PLATNOST HYDROSTATICKÉHO A HYDRODYNAMICKÉHO PARADOXONU

Transkript

1 PLATNOT HYDROTATICKÉHO A HYDRODYNAMICKÉHO PARADOXONU Relevance of the hydrostatic and hydrodynamic aradox BAKALÁŘKÁ PRÁCE BACHELOR THEI AUTOR PRÁCE AUTHOR JIŘÍ VACULA VEDOUCÍ PRÁCE UPERVIOR Ing. IMONA FIALOVÁ, Ph.D. BRNO

2

3 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství Energetický ústav Akademický rok: 9/ ZADÁNÍ BAKALÁŘKÉ PRÁCE tudent(ka): Jiří Vacula který/která studuje v bakalářském studijním rogramu obor: trojní inženýrství (3R6) Ředitel ústavu Vám v souladu se zákonem c./998 o vysokých školách a se tudijním a zkušebním řádem VUT v Brně určuje následující téma bakalářské ráce: v anglickém jazyce: Platnost hydrostatického a hydrodynamického aradoxonu Relevance of the hydrostatic and hydrodynamic aradox tručná charakteristika roblematiky úkolu: Provést literární rešerši dané roblematiky. tanovit analytický vztah vyjadřující vliv hustoty kaaliny. Cíle bakalářské ráce: Provést analýzu roblému v závislosti na změně hustoty kaaliny

4 eznam odborné literatury: internet Vedoucí bakalářské ráce: Ing. imona Fialová, Ph.D. Termín odevzdání bakalářské ráce je stanoven časovým lánem akademického roku 9/. V Brně, dne.. 9 L.. doc. Ing. Zdenek kála, Cc. Ředitel ústavu rof. RNDr. Miroslav Douovec, Cc. Děkan fakulty

5 Abstrakt Tato bakalářská ráce se zabývá objasněním existence hydrostatického a hydrodynamického aradoxonu. Především hydrostatické aradoxon obecně nebývá náležitě zdůvodněno, což imlikuje další nejasnosti. Cílem ráce je roto ukázat ravé říčiny těchto jevů a dále ukázat velikost vlivu stlačitelnosti kaaliny. Klíčová slova Hydrostatický aradox, hydrodynamický aradox, hydrostatický tlak, kaalina, voda, roudění Abstract This bachelor s thesis is concerned with the exlanation of the hydrostatic and hydrodynamic aradox existence. Above all hydrostatic aradox is not in general roerly exlained which causes additional uzzle. Therefore the aim of this thesis is to find real reasons of these effects and in addition to check u ossible consequences of liquid comressibility. Keywords Hydrostatic aradox, hydrodynamic aradox, hydrostatic ressure, liquid, water, flow Bibliografická citace mé ráce: Vacula, J. Platnost hydrostatického a hydrodynamického aradoxonu. Brno: Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství,. 33 stran. Vedoucí bakalářské ráce Ing. imona Fialová, Ph.D.

6 Čestné rohlášení Prohlašuji, že jsem bakalářskou ráci Platnost hydrostatického a hydrodynamického aradoxonu vyracoval samostatně od vedením a dle okynů mé vedoucí Ing. imony Fialové, Ph.D., veškerá oužitá literatura je uvedena v seznamu. V Brně dne Jiří Vacula

7 Poděkování Děkuji své vedoucí Ing. imoně Fialové, Ph.D. za umožnění zracovat toto téma jako bakalářskou ráci a za důležité rady a řiomínky. Jiří Vacula

8 Obsah Úvod Hydrostatický tlak kalární ovaha tlaku Důkaz na základě silové rovnováhy Důsledek řítomnosti sil objemových Důkaz na základě tenzorů.... Odvození velikosti hydrostatického tlaku.... Hydrostatické aradoxon Podstata hydrostatického aradoxonu Klasická interretace Objasnění na základě definice tlaku Hydrostatický tlak reálné kaaliny Diferenciální řístu Nediferenciální řístu Hydrodynamické aradoxon ideální kaaliny Rovnice kontinuity Rovnice Bernoulliho Vliv rychlosti zvuku Hydrodynamické aradoxon reálné kaaliny Závěr... 3 eznam oužitých symbolů a cizích slov

9 Úvod Hydrostatické aradoxon je označení ro skutečnost, že hydrostatická tlaková síla ůsobící na vodorovná stejně velká dna nádob nalněných do téže výšky stejnou kaalinou je stejná. Nezávisí tedy na objemu kaaliny, ale na výšce jejího slouce. Bakalářská ráce se zabývá objasněním několika řístuů určení hydrostatického tlaku kaaliny, což je nezbytný krok ro nalezení velikosti hydrostatické tlakové síly. V ráci je rovněž ukázán vliv stlačitelnosti kaaliny. Pokud je kaalina vystavena tlaku, byť tlaku v kaalině vyvolaném její vlastní tíhou, dojde ke zvýšení její hustoty a tím ádem ke zvýšení jejího tlaku. Jsou zde ukázány tři možné vzorce ro výočet tlaku reálné kaaliny a jejich orovnání. Dále se ráce zabývá hydrodynamickým aradoxonem, které, jak dále ukážeme, je důsledek rovnice kontinuity a rovnice Bernoulliho. Je zde také rošetřena závislost tlaku na rychlosti zvuku. Ačkoliv tato záležitost sadá síše do oblasti roudění lynů v tryskách, je důležité být si vědomi toho, že tyto závislosti latí obecně ro tekutiny, tedy i ro kaalnou fázi. Je zde také naznačeno, že není nutné ve výočtech roudění uvažovat stlačitelnost kaalin, rotože změna jejich hustoty je říliš malá na to, aby výrazně měnila tlak v otrubí. 8

10 . Hydrostatický tlak. kalární ovaha tlaku Při určování hydrostatického tlaku v kaalině vyjdeme z teorie kontinua. Jak se dále ukáže, existence hydrostatického aradoxonu je důsledek skalární ovahy tlaku. Proto se ojďme nejrve zabývat tím, roč je tlak v kaalině veličina skalární. df Tlak je zaveden jako elementární síla df ůsobící na elementární lochu d, tj. =. d Jak síla, tak i locha jsou vektory, roto musí být tlak nutně tenzor a je roto dán tenzorem naětí. Zasáno maticově Fx σ Fy = τ Fz τ xx yx zx τ σ τ xy yy zy τ xz x τ yz y σ zz z Je-li kaalina v klidu, oříadě v klidu relativním, nerojevují se síly viskózní, a roto je smyková najatost v kaalině nulová, tj. τ τ = τ = τ = τ = τ =. Má tedy smysl. xy = yx xz zx yz zy se zabývat ouze naětími normálovými. Uvážíme-li navíc, že tato normálová naětí jsou v kaalině naětí tlaková, můžeme oložit σ =, σ =, σ =. Tenzor naětí v kaalině má ak tvar T = x σ y. x z x y y z z.. Důkaz na základě silové rovnováhy [] Element kaaliny v klidu je vystaven naětí, které má ouze normálové složky. Ukažme nyní, zda je tlak ve všech směrech stejný či nikoliv ( = = nebo ). x = y z Budeme demonstrovat následující zůsob odvození toho, že latí = = (tlak je x x = y z skalár - Pascalův zákon) a oté toto odvození trochu rozebereme, jedno takové je ve skritech Hydromechanika. Autor zde uvádí: Na obecný elementární čtyřstěn, který znázorňuje element kaaliny, ůsobí síla df, objem tohoto čtyřstěnu sočteme jako dv = kdxdydz, kde k=/6. y z 9

