijeme trochu odlišné znčení od definice) n s 0 n := s n = k, k=1 s 1 n := 1 n n s 0 k, k=1 s 2 n := 1 n n s 1 k,... k=1 (pozor, horní index není mocnin). Řdu k=1 k nzveme (C, r)-sčíttelnou, jestliže lim n s r n R. Pk píšeme (C, r) k=1 k = lim n s r n. Je-li řd (C, r)- sčíttelná, je i (C, s)-sčíttelná pro kždé s r (podle Lemmtu o konvergenci ritmetických průměrů, tedy Lemmtu 8.6.1). Tto implikce se nedá obrátit. Příkld Položme { k } = {1, 2, 3, 4, 5,... }. Pk posloupnost částečných součtů je {S k } = {s 0 k } = {1, 1, 2, 2, 3,... }, proto k=1 k nekonverguje (klsická konvergence je totéž, co (C, 0)-sčíttelnost). Dále máme {s 1 k } = {1, 0, 2 3, 0, 3 5,... }. Cesrovské součty (podle definice) řdy k=1 k tké nekonvergují. Povšimneme-li si všk, že pro kždé m N pltí s 1 2m = 0 s 1 2m 1 =, plyne odsud, že m 2m lim n s2 n = 1 4, proto (C, 2) k = Dodtek k číselným řdám: nekonečné součiny Nechť {p k } (0, ) je posloupnost. Symbol k=1 p k nzýváme nekonečným součinem. K jeho vyčíslení definujme P n = p 1 p 2... p n. Nekonečný součin nzveme konvergentní, jestliže existuje vlstní nenulová lim n P n =: P. Pk píšeme p k := P. k=1 Vět (Nutná podmínk konvergence). Nechť posloupnost {p k } (0, ) nechť k=1 p k konverguje. Pk lim n p n = 1. k=1

31 8.7. DODATEK K ČÍSELNÝM ŘADÁM: NEKONEČNÉ SOUČINY 31 Důkz. Jestliže k=1 p k konverguje, máme p k+1 = P k+1 P k P P = 1. Poznámk Vynechání, přidání či změn konečného počtu činitelů neovlivní konvergenci nekonečného součinu. Pokud P n P (0, ), máme ze spojitosti funkce log log P = log( lim n P n) = lim n log(p n) = lim log(p 1... p n ) = lim n n n log p k = log p k, tedy k=1 log p k konverguje. Tto implikce se dá zřejmě otočit. Existuje le ještě jednodušší chrkterizce konvergence nekonečného součinu, v níž prcujeme s u k := p k 1 ( 1, ). Vět (Chrkterizce konvergence nekonečného součinu). Nechť posloupnost {u k } (0, ) nebo {u k } ( 1, 0). Pk nekonečný součin k=1 (1 + u k) konverguje právě tehdy, když konverguje řd k=1 u k. log(1+x) Důkz. Nejprve si povšimněme, že díky tomu, že lim x 0 x = 1, existuje δ > 0 tkové, že k=1 k=1 1 log(1 + x) 2 pro x ( δ, δ) \ {0}. 2 x V dlším uvžujme přípd {u k } (0, ). Dokžme implikci. Pokud konverguje k=1 (1 + u k), z nutné podmínky konvergence součinu dostáváme u k 0. Proto u k < δ od jistého k 0 N. Nvíc jsme si výše ukázli, že k=1 log(1 + u k) konverguje. Celkově < 1 log(1 + u k ) u k 2 log(1 + u k ) <. 2 k=k 0 k=k 0 k=k 0 Protože konvergence řdy nezávisí n chování konečného počtu členů, máme konvergenci k=1 u k. Dokžme nyní implikci. Pokud konverguje k=k 0 u k, z nutné podmínky konvergence řdy dostáváme, že u k < δ od jistého k 0 N. Důkz dokončíme pomocí nerovností < 1 u k log(1 + u k ) 2 u k <. 2 k=k 0 k=k 0 k=k 0 V přípdě {u k } ( 1, 0) postupujeme podobně.

