Summer Workshop of Applied Mechanics. Přibližné řešení nelineární a nekonvexní funkční optimalizační úlohy

Transkript

1 Summer Workshop of Applied echnics June 2002 Deprtment of echnics Fculty of echnicl Engineering Czech Technicl University in Prgue Přibližné řešení nelineární nekonvexní funkční optimlizční úlohy ing. Tomáš reš Ústv mechniky, České vysoké učení technické Strojní fkult Technická Prh 6 e-mil: mres@sgi.fsid.cvut.cz Klíčová slov: funkční optimlizce, prmetrická optimlizce, vriční počet, geometrické progrmování, geometrická nerovnost Anotce Hlvní náplní článku je popis postupu vedoucího k získání přibližného řešení nelineární nekonvexní funkční optimlizční úlohy. Popisuje, co se rozumí pojmem funkční optimlizční úloh, tj. úloh o nlezení tkových funkcí, pro které dný funkonál doshuje svého extrému při splnění vedlejších podmínek ve tvru diferenálních integrálních rovnic nerovnic, jk tuto úlohu užitím Glerkinovy metody trnsformovt n prmetrickou optimlizční úlohu speálního tvru, kterou lze řešit s užitím geometrického progrmování. 1 Úvod Jedním ze zákldních úkolů inženýr je nvrhování konstrukcí. Při konstruování tvoří systém vyhovující účelovým poždvkům npř. pevnostní podmínky, podmínky tuhosti) při součsném minimlizování těch fktorů, které zmenšují jsou-li veliké) efektivitu systému npř. hmotnost). Tvůrčí čin v konstruování není skutkem stvoření ve smyslu Strého zákon. Konstruktér netvoří něco nového n místě, kde dosud nic není. Vybírá, odkrývá, přeskupuje kombinuje. Tomuto procesu se říká syntéz. Syntéz je ronální rozumový) 136

2 přístup ke konstruování, při kterém konstruktér nkládá se známými skutečnostmi, myšlenkmi, možnostmi, rovnicemi dlšími informcemi, by dosáhl svého konstrukčního cíle. Znlost těchto informcí předstvuje nlytickou schopnost určit změnit návrhové proměnné s ohledem k jejich vlivu n efektivitu nvrhovného systému. Prinp konstrukční optimlizce spočívá v tkové volbě změnitelných tedy těch, které lze měnit nvrhovt) fktorů činitelů), by efektivit systému byl mximální, při součsném splnění poždvku účelovosti vyjádřeného ve formě vedlejší podmínky. Teorie výpočetního konstruování 1 se většinou soustředí pouze n určení optimálních rozměrů pro různé druhy forem při dném ztížení n určení tendencí, které vycházejí z pozorování srovnání dosžených výsledků. Proces průběh) konstrukční optimlizce se skládá z více fází, které zhrnují poznání vnějších podmínek, dále stnovení kritérií určení optim, kde slovo optimum definujeme následujícím způsobem. Optimální uspořádání konstrukce její form rozměry je tkové uspořádání, které je dle jistého zvoleného) hledisk tj. kritéri určení optim) to nejlepší ze všech uspořádání, která jsou přijtelná při dných vedlejších podmínkách pro splnění dného účelu. Dlší fází návrhového procesu je spefikce formy. Tto fáze návrhového procesu je z hledisk plikování nlytického postupu snd nejobtížnější. Hledání dokonlé formy konstrukce je nekončícím rysem konstruování nelze douft v uzvření nlytického postupu jeho převedení do nějké rovnosti. Poté, co je vybrán form konstrukce npsán její mtemtický model, je nutné provést volbu návrhových proměnných. Souběžně s předcházejícími fázemi probíhá stnovení vedlejších podmínek. N toto místo ptří npříkld pevnostní podmínky, podmínky mximální povolené deformce tzv. podmínk tuhosti), geometrické podmínky, pod. Předcházející fáze je možné shrnout též pod oznčení technická formulce konstrukčních cílů sestvení mtemtického modelu fyzikálně zjednodušené technické úlohy. Následuje poslední fáze zvná optimlizce, kterou lze rozdělit do více kroků. Nejprve je nutné vybrt vhodnou mtemtickou optimlizční metodu formlizovt extremální úlohu ve vhodném tvru. temtických optimlizčních metod je celá řd většinou jen úzká jejich skupin je vhodná k řešení dné úlohy kždá z těchto metod obecně vyžduje jiný formlizovný tvr extremální úlohy. Následuje mtemtické řešení formlizovné extremální úlohy. Pro tkto získné řešení mtemtické úlohy je nutno provést technickou interpret získného řešení. Právě popsný proces se nzývá konstrukční optimlizce. 1 Tímto se rozumí t část konstrukčního procesu, kdy se provádějí pevnostní tuhostní výpočty. 137

