Pár informací o diferenciálním počtu funkcí jedné reálné proměnné

Transkript

1 Pár informací o diferenciálním počtu funkcí jedné reálné proměnné Doplňkový text k předmětu Matematická analýza 1 Pavel Řehák (verze 21. února 2016)

2 2

3 Několik slov na úvod Tento text tvoří doplněk k předmětu Matematická analýza 1. Jeho cílem není (a ani nemůže být), aby obsahoval vše, co se na přednáškách probírá. Spíše se snaží velmi stručně a přehledně zachytit nejdůležitější pojmy a fakta, případně jsou zde detailněji popsány některé vybrané pasáže, což nám pak při přednáškách ušetří čas. V kombinaci s poznámkami z přednášek (kde zejména podrobněji komentujeme probíranou látku, doplňujeme ji, prezentujeme důkazy, kreslíme obrázky, uvádíme množství příkladů a aplikací a diskutujeme) by tento text měl tvořit postačující zdroj k přípravě na zkoušku. Je samozřejmě vítána i samostatná iniciativa studentů, kdy sami čerpají i z jiných zdrojů (přičemž požadavky na rozsah znalostí jsou zřejmé z obsahu textu a přednášek). Je jisté, že tento text bude v zájmu zkvalitňování průběžně doznávat změn. Budu vděčný každému, kdo mne upozorní na nepřesnosti či chyby v textu. Některé nepřesnosti jde vlastně spíš o zjednodušení jsou ovšem záměrné, vzhledem k charakteru tohoto textu a koneckonců i celého kurzu. Brno, 21. února 2016, Pavel Řehák 3

4

5 Obsah 1 Posloupnosti Úvod Limita posloupnosti Hromadné body Limita funkce Okolí Limita funkce a její specifikace Vlastnosti limity Spojitost funkce Spojitost v bodě Spojitost na intervalu Derivace Definice a základní vlastnosti Věty o střední hodnotě L Hospitalovo pravidlo Formulace pravidla a několik poznámek Další neurčité výrazy Diferenciál a Taylorova věta Diferenciál Taylorův polynom Extrémy funkce Základní pojmy a postřehy Podmínky existence lokálního extrému Hledání globálních extrémů Vyšetřování průběhu funkce Podmínky monotonie funkce Konvexnost, konkávnost, inflexní body Asymptoty grafu funkce Průběh funkce Literatura 39 5

6

7 Kapitola 1 Posloupnosti 1.1 Úvod Motivací pro studium posloupností je spousta. Některé zmíníme na přednášce. Následující definice by měla být známa přinejmenším už z předmětu Základy matematiky. Definice 1.1. Posloupností reálných čísel máme na mysli zobrazení a : N R. Místo a(n) často píšeme a n. Posloupnost označujeme různě, např. (a n ), nebo {a n }, nebo {a n } n=1, nebo a n, nebo prostě a. Lze studovat třeba následující vlastnosti; pokuste se jejich (ne)splnění ilustrovat na příkladech: Posloupnost {a n } se nazývá (shora/zdola) omezená, je-li {a n : n N} (shora/zdola) omezená. Posloupnost {a n } se nazývá rostoucí (resp. neklesající), jestliže a n < a n+1 (resp. a n a n+1 ) pro každé n N. Analogicky definujeme klesající a nerostoucí posloupnost. Rostoucí a klesající posloupnosti patří mezi ryze monotonní. Nerostoucí a neklesající posloupnosti náleží monotonním posloupnostem. 1.2 Limita posloupnosti Velmi důležitým aspektem teorie je zkoumání chování posloupností v okolí nekonečna. K tomu slouží mj. pojem limity. Definice 1.2. Posloupnost {a n } má (vlastní) limitu L R, jestliže ε > 0 n 0 N : n n 0 a n L < ε. Píšeme potom lim n a n = L a říkáme též, že posloupnost konverguje k číslu L 7

8 8 Kapitola 1 Poznámka 1.1. Analogicky definujeme nevlastní limitu, tj. L = nebo L = ; pokuste se sami o takovou definici. Říkáme pak, že posloupnost diverguje k ±. K divergentním posloupnostem patří i ty, pro něž limita (vlastní či nevlastní) vůbec neexistuje; někdy se v tomto případě hovoří o oscilujících posloupnostech. Najděte si příklady takových posloupností. Následují vybrané vlastnosti limit, které uvádíme bez důkazu: Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Každá konvergentní posloupnost je ohraničená. (Ne naopak! Najděte si příklad.) (Bolzanova Weierstrassova věta) Z každé ohraničené posloupnosti lze vybrat konvergentní podposloupnost. Nechť lim n a n = a R, lim n b n = b R. Potom lim n (a n b n ) = a b, kde {+,,, /}. V případě = / navíc požadujeme, aby b n 0 a b 0. Dále platí lim n a n = a R. Bez předpokladu existence obou limit rovnosti platit nemusí. Jestliže lim n a n = 0 a {b n } je omezená, potom lim n a n b n = 0. Nechť a n b n pro velká n N, lim n a n = a R, lim n b n = b R. Potom a b. (Přemýšlejte, jak to dopadne, předpokládáme-li a n < b n pro velká n N. Rovněž si rozmyslete, co plyne z nerovnosti a < b.) (Věta o třech posloupnostech) Jestliže a n b n c n pro velká n a lim n a n = a = lim n c n, potom lim n b n = a. 1.3 Hromadné body Následující pojem lze chápat jako jakési zobecnění limity. Definice 1.3. Číslo a R se nazývá hromadný bod posloupnosti {a n }, jestliže pro každé ε > 0 existuje nekonečně mnoho indexů n N tak, že a n a < ε. Poznámka 1.2. Hromadný bod lze definovat i v případě, že uvažujeme a R = R {, }. Sami si zformulujte takovou definici. Stačí si promyslet, co máme na mysli okolím nevlastních bodů. Označíme-li množinu všech hromadných bodů posloupnosti {a n } jako H(a n ), pak H(a n ) může být prázdná, či jednoprvková, či víceprvková (konečná), či nekonečná. Najděte si příklady ilustrující tyto skutečnosti. Možnost H(a n ) = je však vyloučena, pracujeme-li v R. Není obtížné ukázat, že a je hromadným bodem posloupnosti {a n }, právě když existuje vybraná podposloupnost {a nk } tak, že lim k a nk = a. Dále platí (důkaz je již poněkud pracnější):