32 32 KAPITOLA 8. ČÍSELNÉ ŘADY Příkld (Cntorovo discontinuum kldné délky). V kpitole z prvního dílu skript věnovné hlubším vlstnostem spojitých diferencovtelných funkcí jsme si předstvili Cntorovo discontinuum C [0, 1]. Získli jsme jej tk, že jsme z intervlu [0, 1] nejprve vynechli prostřední třetinu. V dlším kroku vynecháme prostřední třetinu v kždém ze vzniklých podintervlů tkto pokrčujeme dále. Získáme neprázdnou množinu C (npříkld 0, 1, 1 3, 2 3 leží v C). Dá se nhlédnout, že kždý bod této množiny se dá ztotožnit s nekonečnou posloupností nul jedniček. Množin C je tedy nespočetná má stejnou mohutnost jko [0, 1]. N druhou strnu vzniklá množin je v jistém smyslu velice mlá, neboť v kždém okolí libovolného bodu z [0, 1] njdeme otevřený intervl, který má s C prázdný průnik (srovnejte s rcionálními čísly, která mjí s kždým otevřeným intervlem neprázdný průnik, třebže jsou spočetná). Nvíc celková délk vynechných intervlů je = 1 ( 2 ) k 1 1 = k=0 = 1. Pokud bychom nevynechávli prostřední třetinu, le intervl délky q (0, 1), dostli bychom stejné vlstnosti, neboť q + (1 q)q + (1 q) 2 q + = q (1 q) k 1 = q 1 (1 q) = 1. Podívejme se n věc nyní trochu jink, po k-tém kroku má ořezná množin celkovou délku q n. Pokud budeme v jednotlivých krocích vhodně měnit délku vynechných částí, můžeme dostt odlišný výsledek. Skutečně, protože npříkld k=0 k=2 1 k 2 konverguje, konverguje rovněž nekonečný součin k=2 (1 1 k ). Pokud tedy v prvním kroku vynecháme prostřední čtvrtinu intervlu [0, 1], ve druhém kroku pro- 2 střední devítinu vzniklých intervlů, td., získáme Cntorovo discontinuum kldné délky.

V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.

V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží. NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:

Více

OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL

OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL Zobecnění Newtonov nebo Riemnnov integrálu se definují různým způsobem dostnou se někdy různé, někdy stejné pojmy. V tomto textu bude postup volen jko zobecnění Newtonov integrálu,

Více

NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.

NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží. NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.

4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje. 4. přednášk 22. říjn 2007 Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když kždá cuchyovská posloupnost bodů v M konverguje. Příkldy. 1. Euklidovský prostor R je úplný, kždá cuchyovská posloupnost

Více

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.

Více

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Primitivní funkce Definice. Nechť funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f n intervlu

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA

Zavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA Zvedení vlstnosti reálných čísel Reálná čísl jsou zákldním kmenem mtemtické nlýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní mtemtické nlýzy, le množin reálných čísel R je pro mtemtickou nlýzu zákldním

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Obecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)

Obecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4) KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1

Více

Definice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1

Definice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1 9. Vriční počet. Definice. Nechť k 0 celé, < b R. Definujeme C k ([, b]) = { ỹ [,b] : ỹ C k (R) } ; C 0 ([, b]) = { y C ([, b]) : y() = y(b) = 0 }. Důležitá konstrukce. Shlzovcí funkce (molifiér, bump

Více

integrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.

integrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu. Přednášk 1 Určitý integrál V této přednášce se budeme zbývt určitým integrálem. Eistuje několik definic určitého integrálu funkce jedné reálné proměnné. Jednotlivé integrály se liší v tom, jké funkce lze

Více

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí 10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou

Více

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci

Více

ZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x.

ZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x. VARIAČNÍ POČET ZÁKLADY V prxi se čsto hledjí křivky nebo plochy, které minimlizují nebo mximlizují jisté hodnoty. Npř. se hledá nejkrtší spojnice dvou bodů n dné ploše, nebo tvr zvěšeného ln (má minimální

Více

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby: .. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto

Více

8. cvičení z Matematiky 2

8. cvičení z Matematiky 2 8. cvičení z Mtemtiky 2 11.-1. dubn 2016 8.1 Njděte tři pozitivní čísl jejichž součin je mximální, jejichž součet je roven 100. Zdání příkldu lze interpretovt tké tk, že hledáme mximální objem kvádru,

Více

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()

