Sbírka řešených příkladů z termomechaniky

Transkript

1 Sbírka řešeých příkladů z termomechaiky Ig. Petr Pavlíček Plzeň 09

2 Poděkováí Tato práce vzikla za podpory projektu "ESF projekt Západočeské uiverzity v Plzi" reg.č.: CZ.0..69/0.0/0.0/6_05/00087 fiacovaého z ESF.

3 Předmluva Tato sbírka příkladů je určea pro studety předmětu Termomechaika a Západočeské uiverzitě v Plzi. Tato publikace je čleěa do kapitol sledujících probíraou látku a cvičeích z předmětu Termomechaika. Na úvod každé kapitoly a podkapitoly je zařaze stručý teoretický základ shrující základí pozatky a vztahy potřebé k řešeí příkladů v této sbírce. Teoretický základ eí vyčerpávající k tomu účelu slouží předášky, skripta a publikace. V rámci každé kapitoly jsou pak řešeé příklady zpravidla seřazey od jedodušších až k těm komplexějším. 3

4 Obsah Veličiy a jedotky...5 Úvodí pozámky...7 Délková a objemová roztažost...8 Kalorimetrická rovice Ideálí ply Stavová rovice ideálího plyu, vraté změy ideálího plyu Termodyamické cykly ideálího plyu Termodyamika proudícího ideálího plyu Voda a vodí pára Změy stavů páry Raki Clausiův cyklus Sdíleí tepla Vedeí tepla, přestup tepla, prostup tepla Výměíky tepla Sáláí...55 Doporučeá literatura...6 4

5 Veličiy a jedotky Zak Veličia edotka T termodyamická teplota [K] t teplota [ C] α součiitel délkové teplotí roztažosti [K-] γ součiitel objemové teplotí roztažosti [K-] l délka [m] V objem [m3] Q teplo [] m hmotost [] c měrá tepelá kapacita [/K] L skupeské teplo [/] ρ hustota [/m3] p tlak [Pa] v měrý objem [m3/] r specifická plyová kostata [/K] R uiverzálí plyová kostata [/K] M molárí hmotost [/kmol] cv měrá izochorická tepelá kapacita [/K] cp měrá izobarická tepelá kapacita [/K] c měrá polytropická tepelá kapacita [/K] κ Poissoova kostata [-] polytropický expoet [-] q měré teplo [/] Q teplo [] h měrá etalpie [/] H etalpie [] u měrá vitří eergie [/] U vitří eergie [] s měrá etropie [/K] S etropie [/K] at měrá techická práce [/] At techická práce [] a měrá objemová práce [/] A objemová práce [] w rychlost [m/s] P výko [W] 5

6 Zak Veličia edotka m hmotostí tok [/s] V objemový tok [m3/s] ac měrá práce cyklu [/] Ac práce cyklu [] η termická účiost [-] Q tepelý výko [W] g gravitačí zrychleí [m/s] a rychlost zvuku [m/s] S plocha [m] Ma Machovo číslo [-] β tlakový poměr [-] x suchost [-] v' měrý objem syté vody [m3/] v'' měrý objem syté páry [m3/] h' měrá etalpie syté vody [/] h'' měrá etalpie syté páry [/] s' měrá etropie syté vody [/K] s'' měrá etropie syté páry [/K] ηtd termodyamická účiost [-] q tepelý tok [W/m] λ součiitel tepelé vodivosti [W/mK] α součiitel přestupu tepla [W/m] τ čas [s] qv vydatost vitřího zdroje tepla [W/m3] Q v výko vitřího zdroje tepla [W] δ tloušťka stěy [m] r poloměr [m] k součiitel prostupu tepla [W/m] kl délkový součiitel prostupu tepla [W/m] ΔTl středí logaritmický teplotí spád [K] ε poměrá sálavost [-] 6

7 Úvodí pozámky Kovece začeí změ veliči Ve sbírce je změa určité veličiy při daém procesu vždy adefiováa jako hodota v kocovém bodě zače apř. míus hodota v počátečím bodě zače apř.. Záporá hodota změy zameá pokles veličiy a kladá změa její árůst. Změa veličiy je začea předřazeím symbolu Δ, pak ásleduje symbol veličiy a akoec idexy bodů, mezi imiž probíhá změa ve tvaru od-do. Například: Δ T T T Δ T 43T 3 T 4 Kovece začeí tepla Teplo jakožto forma předávaé eergie je ve sbírce začea tak, že kladá hodota začí teplo dodaé látce, zatímco záporá hodota začí teplo odebraé látce. Toto začeí je dodržeo bez ohledu a kotext - apříklad záporé odvedeé teplo Q o stále zameá, že teplo bylo látce odebráo. Odvedeé teplo Qo tak esmí ikdy vyjít kladé. Rověž přivedeé teplo ikdy esmí vyjít záporé. Kovece začeí práce objemové, techické a práce cyklu Hodota práce ať již objemové, techické, či práce cyklu je vždy začea tak, že kladá hodota zameá, že látka práci vykoává, zatímco záporá hodota začí, že látka práci spotřebovává. Toto začeí je dodržeo bez ohledu a kotext - apříklad záporá techická práce kompresoru stále zameá, že stlačovaý ply práci spotřebovává. Víme-li, že určitý děj musí daou formu práce vykoávat, esmí vyjít záporá hodota a aopak. Dosazováí do vztahů Většiou je do vztahů dosazováo v základích jedotkách. Určité výjimky jsou apříklad:. e-li ve vztahu uvede rozdíl termodyamických teplot ΔT [K], lze dosadit rozdíl teplot Δt [ C].. Vyskytuje-li se ve vztahu podíl veliči kromě teplot!, lze dosadit v libovolých jedotkách, avšak stejých pro čitatel a jmeovatel. Například do podílu tlaků lze dosadit do čitatele i jmeovatele v [MPa] místo [Pa] jedotky se zkrátí. 3. e-li prováděa lieárí iterpolace ebo výpočet stavových veliči mokré páry ze zámé suchosti, má vztah tvar veličia Apočátečí hodota veličiy Apoměr veliči B*rozdíl veličiy A ve dvou bodech. e tedy možé dosadit daou veličiu A v jiých ež základích jedotkách, avšak ve stejých pro všechy čley. e-li čteář a pochybách, je doporučeo dosadit všechy veličiy v základích jedotkách a výsledek pak bude rověž v základích jedotkách. 7

8 Délková a objemová roztažost Teoretický základ Délková teplotí roztažost akákoliv látka, ať již pevá látka, ebo tekutia, při změě teploty měí svůj objem. Z hlediska rozměru to je popsáo součiitelem délkové teplotí roztažosti α [K-]. Te v podstatě vyjadřuje podíl původí délky, o kterou se rozměr zvětší při zahřátí o K při kostatím tlaku. Pojem délková teplotí roztažost se zpravidla euplatňuje a tekutiy, eboť ty se přizpůsobí tvaru okolí. Pro změu délky platí v difereciálí formě: dll dt α Pokud se α eměí s teplotou, lze zjedodušeě pro prodloužeí apsat: Δ ll 0 Δ T α kde l0 začí původí délku. Případě lze apsat vztah pro celkovou délku: ll 0 Δ T α Objemová roztažost akákoliv látka, ať již pevá látka, ebo tekutia při změě teploty měí svůj objem. To je popsáo součiitelem objemové teplotí roztažosti γ - jedotka [K-]. Te v podstatě vyjadřuje podíl původího objemu, o který se objem zvětší při zahřátí o K při kostatím tlaku. Pojem objemová teplotí roztažost lze uplatit a kapaliy, plyy a případě i pevé látky. U plyů se většiou vystačí s použitím stavové rovice eí uté defiovat γ. Pro změu objemu platí v difereciálí formě: dv V dt γ Pokud se γ eměí s teplotou, lze zjedodušeě pro zvýšeí objemu apsat: Δ V V 0 Δ T γ kde V0 začí původí objem. Případě lze apsat vztah pro celkový objem: V V 0 Δ T γ Součiitel objemové teplotí roztažosti je odvozeý ze součiitele délkové teplotí roztažosti. Představme si krychli libovolého objemu V může být i ifiitesimálí, tedy ulové, velikosti. Objem této krychle můžeme apsat jako: V l 3l 0 Δ T α 3l 30 3 Δ T α 3 Δ T α Δ T α 3 elikož součiitel délkové teplotí roztažosti α bývá řádově velmi malý, lze vyšší mociy zaedbat a přibližě psát: V l 30 3 α Δ T V 0 3 α Δ T 8

9 Když tedy teto výraz porováme s výrazem obsahujícím součiitel objemové teplotí roztažosti γ: V V 0 Δ T γ můžeme říci, že přibližě platí rovost: γ 3 α Příklad. Určete, jak se změí délka ocelové kolejice v zimím období proti letímu období. Součiitel délkové teplotí roztažosti daé oceli je,4 0-5 K-. Teplota v zimím období je -0 C a v letím období 30 C. Délka kolejice měřeá při teplotě v letím období je 5 m. Dáo: ll l0 5 m; tz -0 C; tl 30 C; α,4 0-5 K- Určete: Δl?? Řešeí: Δ ll 0 Δ T α l 0 T z T l α , ,0066 m 6,6 mm Kolejice se tedy v zimě zkrátí o 6,6 mm. Příklad. Určete hustotu olova po zahřátí o 80 C z pokojové teploty, jestliže za pokojové teploty je jeho hustota přibližě 340 m-3. Součiitel délkové teplotí roztažosti olova je,9 0-5 K-. Výpočet proveďte s přibližou i přesou hodotou součiitele objemové teplotí roztažosti. Dáo: ρ0 340 m-3; Δt 80 C; α,9 0-5 K- Určete: a ρpřibl?? b ρ?? Řešeí: a přibližě V tomto případě použijeme přibližý vztah pro γ: γ přibl3 α 3,9 0 58,7 0 5 K Pro určeí hustoty vyjdeme z celkového objemu: V přibl V 0 γ přibl Δ T Po dosazeí za objem dostaeme: m m ρ přibl ρ 0 γ přibl Δ T 9

10 ρ přibl ρ0 γ přibl Δ T , , m b přesě Pro určeí hustoty vyjdeme z celkového objemu, tetokrát bez zjedodušeí pro γ: V V 0 3 α Δ T 3 α Δ T α 3 Δ T 3 Opět dosadíme za objem: m m 3 3 ρ ρ 0 3 α Δ T 3 α Δ T α Δ T ρ ρ0 3 3 α Δ T 3 α Δ T α Δ T , ,9 0 80, ρ 068,8 m3 Porováím vztahů s použitím α a s použitím γ můžeme vyjádřit skutečou hodotu součiitele objemové teplotí roztažosti: V V 0 3 α Δ T 3 α Δ T α 3 Δ T 3 V 0 γ Δ T 3 α Δ T 3 α Δ T α 3 Δ T 3 γ Δ T γ 3 α 3 α Δ T α 3 Δ T 3, , , , Pozámka k řešeí: Skutečá hodota γ by pro kostatí hodotu α tedy záležela i a teplotím rozdílu. Příklad.3 Určete, jak velká síla vzike v tyči, dlouhé 30 cm, pevě upevěé mezi dvěma ehybými stěami, jestliže bude ochlazea z teploty 0 C a -0 C. Součiitel délkové teplotí roztažosti daé oceli je,3 0-5 K-. Yougův modul pružosti oceli je 00 GPa. Pozámka k zadáí: Vziklé apětí v tyči ebude závislé a průměru tyče. Dáo: l0 30 cm 0,3 m; t 0 C; t -0 C; E 00 GPa 0 Pa; α,3 0-5 K- Určete: σ?? Řešeí: 0

11 Nejdříve vypočteme délku po ochlazeí: ll 0 α Δ T l 0 α T T 0,3, ,9989 m Nehybé stěy zabráí zkráceí tyče, což je ekvivaletí tomu, jako kdyby tyč ásledě roztáhly a původí délku l l0. Nejdříve spočteme poměré prodloužeí ε [-]: ε l l 0,3 0,9989 0, l 0,9989 a apětí je pak dáo Hookovým zákoem: σ E ε 0 0, ,06 MPa Příklad.4 Určete úhel ohybu bimetalického proužku délky 0 cm při zahřátí z teploty 0 C a teplotu 70 C. Kov a horí straě proužku je měď o tloušťce 0,5 mm a s hodotou součiitele délkové teplotí roztažosti,6 05 K-. Kov a dolí straě proužku je hliík o tloušťce 0,5 mm a s hodotou součiitele délkové teplotí roztažosti, 05 K-. Vliv mechaických apětí vyvolaých změou délek zaedbejte. Pozámka k zadáí: Skutečý úhel ohybu by byl ovlivě i vyvolaými mechaickými apětími, které by o ěco zmešily úhel ohybu. Teto efekt bude tím meší, čím tečí proužky kovu budou. Dáo: l0 0 cm; αd, 0-5 K- t 0 C; t 70 C; bh 0,5 mm; αh,6 0-5 K-; bd 0,5 mm; Určete: β?? Řešeí: Po zahřátí se rový kroužek ohe do tvaru kruhového oblouku. To je dáo tím, že poměré prodloužeí pro libovolý podúsek proužku bude pro oba kovy stejé. Tedy jede kov bude vždy o stejé % delší ež druhý, může split jediě tvar kruhového oblouku. Vzdáleost os proužků a [m] je: a b h bd 0,0005 0,0005 0,0005 m0,5 mm Situace před a po zahřátím jsou vyobrazey a obrázku: Délku horího a dolího proužku vyjádříme jako: l hl 0 α h Δ T l0 α h T T l dl 0 α d Δ T l 0 α d T T

12 Úhel ohutí β [rad] vyjádříme jako eboť jde o kruhový oblouk: β lh ld Rh R d R d l d l 0 α d T T R h l h l 0 α h T T z geometrie víme, že Rd Rha a tedy: R h a α d T T Rh α h T T R h a 0,0005 0,834 m α d t t, α h t t, l h l 0 α h t t 0,, β 0, rad 6, ' 3 ' ' Rh Rh 0,834

13 Kalorimetrická rovice Teoretický základ Výměu tepla mezi látkami můžeme popsat rovicí zatím ejde o kalorimetrickou rovici: QI QII případě v difereciálím tvaru: dq I dq II míus v rovicích je proto, že eergii, kterou jeda látka odevzdá, druhá musí přijmout. Alterativě bychom mohli apsat: QI Q II 0 dq I dqii 0 což tedy vyjadřuje fakt, že eergie evziká ai ezaiká ai eí dodáváa z jiých zdrojů chemická eergie, radioaktivita atd.. Kalorimetrická rovice vyjadřuje možství tepla ať již pro látku I, ebo pro látku II jako součet tepel potřebých pro změu teploty a tepel potřebých k fázové přeměě. Teplo pro změu teploty lze vyjádřit pomocí měré tepelé kapacity c [/K] jako: dq změateploty m c T dt přičemž pro ct kost můžeme psát: Qzměa teploty m c Δ T m c T T U plyů je ještě uté důsledě rozlišovat, při jakých podmíkách k výměě tepla dochází apříklad měrou izobarickou tepelou kapacitu c p pro děj za kostatího tlaku a měrou izochorickou tepelou kapacitu cv pro děj za kostatího objemu. Teplo pro změu skupeství pak lze vyjádřit pomocí skupeského tepla L [/] jako: Qzměa skupeství m L Dosadit do rovice popisující výměu tepla pak můžeme pouze v případě, že víme, kterými procesy jedotlivé látky procházejí a případě kolik přesě z jejich hmotosti změí fázi. Například pokud bychom vhodili kostku ledu do vody, ebudeme dopředu vědět, jestli všeche led roztaje. Sestavit tak dopředu jedu rovici eí s jistotou možé viz příklady. a.3. Teplo pro změu teploty lze alterativě vyjádřit i pomocí objemové tepelé kapacity C [/m 3K] jako: Qzměa teploty V C Δ T ebo pomocí molárí tepelé kapacity cm jako: Qzměa teploty cm Δ T Obdobě lze zavést i objemové skupeské teplo a molárí skupeské teplo. 3

14 Příklad. Kolik ledu o teplotě -5 C je uto přidat do 300ml vody o teplotě 00 C, aby její teplota poklesla a 70 C? Dáo: tvo 00 C; tled -5 C; tvo tled t 70 C; Lt /; Vvo 300ml; ρvo 000/m3; Tt 0 C cvo 400 /K; cled 00 /K; Určete: mled?? Řešeí: Výměa tepla mezi látkami je dáa vztahem: Qled Q vo V tomto příkladě víme, že led se ejdříve musí ohřát a teplotu táí 0 C, pak roztát a vziklá voda se pak musí ohřát a 70 C. Voda se pak pouze ochlazuje z 00 C a 70 C. Můžeme tedy dosadit: mled c led T t T led mled Lt m led c vo T T t mvo c vo T T vo mled [cled T t T led Lt c vo T T t]mvo c vo T vo T mled mled mvo c vo T vo T c led T t T led Lt c vo T T t , ,7 g Příklad. aký bude výsledý stav systému po přidáí 0g ledu o teplotě -5 C do vody o teplotě 0 C? Dáo: tvo 0 C; Lt / tled -5 C; mvo ; mled 00g; cvo 400 /K; cled 00 /K; Určete: t??; mvo??; mled?? Řešeí: Výměa tepla mezi látkami je dáa vztahem: Qled Q vo S jistotou však evíme, jestli veškerý led roztaje, ebo jestli vůbec ějaký roztaje jestli edojde pouze k jeho ohřátí, a tedy emůžeme rovici jedoduše rozepsat. Učiíme tedy předpoklad, že led se ohřeje a 0 C: Qamled c led T t T led 0, voda se tím ochladí a: Qamvo c vo T a T vo T at vo Qa ,75 C mvo c vo 400 4

15 voda se tedy ochladí z 0 C a 9,75 C v tomto itervalu epřekročí teplotu tuhutí a předpoklad ohřátí ledu tedy byl správý. Dále učiíme předpoklad, že led zcela roztaje: Qbmled Lt 0, voda se tím opět ochladí: Qbmvo c vo T b T a T bt a Qb ,75,89 C m vo c vo 400 voda se tedy ochladí z 9,75 C a,89 C v tomto itervalu opět epřekročí teplotu tuhutí a předpoklad roztátí ledu tedy byl správý. Nyí už mají složky stejé skupeství a lze psát: mled c vo T T t mvo c vo T T b mled T T t mvo T b T T mled mvo mvo T b mled T t T mled T b mvo T t 73,5,890,0 73,50 84,9 K,77 C mled mvo 0,0 Příklad.3 aký bude výsledý stav systému po přidáí 300g ledu o teplotě -5 C do vody o teplotě 0 C? Dáo: tvo 0 C; tled -5 C; mvo ; mled 300 g; cvo 400 /K; cled 00 /K; Lt / Určete: t??; mvo??; mled?? Řešeí: Výměa tepla mezi látkami je dáa vztahem: Qled Q vo S jistotou však evíme, jestli veškerý led roztaje, ebo jestli vůbec ějaký roztaje jestli edojde pouze k jeho ohřátí, a tedy emůžeme rovici jedoduše rozepsat. Učiíme tedy předpoklad, že led se ohřeje a 0 C: Předpoklad, že led se ohřeje a 0 C: Qamled c led T t T led 0, voda se tím ochladí a: Qamvo c vo T a T vo 5

16 T at vo Qa ,5 C mvo c vo 400 voda se tedy ochladí z 0 C a 9,5 C v tomto itervalu epřekročí teplotu tuhutí a předpoklad ohřátí ledu tedy byl správý. Dále učiíme předpoklad, led zcela roztaje: Qbmled Lt voda se tím opět ochladí: Qbmvo c vo T b T a T bt a Qb ,5 4,3 C mvo c vo 400 Tím by ale došlo k překročeí teploty tuhutí. Předpoklad úplého roztátí ledu byl tedy chybý tím ale víme, že voda se musí ochladit a 0 C. Teplo jež voda předá ledu tedy je: Q*bmvo c vo T t T a , Toto teplo se předá do ledu a tak platí: Q*bm Rled LT možství roztátého ledu yí vody pak tedy je: mrled LT ,5 Q * b a možství eroztátého ledu: mnrled 0,049 Výsledý stav tedy je, že v máme,5 vody o teplotě 0 C a 0,049 ledu o teplotě 0 C. Příklad.4 ak dlouho bude trvat přivedeí vody o počátečí teplotě 5 C k varu v rychlovaré kovici o výkou 800W? Dáo: tvo 5 C; t 00 C; mvo ; cvo 400 /K; P 800W Určete: τ?? Řešeí: Qmvo c vo T vo T vo QP τ τ Q 396,7 s6 mi 36,7 s P 6

17 Příklad.5 Určete, jak velký hmotostí průtok chladící vody je třeba ke kodezaci /s vodí páry při tlaku atm tz skupeské teplo páry / a teplota varu 00 C, jestliže se voda má ohřát z 5 C a 80 C. Dáo: tvo 5 C; tvo 80 C; ṁp /s; tp tp00 C; cvo 400 /K; Lv / Určete: ṁvo?? Řešeí: Vztah pro vyměěé teplo mezi látkami modifikujeme pro použití a přeášeý tepelý výko: d QI d Q II / dτ d QI d Q II dτ dτ Q I Q II Q vo Q p přeášeý tepelý výko je pak dá hmotostími průtoky médií: m vo c vo T vo T vo m p L v m vo m p Lv 8,64 / s c vo T vo T vo Příklad.6 Určete výstupí teplotu ohřátého vzduchu o průtoku 30/s, jestliže je ohřívá ve výměíku tepla pomocí spali o vstupí teplotě 50 C a výstupí teplotě 0 C a o průtoku 5/s. Dáo: tvz 0 C; tsp 50 C; tsp 0 C; ṁsp 5/s; cvz 006 /K; csp 006 /K Určete: tvz?? Řešeí: Vztah pro vyměěé teplo mezi látkami modifikujeme pro použití a přeášeý tepelý výko: d QI d Q II / dτ d QI d Q II dτ dτ Q I Q II Q vz Q sp 7

18 přeášeý tepelý výko je pak dá hmotostími průtoky médií: m vz c vz T vz T vz m sp c sp T sp T sp m vz c vz T vz T vz m sp c sp T sp T sp z toho tedy: T vz m sp c sp T sp T sp T vz 04,67 C m vz c vz

19 3 Ideálí ply Teoretický základ Ideálí ply je zjedodušujícím příkladem skutečých plyů. Toto zjedodušeí platí velmi přesě pro plyy, jež se vyskytují daleko od hraic fázové přeměy apř. vzduch při pokojové teplotě a tlaku, eboť ke kodezaci vzduchu bychom museli zatelě zvýšit tlak, ebo sížit teplotu. Ideálí ply splňuje mimo jié ásledující vlastosti: Částice a sebe v koečé blízkosti epůsobí Při teplotě t-73,5 C 0 K pohyb částic zcela ustává 3 Rozměry molekul ideálího plyu jsou v porováí se středí vzdáleostí molekul ekoečě malé 4 Vzájemé srážky molekul jsou dokoale pružé Pro účely výpočtů má ideálí ply ásledující důležité vlastosti: Řídí se rovicí ideálího plyu Nepodstupuje fázové změy 3 Měré tepelé kapacity cp a cv jsou kostatí 3. Stavová rovice ideálího plyu, vraté změy ideálího plyu Teoretický základ Stavová rovice ideálího plyu Stavová rovice v podstatě popisuje vztah mezi stavovými veličiami, kokrétěji měrým objemem v [m3/] případě objemem V [m3], tlakem p [Pa] a termodyamickou teplotou T [K]. Stavové veličiy jsou obecě veličiy popisující stav termodyamického systému. Obecě je uté defiovat alespoň dvě stavové veličiy, ačkoliv ěkteré stavové veličiy mohou být redudatí tj. eposkytují ovou iformaci. Stavová rovice ideálího plyu má ěkolik tvarů. Pro účely této sbírky je ejdůležitější tvar s měrým objemem a specifickou plyovou kostatou: p vr T kde r [/K] je plyová kostata plyu, kterou je možé vyjádřit jako: r R M kde R834 /kmol K je uiverzálí plyová kostata a M [/kmol] je molárí hmotost plyu. Stavovou rovici je ještě možé apsat ve tvaru s celkovým objemem a hmotostí: p V m r T 9

20 a ve tvaru s celkovým objemem a látkovým možstvím: p V M r T R T N a k b T N A 6,0 03 částic /mol6,0 0 6 částic /kmol ; k b, / K částici Tlak p [Pa], teplota T [K] a měrý objem v [m 3/] i objem V [m3] jsou tedy stavové veličiy. Kromě těchto stavových veliči existuje ještě měrá vitří eergie u [/] příp. vitří eergie U [], měrá etalpie h [/] příp. etalpie H [] a měrá etropie [/K] příp. etropie S [/K]. Všechy tyto další stavové veličiy u, h, s obecě emají pevý počátek. ejich hodota je rozdíl oproti referečí hodotě při ějakém daém referečím stavu. Dále bude popsáa měrá vitří eergie a měrá etalpie měrá etropie bude uvedea až v sekci. záko termodyamiky viz íže. Difereciál změy měré vitří eergie je možé vypočítat jako: duc v dt pro kostatí cv což platí u ideálího plyu tedy platí: Δ u c v Δ T c v T T samotou hodotu měré vitří eergie je pak možé vyjádřit jako: uc v T T ref, případě lze použít Tref 0 K a potom uc v T Měrou izochorickou tepelou kapacitu ideálího plyu cv [/K] je možé vypočítat jako: c v r κ Difereciál změy měré etalpie je defiová jako: dhc p dt pro kostatí cp což platí u ideálího plyu tedy platí: Δ h c p Δ T c p T T hodotu měré etalpie je pak možé vyjádřit jako: hc p T T ref případě lze použít Tref 0 K a potom hc p T Měrou izobarickou tepelou kapacitu ideálího plyu cp [/K] je možé vypočítat jako: c p κ r κ Mezi měrou vitří eergií a měrou etalpií platí vztah: hu p v 0

21 Mezi měrou izobarickou tepelou kapacitou a měrou izochorickou tepelou kapacitou platí vztah tzv. Mayerova rovice: c pc v r Dále se defiuje Poissoova kostata, což je poměr tepelých kapacit: κ cp cv hodota Poissoovy kostaty je pro ideálí ply kostatí a abývá ásledujících hodot: Ply Poissoova kostata κ atomový,67 atomový vzduch,4 3 a více atomový,33 Pro úplou defiici stavu je uté zát alespoň dvě stavové veličiy. ak již bylo zmíěo, ěkteré veličiy jsou redudatí. Pro ideálí ply jde kokrétě o teplotu T, měrou vitří eergii u a měrou etalpii h. Dále ještě měrý objem v a hustota ρ, což je ale je převráceá hodota měrého objemu kromě toho ještě další očividé dvojice jsou měrý objem v vs celkový objem V atd., což je ale v podstatě tatáž veličia. e tedy uto zát dvě stavové veličiy ze dvou růzých uvedeých kategorií viz tabulka. Kategorie Kategorie Kategorie 3 Kategorie 4 p [Pa] v [m3/] T [K] u [/] h [/] s [/K] Prví záko termodyamiky Prví záko termodyamiky je v podstatě zákoem zachováí eergie. Lze jej apsat ve dvou tvarech. Prví záko termodyamiky v. tvaru je ásledující: dqdu da respektive: q Δ u a Důvod, proč je teplo q a druhé straě rovice ež ostatí formy eergie, je te, že je kovecí začit kladou hodotou teplo přivedeé. Přivedeé teplo je zdrojem eergie pro ideálí ply, zatímco kladá hodota změy vitří eergie Δu a kladá měrá objemová práce a jsou pro ply spotřebitelé eergie. Prví záko termodyamiky v. tvaru je ásledující: dqdhda t respektive: q Δ h at

22 Měrá objemová práce a [/] je defiováa jako: dap dv a p dv Tedy velikost měré objemové práce je vyobrazea v p-v diagramu jako plocha pod křivkou k ose v. Zaméko měré objemové práce lze určit podle směru změy při rostoucím objemu je objemová práce kladá. Měrá techická práce at [/] je defiováa jako: dat vdp at vdp vdp Míus v defiici je proto, že techická práce je koáa, když klesá tlak. Velikost měré techické práce je vyobrazea v p-v diagramu jako plocha vedle křivky k ose p. Zaméko měré techické práce lze určit podle směru změy při klesajícím tlaku je techická práce kladá.

