Příklad 46 : Magnetické pole kolem přímého dlouhého tenkého vodiče

Transkript

1 Příkld 46 : Mgnetické pole kolem příméo dlouéo tenkéo vodiče Siločáry mgnetickéo pole tvoří koncentrické kružnice se středy n ose proudovodiče. Smysl intenzity elektrickéo pole siločr je dán prvidlem prvé ruky. ntenzit mgnetickéo pole (popřípdě mgnetická indukce) je v kždém bodě tečná k siločáře. Ve stcionárním nebo kvzistcionárním mgnetickém poli, které je buzeno čsově neproměnnými, nebo pomlu proměnnými proudy, pltí Ampérův zákon celkovéo proudu v této podobě : H dl Zvolíme-li myšlenou uzvřenou integrční dráu kolem proudovodičů, je integrál intenzity mgnetickéo pole podél této dráy vždy roven celkovému proudu ve vodičíc, které drá obemyká bez oledu n to, jký má pomyslná drá tvr. Ampérův zákon se dá využít v přípdě, když známe symetrii pole. Budeme-li integrovt podél siločáry, která je v přípdě příméo tenkéo vodiče kruová, bude n integrční dráze všude konstntní odnot elektrické indukce nvíc bude směr vektoru indukce rovnoběžný se směrem elementu dráy. ntegrce se změní n prostý lgebrický součin intenzity pole délky dráy : Hr () πr Hr () π r ntenzit mgnetickéo pole není závislá n prostředí, pouze n velikosti rozložení zdrojů mgnetickéo pole. Zdrojem jsou v tomto přípdě poybující se náboje v podobě elektrickéo proudu. N prostředí je závislá druá veličin, která se nzývá mgnetická indukce (sycení) : B µ H Tto závislost všk nemusí být tk jednoducá, jko vzt mezi elektrickou indukcí intenzitou elektrickéo pole. V mgnetickýc mteriálec nemusí být permebilit ni lineární, ni izotropní veličin. V nemgnetickýc mteriálec je odnot permebility rovn permebilitě vku : µ 0 4 π 0 7 / H/m / Pro mgnetickou indukci kolem příméo vodiče ve vzducu potom pltí: Br () µ 0 Hr () µ 0 π r

2 Příkld 47 : Mgnetické pole kolem msivnío dlouéo válcovéo vodiče Předpokládné znlosti : Mgnetické pole v okolí tenkéo proudovodiče : Příkld 46 Siločáry mgnetickéo pole tvoří koncentrické kružnice se středy n ose proudovodiče. Smysl intenzity elektrickéo pole siločr je dán prvidlem prvé ruky. ntenzit mgnetickéo pole ( popřípdě mgnetická indukce) je v kždém bodě tečná k siločáře. Pro stnovení intenzity mgnetickéo pole n různýc poloměrec je vodné použít Ampérov zákon, jko integrční dráu volit siločáru s poloměrem o vzdálenosti míst, ve kterém pole počítáme: H dl Velikost integrálu bude rovn celkovému proudu, který oběová drá obemyká. Výpočet se rozpdne n dv intervly : Uvnitř vodiče vně vodiče. Uvnitř vodiče r V tomto přípdě oběová drá obemyká pouze část celkovéo proudu : Hr () πr Hr () r π r π π ntenzit uvnitř vodiče je přímo úměrná poloměru: Hr ( ) π Hr ( 0) 0 Vně vodiče r V tomto přípdě oběová drá obemyká celý proud pltí : Hr () πr Hr () π r Hr ( ) π Pro poloměry jdoucí k nekonečnu je intenzit mgnetickéo pole nulová.

3 Příkld 48 : Mgnetické pole n ose tenkéo kruovéo závitu Podle Biotov-Svrtov zákon vyvolá proudový element dl vytknutý n obvodě kruovéo závitu mgnetickou indukci: db µ 0 dl r 0 4π r r0 je jednotkový vektor ve směru spojnice od elementu dl k místu, kde počítáme pole : r 0 Vektor mgnetické indukce bude mít smysl dný kldným vektorovým součinem ve vztu, bude kolmý n dl i ro. Vektorový součin bude mít s oledem n kolmost vektorů dl r0 tuto bsolutní odnotu dl r 0 dl r 0 sin π dl Absolutní odnot indukce od elementu dl bude: µ 0 dl db 4π r Budeme-li sčítt příspěvky mgnetické indukce od všec proudovýc elementů po obvodě závitu, ke kždému elementu bude eistovt symetrický element n protější strně, složky indukce kolmé n osu se odečtou, upltní se pouze složk ve směru osy, která bude mít výslednou velikost: µ db db sin( α) 0 dl 4π r r r Výslednou mgnetickou indukci dostneme sečtením příspěvků od všec proudovýc elementů po obvodě závitu: B µ 0 4π r dl r 0 π µ 0 4π r dφ r µ 0 r 3 µ 0 ( ) 3 Největší odnot mgnetické indukce je n ose uprostřed závitu má velikost : B m B ( 0) µ 0