9 Kapitola 1 9 Věta 1.1. (i) Každá posloupnost má největší a nejmenší hromadný bod v R. Zejména vždy platí H(a n ) v R. (ii) Jestliže {a n } je omezená polsoupnost, potom H(a n ) R a existuje max H(a n ), min H(a n ) R. Z předchozích tvrzení vyplývá výše zmíněná Bolzanova-Weierstrassova věta. Dále tímto získáváme oprávnění k vyslovení následující definice. Definice 1.4. Číslo max H(a n ) =: lim sup n a n se nazývá limita superior posloupnosti {a n }. Číslo min H(a n ) =: lim inf n a n se nazývá limita inferior posloupnosti {a n }. Pokuste se sami vydedukovat dosti intuitivní vztahy mezi limitou inferior, limitou superior a limitou posloupnosti.

10 10 Kapitola 1

11 Kapitola 2 Limita funkce Zajímáme se o chování funkce v ryzím okolí bodu. Potřebujeme tedy, aby funkce byla v nějakém ryzím okolí definována. Limita však nezávisí na funkční hodnotě v uvažovaném bodě. Dokonce zde funkce vůbec nemusí být definována. 2.1 Okolí Správné porozumění pojmu okolí bodu (vlastního či nevlastního) a práce s ním může být rozhodující při pochopení limity funkce. Okolím (či δ okolím) bodu x 0 R máme na mysli O(x 0, δ) = (x 0 δ, x 0 + δ). Prstencové (redukované či ryzí) okolí bodu x 0 R definujeme jako P (x 0, δ) = O(x 0, δ) \ {x 0 }. Není-li hodnota δ podstatná, píšeme pouze O(x 0 ) resp P (x 0 ). Levé okolí bodu x 0 R definujeme jako O (x 0 ) = O (x 0, δ) = (x 0 δ, x 0. Analogicky definujeme pravé okolí O + (x 0 ), levé prstencové okolí P (x 0 ) a pravé prstencové okolí P + (x 0 ). Pojem okolí a prstencového okolí zavádíme i pro nevlastní body a to takto: O( ) = O(, h) = P (, h) = (h, ), O( ) = O(, h) = P (, h) = (, h), h R. Je zřejmé, že O( ) splývá s levým okolím bodu, přičemž pravé okolí nekonečna postrádá smysl. Analogicky pro jednostranné okolí bodu. 2.2 Limita funkce a její specifikace Nyní můžeme pohodlně zavést univerzální definici limity. 11

12 12 Kapitola 2 Definice 2.1. Funkce f má v bodě x 0 R limitu L R (píšeme lim x x0 f(x) = L), jestliže O(L) P (x 0 ) : x P (x 0 ) f(x) O(L). Vidíme, že definice zahrnuje všechny možné kombinace ve smyslu vlastní/nevlastní limita ve vlastním/nevlastním bodě; proto jsme ji nazvali univerzální. Specifikací příslušných okolí pak můžeme vyslovit definice limit pro jednotlivé případy. Např. lim x x0 f(x) =, kde x 0 R, právě když h R δ > 0 : 0 < x x 0 < δ f(x) > h. Sami si najděte specifikace pro všechny ostatní případy. Všimněme si, že v případě limity ve vlastním bodě x 0 R vlastně zkoumáme chování funkce ve smyslu přibližování se k x 0 zprava i zleva. Je přirozené, že se můžeme zajímat jen o jeden směr. Takto dostáváme pojem jednostranné limity, kde důležitou roli hraje pravé resp. levé prstencové okolí. Např. vlastní limitu zprava v bodě x 0 R definujeme jako ε > 0 δ > 0 : x P + (x 0, δ) f(x) L < ε; píšeme lim x x0+ f(x) = L. Analogicky definujeme limitu zleva lim x x0 f(x) = L. Pokuste se sami popsat vztahy mezi limitou a jednostrannými limitami. 2.3 Vlastnosti limity Zcela v souladu s očekáváním jsou mnohé vlastnosti limity funkce analogické vlastnostem limity posloupnosti. Libovolná funkce má v libovolném bodě nejvýše jednu limitu. Jestliže má funkce vlastní limitu v bodě x 0, pak najdeme P (x 0 ), na kterém je omezená. Nechť lim x x0 f(x) = L R, lim x x0 g(x) = M R, kde x 0 R. Potom lim x x0 (f(x) g(x)) = L M, kde {+,,, /}. V případě = / navíc požadujeme, aby M 0. Dále platí lim x x0 f(x) = L R. Jestliže lim x x0 f(x) = 0 a g(x) je omezená v nějakém P (x 0 ), potom lim x x0 f(x)g(x) = 0 Nechť f(x) g(x) v nějakém P (x 0 ), lim x x0 f(x) = L, lim x x0 g(x) = M. Potom L M. (Přemýšlejte, jak to dopadne, předpokládáme-li f(x) < g(x) pro x P (x 0 ). Rovněž si rozmyslete, co plyne z nerovnosti L < M.) Jestliže f(x) h(x) g(x) v nějakém P (x 0 ) a lim x x0 f(x) = L = lim x x0 g(x), potom lim x x0 h(x) = L.

13 Kapitola 2 13 Jestliže lim y y0 R g(y) = g(y 0 ) (jak zanedlouho uvidíme, znamená to vlastně spojitost funkce g v bodě x 0 ) a platí, že lim x x0 f(x) = y 0, potom lim x x0 g(f(x)) = g(y 0 ). Pozor: Není pravda, že lim y y0 R g(y) = L a lim x x0 f(x) = y 0 zajistí lim x x0 g(f(x)) = L. Výše uvedené vlastnosti nám významně pomáhají při výpočtech limit. Později si zformulujeme další užitečný nástroj k těmto účelům, totiž L Hospitalovo pravidlo. Analogické vlastnosti platí pochopitelně i pro jednostranné limity. Zkoumejte i další různé vztahy, zejména pro nevlastní limity. Např. jestliže lim x x0 = 0 a f(x) 0 v P (x 0 ), potom lim x x0 1/ f(x) = apod. Všimněte si ale, že nelze např. tvrdit lim x x0 (f(x) g(x)) = 0, příp. že tato limita vůbec existuje při předpokladu lim x x0 f(x) = = lim x x0 g(x). V tomto případě máme vlastně neurčitý výraz typu. Takovými výrazy se budeme zabývat i později. Ale už nyní můžete přemýšlet nad dalšími neurčitými výrazy zejména si vzpomeňte, které operace se (ne)definovaly pro prvky množiny R.