3 2 Funkční optimlizce noho konstrukčních optimlizčních úloh je zloženo n problému nlezení minim dného funkonálu 2 b F x, y 1 x), y 2 x),..., y n x), y 1x), y 2x),..., y nx)) dx 1) při splnění vedlejších podmínek ve tvru diferenálních rovnic nerovnic Φ j x, y 1 x), y 2 x),..., y n x), y 1x), y 2x),..., y nx)) = 0 j = 1, 2,..., k) 2) Φ j x, y 1 x), y 2 x),..., y n x), y 1x), y 2x),..., y nx)) 0 j = k + 1, k + 2,..., K) 3) s nějkými okrjovými podmínkmi, dále při splnění vedlejších podmínek ve tvru integrálních rovnic nerovnic b Φ j x, y 1 x), y 2 x),..., y n x), y 1x), y 2x),..., y nx)) dx = L j j = K + 1, K + 2,..., p) 4) b Φ j x, y 1 x), y 2 x),..., y n x), y 1x), y 2x),..., y nx)) dx L j j = p + 1, p + 2,..., P ) 5) Tento typ optimlizční úlohy se nzývá funkční optimlizce, ježto je hledán nejen extrém dného funkonálu, le zejmén funkce v nichž je tohoto extrému dosženo. temtická displín, která se věnuje tomuto problému, se nzývá vriční počet 3. 2 Nlezením minim funkonálu se rozumí nlezení jk hodnoty tohoto minim tk funkcí y 1 x), y 2 x),..., y n x), pro něž bylo tohoto minim dosženo. 3 Viz [2],[8],[9]. Z rok zrodu vričního počtu se obvykle pokládá rok 1696, rok v němž se objevilo pojednání Johnn Bernoulliho s provokujícím názvem: Problem novum, d cujus solutionen mthemti 138

4 Podle teorie vričního počtu vyhovuje řešení zmíněného problému systému diferenálních rovnic mjících tvr H yi d dx H y i = 0, 4 i = 1, 2,..., n, n + 1, n + 2,..., n + K k), 6) Φ j = 0, j = 1, 2,..., k), 7) kde Φ j + y 2 n+j k = 0, j = k + 1, k + 2,..., K), 8) H = F + k λ j x)φ j + j=1 K j=k+1 λ j x) ) p Φ j + yn+j k 2 + j=k+1 λ j Φ j + P j=p+1 λ j Φ j. 9) Ve vzthu 9) vystupují neznámé přídvné funkce y i x), i = n+1, n+2,..., n+ K k, neznámé Lgrngeovy multiplikční funkce λ j x), j = 1, 2,..., k, k+1,..., K neznámé Lgrngeovy multiplikční konstnty λ j, j = K + 1, K + 2,..., p, p + 1,..., P. Po rozřešení soustvy n+2k k diferenálních rovnic 4) ž 8) pro n+2k k neznámých funkcí y i x), i = 1, 2,..., n + K k) λ j x), j = 1, 2,..., K) zbývá vyřešit velikost Lgrngeových multiplikčních konstnt λ j, j = K +1, K +2,..., P ) jistého počtu integrčních konstnt. Velikost těchto konstnt je určen dnými okrjovými podmínkmi, rovnicemi 4) 5 nerovnostmi 5) 6 při součsné minimliz invitntur, tedy Nová úloh, k jejímuž řešení zveme mtemtiky. Srvn. [1] str. 20.) V ní byl formulován následující probém tzv. úloh o brchystochroně brchys znmená řecky krátký): Ve vertikální rovině jsou dány dv body A B. Njděte dráhu AB, po níž se těleso působením vlstní tíže dostne z bodu A do bodu B z nejkrtší dobu. Vzdálené nrážky n formul úlohy o brchystochroně jsou obsženy již v Glileových besedách. Tm se dokzuje, že když se těleso pohybuje po sečně kružnice, dostne se do konečného bodu později, než pohybuje-li se po příslušném oblouku.) Tuto úlohu rozřešil sám Johnn Bernoulli, le tké Leibniz, Jcob Bernoulli ještě jeden nonymní utor, ve kterém znl dle slov Johnn Bernoulliho ex unge leonem, tj. podle drápů - poznjí - lv, lt.) ihned poznli Newton. 4 Zde H yi = H y i. 5 Po doszení obecného řešení provedení integrce se jedná o soustvu lgebrických rovnic. 6 Vedlejší podmínku mjící tvr vzthů 5) lze uvžovt jko rovnost b Φdx = l } {{ } ) 139