Více

NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018

NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018 Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 6 6 4

Více

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož

Více

6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace

6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál výpočet, plikce T. Slč, MÚ MFF UK ZS 2017/18 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 1 / 13 6.1 Newtonův integrál Definice 6.1 Řekneme,

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel

Více

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c ) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším

Více

17 Křivky v rovině a prostoru

17 Křivky v rovině a prostoru 17 Křivky v rovině prostoru Definice 17.1 (rovinné křivky souvisejících pojmů). 1. Nechť F (t) [ϕ(t), ψ(t)] je 2-funkce spojitá n, b. Rovinnou křivkou nzveme množinu : {F (t) : t, b } R 2. 2-funkce F [ϕ,

Více

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 5

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 5 Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 5 Preklkulus 7. Reálná čísl................................................ 7. Funkce jejich zákldní vlstnosti...................................

Více

LEKCE10-RAD Otázky

LEKCE10-RAD Otázky Řady -ekv ne ŘADY ČÍSEL 1. limita posloupnosti (operace založená na vzdálenosti bodů) 2. supremum nebo infimum posloupnosti (operace založená na uspořádání bodů). Z hlavních struktur reálných čísel zbývá

Více

Integrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)

Integrální počet - III. část (určitý vlastní integrál) Integrální počet - III. část (určitý vlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednášk z AMA1 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 18 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)

Více

Riemannův určitý integrál.

Riemannův určitý integrál. Riemnnův určitý integrál. Definice 1. Budiž

Více

Integrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)

Integrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace) Integrální počet - II. část (určitý integrál jeho plikce) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednášk z ESMAT Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 23 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)

Více

je jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.

je jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5. 10. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Je-li f : (, b) C, pk lze funkci f povžovt z dvojici (u, v), kde u = Re f v = Im f. Rozdíl proti vektorovému poli je v tom, že jsou pro komplexní čísl definovány

Více

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Preklkulus 5. Reálná čísl................................................ 5. Funkce jejich zákldní vlstnosti....................................3

Více

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Přednáška 6, 7. listopadu 2014

Přednáška 6, 7. listopadu 2014 Přednáška 6, 7. listopadu 204 Část 3: nekonečné řady Základní definice. Nekonečná řada, krátce řada, je posloupnost reálných čísel (a n ) R uvedená v zápisu a n = a + a 2 + a 3 +..., spolu s metodou přiřazující

Více

Přednáška 9: Limita a spojitost

Přednáška 9: Limita a spojitost 4 / XI /, 5: Přednášk 9: Limit spojitost V minulých přednáškách jsme podrobněji prozkoumli důležitý pojem funkce. Při řešení konkrétních problémů se nše znlosti (npř. nměřená dt) zpisují jko funkční hodnoty

Více

NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 16. leden 2018

NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 16. leden 2018 Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 1 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 7 6

Více

Určete (v závislosti na parametru), zda daný integrál konverguje, respektive zda konverguje. dx = t 1/α 1 dt. sin x α dx =

Určete (v závislosti na parametru), zda daný integrál konverguje, respektive zda konverguje. dx = t 1/α 1 dt. sin x α dx = . cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Věta 1 (Abelovo-Dirichletovo kritérium konveregnce Newtonova integrálu). Necht a R, b R a necht a < b. Necht f : [a, b) R je

Více

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál 7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)

Více

množina, na které je zavedena určitá struktura. Zejména, součet každých dvou prvků X = [x 1,..., x n ] R n,

množina, na které je zavedena určitá struktura. Zejména, součet každých dvou prvků X = [x 1,..., x n ] R n, Náplní předmětu bude klkulus R n R (přípdně R m ). Proč se zbývt funkcemi více proměnných? V prxi je čsto třeb uvžovt veličiny, které závisejí n více než jedné proměnné, npř. objem rotčního kužele závisí

Více

Masarykova univerzita v Brně Ekonomicko správní fakulta. Matematika B. Miloslav Mikuĺık

Masarykova univerzita v Brně Ekonomicko správní fakulta. Matematika B. Miloslav Mikuĺık Msrykov univerzit v Brně Ekonomicko správní fkult Mtemtik B distnční studijní opor Miloslv Mikuĺık Luboš Buer Brno 2005 Tento projekt byl relizován z finnční podpory Evropské unie v rámci progrmu SOCRATES