14 14 Kapitola 2

15 Kapitola 3 Spojitost funkce Mezi studenty existují různé vágní představy o pojmu spojitosti. Jak uvidíme, tento pojem velice přesně a jednoduše popíšeme pomocí limity. 3.1 Spojitost v bodě Definice 3.1. Funkce f se nazývá spojitá v bodě x 0 R, jestliže lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 V případě limity zprava resp. zleva hovoříme a spojitosti zprava resp. zleva. Tedy pro spojitost potřebujeme, aby existovala limita a navíc se rovnala funkční hodnotě. Pouhá existence (vlastní) limity ke spojitosti nestačí, najděte si příklad. Následují některé vlastnosti funkcí spojitých v bodě. Jsou-li f, g spojité v bodě x 0, potom f, f g, kde {+,,, /}, jsou spojité v bodě x 0. V případě = / musíme navíc předpokládat g(x 0 ) 0. Je-li f spojitá v x 0 a g spojitá v f(x 0 ), pak g f je spojitá v x 0. (Charakterizace spojitosti pomocí posloupnosti) Funkce f je spojitá v x 0, právě když f(x n ) f(x) pro každou posloupnost {x n } takovou, že x n x 0. Následující tvrzení je vlastně přepisem jedné vlastnosti z předchozí kapitoly. Jestliže lim x x0 g(x) = L a f je spojitá v L, potom lim x x0 f(g(x)) = f(l). Zkoumáme-li nespojitosti blíže, zjistíme, že mohou mít různý charakter, který v podstatě závisí na limitním chování funkce: { f(x 0 ) není definována = L( R) f(x 0 ) f(x 0 ) je definována { lim f(x) x x 0 existují vlastní limity lim x x0+ f(x) lim x x0 f(x) aspoň jedna z lim x x0+ f(x), lim x x0 f(x) neexistuje vlastní 15

16 16 Kapitola 3 První dva případy reprezentují tzv. odstranitelné nespojitosti (lze spojitě dodefinovat resp. spojitě předefinovat). Ve třetím resp. čtvrtém případě hovoříme o bodu nespojitosti 1. resp. 2. druhu. 3.2 Spojitost na intervalu Definice 3.2. Uvažujme funkci f na intervalu I D(f). Řekneme, že f je spojitá na intervalu I, jestliže je spojitá v každém jeho vnitřím bodě a patří-li levý (pravý) krajní bod do I, pak je v něm spojitá zprava (zleva). Následují klasická tvrzení o funkcích spojitých na intervalu. Terminologie týkající se názvů těchto vět není v literatuře jednotná; to je ale celkem běžný jev i v mnoha jiných oblastech matematiky. Věta 3.1. (Weierstrassova věta) Je-li f spojitá na a, b, potom je omezená na a, b a nabývá na a, b své nejmenší a největší hodnoty. Věta 3.2. (Bolzanova věta) Je-li f spojitá na a, b, potom f nabývá všech hodnot mezi svou největší a nejmenší hodnotou. Všimněte si, že kromě spojitosti hraje důležitou roli i uzavřenost intervalu. Zkoumejte, co se stane, není-li v některých větách aspoň jeden z předpokladů splněn; kreslete si příslušné obrázky. Výše uvedené věty mají různé důsledky. Uvedeme některé z nich. Je-li f spojitá na a, b a f(a)f(b) < 0, potom existuje c (a, b) tak, že f(c) = 0. Je-li f spojitá na intervalu I, potom f(i) := {f(x) : x I} je bod nebo f(i) je interval. (Typ intervalu nemusí být zachován.) Je-li f spojitá na uzavřeném intervalu I, potom f(i) je bod nebo f(i) je uzavřený interval. Je-li f spojitá a ryze monotonní na otevřeném intervalu I, potom f(i) je otevřený interval.

17 Kapitola 4 Derivace Derivace funkce paří mezi ústřední pojmy diferenciálního počtu. Na přednášce si předvedeme geometrickou i fyzikální motivaci pro derivaci. 4.1 Definice a základní vlastnosti Definice 4.1. Jestliže existuje f(x) f(x 0 ) lim, x x 0 x x 0 nazýváme ji derivací funkce f v bodě x 0 a značíme f (x 0 ). Analogicky, pomocí limity zprava resp. zleva, definujeme derivaci zprava (ozn. f +(x 0 )) resp. zleva (ozn. f (x 0 )). Následují základní vlastnosti derivací. Bohužel velmi častou odpovědí studentů na otázku Kdy má funkce derivaci? je Když je spojitá (namísto, aby správně uvedli výše zmíněnou definici). Jak se lze snadno přesvědčit, tak spojitost nezaručuje existenci derivace (prozkoumejte např. chování funkce f(x) = x v okolí nuly). Naopak to však platí: Má-li funkce f v bodě x 0 vlastní derivaci, je v tomto bodě spojitá. Platí tato pravidla pro počítání (všude předpokládáme existenci derivací, příp. další přirozené požadavky, jako je nenulovost členu ve jmenovateli atd.): Derivace se chová lineárně, tj. (c 1 f(x)+c 2 g(x)) = c 1 f (x)+c 2 g (x), kde c 1, c 2 R; (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x); ( ) f(x) g(x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g 2 (x) ; 17