5 funkce, která vznikne doszením obecného řešení diferenálních rovnic 4) ž 8) do funkonálu 1) jeho následnou integrcí. Zmíněné rovnice 4) ž 8) jsou všk velice čsto nelineární obtížně řešitelné. To je důvod, který vede k myšlence trnsformovt dnou funkční optimlizční úlohu n úlohu prmetrické optimlizce. Vhodným způsobem tkovéto trnsformce je npříkld Glerkinov metod s bázovými funkcemi sestvenými dle metody konečných prvků. 7 3 Glerkinov metod Glerkinov metod je jednou z Vričních metod 8, pomocí které lze njít přibližné řešení operátorové rovnice Au = f, 10) kde operátor A, který je definován n nějkém prostoru V, nemusí být lineární. Přibližné řešení rovnice 10) se hledá ve tvru u h = h X k ϕ k, 11) k=1 kde ϕ k je bází prostoru V h, který je konečně rozměrným podprostorem prostoru V. Uvedený bázový systém je vhodné vytvořit n zákldě metody konečných prvků. Neznámé koefienty X k přibližného řešení 11) rovnice 10), která nbývá tvr Au h = f, 12) splňují rovnice Au h f, v h ) = 0 v h V h, 13) nerovnost l L. Podle teorie vričního počtu lze konstntu λ, určit z rovnice ) po vyřešení příslušných Eulerových diferenálních rovnic. V přípdě nerovnic 5) tedy hledám tkové konstnty λ j, j = K + 1, K + 2,..., P ) tkové integrční konstnty, které minimlizují funk, vzniklou doszením obecného řešení do dného funkonálu provedením integrce, při součsném splnění zmíněných integrálních nerovnic, které jsou podobně jko cílový funkonál trnsformovány n lgebrické nerovnosti které zároveň splňují jk rovnice vzniklé podle poznámky 5 tk okrjové podmínky. 7 Dlšími vhodnými metodmi trnsformce funkční optimlizční úlohy n prmetrickou jsou npříkld metod kolokční [14] str. 285 či metod sítí tmtéž n str. 243 [13] II. díl str Podrobně je o vričních metodách řešení diferenálních rovnic pojednáno npříkld v prcích [4], [5], [11]. 140

6 kde z v h volíme postupně všechny bázové funkce ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ h kde sklární součin má tvr u, v) = Ω ux) vx)dx. 14) Je-li podprostor V h dosttečně plný, potom se předpokládá, že reziduum zbytek) Au h f bude mlé, jelikož bude ortogonální ke kždému prvku podprostoru V h. Zodpovězení otázky konvergence odhdu chyby je v příddě nelineárních úloh obtížné 9. etod konečných prvků je Ritzovou metodou, popř. Glerkinovou metodou, se speální volbou konečně dimenzionálního podprostoru V h prostoru V ) jeho báze, která užitečně kombinuje vlstnosti vričních diferenčních metod. etod konečných prvků je popsán v mnoh knihách monogrfiích. Hledáme-li řešení nší optimlizční úlohy při splnění vedlejších podmínek ve tvru integrálním 4) 5), stčí-li nám řešení přibližné, potom lze toto řešení hledt ve tvru 11) 10. Doszením do vzthů 1), 4) 5), provedením integrcí přípdných lgebrických úprv dostáváme prmetrickou optimlizční úlohu tvru 19) 20), uvedenou níže. Uvžujeme-li vedlejší podmínky ve tvru diferenálním 2) 3) spolu s nějkými okrjovými podmínkmi, potom je možné převést tyto vedlejší podmínky n tvr 20) užitím Glerkinovy metody vyjádřené vzthem 13). Podrobný popis postupu zmíněné trnsformce následuje. 4 Trnsformce funkční optimlizce n optimliz prmetrickou Trnsform funkční optimlizční úlohy n úlohu optimlizce prmetrické provedenou způsobem shor nznčeným je nutné zpočít volbou vhodného podprostoru V h prostoru V tedy bázových funkcí ϕ k. 11 Potom lze přibližné řešení nší optimlizční úlohy 1) ž 5) psát ve tvru y h i = h X i 1)h+r ϕ r, i = 1, 2,..., n). 15) r=1 Doszením y h i dle vzthu 15) do cílové funkce 1), do integrálních vedlejších pod- 9 Srvn. [4], [5], [6]. 10 Srvn. Fourierovy řdy s obecnou bází. 11 Jk bylo shor nznčeno vhodnou metodou pro volbu bázových funkcí je metod konečných prvků. 141