11 Obr. Elementární čtyřstěn kaaliny ro odvození Pascalova zákona V hydrostatické rovnováze ůsobí na elementární čtyřstěn obecně: -síly objemové -síly lošné (sáno nař. ro osu x ) df G = gdm = gρ dv = kgρdxdydz, () df = d k dydz. () x x x = x Z rovnice () a rovnice () je atrné, že tíhovou sílu ve čtyřstěnu můžeme zanedbat, rotože je o řád nižší než síla tlaková. Při odvozování zatím ředokládáme, že tlaky na stěnách ;,, ) jsou různé. Na šikmou stěnu ůsobí tlak ve směru normály na lochu d a ( x y z tlaková síla df, která svírá s osami x; y; z úhly α; β; γ. Protože je kaalina v klidu, musí být slněny odmínky hydrostatické rovnováhy sil a momentů: F =, =, =, x Fy Fz M =. (3) Tlakové síly ůsobí v těžišti odovídajících loch, řičemž těžiště T šikmé stěny je v růmětech i těžištěm bočních stěn T x ; T y ; T z, takže momenty všech sil jsou nulové M = O. tačí tedy uvažovat zbývající odmínky rovnováhy sil (nař. v ose x ): df x df cos α = (4) a ostatní síly jsou kolmé na osu x, roto nemají složky do této osy. Dále z rovnice () lyne x d x d cos α =, (5) řičemž locha d x je růmětem lochy d a tedy latí d x = d cosα. (6) Dosazením rovnice (6) do rovnice (5) obdržíme rovnost tlaků ro osy y; z. Z odmínek statické rovnováhy sil lyne rovnost tlaků = x.obdobný ostu latí = = =. x y z

12 .. Důsledek řítomnosti sil objemových Tímto autor dokázal, že tlak je ve všech směrech stejný - je skalár, neboť není dán směrem ůsobení síly na elementární lošku. Vraťme se k odstavci od rovnicí (), kde autor rozhodne, že zanedbá tíhové síly df G = kρgdxdydz, rotože vůči silám lošným jsou o řád menší. To je zůsobeno dalším infinitezimálním délkovým členem, v tomto říadě dx. Zamysleme se nad možnými důsledky tohoto zjednodušení. Znamená to, že i kdyby se element kontinua nacházel v oli extrémně velkých objemových sil, stále by byly tyto objemové síly zanedbatelné oroti silám lošným ouze roto, že z matematického hlediska jsou o jeden řád níže. Tímto se dostáváme do fyzikálního soru s realitou. Uvědomme si, že záis dx znamená infinitezimálně malou délku ve směru x, tj. x. A rovněž si řiomeňme dvě základní aroximace teorie kontinua: ) Zanedbání částicové ovahy hmoty ) Této hmotě jsou řiřazeny imaginární body, ro které seisujeme rovnice (obdoba hmotných bodů) Ve skutečnosti zde nejsou nekonečně malé čtyřstěny, ro které lze sát rovnice. Velikost takovýchto čtyřstěnů je omezena totiž nejen velikostí atomů či molekul, ale i Planckovou délkou l =,66 34 m. To je nejmenší teoreticky ozorovatelná délka, řádově mnohem menší než velikost atomů. Nyní je zřejmé, že zanedbání sil hmotnostních v říadě tekutiny vystavené enormní hmotnostní síle ak není korektní. V takovémto říadě by nebylo možné dokázat skalární ovahu tlaku...3 Důkaz na základě tenzorů [, 4] Ukažme ještě druhou možnou formu důkazu skalární ovahy tlaku. Vychází z tenzoru naětí. Nenulové složky x, y a z jsou normálová naětí v elementu kaaliny. kutečnost, že tečná naětí τ xy, τ zy a τ zx jsou ro kaalinu v klidu nulová, dále imlikuje, že tato tečná naětí jsou nulová v libovolném souřadném systému, tedy i v hlavním. Pak ro složky tlaku latí =, = a můžeme tenzor naětí v kaalině sát x y, z = 3 T σ =. 3 Tato naětí jsou tedy naětí hlavní. Protože jsou tečná naětí nulová v libovolně orientovaném ortogonálním hlavním souřadném systému, musí se rvky na hlavní diagonále rovnat (tato úvaha lyne z tenzorového očtu) a tenzorová locha je roto kulová. Tímto dosíváme k závěru, že tlak je ve všech směrech stejný - je skalár (Pascalův zákon) a latí, že = = =. Tenzor naětí má konečný tvar 3 Tσ =.

13 Důkaz se obešel bez rovnováhy elementu kontinua, ouze využil vhodné úvahy o tom, že okud jsou tečná naětí nulová ro libovolný souřadný systém, ak se musí rvky na hlavní diagonále rovnat. Protože tento zůsob ale již od začátku neuvažuje síly objemové a bere v úvahu ouze síly lošné, není rovněž zcela rigorózní. Ukázali jsme, že zanedbáním sil objemových dosějeme ke skalární ovaze tlaku. A roto, jak jsme nastínili výše, tlak na nejobecnější úrovni skalár není. Jako skalár se definuje roto, že i za extrémních odmínek zůstanou objemové síly o dostatečný očet řádů menší než hodnoty sil lošných, což není měřitelné. Berme roto výše uvedené zamyšlení síše jako ilustraci toho, že definice tlaku jako skalární veličiny je rovedena na základě určitého zjednodušení, které je však ve všech současných výočtech narosto ostačující.. Odvození velikosti hydrostatického tlaku [, 4] Vyjdeme ze silové rovnováhy sil lošných F a sil hmotnostních (objemových) F m : íly hmotnostní: F m = kontinua, na který tato hmotnostní síla ůsobí. íly lošné: V a ρdv, kde a je vektor zrychlení, ρ hustota kaaliny a V je objem F = n d, kde n je vektor vnější normály lochy, orientovaný roti ůsobící síle F, je ůsobící tlak a je locha, na kterou tato lošná síla ůsobí. Protože je kaalina v klidu, musí latit silová rovnováha a výslednice sil ůsobící na element kontinua je roto nulová V aρ dvf nd =. Užitím Gauss-Ostrogradského věty určíme n d lošnou na ekvivalentní sílu objemovou. Můžeme sát = V dv. Tímto jsme řevedli sílu což se rovná V V a ρdv dv =, V ( a ρ ) dv =. Výše uvedená rovnost je slněna rávě tehdy, když je integrand roven nule, z čehož o vydělení ρ dále lyne a =. (7) ρ