Více

11. Číselné a mocninné řady

11. Číselné a mocninné řady 11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +

Více

f dx S(f, E) M(b a), kde D a E jsou

f dx S(f, E) M(b a), kde D a E jsou Přehled probrné látky z MAII, LS 2004/05 1. přednášk 21.2.2005. Opkování látky o primitivních funkcích ze závěru zimního semestru (23.-25. přednášk). Rozkld rcionální funkce n prciální zlomky. Popis hledání

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

5.5 Elementární funkce

5.5 Elementární funkce 5.5 Elementární funkce Lemm 5.20. Necht x R. Potom existuje kldné C R (závisející n x) tkové, že pro kždé n N h ( 1, 1) pltí (x + h) n x n nhx n 1 h 2 C n. Definice. Exponenciální funkci exp definujme

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1 Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,

Více

NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.

NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží. NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Bylo uvedeno, že rozdíl F (b) F () funkčních hodnot primitivní funkce k

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

f konverguje a g je omezená v (a, b), pak také konverguje integrál b a fg. Dirichletovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce

f konverguje a g je omezená v (a, b), pak také konverguje integrál b a fg. Dirichletovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce 1. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Abelovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce spojitá na [a, b) a funkce g : [a, b) R je na [a, b) spojitá

Více

1 Posloupnosti a řady.

1 Posloupnosti a řady. 1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26 Určitý integrál Zákldy vyšší mtemtiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu http://kdemie.ldf.mendelu.cz/cz

Více

Z aklady funkcion aln ı anal yzy Kubr Milan 16. ˇ cervna 2005

Z aklady funkcion aln ı anal yzy Kubr Milan 16. ˇ cervna 2005 Zákldy funkcionální nlýzy Kubr Miln 6. červn 2005 Obsh Metrické prostory.. Zákldní vlstnosti......................................2 Úplné, seprbilní kompktní prostory......................... 7.3 Zobrzení

Více

Řešené příklady k MAI III.

Řešené příklady k MAI III. Řešené příkldy k MAI III. Jkub Melk 28. říjn 2007 1 Obsh 1 Metrické prostory 2 1.1 Teoretickéotázky.... 2 1.2 Metriky..... 4 1.3 Anlýzmnožin... 4 1.3.1 Uzávěry... 4 1.3.2 Zkoumejtenásledujícímnožiny....

Více

4. cvičení z Matematiky 2

4. cvičení z Matematiky 2 4. cvičení z Mtemtiky 2 14.-18. březn 2016 4.1 Njděte ity (i (ii (iii (iv 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y 1 2 z 2 y 2 z yz 1 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 2 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 3 (i Pro funkci f(, y = 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y

Více

Obsah. 1 Základy matematické logiky Typy důkazů Matematická indukce Množiny Zobrazení množin... 12

Obsah. 1 Základy matematické logiky Typy důkazů Matematická indukce Množiny Zobrazení množin... 12 Mtemtická nlýz Obsh Zákldy mtemtické logiky 6. Typy důkzů.................... 7. Mtemtická indukce................ 9 Množiny. Zobrzení množin.................. 3 Reálná čísl 4 3. Mohutnost množin.................

Více

a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11

a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11 Mticový počet zákldní pojmy Mtice je obdélníkové schém tvru 2...... n 2 22. 2n A =, kde ij R ( i =,,m, j =,,n ) m m2. mn ij R se nzývjí prvky mtice o mtici o m řádcích n sloupcích říkáme, že je typu m/n

Více

R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na

R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.