7 mínek 4), 5) do vzthů Přibližné řešení nelineární nekonvexní funkční optimlizční úlohy Φj y h ), ϕ r ) = 0, r = 1, 2,..., h), j = 1, 2,..., k) 12, 16) nhrzujících diferenální vedlejší podmínky 2) pltí-li 13 potom tké do vzthů ϕ r x) 0 x, b r = 1, 2,..., h, 17) Φj y h ), ϕ r ) 0, r = 1, 2,..., h), j = k + 1, k + 2,..., K), 18) nhrzujících diferenální vedlejší podmínky 3) 14 dostáváme po přípdných lgebrických úprvách prmetrickou optimlizční úlohu njít minimum funkce g 0 = c i při splnění vedlejších podmínek mjících tvr µ, = n h, 19) 0 < z k g z k k 1, k = 1, 2,..., q), 20) 12 Zde y = y 1 x), y 2 x),..., y n x)). 13 Pro Φ x, yx)) 0 existuje tková funkce tx), že Φ x, yx)) + t 2 x) = 0. Ježto pltí Φ x, yx)) + t 2 x), ϕx) ) = Φ x, yx)), ϕx)) + t 2 x), ϕx) ) = 0, pltí tké Φ x, yx)), ϕx)) 0, jelikož t 2 x), ϕx) ) 0 ϕx) 0, x, b. Pokud není splněn relce ϕ r x) 0, x, b, r = 1, 2,..., h) je nutné zvést přídvné funkce y n+1, y n+2,..., y n+k k nerovnosti 3) nhrdit rovnostmi Φ j + y 2 n+j k = 0, j = k + 1, k + 2,..., K). 14 Výrzy 18) 12) jsou sestveny n zákldě Glerkinovy metody. 142

8 kde z k = 1 nebo 1 Přibližné řešení nelineární nekonvexní funkční optimlizční úlohy g k = m k c i µ, 21) kde q je počet vedlejších podmínek 20), m 0 počet členů cílové funkce, m k m k 1 ) počet členů k-té vedlejší podmínky, m = m q je celkový počet členů je počet návrhových veličin X µ. Ve vedlejších podmínkách 20) vystupují pouze nerovnosti, což je důsledkem té skutečnosti, že existuje mtemtická displín 15 řešící úlohu právě tohoto tvru. V přípdě vedlejších podmínek ve tvru rovnosti je čsto možné spojit jednu rovnost jednu nerovnost do jedné nerovnosti to je čsto přípd rovnice rovnováhy pevnostnostní podmínky) či je možno nhrdit jednu rovnost dvěm nerovnostmi Geometrické progrmování Termín progrmování se z historických důvodů používá pro oznčení mtemtické formulce prmetrických optimlizčních úloh pro metody jejich řešení. Geometrické progrmování je jednou tkovou formulcí metodou. Zmíněná formulce je, jk shor vidno, vyjádřen v třídě funkcí mjících tvr součtu součinů mocnin návrhových proměnných X µ známých koefientů c i. Již od čsů Pierre de Fermt 17 je známo, že jisté nerovnosti pomáhjí řešit speální optimlizční úlohy. V šedesátých letech dvcátého století pánové Peterson, Duffin Zener [12] prezně popsli využití vlstností nerovnosti uvádějící vzth mezi váženým ritmetickým průměrem váženým geometrickým průměrem, které se říká geometrická nerovnost, k řešení prmetrické optimlizční úlohy shor uvedeného 15 Nesoucí název geometrické progrmování. 16 Pro ilustr postupu této náhrdy srvn. n L i = n P i n n L i P i n n L i P i, z čehož dostáváme 1 n P i n i=2 L n i 1 L i n i=2 P i, L 1 P 1 zároveň pltí 1 = n P i n i=2 L n i > 0 1 = L i n i=2 P i > 0. L 1 P 1 17 Pierre de Fermt [-má] * 1601, Beumont de Lomgne, 12. I. 1665, Cstres. 143

9 tvru, v přípdě, že koefienty c i jsou všechny kldné fktory z k jsou rovny jedné. Postup řešení úlohy shor uvedené pro koefienty c i obou znmének pro hodnoty z k rovny jedné či méně jedné) byl sestven n zákldě shor tovné práce pnem D. J. Wildem [15] v letech sedmdesátých. Geometrická nerovnost říká že, vážený ritmetický průměr je nejméně tk veliký jko vážený geometrický průměr, tedy pltí m U i m U i, 22) kde U i jsou libovolná nezáporná čísl jsou libovolné kldné váhy, které splňují podmínku normy δ 1 + δ δ m = 1. 23) Geometrická nerovnost se nvíc stává rovností právě když U 1 = U 2 =... = U m. 24) Prinp využití geometrické nerovnosti 22) k řešení primární úlohy 19), 20) 18 si ukážeme n úloze nlézti minimum funkce g 0 dné vzthem 19) 19, kde všechny vystupující koefienty c i jsou kldné n kterou nejsou uvleny žádné vedlejší podmínky vyjm podmínky kldnosti návrhových veličin X µ. 20 Uvžujme tedy primární úlohu min g, 25) g = u 1 + u u m, kde u i = c i X i1 1 X i X i, 26) c i > 0, X µ > 0, i = 1, 2,..., m), µ = 1, 2,..., ). 27) Položením u i = U i 28) 18 Této úloze se v teorii geometrického progrmování říká primární úloh. 19 Funkce g 0 slove primární funkce. 20 Proměnné X µ se nzývjí primární proměnné. 144