23 Měré teplo, měrá objemová práce a měrá techická práce jsou procesí veličiy veličiy, jež popisují výměu eergie při určitém ději. ejich hodota závisí a kokrétím průběhu veliči mezi stavy a. Prví záko termodyamiky pro kotrolí objem Prví záko termodyamiky pro kotrolí objem je rozšíře o měrou kietickou eergii a měrou poteciálí eergii. Prví záko termodyamiky pro kotrolí objem v. tvaru je ásledující: dqdu dawdw gdy respektive: q Δ u a w w g y y Prví záko termodyamiky pro kotrolí objem v. tvaru je ásledující: dqdhda t wdw gdy respektive: w w q Δ h at g y y Druhý záko termodyamiky Druhý záko termodyamiky má ěkolik formulací. Důležitou formulací je ta, která matematicky defiuje etropii: ds dq T elikož je etropie počítáa z tepla, mohlo by se zdát, že ejde o stavovou veličiu, ale lze ukázat, že platí: dq ds T 0 3

24 To potvrzuje, že jde o stavovou veličiu, eboť ezávisle a cestě, pokud se vrátíme do stejého stavu, bude změa etropie ulová tz. hodota etropie bude stejá tedy její hodota závisí pouze a tomto stavu což je základí vlastost stavové veličiy. Druhý záko termodyamiky lze přepsat do tvaru dqtds respektive: q T ds Velikost měrého tepla je tedy vyobrazeo v T-s diagramu jako plocha pod křivkou k ose s. Zaméko měrého tepla lze určit podle směru změy etropie při rostoucí etropii je měré teplo kladé. Izochorická změa Izochorická změa je změa při kostatím objemu, tedy: v kost; dv 0. Při aplikaci tohoto faktu do stavové rovice: p vr T dostaeme Charlesův záko: p kost T elikož dv 0, bude objemová práce ulová: dapdv a 0 elikož v kost, techická práce lze jedoduše zitegrovat: dat vdp at v p p elikož víme, že da0 a rověž a0, můžeme vyjádřit teplo: dqdu da q Δ u c v Δ T c v T T 4

25 Na obrázku íže je pak zakresle průběh izochorické změy, kokrétěji a obrázku je izochorický přívod tepla důkaz o tvaru křivky v T-s diagramu viz polytropická změa íže: Izobarická změa Izobarická změa je změa při kostatím tlaku, tedy: p kost; dp 0. Při aplikaci tohoto faktu do stavové rovice: p vr T dostaeme Gay-Lusacův záko: v kost T elikož p kost objemová práce, lze jedoduše zitegrovat: dapdv a p v v elikož dp 0, je techická práce ulová: dat vdp at 0 elikož víme, že dat0 a rověž at0, můžeme vyjádřit teplo: dqdhda t q Δ h c p Δ T c p T T Na obrázku íže je pak zakresle průběh izobarické změy, kokrétěji a obrázku je izobarický přívod tepla důkaz o tvaru křivky v T-s diagramu viz polytropická změa íže: 5

26 Izotermická změa Izotermická změa je změa při kostatí teplotě, tedy: T kost; dt 0. Při aplikaci tohoto faktu do stavové rovice: p vr T dostaeme Boyleův Mariotteův záko: p vkost Objemovou práci je uto zitegrovat ze vztahu: a pdv pokud za tlak dosadíme z Boyleův Mariotteova zákoa: p vp v p p v v můžeme vyjádřit objemovou práci jako: v v a p v dv p v l r T l v v v Techickou práci je uto zitegrovat ze vztahu: at v dp v dp pokud za tlak dosadíme z Boyleův Mariotteova zákoa: p vp v můžeme vyjádřit techickou práci jako: 6 v p v p

27 at p v p p dpp v l r T l p p p elikož víme, že dt 0, bude dh 0 a zároveň du 0, můžeme tedy vyjádřit teplo: dqdu da dqda dqdhda t dqdat z toho tedy vyplývá rovost objemové a techické práce: dadat ; aa t Na obrázku íže je pak zakresle průběh izotermické změy, kokrétěji a obrázku je izotermická expaze: Adiabatická změa Adiabatická změa je změa, při které edochází k výměě tepla, tedy: dq 0. Lze ukázat, že důsledkem toho platí: p vκ kost v kombiaci se stavovou rovicí se pak dostaeme k dalším dvěma vztahům: T v κ kost T p κ κ kost elikož dq 0, je možo objemovou práci získat z. tvaru. zákou termodyamiky: dqdu da a Δ u u u u uc v T T elikož dq 0, je možo techickou práci získat z. tvaru. zákou termodyamiky: dqdhda t at Δ h h h h hc p T T z toho tedy vyplývá vztah mezi objemovou a techickou prací: at κ a 7

28 Na obrázku íže je pak zakresle průběh adiabatické změy, kokrétěji a obrázku je adiabatická expaze: Polytropická změa Polytropická změa je defiováa vztahem podobým vztahu pro adiabatickou změu, s tím rozdílem, že polytropický expoet může abývat teoreticky libovolé hodoty ejčastější je však <<κ: p v kost v kombiaci se stavovou rovicí se pak dostaeme k dalším dvěma vztahům: T v kost T p kost Polytropická změa v sobě obsahuje všechy ostatí změy, stačí dosadit patřičou hodotu. Všechy případy jsou shruty v ásledující tabulce: Polytropický expoet rovice p v 0kost 0 p v kost pkost izobarický p vkost izotermický p vκ kost κ lim p v kost ± ± děj lim p v lim lim p v lim 8 adiabatický lim p vkost ± p vvkost v vkost p izochorický

29 ! Pozor a rozdíl od adiabatické změy teplo obecě eí ulové dq 0 je je pro κ: dq 0 teplo lze adefiovat pomocí polytropické tepelé kapacity c [/K]: dqc dt kde polytropická tepelá kapacita c [/K] je dáa: κ c c v Na ásledujících obrázcích je shrut tvar všech základích změ stavu jakožto speciálích případů polytropické změy: Pomocí polytropické změy lze jedoduše shrout důkaz o tvaru křivek všech dříve uvedeých změ v T-s diagramu. Vyjdeme z druhého zákoa termodyamiky: ds dq dt κ dt c c v T T T z ěj stačí vyjádřit derivaci teploty podle měré etropie, což je směrice křivek v T-s diagramu: dt T ds c v κ 9

30 všechy variaty jsou pak shruty v tabulce: Polytropický expoet Směrice v T-s diagramu děj 0 dt T T ds c v κ c p izobarický dt 0 ds izotermický κ dt T κ lim ± ds κ c v κ adiabatický ± dt T T lim ds ± c v κ c v izochorický Křivky pro izobarický a izochorický děj jsou expoeciály což bychom viděli, pokud bychom provedli separaci proměých a vyjádřili Ts a křivka pro izochorický děj je strmější, eboť má v jmeovateli směrice ižší číslo cv<cp. Příklad 3. Určete objem tlakové ádoby pro uchováí stlačeého helia, jestliže přetlak v ádobě je 0 bar a ádoba je v tepelé rovováze s okolím prostředím o teplotě 0 C. Dáo: M 4 /kmol; R 834 /kmol; Δp 0 bar; t 0 C Určete: V?? Řešeí: r R ,5 M 4 K p V m r T V m r T 078,5 0 73,5 0,554 m3 5 p 0 Příklad 3. Určete, kolik stlačeého vzduchu je přítomo v tlakové ádobě o objemu 0,5l, jestliže absolutí tlak uvitř je 5 bar a ádoba je v tepelé rovováze s okolím prostředím o teplotě 0 C. Dáo: r 87 /K; V 0,5 l; p 5 bar; t 0 C Určete: m?? Řešeí: p V m r T 30

31 p V ,5 0 3 m 0,0089 r T ,5 Příklad 3.3 Určete poměr objemů ádob pro uchováí kyslíku a vodíku pro použití ve spalovacím zařízeím, jestliže vodík je uchovává při absolutím tlaku 40 bar a kyslík při tlaku 60 bar. Teplota obou plyů je rova teplotě okolí tedy 0 C. Dáo: MH /kmol; MO 3 /kmol; ph 40 bar; po 60 bar; th to 0 C Určete: VH/VO?? Řešeí: Pro kyslík platí stavová rovice: po V O O R T O po V O R O T O Pro vodík platí stavová rovice: p H V H R H T H porováím rovic dostaeme: po V O p H V H O T O H T H V H po H 3 V O ph O Příklad 3.4 V uzavřeé skladovací ádobě o objemu l je skladová stlačeý dusík. V ádobě je zprvu tlak 5 bar, avšak vlivem etěsostí část plyu uikla, čímž tlak po určité době poklesl a 4,6 bar. Teplota okolí je 0 C. Staovte možství uiklého dusíku. Dáo: V l; p 5 bar; p 4,6 bar; t 0 C Určete: muik?? Řešeí: Nejprve vyčíslíme specifickou plyovou kostatu: r R ,9 /K M 8 3

32 Nyí použijeme stavovou rovici s celkovým objemem pro ply v ádobě před úikem idex a po úiku idex : p V m r T m p V r T p V m r T m p V r T Uiklé možství plyu je pak: muik m m p V p V V p p r T r T r T 0 3 muik ,6 05 0, ,9 073,5 Příklad 3.5 V tlakové ádobě je skladováo helium o tlaku 30 bar. Nádoba je uchováváa v místosti s trvalou teplotou 0 C. Nádoba je kostruováa a absolutí tlak maximálě 8 MPa. Při jaké teplotě dojde k přesažeí této hraice tlaku? Dáo: p 30 bar 3 MPa; t 0 C; pmax 8 MPa Určete: tmax?? Řešeí: de o izochorický děj: Platí tedy Charlesův záko: p kost T T max p p max T T max pmax 8 T 73,5078,73 K508,58 C p 3 3

33 Příklad 3.6 Určete etropii vzduchu o tlaku 5 bar a teplotě 00 C. Za referečí hodotu považujte etropii s ref 0 /K při tlaku bar a teplotě 0 C. Dáo: p 5 bar, t 00 C; r 87/K; sref 0 /K Určete: s?? Řešeí: K hodotě etropie v daém bodě, již ozačme idexem, se musíme dopočítat přes vyměěé teplo při změách vedoucích od referečího stavu ke stavu. Výsledek ezávisí a cestě, již zvolíme. Pro ázorost výpočet provedeme dvěma postupy. Prví cestou je ejdříve hypoteticky provést izochorický přívod tepla a pak izobarický odvod tepla a druhá cesta je ejdříve hypoteticky provést izobarický přívod tepla a pak izochorický odvod tepla. Situace je zázorěa a obrázku: Nejdříve vyjádřeme objemy v obou bodech budeme je dále potřebovat: v ref r T ref m3 0,784 p ref 05 v r T m3 0,4 p 5 05 Etropii získáme z druhého zákoa termodyamiky: ds dq T Obecě pro izobarický děj pak platí: ds dq c p dt dt T Δ sc p l a pro izochorický děj platí: 33 T ko T zač

34 ds dq c v dt dt T Δ sc v l T ko T zač Postup : Nejdříve vypočteme změy etropií při zvoleých dějích aplikujeme mimo jié Charlesův a Guy-Lusacův záko: Δ sref c v l Δ sc p l T p p r c v l l l 55 /K T ref p ref κ pref,4 05 T v v κ r,4 87 0,4 c p l l l 304 /K T v κ v ref,4 0,784 Etropie v bodě je pak: s Δ s ref Δ s ref Δ s 49 /K Postup : Nejdříve vypočteme změy etropií při zvoleých dějích aplikujeme mimo jié Charlesův a Guy-Lusacův záko: Δ sref c p l T v v κ r,4 87 0,4 c p l l l 304 /K T ref v ref κ v ref,4 0,784 Δ s c v l T p p r c p l l l 55 /K T p κ pref,4 05 Etropie v bodě je pak: s Δ s ref Δ s ref Δ s 49 /K Výsledek je tedy v obou postupech pochopitelě stejý etropie je stavová veličia. Mohli bychom apříklad použít i polytropickou změu vedoucí rovou z referečího bodu do bodu. Příklad 3.7 Při polytropické expazi vzduch expadoval z tlaku MPa a teplotě 390 C a tlak 3MPa a teplotu 30 C. Určete polytropický expoet, možství odvedeé tepla a změu etropie. Dáo: p MPa; t 390 C; p 3MPa; t 30 C Určete:??; q??; Δs?? Řešeí: Pro polytropu platí: T p T p 34

35 Pokud tuto rovici zlogaritmujeme, můžeme se dopracovat až k polytropickému expoetu : T p T p l T l T l T / l l pl T l p l p l p l p l p l T p p l l T p p T T p l p l,7 T 73,5 30 l l 73,5390 T p l l 3 p Polytropa ve stavových diagramech tedy vypadá ásledově: Teplo pak určíme ze vtahu: dqc dt q c T T kde c je: κ c c v 35

36 po dosazeí: κ r κ 87,7,4 q c v T T T T / κ,4,7 Změu etropie pak určíme z. ZTD: ds Δ s c l Δ s c dt T T T T κ r κ c v l l T T κ T 87,7,4 73,530 l 95,39 /K,4,7 73,5390 Příklad 3.8 akou objemovou práci a jakou techickou práci vykoá 3 vzduchu v pístu při adiabatické expazi z tlaku 0 MPa a teplotě 300 C a tlak MPa? aký bude kocový objem a teplota? aká bude změa etalpie, etropie a vitří eergie? Dáo: m 3 ; p 0 MPa; t 300 C; p MPa; r 87 /K Určete: A??; At??; V??; t??; ; ΔH??; ΔS??; ΔU?? Řešeí: de o adiabatickou expazi, tedy stavové diagramy vypadají ásledově: Počátečí objem je: V m r T ,5300 m3 0,0493 p 0 06 Kocová teplota je: κ κ T p κ T p κ 36

37 p T T p κ κ 73, ,4,4 96,86 K3,7 C Kocový objem je: p V κ p V κ V κ p κ V p V p κ V 6 p 0,4 0,049 0,54 m3 Objemová práce je: Q Δ U A A Δ U m c v T T m c v T T r 87 A m T T , κ,4 a potom vitří eergie: Δ U A Techická práce: Q Δ H A t At Δ H m c p T T m c p T T κ r,4 87 A t m T T , κ,4 a potom etalpie: Δ H At A akoec změa etropie bude ulová, eboť jde o adiabaticky děj: ds Δ Q0 dq T Δ S0 K Příklad 3.9 Kompresor stlačuje objemový tok vzduchu,5 m 3s- o teplotě 0 C a tlaku bar a tlak MPa. Vypočtěte objemový tok vzduchu vystupujícího z kompresoru, jeho teplotu a potřebý výko kompresoru, pokud je komprese adiabatická. ak se změí objemový tok vzduchu vystupujícího z kompresoru, jeho teplota a potřebý výko kompresoru, pokud by komprese byla izotermická? 3 Dáo: V,5 m s ; t 0 C 93,5 K; p bar; p MPa 37

38 Určete: V?? ; t??; P?? pro a adiabatickou kompresi b izotermickou kompresi Řešeí: Průběh komprese pro oba případy je vyzače a obrázku čerě adiabatická komprese, modře izotermická komprese: Pozámka k řešeí: Už z obrázku je patré, že izotermická komprese bude eergeticky méě áročá, eboť má ižší absolutí hodotu techické práce. Adiabatická komprese Nejdříve upravíme rovici pro adiabatický děj pro použití s objemovým průtokem: p v κ p vκ / m p V κ p V κ V V p p κ 0 5,5 0 6,4 0,483 m3 s Kocová teplota je dáa vtzahem: κ κ T p κ T p κ T T p p κ κ 93, ,4,4 565,98 K 9,83 C Víme, že q 0, a proto z. ZTD: q Δ h at at Δ h c p T T c p T T at κ r T T κ,4 87,04 93,5 565, ,4 38

39 Pro staoveí výkou ejdříve potřebujeme hmotostí průtok: m V V,5,97 /s v r T 87,04 93,5 p 0 5 Výko pak určíme jako: Pm a t, W 84,3 kw Kompresor tedy spotřebovává 84,3 kw. Izotermická komprese elikož jde o izotermický děj, platí: T T 93,5 K 0 C a rověž platí Boyle-Marriotův záko, jež opět upravíme pro použití s objemovým průtokem: p v p v / m p V p V p 0 5 m3 V V,5 6 0,5 p s 0 Techickou práci můžeme zitegrovat, a proto si ejdříve vyjádříme měrý objem v obecém bodě izotermické změy: p vp v v p v p měrá techická práce je pak: at v dp v dp p v dp p v dpp v [ l p ] p p at p v l p p 05 r T l 87,04 93,5 l p p 0 Výko pak opět určíme jako: Pm a t, W 576,6 kw Kompresor tedy spotřebovává 576,6 kw, tedy o 37,7 kw méě ež při adiabatické kompresi. Pozámka k řešeí: Izotermická komprese je tedy výhodější, ovšem v praxi edosažitelá používají se proto vícestupňové komprese. 39

40 Příklad 3.0 Dvoustupňový pístový kompresor asává vzduch o teplotě 0 C a tlaku 0,35 kpa a stlačuje ho a 3 MPa. Mezichladič je zařaze při takovém tlaku, aby byl potřeba ejmeší výko. Stlačováí probíhá polytropicky s koeficietem,38. Vypočítejte potřebý příko, je-li mechaická účiost 9%. aké možství tepla je odvedeo v mezichladiči a jaké stěami válců? Kolik chladící vody je třeba pro chlazeí mezichladiče, jestliže se teplota chladící vody se zvýší o 5 K. Objemový tok asávaého vzduchu je 0,5m 3s-. 3 Dáo: t 0 C 93,5 K; p 0,35 kpa; V 0,5 m s ; p 3MPa;,38; η 0,9; ΔTvody 5K; m vody?? Určete: Ppříko??; Q mezichl?? ; Q válc?? ; Řešeí: Nejdříve obecě vyjádříme měrou techickou práci mezi body a a b: pa v a p v a v p v a p b a a b a a p v a p a a a at ab v dp v dpp v a v dp p v a p b b a [ dpp v a p [ ] a b p b at ab pa v a p a p b p a p a v a p a p b r T a pa ] Nyí teto vztah aplikujeme a změy mezi body a. elikož stupě jsou proložey izobarickým chlazeím v mezichladiči v ěmž je at xx 0, platí: at at x a t x x at x at x 0 at x at x at x 40

41 at [ ] [ p p r T x r T p px ] Nyí se sažíme ajít extrém techické práce při určitém dělícím tlaku p x. Ve skutečosti hledáme maximum, protože techické práce budou ve skutečosti záporé. Extrém fukce příp. iflexí bod zjistíme, když derivaci položíme rovu ule: dat 0 r T p x r T p p x dp x p 0 p x p p x p x p p p / r T / x p x p p p px px p p x p p p p px p x p px p p px Pa55,34 kpa Zatím evíme, jestli při tomto tlaku bude techická práce miimálí, maximálí, ebo případě jde o iflexí bod. Mohli bychom za tímto účelem provést druhou derivaci, ale že jde o maximum, bychom si mohli ověřit dosazeím viz íže. Ve skutečosti teto vztah pro optimálí dělící tlak p x platí vždy. Nyí, jelikož víme, že tlakový poměr v obou válcích je stejý p px, platí, že techická práce v p x p jedom i druhém stupi jsou stejé a vztah pro techickou práci mezi body a se tedy zjedoduší: at [ ] [ p p p r T x r T x p px p [ ] ] ,38 at 87,04 93,5, Co se týče ověřeí, že jde o maximum pokud bychom dosadili hodotu ižší ež p x a vyšší ež px, dostali bychom: px 600 kpa at 3635 px 500 kpa at

42 tedy hodoty "více záporé" tedy spotřebují více eergie. Abychom mohli vyčíslit výko, budeme potřebovat hmotostí tok: m V V 0,5 0,30 /s v r T 87,04 93,5 035 p Výko kompresoru je pak: Pm a t 0, W Příko je pak míus je proto, že vlastě vyjadřujeme, jaký výko musíme kompresoru a tedy plyu dodávat, což je opačě, ež je kovece začeí techické práce: P P příko η M 8845 W 8,85 kw 0,9 Nyí chceme vyjádřit odvedeé teplo v mezichladiči. V ěm dochází k izobarickému odvodu tepla, a proto: q mezichlq x x c p T x T x κ r T T κ x x přičemž teploty jsou: T x T 93,5 K 0 C T x p x T p p T x T px 93, ,38,38 467,38 K 94,3 C a po dosazeí: q mezichl,4 87,04 93,5 467, ,4 Q mezichl q mezichl m ,30 53,6 kw Hmotostí průtok chladicí vody určíme ze vztahu: Q mezichl c vody m vody Δ T vody m vody Q mezichl ,85 c vody Δ T vody s A akoec teplo odvedeé stěami válců: q válc c T x T q válc κ κ r c v T x T T T κ x,38,4 87,04 467,38 93,5 6580,38,4 4

43 Pro druhý válec víme, že teplota T x T. elikož je poměr tlaků v jedom i druhém stupi stejý, tak i T Tx a proto: q válc c T T x q válc 6580 Q válc m qválc qválc 0, W 3,96 kw Příklad 3. Dvoustupňový pístový kompresor asává vzduch o teplotě 0 C a tlaku 0,35 kpa a stlačuje ho a 3 MPa. Vzduch je v mezichladiči ochlaze eúplě a 30 C. Mezichladič je zařaze při takovém tlaku, aby byl potřeba ejmeší výko. Stlačováí probíhá polytropicky s koeficietem,38. Vypočítejte výko motoru, je-li mechaická účiost 9%. aké možství tepla je odvedeo v mezichladiči a jaké stěami válců? Kolik chladící vody je třeba pro chlazeí mezichladiče, jestliže se teplota chladící vody se zvýší o 5 K? Objemový tok asávaého vzduchu je 0,5m3s-. 3 Dáo: t 0 C 93,5 K; p 0,35 kpa; V 0,5 m s ; p 3 MPa; Tx 30 C 303,5 K;,38; η 0,9; ΔTvody 5 K; Určete: Ppříko??; Q mezichl?? ; Q válc?? ; m vody?? Řešeí: Pozámka k obrázku: To, že TxT, se ukáže až dále v průběhu výpočtu, icméě obrázek je uvede pro přehled korektě již a začátku. Nejdříve obecě vyjádříme měrou techickou práci mezi body a a b: p v kost pa v a p v 43