14 Tato rovnost se označuje jako Eulerova rvní rovnice hydrostatická. Uvážíme-li nyní kaalinu vystavenou zrychlení ouze tíhovému, sáno a = (g;;), řejde rovnice do tvaru a integrací tohoto vztahu dostaneme g = (8) ρ x = ρ gx + C. Konstantu C určíme tak, že budeme uvažovat tlak = na hladině kaaliny ro x =. Odtud lyne C =. Pak je tlak = ρ gx +. Pro další úvahy budeme brát tlak na hladině jako nulový, budeme se zabývat ouze hydrostatickým tlakem. Označíme-li navíc hloubku od hladinou x = h, latí = ρgh. (9) 3

15 . Hydrostatické aradoxon. Podstata hydrostatického aradoxonu Z rovnice (9) vylývá, že velikost hydrostatického tlaku v kaalině v tíhovém oli Země je dána ouze hustotou kaaliny, hloubkou od hladinou a tíhovým zrychlením. Hydrostatickou df tlakovou sílu ůsobící na horizontální rovné dno určíme z definice tlaku = jednoduše d jako F =. Do této rovnosti dosadíme rovnici (9) F = ρgh. () Tímto se dostáváme k samotnému hydrostatickému aradoxonu. Velikost hydrostatické tlakové síly ůsobící na horizontální rovné dno nezávisí na množství kaaliny, ale ouze na výšce jejího slouce; nezávisí na tvaru nádoby. Hydrostatické aradoxon se uvádí nejen z hlediska hydrostatické tlakové síly, ale i z hlediska tlaku - jako jev, kdy velikost hydrostatického tlaku ůsobícího na vodorovná dna nádob nalněných stejnou kaalinou do téže výšky je stejná (to však latí i ro nádoby s různými dny). Obr. Hydrostatický aradox - síla ůsobící na dno nezávisí na objemu kaaliny. Klasická interretace Hydrostatické aradoxon bývá (ředevším na středních školách) vysvětlováno tak, že, nař. ro nádobu druhou zleva na obr. latí, že ta část kaaliny, která se nenachází svisle nad dnem nádoby, je nadnášena reakcemi stěn této nádoby. Takže se síly na kaalinu ruší a tato část kaaliny jakoby v nádobě nebyla. Ukažme latnost tohoto vysvětlení. Mějme nádobu obecného tvaru s vodorovným dnem dle obr. 3 a dokažme, že silová výslednice reakcí stěn ůsobících na kaalinu bude nulová. Obr. 3 Kaalina v obecné nádobě Obr. 4 Vodorovný řez nádobou 4

16 Každou křivou lochu nádoby si můžeme ředstavit jako lochu složenou z mnoha elementárních rovných lošek. V určité výšce nádoby vymezíme dostatečně malý myšlený vodorovný ás, který tak určí na obvodě stěně nádoby velmi úzkou hranici. Na libovolnou elementární lošku této hranice ůsobí hydrostatická síla kaaliny, což vyvolá silovou reakci této lošky. Vektor reakce stěny má směr její normály. Je zřejmé, že svislá (y-ová) složka reakce stěny je stejná jako svislá složka síly elementu kaaliny, který na lošku ůsobí. To znamená, že výslednice ve svislém směru je nulová. Zbývá ovšem ukázat, zda bude i suma vodorovných (x-ových) složek reakce stěn od všech lošek v libovolném horizontálním řezu nulová (zda se dle obr. 4 všechny síly vyruší). Určeme roto velikosti dvou libovolných elementárních vodorovných složek reakce stěn a zaišme ro ně rovnice. Obr. 5 ilové reakce loch, jejichž normály leží v téže rovině (různoběžky) Uvažme nejrve, že jsou tyto síly rovnoběžné a oačně orientované. Ze znalosti hydromechaniky a obr. 5 lyne, že je reakční síla stěny rovna df dy = ρ ght = ρg dl dt. () r Tato síla má směr normály k lošce, na kterou hydrostatická síla ůsobí. Její x-ová složka je Z obr. 5 je rovněž vidět, že dy dfr x = Fr sin α = ρg dldt sin α. () dy = dl sinα. Po dosazení do rovnice () latí df r x = ρgdl dt sin α (3) a analogickým ostuem ro rotilehlou stěnu dostaneme sílu ve směru x jako df r x = ρgdl dt sin β. (4) Řekli jsme, že okud je kaalina v klidu, musí být i x-ové složky nulové. Je zřejmé, že ak musí latit dfr x = dfr x. Z toho lyne dl sin α = dl sin β (5) Protože jsou obě strany rovnice kladné, můžeme je odmocnit a dostaneme dl sinα = dl sin β (6) Z obr. 5 je vidět, že obě strany se skutečně rovnají, neboť dl sinα = dy a také dl sin β = dy. Dokázali jsme tak, že je v dané hladině velikost x-ové složky reakce stěny konstantní, 5

17 nezávisí na úhlu stěny, a roto se rovnoběžné x-ové složky vždy odečtou. Nyní si můžeme ředstavit, že ohraničující oblast nádoby v dané hladině (viz obr. 4) můžeme narovnat naříklad do kružnice či jiných souměrných křivek (velikost reakce zůstane stejná - je konstantní). Pak lze vždy nalézt dvojici vodorovných složek reakčních sil rovnoběžných a oačně orientovaných a tím dokázat, že dfr x = dfr x. Tento ostu lze rovést ro nádobu libovolného tvaru. Je roto zavádějící, že jsou v literatuře ři zdůvodňování hydrostatického aradoxu často uváděny nádoby nezakřivené a symetrické (válec a komolý kužel)..3 Objasnění na základě definice tlaku Zkusme navrhnout jiný ostu vysvětlení hydrostatického aradoxonu ro úroveň střední školy, tj. bez užití diferenciálního očtu. Přiomeňme, že je důležité uvést nádobu obecného tvaru bez jakýchkoliv rvků symetrie. Obr. 6 Zakótování elementárního rvku v nádobě Obr. 7 Elementární rvek kaaliny Mějme oět nádobu obecného tvaru nalněnou kaalinou (nař. vodou) a určeme velikost tlaku v kaalině na dně nádoby. Obecně víme, že ro velikost tlaku latí F =. (7) A odívejme se blíže na vlastnosti tlaku ro elementární část kaaliny. Pokud vyřízneme z nádoby omyslný dostatečně malý horizontální rovný objem kaaliny, ak elementární tlak na tento elementární horizontální objem kaaliny bude FG =. (8) Užijeme druhého Newtonova ohybového zákona kde ( mg) =, m = ρv, ak a rotože ρ a g jsou konstanty, latí = ρg dv d 6