4 Příkld 49 : Mgnetické pole uprostřed tenkéo čtvercovéo závitu Podle Biotov-Svrtov zákon vyvolá proudový element dl vytknutý n obvodě čtvercovéo závitu uprostřed zvitu mgnetickou indukci: µ 0 dl r 0 db 4π r r0 je jednotkový vektor ve směru spojnice od elementu dl k místu, kde počítáme pole : r 0 Vektor mgnetické indukce bude mít smysl dný kldným vektorovým součinem ve vztu, bude kolmý n dl i ro. v nšem přípdě kolmý k nákresně v nznčeném smyslu ( viz prvidlo prvé ruky). Vektorový součin vektorů dl r0 bude mít tuto bsolutní odnotu: dl r 0 dl r 0 sin( α) dlsin( α) Absolutní odnot indukce od elementu dl bude tedy: µ 0 dl db sin( α) 4π r Při integrci se mění úel α, vzdálenost l i r, Tyto veličiny jsou nvzájem závislé, je možno zvolit jednu, pomocí které se integrál vyčíslí. Nejvýodnější je převést vše n funkci úlu α: dl: cotg α dl ( ) l sin α l ( ( )) dα /r sin( α) r r

5 r 4( sin( α) ) Při integrci kolem čtvercové smyčky by se úel α měnil v intervlu 0 - π, integrční vzt by se rozpdl n 8 úplně stejnýc částí, je proto výodné počítt intenzitu pro /8 závitu jko n obrázku potom vynásobit osmi : B 8 µ 0 4π r sin( α) d l µ 0 4π π π 4 4( sin( α) ) ( ) sin α ( ( )) sin α dα B 8 µ 0 π cos π 4 cos π µ 0 4π Mgnetická indukce uprostřed čtvercovéo závitu má tedy směr do nákresny celkovou velikost : B 8 µ 0 4π µ 0 π

6 Příkld 50 : Mgnetické pole v koiálním kbelu Předpokládné znlosti : Mgnetické pole v okolí tenkéo proudovodiče : Příkld 46 Mgnetické pole kolem msivnío dlouéo válcovéo vodiče : Příkld 47 Při výpočtu pole v koiálním kbelu se předpokládá, že je kbel součástí obvodu, ve kterém teče proud jedním vodičem v jednom směru druým vodičem zpět. Pro stnovení intenzity mgnetickéo pole n různýc místec kbelu je vodné použít Ampérov zákon celkovéo proudu jko integrční dráu volit siločáru s poloměrem o vzdálenosti míst, ve kterém pole počítáme: H dl Velikost integrálu bude rovn celkovému proudu, který oběová drá obemyká. Výpočet se rozpdne n tři intervly : Vnitřní vodič(žíl) koiálnío kbelu, vnější vodič(plášť koiálnío kbelu) prostor mezi žilou pláštěm. Uvnitř žíly r V tomto přípdě oběová drá obemyká pouze část celkovéo proudu : Hr () πr Hr () r π r π π ntenzit uvnitř vodiče je přímo úměrná poloměru. Hr ( ) Hr ( 0) 0 Prostor mezi žilou pláštěm r b V tomto přípdě oběová drá obemyká celý proud pltí : Hr () πr Hr () π Hr ( ) π r π Hr ( b) π b.

7 Uvnitř pláště koiálnío kbelu: b r c Oběová drá obemyká celý proud část proudu : Hr () πr π r πb c r π c πb c b Hr () π r c r c b Hr ( b) π b Hr ( c) 0 Průbě intenzity mgnetickéo pole v koiálním kbelu vypdá jko n obrázku. Vně kbelu je intenzit mgnetickéo pole nulová.

8 Příkld 5 : ndukčnost n jednotku délky koiálnío kbelu Předpokládné znlosti : Mgnetické pole v koiálním kbelu : Příkld 50 Při výpočtu lze s výodou vycázet z energetické definice indukčnosti, podle které : W = B * H * dv = V * L * Část energie, která odpovídá mgnetickému poli uvnitř vodičů, se nzývá vnitřní energie té odpovídá podle definičnío vztu i tkzvná vnitřní indukčnost L i. Podobně části mgnetickéo pole vně vodičů odpovídá vnější energie vnější indukčnost L e. Uvnitř žíly vnitřní energie indukčnost r Pro energii mgnetickéo pole pltí obecný vzt: W i 0 Br ()Hr πrldr Uvnitř válcovéo vodiče je mgnetické pole: r µ 0 r Hr () Br () π π Pro integrční element objemu pltí podle obrázku : dv π rl dr Po doszení: W i W i 0 4 µ 0 r µ 0 π l r rldr π 0 r 3 dr µ 0 8π l L i Energii mgnetickéo pole odpovídá tedy indukčnost: µ 0 L i l 8π ndukčnost vztžená n jednotku délky: L i l µ 0 8 π Prostor mezi žilou pláštěm vnější energie indukčnost r b