44 a v p v a p b a a b a a p v a p a a a at ab v dp v dpp v a v dp p v a p at ab b a b [ dpp v a p ] a b [ p pa v a p a p b p a p a v a p a p b r T a b pa ] Nyí teto vztah aplikujeme a změy mezi body a. elikož stupě jsou proložey izobarickým chlazeím v mezichladiči v ěmž je at xx 0, platí: at at x a t x x at x at x 0 at x at x at x [ ] [ p x p at r T r T x p px ] Nyí se sažíme ajít extrém techické práce při určitém dělícím tlaku p x. Ve skutečosti hledáme maximum, protože techické práce budou ve skutečosti záporé. Extrém fukce příp. iflexí bod zjistíme, když derivaci položíme rovu ule: dat 0 r T p x r T x p p x dp x p 0 T p x T x p px p / r / p x T x p p x T p p x p p x p x px p p p T x T 303,5,38, Pa585,96 kpa 93,5 ako v předchozím případě evíme, jestli při tomto tlaku bude techická práce miimálí, maximálí, ebo případě jestli jde o iflexí bod. Že jde o maximum, bychom si mohli opět ověřit dosazeím viz íže. elikož v tomto případě eí tlakový poměr v obou válcích stejý se ezjedoduší. edoduše tedy dosadíme: 44 p px, vztah pro techickou práci p x p

45 at [ ] [, ,38, ,38 87,04 93,5,38 87,04 303,5,38,38 035, ] at Co se týče ověřeí, že jde o maximum pokud bychom dosadili hodotu ižší ež p x a vyšší ež px, dostali bychom: px 650 kpa at px 500 kpa at tedy hodoty "více záporé" tedy spotřebují více eergie. Abychom mohli vyčíslit výko,budeme potřebovat hmotostí tok: m V V 0,5 0,30 /s v r T 87,04 93,5 035 p Výko kompresoru je pak: Pm a t 0, W Příko je pak míus je proto, že vlastě vyjadřujeme, jaký výko musíme kompresoru a tedy plyu dodávat, což je opačě, ež je kovece začeí techické práce: P příko P W 0,83 kw ηm 0,9 Nyí chceme vyjádřit odvedeé teplo v mezichladiči. V ěm dochází k izobarickému odvodu tepla, a proto: q mezichlq x x c p T x T x κ r T T κ x x přičemž teploty jsou: T x 303,5 K 30 C T x p x T p T x T p px 93, ,38,38 475,9 K 0,4 C a po dosazeí: q mezichl,4 87,04 303,5 475,9 7939,4 Q mezichl q mezichl m ,30 5, kw 45

46 Hmotostí průtok chladicí vody určíme ze vztahu: Q mezichl c vody m vody Δ T vody m vody Q mezichl 500 0,83 c vody Δ T vody s A akoec teplo odvedeé stěami válců. Pro prví válec je situace stejá jako v předchozím příkladě: q válc c T x T q válc κ κ r c v T x T T T κ x,38,4 87,04 475,9 93,5 6879,38,4 Pro druhý válec platí: q válc c T T x κ κ r c T T x T T x v κ yí, jelikož tlakový poměr v obou stupích eí stejý, ezáme teplotu T : T p T x p x p T T x x p 303, ,38,38 475,9 K 0,4 C akoec tak i v tomto případě přeci je platí, že T Tx jakožto důsledek extrému techické práce, což však ebylo možé dopředu vědět. Pro případ dvoustupňového stlačeí s edokoalým ochlazeím tak platí, že měré techické práce v obou stupích sice ejsou stejé, ale teploty po stlačeí ao. Nyí tedy dosadíme pro měré vyměěé teplo v druhém válci: q válc,38,4 87,04 475,9 303,5 650,38,4 Celkové teplo vyměěo ve válcích je pak: Q válc m qválc qválc 0, ,03 kw Příklad 3. Třístupňový kompresor má dodávat možství 360 hod- vzduchu při tlaku 5 MPa. Odvoďte vztah pro měrou techickou práci jedoho stupě, staovte příko kompresoru a možství tepla odvedeého v mezichladičích. Stlačeí uvažujte adiabatické. Kompresor asává vzduch o tlaku 0, MPa a teplotě 0 C. Zázorěte proces v p-v a T-s diagramu. aký výko je ušetře v porováí s jedostupňovým stlačeím? Dáo: t 0 C 93,5 K;,38; η 0,9 p 0, MPa; m 360 /hod0, / s ; Určete: Ppříko??; Q mezichl?? ; Pušetřeý?? 46 p 3MPa;

47 Řešeí: Odvozeí ebude provedeo, icméě aby byla měrá techická práce kompresoru miimálí, platí podobě jako u dvoustupňového kompresoru, že poměr tlaků v jedotlivých stupích je stejý, yí ovšem máme stupě tři a chceme tedy staovit dva dělící tlaky. V podstatě tedy řešíme soustavu rovic: p 4 p3 p p 3 p p p3 p4 p p4 ; p p p p p3 p p p 4 p 3 p4 p p4 p 4 3 p3 3 3 p 4 p p p 3 3 p ,3684 MPa 3 p ,357 MPa 3 Nejdříve obecě vyjádříme měrou techickou práci mezi body a a b. Pro adiabatickou změu můžeme sice měrou techickou práci vyjádřit z. ZTD, ale výraz chceme mít v závislosti a tlakovém poměru, a proto postup odvozeí bude podobý jako v předchozích dvou příkladech: pa vκa p v κ v p κa v a b a p κ p κa v a p κ a a [ κ at ab v dp v dpp κa v a v dp paκ v a p κ dp paκ v a κ p κ κ a b b b 47 ] a b

48 [ κ κ κ κ κ p κ κ at ab κ p κa v a p a κ pb κ κ p a p a κ v a p a κ pb κ κ r T a b κ κ κ pa ] Nyí opět aplikujeme a áš případ, a jelikož děje v mezichladičích jsou izobarické a tudíž a t 0, platí: [ ] [ ] [ p κ κ p 3 κ κ p4 κ κ κ κ κ at 4 r T r T x r T 3 x κ p κ p κ p3 ] a jelikož poměry tlaků v jedotlivých stupích jsou stejé, tak se vztah zjedoduší: [ ] [ ] p κ κ,4 0,3684,4 κ at 4 3 r T 3 87,04 93,5, κ p,4 0, Výko kompresoru je pak: Pm a t 0, ,9 k W Nyí chceme vyjádřit odvedeé tepla v mezichladičích. V ich dochází k izobarickému odvodu tepla, a proto: q mezichl q x c p T x T κ r T T κ x q mezichl q 33 x c p T 3 x T 3 κ r T T 3 κ 3 x Přičemž teploty jsou: T x T T 3 x T ; κ κ T p κ T p κ p T T p κ κ 0, 93,5 0,3684,4,4 κ 45,50 K 5,35 C κ T 3 p 3 κ T x p xκ p T 3 T x p3 κ κ 0, ,5,357,4,4 45,50 K5,35 C a po dosazeí: q mezichl,4 87,04 93,5 45, /,4 a jelikož T3 T a Tx T3x T, tak: q mezichlq mezichl 3964 / odváděý tepelý výko je pak: Q mezichl m qmezichl qmezichl 0, ,59 kw 48

49 Pokud by stlačováí probíhalo jedostupňově, tak by platilo: [ ] [ ] p 4 κ κ,4 5,4 κ at 4 r T 87,04 93,5, κ p,4 0, Pm a t 0, ,6 k W Třístupňový kompresor tak ušetří výko: Pušetřeý P st P 3 st 39,9 60,60,7 kw 49

50 3. Termodyamické cykly ideálího plyu Teoretický základ Termodyamický cyklus termodyamický oběh je spojitá změa stavu ideálího plyu, ebo řada avazujících jedotlivých změ, jež tvoří uzavřeou smyčku ve stavovém diagramu jiými slovy pracoví látka evetuálě vrátí do původího stavu. To je ezbyté, aby stroj mohl pracovat cyklicky. Užitečá práce, kterou jsme schopi z cyklu odebírat, je popsáa takzvaou měrou prací cyklu ac [/]. Měrá práce cyklu lze vyjádřit jakožto součet měrých objemových prací všech změ, ze kterých se cyklus skládá ěkteré změy mají záporou hodotu měré objemové práce tedy práci spotřebovávají. Rověž ale ji lze vyjádřit jako součet všech měrých techických prací a jako součet všech měrých tepel: ac a at q Práce cyklu ac může abývat kladé hodoty oběh práci koá, ale i záporé hodoty oběh práci spotřebovává. Pokud je ac kladá, jde o oběh motoru. Pokud je ac záporá, jde o chladící oběh. Chladící oběhy se zpravidla používají u médií, které procházejí fázovou přeměou, takže a ě elze aplikovat zjedodušeí ideálího plyu. Z termodyamického oběhu motoru lze teoreticky vytvořit chladící oběh pouhým obráceím změ a aopak. V p-v a T-s diagramech je měrá práce cyklu vyobrazea jako obsah plochy ohraičeé oběhem. Zaméko měré práce pak závisí a orietaci cyklu. Pro orietaci zobrazeé a obrázku oběh motoru má měrá práce cyklu kladé zaméko tedy cyklus vykoává užitečou práci: Důležitým parametrem termodyamického cyklu motoru je jeho termická účiost eplést s termodyamickou účiostí. Termická účiost vyjadřuje, jaký podíl eergie byl přeměě a užitečou práci. Termická účiost je vždy meší ež. Termická účiost je defiováa jako: η ac q přiv qodv q q odv odv q přiv q přiv q přiv q přiv Důležitým parametrem chladícího oběhu je jeho chladící faktor. Chladící faktor vyjadřuje kolikaásobek přivedeé práce bylo odvedeo tepla. Chladící faktor může a zpravidla i bývá větší ež. Chladící faktor je defiová jako: 50

51 f qodv qodv qodv q odv ac q přiv qodv q přiv q odv a c Následovat bude přehled ěkterých základích termodyamických cyklů: Carotův oběh - adiabatická komprese -3 izotermický přívod tepla 3-4 adiabatická expaze 4- izotermický odvod tepla Zvláštostí Carotova cyklu je, že je možo termickou účiost vyjádřit a základě teploty přívodu a teploty odvodu tepla. To je z toho důvodu, že se teplo vyměňuje za kostatích teplot z. ZTD tedy qab T sab a změy etropie při přívodu a odvodu tepla jsou stejě velké opačého zaméka: η qodv q přiv T odv Δ s odv T odv T přiv Δ s přiv T přiv Ericsso-Braytoův oběh - adiabatická komprese -3 izobarický přívod tepla 3-4 adiabatická expaze 4- izobarický odvod tepla 5

52 Humphreyův oběh - adiabatická komprese -3 izochorický přívod tepla 3-4 adiabatická expaze 4- izobarický odvod tepla Ottův oběh - adiabatická komprese -3 izochorický přívod tepla 3-4 adiabatická expaze 4- izochorický odvod tepla Dieselův oběh - adiabatická komprese -3 izobarický přívod tepla 3-4 adiabatická expaze 4- izochorický odvod tepla 5

53 Sabattův smíšeý oběh - adiabatická komprese -3 izochorický přívod tepla 3-4 izobarický přívod tepla 4-5 adiabatická expaze 5- izochorický odvod tepla Příklad 3.3 Vypočítejte účiost a výko Humpreyho spalovacího cyklu, když látkou porovávacího oběhu je vzduch. Určete stavové veličiy p, v, T v charakteristických bodech cyklu. Cyklus akreslete v p-v a T-s diagramu. Dáo: T 98,5 K; τ T3/T 5; π p/p,75; m 0,8 s ; r 87,04 /K; κ,4 Určete: η??; P??; stavové veličiy v bodech,, 3, 4 Řešeí: Nejprve vypočteme stavové veličiy v charakteristických bodech. bod : v r T 87,04 98,5 m3 0,856 p 05 p p bod : π 5 5 p p π 0,75,75 0 Pa 53

54 p vκ p v κ p κ κ,4 m3 p π 05 0,46 p,75 v v p v, ,46 T 398,55 K r 87,04 bod 3: v 3v 0,46 τ T3 T m3 T 3τ T 5 98,5490,75 K p3 r T 3 87,04 490,75 6,03 0 Pa v3 0,46 bod 4: p4 p 05 Pa p3 vκ3 p 4 v κ4 v 4v3 p3 κ,03 06,4 m3 0,46,0 p4 05 T 4 p 4 v 4 05,0 766,44 K r 87,04 Stavové veličiy v charakteristických bodech jsou pro přehled shruty v tabulce: bod p [Pa] v [m3/] T [K] 05 0,856 98,5, ,46 398,55 3, ,46 490, ,0 766,44 Nyí můžeme přikročit k výpočtu měré práce cyklu, účiosti a výkou. Měrou práci cyklu můžeme spočítat z měrých tepel a měrých techických ebo objemových prací: ac q at a Zpravidla je ejjedodušší výpočet provést z měrých tepel, protože přivedeé teplo budeme potřebovat k staoveí termické účiosti. Teplo je přiváděo pouze při izochorické změě 3: q přiv q3 c v T 3 T r 87,04 490,75 398,55 T 3 T κ κ 54

55 Teplo je odváděo pouze při izobarické změě 4: q odvq4 c p T T 4 κ r,4 87,04 T T 4 98,5 766, κ,4 měrá práce a účiost cyklu pak jsou: ac q η ac % q přiv a akoec výko motoru: Pm a c 0, ,7 kw Alterativí postup Měrou práci cyklu můžeme vypočítat i z měrých techických prací: ac at at a t 3 at 34 at Δ h c p T T ; at 34 Δ h34 c p T 4 T 3 3 at 3 v dp v p 3 p ac at c p T T v p 3 p c p T 4 T 3 ac ac κ r κ r T T v p3 p T T κ κ 4 3,4 87,04,4 87,04 398,55 98,5 0,46,03 06, ,44 490,75,4,4 ac 3 75 Výsledek se mírě liší pouze kvůli zaokrouhlováí. Alterativí postup Měrou práci cyklu můžeme vypočítat i z měrých objemových prací: ac aa a34 a4 a Δ u c v T T ; a34 Δ u34 c v T 4 T 3 4 a 4 p dv p v v 4 ac a c v T T c v T 4 T 3 p v v 4 55

56 ac ac r r T T T T p v v 4 κ κ ,04 87,04 398,55 98,5 766,44 490,7505 0,856, ,4,4 Výsledek se opět mírě liší pouze kvůli zaokrouhlováí. Příklad 3.4 Pracoví látkou v porovávacím smíšeém oběhu spalovacího motoru je vzduch. Počátečí tlak je bar při teplotě 5 C. Kompresí poměr je 6, stupeň zvýšeí tlaku, a stupeň plěí,3. Určete stavové veličiy p, v, T v charakteristických bodech cyklu, měré přivedeé a odvedeé teplo, měrou práci cyklu a termickou účiost. Cyklus akreslete v p-v a T-s diagramu. Dáo: p 05 Pa; t 5 C 98,5 K; ε v/v 6; ψ p3/p,; φ v4/v3,3 Určete: qpřiv??; qodv??; ac??; η??; stavové veličiy v bodech,, 3, 4, 5 Řešeí: Nejprve vypočteme stavové veličiy v charakteristických bodech. bod : v r T 87,04 98,5 m3 0,856 p 05 bod : v ε v v 0,856 m3 v ε 0,43 6 p vκ p v κ v κ p p p ε κ 05 6,4,9 06 Pa v 56

57 p v,9 06 0,43 T 6,7 K r 87,04 bod 3: v 3v 0,43 ψ p3 p T3 m3 p 3 p ψ,9 0 6,, Pa p3 v 3, ,43 347, K r 87,04 bod 4: p4 p 3, Pa φ v4 v3 T 4 v 4 v 3 φ 0,43,3 0,86 m3 p 4 v 4, ,86 75,47 K r 87,04 bod 5: v 5v 0,856 m3 p4 v κ4 p5 v κ5 v4 κ 0,86,4 p5 p4, ,90 05 Pa v5 0,856 p5 v 5 3, ,856 T5 95,3 K r 87,04 Stavové veličiy v charakteristických bodech jsou pro přehled shruty v tabulce: bod p [Pa] v [m3/] T [K] 05 0,856 98,5,9 06 0,43 6,7 3, ,43 347,0 4, ,86 75,7 5 3, ,856 95,3 Nyí vypočteme ostatí požadovaé veličiy: ac q at a 57

58 q přiv q3 q 34 c v T 3 T c p T 4 T 3 q přiv r κ r T 3 T T T κ κ ,04,4 87,04 347,0 6,7 75,7 347, ,4,4 q odvq5 c v T T 5 87,04 98,5 95, ,4 ac q η ac ,9 % q přiv Příklad 3.5 Ideálí oběh plyové turbíy pracuje s přívodem a odvodem tepla při kostatím tlaku. Maximálí teplota před turbíou je 50 C a teplota sáí kompresoru je 0 C. Kompresor asává vzduch z atmosféry o tlaku bar. Stupeň zvýšeí tlaku v kompresoru je 5,5. Vypočítejte možství měrého přivedeého a odvedeého tepla a termickou účiost. Určete stavové veličiy p, v, T v charakteristických bodech cyklu. Určete, o kolik se změí etropie a výstupu bod 4 vůči vstupu bod. Cyklus akreslete v p-v a T-s diagramu. Dáo: p 05 Pa; t 0 C 93,5 K; t3 50 C 793,5 K; π p/p 5,5 Určete: qpřiv??; qodv??; η??; Δs4?? ; stavové veličiy v bodech,, 3, 4 Řešeí: Nejprve vypočteme stavové veličiy v charakteristických bodech. bod : r T 87,04 93,5 m3 v 0,84 p 05 bod : 58

59 π p p 5 5 p p π 0 5,55,5 0 Pa p vκ p v κ v v p κ κ,4 m3 v π 0,84 0,49 p 5,5 T p v 5,5 05 0,49 477, K r 87,04 bod 3: p3 p5,5 05 Pa v 3 r T 3 87,04 793,5 m3 0,44 p3 5,5 0 5 bod 4: 5 p4 p 0 Pa p3 vκ3 p 4 v κ4 p3 κ 5,5 05,4 m3 v 4v3 0,44,399 p4 05 T 4 p 4 v 4 05, ,39 K r 87,04 Podle zadáí ještě máme určit změu etropie Δs4, a proto si ještě dopočteme etropie vůči libovolému referečímu bodu za ěj si apříklad zvolíme bod. Rověž víme, že změa - a 3-4 jsou adiabatické a tedy etropie se v ich eměí: s s0 K ; s 3s 4 Pro izobarickou změu pro změu měré etropie podle. ZTD platí: ds 3 Δ s3 dq c p dt T T c p dt T,4 87,04 3 κ r 793,5 c p [ l T ] l 3 l 50,6 T κ T,4 477, K s 3s Δ s 3 050,650,6 59 K

60 Stavové veličiy v charakteristických bodech jsou pro přehled shruty v tabulce: bod p [Pa] v [m3/] T [K] s [/K] 05 0,84 93,5 0 5,5 05 0,49 477, 0 3 5,5 05 0,44 793,5 50,6 4 05, ,39 50,6 Nyí dopočteme ostatí požadovaé veličiy: ac q at a q přiv q3 c p T 3 T q odvq4 c p T T 4 κ r,4 87,04 T 3 T 793,5 477, κ,4 κ r,4 87,04 T T 4 93,5 487, κ,4 ac q η ac ,5 % q přiv Δ s4 s 4 s 50,6 050,6 K Příklad 3.6 Pro ideálí oběh pístového výbušého motoru staovte možství přivedeého a odvedeého tepla, vykoaou práci při jedom pracovím cyklu a tepelou účiost. Za pracoví látku považujte vzduch, který motor asává při tlaku 0, MPa a teplotě 0 C. Kompresí poměr je rove 8, zvýšeí tlaku při převodu tepla je a ásobek. Obsah válce je 0,4 dm3. Dáo: p 05 Pa; t 0 C 93,5 K; ε v/v 8;ψ p3/p ; Vválec 0,4 dm3 Určete: Qpřiv??; Qodv??; Ac??; η?? Řešeí: 60

61 Nejprve vypočteme stavové veličiy v charakteristických bodech. bod : v r T 87,04 93,5 m3 0,84 p 05 bod : ε v v v 0,84 m3 v ε 0,05 8 p vκ p v κ v κ p p p ε κ 05 8,4, Pa v T p v, ,05 67,99 K r 87,04 bod 3: m3 v 3v 0,05 ψ p3 p T p v 3, ,05 345,97 K r 87,04 p 3ψ p, , Pa bod 4: v 4v 0,84 p3 vκ3 p 4 v κ4 6 m3

62 ,4 v3 κ 6 0,05 5 p4 p 3 3, Pa v4 0,84 T 4 p 4 v ,84 585,98 K r 87,04 Stavové veličiy v charakteristických bodech jsou pro přehled shruty v tabulce: bod p [Pa] v [m3/] T [K] 05 0,84 93,5, ,05 67,99 3 3, ,05 345, ,84 585,98 Nyí vypočteme požadovaé veličiy: ac q at a q přiv q3 c v T 3 T q odvq4 c v T T 4 r 87,04 T 3 T 345,97 67, κ,4 r 87,04 T T 93,5 585, κ 4,4 ac q η m cyklus ac ,5 % q přiv V válec 0, , v 0,84 A c m cyklus ac 4, Příklad 3.7 Stacioárí čtyřdobý Dieselův motor má kompresí poměr, počet válců 4, obsah jedoho válce 800 cm 3, otáčky 3000 ot/mi. Motor spotřebuje 6 dm 3 afty za hodiu o výhřevosti 4 M - a asává vzduch při tlaku 95 kpa a teplotě 0 C. Určete teoretický výko motoru a jeho termickou účiost. Vlastosti spali uvažujte jako u vzduchu r 87,04 -K-, κ,4. Hustota afty je 866 /m3. Dáo: p 0,95 05 Pa; t 0 C 93,5 K; ε v/v ; Vválec 800 cm3; iválců 4; 3000 ot/mi; 3 3 H 4 M -; V afty 6 dm hod 7, m s Určete: P??; η?? Řešeí: 6 ; ρafty 866 /m3

63 Nejprve vypočteme stavové veličiy v charakteristických bodech. bod : v r T 87,04 93,5 m3 0,886 p 0,95 05 bod : v ε v v 0,886 m3 v ε 0,0738 p vκ p v κ v κ κ 5,4 6 p p p ε 0,95 0 3,08 0 Pa v p v 3, ,0738 T 79,89 K r 87,04 bod 3: p3 p3,08 06 Pa Stav v bodě 3 máme v tomto příkladě defiová epřímo a základě přivedeého tepla. Nejprve musíme vyjádřit tepelý příko od afty: Q přiv m afty HV afty ρ afty H7, W dále musíme vyjádřit hmotostí průtok pracoví látky jedím válcem: m V válce, ,06 v 0,886 s yí můžeme vyjádřit měré přivedeé teplo a z ěj pak stav v bodě 3: q přiv Q přiv i válců m 4 0,06 63

64 q přiv q3 c p T 3 T T3 κ r T T κ 3 q přiv κ ,4 T 79,89 434,7 K κ r,4 87,04 v 3 r T 3 87,04 434,7 m3 0,34 p3 3, bod 4: m3 v 4v 0,886 p3 vκ3 p 4 v κ4,4 v3 κ 6 0,34 5 p4 p 3 3,08 0,9 0 Pa v4 0,886 T 4 p 4 v 4,9 05 0, ,98,98 K r 87,04 Stavové veličiy v charakteristických bodech jsou pro přehled shruty v tabulce: v [m3/] T [K] 0, ,886 93,5 3, , ,89 3 3, ,34 434,7 4,9 05 0, ,98 bod p [Pa] Nyí můžeme vypočítat požadovaé veličiy: ac q at a q odvq4 c v T T 4 r 87,04 T T 93,5 675, κ 4,4 ac q Pi válců m ac 4 0, ,63 kw η ac ,4 % q přiv

65 Příklad 3.8 Plyová turbía pracuje a pricipu Ericso-Braytoova cyklu. Stupeň zvýšeí tlaku v kompresoru je 5. Kompresor asává vzduch o teplotě 0 C a tlaku bar. Teplota za spalovací komorou je 00 C. Staovte měrou práci a tepelou účiost oběhu při použití regeerace a bez í. Dáo: p 05 Pa; t 0 C 93,5 K; π p/p 5; t3 00 C 373,5 K Určete: ac??; η?? pro a případ bez regeerace b případ s regeerací Řešeí: Bez regeerace Nejprve vypočteme stavové veličiy v charakteristických bodech. bod : r T 87,04 93,5 m3 v 0,84 p 05 bod : π p p p p π Pa p vκ p v κ v v p κ κ m3 v π 0,84,4 0,66 p 5 T p v ,66 463,35 K r 87,04 bod 3: p3 p5 05 Pa 65

66 r T 3 87,04 373,5 m3 v 3 0,788 p bod 4: p4 p 05 Pa p3 vκ3 p 4 v κ4 p3 κ 5 05,4 m3 v 4v3 0,788,488 p4 05 T 4 p 4 v 4 05, ,78 K r 87,04 Stavové veličiy v charakteristických bodech jsou shruty v tabulce: bod p [Pa] v [m3/] T [K] 05 0,84 93, ,66 463, , ,5 4 05, ,78 Nyí můžeme dopočítat měrou práci cyklu a jeho účiost ac q at a q přiv q3 c p T 3 T q odvq4 c p T T 4 κ r,4 87,04 T 3 T 373,5 463, κ,4 κ r,4 87,04 T T 93,5 866, κ 4,4 ac q η ac ,95 % q přiv 940 S regeerací: Regeerace spočívá v převáděí tepla v rámci samoté pracoví látky. Tím si ušetříme část přivedeého tepla, které dodáme z pracoví látky, ze které bychom tak, či tak museli odvádět teplo. Regeeraci lze provést je, když T4>T, protože teplo může přecházet pouze z vyšší teploty a ižší. To rověž zameá, že i v dokoalém tepelém výměíku můžeme dosáhout pouze ásledujících teplot: T ' T 4 866,78 K ; 66 T 4 ' T 463,35 K