18 Z obr. 7 je vidět, že čím více je objem V menší (tenčí), tím více se jeho určení blíží vyjádření V = x. Pak ro elementární tlak můžeme sát x = ρ g = ρg x. (9) x Právě jsme dokázali, že velikost tlaku nezávisí na tvaru růřezu nádoby. Dle obr. 6 je navíc zřejmé, že v nádobě můžeme nalézt takovýchto loch nekonečně mnoho. A uvědomíme-li si, že celkový tlak na dně nádoby je dán součtem všech takovýchto elementárních tlaků, můžeme tlak oložit což lze vyjádřit jako = n i= n i i=, kde i = ρ g xi, () = ρ g. () x i Řekli jsme, že elementárních horizontálních rovných lošek můžeme nalézt nekonečně mnoho. Je tedy zřejmé, že odle obr. 6 musí latit, že součet elementárních výšek x i elementárních objemů V i je roven hloubce od hladinou x n i= x i = x. () Odtud dosazením rovnice () do vztahu () lyne hloubku od hladinou ůsobící na dně je ak zřejmě = ρgx. Pokud tradičně označíme x = h, můžeme sát hydrostatický tlak = ρgh. A velikost síly F = = ρgh. U tohoto odvození není korektní již rvní krok (8). Záis ro obecnou veličinu Y - Y má odovídat infinitezimálnímu dy. Proto jsme se doustili chyby, neboť tlak je definován jako df F df F = =, nikoliv jako d = =. Na druhou stranu, na úrovni střední školy d d F se tlak definuje jednoduše jako =, roto můžeme brát tuto naši změnu definice tlaku jako říustnou. 3. Hydrostatický tlak reálné kaaliny 3. Diferenciální řístu [,, 4] Nyní, když víme, že velikost hydrostatického tlaku, res. hydrostatické tlakové síly, závisí zejména na hloubce od hladinou a hustotě kaaliny, budeme se zabývat hydrostatickým tlakem kaaliny stlačitelné. Základní charakteristikou reálné kaaliny je její stlačitelnost δ. Je 7

19 definována jako ružnosti K = V. V V δ =, častěji se oužívá její řevrácená hodnota- modul objemové V Modul objemové ružnosti K je obecně baroklinní, je funkcí tlaku a teloty. Pokud budeme rovnice vztahovat k vodě, je K zhruba do tlaku 5MPa funkcí ouze teloty. t ( C) K ( 9 Pa),6,7,36,4,44,46 Tab. Závislost modulu objemové ružnosti na telotě Vyjdeme ze zákona zachování hmoty, tj. derivujeme V ρ =. dv dρ m = ρ V = konst. Tuto rovnost logaritmicky Dosazením do definičního vztahu modulu objemové ružnosti a záměnou arciálních derivací za totální latí earujeme roměnné a integrujeme ρ K = d. (3) dρ ρ = dρ d, K ln ρ = + C. (4) K Integrační konstantu C určíme z okrajových odmínek ρ = ρ : =. Tato odmínka vyjadřuje, že tlak na hladině, kde je hustota kaaliny ρ, je nulový. Po dosazení lyne C=lnρ a o dosazení konstanty zět do rovnice (4) je hustota K ρ = ρ e. (5) Tento vztah dosadíme do Eulerovy rvní rovnice hydrostatické (8) ro složku rovnoběžnou s tíhovým zrychlením - tj. ro složku x-ovou, dostáváme g e ρ K x =. (6) Oět searujeme roměnné a integrujeme K gx = ρ K e + C (7) 8

20 a konstantu C určíme rovněž z odmínky nulového tlaku na hladině, tentokrát ve formě: ro K x = je =. Pak C =. ρ Po dosazení konstanty C do rovnice (7) a úravách vyjádříme hydrostatický tlak v kaalině = K ln. (8) ρ gx K Obr. 8 Průběh tlaků reálné a ideální kaaliny Na obr. 8 černá křivka znázorňuje růběh tlaku kaaliny odle vztahu (8), modrá křivka je závislost tlaku ro nestlačitelnou kaalinu (9). Čitelný odklon směrem k vyššímu tlaku od růběhu nestlačitelné kaaliny je až v hloubce 3m. Ukažme ještě možnost dosadit vztah (5) do rovnice ro hydrostatický tlak nestlačitelné kaaliny (9). Pak hydrostatický tlak kaaliny reálné je ρ = ρ e K gh. (9) Je zřejmé, že tlak nelze z této rovnosti exlicitně vyjádřit. Pro určení = f (h) je nutno oužít výočetní techniky. Obr. 9 Průběh tlaků reálné a ideální kaaliny 9

21 Na obr. 9 červená křivka znázorňuje růběh tlaku kaaliny odle vztahu (9), modrá křivka je závislost tlaku ro nestlačitelnou kaalinu (9). 3. Nediferenciální řístu [,, 4] Uveďme jiný možný řístu výočtu ovšem bez užití diferenciálního očtu. Určíme V V stlačitelnost kaaliny δ = jako δ =. A je-li V = V V, ak latí V V V = V ( δ ). (3) A rotože latí ρ = m V ρv =, je hustota V ( δ ) ρ ρ =. (3) δ Poznamenejme ještě, že =, kde budeme brát =, rotože tlak na hladině uvažujeme nulový a δ = kaaliny (9) K Tlak lze vyjádřit analyticky. Dosadíme tyto vztahy do rovnice ro hydrostatický tlak ideální ρ hg =. (3) K, Našemu úkolu vyhovuje kořen K ± K 4ρ hgk =. (33) K K 4ρ hgk =, (34) rotože ro hloubku od hladinou h = je tlak =, což je v souladu s našimi ředoklady. Obr. Průběh tlaků reálné a ideální kaaliny