9 W e b Br ()Hr πrldr Mezi žilou pláštěm kbelu je mgnetické pole: Br () µ 0 π r Hr () π r Pro integrční element pltí: dv π rl dr A pro energii mezi žilou pláštěm:. W e W e b µ 0 π µ 0 π r l πrldr r π b dr r µ 0 π ln b l L e µ 0 L e ln b π l L e l µ 0 π ln b Uvnitř pláště koiálnío kbelu vnitřní energie indukčnost: b r c Mgnetickému poli uvnitř pláště by příslušel energie W i, která by byl podle definice svázán s odpovídjící vnitřní indukčností. Tuto indukčnost by bylo možno vypočítt obdobným způsobem jko v žíle kbelu, tedy integrcí veličin elektromgnetickéo pole přes objem pláště kbelu. Celková indukčnost je potom dán součtem vnější indukčnosti vnitřníc indukčností žíly pláště : L L i L e L i Hodnotu vnitřníc indukčnosti lze čsto při výpočtu znedbt, potom pltí: µ 0 L L e ln b π l

10 Příkld 5 : ndukčnost n jednotku délky symetrickéo dvouvodičovéo vedení Předpokládné znlosti : Příkld 46: Mgnetické pole kolem příméo dlouéo tenkéo vodiče Příkld 47: Mgnetické pole kolem msivnío dlouéo válcovéo vodiče Dvouvodičové vedení můžeme v tomto přípdě cápt jko jednu velkou smyčku. Proud protékjící smyčkou vybudí mgnetické pole. Celkový tok vektoru mgnetické indukce, který protéká touto smyčkou, je podle definice vázán s celkovou indukčností vedení vztem: φ cel L cel Budeme-li počítt indukčnost pouze části vedení o délce, je třeb vyčíslit mgnetický tok touto částí vedení: φ B ds B () d V místě ve vzdálenosti od levéo vodiče je celková mgnetická indukce dán součtem indukce od levéo i prvéo vodiče: B () µ 0 π π µ 0 ( s ) Mgnetický tok je tedy: φ s B () d s µ 0 π s d µ 0 π ln s Porovnáním vztu pro mgnetický tok s definiční rovnicí pro indukčnost : φ L vyplývá pro indukčnost části vedení o délce vzt : L µ 0 π ln s ndukčnost vedení připdjící n jednotku délky je potom: L µ 0 π ln s Poznámk : Ve smyslu definice vnitřní vnější indukčnosti je toto indukčnst vnější, indukčnost vnitřní by se počítl stejně jko v Příkldu 5.

11 Příkld 53 : Mgnetické pole n ose tenké cívky ( solenoidu) Předpokládné znlosti : Příkld 48: Mgnetické pole n ose tenkéo kruovéo závitu Mgnetické pole n ose tenké cívky lze vypočítt jko superpozici mgnetickéo pole pomyslnýc elementárníc závitů, n které je možno si cívku rozdělit. Směr mgnetickéo pole závisí n smyslu protékjícío proudu je dán prvidlem prvé ruky.budeme-li počítt mgnetické pole ve vzdálenosti od středu cívky, lze tkový jeden elementární závit vytknout ve vzdálenosti y. Velkost proudu, který poteče tímto závitem, bude : d N dy Velikost intenzity mgnetickéo pole od tooto závitu v bodě je: (viz Příkld 48) dh d r cos( α) N cos α r ( ) dy Výslednou intenzitu mgnetickéo pole dostneme integrcí ( sečtením) příspěvků všec elementárníc závitů : H () N r cos α ( ) dy Proměnné veličiny ve vztu lze převést n úel lf: cos( α) r r ( ( )) cos α tn( α) y

12 ( ( )) dα cos α dy ntegrál pro intenzitu mgnetickéo pole je vodné rozdělit n dvě části : Část cívky vlevo od míst vprvo od míst : H () N α π cos( α) dα α π cos( α) dα ntenzit mgnetickéo pole v bodě potom bude mít velikost: H () N ( sin( α ) sin( α )) Po doszení z sinus úlů : sin( α ) sin( α ) H () N Budeme-li počítt pole uprostřed cívky (=0) přitom uvžovt, že poloměr cívky je podsttně menší, než délk cívky, vyjde pro intenzitu mgnetickéo pole : H ( 0) N Poznámk : V tenké dloué cívce je skoro v celém objemu mgnetické pole konstntní má velikost : H N Velikost intenzity poklesne ž n smýc okrjíc cívky.