10 dostáváme geometrickou nerovnost 22) ve tvru u 1 + u u m u1 δ 1 ) δ1 u2 δ 2 ) δ2... Doszením z u i dle 26) do posledního vzthu dostáváme um δ m ) δm. 29) kde g V, X µ ) = c1 δ 1 ) δ1 D µ = c2 δ 2 ) δ2... cm δ m ) δm X D 1 1 X D X D, 30) m iµ, µ = 1, 2,..., ). 31) Funk V, X µ ) proměnných δ 1, δ 2,..., δ m X 1, X 2,..., X se říká předduální funkce. Lze dokázt, 21 že minimum nší funkce g je rovno mximu duální funkce vδ) duálních proměnných při splnění + 1 lineárních vedlejších podmínek. Tedy kde min g = gx X µ µ) = mx V, X µ ) = V δ,x µ i, X µ) = v mx, 32) v ) = c1 v mx = mx v ), 33) ) δ1 ) δ2 ) δm c2 cm..., δ 1 δ 2 δ m při splnění lineárních vedlejších podmínek m iµ = 0, µ = 1, 2,..., ), 34) m = 1, 35) 0 22, i = 1, 2,..., m). 36) 21 Derivcí logritmu prvé strny výrzu 30). 22 Je-li = 0, potom uvžujeme ) δi =

11 Této úloze se říká úloh duální. Vzhledem k tomu, že funkce v má při uvžování c i > 0 0 mximum ve stejném bodě jko funkce 23 ln v, hledáme mximum konkávní 24 funkce ln v při splnění lineárních vedlejších podmínek 34), 35) 22). Je-li nvíc počet primárních proměnných X j o jednu menší nežli počet m členů u i funkce g, 25 potom vedlejší podmínky duální úlohy mjí pouze jedno řešení duální úloh se redukuje n řešení soustvy lineárních rovnic, což je skutečnost stojící zdůrznit. Njdeme-li bod δ i, v němž duální funkce v ) doshuje svého vázného mxim, pk minimlizční bod primární úlohy X 26 nlezneme užitím podmínky, že geometrická nerovnost se stává rovností jedině pltí-li 27 u i X ) = K, 37) kde K je konstnt shodná pro všechn i. Tto podmínk vede n vzth pro nlezení minimlizujícího bodu primární úlohy X µ ve tvru c i X i1 1 X i X i = vδ ) δ i, i = 1, 2,..., m) ) Vezmeme-li v úvhu shor položené podmínky c i > 0, X µ > 0, i = 1, 2,..., m), µ = 1, 2,..., ), 39) potom zlogritmováním vzthů 28) dostáváme soustvu lineárních rovnic pro proměnné ln X µ iµ ln X µ = ln vδ ) δ i c i ). 40) V přípdě úlohy s vedlejšími podmínkmi je nutné použít metodu Lgrngeových multiplikátorů vzniklý problém řešit opět užitím geometrické nerovnosti Funkce ln x je konkávní n konvexní množině všech kldných čísel x. Proto pro c i > 0 i = 1, 2,..., m) 0 i = 1, 2,..., m) je funkce ln vδ) funkcí konkávní. 24 Přičemž si uvědomme kvlittivní rozdíl mezi problémem nlezení globálního extrému původní nekonvexní funkce, o které nevíme, kolik má lokálních extrémů, problémem nlezení mxim konkávní funkce, kde toto mximum je mximem jediným. 25 Čehož lze dosáhnout vhodnou formlizcí původní úlohy funkční optimlizce zejmén vhodnou formulcí konstrukčních cílů vhodným sestvením mtemtického modelu, či jistými mtemtickými obrty v průběhu trnsformce funkční optimlizční úlohy n úlohu prmetrické optimlizce. 26 Zde X = X 1, X 2,..., X ). 27 Srvn. vyjádření 24) n str.??. 28 V tomto vzthu δ = δ 1, δ 2,..., δ m) znčí mximlizční bod duální úlohy. 29 Srvn. [12]. 146