22 Na obr. zelená křivka znázorňuje růběh tlaku kaaliny odle vztahu (34), modrá křivka je závislost tlaku ro nestlačitelnou kaalinu (9). Ukažme formou tabulky rozdíly mezi jednotlivými řístuy, ro názornější srovnání i tlak 3 vody, když s ní očítáme jako s ideální kaalinou. Hustota vody ρ = 999, kgm ro telotu t = C, tíhové zrychlení Hloubka h [m] Tlak [MPa]; ideální kaalina = ρhg 7 9 g = 9,8ms, modul objemové ružnosti K,7 Pa Tlak [MPa]; reálná kaalina = K ln ρhg K Tlak [MPa]; reálná ka. = ρ e K hg =. Tlak [MPa]; reálná ka. (nedif. Přístu) K = Vztah č. (9) (8) (9) (34),98,98,98,98 5 4,93 4,99 4,94 4,94 9,87 9,88 9,85 9,85 5 4,7 4,758 4,87 4,87 9,64 9,699 9,786 9, ,57 4,65 4,787 4, ,4 9,63 9,8 9, ,35 34,587 34,856 34, ,8 39,57 39,94 39, ,3 44,566 45,6 45,5 5 49,35 49,573 5,3 5,43 Tab. rovnání hodnot tlaků ro různé vzorce K ρ hgk 4 Z hodnot ro jednotlivé vztahy uvedené v tabulce je zřejmé, že ro běžné alikace výočtů hydrostatického tlaku vody je s velmi dobrou řesností možné oužít vztah ro nestlačitelnou kaalinu (9). Dále je vidět, že rovnice (9) a (34) udávají vyšší hodnoty tlaků ro stejnou hloubku než rovnice (8), která je nejřesnější. Je to zůsobeno tím, že v říadě rovnice (8) byla relace ro hustotu jako funkce tlaku a modulu objemové ružnosti K (9) dosazena do rovnice diferenciální (8), takže byl tlak integrován o hloubce x. Tím byl lée zachycen jeho růběh.

23 4. Hydrodynamické aradoxon ideální kaaliny Tento ojem se týká roudění tekutin. Uveďme, že není jednotné, co řesně hydrodynamické aradoxon znamená. Je možné se setkat se dvěma interretacemi. Buď jako skutečnost, že okud tekutina roudí v trubici, tak v místě užšího růřezu trubice je nižší tlak (důsledek rovnice kontinuity a Bernoulliho). Nebo ouze jako skutečnost, že čím rychleji tekutina roudí otrubím, tím v něm naměříme menší tlak (důsledek jenom Bernoulliho rovnice). My se budeme zabývat říadem obsáhlejším, tj. rvním říadem. Název aradoxon vznikl tak, že člověk má ocit, že v místě s užším růřezem se musí tekutina nakuit a tím vyvolá větší tlak. 4.. Rovnice kontinuity [, 4] Rovnice kontinuity je formou zákona zachování hmotnosti. Proudí-li tekutina trubicí, uvažme v jejím libovolném růřezu elementární kontrolní lošku d. Touto kontrolní loškou roteče za jednotku času tekutina o hmotnosti ρ ν vd = ρν i vid, kde ν je rychlost tekutiny v místě lošky d a v je jednotkový vektor vnější normály této lošky. oučin ν v i i ředstavuje složku rychlosti v do směru vnější normály lošky d. Tato složka je ovažována za kladnou, okud tekutina vytéká z vnitřku kontrolní lochy ven a záorná v říadě vtékající tekutiny dovnitř. Celková hmotnost tekutiny, která vyteče z objemu V za jednotku času, se ak určí jako ρν v d. (35) i i Hmotnost tekutiny v objemu V (uvnitř kontrolní lochy ) se určí jako ρ dv. Úbytek V hmotnosti uvnitř lochy za jednotku času je ak dán jako t V ρ dv. (36) Protože latí zákon zachování hmotnosti, musí se oba integrály rovnat t V ρ dv = ρν v d. i i Toto je vyjádření zákona zachování hmotnosti ro libovolný objem tekutiny rotékající libovolnou lochou. Nyní užijeme Gauss-Ostrogradského věty a řevedeme lošný integrál na objemový, čímž dostáváme t a řevedeme na jeden integrál (ρv ) ρ dv + ρν ivid = ρdv + t V ρ t + div( ρv) dv = V. x V V i i

24 Výše uvedená rovnost bude slněna tehdy, když integrand bude roven nule (ro libovolný objem) ρ + div( ρv) =. (37) t Tímto jsme odvodili diferenciální odobu rovnice kontinuity ro stlačitelnou kaalinu. ρ Pro kaalinu nestlačitelnou latí, že změna hustoty se v čase nemění, tj. =. t Diferenciální odoba rovnice kontinuity ro nestlačitelnou kaalinu má otom tvar div( v ) =. (38) Pro raktické výočty je důležitější tvar integrální z čehož lyne, že V v = konst div( v) = vnd, v = v = = vk k = v = konst. (39) Odvodili jsme tedy integrální tvar rovnice kontinuity ro nestlačitelnou kaalinu. oučin v se značí jako objemový růtok Q. To znamená Q = v. V říadě stlačitelné kaaliny musíme na rozdíl od nestlačitelné kaaliny striktně resektovat zachování hmotnosti. Proto má integrální tvar rovnice kontinuity tvar ρ v = ρ v = = ρk vk k = ρv = konst. (4) Z rovnice (39) vylývá, že v místě užšího růřezu trubice je rychlost roudění vyšší. Tento vztah však nic neříká o růběhu velikosti tlaku. Odověď sočívá v Bernoulliho rovnici. 4.. Rovnice Bernoulliho [4, 6] Bernoulliho rovnice je formou zákona zachování mechanické energie. Lze ji odvodit několika zůsoby, naříklad jako integraci zákona zachování hybnosti (Eulerovy rovnice hydrodynamiky) nebo římo ze zákona zachování mechanické energie, což ukážeme: Nachází-li se kaalina v oli konzervativních sil (ráce vykonaná na uzavřené křivce v izolovaném systému je nulová), je celková mechanická energie kaaliny E dána jako E = E k + E + E G, (4) kde Ek = mv kinetická energie, E G = mgh energie otenciální, E = V otenciální tlaková energie. 3