13 Příkld 54 : ndukčnost dloué tenké cívky ( solenoidu) Předpokládné znlosti : Příkld 53: Mgnetické pole n ose tenké cívky ( solenoidu) V přípdě, že má cívk podsttně větší délku než průměr, lze předpokládt, že v převážné části objemu cívky má pole konstntní odnotu o velikosti : H N B N µ 0 ndukčnost tkové cívky lze vypočítt pomocí energetické definice: W = B * H * dv = V * L * Když budeme uvžovt veličiny pole v celém objemu cívky konstntní, integrce se změní n prostý lgebrický součin veličin : W BHV µ N 0 N π D 4 L Pro indukčnost tkové dloué tenké cívky potom pltí : L µ 0 π N D 4

14 Příkld 55 : ndukčnost cívky nvinuté do tvru toroidu Příkld 53 : Mgnetické pole n ose tenké cívky ( solenoidu) Příkld 54 : ndukčnost dloué tenké cívky ( solenoidu) Mgnetické pole je v tomto přípdě velmi podobné mgnetickému poli v dloué cívce. Je nenulové pouze ve vnitřním objemu cívky. Siločáry probíjí rovnoběžně se stěnmi cívky. Použijeme-li Ampérův zákon celkovéo proudu zvolíme-li integrční dráu podél střední siločáry uprostřed cívky, pltí : H dl i ntegrce přejde n prostý lgebrický součin : H π N r s Pro veličiny mgnetickéo pole bude pltit: H N π r s B N µ 0 H µ 0 π r s ndukčnost cívky lze určit n zákldě energetické definice: W = B * H * dv = V * L * Objemový integrál lze s oledem n konstntní odnotu veličin pole v objemu cívky nrdit lgebrickým součinem: W BHV µ 0 N π r s N π π r s r s π L Pro indukčnost cívky potom pltí vzt: µ 0 N L r s

15 Příkld 56 : ndukčnost cívky nvinuté n feromgnetickém jádře se vzducovými mezermi N φ L Mějme dvě cívky nszené n sloupcíc mgnetickéo obvodu s rozměry jko n obrázku. Reltivní permebilit mgnetickéo obvodu je µ r. Ve sloupcíc mgnetickéo obvodu jsou vzducové mezery. Vlstní indukčnost cívky je konstnt udávjící vzt mezi proudem v cívce mgnetickým tokem, který tento proud vybudí. Když budeme při výpočtu vlstní indukčnosti cívky n sloupku uvžovt, že cívkou protéká proud, bude indukčnost definován vztem: Pro mgnetický obvod lze nkreslit nárdní scém, ve kterém místo proudů vystupují mgnetické toky, místo odporů mgnetické odpory místo npětí tkzvná mgnetická npětí. Pro jednotlivé mgnetické odpory nárdnío scémtu potom pltí: R m l m µ 0 µ r S m l.m S.m je střední délk siločáry v dném úseku mgnetickéo obvodu je průřez v dné části mgnetickéo obvodu, kterým procází mgnetický tok V nšem přípdě je možné rozdělit mgnetický obvod n tři prlelní cesty, kždá z nic obsuje jednu vzducovou mezeru. Těmto větvím odpovídjí mgnetické odpory podle scémtu: R m R fe R v R fe ( ) µ 0 µ r ct R v µ 0 ct R m R fe R v R fe µ 0 µ r dt R v µ 0 d t R fe3 R v3 R fe3 ( b ) µ 0 µ r et R v µ 0 et

16 Pro mgnetický tok ve sloupku potom pltí: U m N φ R m R m R m R m Pro indukčnost podle definičnío vztu: N φ N L R m R m R m Pozn: Bude-li skutečně cívkou protékt proud, vybudí se ve sloupku mgnetický tok podle předcozío výpočtu. V sloupcíc 3 se mgnetické toky rozdělí v nepřímém poměru k mgnetickým odporům : R m φ φ φ 3 φ R m R m Protékjícím mgnetickým tokům odpovídá mgnetická indukce v jednotlivýc částec mgnetickéo obvodu : φ φ B S m ct φ φ B S m dt φ 3 φ 3 B 3 S m3 et Obdobně by pltil při výpočtu indukčnosti cívky n sloupku 3 definiční vzt: N 3 φ 3 L 3 3 Z nárdnío obvodu lze vypočítt mgnetický tok ve sloupku 3: φ 3 U m N 3 3 R m R m R m R m R m Tomu odpovídá vlstní indukčnost cívky nszené n sloupku 3 : N 3 φ 3 N 3 L 3 3 R m R m R m R m

