MATEMATIKA PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ Kuželosečky

Transkript

1 MATEMATIKA PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ Kuželosečk 1 Rozhodněte, jká kuželosečk je popsán rovnií Npište prmetriký popis této křivk =0. Npište oené rovnie tečen křivk v jejíh průsečííh s osou. Provedemeúprvurovnienúplnýčtverevproměnné vproměnné následněúprvun středový tvr. ( 6+9) 9+( ++1) 1+6 = 0 ( 3) 9+(+1) 1+6 = 0 ( 3) +(+1) = 4 Křivkjekružniesestředem S[3 ; 1]poloměrem r=. Jeden z možnýh prmetrikýh popisů této kružnie je k(t)=[3+ ost ; 1+ sint], t 0 ;π. Počáteční od prmetrize je[5 ; 1], oriente kružnie je kldná(tj. prmetr proíhá kružnii proti směru otáčení hodinovýh ručiček). Pro určení průsečíků kružnie s osou můžeme vužít npř. její prmetriké rovnie. 1+sint = 0 q p sint = 1 { } π t 6 ;5π 6 PrůsečíksosoujsouodP= k ( π 6) =[3+ 3 ;0] Q=k ( ) 5π 6 =[3 3 ;0]. Směrové vektor tečen kružnie jsou popsán vektorovou funkí u(t)=( sint ;ost), t 0 ;π. {1 3 5 O Q P Směrovývektortečnkružnievodě Pje u ( π 6) =( 1 ; 3),směrovývektortečnkružnie vodě Qje u ( ) 5π 6 =( 1 ; 3). Tečn pkružnievodě Pmáoenourovnii p: 3+ 3( 3+1)=0. Tečn qkružnievodě Qmáoenourovnii q: 3 3( 3 1)=0. S k

2 FA ČVUT, MATEMATIKA PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ, Kuželosečk Kružniemástřed S[ ;3]proházíodem Q[ 3 ;6] Npište prmetriký předpis dné kružnie. Počáteční od prmetrize nehť je od Q, oriente záporná(tj. prmetr ude proíht kružnii po směru otáčení hodinovýh ručiček). Npište oenou rovnii dné kružnie ve středovém tvru. Určete souřdnie průsečíků kružnie se souřdniovými osmi. Prmetriký popis kružnie se středem S[m ; n], proházejíí odem Q[p ; q], s počátečním odem prmetrize Q se zápornou orientí je k(t)=[m+(p m)ost+(q n)sint ; n+(q n)ost (p m)sint], t 0 ;π. Doszením hodnot m=, n=3, p m= 1, q n=3 Q 6 do uvedeného vzthu získáme prmetriký popis zdné kružnie: k k(t)=[ ost+3sint ;3+3ost+sint],t 0 ;π. S 3 Poloměr kružnie je velikost úsečk SQ, ted r= 1 +3 = 10. Rovnie kružnie ve středovém tvru je (+) +( 3) =10. {3 { O Souřdnie průsečíků kružnie s osou získáme doszením = 0 do oené rovnie kružnie. 4+( 3) = = 0 {3 6,3+ 6} Průsečíkkružniesosou jsouod[0,3 6][0,3 6]. Souřdnie průsečíků kružnie s osou získáme doszením = 0 do oené rovnie kružnie. (+) +9 = = 0 { 3 ; 1} Průsečíkkružniesosou jsouod[ 3 ;0][ 1 ;0].

3 FA ČVUT, MATEMATIKA PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ, Kuželosečk 3 3 Rozhodněte, jká kuželosečk je popsán rovnií =0. Npište prmetriký popis této křivk. npišteoenérovnietečenkřivk,kteréjsourovnoěžnéspřímkou p: +3+5=0. Provedeme úprvu rovnie n úplný čtvere v proměnné vproměnné následněúprvunstředový tvr. 4( 1) +9( ) 36 = 0 ( 1) ( ) + = Křivkjeelipssestředem S[1 ; ],hlvníosje přímk =,vedlejšíosjepřímk =1,velikost hlvnípoloos =3,velikostvedlejšípoloos =. OhniskelipsjsouodE[1 5 ;]F[1+ 5 ;]. Vrholjsouod[4 ;],[1 ;4],[ ;][1 ;0]. Jeden z možnýh prmetrikýh popisů této elips je { O p S 1 ` e m k(t)=[1 3sint ;+ost], t 0 ;π. Počáteční od prmetrize je od[1 ; 4], oriente kldná. Směrové vektor tečen elips jsou popsán vektorovou funkí u(t)=( 3ost ; sint), t 0 ;π. Směrový vektor tečn elips, která je rovnoěžná s přímkou p, je kolmý n normálový vektor n p =(,3). Vektor jsou kolmé právě tehd, kdž jejih sklární součin je roven nule. Pro určení hodnot prmetru t,prokteréjevektor u(t)kolmýkvektoru n p,tedřešímerovnii u(t) n p = 0 ( 3ost ; sint) ( ;3) = 0 6ost 6sint = 0 ost = sint otgt = 1,sint 0 { } 3π t 4 ;7π 4 Tečn l elips je určen odem k ( ) [ 3π = 1 3 ; ] směrovým vektorem 4 u ( ) ( 3π 4 = 3 ; ) (.Normálovývektortečn lje ; 3 ) ( ;3). Oenárovnietečn lje: =0. Tečn m elips je určen odem k ( ) [ 7π = 4 u ( ) ( 7π 4 = 3 ; ).Normálovývektortečn mje Oenárovnietečn mje: = ;+ ] směrovým vektorem ) ( ;3). ( ; 3