18 18 Kapitola 4 (g f) (x) = g (f(x))f (x); ((f(x)) g(x) ) zde studenti často chybují a aplikují nesprávná pravidla, např. (f g ) = gf g 1, což obecně nelze. Přitom si stačí uvědomit, že platí f g = e g ln f a dále již můžeme pohodlně použít předchozí pravidla o derivaci složené funkce a derivaci součinu; jestliže funkce f je spojitá a ryze monotonní na intervalu I a existuje f (x 0 ) 0, kde x 0 náleží vnitřku I, potom existuje derivace inverzní funkce f 1 v bodě y 0 = f(x 0 ) a platí (f 1 ) (y 0 ) = 1/f (x 0 ). Jsou odvozeny nepříliš složité vzorce pro derivace všech základních elementárních funkcí. Jejich znalost je nezbytná. V kombinaci s výše uvedenými pravidly pak umožňují spočítat derivaci jakékoliv elementární funkce. Zderivujeme-li funkci f(x), pak vlastně máme novou funkci f (x). Je zcela přirozené se ptát, zda i tuto novou funkci můžeme derivovat. Tak se dostáváme k derivacím vyššího řádu, které mají rovněž četné aplikace. Definice je induktivní. Definice 4.2. Druhou derivací funkce f rozumíme funkci f = (f ). Pro libovolné n N definujeme n-tou derivaci (derivaci řádu n) funkce f vztahem f (n) = (f (n 1) ), kde f (0) znamená f. Odstavec zakončíme rovnicí tečny, která zcela přirozeně vyplývá z úvah týkajících se geometrické motivace. Předpokládejme, že funkce f má vlastní derivaci v bodě x 0. Potom má graf této funkce tečnu v bodě [x 0, f(x 0 )] a její rovnice je y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). 4.2 Věty o střední hodnotě Uvedeme si nyní dvě věty o tzv. střední hodnotě, které později často využijeme. Věta 4.1. (Rolleova věta) Předpokládejme, že funkce f splňuje tyto předpoklady: (i) je spojitá na a, b, (ii) má derivaci (vlastní či nevlastní) v (a, b), (iii) f(a) = f(b). Pak existuje c (a, b) tak, že f (c) = 0. Geometrická interpretace Rolleovy věty je velmi názorná: tečna v příslušném bodě je rovnoběžná s osou x. Nakreslete si obrázek. Rovněž přemýšlejte nad nezbytností (nezaměňovat s nutností) všech tří předpokladů; ilustrujte si všechny tři situace, kdy jsou po řadě porušeny podmínky (i), (ii) a (iii). Jednu z možných fyzikálních interpretací necháváme též jako cvičení: Vysvětlete, proč automobil, který se rozjede a po nějaké době zastaví, musí mít v některém okamžiku během cesty nulové zrychlení. Zobecněním Rolleovy věty je následující tvrzení.

19 Kapitola 4 19 Věta 4.2. (Lagrangeova věta) Předpokládejme, že funkce f splňuje tyto předpoklady: (i) je spojitá na a, b, (ii) má derivaci (vlastní či nevlastní) v (a, b), Pak existuje c (a, b) tak, že f(b) f(a) b a = f (c). Geometrická interpretace je opět velmi názorná: Najdeme tečnu rovnoběžnou se sečnou určenou koncovými body. Nakreslete si to. Jestliže navíc předpokládáme f(a) = f(b) v Lagrangeově větě, pak obdržíme Rolleovu větu. Jedna z fyzikálních aplikací je třeba tato: Vysvětlete, proč v některém okamžiku během jízdy automobilu je okamžitá rychlost rovna průměrné rychlosti za celou jízdu. Díky Lagrangeově větě umíme odhadnout přírůstek funkce f(b) f(a), jestliže dokážeme odhadnout f v (a, b). Zkuste si to např. pro f(x) = cos x. Dalším důsledkem Lagrangeovy věty je následující jednoduché sledování, které jak uvidíme později má velký význam v teorii neurčitého integrálu: Jestliže f (x) = g (x) na intervalu I, pak se funkce f, g liší na I o nějakou konstantu c. Existuje ještě další zobecnění, totiž Cauchyova věta (o podílu přírůstků). Její důkaz je založen na Rolleově větě. Věta 4.3. (Cauchyova věta) Předpokládejme, že funkce f, g jsou spojité na a, b a v každém bodě x (a, b) mají vlastní derivaci f (x), g (x). Pak existuje c (a, b) tak, že (f(b) f(a))g (c) = (g(b) g(a))f (c). Co dostaneme volbou g(x) = x?

20 20 Kapitola 4

21 Kapitola 5 L Hospitalovo pravidlo Velmi často narazíme při počítání limity funkce ve tvaru zlomku na případ, kdy čitatel i jmenovatel jdou zároveň k nekonečnu či k nule. Z teorie rozšířené reálné osy víme, že se operace 0 0 a nedefinují. V souvislosti s limitami hovoříme o tzv. neurčitých výrazech. Bližší zkoumání limitního chování funkcí, jež k těmto výrazům vedou, nám může dát odpověď proč zmíněné operace nedefinujeme. Výsledná limita totiž může dopadnout jakkoliv. Problémem ovšem je, jak tyto limity počítat. Pravidlo o podílu limit zde nelze použít. Velmi užitečným nástrojem pak může být právě L Hospitalovo pravidlo. 5.1 Formulace pravidla a několik poznámek Věta 5.1. Uvažujme funkce f, g a bod x 0 R. Jestliže existuje a je splněna jedna z podmínek nebo f(x) potom existuje lim x x 0 g(x) f (x) lim x x 0 g (x) = L R lim f(x) = 0 = lim g(x), x x 0 x x 0 lim g(x) =, x x 0 f(x) a platí lim x x 0 g(x) = L. A nyní pár poznámek: Důkaz obecného případu není úplně stručný, mj. využívá Cauchyovu větu o střední hodnotě. Pokuste se o (jednoduchý) důkaz v případě, že f(x 0 ) = g(x 0 ) = 0, f, g jsou spojité a g (x 0 ) 0. Zde Cauchyovu větu nepotřebujete. Stačí si vzpomenout na definici derivace. 21