12 Jko ilustr, bez nároku n přesnost mtemtického důkzu, si uveďme řdu následujících úvh. ějme úlohu s q podmínkmi při g k = m k min X µ g 0, g 0 = c i c i µ 41) µ 1 k = 1, 2,..., q), 42) c i > 0 i = 1, 2,..., m q ) X µ > 0 µ = 1, 2,..., ). Užitím geometrické nerovnosti shor předvedeným způsobem n trnsform vyjádření výrzů g 0, g 1,..., g q uvážením, že g k > 0 tedy mocněním nezáporným číslem λ k nedojde ke změně znménk nerovností 42) dostáváme 1 g λ k k m 0 g 0 m k i ) δi ) i m0 X iµ µ, mk i=m X k 1 +1 iµ i λk µ = = m k i ) i λ k mk i=m X k 1 +1 iµ i λ k µ, kde podobně jko shor váhy > 0 i = 1, 2,..., m 0 ) i > 0 i = m 0 + 1, m 0 + 2,..., m q ) mjí splňovt podmínku normy m k = 1, 43) i = 1 k = 1, 2,..., q). 44) Veličiny λ k jsou Lgrngeovy multiplikátory, o čemž je podrobně pojednáno v knize [12]. 147

13 Vzájemným vynásobením levých strn posledních q + 1 nerovnic porovnáním s vzájemným vynásobením prvých strn těchto rovnic dostáváme m 0 g 0 ) δi Zvedením substituce q m k k=1 i ) i λ k X m0 iµ + q mk ) k=1 iµ i λ k µ. = i λ k i = m k 1 + 1, m k 1 + 2,..., m k ) k = 1, 2,..., q) dostává poslední nerovnost tvr m 0 g 0 podmínky normy vyjdřují ) δi m k q m k k=1 = 1, ) δi λ k mk X iµ µ 45) = λ k k = 1, 2,..., q). 46) Podobně jko v přípdě bez vedlejších podmínek nbývá prvá strn nerovnosti 45) svého extrému z podmínky m q čímž, s uvážením m k λ k iµ = 0 µ = 1, 2,..., ) = λ mk k m q g 0 vδ) = = λ λ k k, dostává tvr ) δi q k=1 λ λ k k. Nyní, tk jko shor, můžeme vyjádřit zákldní prinp geometrického progrmování. Pokud pro bod ˆδ vázného mxim duální úlohy {ˆδ} = rg mx δ D vδ), mq vδ) = ) δi q k=1 λ λ k k, 148

14 kde Přibližné řešení nelineární nekonvexní funkční optimlizční úlohy λ k = m k D = { > 0 i = 1, 2,..., m q ) existuje bod ˆX pro který pltí k = 1, 2,..., q) m q = 1, iµ = 0 µ = 1, 2,..., )} c i ˆ µ = ˆ vˆδ) i = 1, 2,..., m 0 ), c i ˆ µ = ˆ λ k ˆδ) i = m k 1 + 1, m k 1 + 2,..., m k ) k = 1, 2,..., q), pk tké pltí, že kde min = g 0 ˆX) = vˆδ) = mx, X µ P δ D P = {X µ > 0 µ = 1, 2,..., ) g k 1 k = 1, 2,..., q)}. Vyčerpávjící mtemtický důkz njde čtenář ve čtvrté kpitole knihy [12]. 5.1 Úloh s koefienty c i obou znmének V přípdě úlohy geometrického progrmování s koefienty c i obou znmének bez vedlejších podmínek { ˆX} = rg min X µ g 0, g 0 = c i µ, kde c i 0, je vhodné k vyšetření stonárního bodu použít tzv. semilogritmických derivcí pro něž pltí fx) ln x = fx) x x ln x = fx) x eln x ln x fx) ln x = fx) x eln x = x fx) x 149

15 které ve stonárním bodě nbývjí nulových hodnot. V nšem přípdě pltí g 0 m0 ) = X ν c i µ, ln X ν X ν g 0 ln X ν = g 0 ln X ν = X ν c i iν m0 c i iν µ Xν 1 ) µ = 0 ν = 1, 2,..., ). Tento vzth dále uprvujme zvdením znčky σ i = sgn c i váhy = c i g 0 čím postupně dostáváme podmínku konečně σ i c i iν µ i = 1, 2,..., m 0 ) 47) µ = 0 ν = 1, 2,..., ) σ i iν = 0 ν = 1, 2,..., ). 48) Nově zvedené váhy splňují podmínku vyplývjící z definičního vzthu 47) tedy σ = sgn g 0 = g m0 0 g 0 = σ i, σ i = σ. 49) Kždému řešení δ podmínek 48) 49) odpovídá stonární bod původní úlohy boldsymbolx, který po zlogritmování vzthu 47) získáme rozřešením soustvy iµ ln X µ = ln g 0 X µ ) σ σ i c i i = 1, 2,..., m 0 ), kde g 0 σ = g 0 = g 0 σ m 0 σ i, 150