67 Pricip regeerace je zobraze v T-s diagramu a obrázku: Nyí můžeme přistoupit k výpočtu účiosti s tím, že teplo převedeé v rámci regeerace se ezahre ai do přivedeého, ai odvedeého tepla: ac q at a q přiv q ' 3c p T 3 T ' q odvq4 ' c p T T 4 ' κ r,4 87,04 T 3 T ' 373,5 866, κ,4 κ r,4 87,04 T T 4 ' 93,5 463, κ,4 ac q Měrá práce cyklu musí vyjít stejá rozdíl je zaokrouhleím, eboť cyklus se ezměil, pouze jsme pro část přivedeého tepla ašli výhodější zdroj. Účiost se však zvýší: η ac ,39 % q přiv Teplo přivedeé do pracoví látky před spalovací komorou v rekuperačím výměíku je: q rek přiv q ' c p T ' T κ r,4 87,04 T ' T 866,78 463, κ,4 Teplo odvedeé z pracoví látky za turbíou v rekuperačím výměíku je: q rek odv q 44' c p T 4 ' T 4 qrek 67 přiv

68 Příklad 3.9 Plyová turbía pracuje a pricipu Ericso-Braytoova cyklu. Stupeň zvýšeí tlaku v kompresoru je 5. Kompresor asává vzduch o teplotě 0 C a tlaku bar. Teplota za spalovací komorou je 00 C. Staovte měrou práci a tepelou účiost oběhu při použití regeerace s užitím protiproudého rekuperačího výměíku s teplotím rozdílem v místě vstupu spali 5 C. Pozámka k zadáí: Teplotí rozdíl v tepelém výměíku je v tomto příkladě zahrut, eboť pro dokoalé vyrováí teplot by bylo třeba ekoečé plochy tepelého výměíku. Dáo: p 05 Pa; t 0 C 93,5 K; π p/p 5; t3 00 C 373,5 K; ΔT T4-T ' 5 C Určete: ac??; η?? Řešeí: Nejprve vypočteme stavové veličiy v charakteristických bodech. bod : v r T 87,04 93,5 m3 0,84 p 05 bod : π p p p p π Pa p vκ p v κ p κ κ m3 v v v π 0,84,4 0,66 p 5 T p v ,66 463,35 K r 87,04 bod 3: p3 p5 05 Pa v 3 r T 3 87,04 373,5 m3 0,788 p bod 4: p4 p 05 Pa p3 vκ3 p 4 v κ4 v 4v3 p3 κ 5 05,4 m3 0,788,488 p4 05 T 4 p 4 v 4 05, ,78 K r 87,04 68

69 Stavové veličiy v charakteristických bodech jsou shruty v tabulce: bod p [Pa] v [m3/] T [K] 05 0,84 93, ,66 463, , ,5 4 05, ,78 Na rozdíl od předchozího příkladu v edokoalém tepelém výměíku převedea je část tepla, které by bylo teoreticky možé převést. Teplo je z pracoví látky v regeeračím výměíku tepla předáváo pouze, ež se dosáhe teploty: T ' T 4 Δ T 866,78 585,78 K Situace v stavových diagramech je zázorěa a obrázku: Na základě grafu eí zcela evidetí, jaká by měla být teplota T 4. Nejprve si tedy vyjádřeme teplo převedeé v rekuperačím výměíku: q rek přiv q ' c p T ' T κ r,4 87,04 T ' T 85,78 463, κ,4 q rek odv q 44' c p T 4 ' T 4 qrek přiv a porováím dostaeme teplotu T4 : c p T ' T c p T 4 ' T 4 T 4 ' T T 4 T ' T Δ T 463,355478,35 K Stejý teplotí rozdíl ΔT 5K, tak eí pouze mezi T4 a T, ale rověž i mezi T a T4. Nyí již můžeme dopočítat měrou práci cyklu a jeho termickou účiost: 69

70 ac q at a q přiv q ' 3c p T 3 T ' q odvq4 ' c p T T 4 ' κ r,4 87,04 T 3 T ' 373,5 85, κ,4 κ r,4 87,04 T T ' 93,5 478, κ 4,4 ac q Měrá práce je tedy opět stejá jako pro případ bez rekuperace a s ideálí rekuperací viz předchozí příklad, termická účiost je však o ěco ižší ež pro případ s ideálí rekuperací: η ac ,48 % q přiv Příklad 3.0 Určete termickou účiost a měrou práci Carotova cyklu pracujícího mezi teplotami 93,5K a 000K. Tlak a sáí kompresoru je bar. Přivedeé měré teplo je /. Dále určete stavové veličiy ve všech charakteristických bodech cyklu, včetě hodoty etropie jako referečí stav použijte stav v bodě. Výpočet proveďte pro ideálí Carotův cyklus a pro edokoalý Carotův cyklus, při kterém stlačováí probíhá polytropicky s koeficietem,4 a expaze polytropicky s koeficietem,38. Dáo: p 05 Pa; t t4 0 C 93,5 K; t t3 000 K;,4; 34,38 Určete: ac??; η?? pro a ideálí Carotův cyklus b edokoalý Carotův cyklus Řešeí: Ideálí Carotův cyklus Nejprve vypočteme stavové veličiy v charakteristických bodech. 70

71 bod : r T 87,04 93,5 m3 0,84 p 05 v a jelikož jde o referečí stav, tak: s 0 bod : κ κ T p κ T p κ,4 T κ κ 5 93,5,4 6 p p 0 7,33 0 Pa T 000 v r T 87, m3 0,039 p 7,33 06 s s0 bod 3: T 3 T 000 K jelikož jde o izotermický děj, tak: q 3 Δ h3 at 3 ; q 3Δ u3 a 3 ; Δ u3 c v Δ T 0 Δ h3 c p Δ T 0 Nyí a základě zadaého měrého přivedeého tepla z. tvaru. ZTD můžeme vyjádřit tlak v bodě 3: q 3at 3 dat v dpr T p dpr T l p p3 po zlogaritmováí a úpravě rovice: p3 p e q3 r T 6 7,33 0 e ,04 000,8 06 Pa Dále a základě zadaého měrého přivedeého tepla z. tvaru. ZTD můžeme vyjádřit měrý objem v bodě 3: v q 3a3 da p dvr T dvr T l 3 v v po zlogaritmováí a úpravě rovice: v 3v e q3 r T ,039 e 87, ,4 7 m3

72 a akoec ještě vyjádříme etropii v bodě 3: q 3T Δ s 3 s 3s q T 000 K bod 4: κ κ T 3 p3 κ T 4 p4 κ,4 T 3 κ κ 000,4 6 p4 p 3, Pa T4 93,5 v 4 r T 4 87,04 93,5 m3 4,80 p 7459 s 3s 4500 Stavové veličiy v charakteristických bodech jsou shruty v tabulce: bod p [Pa] v [m3/] T [K] s [/K] 05 0,84 93,5 0 7, , ,8 06 0, ,80 93,5 500 Nyí vyjádříme měrou práci cyklu a jeho účiost: ac q at a q přiv q q odvq4r T 4 l p ,04 93,5 l p 0 ac q η ac ,6 % q přiv Alterativě pro ideálí Carotův můžeme pro výpočet termické účiosti použít vztah: η T odv 93,5 70,7 % T přiv 000 7

73 Nedokoalý Carotův cyklus Nejprve vypočteme stavové veličiy v charakteristických bodech. bod : v r T 87,04 93,5 m3 0,84 p 05 bod : T p T p,4 T 5 93,5,4 6 p p 0 6,335 0 Pa T 000 v r T 87, m3 0,0453 p 6, měrou etropii v bodě vypočteme z. ZTD: ds dq dt c T T Δ sc l s c l T T T κ T r,4,4 87, s l s l 0 4,93 T κ T,4,4 93,5 K bod 3: T 3 T 000 K jelikož jde stále o izotermický děj, opět platí: q 3 Δ h3 at 3 ; 73 q 3 Δ u3 a 3

74 Δ h3 c p Δ T 0 Δ u3 c v Δ T 0 ; Nyí opět a základě zadaého měrého přivedeého tepla z. tvaru. ZTD můžeme vyjádřit tlak v bodě 3: q 3at 3 dat v dpr T p3 p e q3 r T 6, e p dpr T l p p ,04 000, 0 6 Pa a a základě zadaého měrého přivedeého tepla z. tvaru. ZTD můžeme vyjádřit měrý objem v bodě 3: v q 3a3 da p dvr T dvr T l 3 v v v 3v e q3 r T 0,0453 e , m3 0,59 etropii v bodě 3 opět staovíme z. ZTD: q 3T Δ s 3 s 3s q ,93 54,93 T 000 K bod 4: T3 p T 4 p ,38 T 3 000,38 6 p4 p 3, Pa T4 93, v 4 r T 4 87,04 93,5 m3 6,53 p 883 měrou etropii v bodě vypočteme z. ZTD: ds dq dt c T T Δ s34c l s 4 c l T4 T3 T4 34 κ r T4,38,4 87, s3 l s3 l 54,93 588,7 T3 34 κ T 3,38,4 93,5 K 74

75 Stavové veličiy v charakteristických bodech jsou shruty v tabulce: bod p [Pa] v [m3/] T [K] s [/K] 05 0,84 93,5 0 6, , ,93 3, 06 0, , ,53 93,5 588,7 Nyí opět můžeme vyjádřit měrou práci cyklu a jeho termickou účiost s tím, že tetokrát je ovšem teplo přiváděo i při polytropických změách: ac q at a q přiv q q 3 q34 q přiv κ r 34 κ r T T q3 T T 3 κ 34 κ 4,4,4 87,04,38,4 87, , , ,4,4,38,4 q odvq4r T 4 l p ,04 93,5 l p 0 ac q η ac ,7 % q přiv Pozámka: Měrá práce cyklu je sice větší, ale účiost je ižší ež pro ideálí případ. 75

76 4 Termodyamika proudícího ideálího plyu Teoretický základ V této kapitole se budeme zabývat přeměou tepelé a tlakové eergie plyu a jeho kietickou eergii v dýzách. Za tímto účelem aplikujeme. záko termodyamiky pro kotrolí objem viz kapitola 3., jež má tvar: dqdhda t wdw gdy w w q Δ h at g y y Budeme se zabývat pouze případy, kdy edochází k výměě tepla děj je adiabatický, eí odebíráa žádá práce a eí uvažová žádý výškový rozdíl vstupu a výstupu poteciálí eergie bývá i v evodorovém prouděí zpravidla zaedbatelá: q 0 ; at 0 ; y y tím se. záko termodyamiky pro kotrolí objem zjedoduší a: w w 0h h yí z ěho můžeme vyjádřit výstupí rychlost: T κ r κ r w h hw c p T T w T T w T w κ κ T elikož prouděí je bez výměy tepla, platí rovice pro adiabatické prouděí. ejich aplikací se dostaeme k dalším dvěma vztahům ejdůležitější je te s tlakovým poměrem p /p: v κ κ r w T w κ v p κ κ κ r w T w κ p Pokud zaedbáme vstupí rychlost w 0 m/s, dostaeme: T κ r w T κ T v κ κ r w T κ v p κ κ κ r w T κ p 76

77 Tyto vztahy lze použít k výpočtu výstupí rychlosti bod a výstupu z dýzy, ale i pro výpočet rychlosti v libovolém místě dýzy kotrolí objem je je podmožia celého objemu dýzy. Pro správý popis prouděí v dýze je ovšem ještě uté zahrout rovici kotiuity záko zachováí hmotosti: ρ w Skost Z rovice kotiuity však vyplývá tzv. Hugoiotův teorém: dw ds Ma 0 w S aby tedy docházelo k urychlováí proudu, musí platit ásledující: pro Ma< ds<0 tedy zmešující se průřez pro Ma> ds>0 tedy zvětšující se průřez v opačém případě bude docházet ke zpomalováí proudu. Ma začí Machovo číslo, jež je defiováo jako podíl rychlosti w [m/s] vůči rychlosti zvuku a [m/s]: Ma w a Rychlost zvuku je obecě defiováa jako lokálí změa tlaku podle hustoty při adiabatickém ději: ρp a dq0 při použití zjedodušeí ideálího plyu pak lze odvodit vztah: a κ r T V praxi má smysl se zabývat dvěma typy dýz. Prvím typem je zúžeá dýza. Ve zúžeé dýze, jež má po celé délce ds < 0, elze prouděí urychlit a rychlost vyšší ež rychlost zvuku Machovo číslo a výstupu Ma. Zúžeá dýza je vyobrazea íže: Druhým typem dýzy je Lavalova dýza. Tato dýza obsahuje úsek jak s ds < 0, tak s ds > 0. Tato dýza je schopa urychlit prouděí až do adzvukových rychlostí Machovo číslo a výstupu Ma. Rychlost ovšem emusí v žádém místě dýzy překročit rychlost zvuku tzv. prouděí Veturiho trubicí. Existují však i případy, kdy dojde k urychleí proudu do adzvukových rychlostí a ásledě k rázové vlě prouděí za rázovou vlou je vždy podzvukové. Rázová vla však eí adiabatická, postup je pak třeba rozdělit a adiabatickou expazi před rázovou vlou, samotou rázovou vlu a adiabatickou kompresi za rázovou vlou. Příklady v této sbírce budou omezey pouze a případy bez rázových vl. Lavalova dýza je vyobrazea íže: 77

78 V dýzách defiujeme tzv. kritický bod, v ěmž rychlost dosáhe rychlosti zvuku. Rychlost zvuku se v dýze měí v průběhu expaze klesá T, čímž klesá a a tedy kritická rychlost eí shodá s rychlostí zvuku a vstupu. Pro staoveí kritické rychlosti vyjdeme ze vztahu pro rychlost v obecém bodě : κ r w T T w κ a dosadíme do ěj z výrazu pro rychlost zvuku v bodě a κ r T, tím dostaeme: a κ r w T w κ κ elikož echceme řešit obecý bod, ale kritický bod, v ěmž je dosažeo rychlosti zvuku, tak w wk, ale rověž a wk. Tím dostaeme rovici: wk κ r w k T w κ κ Po úpravách dostaeme vztah pro kritickou rychlost: κ r κ w k T w κ κ s ulovou vstupí rychlostí pak lze zjedodušit a: κ r w k T κ Kritická rychlost je tedy fukcí pouze vstupích podmíek. Dále ás zajímá, jaká hodota tlaku v tomto kritickém bodě bude. Pro vyjádřeí kritického tlaku respektive podílu pk/p vyjdeme ze rovice pro rychlost v bodě. p κ κ κ r w T w κ p elikož opět eřešíme obecý bod, ale kritický bod, opět platí w wk. Hodotu wk máme ale již vyjádřeou a tedy můžeme dosadit. Postup odvozeí eí uvede, ale po úpravách dostaeme výraz pro kritický tlakový poměr β*: β * pk κ w p κ κ r T κ Pro ulovou vstupí rychlost se vztah zjedoduší a: 78 κ κ

79 pk p κ κ κ β * Pro ulovou vstupí rychlost kritický tlakový poměr β* závisí pouze a Poissoově kostatě κ a lze jej tak předem vyčíslit: Ply Kritický tlakový poměr β* při w 0 m/s atomový 0,487 atomový vzduch 0,58 3 a více atomový 0,540 Kritický tlakový spád β* se pak porovává s tlakovým spádem β: β p P Pro zúžeou dýzu pokud β > β *, jde o prouděí tzv. podkritické a rychlosti zvuku eí dosažeo lze použít vztah pro výstupí rychlost w viz výše. Naopak pokud β < β *, jde o prouděí adkritické a a výstupu je kritická rychlost je uto použít vztah pro kritickou rychlost w k viz výše a zároveň kritický tlak k expazi a výstupí tlak pak dochází až za dýzou. Pro Lavalovu dýzu pokud β < β *, jde opět o prouděí adkritické. Tetokrát je prouděí urychleo a adzvukovou rychlost. Pokud je ovšem epatřičě zvoleý výstupí průřez, může dojít k expazi, ebo i ke kompresi za dýzou. Pokud β > β*, situace se ještě větví a případy prouděí Veturiho trubicí prouděí je urychleo a pak zpomaleo bez rázové vly, případ s rázovou vlou a případ s kompresí za dýzou. V této sbírce jsou příklady omezey a případy s β < β* adkritické prouděí, bez expaze či komprese za dýzou. Příklad 4. Vzduch o tlaku,5 MPa a teplotě 30 C vytéká Lavalovou dýzou do prostředí o tlaku 0, MPa. Nejužší průřez dýzy má průměr 5 cm. Určete hmotostí průtok dýzou a výtokovou rychlost z dýzy. Určete Machovo číslo a výstupu z dýzy. Vstupí rychlost zaedbejte. Dáo: p,5 MPa; t 30 C 303,5 K; p 0,MPa; dk dmi 5 cm; r 87,04 /K Určete: w??; Ma??; m?? Řešeí: 79

80 Nejprve porováme tlakový poměr s kritickým tlakovým poměrem: β * κ κ κ β,4,4,4 0,58 p 0, 0,08 p,5 elikož β<β*, jde o adkritické prouděí Lavalovou dýzou, a výstupu bude rychlost: p κ κ κ r,4 87,04 0,,4,4 m w T 303,5 559,56 κ p,4,5 s Dále v ejužším místě bude dosažeo kritické rychlosti: κ r,4 87,04 m w k T 303,5 38,6 κ,4 s Abychom mohli spočítat hmotostí průtok, ejdříve vypočteme hustotu v ejužším místě kritickém bodě z rovice adiabaty: p v κ p K vκk p p K ρ κ ρ κk p K κ p,5 06 * κ,4 ρ K ρ β 0,58 9,03 3 p r T 87,04 303,5 m π d k π 0,5 m ρ k S k w k ρ k wk 9,03 38,6 5,5 /s 4 4 Pro staoveí Machova čísla a výstupu budeme ejdříve potřebovat vyčíslit teplotu a výstupu z rovice adiabaty: κ κ T p κ T p κ p κ κ,5,4 T T 303,5,4 47,3 K p 0, a κ r T,4 87,04 47,3 43,3 Ma w 559,56,3 a 43,3 80 m s

81 Příklad 4. Navrhěte dýzu pro tlakový poměr 0,3 tak, aby skrze i protékalo 5/s dusíku a aby edocházelo k rázové vlě, ai k expazi za dýzou. Počátečí tlak dusíku je, MPa a teplota je 00 C. Určete ejmeší a výstupí průřez dýzy. Dále určete teplotu dusíku a rychlost v ejužším místě dýzy a a výstupu z dýzy. Vstupí rychlost zaedbejte. Dáo: p, MPa; t 00 C 473,5 K; β 0,3; m 5 /s Určete: da dmi??; d??; ta??; wa??; t??; w?? Řešeí: Nejprve porováme tlakový poměr s kritickým tlakovým poměrem: β * β p p κ κ κ,4,4,4 0,58 p p β, 0,30,67 MPa elikož β<β*, jde o adkritické prouděí. Aby edocházelo k expazi za dýzou, avrheme dýzu jako Lavalovu: Pro další výpočet ejdříve vyjádříme hodotu plyové kostaty víme, že jde o dusík, jež tvoří dvouatomové molekuly N s molárí hmotostí 0,08 /mol: r R 8,34 96,9 M N 0,08 K Nyí můžeme přistoupit k výpočtu výstupí rychlosti: p κ κ κ r,4 96,9 0,67,4,4 m w T 473,5 5,73 κ p,4, s elikož expaze v dýze je adiabatická, můžeme vyjádřit hustotu a výstupu: p v κ p vκ p p ρ κ ρ κ p κ p, 06,4 κ ρ ρ β 0,3 6,63 3 p r T 96,9 473,5 m 8

82 Výstupí průřez zjistíme z rovice kotiuity: π d m ρ S w ρ w 4 4 m 4 5 d π π 0,049 m4,9 mm ρ w 6,63 5,73 Dále vyjádříme teplotu a výstupu: κ κ T p κ T p κ p κ κ,,4 T T 473,5,4 34,67 K p 0,67 elikož jde o adkritické prouděí v Lavalově dýze, bude v ejužším místě dosažeo kritické rychlosti: κ r,4 96,9 m w k T 473,5 404,84 κ,4 s hustotu v kritickém místě pak staovíme jako: p v κ p K vκk p p K ρ κ ρ κk p K κ p, 06 * κ,4 ρ K ρ β 0,58 9,483 3 p r T 96,9 473,5 m z rovice kotiuity pak můžeme dopočítat ejmeší průměr: π d k m ρ k S k w k ρ k wk 4 4 m 4 5 dk π π 0,0407 m40,7 mm ρ k w k 9, ,84 Kritickou teplotu pak vyjádříme jako: κ κ T p κ T K p K κ T K T p κ κ κ κ,4 T * 303,5,4 394,3 K pk 0,58 β 8

83 Příklad 4.3 Navrhěte dýzu pro oxid uhličitý, kterou bude protékat /s do atmosféry tak, aby edocházelo k rázové vlě, ai k expazi za dýzou. Počátečí tlak oxidu uhličitého je,3 bar a teplota 0 [ C]. Tlak a výstupu je bar. Určete ejmeší a výstupí průřez dýzy. Určete Machovo číslo a výstupu. Vstupí rychlost zaedbejte. Dáo: p,3 bar; t 0 C 93,5 K; p bar; m /s Určete: da dmi??; d??; Ma?? Řešeí: Nejprve porováme tlakový poměr s kritickým tlakovým poměrem: β *,33 κ κ,33 0,540 κ,33 β p 0,769 p,3 elikož β>β*, avrheme dýzu jako zúžeou tedy ejužší a výstupí průřez je tetýž: Pro další výpočet ejdříve vyjádříme hodotu plyové kostaty víme, že jde o oxid uhličitý, jež tvoří trojatomové molekuly CO s molárí hmotostí 0,044 /mol: r R 8,34 88,95 M CO 0,044 K Nyí můžeme přistoupit k výpočtu výstupí rychlosti: κ,33 p κ κ r,33 85,95 m w T 93,5 0,769,33 67,84 κ p,33 s elikož expaze v dýze je adiabatická, můžeme vyjádřit hustotu a výstupu: p v κ p vκ p p ρ κ ρ κ ρ ρ p κ p,3 05 β κ 0,769,33,97 3 p r T 85,95 93,5 m 83

84 Výstupí průřez pak zjistíme z rovice kotiuity: π d m ρ S w ρ w 4 4 m 4 d π π 0,08889 m88,8 mm ρ w,97 67,84 Nakoec vyjádříme Machovo číslo a výstupu, k čemuž ejdříve potřebujeme teplotu: κ κ T p κ T p κ p κ κ κ κ,33 T T T β 93,5,33 74,67 K p 0,769 a κ r T,33 88,95 74,67 69,55 Ma m s w 67,84 0,6 a 69,55 Příklad 4.4 Vzduch o statickém tlaku,5 bar a statické teplotě 0 C vytéká zúžeou dýzou do okolího prostředí o tlaku bar. Vstupí průřez dýzy je 40 mm a výstupí průřez dýzy je 5 mm. Určete hmotostí průtok dýzou a výtokovou rychlost z dýzy. Určete Machovo číslo a výstupu z dýzy. Zahrňte i vstupí rychlost do dýzy. Pozámka k zadáí: Důležité je, že máme zadaou hodotu statického tlaku a teploty a ikoliv hodoty celkového tlaku a teploty. Celkový tlak a teplota jsou v podstatě měřey pro ulovou rychlost, zatímco statický tlak a teplota jsou měřey pro určitou rychlost v daém průřezu. Dáo: p,5 bar; t 0 C 93,5 K; p bar; d 40 mm; d 5 mm Určete: w??; Ma??; m?? Řešeí: Nejprve bychom chtěli porovat tlakový poměr s kritickým tlakovým poměrem. Tlakový poměr je: β p 0,667 p,5 kritický tlakový poměr však závisí i a vstupí rychlosti, již zatím ezáme. Učiíme tak odhad, pro ějž položíme w 0m/s a až později provedeme kotrolu: 84

85 ,4 κ κ,4 β 0,58 κ,4 * elikož β>β*, jde o podkritické prouděí zúžeou dýzou. Rychlost a výstupu pak můžeme vyjádřit jako: p κκ κ r w T w κ p Rovici upravíme do tvaru: κ p κ κ r w w T κ p Nyí tuto rovici pak zkombiujeme s rovicí kotiuity, z íž vyjádříme rychlosti: m ρ w S ρ w S w m ρ S w m ρ S po dosazeí tak dostaeme vztah: p κ κ m m κ r T ρ S ρ S κ p Nyí z ěj můžeme vyjádřit hmotostí průtok: m p κ κ κ r T κ p ρ S ρ S Abychom mohli hmotostí průtok vyčíslit, ejdříve dopočteme hustoty a pro jedoduchost i plochy průřezů: ρ p,5 05,783 3 r T 87,04 93,5 m p v κ p vκ p p ρ κ ρ κ ρ ρ p κ ρ β κ,783 0,667,4,335 3 p m π d π 0,04 3 S, m