22 22 Kapitola 5 V případě, že funkce f, g jdou do nuly, má pravidlo hezkou geometrickou interpretaci: vlastně pak sledujeme podíl směrnic příslušných tečen. Namalujte si to. V praxi používáme případ lim x x0 g(x) = v naprosté většině tehdy, když jsou obě limity lim x x0 f(x) a lim x x0 g(x) nevlastní. Je okamžitě zřejmé, co by vyšlo, pokud lim x x0 f(x) existuje vlastní. L Hospitalovo pravidlo lze přirozeně formulovat i pro jednostranné limity. L Hospitalovo pravidlo lze aplikovat opakovaně. Opačná implikace k tvrzení ve větě neplatí. Přesněji, může se stát, že f(x) lim existuje, avšak x x 0 g(x) lim f (x) x x 0 g neexistuje. Prozkoumejte např. li- (x) mitu lim x x + sin x x + cos x. L Hospitalovo pravidlo lze v některých případech použít i pro posloupnosti. Skutečně, stačí si uvědomit toto: Je-li {a n } posloupnost a f funkce taková, že a n = f(n), přičemž existuje lim x f(x) = L R, je lim n a n = L. Existuje i diskrétní obdoba L Hospitalova pravidla diferenčním počtem se však zde nezabýváme. Jedním z omezení použitelnosti je fakt, že L Hospitalovo pravidlo vyžaduje existenci derivací funkcí f, g v příslušném okolí. 5.2 Další neurčité výrazy Výrazy 0 0 a nejsou jedinými neurčitými výrazy. Nejprve poznamenejme, že limitou typu 0 0 máme na mysli lim x x 0 f(x) g(x), kde lim f(x) = 0 = lim g(x). x x 0 x x 0 Mezi výrazy typu řadíme ty, kde lim f(x) = 0 = lim g(x). x x 0 x x 0 Neurčitých výrazů (či typů limit) je však víc. Vlastně rozlišujeme přesně sedm typů neurčitých výrazů: 0 0,, 0,, 00, 0, 1, které chápeme tak, že limity jednotlivých funkcí existují, ale příslušné operace s nimi nejsou definovány. Ukážeme, že všechny typy lze převést na 0 0 nebo a tím pádem může najít uplatnění L Hospitalovo pravidlo i v ostatních případech.

23 Kapitola 5 23 Typ 0. V závislosti na konkrétní situaci použijeme jeden ze zřejmých přepisů původního výrazu: f g = f 1 g resp. f g = g 1. f Typ. Pokud nejde přímo o rozdíl zlomků (kde je jasné, jak pokračovat) pak si můžeme pomoci takto: f g = 1 1 f 1 1 g = 1 g 1 f 1. fg V případě, že uvažujeme tyto výrazy v limitě, pak zde již rozeznáváme typ 0 0. Typy 0 0, 0, 1. Všechny tyto typy lze řešit následujícím způsobem: lim f g = lim e g ln f = e lim g ln f. Takto jsme provedli převedení na typ 0, se kterým si však již umíme poradit.

24 24 Kapitola 5

25 Kapitola 6 Diferenciál a Taylorova věta Úvahy v této kapitole lze chápat jako snahu o lokální aproximaci funkce jednodušší funkcí. 6.1 Diferenciál Začneme s aproximací pomocí lineární funkce. Uvažujme funkci f v nějakém O(x 0 ). Chceme zde f nahradit funkcí lineární, tj. najít A R tak, aby f(x 0 + h) f(x 0 ). = Ah. Při tomto nahrazení se dopouštíme jisté chyby: ω(h) = f(x 0 + h) f(x 0 ) Ah. Je rozumné požadovat, aby lim h 0 ω(h) = 0. Takové míře přesnosti však při spojité funkci vyhovuje jakákoliv volba A R. Zvýšíme tedy míru přesnosti takto: Požadujeme, aby ω(h) = hτ(h), kde lim h 0 τ(h) = 0. Pak už skutečně nalézáme právě jedno A R splňující naše požadavky. Definice 6.1. Říkáme, že f je v bodě x 0 diferencovatelná (příp. má v bodě x 0 diferenciál), je-li možno její přírůstek f(x 0 + h) f(x 0 ) vyjádřit ve tvaru f(x 0 + h) f(x 0 ) = Ah + hτ(h), kde A R a lim h 0 τ(h) = 0. Výraz Ah se nazývá diferenciál funkce f v bodě x 0 a označuje se df(x 0 )(h) nebo stručně df(x 0 ). Ne vždy je zaručena diferencovatelnost. Prozkoumejte např. f(x) = x v bodě 0. Později (z Taylorova vzorce) budeme schopni nalézt odhad chyby (vyjádřený pomocí f ). 25

26 26 Kapitola 6 Vnímavější jedinci už možná vidí jistou souvislost diferenciálu s derivací. Zkuste vydělit rovnost z definice výrazem h. Pak už bude snadné uvěřit následujícímu tvrzení: Funkce f je diferencovatelná v x 0, právě když existuje f (x 0 ). V případě diferencovatelnosti pak platí A = f (x 0 ). Přemýšlejte nad geometrickým významem diferenciálu. Jde vlastně o přírůstek na tečně. Vzhledem k výše uvedenému je jasné, proč má smysl psát f(x). = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Poznamenejme, že jde o nejlepší lineární aproximaci funkce. 6.2 Taylorův polynom Problém je tento: Chceme aproximovat funkci f v okolí O(x 0 ) polynomem tvaru P (x) = a 0 + a 1 (x 1 x 0 ) + a 2 (x x 0 ) a n (x x 0 ) n. Předpokládáme, že f má v x 0 vlastní derivace až do řádu n a požadujeme f (i) (x 0 ) = P (i) (x 0 ), i = 0, 1,..., n. Postupným derivováním a dosazováním (zkuste si to) obdržíme tyto tvary koeficientů a n : a i = f (i) (x 0 ). i! Polynom s požadovanými vlastnostmi je takto jednoznačně určen a má tvar: T n (x; f, x 0 ) := f(x 0 ) + f (x 0 ) 1! (x x 0 ) + f (x 0 ) 2! (x x 0 ) f (n) (x 0 ). n! Nazýváme jej Taylorův polynom (stupně n funkce f se středem v x 0 ). Pokud x 0 = 0, pak hovoříme o Maclaurinově polynomu. Tzv. Taylorův zbytek definujeme jako R n (x) = f(x) T n (x) a Taylorovým vzorcem rozumíme vztah f(x) = T n (x) + R n (x). Zbytek nám vlastně vyjadřuje chybu. Následující věta poskytuje jistý (poměrně efektivní) tvar zbytku. Důležitou roli v jejím důkazu hraje Cauchyova věta o střední hodnotě. Věta 6.1. (Taylorova věta) Jestliže f má v O(x 0 ) derivace až do řádu n+1, n N {0}, pak pro každý bod x O(x 0 ) platí R n (x) = f (n+1) (c) (n + 1)! (x x 0) n+1, kde c je vhodné číslo ležící mezi x a x 0.