Více

Učební text k přednášce Matematická analýza II (MAI055)

Učební text k přednášce Matematická analýza II (MAI055) Učební text k přednášce Mtemtická nlýz II (MAI055) Mrtin Klzr 20. červn 2007 Přednášk pokrývá v letním semestru následující látku:. Riemnnův integrál. 2. Posloupnosti řdy funkcí, mocninné řdy Fourierovy

Více

Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci

Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci Mtemtik 1A. PetrSlčJiříHozmn Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická Technická univerzit v Liberci petr.slc@tul.cz jiri.hozmn@tul.cz 21.11.2016 Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 1/

Více

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2 Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel

Více

Definice limit I

Definice limit I 08 Definice limit I Předpokld: 006 Pedgogická poznámk: N úvod je třeb upozornit, že tto hodin je ze strn studentů snd nejvíce sbotovnou látkou z celé studium (podle rekcí 4B009) Jejich ochot brát n vědomí

Více

Křivkový integrál funkce

Křivkový integrál funkce Kpitol 6 Křivkový integrál funkce efinice způsob výpočtu Hlvním motivem pro definici určitého integrálu funkce jedné proměnné byl úloh stnovit obsh oblsti omezené grfem dné funkce intervlem n ose x. Řd

Více

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Příkld 22 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je

Více

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Určitý integrál Petr Hsil Přednášk z mtemtiky Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Větu o spojitosti a jejich užití

Větu o spojitosti a jejich užití 0..7 Větu o spojitosti jejich užití Předpokldy: 706, 78, 006 Pedgogická poznámk: Při proírání této hodiny je tře mít n pměti, že všechny věty, které studentům sdělujete z jejich pohledu neuvěřitelně složitě

Více

Diferenciální počet. Spojitost funkce

Diferenciální počet. Spojitost funkce Dierenciální počet Spojitost unkce Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti

Více

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:

Více

DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE

DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE Obsh Derivce... Definice derivce... Prciální derivce... Derivce vektorů... Výpočt derivcí... 3 Algebrická

Více

Kapitola 1. Taylorův polynom

Kapitola 1. Taylorův polynom Kpitol Tylorův polynom Definice. Budeme psát f = o(g) v R, je-li lim x ( f )(x) =, f = O(g) g v R, je-li ( f ) omezená n nějkém U (). g Příkld. lim x (x + x + 3) 5 (x 5 x 3 + 7x 9) = lim x + o(x ) x x

Více

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x. KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015 Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =

Více

14. cvičení z Matematické analýzy 2

14. cvičení z Matematické analýzy 2 4. cvičení z temtické nlýzy 2 22. - 26. květn 27 4. Greenov vět) Použijte Greenovu větu k nlezení práce síly F x, y) 2xy, 4x 2 y 2 ) vykonné n částici podél křivky, která je hrnicí oblsti ohrničené křivkmi

Více

Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu

Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu 10.1.6 Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervlu Předpokldy: 10104, 10105 Př. 1: Nkresli, jk funkce f ( x ) dná grfem zobrzí vyznčené okolí bodu n ose x n osu y. Poté nkresli n osu x vzor okolí

Více

2.3 Aplikace v geometrii a fyzice Posloupnosti a řady funkcí Posloupnosti funkcí... 17

2.3 Aplikace v geometrii a fyzice Posloupnosti a řady funkcí Posloupnosti funkcí... 17 Obsh Derivce Integrály 6. Neurčité integrály.................. 6. Určité integrály....................3 Aplikce v geometrii fyzice............ 6 3 Posloupnosti řdy funkcí 7 3. Posloupnosti funkcí.................

Více

1. Těleso komplexních čísel Definice. Množinou komplexních čísel rozumíme množinu R 2.

1. Těleso komplexních čísel Definice. Množinou komplexních čísel rozumíme množinu R 2. 1. Těleso komplexních čísel Definice. Množinou komplexních čísel rozumíme množinu R 2. Množinu komplexních čísel znčíme C. N množině C definujeme operce sčítání + jko v R 2 násobení. předpisem (x, y).(u,

Více

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.

Více

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1] KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu

Více

Matematická analýza I (pro učitelské obory) Stanislav Trávníček Pavel Calábek Jaroslav Švrček

Matematická analýza I (pro učitelské obory) Stanislav Trávníček Pavel Calábek Jaroslav Švrček Mtemtická nlýz I (pro učitelské obory) Stnislv Trávníček Pvel Clábek Jroslv Švrček Mtemtická nlýz I (pro učitelské obory) Stnislv Trávníček Pvel Clábek Jroslv Švrček Obsh Úvod.........................................