17 Příkld 57 : Výpočet vzájemné ndukčnosti mezi cívkmi nvinutými n feromgnetickém jádře se vzducovými mezermi Předpokládné znlosti : Příkld 56: Vlstní indukčnost cívky n feromgnetickém, jádře Mějme dvě cívky nszené n sloupcíc mgnetickéo obvodu s rozměry jko n obrázku. Reltivní permebilit mgnetickéo obvodu je µ r. Ve sloupcíc mgnetickéo obvodu jsou vzducové mezery. Vzájemná indukčnost mezi cívkmi je konstnt udávjící vzt mezi proudem v jedné cívce mgnetickým tokem ve drué cívce, který je částí mgnetickéo toku vybuzenéo první cívkou. N 3 φ 3 M 3 Když budeme při výpočtu vzájemné indukčnosti mezi cívkou n sloupku cívkou 3 n sloupku 3 uvžovt, že cívkou protéká proud, bude vzájemná indukčnost definován vztem: Pro mgnetický obvod lze nkreslit nárdní scém, ve kterém místo proudů vystupují mgnetické toky, místo odporů mgnetické odpory místo npětí tkzvná mgnetická npětí. Pro jednotlivé prvky nárdnío scémtu potom pltí: R m R fe R v R fe ( ) µ 0 µ r ct R v µ 0 ct R m R fe R v R fe µ 0 µ r dt R v µ 0 d t R fe3 R v3 R fe3 ( b ) µ 0 µ r et R v µ 0 et Pro mgnetický tok ve sloupku potom pltí:

18 φ U m N R m R m R m R m Mgnetické toky se rozdělí v opčném poměru k mgnetickým odporům : R m φ φ φ 3 φ R m R m Pro vzájemnou indukčnost mezi cívkmi 3 potom pltí: N 3 φ 3 M 3 Po doszení je vzájemná indukčnost : N 3 R m M 3 φ R m N 3 N R m R m R m R m R m R m R m N N 3 R m R m R m Rm3 Poznámk : Zcel sodnou odnotu vzájemné indukčnosti dostneme při úvze, že buzená cívk bude n sloupku 3. V tomto přípdě vypočítáme část toku vybuzenéo cívkou 3, který zsáne do cívky n sloupku. Celý dlší postup je obdobný. Poznámk : Kdyby byl mgnetický obvod tkový, že by neměl střední sloupek ( nekonečně velká odnot odporu R.m ), potom by cívkou i cívkou 3 protékl stejný mgnetický tok. Pro vzájemnou indukčnost by pltílo: M N N 3 R m Pro vlstní indukčnosti ( viz Příkld 56) : N N 3 L L 3 R m R m Mezi vzájemnou indukčností vlstními indukčnostmi by pltil vzt: M L L 3

19 Příkld 58 : Vzájemná ndukčnost mezi dlouým vodičem obdélníkovou smyčkou Předpokládné znlosti : Příkld 46: Mgnetické pole kolem příméo dlouéo tenkéo vodiče Příkld 47: Mgnetické pole kolem msivnío dlouéo válcovéo vodiče N obrázku je reltivně dlouý vodič, který je protékán proudem. V jedné rovině rovnoběžně s vodičem je umístěn obdélníková smyčk s počtem závitů N. Vodič lze povžovt z část nějkéo obvodu (drué smyčky). Osttní části tooto obvodu jsou ntolik vzdáleny, že neovlivní mgnetické pole v obdélníkové smyčce. Při výpočtu vzájemné indukčnosti je vodné vycázet ze sttické definice. Podle této definice je vzájemná indukčnost konstnt udávjící vzt mezi proudem v jedné smyčce mgnetickým tokem ve drué smyčce, který je částí celkovéo mgnetickéo toku vybuzenéo první smyčkou. NΦ M V nšem přípdě je budící smyčk reprezentován vodičem, kterým protéká proud. Vybudí se mgnetické pole, které bude mít směr jko n obrázku. Je třeb vypočítt mgnetický tok z vybuzenéo mgnetickéo pole, který projde obdélníkovou smyčkou. V místě n obdélníkové smyčce je mgnetická indukce vybuzenéo pole : µ 0 B () π Vytknutou ploškou ds v místě procází mgnetický tok : µ 0 dφ B ()ds d π Celou obdélníkovou smyčkou procází mgnetický tok : φ µ 0 π b d µ 0 π ln b Vzájemnou indukčnost lze z mgnetickéo toku určit podle sttické definice : M Nφ µ 0 N ln b π