27 Kapitola 6 27 Kapitolu uzavřeme několika poznámkami o Taylorově polynomu. Existují i jiná (složitější) vyjádření zbytku, která mohou být pro některé konkrétní funkce vhodnější. Jestliže n = 0, potom je Taylorův vzorec totožný s Lagrangeovou větou o přírůstku funkce. Jestliže n = 1, potom aproximace Taylorovým polynomem se redukuje na aproximaci pomocí diferenciálu. Zdůrazněme, že aproximace má lokální charakter. Pro vzdálenější body dokonce může nastat situace, kdy se vzrůstajícím n chyba roste. Je potřeba být obeznámen s Maclaurinovými polynomy některých elementárních funkcí jako jsou e x, cos x, sin x, ln(1 + x), (1 + x) a. Odvoďte si je jako cvičení.

28 28 Kapitola 6

29 Kapitola 7 Extrémy funkce Tato kapitola úzce souvisí s některými výsledky příští kapitoly. Zejména již nyní využijeme až dále diskutovaná sledování o vztahu derivace a monotonie, příp. konvexity. Toto členění však preferujeme z důvodu větší přehlednosti. 7.1 Základní pojmy a postřehy Při studiu extrémních hodnot funkcí rozlišujeme { lokální hledáme extrémy v nějakém malém okolí bodu extrémy globální hledáme extrémy na celé předem dané množině. Definice lokálních extrémů je naprosto intuitivní. Definice 7.1. Řekneme, že funkce f má v bodě x 0 lokální maximum (resp. lokální minimum), jestliže existuje O(x 0 ) tak, že pro všechna x O(x 0 ) platí f(x) f(x 0 ) (resp. f(x) f(x 0 )). V případě, že pro x P (x 0 ) nastává ostrá nerovnost, hovoříme o ostrém lokálním maximu (resp. ostrém lokálním minimu). Lokální maxima a minima souhrnně nazýváme lokální extrémy. Zkuste si kreslit různé situace pro extrémy funkce a přemýšlet o nich. S využitím výsledků o vztahu derivace s monotonií lze pak poměrně brzo dospět závěru, že extrémy mohou nastat pouze v bodech x 0, kde je splněna jedna z podmínek: f (x 0 ) = 0; f (x 0 ) neexistuje. Nemusí však v těchto bodech nastat nutně. Více se dozvíme v následující podkapitole. Nyní ještě zmiňme definici globálních extrémů, která je též intuitivní. 29

30 30 Kapitola 7 Definice 7.2. Nechť M D(f). Řekneme, že funkce f má v bodě x 0 globální maximum (resp. globální minimum) na množině M, jestliže pro všechna x M platí f(x) f(x 0 ) (resp. f(x) f(x 0 )). Globální maxima a minima souhrnně nazýváme globální extrémy. Místo slova globální někdy užíváme pojem absolutní. Uvědomte si, že funkce může mít globální extrém ve více bodech. Globální extrémy však nemusí vůbec existovat. Najděte si vhodné příklady. 7.2 Podmínky existence lokálního extrému Začneme nutnou podmínkou, která už byla naznačena dříve. Pokuste se o geometrickou interpretaci. Proč nemůže být derivace nenulová v uvedené situaci? Věta 7.1. Jestliže f má v bodě lokální extrém a existuje f (x 0 ), potom f (x 0 ) = 0. Poznámka 7.1. (i) Bod x 0 takový, že f (x 0 ) = 0, nazýváme stacionárním bodem. (ii) Podmínka je pouze nutná. Tedy ne každý stacionární bod musí být nutně lokálním extrémem. Najděte si příklad. Víme už, že stacionární body a body, v nichž derivace neexistuje, jsou jedinými body podezřelými z existence extrému. Jak ale poznáme, že v nich skutečně nastává extrém? Můžeme zkusit aplikovat některou z následujících dvou vět. První tvrzení je zřejmé. Např. jdeme-li nahoru a poté dolů, tak jsme nutně museli dosáhnout (lokálního) vrcholu. Věta 7.2. Nechť f je funkce spojitá v bodě x 0 a má derivaci v P (x 0 ). Jestliže f (x) > 0 pro x P (x 0 ) a f (x) < 0 pro x P + (x 0 ) (resp. f (x) < 0 pro x P (x 0 ) a f (x) > 0 pro x P + (x 0 )), potom f má v x 0 ostré lokální maximum (resp. ostré lokální minimum). Všimněte si, že věta nepožaduje existenci f (x 0 ) a hodí se tedy i pro prověření podezřelých bodů, které nejsou stacionární. Potřebujeme však spojitost v bodě x 0. Ukažte nezbytnost tohoto předpokladu. Je-li x 0 stacionární bod, pak věta zhruba řečeno říká: Mění-li derivace při přechodu přes stacionární bod znaménko, je zde lokální extrém. Z níže diskutovaných vztahů mezi monotonií a znaménkem derivace navíc plyne, že pokud derivace znaménko nemění, není ve stacionárním bodě extrém. Následující věta má rovněž jednoduchou interpretaci. Stačí si uvědomit, že nenulovost druhé derivace implikuje monotonii první derivace v okolí uvažovaného bodu x 0. Je-li x 0 bodem stacionárním, pak jsme hotovi, neboť tvrzení ihned plyne z předchozí věty.