25 Existence otenciální tlakové energie E vychází z následujícího: na kaalinu v trubici ůsobí síla F, kaalina tak urazí dráhu l, roto tato síla vykoná ráci W = Fl. Dále víme, že síla F =, kde je růřez trubice, takže o dosazení do vztahu ro ráci W lyne W = l = V. Tato ráce odovídá otenciální tlakové energii. Po dosazení energií do vztahu (4) latí Tuto rovnost vztáhneme na hmotnost m mv + V + mgh = konst. (4) v + ρ + gh = konst. [ Jkg ] (43) Rovnost (43) je Bernoulliho rovnice v energetickém tvaru- její členy ředstavují měrné energie, jednotka [Jkg - ]. Lze najít ještě další oužívané tvary, a to tvar výškový, okud vydělíme jednotlivé členy tíhovým zrychlením g ρg v + g + h = konst [ m ] (44) a tvar tlakový, okud vynásobíme rovnici (43) hustotou ρ: + ρv + ρgh = konst. [ Pa ] (45) Řekli jsme, že z rovnice kontinuity lyne, že v místě zužujícího se růřezu otrubí teče kaalina rychleji. To znamená, že v místě užšího růřezu má kaalina rychlost v >v. v v Z Bernoulliho rovnice lyne + + gh = + + gh. Uvažujme ro názornost otrubí ρ ρ ve stálé výšce, tj. h = h, ak se členy gh = gh eliminují a tlak v místě užšího otrubí bude = ρ + ( v v ). (46) Z tohoto vztahu je zřejmé, že ro v > v je <. Tímto jsme ukázali existenci hydrodynamického aradoxonu - v užší části otrubí je nižší tlak na stěny otrubí. Podotkněme, že okud bychom uvažovali zvyšující se rychlost v otrubí nikoliv v důsledku zúžení otrubí (dle rovnice kontinuity), ale v důsledku zvýšení růtoku, dojde ke zvýšení celkové mechanické energie roudu - vyjádřené v rovnici (43) jako konst. Neresektování tohoto faktu může vést k mylným závěrům. 4

26 4.3. Vliv rychlosti zvuku [, 3, 5] Ukažme nyní důležitou skutečnost, kterou odvodíme, že dosavadní závěr latí ouze ro tekutinu roudící rychlostí menší než je rychlost zvuku v ní. Vyjděme nejrve z rovnice kontinuity v integrálním tvaru ro neideální (stlačitelnou) kaalinu (4) a z rovnice ohybové: rovnice kontinuity ρ v = konst, (4) rovnice ohybová d = vdv. (47) ρ Rovnici ohybovou lze získat jako derivaci Bernoulliho rovnice (43) s vynechaným členem otenciální měrné energie gh, neboť je tento člen zanedbatelný, nebo římo z druhého Newtonova zákona jako Eulerovu rovnici hydrodynamiky. Rovnice ohybová je tedy formou zákona zachování hybnosti. Logaritmováním a derivováním rovnice (4) dostaneme dρ + ρ dv v + d =. (48) Rovnici ohybovou (47) vydělíme druhou mocninou rychlosti v a dosadíme do rovnice kontinuity (48), ak latí d d dρ. (49) ρv ρ = Dále uveďme, že rychlost zvuku a v daném rostředí lze určit jako rychlost šíření tlakových imulzů v rostředí, tj. a = modul objemové ružnosti K, latí d dρ d = dρ. Z rovnice (3) víme, že ro kaalinu, která má K. Pro rychlost zvuku v kaalině ak latí ρ K a =. (5) ρ K tomu ukažme, že velikost Machova čísla, které je bezrozměrné a ukazuje velikost v měřené rychlosti od rychlosti zvuku v daném rostředí, je definována jako M a =. Pro a kaalinu je Machovo číslo dáno výrazem M a = v K. (5) ρ 5

27 Dosadíme-li nyní rovnici (5) do rovnice (49) a místo dostaneme o úravách relaci dρ íšeme ρ d dle rovnice (3), K d a tuto rovnost integrujeme M a = d (5) KM a M ln( c) =. (53) KM a a Konstantu c určíme z těchto odmínek: ro růřez trubice = je tlak = je ak c = M a KM a e a dosadíme ji zět do rovnice (53) a o úravách určíme tlak KM = M a a ln, konstanta c +. (54) Nyní odrobme tento vztah analýze. Zaveďme ro snazší záis a orientaci formální substituci ak ro tlak latí KM a A = M a B = ln, (55) a a mohou nastat čtyři možné říady: = A B + (56) a) > M a < A > B > > Kaalina roudí divergentním otrubím odzvukovou rychlostí, tlak bude narůstat a dle Bernoulliho rovnice (43) se rychlost roudu zomalí. Obr. Podzvukové roudění divergentním otrubím 6

28 b) < M a < A > B < < Kaalina roudí konvergentním otrubím odzvukovou rychlostí, tlak zde bude klesat a rychlost se bude zvětšovat, dle Bernoulliho rovnice. Toto je říad hydrodynamického aradoxonu. Obr. Podzvukové roudění konvergentním otrubím c) > M a > A < B > < Kaalina roudí divergentním otrubím nadzvukovou rychlostí, na rozdíl od říadu a) však tlak bude klesat, takže dle Bernoulliho rovnice se rychlost kaaliny dále zvýší. Obr. 3 Nadzvukové roudění divergentním otrubím d) < M a > A < B < > Kaalina roudí konvergentním otrubím nadzvukovou rychlostí, na rozdíl od říadu b) tlak vzroste a dle Bernoulliho rovnice se rychlost kaaliny zomalí. Obr. 4 Nadzvukové roudění konvergentním otrubím 7

29 Zkusme nyní ještě situaci vysvětlit bez matematického odtextu a uveďme ojmy konfuzor a difuzor. Jako konfuzor se označuje takové otrubí, jehož funkcí je zvýšit kinetickou energii tekutiny (zvýší její rychlost). Konfuzor je tedy tryska. Difuzor má oačnou funkci - zvýšit tlak tekutiny a snížit tak její kinetickou energii. Ukažme nejrve rozdíl u konvergentního tvaru otrubí ro odzvukovou a nadzvukovou rychlost. Pokud kaalina teče do zužující se části otrubí odzvukovou rychlostí, dokáže se informace o tlakových ulzacích v kaalině ohybovat rychleji než kaalina sama. Tím ádem části kaaliny na čele roudu ředají informaci o zúžení otrubí částem kaaliny za nimi dostatečně rychle (dříve než ony samy řijdou do kontaktu se zužující se stěnou otrubí), a roto tato část kaaliny nemá tendenci zomalovat svůj ohyb nárazem do stěny. Protože je ohyb kaaliny takto urychlen, nemají částice kaaliny čas na to ředat tlakovou energii stěnám - roto naměříme ři odzvukovém roudění v užší části otrubí menší tlak vhledem k tlaku na vstuu. Jedná se tedy o odzvukovou trysku. V říadě nadzvukové rychlosti nestihne část kaaliny na čele roudu ředat tlakovou ulzací informaci o jakékoli změně křivosti stěny, roto části kaaliny za čelem roudu takto mohutněji naráží do stěn. Jak dále uvidíme, ři řechodu z odzvukové rychlosti do nadzvukové dojde k tomu, že kaalina v blízkosti tělesa stěny řestane stíhat reagovat, a roto dojde k rázové vlně, která se rojeví rudkým (teoreticky skokovým) nárůstem tlaku. Rychlost roudu takto klesá a v souladu s rovnicí Bernoulliho zde bude narůstat tlak. Konvergentní otrubí racující v nadzvukovém režimu se tedy chová jako difuzor. Rozdíl ro divergentní tvar je analogický. Při odzvukovém roudění kaaliny do rozevírající se části otrubí je informace rostřednictvím tlakových ulzací šířena rychleji, než kaalina roudí, takže se roud dle rovnice kontinuity zomalí. Proto má kaalina čas ředat tlakovou energii stěnám otrubí, což se rojeví tím, že naměříme v širší části otrubí ři odzvukové rychlosti vyšší tlak vhledem k ůvodnímu. Rozšiřující se otrubí racující v odzvukovém režimu roudění je tedy difuzor. Při nadzvukové rychlosti se nebude informace o změně otrubí moci šířit, kaalina bude mít však otevřený rostor umožňující zvyšovat její rychlost, a roto nebude mít čas ředat tlakovou energii stěnám a bude tak docházet ke klesání tlaku. Divergentní otrubí v režimu nadzvukového roudění funguje jako tryska. Tyto závěry lynou rovněž z rovnice odvozené ro roudění ideálního lynu ΚM a a M =. (57) 8