Více

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To

Více

( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306

( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306 7.3.8 Nerovnice pro polorovinu Předpokldy: 736 Pedgogická poznámk: Příkld 1 není pro dlší průěh hodiny důležitý, má smysl pouze jko opkování zplnění čsu při zpisování do třídnice. Nemá smysl kvůli němu

Více

Newtonův a Riemannův integrál

Newtonův a Riemannův integrál Kpitol Newtonův Riemnnův integrál Motivem této kpitoly je konstrukce obecného postupu, kterým bychom zjistili obsh obrzce M f {(, y); (, b), y (, f())}, kde f je dná nezáporná funkce, b R. Množin M se

Více

10 Funkce více proměnných

10 Funkce více proměnných M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y

Více

Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62

Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62 Nekonečné řady Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 0. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 62 Obsah Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů 2 Kritéria

Více

rovnice 8.1 Úvod Kapitola 8

rovnice 8.1 Úvod Kapitola 8 Kpitol 8 Zobecněné lineární diferenciální rovnice 8.1 Úvod Všechny integrály v této kpitole jsou KS-integrály, jejichž definice je rozšířen ve smyslu odstvce 6.8 n mticové funkce (tj. funkce zobrzující

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 67. ročník mtemtické olympiády Úlohy krjského kol ktegorie A 1. Pvel střídvě vpisuje křížky kolečk do políček tbulky (zčíná křížkem). Když je tbulk celá vyplněná, výsledné skóre spočítá jko rozdíl X O,

Více

A DIRACOVA DISTRIBUCE 1. δ(x) dx = 1, δ(x) = 0 pro x 0. (1) Graficky znázorňujeme Diracovu distribuci šipkou jednotkové velikosti (viz obr. 1).

A DIRACOVA DISTRIBUCE 1. δ(x) dx = 1, δ(x) = 0 pro x 0. (1) Graficky znázorňujeme Diracovu distribuci šipkou jednotkové velikosti (viz obr. 1). A DIRACOVA DISTRIBUCE A Dircov distribuce A Definice Dircovy distribuce Dircovu distribuci δx) lze zvést třemi ekvivlentními způsoby ) Dirc [] ji zvedl vzthy δx) dx, δx) pro x ) Grficky znázorňujeme Dircovu

Více

Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)

Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál) Integrální počet - IV. část (plikce n určitý vlstní integrál, nevlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednášk z AMA Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4 Obsh

Více

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p. 1. V oboru reálných čísel řešte soustvu rovnic x 2 xy + y 2 = 7, x 2 y + xy 2 = 2. (J. Földes) Řešení. Protože druhou rovnici můžeme uprvit n tvr xy(x + y) = 2, uprvme podobně i první rovnici: (x + y)

Více

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25 56. ročník Mtemtické olympiády Úlohy domácí části I. kol ktegorie 1. Njděte všechny dvojice (, ) celých čísel, jež vyhovují rovnici + 7 + 6 + 5 + 4 + = 0. Řešení. Rovnici řešíme jko kvdrtickou s neznámou

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

1. Pokyny pro vypracování

1. Pokyny pro vypracování 1. Pokyny pro vyprcování Zvolený příkld z druhé kpitoly vyprcujte písemně (nejlépe vysázejte pomocí LATEXu) dodejte osobně po předchozí domluvě milem n krbek@physics.muni.cz. Dále si vyberte tři z jednodušších

Více

Integrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek

Integrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek Integrál jeho plikce Tomáš Mtoušek Křivk Definice.(Vektorováfunkce) Funkci ϕ:r R n,kteráreálnémučíslupřiřzuje n-tici reálných čísel(vektor), nzýváme funkcí vektorovou. Lze ji tké popst po složkáchjko ϕ(t)=(ϕ

Více

KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t

KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY Má-li se spočítt npř. spotřeb betonu n rovný plot s měnící se výškou, stčí spočítt integrál z této výšky podle zákldny plotu. o když je le zákldnou plotu nikoli rovná úsečk, le křivá

Více

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D Autor: Mgr. Jromír JUŘEK Kopírování jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleno poue s uvedením odku n www.jrjurek.c. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně

Více

( a) Okolí bodu

( a) Okolí bodu 0..5 Okolí bodu Předpokldy: 40 Pedgogická poznámk: Hodin zjevně překrčuje možnosti většiny studentů v 45 minutách. Myslím, že nemá cenu přethovt do dlší hodiny, příkldy s redukovnými okolími nejsou nutné,

Více