4 FA ČVUT, MATEMATIKA PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ, Kuželosečk 4 4 Rozhodněte, jká kuželosečk je popsán rovnií Npište prmetriký popis této křivk =0. Spočítejte souřdnie průsečíků této křivk se souřdniovými osmi. Provedeme úprvu rovnie n úplný čtverevproměnné vproměnné následně úprvu n středový tvr. 1 h 9(+) 4( 3) 36 = 0 (+) ( 3) = Křivk je hperol se středem S[ ;3],hlvníosjepřímk =3, vedlejšíosjepřímk =,velikost hlvní poloos =, velikost vedlejší poloos =3. Ohnisk hperol jsou od E[ 13 ;3]F[ + 13 ;3]. E S 3 F Vrholjsouod[0 ;3][ 4 ;3]. Asmptot hperol jsou přímk 1, soenýmirovniemi 1 : 3 +1=0 : 3+=0 { O Prmetriký popis této hperol je k(t)=[ ±osht ;3+3sinht], t R. Souřdnie průsečíků s osmi určíme z oené rovnie hperol doszením = 0 pro průsečík sosou doszením =0proprůsečíksosou. Pro určení průsečíků s osou ted řešíme rovnii: = = 0 ( 3) = 0 = 3 Průsečíkhperolsosou jeod[0 ;3]. Pro určení průsečíků s osou řešíme rovnii: = = 0 1, = 4± 3 = 4±4 = ± Průsečíkhperolsosou jsouod[ ;0][ + ;0].

5 FA ČVUT, MATEMATIKA PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ, Kuželosečk 5 5 Rozhodněte, jká kuželosečk je popsán rovnií =0. Npište prmetriký popis této křivk. Spočítejte souřdnie průsečíků této křivk se souřdniovými osmi. Provedemeúprvurovnienúplnýčtverevproměnné vproměnné následněúprvun středový tvr. 9( 1) +9(+) 441 = 0 ( 1) 49 + (+) 49 = 1 Křivkjerovnoosáhperolsestředem S[1 ; ],hlvníosjepřímk =1,vedlejšíosjepřímk =,velikosthlvníivedlejšípoloos ==7. Ohnisktétohperoljsouod E[1 ; 7 ]F[1 ; +7 ]. Vrholjsouod[1 ; 9][1 ;5]. Asmptothperoljsoupřímk 1, soenýmirovniemi: 1 : 3=0 : ++1=0 Prmetriký popis této hperol je: h(t)=[1+7sinht ; ±7osht], t R. Souřdnie průsečíků s osmi určíme z oené rovnie hperol doszením = 0 pro průsečík sosou doszením =0proprůsečíksosou. Pro určení průsečíků s osou ted řešíme rovnii: = = 0 1, = 4± 00 = 4±10 = ±5 Průsečíkhperolsosou jsouod[0 ; 5 ][0 ; +5 ]. Pro určení průsečíků s osou řešíme rovnii: = = 0 Hperol nemá průsečík s osou.