20 Příkld 59 : Vzájemná ndukčnost mezi dvojvodičovým vedením obdélníkovou smyčkou vloženou mezi vodiče vedení Předpokládné znlosti : Příkld 58: Vzájemná indukčnost mezi vodičem obdélníkovou smyčkou N obrázku je dvouvodičové vedení, které je protékáno proudem. V jedné rovině rovnoběžně s vodiči je do vedení vložen obdélníková smyčk s počtem závitů N. Při výpočtu vzájemné indukčnosti je vodné vycázet ze sttické definice. Podle této definice je vzájemná indukčnost konstnt udávjící vzt mezi proudem v jedné smyčce mgnetickým tokem ve drué smyčce, který je částí celkovéo mgnetickéo toku vybuzenéo první smyčkou. NΦ M V nšem přípdě je budící smyčk reprezentován vedením, kterým protéká proud. Vybudí se mgnetické pole, které bude mít směr jko n obrázku. Je třeb vypočítt mgnetický tok z vybuzenéo mgnetickéo pole, který projde obdélníkovou smyčkou. Úlo je velice podobná jko Příkld 58, rozdíl je v tom, že je nutno v tomto přípdě zpočítt mgnetické pole(toky) od dvou vodičů. Mgnetické pole se ve smyčce sčítá ( viz obrázek) Levý vodič vybudí ve smyčce mgnetický tok o velikosti ( viz Příkld 58): µ 0 b φ ln π Prvý vodič vybudí mgnetický tok o velikosti ( viz Příkld 58) : µ 0 b c φ ln π c Výsledný mgnetický tok bude : µ 0 ( b) ( b c) φ φ φ ln π c Vzájemná indukčnost mezi vedením smyčkou je tedy podle sttické definice: N φ µ 0 N ( b) ( b c) M ln π c

21 Příkld 60 : Vzájemná ndukčnost mezi dvojvodičovým vedením obdélníkovou smyčkou vloženou vně vedení Předpokládné znlosti : Příkld 58: Vzájemná indukčnost mezi vodičem obdélníkovou smyčkou Příkld 59: Vzájemná indukčnost mezi vedením obdélníkovou smyčkou umístěnou mezi vodiče vedení N obrázku je dvouvodičové vedení, které je protékáno proudem. V jedné rovině rovnoběžně s vodiči je vně uložen obdélníková smyčk s počtem závitů N. Při výpočtu vzájemné indukčnosti je vodné vycázet ze sttické definice. Podle této definice je vzájemná indukčnost konstnt udávjící vzt mezi proudem v jedné smyčce mgnetickým tokem ve drué smyčce, který je částí celkovéo mgnetickéo toku vybuzenéo první smyčkou. NΦ M V nšem přípdě je budící smyčk reprezentován vedením, kterým protéká proud. Vybudí se mgnetické pole, které bude mít směr jko n obrázku. Je třeb vypočítt mgnetický tok z vybuzenéo mgnetickéo pole, který projde obdélníkovou smyčkou. Úlo je velice podobná jko Příkld 59, rozdíl je v tom, že je nutno v tomto přípdě zpočítt mgnetické pole(toky) od dvou vodičů mgnetické pole se ve smyčce odečítá ( viz obrázek) Levý vodič vybudí ve smyčce mgnetický tok o velikosti ( viz Příkld 58): µ 0 φ ln b c π b Prvý vodič vybudí mgnetický tok o velikosti ( viz Příkld 58) : µ 0 φ ln b c π b Výsledný mgnetický tok bude : µ 0 ( b) ( b c) φ φ φ ln π b( b c) Vzájemná indukčnost mezi vedením smyčkou je tedy podle sttické definice: M Nφ µ 0 N π ln ( b) ( b c) b( b c)

22 Příkld 6 : Mgnetické pole kolem příméo dlouéo tenkéo pásovéo vodiče Předpokládné znlosti : Příkld 46 : Mgnetické pole kolem příméo dlouéo tenkéo vodiče Budeme-li počítt intenzitu mgnetickéo pole n místě ležícím v jedné rovině vedle tenkéo dlouéo pásovéo vodiče ve vzdálenosti, můžeme si pásový vodič pomyslně rozdělit n elementární tenké rovnoběžné vodiče. Pásem protéká celkový proud. Jeden z tkovýc vodičů je vytknut ve vzdálenosti od levéo okrje pásu má šířku d. ntenzit mgnetickéo pole bude mít v dném místě směr jko n obrázku. Velikost proudu, který protéká vytknutým elementárním vodičem je : d v d Tento proud vybudí v místě intenzitu mgnetickéo pole: dh d π ( ) v π ( ) d ntegrcí získáme intenzitu pole od celéo tenkéo pásu ( všec elementárníc vodičů) : H π v v 0 ( ) d ln π v v