86 π d π 0,05 4 S 4, m 4 4 Po vyčísleí dostaeme hmotostí tok:,4 87,04,4,4 93,5,4,5 m 0,74 s 4 3,335 4, ,783, Rychlosti jsou pak po dosazeí do vztahů výše: w w 0,74 m 77,658 3 s,783, ,74 m 65,5 4 s,335 4, Nyí zkotrolujeme kritický tlakový poměr: β * κ w κ κ r T κ κ κ,4 77,658,4,4 87,04 93,5,4 Skutečě tedy β>β* a tedy jde o podkritické prouděí zúžeou dýzou. Nyí si ještě můžeme provést kotrolu pro výstupí rychlost dosazeím do vztahu: p κ κ κ r w T w κ p tím dostaeme hodotu, jež se liší pouze o zaokrouhleí:,4 87,04,4 m w 93,5,4 77,658 65,449,4,5 s Pozámka: Pokud bychom zaedbali vstupí rychlost, dostali bychom z tohoto vztahu w 53,835 m/s. Na závěr podle zadáí ještě vyjádříme Machovo číslo a výstupu: κ κ T p κ T p κ T T p κ κ,5,4 93,5,4 6,08 K p a κ r T,4 87,04 6,08 33,9 Ma w 65,5 0,8 a 33,9 86 m s,4,4 0,544

87 Příklad 4.5 Navrhěte dýzu pro vzduch o statickém tlaku,5 bar a statické teplotě 80 C, jež vytéká do okolího prostředí z potrubí o průměru 6 cm. V okolím prostředí je tlak bar. Návrh učiňte tak, aby hmotostí průtok dýzou byl 0,5 /s a aby edocházelo k rázové vlě, ai k expazi za dýzou. Určete výstupí průměr a rychlost a výstupu z dýzy. Zahrňte i vstupí rychlost do dýzy. Pozámka k zadáí: Důležité je, že máme zadaou hodotu statického tlaku a teploty a ikoliv hodoty celkového tlaku a teploty. Celkový tlak a teplota jsou v podstatě měřey pro ulovou rychlost, zatímco statický tlak a teplota jsou měřey pro určitou rychlost v daém průřezu. Dáo: p,5 bar; t 80 C 453,5 K; p bar; d 6 cm; m 0,5 /s Určete: d??; w?? Řešeí: Nejprve bychom chtěli porovat tlakový poměr s kritickým tlakovým poměrem. Tlakový poměr je: β p 0,8 p,5 Kritický tlakový poměr závisí a vstupí rychlosti, již ale v tomto příkladě jsme schopi dopočítat z rovice kotiuity: m ρ w S w ρ S m ρ S p,5 05,33 3 r T 87,04 353,5 m π d π 0,06 3, m 4 4 po dosazeí: w 0,5 m 7,7 3 s,33, Kritický tlakový poměr tedy bude: κ β w κ κ rt κ * κ κ,4 7,7,4,4 87,04 353,5,4 elikož β>β*, avrheme dýzu jako zúžeou: 87,4,4 0,54

88 Rychlost a výstupu pak můžeme vyjádřit jako: p κ κ κ r w T w κ p,4 87,04,4 m w 353,5,4 7,7,9,4,5 s Pozámka: Pokud bychom zaedbali vstupí rychlost, dostali bychom w 09,35 m/s. Nakoec ještě vyjádříme výstupí průměr, k čemuž potřebujeme ejdříve výstupí hustotu: p v κ p vκ p p ρ κ ρ κ ρ ρ p κ,4,33,05 3 p,5 m Průměr pak vyjádříme z rovice kotiuity: π d m ρ S w ρ w 4 d 4 m 4 0,5 π 0,037 m37 mm π ρ w,05,9 Alterativí postup: Za zmíku stojí alterativí postup, kde se ejdříve dopočítáme do tzv. stagačího bodu v ěm budou defiovaé celkové a ikoliv statické parametry. V podstatě hledáme hypotetický stav 0 s ulovou rychlostí w0 0 m/s, z ějž by v dýze probíhala idetická expaze. Ke stagačímu bodu se dostaeme, pokud aplikujeme pozpátku vztah pro rychlost v dýze stav má výzam výstupu: p κ κ κ r w T w0 kde w0 0 m/s κ 0 p0 Teplotu ve stagačím bodě však ezáme a musíme ji tedy vyjádřit: 88

89 p κ κ T 0T p0 po dosazeí tak získáme vztah: p κ κ p κ κ κ r w T κ p 0 p0 Nyí z této rovice úpravami vyjádříme tlak ve stagačím bodě: p κ κ p κ κ p κ κ κ r κ r w T T κ p0 p0 κ p0 p κ κ w κ p0 κ r T p 0 κ κ w κ p κ r T p0 p w κ κ r T κ κ,5 05 7,7,4,4 87,04 353,5,4,4,8 05 Pa,8 bar Se zalostí tlaku p0 můžeme yí vyčíslit teplotu T0 a hustotu ρ0: p κ κ,5,4 T 0T 353,5,4 355,7 K p0,8 ρ0 p0,8 0 5,56 3 r T 0 87,04 355,7 m Nyí tedy vlastě řešíme expazi s ulovou vstupí rychlostí a s trochu odlišými vstupími parametry. Výstupí rychlost tedy bude stejý jako v původím postupu: p κκ κ r,4 87,04,5,4 m w T 0 357,7,4,9 κ p0,4,8 s K výstupímu průměru opět potřebujeme ejdříve výstupí hustotu ta se již drobě liší kvůli zaokrouhlováí: p0 vκ0 p vκ p0 p ρ κ0 ρ κ ρ ρ 0 p κ,56,5/,8,4,05 3 p0 m Průměr pak opět vyjádříme z rovice kotiuity: π d m ρ S w ρ w 4 89

90 4 m 4 0,5 d π π 0,037 m37 mm ρ w,05,9 90

91 5 Voda a vodí pára Teoretický základ Voda a vodí pára jako reálý ply Pro vodu a vodí páru za běžě používaých podmíek eplatí zjedodušeí ideálího plyu. ejich chováí je uté řešit jakožto reálý ply respektive reálou tekutiu, která především zahruje i fázovou změu a ekostatí hodoty tepelých kapacit. Nejprve uveďme, které vztahy platí a eplatí pro reálý ply. Prvím rozdílem je, že pro stavovou rovici se v praxi epoužívá matematický předpis i když přibližá matematická vyjádřeí existují, ale stavová rovice je zpravidla ahrazea termodyamickými tabulkami vody a vodí páry. Zbytek vztahů je uvede v tabulce: Záko/vztah/pravidlo/ veličia/... Ideálí ply Reálý ply Stavová rovice p vr T X Mayerův vztah rc p c v teoreticky lze defiovat X stejě, ale r kost Izobarická tepelá kapacita Izochorická tepelá kapacita Poissoova kostata c p κ r κ X tabulky teoreticky lze defiovat stejě, ale c p kost dtdq c p cv r κ X teoreticky lze defiovat stejě, ale c v kost dtdq cp cv hodotu pro reálý ply lze teoreticky vyvodit z tabulek hodotu pro reálý ply lze teoreticky vyvodit z tabulek hodotu pro reálý ply lze teoreticky vyvodit z tabulek dv 0 X teoreticky lze defiovat stejě, ale κ kost hodotu pro reálý ply lze teoreticky vyvodit z tabulek duc v dt pro reálý ply eí prakticky příliš užitečé kvůli c v kost uh p v teto vztah je důvod, proč eí v tabulkách uváděa hodota u dhc p dt pro reálý ply eí prakticky příliš užitečé kvůli c p kost Měrá vitří eergie Měrá etalpie tabulky postihují eje vztah mezi p, v a T, ale i sah dp0 cv κ Pozámka hu p v 9

92 dap dv pro reálý ply eí prakticky příliš užitečé práce v p-v diagramu je ale stále plocha pod křivkou k ose v Měrá techická práce dat v dp pro reálý ply eí prakticky příliš užitečé práce v p-v diagramu je ale stále plocha vedle křivky k ose p. záko termodyamiky v. tvaru dqdu da. záko termodyamiky v. tvaru dqdhda t Měrá objemová práce pro reálý ply eí prakticky příliš užitečé teplo v T-s diagramu je ale stále plocha pod křivkou k ose s dqt ds. záko termodyamiky Izobarická změa pkost T kost v X pkost Izochorická změa v kost T kost p X v kost Izotermická změa T kost p vkost X T kost Adiabatická změa dq0 skost p vκ kost X dq0 skost Polytropická změa p v kost pouze pouze pouze pouze X obvykle se epoužívá obvykle se vystačí s termodyamickou účiostí eplést s termickou účiostí Stavová rovice vody a vodí páry Pokud pomieme oblast ledu, jsou termodyamické diagramy vody a vodí páry rozděley a dvě oblasti a jedofázovou oblast a oblast mokré páry. edofázová oblast zahruje kapalou vodu, přehřátou páru a rověž adkritické stavy. V oblasti mokré páry je voda přítoma současě ve formě syté kapaliy a ve formě syté páry. Pro mokrou páru se zavádí pojem suchost, začea x [-], jež udává poměrý podíl hmotosti plyé složky syté páry vůči celkové hmotosti směsi mokré páry: x m' ' m' ' m m' m' ' Suchost x je stavová veličia, jež je však smysluplá pouze v oblasti mokré páry. 9

93 Důležitým pojmem je tzv. kritický bod. Kritický bod odděluje levou mezí křivku křivku syté vody a pravou mezí křivku křivku syté páry. Dalo by se říci, že v kritickém bodě tedy přechází voda rovou a přehřátou páru a měré skupeské teplo varu je ulové respektive spíše se ztratil rozdíl mezi vodou a přehřátou párou a eí možé tyto dvě fáze od sebe rozlišit. Parametry kritického bodu jsou: pk,064 MPa hk 087,55 T k 373,946 C k uk 09,03 v k 0, k s k 4,40 m3 k K V rámci jedofázové oblasti eexistuje ostrá hraice mezi kapalou vodou, adkritickými stavy a přehřátou párou, avšak za určité hraice lze považovat kritickou izotermu T T k a kritickou izobaru p pk. Na rozdíl od ideálího plyu ejsou u vody a vodí páry měrá vitří eergie a měrá etalpie redudatí k teplotě měrá vitří eergie a měrá etalpie jsou však stále redudatí vůči sobě. Z toho důvodu se používá i h-s diagram vody a vodí páry. Na obrázcích íže jsou vyobrazey p-v, T-s a h-s diagramy, spolu s vyzačeou levou a pravou mezí křivkou, kritickým bodem a kritickou izotermou a kritickou izobarou: Pro jedozačé určeí stavu stále platí, že musíme zát alespoň dvě veličiy. Kromě toho, že etalpie a vitří eergie ejsou redudatí k teplotě, ještě platí, že v oblasti mokré páry ejsou teplota a tlak ezávislé. Mluvíme buď o tlaku sytosti při určité teplotě, ebo o teplotě sytosti při určitém tlaku. Vě mokré páry pro určeí stavu musíme zát dvě veličiy ze dvou růzých íže uvedeých kategorií: Kategorie Kategorie Kategorie 3 Kategorie 4 Kategorie 5 p [Pa] v [m3/] T [K] u [/] h [/] s [/K] Uvitř mokré páry pro určeí stavu musíme zát dvě veličiy ze dvou růzých íže uvedeých kategorií: Kategorie Kategorie Kategorie 3 Kategorie 4 Kategorie 5 p [Pa] T [K] v [m3/] u [/] h [/] s [/K] x [-] 93

94 Přestože jsou všechy výše uvedeé kombiace stavových veliči platé, ejsou ěkteré z ich praktické pro práci s tabulkami čleěými a základě tlaku a teploty apříklad kombiace h-s, u-s ebo v-s. Za referečí stav pro páru je zvole trojý bod. V trojém bodě je defiováa měrá vitří eergie u 0 / a měrá etropie s0 /K. Všechy parametry v trojém bodě jsou: pref 6,657 Pa href 0, T ref 0,0 C k uref 0 k v ref 0,00000 s ref 0 m3 k K ak hledat v tabulkách Prvím krokem staoveí stavu by mělo být vždy idetifikováí, zda je stav v mokré páře, či jedofázové oblasti. V praxi ejčastější případy jsou, že záme tlak a teplotu, ebo buď tlak, ebo teplotu a jedu další veličiu k tomu h, u, s, v. Pokud je tlak p pk,064 MPa, ebo teplota T Tk 373,946 C, jde vždy o stav v jedofázové oblasti, jiak postupujeme dále. Záme-li tlak p a teplotu T, vyhledáme v sekci vlastosti a mezi sytosti podle teploty hodotu tlaku sytosti ebo v sekci vlastosti a mezi sytosti podle tlaku hodotu teploty sytosti. Pokud je zadaý tlak růzý od tlaku sytosti uvedeého v tabulce pro daou teplotu respektive je teplota jiá od teploty sytosti uvedeé v tabulce pro daý tlak, víme, že se stav ve skutečosti achází v jedofázové oblasti. V opačém případě však eí stav jedozačě defiová. Záme-li tlak a jedu z dalších veliči kromě teploty apříklad etalpii h platí stejě pro u, s, v, vyhledáme v sekci vlastosti a mezi sytosti podle tlaku hodoty pro levou a pravou mezí křivku a porováme se zadaou hodotou etalpie. Pokud h<h ', jde o kapalou vodu v jedofázové oblasti. Pokud h>h ' ', jde o přehřátou páru v jedofázové oblasti. A pokud h ' <h< h' ', jde o mokrou páru. Nyí tedy víme, jestli jde o stav v jedofázové oblasti, ebo v oblasti mokré páry. e-li stav v jedofázové oblasti, vyhledáme vlastosti v sekci jedofázové oblast. Tabulky v této sekci jsou čleěy podle tlaku a teploty, máme-li tedy stav dá jiými veličiami, je uto buď použít lieárí iterpolaci viz příklad 5., ebo použít pole s ejbližšími hodotami. ediou euvedeou veličiou je měrá vitří práce, eboť tu lze dopočítat jako: uh p v e-li stav v oblasti mokré páry, vyhledáme vlastosti a mezích křivkách v sekci vlastosti a mezi sytosti podle tlaku. K hodotám ostatích veliči se dostaeme pomocí vztahů: v v ' x v ' ' v ' hh' x h ' ' h ' ss ' x s ' ' s ' ede z těchto vztahů se použije k vyhodoceí suchosti x a ostatí pak určeí zbylých veliči. Měrou vitří práci je pak opět možé dopočítat jako: uh p v 94

95 5. Změy stavů páry Teoretický základ Izobarická změa elikož p kost, lze objemovou práci jedoduše zitegrovat: dapdv a p v v elikož dp 0, je techická práce ulová: dat vdp at 0 elikož víme, že dat0 a rověž at0, můžeme vyjádřit teplo: dqdhda t q Δ h h h Na obrázku íže je pak zakresle průběh křivek izobarické změy pro podkritický, kritický a adkritický tlak: Izochorická změa elikož dv 0, bude objemová práce ulová: dapdv a0 elikož v kost, techická práce lze jedoduše zitegrovat: dat vdp at v p p elikož víme, že da0 a rověž a0, můžeme vyjádřit teplo: dqdu da q Δ u u uh p v h p v Na obrázku íže je pak zakresle průběh izochorické změy: 95

96 Izotermická změa Měré teplo můžeme kvůli kostatí teplotě vyjádřit z. ZTD: dqtds q T s s Měrou objemovou práci pak můžeme dopočítat z. tvaru. ZTD: q Δ u a a q Δ u T s s u u a T s s h p v h p v Měrou techickou práci pak můžeme dopočítat z. tvaru. ZTD: q Δ h at at q Δ h T s s h h Na obrázku íže je pak zakresle průběh izotermické změy pro adkritickou, kritickou a podkritickou teplotu: Adiabatická změa elikož dq 0, je možo objemovou práci získat z. tvaru. zákou termodyamiky: dqdu da a Δ u u u u u h p v h p v elikož dq 0, je možo techickou práci získat z. tvaru. zákou termodyamiky: dqdhda t at Δ h h h h h 96

97 Na obrázku íže je pak zakresle průběh adiabatické změy pro dvě růzé hodoty měré etropie: Příklad 5. Určete teplotu a měrý objem a etropii páry o tlaku 0 bar a etalpii a 3000 k/, b 500 k/. Dáo: p 0 bar; h Určete: t??; v??; s?? pro a h 3000 k/ b h 500 k/ Řešeí: Případ a Nejprve v tabulkách mokré páry ve sekci vlastosti a mezi sytosti vyhledáme pro tlak MPa 0 bar hodoty h 76,68 k/ a h 777, k/. elikož h <h, je pára přehřátá. Pokusíme se tedy vyhledat v sekci jedofázová oblast vyhledat parametry pro MPa a 3000k/. elikož jsou ale tabulky čleěy podle tlaku a teploty, hodoty přesě pro tyto parametry v tabulkách ejsou. Můžeme apříklad použít ejbližší hodotu, což by bylo pro tlak MPa a teplotu 80 C h3008,7 k/, ebo provést iterpolaci z tabulek. V tomto příkladě bude ukázáa iterpolace. Nalezeme parametry pro tlak MPa a ejbližší ižší idex d - dolí a ejbližší vyšší idex h - horí hodotu etalpie. td 70 C td 80 C vd 0,430 m3/ 3 vh 0,480 m / hd 987,0 k/ sd 7,0088 k/k hh 3008,7 k/ sh 7,0484 k/k Přesější hodoty parametrů pak můžeme vypočítat použitím podobosti trojúhelíků respektive trojčleky viz obrázek apříklad je obrázek uvede pro teplotu, ale platí pro všechy veličiy: 97

98 Podobost trojúhelíků ám tedy říká, že: t t d t h t d h h d hh hd po vyjádřeí teploty pak dostaeme vztah: h hd ,0 tt d t h t d ,99 C hh hd 3008,7 987,0 Postup pro měrý objem a měrou etropii je aalogický: h h d ,0 m3 v v d v h v d 0,4300,480 0,430 0,460 hh hd 3008,7 987,0 h hd ,0 k ss d s h s d 7,00887,0484 7,008 7,035 hh h d 3008,7 987,0 K Případ b Nejprve v tabulkách mokré páry v sekci vlastosti a mezi sytosti vyhledáme pro tlak MPa 0 bar hodoty h k/ a h 777, k/. elikož h <h<h, je pára mokrá. Parametry mokré páry jsou defiováy a základě parametrů a pravé a levé mezí křivce. Budeme tedy potřebovat všechy parametry a mezích sytosti pro tlak MPa: ts 79,89 C v 0,007 m3/ 3 v 0,943 m / h 76,68,0 k/ s,384 k/k h 777, k/ s 6,5850 k/k Mokrá pára o tlaku MPa musí mít teplotu sytosti ts 79,89 C teplotu tedy máme vyřešeou. Pro určeí ostatích parametrů ejdříve vypočteme vlhkost: hh' x h ' ' h ' x h h ' ,68 0,8644 h' ' h ' 777, 76,68 98

99 Měrý objem a měrá etropie je pak dáa vztahy: v v ' x v ' ' v ' 0,0070,8644 0,943 0,007 0,677 ss ' x s ' ' s ',384 0,8644 6,5850,384 5,973 m3 k K Příklad 5. Do vody o tlaku 0 MPa a teplotě 0 C je za kostatího tlaku přiváděo teplo, dokud se zcela eodpaří a edosáhe teploty 500 C. Určete měrou objemovou a techickou práci, měré přivedeé teplo a změu měré vitří eergie, etalpie a etropie. Dáo: p 0 bar; t 0 C; p p 0 bar; t 500 C Určete: a??; at??; q??; Δu??; Δh??; Δs??; Řešeí: elikož jde dle zadáí o kapalou vodu - v sekci jedofázové oblasti tedy přímo dohledáme parametry pro stav : v 0, m3/ h 93,3 k/ s 0,944 k/k V bodě víme, že bude stejý tlak jako v bodě izobarická změa: p p0 MPa Vyhledáme tedy v sekci vlastosti a mezi tlaku teplotu sytosti pro tlak p 0MPa: ts 3,0 C, jelikož t>ts jde o přehřátou páru - v sekci jedofázové oblasti tedy přímo dohledáme parametry pro stav : v 0,038 m3/ h 3375, k/ s 6,5993 k/k elikož je změa izobarická, bude měrá techická práce ulová: dp0 99 at 0

100 Z. formulace. ZTD tedy určíme teplo: q Δ h at Δ h h h 3375, 93,338,8 k Z. formulace. ZTD se zalostí tepla můžeme yí určit měrou objemovou práci: q Δ u a a q Δ u q u u q h p v h p v a 38, , ,038 93, , ,7 Nakoec ještě dle zadáí vypočteme změu měré etalpie a etropie: Δ h h h3375, 93,338,8 Δ s s s 6,5993 0,9446,989 k k K Příklad 5.3 Sytá pára v uzavřeé ádobě o objemu,5 m 3 je ochlazováa z teploty 0 C a pokojovou teplotu 0 C. Určete výsledý stav páry p, v, h, s a x a možství odvedeého tepla. Dáo: t 0 C; x ; t 0 C Určete: p??; v??; h??; s??; x??; Qo Q?? Řešeí: Máme zadáo, že v bodě je pára sytá. Na sytou páru je možé pohlížet jako a speciálí případ mokré páry se suchostí x. Tedy v sekci vlastosti a mezích sytosti podle teploty pro t 0 C vyhledáme hodoty: ps,9074 MPa v 0,0077 m3/ h 897,73 k/ s,448 k/k v 0,043 m3/ h 797,4 k/ s 6,3565 k/k elikož je dáo, že pára je a mezi sytosti platí vztahy pro mokrou páru se pro x zjedoduší: p ps,9074 MPa v v 0,043 m3/ h h 797,4 k/ Nyí můžeme vyjádřit možství páry v ádobě, jež budeme později potřebovat: m V,5 3,969 v 0,043 elikož je změa izochorická, bude v bodě stejý měrý objem jako v bodě. v v 0, m3 s s 6,3565 k/k

101 Nejprve vyhledáme parametry páry v sekci vlastosti a mezích sytosti podle teploty pro t 0 C: ps 0,00339MPa v 0,00008 m3/ h 83,9 k/ s 0,965 k/k v 57,76 m3/ h 537,5 k/ s 8,666 k/k elikož v <v<v, je pára mokrá. Proto použijeme vztahy pro výpočet parametrů v mokré páře: v v ' x v ' ' v ' x v v ' 0,043 0, ,00788 v ' ' v ' 57,76 0,00008 hh ' x h ' ' h ' 83,9 0, ,5 83,9 88,307 s s ' x s ' ' s '0,9650, ,666 0,965 0,35 k k K Nyí můžeme zakreslit průběh děje do stavových diagramů: Měré odvedeé teplo vyjádříme z. tvaru. ZTD víme, že dv0: dqdu dadu pdvdu q oδ u u u h p v h p v q o 88, , , ,4 0 3, , Odvedeé teplo tedy je: Qom q03, ,7 M 0

102 Příklad 5.4 Pára o tlaku 5 MPa a teplotě 30 C adiabaticky expaduje a tlak a 3MPa b MPa. Určete výsledý stav páry t, v, h, s a měrou techickou práci vykoaou párou. Dáo: p 5MPa; t 30 C; p Určete: t??; v??; h??; s??; at?? pro a p 3MPa b p MPa Řešeí: Pro bod ejprve pro tlak 5 MPa vyhledáme teplotu sytosti ts 63,94 C. elikož je t>ts, jde o přehřátou páru. Tedy pro p 5MPa a t 30 C v sekci jedofázové oblasti alezeme přímo hodoty pro bod : v 0,0483 m3/ h 986, k/ s 6,348 k/k Případ a Děj je adiabatický, tedy víme, že: s s6,348 k K Dále pro tlak p 3 MPa vyhledáme hodotu etropie a mezích sytosti s,6456 k/k a s 6,858 k/k. elikož je s>s, jde o přehřátou páru. Tedy pro p 3MPa a s 6,348 k/k se v sekci jedofázové oblasti pokusíme alézt přímo hodoty pro bod. Kvůli čleěí dle tlaku a teploty ealezeme přesou hodotu, avšak pro účely tohoto příkladu použijeme ejbližší hodotu etropie s 6,893 k/k pro t 50 C: t 50 C v 0,0706 m3/ Nyí můžeme případ zakreslit do stavových diagramů: Měrá techická práce pak je: q Δ h at 0 h 856,5 k/

103 at Δ h h h h h986, 856,5 9,7 k Případ b Děj je adiabatický, tedy víme, že: s s6,348 k K Nejprve pro tlak p MPa vyhledáme hodotu etropie a mezích sytosti s,4470 k/k a s 6,339 k/k. elikož je s <s<s, jde o mokrou páru. Parametry mokré páry jsou defiováy a základě parametrů a pravé a levé mezí křivce. Budeme tedy potřebovat všechy parametry a mezích sytosti pro tlak p MPa: t ts,38 C v 0,00768 m3/ 3 v 0,09958 m / h 908,6 k/ s,4470 k/k h 798,4 k/ s 6,339 k/k Stavové veličiy v bodě pak jsou: s s ' x s ' ' s ' x s s ' 6,348,4470 0,9937 s ' ' s ' 6, hh ' x h ' ' h '908,60, ,4 908,6 786,5 k v v ' x v ' ' v '0, ,99370, , ,099 Nyí můžeme případ zakreslit do stavových diagramů: Měrá techická práce pak je: q Δ h at at Δ h h h h h986, 786,5 99,7 03 k m3