30 a) b) c) d) Obr. 5 Závislosti tlaků na Machově čísle Na obr. 5 jsou říady a) a b) grafy rovnice (54) ro dvojnásobné a zúžení (a) a rozšíření (b) otrubí. Obr. c) a d) jsou grafy rovnice (57) ro ideální lyn, rovněž ro dvojnásobné zúžení (c) a rozšíření (d) otrubí. Z obr. 5 a) a c) je vidět, že v otrubí konvergentním jak v režimu roudění odzvukového tak nadzvukového dochází ke klesání velikosti tlaku se zvyšující se rychlostí, který však bude v nadzvukovém ásmu vyšší. Na obr. 5 b) a d) je znázornění růběhu tlaku v otrubí divergentním. Pro režim roudění odzvukového i nadzvukového latí zvýšení tlaku se zvyšujícím se Machovým číslem, oět zdůrazněme, že v ásmu nadzvukovém je tlak menší vhledem k odmínce tlaku nezávislé na rychlosti, takže skutečně latí, že v divergentním otrubí rotékaném tekutinou rychlostí nadzvukovou dochází k oklesu tlaku. Je zajímavé, že rovnice (54) a (57) jakoby ředovídaly vznik rázové vlny během řekonávání tzv. zvukové bariéry - to je mimo jiné vidět i z grafů. Je-li Machovo číslo rovno jedné, dojde k rudkému nárůstu tlaku. Podle výše uvedených vztahů by měl teoreticky dosáhnout nekonečna. Všimněme si ještě, že rovnice (54) a tedy její graf obr. 5 a), b) řiouští existenci záorného tlaku. Nejedná se o chybu matematickou ani šatné ředoklady. Uvědomme si, že existence záorného tlaku lyne již z Bernoulliho rovnice (46), okud bude rychlost 9

31 dostatečně velká. Naříklad ve vodorovném otrubí kruhového růřezu teče kaalina (naříklad voda o hustotě ρ = kgm 3 ), která má ři rychlosti v = ms tlak 5 =,5 Pa, řes zúžení do růměru otrubí o velikosti jedné třetiny ůvodního růměru, ak dle rovnice kontinuity zvýší svou rychlost na rychlost v = 8ms. Její tlak ak bude dán 4 rovnicí (46) a bude roven = Pa. Tento říklad jsme uvedli roto, aby bylo vidět, že tekutina může teoreticky vyvolávat naětí tahové. V říadě vody (kaaliny) k tomuto jevu dojít nemůže, rotože musí nejrve řejít řes tlak své syté áry a dojde k jejímu varu. Jednalo by se o říliš citlivý metastabilní stav. Tímto chceme říci, že na obr. 5 a), b) jsou křivky tlaků v záorných hodnotách teoretickými metastabilními stavy. V říadě ideálního lynu se tlaková křivka v záorné hodnotě nenachází, rotože lyn má říliš malou hustotu na to, aby dle rovnice (46) tlak řešel do záorné hodnoty. Jediná možnost je ak extrémně zvýšit jeho rychlost. V tomto říadě však dojde dříve k řekročení místní rychlosti zvuku, a roto zde bude skoková změna tlaku a ten bude vyšší než ůvodní. Pokud by se ovšem odařilo udržet nějakou kaalinu ve fázi kaalné v trubici umístěné v rostoru (místnosti), kde by byl tlak velmi blízký vakuu, byl by absolutní tlak kaaliny uvnitř trubice dán ouze tlakem hydrostatickým. Pak by ři roudění mohla kaalina skutečně vyvolat v trubici naětí tahové, směrem dovnitř trubky, ačkoliv by ze strany vně trubky nebylo žádné jiné médium. Vlastností, které lynou z existence různého chování tekutiny v konvergentním a divergentním otrubí v různých rychlostních režimech, se nejvíce využívá ři roudění lynů (Lavalova dýza). Nař. v roudových motorech je nutno urychlit lyny nad rychlost zvuku, roto je zde nejrve konvergentní tryska (tzv. odzvukový konfuzor ), který tyto lyny urychlí na rychlost zvuku, a následná divergentní tryska (tzv. nadzvukový konfuzor ), která tuto rychlost zvuku dále zvýší. Takovéto roudění se ve výočtech ovažuje jako adiabatické (izoentroické) a lyny se řídí stavovou rovnicí ideálního lynu, viz rovnice (57). 5. Hydrodynamické aradoxon reálné kaaliny [3] Nyní se ojďme zabývat vlivem stlačitelnosti kaaliny ři roudění. Uvažme kaalinu roudící ve vodorovném otrubí. Pišme ro tuto kaalinu Bernoulliho rovnici v tlakovém tvaru ρ v + = ρv +. uvážením vztahu (5), kdy nebudeme brát očáteční tlak jako nulový, ale jako =, určíme tlak v obecném místě trubice jako 3