23 Příkld 6 : Síl mgnetickéo pole působící n dv tenké rovnoběžné vodiče ve vzducu Předpokládné znlosti : Příkld 46 : Mgnetické pole kolem příméo dlouéo tenkéo vodiče Příkld 47 : Mgnetické pole kolem příméo dlouéo válcovéo vodiče Příkld 5: ndukčnost n jednotku délky dvouvodičovéo symetrickéo vedení Sílu, kterou vodič působí n vodič, je možno obecně určit ze vztu: = (dl B ) F ntegrce je proveden podél vodiče, dl je element vytknutý n vodiči ve smyslu procázejícío proudu, je proud protékjící vodičem, B je indukce mgnetickéo pole vybuzená vodičem v místě vodiče. Pro velikost mgnetické indukce v libovolném místě vodiče pltí : µ 0 B π s Mgnetická indukce B je v kždém místě kolmá n vodič, vektor síly bude podle nznčenéo vektorovéo součinu kolmý n vektor mgnetické indukce i n element dráy, bude mít smysl jko n obrázku. Pro velikost síly n jednotku délky vodiče bude pltit vzt: F µ 0 B l π s Bude-li se jednt o dvojvodičové vedení, potom: Síl n jednotku délky, kterou n sebe vodiče působí : µ 0 F l π s Stejný výsledek obdržíme n zákldě principu virtuálníc prcí : d F W m d d ds L Při výpočtu síly n jednotku délky je třeb derivovt indukčnost n jednotku délky dvouvodičovéo vedení: l Pro velikost síly potom pltí vzt : L F l µ 0 π ln s d ds µ 0 π ln s µ 0 π s

24 Příkld 63 : Mgnetické pole dlouéo vodiče nd feromgnetickou rovinou Předpokládné znlosti : Příkld 46 : Mgnetické pole kolem příméo dlouéo tenkéo vodiče Příkld 47 : Mgnetické pole kolem příméo dlouéo válcovéo vodiče Umístíme-li proudem protékný vodič nd feromgnetickou rovinu, původně kruové siločáry mgnetickéo se deformují tk, by do feromgnetické roviny vstupovly kolmo. Výsledné pole lze vyřešit n zákldě principu zrcdlení. Symetricky do stejné vzdálenosti se umístí pomyslný obrz vodiče. Smysl proudu v doplněném vodiči musí být sodný s proudem v originálním vodiči ( viz siločáry n obrázku). Potom bude splněn podmínk kolméo vstupu siločr do roviny. Budeme-li npříkld počítt intenzitu mgnetické pole n feromgnetické rovině pod vodičem v osové vzdálenosti podle obrázku, budeme vektorově sčítt příspěvky skutečnéo fiktivnío vodiče, upltní se pouze průměty do kolméo směru k rovině. Pro velikost intenzity mgnetickéo pole bude pltit : H sin( α) π π H ( ) π

25 Příkld 64 : Mgnetické pole n ose kruovéo závitu nd feromgnetickou rovinou Předpokládné znlosti : Příkld 48 : Mgnetické pole n ose tenkéo kruovéo závitu Příkld 63 : Mgnetické pole příméo vodiče nd feromgnetickou rovinou Podobně jko v přípdě příméo vodiče nd feromgnetickou rovinou je možno problém řešit n zákldě superpozice pole originálnío závitu protéknéo proudem jeo obrzu symetricky umístěnéo pod rovinou. Smysl proudu originálnío závitu i obrzu musí být stejný, tím bude splněn podmínk kolméo vstupu siločr do feromgnetické roviny. (viz Příkld 63) Mgnetické pole n ose kruovéo závitu ve vzdálenosti ( viz příkld 48) je : H ( ) 3 Mgnetické pole n ose kruovéo závitu v bodě A n feromgnetické rovině potom bude právě dvojnásobné: H cel H ( ) 3

26 Příkld 65 : Síl, kterou jsou přitovány dvě části mgnetickéo obvodu (elektromgnet) Předpokládné znlosti : Příkld 56 : ndukčnost cívky nvinuté n feromgnetickém jádře se vzducovými mezermi Umístíme-li n sloupek mgnetickéo obvodu cívku o počtu závitů N necáme-li jí protékt proud, bude orní část mgnetickéo obvodu ke spodní přitován silou, kterou je možno určit n zákldě principu virtuálníc prcí: F W m L ndukčnost cívky nszené n feromgnetickém jádře je dán vztem ( viz Příkld 56) L N R m Budeme-li uvžovt, že feromgnetický mteriál má odně velikou permebilitu, potom lze znedbt odpory železnýc částí mgnetickéo obvodu vůči mgnetickým odporům vzducovýc mezer. Pro mgnetický obvod lze nkreslit nárdní scém jko n obrázku npst vzt : R v R v3 R m R v R v R v3 µ 0 t V tomto vztu se vyskytují odpory vzducovýc mezer pod jednotlivými sloupky : R v R v3 µ 0 t R v µ 0 t Pro indukčnost cívky n středním sloupku plyne vzt : L N µ 0 t µ 0 tn Pro sílu, kterou jsou k sobě přitovány části mgnetickéo obvodu, pltí konečný vzt: F d µ 0tN µ 0 tn d