6 FA ČVUT, MATEMATIKA PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ, Kuželosečk 6 6 Hperolmástřed S[3 ;],hlvníosurovnoěžnousosou,velikosthlvnípoloosje =3, velikostvedlejšípoloosje =4. d Určete souřdnie vrholů ohnisek hperol npište oené rovnie smptot hperol. Sestvte oenou rovnii hperol ve středovém tvru. Npište prmetriký popis hperol. Určete souřdnie průsečíků hperol se souřdniovými osmi. Velikosteentriithperolje e= + = 9+16=5.Ohniskhperoljsouod E[ ;]F[8 ;]. Vrholhperoljsouod[0 ;][6 ;]. Asmptothperoljsoupřímk 1, soenýmirovniemi: 1 : 4 3 6=0 : =0 d ( 3) 9 ( ) 16 S vužitím vzthu pltného pro hperoliké funke odvodíme prmetriký popis jedné větve hperol. ( ) ( ) 3 = (osht) (sinht) = 1 3 = osht 3 = 3+3osht Prmetriký popis dné hperol je =1 = sinht 4 = +4sinht h(t)=[3±3osht ;+4sinht], t R (znménko+uoshtproprvouvětevhperol,znménko prolevouvětev). Souřdnie průsečíků s osmi určíme z oené rovnie hperol doszením = 0 pro průsečík sosou doszením =0proprůsečíksosou. Pro určení průsečíků s osou ted řešíme rovnii: ( ) 1 = 1 16 ( ) = 0 = Průsečíkhperolsosou jeod[0 ;]. Pro určení průsečíků s osou řešíme rovnii: ( 3) = = 0 1, = 4± 70 = 4± = 4± [ ] [ ] Průsečík hperol s osou jsou od ; ;0. =3± 3 5

7 FA ČVUT, MATEMATIKA PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ, Kuželosečk 7 7 Rozhodněte, jká kuželosečk je popsán rovnií =0. Npište prmetriké vjádření této kuželosečk. Určete souřdnie průsečíků kuželosečk s osou. Npišteoenérovnietečenkuželosečkvjejíhprůsečííhspřímkou p: + 6=0. Provedemeúprvurovnienúplnýčtverevproměnné vproměnné následněúprvun středový tvr. 4( 4) +(+) 16 = 0 ( 4) + (+) = Křivkjeelipssestředem S[4 ; ],hlvníosjepřímk =4,vedlejšíosjepřímk =, velikosthlvnípoloos =4,velikosvedlejšípoloos =. Velikosteentriitje e= = 16 4= 3.Ohniskelipsjsouod E[4 ; 3] F[4 ; + 3]. Jeden z možnýh prmetrikýh popisů elips je e(t)=[4+ost ; 3+4sint], t 0 ;π. Počáteční od prmetrize je od[6 ; ], oriente kldná. Průsečík s osou můžeme spočítt z prmetrikého vjádření: +4sint = 0 sint = 1 { } π t 6 ;5π 6 Průsečíkelipssosou jsouod k ( ( π 6) =[4+ 3 ;0]k 5π ) 6 =[4 3 ;0]. Průsečík elips s přímkou p získáme npř. kominí prmetrikého popisu elips oené rovnie přímk. Dosdíme jednotlivé souřdniové funke prmetrikého popisu elips z do oené rovnie přímk vřešíme vzniklou goniometrikou rovnii. p: + 6 = 0 p e: (4+ost)+( +4sint) 6 = 0 4ost+4sint = 0 1 = { tgt, ost 0 } 3π t 4 ;7π 4 Průsečíkelipsspřímkou pjsouod k ( ) 3π 4 =[4 ; + ] k ( ) 7π 4 =[4+ ; ]. Směrové vektor tečen elips jsou popsán vektorovou funkí u(t)=( sint ;4ost), t 0 ;π. Směrovévektortečenelipsvjejíhprůsečííhspřímkou pjsou u ( ) 3π 4 =( ; ) (1 ;)u ( ) 7π 4 =( ; ) (1 ;). Tečn elips v jejíh průsečííh s přímkou p mjí oené rovnie: 10+4 = 0, 10 4 = 0.

8 FA ČVUT, MATEMATIKA PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ, Kuželosečk 8 8 Proljeurčenvrholem V[ 1 ;]řídíípřímkou d: =3. d Určete souřdnie ohnisk sestvte oenou rovnii prol ve vrholovém tvru. Npište prmetriké vjádření prol. Určete souřdnie průsečíků prol se souřdniovými osmi. Npište oené rovnie tečen prol v jejíh průsečííh se souřdniovými osmi. Prmetrprolje p=,ohniskojeod F[ 1 ;1],osjepřímk o: = 1. Oená rovnie prol ve vrholovém tvru je: (+1) = 4( ). Zvolímeprmetr t=+1.zoenérovniepoté vjádříme : = t 1 4( ) = t m V F 3 ` d = t 4 + {1 O Prmetriké vjádření dné prol je: k(t)= [t 1 ; t4 ] +, t R. o Průsečík prol se souřdniovými osmi určíme z prmetrikého vjádření. Pro určení průsečíků s osou řešíme rovnii: t 1 = 0 t = 1 Průsečíkprolsosou jeod k(1)= [ 0 ; 7 4]. Pro určení průsečíků s osou řešíme rovnii: t 4 + = 0 d t = 8 t = Průsečíkprolsosou jsouod k( )=[ 1 ;0]k( )=[ 1 ;0]. Směrové vektor tečen prol jsou popsán ( vektorovou funkí u(t)= 1 ; t ), t R. Směrovývektortečnprolvjejímprůsečíkusosou jevektor u(1)= ( 1 ; 1 ) ( ; 1). Oenárovnietečnprolvjejímprůsečíkusosou je + 7 =0. Směrové vektor tečen prol v jejíh průsečííh s osou jsou u( ) = (1 ; u( )=(1 ; ). Oené rovnie tečen prol v jejíh průsečííh s osou jsou: l: + 4+ = 0, m: + 4 = 0. )