31 Kapitola 7 31 Věta 7.3. Nechť f (x 0 ) = 0 a f má v bodě x 0 vlastní nebo nevlastní druhou derivaci. Jestliže f (x 0 ) > 0 (resp. f (x 0 ) < 0), potom f má v bodě x 0 ostré lokální minimum (resp. ostré lokální maximum). Poznámka 7.2. (i) Popřemýšlejte i nad jednou hezkou geometrickou interpretací: např. fakt, že f roste, znamená, že rostou směrnice tečen. Funkce f je vlastně konvexní (viz další kapitolu) v uvažovaném bodě. To spolu se skutečností, že tečna v [x 0, f(x 0 )] je rovnoběžná s osou x, zřejmě implikuje existenci minima. (ii) Myšlenky, které vedou k předchozí větě lze úspěšně použít i v případě, že je prvních n 1 derivací nenulových a n-tá nenulová. Vše lze srozumitelně geometricky interpretovat; diskutujte takto případy n = 3 a n = 4. Indukcí dostáváme zejména následující zobecnění. Předpokládejme, že f (x 0 ) = f (x 0 ) = = f (n 1) (x 0 ) = 0 a f (n) (x 0 ) 0 pro některé n N, n 2. Je-li n sudé, je v x 0 ostrý lokální extrém. Pro f (n) (x 0 ) > 0 je to minimum, pro f (n) (x 0 ) < 0 je to maximum. Je-li n liché, pak v x 0 extrém nenastává (uvědomte si, že v tomto případě máme monotonii f v bodě x 0 ). Shrňme si nyní postup při hledání lokálních extrémů (pochopitelně nelze dát univerzální návod, záleží na konkrétní situaci): Najdeme body podezřelé z extrému (tj. stacionární body a body, v nichž neexistuje derivace). Existuje-li f (x 0 ) 0, pak je zde lokální extrém (viz Věta 7.3). Jestliže f (x 0 ) = 0, pak postupujeme buď podle úvahy z Poznámky 7.2, nebo jako v následujícím bodě. Zkoumáme monotonii v P (x 0 ) a P + (x 0 ) (požadovaná monotonie může být zaručeno znaménkem f viz Věta 7.3). Tento přístup lze užít i tehdy, neexistuje-li f (x 0 ). Musíme však mít zaručenu spojitost funkce f v x 0. V bodech, kde funkce není spojitá, rozhodneme o lokálních extrémech z definice. Snažíme se přitom využít speciálních vlastností uvažovaných konkrétních funkcí. 7.3 Hledání globálních extrémů Nejprve si uvědomme, že globální extrém funkce f na M D(f) nemusí vůbec existovat. Najděte si vhodné příklady; existence globálního extrému může být narušena jak funkcí f, tak množinou M. Jsou-li však f i M rozumné, pak Weierstrassova věta garantuje existenci globálních extrémů. Abychom si tedy nekomplikovali situaci, předpokládejme, že hledáme globální extrémy funkce f na ohraničeném uzavřeném intervalu M D(f). Není těžké pak vypozorovat, že funkce může nabývat globálních extrémů pouze v těchto bodech: lokální extrémy uvnitř M,

32 32 Kapitola 7 krajní body intervalu M. Takto už vlastně dostáváme návod na hledání globálních extrémů: 1. Najdeme stacionární body a body, v nichž derivace neexistuje. Zajímají nás pouze ty, co leží uvnitř M. 2. Vypočítáme funkční hodnoty v těchto bodech. 3. Vypočítáme funkční hodnoty v krajních bodech intervalu M. 4. Ze všech takto získaných hodnot vybereme největší resp. nejmenší. Ty nám pak určí globální maximum resp. globální minimum. Správnost postupu vyplývá z toho, že někde globální extrémy být musí a nemohou být jinde než ve vytipovaných bodech. Do této kapitoly jistě patří i jednoduché extrémální úlohy. Tím máme na mysli většinou slovní úlohu (popisující reálný problém), která vede na hledání extrémů (často globálních). Schematicky to lze popsat takto: (reálný) problém matematizace hledání (globálních) extrémů. Nelze podat univerzální popis toho, jak matematizace probíhá. Totiž existuje obrovské množství typově různých situací. Ovšem právě převedení úlohy do známé řeči hledání extrémů je problémem důležitým. Jednoduché typy však jistě budete zvládat sami. Na přednášce si předvedeme pár vybraných situací. Přemýšlejte např. nad problémem, jak minimalizovat náklady na výrobu plechovky, která má pojmout 1 litr oleje.

33 Kapitola 8 Vyšetřování průběhu funkce Cílem této kapitoly je dát jakýsi univerzální návod, jak vyšetřit chování nekomplikované funkce (vč. nákresu jejího grafu). Dříve diskutované pojmy jako derivace či limita budou hrát při tomto vyštřování důležitou roli. 8.1 Podmínky monotonie funkce O některých výsledcích této podkapitoly jsme se zmínili již dříve, neboť jsme je využívali při hledání extrémů. Důležitou roli v důkazu implikace následujícího tvrzení hraje Lagrangeova věta o střední hodnotě. Při důkazu opačné implikace pracujeme se zlomkem z definice derivace a využíváme toho, že neostrá nerovnost je zachována při limitním přechodu. Dále využíváme již známého faktu, že f (x) = 0 na intervalu, právě když f je zde konstantní. Věta 8.1. Předpokládejme, že f je spojitá na intervalu I a má (vlastní či nevlastní derivaci) ve vnitřku intervalu I. Potom f je neklesající na I f (x) 0 ve vnitřku I. f je rostoucí na I f (x) 0 ve vnitřku I a f (x) = 0 neplatí na žádném otevřeném podintervalu intervalu I. Analogická tvrzení platí pro nerostoucí a klesající funkce; pochopitelně předpokládáme opačnou znaménkovou podmínku pro derivaci. Pokuste se i o geometrickou interpretaci tvrzení: stačí si např. uvědomit, jaké znaménko mají směrnice tečen grafu neklesající funkce. Bezprostředním důsledkem je následující kritérium (v němž předpokládáme, že I je otevřený interval): f (x) > 0 na I f je rostoucí na I. f (x) < 0 na I f je klesající na I. Na některých místech hovoříme i o monotonii funkce v bodě. Připomeňme, že např. f je rostoucí v bodě x 0, jestliže existuje O(x 0 ) tak, že pro x P (x 0 ) je 33