16 dále po užití výrzu 47) Přibližné řešení nelineární nekonvexní funkční optimlizční úlohy g 0 σ = g 0 σ = g 0 σ = m0 m0 m0 ) σ g 0 σ i, ) σi δ i ) σi δ σi c i i Dle podmínky 48) pro stonární bod pltí tedy jí-li podmínky 48) 49) σ i µ m0 X iµσ i µ σ i iν = 0 ν = 1, 2,..., ) g 0 X) = σ σ i iν = 0 m0 ) ) σi δ σ σi c i i. ν = 1, 2,..., ), σ i = σ, )) σ kde σ je buď zřejmé z chrkteru úlohy či řešíme dnou úlohu dvkrát jednou pro σ = 1, podruhé pro σ = 1) správným řešením je přípd kdy 0 pro všechn i, jediné řešení pk tímto řešením je určen extrém fce g 0. O tom jde-li o mximum, minimum či sedlový bod rozhoduje negtivní či pozitivní definitnost sndno konstruovtelného semilogritmick0ho Hessiánu { } 2 g 0. ln X ν ln X µ 5.2 Úloh geometrického progrmování obou znmének s vedlejšími podmínkmi ) σ. 6 Obecná úloh geometrického progrmování Postup řešení obecné úlohy geometrického progrmování 50) ž 53) byl n zákldě shor předstvené filozofie využití geometrické nerovnosti zejmén n zákldě práce 151

17 pánů Peterson, Duffin Zener [12] vytvořen pnem Wildem 30 v sedmdesátých letech dvcátého století. Shodně jko v přípdě úlohy 25) n str.?? je primární úloh nlezení minim funkce g 0 = c i při splnění vedlejších podmínek mjících tvr µ, 50) X µ > 0 31, µ = 1, 2,..., ), 51) 0 < z k g z k k 1, k = 1, 2,..., q), 52) kde z k = 1 nebo 1 g k = m k c i µ, 53) kde q je počet vedlejších podmínek 52), m 0 počet členů cílové funkce, m k m k 1) počet členů k-té vedlejší podmínky m = m q je celkový počet členů, převeden n řešení duální úlohy nlézti mximum duální funkce vδ) dné vzthem 54) při splnění duálních vedlejších podmínek 56), 57) 58). Tto duální úloh má tvr kde mx v, v = σ δ 1,...,δ m m ) σi q k=1 λ h k k ) σ, 54) λ k = z k m k σ i, h k = m k σ i, k = 1, 2,..., q), σ i = sgn c i, i = 1, 2,..., m), 55) 30 Srvn. [15]. 31 Tto podmínk vyplývá z odvození vzthu mezi primární duální úlohou geometrického progmování. V přípdě proměnných X µ nbývjících obou znmének je možné použít substitu X µ = X + µ X µ, kde X + µ > 0, X µ >

18 při splnění lineárních vedlejších podmínek m σ i iµ = 0, µ = 1, 2,..., ), 56) σ i = σ 57) 0, i = 1, 2,..., m). 58) Řešení této duální úlohy se zčíná rozřešením vedlejších podmínek 56) 57), kdy z konstntu σ se volí číslo +1 či 1 tk, by byl splněn podmínk 58). Tímto dostáváme vyjádření duálních proměnných ve tvru 32 = d i + m 1 j=1 d ij r j, i = 1, 2,..., m), 59) kde r j, j = 1, 2,..., m 1, jsou tzv. bázové proměnné, které mjí vyhovovt podmínce kldnosti duálních proměnných d i + m 1 j=1 d ij r j 0, i = 1, 2,..., m). 60) Duální funkce, jko funkce zákldních proměnných, má nyní tvr kde vr) = σ m ) σi q k=1 λ h k k ) σ, 61) λ k = z k m k σ i, h k = m k σ i, k = 1, 2,..., q), σ i = sgn c i, i = 1, 2,..., m) 62) = d i + m 1 j=1 d ij r j, i = 1, 2,..., m). 32 K získání tohoto řešení je vhodné použít tzv. singulárního rozkldu mtice soustvy. 153