9 FA ČVUT, MATEMATIKA PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ, Kuželosečk 9 9 Rozhodněte, jká kuželosečk je popsán rovnií =0. Npište prmetriké vjádření této křivk. Určete souřdnie průsečíků křivk se souřdniovými osmi. Npišteoenourovniitečnkřivk,kterájerovnoěžnáspřímkou q: 3 +10=0. Provedeme úprvu rovnie n úplný čtvere v proměnné následně úprvu n vrholový tvr. (+1) = 0 (+1) = 3( 5) Křivkjeprolsvrholem V[5 ; 1],osjepřímk = 1,prmetrje p= 3,ohniskoprol jeod F [ ; 1],řídíípřímkje d: = Provedemevoluprmetru t=+1následněvjádříme zoenérovnie: Prmetriké vjádření prol je k(t)= = t 1 3( 5) = t = t 3 +5 [ t3 +5 ; t 1 ], t R. Souřdnie průsečíků prol s osou získáme npř. doszením = 0 do oené rovnie: + 14 = 0 1, = ± 60 = ± 15 = 1± 15 Průsečíkprolsosou jsouod [ 0 ; 1 15 ] [ 0 ; ]. Souřdnie průsečíku prol s osou získáme doszením = 0 do oené rovnie: 3 14 = 0 Průsečíkprolsosou jeod [ 4 3 ;0]. = 14 3 =4 3 Směrové vektor tečen prol jsou popsán vektorovou funkí u(t)= ( 3 ) t ;1, t R. Tečn prol je rovnoěžná s přímkou q právě tehd, kdž její směrový vektor normálový vektorpřímkq( n q =(3 ; ))jsoukolmé.tedřešíme(svužitímsklárníhosoučinuvektorů): u(t) n q = 0 ( 3 ) t ;1 (3 ; ) = 0 t = 0 t = 1 Tečnprolvodě k( 1)=[4 3 Oená rovnie této tečn je ; ]jerovnoěžnáspřímkou q. 3 18=0.

10 FA ČVUT, MATEMATIKA PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ, Kuželosečk Rozhodněte, jká kuželosečk je popsán rovnií 4 8+4=0. Npište prmetriký popis křivk. Určete průsečík křivk se souřdniovými osmi. Provedeme úprvu rovnie n úplný čtvere v proměnné vproměnné uprvímesvužitímvzore pro rozdíl čtverů. 4 q 4( 1) ( ) = 0 (( 1)) ( ) = 0 }{{}}{{} [( 1) +( ) ] [( 1) ( ) ] = 0 }{{}}{{}}{{}}{{} (+ 4) ( ) = 0 O 1 p Kuželosečk je singulární složená ze dvou různoěžnýh přímek: p: + 4 = 0 q: = 0 Průsečíkempřímekjeod[1 ;],směrovývektorpřímk pje(1 ; ),směrovývektorpřímk q je(1 ;). Prmetriké popis přímek p q jsou: p: =1+t = t, t R q: =1+s =+s, s R Průsečíkpřímk psesouřdniovýmiosmijsouod[0 ;4],[ ;0]. Průsečíkpřímk qsesouřdniovýmiosmijeod[0 ;0]. 11 Rozhodněte, jká kuželosečk je popsán rovnií =0. Provedemeúprvurovnienúplnýčtverevproměnné vproměnné. (+3) 3 +( 1) =0 Tétorovniivhovujeprávějedndvojie.Kuželosečkjesingulární jedenod[ 3 ;1]. 1 Rozhodněte, jká kuželosečk je popsán rovnií +6+9=0. Provedeme úprvu rovnie n úplný čtvere v proměnné. (+3) =0 Kuželosečk je singulární jedn dvojnásoná přímk: = 3.