104 Příklad páry o tlaku 0,6 MPa a suchosti 0,9 adiabaticky expaduje a tlak 0,05MPa. Staovte výsledý stav páry t, v, h, s, x a vykoaou objemovou a techickou práci. Dáo: p 0,6 MPa; x 0,9; p 0,05MPa Určete: t??; v??; h??; s??; x??; A??; At?? Řešeí: V zadáí je uvedeo, že pára v bodě je mokrá a máme zadaou suchost, tedy rovou vyhledáme vlastosti a mezích sytosti pro tlak p 0,6 MPa: t ts 58,83 C v 0,00006 m3/ 3 v 0,356 m / h 670,5 k/ s,93 k/k h 756, k/ s 6,759 k/k Stavové veličiy v bodě pak jsou: v v ' x v ' ' v '0, ,9 0,356 0, ,84 hh ' x h ' ' h ' 670,50,9 756, 670,5 547,54 s s ' x s ' ' s ',930,9 6,759,93 6,764 m3 k k K Dále určíme stav v bodě - děj je adiabatický, tedy víme, že: s s6,764 k K Nejdříve tedy vyhledáme v sekci vlastosti a mezích sytosti podle tlaku p 0,05 MPa etropie a mezích sytosti s,090 k/k a s 7,5930 k/k. elikož je tedy s <s<s, je pára mokrá. Vyhledáme tedy ve stejém řádku i ostatí parametry a mezích sytosti: t ts 8,37 C v 0,00099 m3/ h 340,48 k/ s,090 k/k v 3,40 m3/ h 645, k/ s 7,5930 k/k Pozámka: Výsledkem adiabatické expaze mokré páry bude vždy mokrá pára - u jiých látek ež u vody tomu však tak obecě být emusí. Stavové veličiy v bodě pak jsou: s s ' x s ' ' s ' x s s ' 6,764,090 0,7975 s ' ' s ' 7,5930,090 v v ' x v ' ' v '0, ,7975 3,40 0,00099,584 hh ' x h ' ' h '340,480, , 340,48 78,49 04 k m3

105 Nyí můžeme případ zakreslit do stavových diagramů: Techickou práci určíme z. tvaru. ZTD: q Δ h at at Δ h h h h h547,54 78,49 369,05 k A t m at 0 369,053690,5 k Objemovou práci pak určíme z. tvaru. ZTD: q Δ u a a Δ u u uu uh p v h p v a 547, , ,84 78,49 0,05 06,584 37,74 k A m a0 37,74377,4 k Příklad 5.6 Při měřeí vlhkosti je pára o tlaku,5 MPa před vetilem seškrcea a tlak 0,5MPa. Po škrceí byla aměřea teplota páry 0 C. Určete vlhkost páry před vetilem x a stavové veličiy před vetilem t, v, h, s, u. Pozámka k zadái: Škrceí páry se skutečě v praxi ěkdy používá k měřeí vlhkosti páry. Dáo: p,5 MPa; p 0,5 MPa; t 0 C Určete: x??; t??; v??; h??; s??; u?? Řešeí: Začeme bodem, eboť te máme plě defiová. Nejprve vyhledáme v sekci vlastosti a mezi sytosti podle tlaku pro tlak p 0,5 MPa teplotu sytosti t s,35 C. elikož tedy t>ts, jde o přehřátou páru a v sekci jedofázové oblasti tedy přímo vyhledáme hodoty měrého objemu, měré etalpie a měré etropie: 05

106 v,88 m3/ h 7,3 k/ s 7,698 k/k Škrceí je izoetalpický děj kostatí měrá etalpie, tedy v bodě bude etalpie: hh 7,3 k Dále v sekci vlastosti a mezi sytosti podle tlaku p,5 MPa vyhledáme hodoty etalpií a mezích sytosti h 844,7 k/ a h 79,0 k/. elikož tedy h <h<h, jde o mokrou páru. Ve stejém řádku tedy vyhledáme všechy parametry a mezích sytosti: t ts 98,3 C v 0,00539 m3/ h 844,7 k/ s,347 k/k v 0,37 m3/ h 79,0 k/ s 6,443 k/k Stavové veličiy v bodě pak jsou: hh ' x h ' ' h ' x h h ' 7,3 844,7 0,959 h ' ' h ' 79,0 844,7 v v ' x v ' ' v '0, ,959 0,37 0, ,63 s s ' x s ' ' s ',3470,959 6,443,347 6,73 uh p v 7,3 03,5 06 0,63 5,85 Průběh škrceí je pak vyobraze v h-s diagramu: 06 k k K m3

107 Příklad 5.7 Určete izobarickou a izochorickou měrou tepelou kapacitu a Poissoovu kostatu pro přehřátou páru o tlaku MPa a teplotu a 90 C; b 300 C; c 400 C. Dáo: p MPa; t Určete: cp??; cv??; κ?? pro a t 90 C b t 300 C c t 400 C Řešeí: Izobarickou a izochorickou tepelou kapacitu můžeme obecě i pro reálý ply defiovat jako: dtdq dq c dt c p v pkost vkost Poissoova kostata je pak jedoduše: κ cp cv Nejprve si vypočtěme izobarické tepelé kapacity. Derivaci si a základě tabulek přiblížíme pouhým podílem diferecí: dtdq c p pkost ΔΔ Tq pkost Přivedeé teplo potom vyjádříme z. tvaru. ZTD víme, že dp 0 a tedy at 0: dqdhda tdh Difereci můžeme defiovat růzě, icméě pro teto příklad použijeme dopředé diferece: Δ qδ hh h kde h je hodota měré etalpie ve stavu se stejým tlakem a o ěco vyšší teplotou chceme bod co ejblíže, ale budeme limitovái rozlišeím tabulek. Situace je pro představu azačea v h-s diagramu: 07

108 Případ a V tabulkách je stav čleě s teplotím krokem 0 C, proto si v tabulkách vyhledáme etalpii pro teploty 90 C a 00 C v sekci jedofázové oblasti: p MPa p MPa ; ; k t90 C h803,5 t 00 C h88,3 k po dosazeí dostaeme: Δq ΔT c p p kost h h 88,3 803,5 k, K K t t Případ b Zcela aalogicky postupujeme i v tomto případě: p MPa p MPa c p Δq ΔT p kost ; ; k t300 C h305,7 t 30 C h3073, k h h 3073, 305,7 k, K K t t Případ c Zcela aalogicky postupujeme i v tomto případě: p MPa p MPa c p Δq ΔT p kost ; ; k t400 C h364,4 t 40 C h 385,7 k h h 385,7 364,4 k, K K t t 08

109 Nyí vypočtěme izochorické tepelé kapacity. Derivaci si a základě tabulek opět přiblížíme pouhým podílem diferecí: dtdq cv vkost ΔΔ Tq vkost Přivedeé teplo potom vyjádříme z. tvaru. ZTD víme, že dv 0 a tedy a 0: dqdu dadu Pro teto příklad opět použijeme dopředé diferece: Δ qδ uu u kde u je hodota měré vitří eergie ve stavu se stejým objemem a o ěco vyšší teplotou chceme bod co ejblíže, ale budeme limitovái rozlišeím tabulek, avíc tabulky ejsou čleěy podle měrého objemu budeme tedy muset ještě iterpolovat, abychom zachovali kostatí měrý objem. Případ a Pro výchozí stav platí hledáme v sekci jedofázové oblasti: p MPa ; t90 C v0,003 m3 ; uh p v803, , , h803,5 k k K Pro stav s o ěco vyšší teplotou chceme dodržet objem: v v0,003 m3 Přesou hodotu ealezeme, a tak budeme muset přesou hodotu teploty a měré etalpie iterpolovat postup viz. příklad 5... Nejbližší dolí idex d a horí idex h objemy a k im příslušící parametry jsou: p,05mpa vd 0,955 m3/ td 00 C hd 85,3 k/ vh 0,009 m3/ th 0 C hh 849,5 k/ Iterpolovaá hodota teploty a měré etalpie pak jsou: v v d 0,003 0,955 t t t t ,889 C 0,009 0,003 v h v d d h d v v 0,003 0,955 k hhd hh hd d 85,3849,5 85,3 846,8 0,009 0,003 v h v d Měrou vitří eergii pak dostaeme jako: uh p v 846,8 0 3, , , k K

110 A po dosazeí dostaeme: cv Δq ΔT vkost u u 636, , k, , K K t t Případ b Pro výchozí stav platí hledáme v sekci jedofázové oblasti: p MPa ; m3 v 0,580 t300 C ; uh p v305, , ,7 h305,7 k k K Pro stav s o ěco vyšší teplotou chceme dodržet objem: v v0,580 m3 Nejbližší dolí idex d a horí idex h objemy a k im příslušící parametry jsou: p,05mpa vd 0,548 m3/ td 30 C hd 3093, k/ vh 0,595 m3/ th 330 C hh 34,6 k/ Iterpolovaá hodota teploty a měré etalpie pak jsou: v v d 0,003 0,955 t t t t ,889 C 0,009 0,003 v h v d d h d v v d 0,580 0,548 k h h h h 3093,34,6 3093, 307,770 0,595 0,548 v h v d d h d Měrou vitří eergii pak dostaeme jako: uh p v 307,770 03, , ,870 k K A po dosazeí: cv Δq ΔT vkost u u 836, ,7 k, , K K t t Případ c Pro výchozí stav platí hledáme v sekci jedofázové oblasti: p MPa ; t400 C m3 v0,3066 ; uh p v364, , ,8 0 h364,4 k K k

111 Pro stav s o ěco vyšší teplotou chceme dodržet objem: v v0,3066 m3 Nejbližší dolí idex d a horí idex h objemy a k im příslušící parametry jsou: p,05mpa vd 0,3055 m3/ td 430 C hd 337,7 k/ vh 0,300 m3/ th 440 C hh 3349, k/ Iterpolovaá hodota teploty a měré etalpie pak jsou: 0,3066 0,3055 v v d t t d t h t d ,444 C 0,300 0,3055 v h v d v v d 0,3066 0,3055 k h h h h 337,73349, 337,7 333,93 0,300 0,3055 v h v d d h d Měrou vitří eergii pak dostaeme jako: uh p v 333,93 03, , ,00 k K A po dosazeí: cv Δq ΔT vkost u u 30,00 957,8 k, , K K t t Nakoec vyjádříme hodotu Poissoovy kostaty: Případ a κ c p 55,43 c v 763 κ c p 40,33 c v 60 κ c p 30,30 c v 640 Případ b Případ c Pro přehledost jsou všechy hodoty shruty v tabulce: Tlak [Pa] 0 6 Teplota [ C] cp [/K] cv [/K] κ [-] , , ,30

112 Příklad 5.8 Určete izobarickou a izochorickou měrou tepelou kapacitu a Poissoovu kostatu pro mokrou páru o teplotě 00 C a suchosti 0,5. Dáo: t 00 C; x 0,5 Určete: cp??; cv??; κ?? Řešeí: Izobarickou a izochorickou tepelou kapacitu můžeme obecě i pro reálý ply defiovat jako: dtdq dq c dt c p v pkost vkost Poissoova kostata pak je: κ cp cv Nejdříve se vypořádáme s izobarickou tepelou kapacitou. elikož se stav achází v oblasti mokré páry, tak při kostatím tlaku bude rověž kostatí teplota. Měré teplo však ulové ebude teplo je využito a změu fáze: T kost dt 0 ale dq 0 Z toho tedy plye, že: c p± Pozámka k řešeí: Pokud bychom si zvolili krok teploty Δt, podobě jako v předchozím příkladě, udělali bychom příliš velký krok ve z oblasti mokré páry. Body by tak v diagramu ebyly blízko sebe, což je důležité, aby platil předpoklad, že podíl derivací se přibližě rová podílu diferecí. Nyí přistoupíme k výpočtu izochorické tepelé kapacity. Derivaci si a základě tabulek přiblížíme pouhým podílem diferecí: dtdq cv vkost ΔΔ Tq vkost Přivedeé teplo potom vyjádříme z. tvaru. ZTD víme, že dv 0 a tedy a 0: dqdu dadu V tomto příkladě bude ukázá postup s použitím více možostí přiblížeí derivace kokrétě s použitím dopředé diferece, zpěté diferece a cetrálí diferece:. způsob dopředá diferece: Teplo přiblížíme jako rozdíl měré vitří eergie v stavu s o ěco vyšší teplotou a ve zkoumaém stavu: Δ qδ uu u

113 Nejprve tedy staovíme vitří eergii ve zkoumaém stavu. Pro t 00 C vyhledáme v sekci vlastosti a mezi sytosti podle tlaku hodoty tlaku sytosti objemů a mezích sytosti a etalpií a mezích sytosti. ps p 0,04 MPa v 0, m3/ h 49, k/ v,67 m3/ h 675,6 k/ Suchost máme zadáu, takže můžeme vyjádřit: hh' x h ' ' h ' 49, 0,5 675,6 49, 547,35 k uh p v547, , , /K46,5 v v ' x v ' ' v ' 0, ,5,67 0, ,8365 k m3 Pro stav musí platit: v v0,8365 m3 Nyí pro t 0 C vyhledáme v sekci vlastosti a mezi sytosti podle teploty hodoty tlaku sytosti, měrých objemů a mezích sytosti a etalpií a mezích sytosti: ps p 0,0509 MPa v 0,00044 m3/ h 43,3 k/ v,67 m3/ h 677, k/ elikož v <v<v, jde epřekvapivě stále o mokrou páru. Nejprve tedy vyjádříme suchost: v v ' x v ' ' v ' x v v ' 0,8365 0, ,570,67 0,00044 v ' ' v ' Dále vyčíslíme měrou vitří eergii v stavu: hh ' x h ' ' h ' 43,3 0, , 43,3 588,57 uh p v 588, , , ,65 k k Po dosazeí do vztahu pro izochorickou tepelou kapacitu pak dostaeme: cv Δq ΔT vkost u u 500,65 46,5 k 38, K K t t. způsob zpětá diferece: Teplo tetokrát přiblížíme jako rozdíl měré vitří eergie v zkoumaém stavu a ve stavu s o ěco ižší teplotou: 3

114 Δ qδ uu u Pro t 00 C hodoty měrého objemu a vitří eergie již máme: u46,5 k v 0,8365 m3 Pro stav- musí platit: v v 0,8365 m3 Nyí pro t- 99 C vyhledáme v sekci vlastosti a mezi sytosti podle teploty hodoty tlaku sytosti, měrých objemů a mezích sytosti a etalpií a mezích sytosti: ps- p- 0,09785 MPa v- 0,00047 m3/ h- 44,88 k/ v-,79 m3/ h- 674,0 k/ elikož v- <v-<v-, jde epřekvapivě stále o mokrou páru. Nejprve tedy vyjádříme suchost: v v ' x v ' ' v ' x v v ' 0,8365 0, ,4835,79 0,00047 v ' ' v ' Dále opět vyjádříme měrou vitří eergii: h h ' x h ' ' h ' 44,880, ,0 44,88 507,8 u h p v 507, , , ,33 k k A po dosazeí: Δq cv ΔT u u 46,5 45,33 k 37, K K t t vkost Tedy rozdíl cca o,5% od výpočtu s dopředou diferecí. 3. způsob cetrálí diferece: Teplo tetokrát přiblížíme jako rozdíl měré vitří eergie ve stavu s o ěco vyšší teplotou a ve stavu s o ěco ižší teplotou: Δ qδ uu u Hodoty vitřích eergií pro t 0 C a t- 99 C již záme: u500,65 4 k

115 u 45,33 k stačí tedy pouze dosadit: Δq cv ΔT u u 500,65 45,33 k 37, K K t t vkost Hodota izochorické tepelé kapacity je v tomto případě mezi hodotami pro případ s dopředou a se zpětou diferecí. Poissoova kostata v oblasti mokré páry pak abývá hodoty: κ ± 5

116 5. Raki Clausiův cyklus Teoretický základ Raki-Clausiův cyklus je podobý Ericso-Braytoovu cyklu v tom smyslu, že pracuje se stejými změami, avšak tetokrát s reálým plyem. Průběh Raki-Clausiova cyklu je vyobraze íže: - adiabatická expaze -3 izobarický odvod tepla 3-4 adiabatická komprese 4- izobarický přívod tepla Defiice práce cyklu adále platí: ac a at q Rověž platí defiice termické účiosti: a q q q q η c přiv odv odv odv q přiv q přiv q přiv q přiv U chladících reverzích cyklů adále platí defiice chladícího faktoru: f qodv qodv qodv q odv ac q přiv qodv q přiv q odv a c Pro účel zahrutí edokoalostí adiabatické expaze, či komprese se zavádí termodyamická účiost eplést s termickou účiostí. Termodyamická účiost čerpadla změa 3-4 je defiováa jako: a Čt η Č at SK Č TD Termodyamická účiost turbíy změa - je defiováa jako: η ČTD att SK att 6

117 Příklad 5.9 Elektrára o tepelém příkou 500MW pracuje a pricipu Raki-Clausiova cyklu. Tlak před turbíou je 0MPa, teplota před turbíou je 550 C. Určete výko elektráry a její účiost pro kodezačí teplotu a 30 C a b 5 C. Pozámka k zadáí: Kodezačí teplota je u elektráre závislá a teplotě okolí je o ěco mála vyšší ež teplota okolí, ale voda esmí pochopitelě zamrzout tedy vždy více ež 0 C. Tedy kodezačí teplota 30 C by mohla být v letím období a teplota 5 C v zimím období. Dáo: p 0 MPa; t 550 C; Q 500 MW Určete: P??; η?? pro a t t3 30 C b t t3 5 C Řešeí: a kodezačí teplota 30 C Nejdříve určíme parametry v bodech respektive ás budou zajímat zejméa měré etalpie. bod : elikož t>tkr, emůže jít o mokrou páru. V sekci jedofázové oblasti tedy přímo vyhledáme hodoty měrého obejmu, měré etalpie a měré etropie: v 0,0657 m3/ h 3396, k/ s 6,3390 k/k bod : Změa je adiabatická, a proto: s s6,3390 k K Dále v sekci vlastosti a mezi sytosti podle teploty t 30 C vyhledáme hodoty etropií a mezích sytosti s 0,4368 k/ a s 8,454 k/. elikož tedy s <s<s, jde o mokrou páru. Ve stejém řádku tedy vyhledáme všechy parametry a mezích sytosti: 7

118 p ps 0,00447MPa v 0,000044m3/ 3 v 3,88 m / h 5,75 k/ s 0,4368 k/k h 555,6 k/ s 8,454 k/k Dále vypočteme vlhkost: s s ' x s ' ' s ' x s s ' 6,3390 0,4368 0,736 s ' ' s ' 8,454 0,4368 a poté dopočteme ostatí stavové veličiy: v v ' x v ' ' v '0, ,736 3,88 0, , hh ' x h ' ' h '5,750, ,6 5,75 94, m3 k bod 3: Stav v bodě 3 se vyskytuje a levé mezí křivce sytá kapalia, tedy: t 3 t 30 C x 30 ; Proto v sekci vlastosti a mezi sytosti podle teploty t 3 30 C vyhledáme hodoty a levé mezí křivce, jež jsou přímo hodotami v bodě 3: p3 p3s 0,00447MPa v3 v3 0, m3/ h3 h3 5,75 k/ s3 s3 0,4368 k/k bod 4: Víme, že: p4 p 0 MPa s 4 s 30,4368 k K Kvůli čleěí a rozlišeí tabulek eí v tomto případě vhodé použít hodoty pro ejbližší etropii, eboť ejbližší hodota v tabulkách je ta pro bod 3 body 3 a 4 by ám splývaly. elikož ale ve stavech 3 a 4 jde o kapalou vodou, můžeme zjedodušeě říci, že: v 4 v 30, m3 kvůli přibližě kostatímu objemu pak můžeme vyjádřit měrou techickou práci čerpadla jako: a v dp v dp v3 dpv 3 p3 p4 0, , ,084 č t 8 k

119 v důsledku pak můžeme dopočítat etalpii v bodě 4 s použitím. ZTD: q34 Δ h34 a t 340 at 34 Δ h34 h 4 h3h3 h 4 h4 h3 at 34 5,75 0,08445,834 k Alterativě bychom mohli hodoty staovit iterpolací z tabulek: Nalezeme parametry pro tlak p 4 0 MPa a ejbližší ižší idex d - dolí a ejbližší vyšší idex h - horí hodotu etropie. t4d 30 C v4d 0, m3/ h4d 43,9 k/ s4d 0,4306 k/k t4d 40 C v4d 0, m3/ h4d 85, k/ s4d 0,5646 k/k Přesější hodoty stavových veliči pak získáme jako: t 4t 4 d t 4 h t 4 d s4 s4 d 0,4368 0, ,46 C s 4 h s4 d 0,5646 0,4306 s 4 s 4 d 0,4368 0,4306 v 4v 4 d v 4 h v 4 d 0, , , s 4 h s4 d 0,5646 0,4306 v 4 0, m3 s s 0,4368 0,4306 k h4 h4 d h4 h h4 d 4 4 d 43,985, 43,9 45,8 s 4 h s 4 d 0,5646 0,4306 přesější výko čerpadla by pak byl: ačt at 34 Δ h 34 h4 h3h3 h 45,75 45,8 3,06 e tedy vidět, že zjedodušeím jsme příliš velkou chybu eudělali. elikož yí záme hodoty etalpií, můžeme yí vyjádřit přivedeé teplo: q 4 Δ h 4 a t 4 Δ h 4 q přiv q 4 Δ h4 h h4 3396, 48, ,4 Hmotostí tok páry pak je: m Q ,83 3 q přiv 350,4 0 s Dále můžeme vyjádřit měré odvedeé teplo: q 3 Δ h3 at 3Δ h3 9 k k

120 q odvq3 Δ h 3 h3 h 5,75 94, 788,35 k Měrá techická práce turbíy je: q Δ h at 0 att a t Δ h h hh h3396, 94, 48, k Měrá práce cyklu je: ac qq přiv q odv 350,4 788,35 46,05 k Nakoec můžeme vyjádřit výko a termickou účiost: Pm a c 53,83 46, ,907 MW η ac 46,05 45 % q přiv 350,4 b kodezačí teplota 5 C Nejdříve opět určíme parametry v bodech. Bod je ezměě, tedy platí: v 0,0657 m3/ h 3396, k/ s 6,3390 k/k bod : s s6,3390 k K Dále v sekci vlastosti a mezi sytosti podle teploty t 5 C vyhledáme hodoty etropií a mezích sytosti s 0,0763 k/ a s 9,049 k/. elikož tedy s <s<s, jde o mokrou páru. Ve stejém řádku tedy vyhledáme všechy parametry a mezích sytosti: p ps 0,000876MPa v 0,00000m3/ 3 v 47,0 m / h,0 k/ s 0,0763 k/k h 50, k/ s 9,049 k/k Dále vypočteme vlhkost: s s ' x s ' ' s ' x s s ' 6,3390 0,0763 0,6999 s ' ' s ' 9,049 0,0763 a poté dopočteme ostatí stavové veličiy: v v ' x v ' ' v '0,000000, , ,89 0 m3

121 hh ' x h ' ' h ',00, ,,0 763,3 k bod 3: Stav v bodě 3 se vyskytuje a levé mezí křivce sytá kapalia, tedy: t 3 t 5 C ; x 30 Proto v sekci vlastosti a mezi sytosti podle teploty t 3 5 C vyhledáme hodoty a levé mezí křivce, jež jsou přímo hodotami v bodě 3: p3 p3s 0,000876MPa v3 v3 0,00000 m3/ h3 h3,0 k/ s3 s3 0,0763 k/k bod 4: Víme, že: p4 p 0 MPa s 4 s 30,0763 k K Použijeme zjedodušeí, že ve stavech 3 a 4 jde o kapalou vodou, můžeme zjedodušeě říci, že: v 4 v 30,00000 m3 kvůli přibližě kostatímu objemu pak můžeme vyjádřit měrou techickou práci čerpadla jako: at 34 v dp v dp v3 dpv 3 p3 p4 0, , ,00 v důsledku pak můžeme dopočítat etalpii v bodě 4 s použitím. ZTD: q34 Δ h34 a t 340 ačt at 34 Δ h 34 h4 h3h3 h 4 h4 h3 at 34,0 0,004,0 k elikož záme hodoty etalpií, můžeme yí vyjádřit přivedeé teplo: q 4 Δ h 4 a t 4 Δ h 4 q přiv q 4 Δ h4 h h4 3396, 4,0 3355,8 Hmotostí tok páry pak je: m Q ,03 q přiv 3355,8 03 s k k

122 Dále můžeme vyjádřit měré odvedeé teplo: q 3 Δ h3 at 3Δ h3 q odvq3 Δ h 3 h3 h,0 763,3 74, k Měrá techická práce turbíy je: q Δ h at 0 att a t Δ h h hh h3396, 763,3 633,07 k Měrá práce cyklu je: ac qq přiv q odv 3355,8 74, 63,07 k Nakoec můžeme opět vyjádřit výko a termickou účiost: Pm a c 49,03 63, ,38 MW η ac 63,07 48,% q přiv 3355,8 Účiost tedy pro kodezačí teplotu 5 C vzrostla o 3,% absolutího proceta, a to dokoce při árůstu elektrického výkou elektráry. Příklad 5.0 Elektrára o tepelém příkou 00 MW pracuje a pricipu Raki-Clausiova cyklu. Tlak před turbíou je 8 MPa, teplota před turbíou je 550 C. Kodezačí teplota je 0 C. Určete výko elektráry a její účiost. ak se situace změí pro reálější případ se zahrutím termodyamické účiosti turbíy η TTD 0,9 a čerpadla η čtd 0,88? T č Dáo: p 8 MPa; t 550 C; t t3 0 C; η TD 0,9 ; η TD 0,88 ; Q 00 MW Určete: P??; η?? pro a ideálí případ b se zahrutím termodyamických účiostí Řešeí:

123 a ideálí případ Nejdříve určíme parametry v bodech - zajímají ás zejméa měré etalpie. bod : elikož t>tkr, emůže jít o mokrou páru. V sekci jedofázové oblasti tedy přímo vyhledáme hodoty měrého obejmu, měré etalpie a měré etropie: v 0,0870 m3/ h 348,3 k/ s 6,4085 k/k bod : změa je adiabatická, a proto: s s6,4085 k K Nejprve v sekci vlastosti a mezi sytosti podle teploty t 0 C vyhledáme hodoty etropií a mezích sytosti s 0,965 k/ a s 8,666 k/. elikož tedy s <s<s, jde o mokrou páru. Ve stejém řádku tedy vyhledáme všechy parametry a mezích sytosti: p ps 0,00339MPa v 0,00008m3/ h 83,9 k/ s 0,965 k/k v 57,76 m3/ h 537,5 k/ s 8,666 k/k Dále vypočteme vlhkost: s s ' x s ' ' s ' x s s ' 6,4085 0,965 0,80 s ' ' s ' 8,666 0,965 a poté dopočteme ostatí stavové veličiy: m3 v v ' x v ' ' v '0, ,80 57,76 0, ,7 hh ' x h ' ' h '83,90,80 537,5 83,9 049,48 3 k

124 bod 3: Stav v bodě 3 se vyskytuje a levé mezí křivce sytá kapalia, tedy: t 3 t 0 C ; x 30 Proto v sekci vlastosti a mezi sytosti podle teploty t 3 0 C vyhledáme hodoty a levé mezí křivce, jež jsou přímo hodotami v bodě 3: p3 p3s 0,00339MPa v3 v3 0,00008 m3/ h3 h3 83,9 k/ s3 s3 0,965 k/k bod 4: Víme, že: p4 p 8 MPa s 4 s 30,965 k K Dále použijeme zjedodušeí, že ve stavech 3 a 4 jde o kapalou vodou, můžeme zjedodušeě říci, že: m3 v 4 v 30,00008 kvůli přibližě kostatímu objemu pak můžeme vyjádřit měrou techickou práci čerpadla jako: at 34 v dp v dp v3 dpv 3 p3 p4 0, , ,03 v důsledku pak můžeme dopočítat etalpii v bodě 4 s použitím. ZTD: q34 Δ h34 a t 34 0 ačt at 34 Δ h 34 h4 h3h3 h 4 h4 h3 at 34 83,9 8,030,95 k elikož záme hodoty etalpií, můžeme yí vyjádřit přivedeé teplo: q 4 Δ h 4 a t 4 Δ h 4 q přiv q 4 Δ h4 h h4 348,3 0,95 336,35 Hmotostí tok páry pak je: m Q ,3 3 q přiv 336,35 0 s 4 k k

125 Dále můžeme vyjádřit měré odvedeé teplo: q 3 Δ h3 at 3Δ h3 q odvq3 Δ h 3 h3 h 83,9 049,48 965,56 k Měrá techická práce turbíy je: q Δ h at 0 att a t Δ h h hh h348,3 049,48 368,8 k Měrá práce cyklu je: ac qq přiv q odv 336,35 965,56 350,79 k Nakoec můžeme vyjádřit výko a termickou účiost: Pm a c 60,3 350, ,47 MW η ac 350,79 40,7 % q přiv 336,35 b reálý případ - s uvážeím termodyamických účiostí V tomto případě budou odlišé pouze etalpie v bodech a 4. Ke skutečé měré etalpii v bodě se dostaeme z defiice termodyamické účiosti pro turbíu v kombiací s.ztd: attsk att η TTD h h sk h h η TTD h sk h h h η TTD 348,3 348,3 049,48 0,9 58,99 k K Ke skutečé měré etalpii v bodě 4 se dostaeme z defiice termodyamické účiosti pro čerpadlo v kombiací s.ztd: ačt a č η TD č tsk h3 h4 sk h4 sk h3 h3 h4 η č TD 83,9 h3 h4 η čtd 83,9 0,95 k 04,4 0,88 Přivedeé teplo pak je: q 4 sk Δ h 4 sk at 4 sk Δ h 4 sk 5

126 q přiv skq4 sk Δ h4 sk h h 4 sk 348,3 04,4 333,89 k Hmotostí tok páry pak je: m sk 60,35 3 q přiv sk 333,89 0 s Q Měré odvedeé teplo je: q sk 3 Δ h sk 3 at sk 3 Δ h sk 3 q odv sk q sk 3 Δ h sk 3h 3 h sk 83,9 58,99 075,07 k Měrá techická práce turbíy: att sk att η TTD 368,8 0,9 59,3 k Měrá práce cyklu: ac sk qq přiv sk q odv sk 333,89 075,07 38,8 k A akoec výko a termická účiost jsou: Psk m sk a c sk60,35 38, ,76 MW η sk ac sk 38,8 37,4 % q přiv sk 333,89 Účiost a výko jsou tedy o ěco ižší, kvůli termodyamickým ztrátám čerpadla a turbíy. Příklad 5. Elektrára o tepelém příkou 00 MW pracuje a pricipu Raki-Clausiova cyklu s přihříváím. Tlak před vysokotlakým dílem turbíy je 8 MPa a teplota je 550 C. Tlak před ízkotlakým dílem turbíy je 4 MPa a teplota je opět 550 C. Kodezačí teplota je 0 C. Určete výko elektráry a její účiost. Pozámka k zadáí: V podstatě všechy klasické elektráry pracují a pricipu Raki-Clausiova cyklu s přihříváím. Dáo: p 8 MPa; p* p* 4 MPa; t t* 550 C; t t3 0 C; Q 00 MW Určete: P??; η?? Řešeí: 6

127 Nejdříve určíme parametry v bodech - opět ás zajímají zejméa měré etalpie. bod : elikož t>tkr, emůže jít o mokrou páru. V sekci jedofázové oblasti tedy přímo vyhledáme hodoty měrého obejmu, měré etalpie a měré etropie: v 0,0870 m3/ h 348,3 k/ s 6,4085 k/k Pro bod * platí: p 4 MPa s s 6,4085 ; k K Dále v tabulkách v sekci vlastosti a mezi sytosti podle tlaku pro tlak p * 4MPa vyhledáme hodotu etropií a mezích sytosti s*,7967 k/ a s* 6,0697 k/. elikož tedy s * <s*, jde o přehřátou páru. Pokusíme se tedy v sekci jedofázová oblast vyhledat buňku pro daý tlak a etropii. Přesá hodota etropie s* 6,4085 k/k se v tabulce evyskytuje. Musíme tedy buď hodoty iterpolovat, ebo použít stav s ejbližší tabelovaou etropií 6,48 k/k při teplotě 30 C: t* 30 C v* 0,06047 m3/ h* 989,4 k/ Pro bod * platí: p 4 MPa ; t t 550 C elikož t*>tkr, emůže jít o mokrou páru. V sekci jedofázové oblasti tedy přímo vyhledáme hodoty měrého obejmu, měré etalpie a měré etropie: v* 0,0970 m3/ h* 3560, k/ 7 s* 7,353 k/k

128 bod : Změa * je adiabatická, a proto: s s 7,353 k K Dále v sekci vlastosti a mezi sytosti podle teploty t 0 C vyhledáme hodoty etropií a mezích sytosti s 0,965 k/ a s 8,666 k/. elikož tedy s <s<s, jde o mokrou páru. Ve stejém řádku tedy vyhledáme všechy parametry a mezích sytosti: p ps 0,00339MPa v 0,00008m3/ 3 v 57,76 m / h 83,9 k/ s 0,965 k/k h 537,5 k/ s 8,666 k/k Dále vypočteme vlhkost: s s ' x s ' ' s ' x s s ' 7,353 0,965 0,89 s ' ' s ' 8,666 0,965 Poté dopočteme ostatí stavové veličiy: v v ' x v ' ' v '0, ,89 57,76 0, ,78 hh ' x h ' ' h '83,90,80 537,5 83,9 7,94 m3 k bod 3: Stav v bodě 3 se vyskytuje a levé mezí křivce sytá kapalia, tedy: t 3 t 0 C ; x 30 Proto v sekci vlastosti a mezi sytosti podle teploty t 3 0 C vyhledáme hodoty a levé mezí křivce, jež jsou přímo hodotami v bodě 3: p3 p3s 0,00339MPa v3 v3 0,00008 m3/ h3 h3 83,9 k/ s3 s3 0,965 k/k bod 4: Víme, že: p4 p 8 MPa s 4 s 30,965 k K Ve stavech 3 a 4 jde o kapalou vodou, můžeme zjedodušeě říci, že: m3 v 4 v 30,

129 kvůli přibližě kostatímu objemu pak můžeme vyjádřit měrou techickou práci čerpadla jako: at 34 v dp v dp v3 dpv 3 p3 p4 0, , ,03 k v důsledku pak můžeme dopočítat etalpii v bodě 4 s použitím. ZTD: q34 Δ h34 a t 34 0 ačt at 34 Δ h 34 h4 h3h3 h 4 h4 h3 at 34 83,9 8,030,95 k Teplo se přivádí při změě 4 v geerátoru páry a přehříváku páry a při změě ** v přihříváku páry: q 4 Δ h 4 a t 4 Δ h 4 q 4 Δ h 4h h4 348,3 0,95 336,35 k q **Δ h** a** Δ h ** q **Δ h**h * h* 3560, 989,4 570,8 q přiv q 4 q **336,35 570,8 3887,5 k k Hmotostí tok páry pak je: Q m 5,45 3 q přiv 3887,5 0 s Měré odvedeé teplo: q 3 Δ h3 at 3 Δ h3 q odvq3 Δ h 3 h3 h 83,9 7,94 034,0 k Techická práce turbíy VT díl: q* Δ h* a t*0 avt t a t* Δ h* h* hh h* 348,3 989,4 48,9 techická práce turbíy NT díl: q* Δ h* a t*0 9 k

130 atnt a t* Δ h* h h* h* h3560, 7,94 44,6 k Měrá práce cyklu: ac qq přiv q odv 3887,5 034,0 853,3 k Výko a termická účiost: Pm a c 5,45 853, ,34 MW η ac 853,3 47,7 % q přiv 3887,5 Pozámka k výsledkům: V porováí s předchozím příkladem ideálí případ je vidět, že byla začě zvýšea účiost elektráry 40,7%->47,7%. Navíc došlo k poklesu hmotostího průtoku páry 60,3 /s->5,45 /s. 30

131 6 Sdíleí tepla 6. Vedeí tepla, přestup tepla, prostup tepla Teoretický základ Tepelý tok v pevé látce v určitém bodě je defiová Biot-Fourierůvým zákoem tok tepla je ve skutečosti vektor, ale ve sbírce příkladů se omezíme a D problémy: q λ grad T Pro určeí rozložeí teplot v pevé látce slouží Fourier-Kirchofova rovice: q dt λ div grad T v d τ ρ c ρ c kde a λ ρ c je součiitel teplotí vodivosti [m/s] Fourier-Kirchofova rovice platí i pro estacioárí úlohy a pro úlohy s vitřím zdrojem tepla q v [W/m3] teplo je dodáváo z vitra objemu pevé látky apříklad elektrickým vyhříváím, či radioaktivím rozpadem. Přestup tepla z tekutiy do stěy je popsá rovicí v tomto případě je tepelý tok skutečě skalár: q α T f T w kde Tf je teplota tekutiy a Tw je teplota stěy. Pokud Biot Fourierů záko, Fourier-Kirchofovu rovici a rovici přestupu tepla aplikujeme a běžé praktické případy, dostaeme zjedodušeé vztahy. Kokrétě ás bude zajímat případ vedeí a prostupu tepla bez vitřího zdroje skrze rovou a válcovou stěu. Výsledé zjedodušeé vztahy jsou uvedey íže: Vedeí tepla - složeá rová stěa Tepelý tok od stěy ke stěě lze vyjádřit jako: Q k S T T 3

132 kde k [W/m] je součiitel prostupu tepla a je dá jako: k δ λ ii i Prostup tepla - složeá rová stěa Tepelý tok od stěy ke stěě lze pak vyjádřit jako: Q k S T f T f kde k [W/m] je opět součiitel prostupu tepla a je dá jako: k δi α λ i α i Vedeí tepla - složeá válcová stěa 3

133 Tepelý tok od vitří stěy k vější stěě pak lze vyjádřit jako: Q k l π l T T kde kl [W/m] je délkový součiitel prostupu tepla a je dá jako: k l r λi l r i větší i i meší Alterativě je možé defiovat opět součiitel prostupu tepla k [W/m ] vztažeý a plochu. elikož ale vitří a vější plocha emají stejou velikost, musí být součiitel prostupu tepla vztaže k určité ploše: Q k S S T T ; Q k S S T T kde k S r i větší r λ l r i meší i i ; k S r i větší r λ l r i meší i i Prostup tepla - složeá válcová stěa Tepelý tok od vitří stěy k vější stěě pak lze vyjádřit jako: Q k l π l T f T f kde kl [W/m] je opět délkový součiitel prostupu tepla a je dá jako: k l r i větší λ l α r i i r i meší α r Alterativě je možé defiovat opět součiitel prostupu tepla k [W/m ] vztažeý a plochu: 33

134 Q k S S T T ; Q k S S T T kde k S α r r l i větší λ i r i meší α r i r ; k S α r r l i větší λ i r i meší α r i r Příklad 6. Určete tepelý tok a závislost teploty a poloze pro jedoduchou rovou stěou. Stěa má tloušťku 0, m a plochu 0 m a je tvořea z cihel, jež mají součiitel tepelé vodivosti 0,5 W/mK. Povrchová teplota a jedé straě stěy je 0 C a povrchová teplota a druhé straě stěy je -0 C. Dáo: δ 0, m; λ 0,5 W/mK; S 0 m; t 0 C; t -0 C Určete: t fx??; Q?? Řešeí: Budou ukázáy dva postupy prví s přímým použitím Biot-Fourierova zákoa a druhý s použitím Fourier-Kirchofovy rovice.. způsob Biot-Fourierův záko Biot-Fourierův záko má tvar: Q λ S grad T Pro D úlohu potom můžeme apsat dt Q λ S dx Vyřešíme pro teplotu T: Q dx λ S dt / Q x λ S T C 34

135 T Q x C λ S Nyí aplikujeme okrajové podmíky. Prví podmíkou je, že pro x 0 je teplota T T tím dostaeme: CT Druhá okrajová podmíka je, že pro x δ; TT tím můžeme vyřešit tepelý tok: T Q T T Q δ Q δ C T λ S λ S λ S 0, W δ 0, Nyí se vrátíme k teplotě do vztahu pro teplotu dosadíme za itegračí kostatu a za tepelý tok, čímž dostaeme závislost: λ S T T Q x δ xt T T T x T C δ λ S λ S x T x 0, ; x <0;0,>. způsob Fourier-Kirchofova rovice Fourier-Kirchofova rovice má ásledující tvar: q dt λ div grad T v d τ ρ c ρ c elikož řešíme D stacioárí případ bez vitřího zdroje, tak se zjedoduší a: 0 λ div grad T 0 ρ c ρ c / λ div grad T 0 dt 0 d x Dále rovici zitegrujeme: dt 0 d x / dt C dx / T C x C Prví okrajovou podmíkou je, že pro x 0; T T, čímž dostaeme: C T 35

136 A po aplikaci druhé okrajové podmíky, že pro xδ; TT : T C δ CC δ T C T T δ Po dosazeí do vztahu pro teplotu dostaeme: T T T x x δ x T T T T δ , 0 50 x Dosadíme-li do vztahu pro prví derivaci teploty jež je gradietem, dostaeme: d T T T δ grad T dx Tepelý tok dostaeme z Biot-Fourierova zákoa: T T 0 0 Q λ S grad T λ S δ 0, W 0, Příklad 6. Skrze eizolovaé ocelové potrubí protéká teplá voda. Potrubí má vitří poloměr 5 cm a vější poloměr 6 cm. Určete tepelý tok a závislost teploty a poloměru m potrubí. Teplotu a vitří stěě potrubí uvažujte 80 C a a vější straě potrubí 0 C. Součiitel tepelé vodivosti daé oceli je přibližě 5 W/mK. Dáo: T 80 C; T 0 C; r 0,05 m; r 0,06 m; λ 5 W/mK; l m Určete: t fr??; Q?? Řešeí: Pro teto příklad použijeme Biot-Fourierův záko. Pro válec ovšem plocha závisí a poloměru: Q λ Sr grad T 36

137 pro D ve válcových souřadicích pak platí: dt Q λ Sr dr Nyí separujeme proměé, dosadíme za plochu a zitegrujeme: dr λ dt Sr Q Q dr λ dt π r l / Q lr λ T C π l T Q l r C π λ Prví okrajová podmíka je, že pro rr; TT: T Q l R C π λ CT Q l R π λ Druhá okrajová podmíka pak je, že pro rr; TT, čímž můžeme vypočítat přeášeý tepelý výko: T R Q Q Q Q l R T l R l R l R l π λ π λ π λ π λ R T T T T 80 0 Q π l λ π l λ π W R R 0,06 l l l 0,05 R R Po dosazeí za kostatu a tepelý tok do vztahu pro teplotu dostaeme závislost teploty a poloměru: T Q Q Q Q r 5693 r l r C l r T l R T l 80 l π λ π λ π λ π λ R π 5 0,06 T 8039,09 l r 0,06 Příklad 6.3 Určete tepelý tok skrze složeou stěu plochy 0 m skládající se z 0, m vrstvy cihel, 0,05 m vrstvy izolace a 0,00 m vrstvy omítky. Součiitel tepelé vodivosti cihel je 0,5 W/mK, součiitel tepelé vodivosti izolace 0,03 W/mK a součiitel tepelé vodivosti omítky 0,8 W/mK. Povrchová teplota a vitří stěě budovy je 0 C a povrchová teplota a vější straě budovy je -0 C. ak by se tepelý tok změil, kdyby b a stěě chyběla omítka; c ve stěě chyběla izolace; d stěa by byla bez izolace i omítky? 37

138 Dáo: δ 0, m; λ 0,5 W/mK; δ 0,05 m; λ 0,03 W/mK; δ3 0,00 m; λ3 0,8 W/mK; S 0 m; t 0 C; t -0 C Určete: Q?? pro a stěu b stěu bez omítky c stěu bez izolace d stěu bez omítky i izolace Řešeí: a stěa Q S T T ,99W δ δ δ3 0, 0,05 0,00 λ λ λ3 0,5 0,03 0,8 b stěa pouze bez omítky Q bez omítkys T T δ δ λ λ ,6 W 0, 0,05 0,5 0,03 c stěa bez izolace, ale s omítkou Q bez izolace S T T ,34 W δ δ3 0, 0,00 λ λ3 0,5 0,8 d stěa bez izolace a bez omítky λ 0,5 Q S T T δ S T T δ W 0, λ 38

139 Příklad 6.4 Určete tepelý tok skrze složeou stěu plochy 5 m skládající se z 0,5 m vrstvy cihel, 0,08 m vrstvy izolace. Součiitel tepelé vodivosti cihel je 0,4 W/mK a součiitel tepelé vodivosti izolace 0,04 W/mK. Teplota vzduchu a vitří stěě budovy je 0 C a teplota vzduchu vější straě budovy je -5 C. Součiitel přestupu tepla a vitří stěě je 8 W/m K a a vější stěě je 3 W/m K. Dále určete povrchovou teplotu a vitří a vější stěě a teplota a rozhraí stěy a izolace. Dáo: δ 0,5 m; λ 0,4 W/mK; δ 0,08 m; λ 0,04 W/mK; S 5 m; ti 0 C; to -5 C; αi 8 W/mK; αo 3 W/mK; Určete: T??; T??; Tw??; Q?? Řešeí: Pro prostup tepla složeou stěou platí: Q S T i T o ,65 W δ δ 0,5 0,08 α i λ λ α o 8 0,4 0,04 3 Teplotu a površích stěa pak dostaeme z rovic pro přestup tepla: Q S T i T α i T T i Q 6,65 0 8,43 C S α i 5 8 Q S T T o α o T T o Q 6,65 5 4,46 C S α o 5 3 Teplotu a rozhraí stě pak dostaeme z rovice pro vedeí tepla aplikovaou a vhodě zvoleou podmožiu původí úlohy. Buď můžeme teplotu a rozhraí vyjádřit z rovice pro vedeí tepla cihlovou stěou: 39

140 λ Q S T T w δ T w T Q δ 6,65 0,5 8,43 0,6 C λ S 0,4 5 ebo teplotu a rozhraí můžeme vyjádřit z rovice pro vedeí tepla izolací: λ Q S T w T δ T w T Q δ 6,65 0,08 4,46 0,6 C λ S 0,04 5 Příklad 6.5 Určete tepelý tok skrze izolovaou ocelovou trubku délky 5 m. Součiitel tepelé vodivosti daé oceli je 5 W/mK a součiitel tepelé vodivosti izolace 0,05 W/mK. Vitří průměr potrubí je 0,05 m, vější průměr potrubí 0,0 m a vější průměr izolace 0,03 m. Trubkou protéká teplá voda o teplotě 80 C, přičemž součiitel přestupu tepla je 50 W/m K. Teplota okolího vzduchu je 0 C, přičemž součiitel přestupu tepla a vější stěě izolace je 30 W/mK. Dále určete povrchovou teplotu a vitří a vější stěě a teplotu a rozhraí stěy a izolace. Dáo: λ 5 W/mK; λ 0,05 W/mK; Ri 0,05 m; Rw 0,0 m; R o 0,03 m; l 5 m; ti 80 C; to 0 C; αi 50 W/mK; αo 30 W/mK Určete: T??; T??; Tw??; Q?? Řešeí: 40

141 Pro složeou válcovou stěu platí: Q π l T i T o Q π Rw R λ l λ l α i Ri Ri R w α o Ro 0,0 0,03 l l 50 0,05 5 0,05 0,05 0,0 30 0,03 94,8 W Teplotu a površích pak dostaeme ze vztahů pro přestup tepla: Q π l R i α i T i T T T i Q 94, ,4 C π l Ri α i π 5 0,05 50 Q π l R o α o T T o T T o Q 94,8 0 6,89 C π l R o α o π 5 0,03 30 Teplotu a rozhraí stě pak dostaeme opět z rovice pro vedeí tepla aplikovaou a vhodě zvoleou podmožiu původí úlohy. Buď můžeme teplotu a rozhraí vyjádřit z rovice pro vedeí tepla ocelovou trubkou: λ Q π l T T w R l w Ri Rw 0,0 94,8 l Ri 0,05 T w T 77,4 77,7 C π l λ π 5 5 Q l ebo teplotu a rozhraí můžeme vyjádřit z rovice pro vedeí tepla izolací: λ Q π l T w T R l Rw R 0,03 94,8 l Rw 0,0 T w T 6,89 77,7 C π l λ π 5 0,05 Q l 4

142 Příklad 6.6 Určete tepelý tok levou a pravou stěou elektrickým proudem vyhřívaé ocelové desky tloušťky 0, m plochy m. Deska je vyhřívaá výkoem 000W. Součiitel tepelé vodivosti daé oceli je 40 W/mK. Teplota a levé straě desky je 30 C a a pravé straě desky 0 C. Dále určete místo a velikost maximálí teploty v desce. Dáo: λ 40 W/mK; δ 0, m; S m; t 30 C; t 0 C; Q v 000 W Určete: xmax??; Tmax??; Q L?? ; Q P?? Řešeí: Nejdříve vyjádříme vydatost vitřího zdroje qv [W/m3] tepelý výko vytvářeý v m3 objemu tělesa: q v Q v Q v 000 W V S δ 0, m elikož je v této úloze přítome vitří zdroj tepla, musíme v prvím kroku použít Fourier-Kirchofovu rovici zatím emůžeme použít Biot-Fourierův záko, eboť tok tepla eí pro všechy řezy v desce stejý: q dt λ div grad T v d τ ρ c ρ c elikož ji aplikujeme a stacioárí D případ, tak se zjedoduší a: q 0 λ div grad T v ρ c ρ c dt 0 λ q v dx Separujeme proměé a rovici zitegrujeme: d dtdx qv dx λ 4 / / ρ c

143 q v x dt λ C dx / qv x T C x C λ Prví okrajovou podmíkou je, že pro x0; TT, čímž dostaeme: C T Druhou okrajovou podmíkou pak je, že pro xδ; TT : T C q v δ C δ T λ T T qv δ δ λ Po dosazeí do vztahu pro teplotu a prví derivaci teploty dostaeme: T qv x T T qv δ x T δ λ λ q v x T T q v δ dt λ δ dx λ Tok levou stěou můžeme vyjádřit z Biot-Fourierova zákoa v tomto případě je již aplikovaý a jedo kokrétí místo daé souřadicí x 0: dtdx x0 Q L λ S dt dx λ S x0 T T qv δ δ λ T T q v δ , W δ λ 0, 40 Tok pravou stěou můžeme rověž vyjádřit z Biot-Fourierova zákoa v tomto případě je opět aplikovaý a jedo kokrétí místo daé souřadicí x δ: q δ T T q δ T T q δ vλ δ v δ v λ λ x δ dt dx dtdx Q P λ S x δ q δ , W T T δ λ 0, 40 λ S v Pro kotrolu můžeme použít fakt, že teplo vytvořeé v desce musí být převedeo do okolí, protože jiak by emohlo jít o ustáleý stav absolutí hodota ve vztahu je proto, že ezáleží a tom, jestli teplo přejde směrem doleva proti směru zvoleého souřadého systému: Q v Q L Q P W Pro vyhodoceí maxima teploty ejprve položíme prví derivaci teploty ule, čímž zjistíme pozici maxima, miima ebo iflexího bodu: 43