19 Následuje řešení úlohy njíti mximum této funkce vr) při splnění vedlejších podmínek d i + m 1 j=1 d ij r j 0, i = 1, 2,..., m). 63) Duální cílová funkce všk v tomto přípdě není obecně konkávní funkcí ne vždy zde získáme konkávní funk prostým zlogritmováním funkce vr). Pltí všk poznámk o možnosti úprvy počtu primárních proměnných z jistých okolností tké počtu členů v primární funk primárních vedlejších podmínkách, tím redukovt duální úlohu n řešení soustvy lineárních rovnic. N závěr je nutné určit hodnoty primárních proměnných X µ, v nichž primární funkce doshuje svého vázného minim. Obdobně jko v diskutovném přípdě funkce s kldnými koefienty c i lze tyto proměnné určit ze vzthů c i j=1 X ij j = σ i δ iσvδ ), i = 1, 2,..., m 0 ), 64) c i j=1 X ij j = σ i δ i λ k δ ), i = m k 1 +1, m k 1 +2,..., m k ), k = 1, 2,..., q), 65) kde δ je vektor duálních proměnných, v nichž duální funkce v doshuje svého mxim. Poslední soustvu nelineárních rovnic lze opět zlogritmováním převést n soustvu lineárních rovnic Závěr Úvodem tohoto článku je stručně nstíněn filozofie návrhu konstrukcí s využitím konstrukční optimlizce. Hlvní jeho náplní je všk popis postupu vedoucího k získání přibližného řešení nelineární nekonvexní funkční optimlizční úlohy. Popisuje, co se rozumí pojmem funkční optimlizční úloh 34 jk tuto úlohu užitím Glerkinovy metody trnsformovt n prmetrickou optimlizční úlohu speálního tvru, kterou lze řešit s užitím geometrického progrmování. 33 Vzhledem k σ i = sgn c i, i = 1, 2,..., m). 34 Tj. úloh o nlezení tkových funkcí, pro které dný funkonál doshuje svého extrému při splnění vedlejších podmínek ve tvru diferenálních integrálních rovnic nerovnic. 154

20 Tto metod nchází prktické využití všude tm, kde je třeb nlézti minimum dného funkonálu při splnění vedlejších podmínek ve tvru diferenálních integrálních rovnic nerovnic, kde metod Vričního počtu vede n obtížně řešitelnou soustvu diferenálních rovnic. Tedy npříkld u řdy konstrukčních optimlizčních úloh, kdy je npříkld hledán konstrukce minimální hmotnosti při poždvku splnění pevnostní podmínky podmínky tuhosti. Použití této metody je všk mnohem širší. Zde je n místě uvést Eulerov 35 slov: N světě se nestne nic, v čem by nebylo vidět smysl nějkého mxim nebo minim. 36 V teorii pružnosti tto slov pltí. Potvrzuje je Lgngeův vriční prinp: Rovnovážný stv deformovného těles se vyznčuje tím, že jeho potenální energie je minimální. Vyprcovná metod má tedy použití i v přípdech nlýzy npětí deformcí ztížených těles, kdy vyjádření jeho potenální energie je nelineární nekonvexní. 37 Poděkování Tto práce vznikl z podpory grntu GAČR 101/01/0769 Litertur [1] Alexejev, V.., Tichomirov, V.., Fomin, S. V.: temtická teorie optimálních procesů. Prh, Acdemi [2] Dcorogu, B.: Direct ethods in the Clculus of Vritions. Berlin, Springer [3] Dcorogn, B.: Wek Continuity nd Wek Lower Semicontinuity of Non-Liner Functionls. Berlin, Springer [4] Feistuer,., Ženíšek, A.: Finite Element Solution of Nonliner Elliptic Problems. Numer. th 50, , [5] Feistuer,., Ženíšek, A.: Compctness ethod in the Finite Element Theory of Nonliner Problems. Numer. th 52, , [6] Fučík, S., Kufner, A.: Nelineární diferenální rovnice. Prh, SNTL Leonrd Euler * 1707 v Bsileji, 1783 v Petrohrdě. Roku 1766 oslepl i n druhé oko, svá díl poté diktovl. 36 Srvn. [1]. 37 V lineární teorii pružnosti je potenální energie deformovného těles vyjádřen kvdrtickým funkonálem běžně se jeho minimum při řešení metodou konečných prvků) njde rozřešením soustvy lineárních rovnic. 155

21 [7] Hájek, E., Reif, P., Vlent, F.: Pružnost pevnost. Prh, SNTL/ALFA [8] Lvrent jev,. A. Lusternik, L, A.: Kurz vričního počtu. Prh, Přírodovědecké vydvtelství [9] Lusternik, L, A.: Shortest Wy; Vritionl Problems. London, cmilln [10] cilln, C. Jr.: themticl Progrmming, New York, J. Wiley [11] ichlin, S. G.: Vrionnyje metody v mtemtičeskoj fizike. oskv, Gostechizdt [12] Peterson, E. L., Duffin, R. J., Zener, C.: Geometric Progrmming: Theory nd Appliction. New York, J.Wiley [13] Rektorys, K.: Přehled užité mtemtiky, I. II. díl. Prh, Prometheus [14] Vitásek, E.: Numerické metody. Prh, SNTL [15] Wilde, J. W.: Globlly Optiml Design. New York, John Wiley nd Sons