27 Příkld 66 : Npětí indukovné v závitu otáčejícím se v omogenním mgnetickém poli Kruový závit se rovnoměrně otáčí úlovou ryclostí ω v omogenním mgnetickém poli s mgnetickou indukcí B. Má-li závit poloměr, mění se v tomto závitu rmonicky velikost mgnetickéo toku podle funkce : ( ) φ () t φ m sin ω t Největší mgnetický tok procází v přípdě, že je závit ntočen kolmo n siločáry mgnetické indukce. Jeo velikost je : φ m BS Bπ v nšem přípdě v čse : Je_li ploc závitu ntočen rovnoběžně se siločármi mgnetické indukce, neprocází závitem žádný tok. To nstává ω t 0 k π N svorkác závitu se indukuje npětí o velikosti: u i () t d dt φ ωφ m sin ωt π ndukovné npětí je posunuto o úel π/ proti mgnetickému toku. Největší npětí se indukuje v okmžiku, kdy závitem procází nulový mgnetický tok. Amplitud indukovnéo npětí je : U m ωφ m

28 Příkld 67 : Npětí indukovné v cívkác n mgnetickém obvodu ideální trnsformátor Pro npětí indukovné n svorkác cívky, kterou procází čsově proměnný mgnetický tok, pltí obecně: u i () t N d φ d t Převedeme-li tuto rovnici do fázorovéo tvru, bude pltit: U jω N φ Přivedeme-li tedy k cívce n mgnetickém obvodu npětí, které je reprezentováno fázorem U, musí pltít rovnice : U jω N φ Vlivem vnucenéo npětí n primární cívce je mgnetickému obvodu vnucen mgnetický tok o velikosti: U jω N Tento mgnetický tok protéká i cívkou indukuje do ní npětí s fázorem: φ U jω N φ jω N U jω N N U N Podle Hopkinsonov zákon musí odpovídt vnucenému npětí U mgnetickému toku Ф proud v primárním obvodu 0, který se nzývá mgnetizční proud: N 0 φ R m 0 φ R m N Budeme-li uvžovt ideální mgnetický obvod, bude mít nekonečně velikou permebilitu z too vyplývjící nulový mgnetický odpor : R m 0 V přípdě ideálnío mgnetickéo obvodu bude tedy nulový i mgnetizční proud: 0 0 ntenzit mgnetickéo pole v ideálním mgnetickém obvodu bude tké nulová, mgnetické indukce bude dán vztem : B φ S Připojíme-li k sekundární cívce zátěž o impednci Z, bude v sekundárním obvodu protékt proud s fázorovou odnotou: U Z

29 Z Ampérov zákon celkovéo proudu s oledem n nulovou intenzitu mgnetickéo pole v mgnetickém obvodu vyplyne vzt: N N 0 Proudu v sekundárním obvodu bude tedy odpovídt proud v primárním obvodu: N N Poznámk : Při stejném smyslu nvinutí cívek stejné volbě zčátků konců vinutí bude npětí n obou cívkác ve stejné fázi ( je buzeno stejným tokem). Proud procázející cívkmi bude v opčné fázi, mgnetický tok je totiž vnucen primárním npětím musí zůstt konstntní, mgnetické účinky primárnío sekundárnío proudu se proto musí nvzájem rušit. Přivedeme-li k primární cívce npětí s efektivní odnotou U ef, objeví se v mgnetickém obvod mgnetický tok s mimální odnotou (prmetry mteriálů pro mgnetické obvody se udávjí v mimálníc odnotác) : φ m U ef N ω U ef 4.44fN V mgnetickém obvodu bude mgnetická indukce : B m φ m S fe Mgnetická indukce je mírou efektivnío využití mgnetickéo obvodu. Zvolíme-li mlou odnot mgnetické indukce, povede to ke zbytečně velkým rozměrům mgnetickéo obvodu. Příliš velká odnot mgnetické indukce by mol nopk znment přesycení mgnetickéo obvodu, změnu mgnetickýc vlstností feromgnetickéo mteriálu nárůst ztrát. Do sekundární cívky se potom indukuje npětí : U ef N 4.44fN U ef φ m Ztížíme-li sekundární cívku tk, že jí bude protékt proud o efektivní odnotě ef. bude pro odnotu proudu v primárním obvodu pltit vzt: N ef ef N N Poznámk : Ve skutečném trnsformátoru není nulový ni mgnetický odpor, ni mgnetizční proud, n velikosti npětí n cívkác se nvíc upltňují úbytky, které jsou způsobeny rozptylovým mgnetickým polem cívek ( pole které se uzvírá kolem vlstníc cívek ne v mgnetickém obvodu - je vždy vázáno pouze s jednou z cívek). Trnsformátor jko n obrázku by se covl jko zdroj s velmi velkou vnitřní impedncí).