144 dt dx x ext xx ext q v x ext T T q v δ λ δ λ 0 T T λ δ , 0,5m δ qv 0, 0000 Tato pozice se však evyskytuje v desce musí platit x <0; δ > x <0;0, >, maximálí teplota tedy je jeda z krajích teplot to, že se v itervalu evyskytuje žádá pozice, kde je derivace ulová zameá, že fukce teploty je ryze mootóí: T maxmax T ; T 30 C Příklad 6.7 Vyhřívaá ocelová destička tloušťky 0,05m plochy 0,05 m odděluje vitří prostor tekutiy o teplotě 40 C a vější prostor tekutiy o teplotě 0 C. Na vitří ploše je součiitel přestupu tepla 50 W/m K a a vější stěě 30 W/mK. Součiitel tepelé vodivosti daé oceli je 5 W/mK. Určete výko potřebý k vyhříváí této ocelové destičky tak, aby a vitří stěě edocházelo k výměě tepla s tekutiou. Dále určete povrchovou teplotu vitří a vější stěy a možství tepla odvedeého do tekutiy a vější stěě. Dáo: λ 5 W/mK; δ 0,05 m; S 0,05 m ; ti 40 C; to 0 C; Q i 0 W ; αi 50 W/mK; αo 30 W/mK Určete: t??; t??; Q V?? ; Q o?? Řešeí: Nejdříve si ujasíme okrajové podmíky a vější a vitří stěě. Aby a vitří stěě edocházelo k výměě tepla s tekutiou, musí platit, že teplota a vitří stěě je rová teplotě tekutiy: Q is T i T α i 0 W Q i λ S grad T x00 W 44 T T i grad T x00

145 Na vější stěě je přestup tepla popsá rovicí: Q os T T o α o Vyjádříme teplotu a vější stěě a dosadíme za přeášeý tepelý výko z Biot-Fourierova zákoa: T Q o T α o S o dtdx λ S dt T o αλ o dx x δ α o S xδ T o Nyí přikročíme k vyjádřeí teplotího profilu s použitím Fourier-Kirchofovy rovice: q dt λ div grad T v d τ ρ c ρ c elikož ji aplikujeme a D stacioárí úlohu, tak se zjedoduší a: q 0 λ div grad T v ρ c ρ c / ρ c dt 0 λ q v dx Provedeme separaci proměých a zitegrujeme: d q dx dt vλ dx / q v x dt λ C dx Nyí aplikujeme okrajovou podmíku zmíěou výše, že pro x0; grad T dt/dx 0 C0. Tím se rovice zjedoduší a: q v x dt λ dx / qv x T C λ Nyí aplikujeme druhou okrajovou podmíku opět již zmíěou výše, že pro x0; TT : C T Třetí okrajovou podmíkou je, že pro xδ; TT : T q v δ T λ přičemž teplotu T jsme si již vyjádřili a začátku příkladu vyjádřeo výše. Nyí do teploty T již můžeme dosadit za derivaci, čímž dostaeme: dt T αλ o dx q δ q δ T o αλ v T o αv T o o λ o x δ 45

146 Dosazeím do třetí okrajové podmíky porováím dvou předchozích rovic vyjádříme vydatost vitřího zdroje: qv δ q v δ T T o αo λ q v αδ δ T T o o λ q v T T o δ δ α o λ 40 0 W 650,5 3 0, 0, m 30 5 Výko, který je třeba přivádět do desky, je pak: Q v q v V qv S δ 650,5 0,05 0,05 9,3 W Teplotu a pravém povrchu pak dostaeme již je dosazeím do jedoho ze vztahů výše. Tedy buď do vztahu: q v δ 650,5 0,05 T T 40 39,4 C λ 5 ebo do vztahu: q v δ 650,5 0,05 T α o T o 0 39,4 C 30 46

147 6. Výměíky tepla Teoretický základ V této kapitole se zaměříme a výměu tepla ve rekuperačích výměících tepla. Zaměříme se a dva druhy tepelých výměíků, souproudý a protiproudý. U souproudého výměíku média proudí podél teplosměé plochy ve stejém směru a u protiproudého výměíku média proudí v opačých směrech viz obrázek: Na rozdíl od uvedeých případů v kapitole 6. se teplota v průběhu výměíku tepla měí. Abychom vyjádřili tepelý tok mezi médii, musíme vyřešit soustavu 3 rovic. Prví rovicí je rovice pro elemet předaého tepla dq za čas τ pro studeé ohřívaé médium: dq m S τ dt S c S Druhou rovicí je rovice pro elemet předaého tepla dq za čas τ pro teplé ohřívající médium míus je proto, že vyjadřujeme teplo předaé z teplého média do studeého zde tedy vyjadřujeme ztrátu tepla, což je opačě ež běžé začeí tepla: dq m T τ dt T c T a posledí rovicí je rovice pro prostup tepla: dqk ds T T T S τ Výsledkem řešeí těchto tří rovic je, že prostup skrze teplosměé plochy výměíku se řídí vztahy uvedeými v kapitole 6.., pouze se místo teplotího rozdílu do vztahů dosadí tzv. středí logaritmický teplotí rozdíl. Druhým důsledkem řešeí je, že průběh teplot ve výměíku má tvar expoeciál. Teplo předávaé mezi médii je možo vyčíslit ze vztahu: Q k S Δ T l Vztah pro středí logaritmický teplotí spád je: Δ T l Δ T ' ' Δ T ' T T ' ' T S ' ' T T ' T S ' ΔT '' T ' ' T S ' ' l l T ΔT ' T T ' T S ' kde teploty s jedou čárkou jsou a jedé straě výměíku př. vlevo a teploty s dvěma čárkami a druhé straě výměíku vpravo. Úpravami se lze dostat i ke vztahu: Δ T l Δ T ' Δ T ' ' T T ' T S ' T T ' ' T S ' ' ΔT ' T T ' T S ' l l ΔT '' T T ' ' T S ' ' 47

148 de tedy pouze o to, aby teplotí rozdíl, který je dosaze prví v rozdílu, byl použit v čitateli zlomku uvitř logaritmu. Vztahy jsou stejé pro souproudý a protiproudý výměík pouze je jié ozačeí teplot. Situace je demostrováa a obrázku íže pro oba případy předává výměík stejý výko a vstupí a výstupí teploty médií jsou shodé. Teploty s jedou čárkou jsou v obou případech a jedé straě výměíku vlevo a teploty s dvěma čárkami a druhé straě výměíku vpravo. U protiproudého výměíku může astat speciálí případ, kdy Δ T ' Δ T ' '0, tedy že Δ T ' Δ T ' ', čímž bychom dostali výraz pro Δ T l ve tvaru 0/0. Ve skutečosti v tomto případě je situace jedoduchá, a sice, že Δ T l Δ T ' Δ T ' ' bylo by patré z odvozeí. Navíc v důsledku toho jsou průběhy teplot ve výměíku přímky, ikoliv expoeciály. Příklad 6.8 Určete počet trubek trubkového výměíku typu voda-voda potřebých k ohřátí,5 /s vody z 0 C a 60 C. Trubky mají délku,5 m, vitří poloměr, cm a vější poloměr,4 cm. Trubky jsou vyrobey z oceli se součiitelem tepelé vodivosti 5 W/mK. Ohřev je provádě vodou o teplotě 80 C a průtoku 0 /s. Součiitel přestupu tepla a vitří stěě trubek je 500 W/mK a a vější stěě 300 W/mK. Výpočet proveďte pro případ a souproudého výměíku b protiproudého výměíku. Dáo: ts 0 C; ts 60 C; m S,5 / s ; tt 80 C; m T 0 /s ; αi 500 W/mK; αo 300 W/mK; Ri 0,0 m; Ro 0,04m; λ 5 W/mK; ltrubky,5 m Určete: trubek?? pro a souproudý výměík b protiproudý výměík Řešeí: Nejprve vyřeším výstupí teplotu "teplé" vody idex T. Tu určíme z kalorimetrické rovice: m s Δ T S c s m T Δ T T ct m s T S T S c vody m T T T T T c vody T T T T m s,5 T S T S C m T 0 48

149 Dále staovíme předávaý tepelý výko: Q m s T s T s c vody, W a souproudý výměík Středí logaritmický teplotí spád vypočteme jako: Δ T l Δ T ' ' Δ T ' T T T S T T T S ,9 C ΔT '' T T T S l l l ΔT ' 80 0 T T T S Tepelý výko výměíku pak je vyjádře jako: Q Δ T l π l Ro λ l Ri α i Ri Ro α o Tepelý výko výměíku již záme, takže z této rovice můžeme vyjádřit celkovou délku trubek jde o souhrou délku všech trubek: l Ro Q ,04 l l Δ T l π Ri α i λ Ri R o α o 7,9 π 0, ,0 0, l984,8 m Potřebý počet trubek tedy je: trubek l l trubky 984,8 393,67394 trubek,5 49

150 b protiproudý výměík Středí logaritmický teplotí spád vypočteme jako: Δ T l Δ T ' ' Δ T ' T T T S T T T S ,74 C ΔT '' T T T S l l l ΔT ' 70 0 T T T S Tepelý výko výměíku pak je vyjádře jako: Q Δ T l π l Ro λ l Ri α i Ri Ro α o Z této rovice vyjádříme opět celkovou délku trubek: l Ro Q ,04 l l λ Δ T l π Ri α i Ri R o α o 3,74 π 0, ,0 0, l838,99 m Potřebý počet trubek tedy je: trubek l l trubky 838,99 335,6336 trubek,5 Příklad 6.9 Určete celkovou délku trubek trubkového kodezačího výměíku typu pára-voda o výkou MW. Ve výměíku je ohříváo 4/s vody z teploty 0 C. Ohřev je provádě sytou párou o teplotě 00 C, která v průběhu zcela zkodezuje za kostatího tlaku. Trubky mají vitří poloměr 0,8 cm a vější poloměr cm. Trubky jsou vyrobey z oceli se součiitelem tepelé vodivosti 5 W/mK. Součiitel přestupu tepla a vitří stěě trubek je 400 W/mK a a vější stěě, kde kodezuje pára, 500 W/mK. Dáo: tv 0 C; m vody 4 / s ; tp 00 C; αi 400 W/mK; αo 500 W/mK; Ri 0,008 m; Ro 0,0m; λ 5 W/mK Určete: l?? 50

151 Řešeí: Nejprve si ujasíme fakt, že kodezující pára má kostatí teplotu za kostatího tlaku. Dále vyjádříme výstupí teplotu vody z kalorimetrické rovice: Q m v Δ T v c v m p L p Q 06 T v T 0 79,5 C m v c v v Dále vypočteme logaritmický teplotí rozdíl, jež se kvůli kostatí teplotě páry eliší pro souproudý a protiproudý výměík: Δ T l Δ T ' ' Δ T ' T p T v T p T v 00 79, ,68 C ΔT '' T p T v 00 79,5 l l l ΔT ' 00 0 T p T v Předávaý tepelý výko pak je: Q Δ T l π l Ro λ l Ri α i Ri Ro α o Celková délka trubek tedy je: l Ro Q 0 6 0,0 l l Δ T l π Ri α i λ Ri R o α o 43,68 π 0, ,008 0,0 500 l44, m Příklad 6.0 Do souproudého tepelého výměíku o teplosměé ploše 500 m vstupuje voda o teplotě 80 C a průtoku /s a olej o teplotě 0 C a průtoku 3 /s. Součiitel prostupu tepla skrze teplosměou plochu je 0 W/mK. Určete možství předávaého tepla a výstupí teplotu vody a oleje. 5

152 Dáo: Svým 500 m; tv 80 C; m v /s ; to0 C; m o3 /s ; cv 400 /K; co 000/K; k 0 W/mK Určete: tv??; to??; Q vým?? Řešeí: Teto příklad je z pricipu složitější, eboť ezáme ai předávaý výko, ai teploty a výstupu z výměíku, ze kterých by se dal určit dle zadáí se omezíme pouze a souproudý výměík. V tomto příkladě je tedy třeba řešit soustavu tří rovic viz teoretický základ. Prví rovice je pro teplo vyjádřeé z pohledu oleje: dq m o τ dt o c oτ c o druhá rovice je pro teplo vyjádřeé z pohledu vody: dq m v τ dt v c v a třetí rovice je pro teplo, jež projde stěou: dqk ds T v T o τ Z prvích dvou rovic vyjádříme difereciály teplot: dq m o τ c o dq m o τ dt o c o dt o dq m v τ dt v c v dt v dq m v τ c v Dále využijeme faktu, že difereciál rozdílu je rozdíl difereciálu, a vyjádříme difereciál rozdílu tepla: d T v T odt v dt o dq dq dq τ m v τ c v m o τ c o m v c v m o c o Z této rovice vyjádříme elemetárí předaé teplo z vody do oleje dq: dq d T v T o τ m v c v m o c o Z porováí s rovicí pro teplo, jež projde stěou, pak dostaeme rovici: k ds T v T o τ d T v T o τ m v c v m o c o Nyí je patré, proč jsme vyjadřovali difereciál rozdílu teplot a levé straě máme rozdíl teplot T v-to a a pravé straě difereciál tohoto rozdílu dt v-to. Použijeme substituci, že Tv-To ΔT a dtv-to dδt, ásledě separujeme proměé a rovici zitegrujeme: k ds Δ T d Δ T m v c v m o co 5

153 d Δ T k ds ΔT m v c v m o c o l Δ T k S Δ T e / C m v c v m o c o C m v c v m o co k S m c m c k S C e v v o o Plocha S v tomto vztahu má výzam "plochy, kolem které již média prošla a skrze kterou si již vyměila tepla" v podstatě tak má výzam polohy ve výměíku. Nyí aplikujeme okrajovou podmíku, že pro S0 acházíme se a vstupu do výměíku je ΔTTv-To tedy rozdíl vstupích teplot, čímž dostaeme: CT v T o Po dosazeí do rovice pro teplotí rozdíl dostaeme: m c m c k S Δ T T v T ot v T o e v v o o V postupu výše máme vyjádřeý elemet tepla dq, k ěmuž ale potřebujeme difereciál rozdílu teplot. Difereciál rozdílu teplot tedy bude diferecujeme složeou fukci: k S m c d T v T o k T v T o e m v c v m o c o v v m o co ds po dosazeí do vztahu pro dq: k S m c k T v T o e m v c v m o c o dq m v c v m o c o v v m o c o ds τ Vztah upravíme a zitegrujeme v mezích S0 vstup do výměíku a SS vým výstup z výměíku: k S m c m c dq d Q k T T e v o τ v e o o ds a x e dx a a x x S S vým / S 0 [ ] x Pro itegraci využijme obecého vztahu: v x. Následě již můžeme dopočítat x předávaý tepelý výko: [ k S k T v T o m c Q e k m v c v m o c o v Q v ] [ SS vým m o c o k S T v T o m c e m v c v m o c o S 0 k S T v T o e m v c v m o c o vým v m v c v m o c o 53 T v T o m v c v m o c o v ] S S vým m o c o S 0

154 Q e W Nyí, když záme předávaý tepelý výko, již je vyjádříme výstupí teploty vody a oleje z výměíku: Q m o Δ T o c om o T o T o c o T o Q T o 0 5,99 C m o c o Q m v Δ T v c v m v T v T v c v T v Q T v 80 56,44 C m v c v 400 Pro kotrolu si můžeme zpětě vypočítat středí logaritmický teplotí spád a z ěj výko a porovat s tepelým výkoem vypočteým výše: Δ T l Δ T ' ' Δ T ' T v T o T v T o ,44 5,99 9,8 C ΔT '' T v T o 80 0 l l l ΔT ' 56,44 5,99 T v T o Q k Δ T l S0 9, W Drobý rozdíl je způsobem pouze zaokrouhleím. 54

155 6.3 Sáláí Teoretický základ Sálavost absolutě čerého tělesa E 0 [W/m] tepelý výko vysálaý jedotkou plochy je dáa Stefa-Boltzmaovým zákoem: E0c0 T 00 4 kde c 05,676 W m K 4 Sálavost šedého tělesa E [W/m], jež má poměrou sálavost ε kost, je potom dáa vztahem: E0ε c 0 T 00 4 Pozámka: Pro barevá tělesa je ε fukcí vlové délky λ a elze apsat obecě platý vztah. Dalším důležitým zákoem je Kirchoffův záko. Te říká, že poměrá pohltivost A [-] podíl absorbovaého elektromagetického zářeí abývá stejé hodoty jako poměrá sálavost ε [-] poměr vysálaé eergie pro barevé těleso vůči vysálaé eergii absolutě čerého tělesa při daé vlové délce: εa Kombiací vztahu pro sálavost šedého tělesa a Kirchoffova zákoa můžeme odvodit vztah pro výměu tepla mezi dvěma rovoběžými šedými deskami: c0 q T 4 T c ε ε 4 kde q [W/m] začí tepelý tok z desky do desky. Tepelý tok může pro T > T abývat záporé hodoty, což by pouze zamealo, že teplo ve skutečosti přechází z desky a desku. Situace výměy tepla mezi rovoběžými deskami je vyobrazea a obrázku íže: Rověž je možo odvodit vztah pro tepelý tok mezi zakřiveými plochami, kde jeda plocha ozačme zcela obklopuje plochu druhou ozačme tato plocha musí být kokáví, aby vztah platil. Tepelý tok q [W/m] z plochy vitří a plochu vější je pak dá vztahem: 55

156 T 4 T c0 c q S ε ε S 4 Takto vyjádřeý tepelý tok je vztaže k ploše. Pro staoveí předávaého tepelého výkou sáláím je pak uto ásobit plochou S. Situace výměy tepla mezi zakřiveými plochami je pak vyobrazea ve dvou variatách a obrázku íže: Za zmíku ještě stojí Wieův posuovací záko. Te udává, při jaké vlové délce těleso sálá ejitezivěji. Wieův posuovací záko má ásledujíc tvar: λ max T kost,9 0 3 m K Příklad 6. Určete tepelý výko Sluce, jestliže jeho povrchová teplota je 5778 K a jeho poloměr km. Teplota reliktího zářeí resp. kosmického mikrovlého pozadí je,75 K. Dále určete, při které vlové délce Sluce vyzáří ejvíce eergie. Sluce uvažujte jako absolutě čeré těleso. Pozámka k zadáí: Sluce se ve skutečosti opravdu chová podobě jako absolutě čeré těleso. Dáo: TSl 5778 K; Trz,75 K; R km Určete: λmax Sluce??; Q?? Řešeí: T Sl 4 T rz , W q c 0 c 0 5,676 5,676 6, m Q q S q 4 π R 6, π , W Pozámka k řešeí: Pro Sluce se běžě udává přibližě výko 3,88 06W. λ max T kost,9 0 3 m K 56

157 ,9 0 3,9 0 3 λ max Sluce 50,9m T Sl 5778 Pozámka k řešeí: Azurová barva má vlové délky cca m, zeleá cca m a žlutá je teprve až od cca 560 m. Sluce by tak mělo azurovou barvu. Ve skutečosti eí Sluce dokoalé absolutě čeré těleso a avíc atmosféra eí průteplivá pro všechy vlové délky stejě. Přesto ejitezivější vlová délka je i ve skutečosti spíše ta pro azurovou/zeleou. Spektrum je však pro teploty, jaké má Sluce, v oblasti viditelého světla což je úzká část EM zářeí poměrě ploché tedy je přítomo podobé možství "azurového, zeleého a žlutého světla" Vímaá domiatí žlutá barva je pak kvůli citlivosti lidského oka a "žluté světlo". Příklad 6. Určete tepelý tok mezi dvěma rovoběžými ekoečými deskami. Prví deska má teplotu 00 C a poměrou sálavost 0,8 a druhá deska teplotu 0 C a poměrou sálavost 0,7. Pozámka k zadáí: Tepelý tok pro ekoečé desky eí ovlivě vzdáleostí desek. To je proto, že veškeré zářeí, které opustí jedu desku, evetuálě dopade a desku druhou. Dáo: t 00 C 473,5K; t 0 C 93,5 K; ε 0,8; ε 0,7 Určete: q?? Řešeí: T 4 T c0 c q ε ε 4 473,5 4 93,5 5,676 5, ,8 0,7 445 W 4 m Příklad 6.3 Určete tepelý tok mezi dvěma rovoběžými ekoečými deskami. Prví deska má teplotu 0 C a poměrou sálavost 0,9 a druhá deska teplotu 500 C a poměrou sálavost 0,8. ak se tepelý tok změí, vložíme-li mezi desky stíěí s poměrou sálavostí 0,4 a jak se změí vložíme-li takovéto stíěí dvě? Povrchové teploty stíěí z obou stra považujte zjedodušeě sobě rové. Pozámka k zadáí: Předpoklad rovosti povrchových teplot stíěí bude dostatečě přesý pro teké stíěí s vysokým součiitelem tepelé vodivosti apříklad teká kovová fólie. Dáo: t 0 C 93,5K; t 500 C 773,5 K; ε 0,9; ε 0,8; εs 0,4 57

158 Určete: q?? pro a případ bez stíěí b případ s jedím stíěím c případ s dvojitým stíěím Řešeí: a bez stíěí T 4 T c0 c q ε ε 4 93, ,5 5,676 5, ,9 0, W 4 m Míus vychází proto, že teplo přechází proti zvoleému směru začeí tepelého toku. Teplo tedy ve skutečosti přechází z pravé desky a levou. b stíěí Nejprve vyjádříme zvlášť tepelý tok mezi deskou a stíěím a mezi stíěím a deskou tepelý tok abývá stejé hodoty, jiak by emohlo jít o ustáleý stav a upravíme do výhodého tvaru: 58

159 T 4 Ts c0 c q ε ε s 4 Ts 4 T c0 c q ε s ε T 4 T q ε ε c 0 c 0 s s Ts 4 T q ε ε c 0 c 0 s Sečteím rovic se pak dostaeme k tepelému toku od desky k desce : T 4 T q ε ε ε ε c 0 c 0 s s T 4 T 4 93, ,5 c 0 5,676 5, q ε ε s ε s ε 0,9 0,4 0,4 0,8 c W 4 m c stíěí Postup by byl aalogický jako pro případ s stíěím je se 3 rovicemi dostali bychom se k ásledujícímu vztahu: T 4 T 4 93, ,5 4 c 0 5,676 5, W q m ε ε s ε s ε s ε s ε 0,9 0,4 0,4 0,4 0,4 0,8 c 0 Příklad 6.4 Určete tepelý tok mezi dvěma rovoběžými ekoečými deskami s vložeým stíěím a teplotu stíěí. Prví deska má teplotu 50 C a poměrou sálavost 0,9 a druhá deska teplotu 0 C a poměrou sálavost 0,8. Vložeé stíěí má poměrou sálavostí 0,5. Povrchové teploty stíěí z obou stra považujte zjedodušeě sobě rové. Pozámka k zadáí: Předpoklad rovosti povrchových teplot stíěí bude dostatečě přesý pro teké stíěí s vysokým součiitelem tepelé vodivosti apříklad teká kovová fólie. Dáo: t 50 C 53,5K; t 0 C 93,5 K; ε 0,9; ε 0,8; εs 0,5 Určete: q?? Řešeí: 59

160 Tepelý tok je odvozeí viz předchozí příklad případ s stíěím: T 4 T 4 53,5 4 93,5 c 0 5,676 5, q ε ε s ε s ε 0,9 0,5 0,5 0,8 c0 879 W 4 m K teplotě stíěí se dostaeme z rovice pro tepelý tok mezi jedou z desek a stíěím apříklad je uvede tepelý tok mezi deskou a stíěím: T 4 Ts c0 c q ε ε s 4 q ε ε T 4 Ts s c q ε ε Ts T s c0 4 4 T T s00 00 q ε ε s 53,5 0,9 0, ,7 K80, C c0 00 5,676 Příklad 6.5 Určete tepelý zisk supratekutého hélia proudícího vakuově izolovaým potrubím a m délky potrubí. Vakuově izolovaé potrubí tvoří dva soustředé válce o průměrech 0,5m/0,m. Povrchová teplota a vějším průměru potrubí s héliem je 3 K a povrchová teplota a vitřím průměru vějšího potrubí je 93,5 K. Poměrá sálavost potrubí s héliem je 0,9 a poměrá sálavost vitřího povrchu vějšího potrubí je 0,85. Dáo: Ti 3 K; To 93,5K; εi 0,9; εo 0,85; Di 0,5 m; Do 0, m 60

161 Určete: q?? Řešeí: de o přestup tepla mezi plochami, kde jeda plocha zcela obklopuje druhou. Tepelý tok v takovém případě je: c0 q Ti 4 T c 0 o Si ε i ε o S o 4 Ti 4 T 4 T 4 T c 0 o c 0 i c 0 o π Di l Di ε i ε o π D l ε i ε o D o o ,5 4 5, W 337, 0,5 m 0,9 0,85 0, 5,676 q 4 c 0 Tepelý tok je v tomto vztahu vyjádře vůči vitří obklopeé ploše, tedy předávaý tepelý výko je: Q Si q π Di l q π 0,5 337,,8 W Míus vychází proto, že teplo přechází proti zvoleému směru začeí tepelého toku. Teplo tedy ve skutečosti přechází z vější plochy a vitří tz. tekutému héliu je dodává tepelý výko,8w a každém m potrubí. 6