32 = ρ + v v e K Přiomeňme, že tlak bez uvážení stlačitelnosti je = ρ + ( v v ).. (58) voda Proveďme orovnání ro vodu tekoucí otrubím, kde v jeho růřezu rychlostí =, m teče v = ms. Hmotnostní tok tímto otrubím ak bude Q m = ρ v = 4kgs. Jak jsme uvedli na konci ka. 4., roud vody má ro daný růtok celkovou mechanickou energii konstantní (neuvažujeme ztráty). Pokud se mění růřez otrubí, mění se dle Bernoulliho rovnice rychlost a tlak rotékající kaaliny. Ukažme oět formou tabulky, jak se bude měnit tlak ro různé rychlosti roudící vody v důsledku zúžení otrubí ři daném růtoku. Uvažujme v růřezu nař. tlak = 5 Pa = ρ + ( v v ) [Pa] = ρ + v v e Rychlost [ms - ] vztah č. 39 vztah č , , , , , , ,7 5 5, Tab. 3 Porovnání tlaků ři roudění ideální a reálné kaaliny K [Pa] Je zřejmé, že ři roudění kaalin je rozdíl tlaků zanedbatelný ro kaalinu uvažovanou jako reálnou a ideální. Jak je v tab. 3 ukázáno, ro vodu je tlakový rozdíl jednoho Pascalu až ři rychlosti ms -, což je velmi neatrná hodnota. Podobně však tomu bude i ro jiné kaaliny, neboť stlačitelnost je řádově velmi nízká. Rozdíly by existovaly až ři velmi vysokých tlacích (nad desítky MPa) a ři velmi vysokých rychlostech. Také je nutno uvažovat řítomnost fázové řeměny. Bod varu je funkcí tlaku. Při nízkých tlacích může docházet k řeměně kaaliny ve svoji áru. Pro vodu je nař. ři telotě 7,5 C tlak syté áry roven kpa, kterého lze ro námi výše zvolené odmínky dosáhnout ři rychlosti 4, ms -. 3

33 6. Závěr Cílem této ráce bylo detailně objasnit říčiny existence hydrostatického a hydrodynamického aradoxonu. Hydrostatické aradoxon neodoruje tvrzení, že tlak vody je dán její tíhou. Lze nalézt okusy, které se snaží toto vyvrátit [7]. I řesto, že ro dvě nádoby s týmž sloucem vody může jedna nádoba mít mnohonásobně větší objem než druhá. Důležité je si uvědomit, že vysvětlení existence hydrostatického aradoxu sočívá v Eulerově rvní rovnici hydrostatické (7) a ve skalární ovaze tlaku v kaalině. Eulerova rovnice byla odvozena z rovnováhy sil lošných a objemových ro libovolný tvar kontinua. Proto jsme o oužití Gauss- Ostrgradského věty mohli oložit nule ouze integrandy a následnou integrací určit vztah = ρgh, který tak latí ro tvarově libovolnou nádobu. Odtud lyne skutečnost, že velikost hydrostatického tlaku je v jakékoliv nádobě stejná ro stejnou velikost vertikálního slouce kaaliny. A navíc v říadě, že budou nádoby mít i stejně velká horizontální rovná dna, bude na tato dna ůsobit stejně velká hydrostatická tlaková síla odle vztahu F = ρgh. Proto, jak jsme mimo jiné uvedli v ka.., je možné nalézt dvě interretace aradoxu. Častěji je to tvrzení, že hydrostatická tlaková síla je stejná ro nádoby se stejně velkým vodorovným dnem a nalněných kaalinou do stejné výšky. V menší části je to tvrzení, že ro totéž je stejný hydrostatický tlak (nikoliv síla); ten je však stejný, jak jsme uvedli, i ro nádoby s různě velkými dny. Pokud je roto jako hydrostatický aradox uváděna skutečnost stejně velkého hydrostatického tlaku ro nádoby se stejně velkými dny, je toto zavádějící. Dále jsme číselně ukázali vliv stlačitelnosti vody. Obecně u kaalin je modul objemové ružnosti vysoký, roto je zvýšení tlaku v závislosti na změně hustoty zanedbatelné. Vysvětlení aradoxonu hydrodynamického je římočařejší než hydrostatického. K objasnění stačilo odvodit ze zákona zachování hmoty rovnici kontinuity a ze zákona zachování mechanické energie rovnici Bernoulliho, což ve své odstatě nevyžaduje diferenciální očet. Proudí-li tekutina ři daném růtoku otrubím, které se zúží, dojde dle rovnice kontinuity ke zvýšení její rychlosti a dle rovnice Bernoulliho ke snížení jejího tlaku. Dále jsme ukázali chování tlaků v režimu roudění odzvukového a nadzvukového. Důležité je vědět, že ro daný růtok otrubím dochází stále ke snižování tlaku v otrubí konvergentním ři rychlosti odzvukové a divergentním ři rychlosti nadzvukové, zvyšování tlaku v otrubí divergentním ři rychlosti odzvukové a v konvergentním ři rychlosti nadzvukové a že ři řekonávání rychlosti zvuku dochází ke skokové změně tlaku. Ukázali jsme, že ři běžných odmínkách nemá stlačitelnost kaaliny významný vliv na její tlak. Uvažovat vliv stlačitelnosti ři roudění má význam ouze ři roudění lynů. 3

34 Literatura [] ŠOB, František. Hydromechanika, Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství, 39 stran, IBN , Brno [] BRDICKA, M. - AMEK, L. - OPKO, B. Mechanika kontinua.. or. vyd., 3. revid. vyd. Praha: Academia, s. IBN [3] PAVELEK, Milan a kol. Termomechanika. 3. řerac. vyd. Brno: Akademické nakladatelství CERM, s.r.o. Brno, s. IBN [4] RUDOLF, Pavel. Přednášky ředmětu hydromechanika, letní semestr [5] PAVELEK, Milan. Přednášky ředmětu termomechanika, 9 zimní semestr [6] Wikiedia [online]..3.. Dostuné z: htt://cs.wikiedia.org/wiki/bernoulliho_rovnice [7] htt:// 33

35 eznam oužitých symbolů a cizích slov F m [N] síla objemová F [N] síla lošná F G [N] síla tíhová g [ms - ] tíhové zrychlení, g=9,8 ms - [Pa] tlak v tekutině [dle funkce] gradient dané funkce V fd [dle funkce] uzavřený lošný integrál funkce f řes lochu fdv [dle funkce] objemový integrál funkce f řes objem V f ( x ) dx [dle funkce] neurčitý integrál funkce f n [-] vektor vnější normály dané lochy δ [MPa - ] součinitel objemové stlačitelnosti K [MPa] modul objemové ružnosti V [m 3 ] objem kaaliny ρ [kgm -3 ] hustota tekutiny a [ms - ] rychlost zvuku v daném rostředí v [ms - ] rychlost tekoucí kaaliny h [m] hloubka od hladinou kaaliny Ma [-] Machovo číslo Baroklinní dvou a více arametrický (hustota závisející na tlaku a telotě) Divergentní rozbíhavý Infinitezimální nekonečně malý Konvergentní sbíhavý Ortogonální ravoúhlý Rigorózní řesný, recizní 34