34 34 Kapitola 8 f(x) < f(x 0 ) a pro x P + (x 0 ) je f(x) > f(x 0 ). Analogicky se definuje funkce klesající v bodě, nerostoucí v bodě a neklesající v bodě. Lze ukázat, že funkce je rostoucí na intervalu právě tehdy, když je rostoucí v každém jeho bodě (přičemž v případných krajních bodech se požaduje splnění příslušné nerovnosti pouze v příslušném jednostranném okolí). 8.2 Konvexnost, konkávnost, inflexní body Pojem konvexní funkce možná už znáte. Graf této funkce má jistý charakteristický tvar, který lze charakterizovat přinejmenším třemi způsoby: V každém bodě leží graf pod tečnou (zde je potřeba existence derivace). Pro libovolné dva body leží oblouk pod sečnou. Nadgraf funkce f (tj. {[x, y] R 2 : x D(f), y f(x)}) je konvexní množina. Vyberme si třeba první charakterizaci a vzpomeňme si na rovnici tečny: y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Pak je následující definice okamžitě jasná. Definice 8.1. Nechť f má derivaci na I. Potom říkáme, že f je konvexní (resp. konkávní) na I, jestliže f(x) > f(x 0 ) + f ( (x 0 )(x x 0 ) resp. f(x) < f(x0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) ) pro všechna x, x 0 I, x x 0. Následující kritérium nás také nepřekvapí, pokud si např. uvědomíme, že směrnice tečny grafu funkce f roste, právě když f roste. Nakreslete si obrázek. Pokud se chcete pokusit o přesný důkaz, pro nerovnost zprava doleva použijte Lagrangeovu větu. Hlavní argument pro opačnou implikaci spočívá v sečtení nerovností z definice po dvojím možném dosazení bodů x 1 < x 2. Věta 8.2. Nechť f má derivaci na I. Potom f je konvexní f je rostoucí na I. Takřka bezprostředním důsledkem (proč?) je tato implikace (v níž předpokládáme existenci druhé derivace funkce f): f (x) > 0 na I f je konvexní na I. Analogická kritéria platí pro konkávnost funkce. Funkce pochopitelně často nebývá konvexní či konkávní na celém svém definičním oboru a v některých místech tento svůj charakter mění. To se může dít

35 Kapitola 8 35 třeba i v bodech, kde funkce vůbec není definovaná (prověřte např. f(x) = 1/x), anebo má jiné problémy s existencí derivace. Nás ale teď zajímá zejména situace, kdy se tečna křivky (tedy grafu funkce) dotýká, ale zároveň ji i protíná. Než se pustíme do definice, můžete si v tomto smyslu prozkoumat např. f(x) = sin x. Definice 8.2. Řekneme, že x 0 R je inflexní bod funkce f, jestliže existuje f (x 0 ) a f(x) < f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) pro x P (x 0 ), nebo f(x) > f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) pro x P + (x 0 ), f(x) > f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) pro x P + (x 0 ), f(x) < f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) pro x P (x 0 ). Následující podmínky pro inflexi bodu nám mohou připomenout známé podmínky pro extrém funkce. A skutečně, bližší rozbor (který rozhodně doporučujeme provést) ukazuje, že vlastně vyšetřujeme lokální extrémy, ovšem nikoliv funkce f, ale funkce f. Vše je tedy o jednu derivaci posunuto. I geometrická interpretace je dosti názorná. Pokuste se o ni. Začneme s nutnou podmínkou. Srovnejte s vlastnostmi stacionárního bodu. Věta 8.3. Jestliže x 0 je inflexním bodem funkce f a existuje f (x 0 ), potom f (x 0 ) = 0. Následující dvě věty nám poskytují postačující podmínky pro inflexi. První z nich využívá charakterizaci konvexnosti a konkávnosti pomocí druhé derivace Věta 8.4. Nechť f má druhou derivaci v O(x 0 ). Jestliže f (x) > 0 pro x P (x 0 ) a f (x) < 0 pro x P + (x 0 ), nebo f (x) < 0 pro x P (x 0 ) a f (x) > 0 pro x P + (x 0 ), potom x 0 je inflexním bodem funkce f. Pro lepší pochopení dalšího kritéria doporučujeme si uvědomit, že nenulovost třetí derivace implikuje monotonii druhé derivace v okolí uvažovaného bodu x 0. Věta pak vyplývá z předchozího tvrzení. Věta 8.5. Nechť f (x 0 ) existuje a f (x 0 ) = 0. Jestliže f (x 0 ) 0, potom x 0 je inflexním bodem funkce f. Z výše uvedených úvah vyplývá, že funkce může mít inflexi pouze v bodech, kde její druhá derivace neexistuje, nebo je rovna nule. 8.3 Asymptoty grafu funkce Intuitivně je pojem asymptoty grafu funkce jasný: jedná se o přímku takovou, že se k ní body grafu funkce neomezeně přibližují, jestliže nezávisle proměnná

36 36 Kapitola 8 ve funkci jde do či do či do bodu, kde je určitým způsobem narušena spojitost. Ukazuje se, je účelné rozlišit dva případy asymptota { bez směrnice se směrnicí. Asymptotou bez směrnice máme na mysli jistou přímku rovnoběžnou s osou y. Přesněji takto: Definice 8.3. Přímka x = x 0 se nazývá asymptotou bez směrnice grafu funkce f, jestliže lim x x0+ f(x) nebo lim x x0 f(x) je nevlastní. Asymptotou se směrnicí máme na mysli přímku nerovnoběžnou s osou y, k níž se graf funkce f přibližuje. Měli bychom tedy pro tento účel pracovat se vzdáleností bodu [x, f(x)] od této přímky. Avšak naprosto stačí, pokud požadovanou vlastnost popíšeme jako v příští definici, neboť ve skutečnosti jde o ekvivalentní požadavek. Definice 8.4. Přímka y = ax + b se nazývá asymptotou se směrnicí grafu funkce f v (resp. ), jestliže lim x (f(x) (ax + b)) = 0 (resp. lim x (f(x) (ax + b)) = 0). Přirozenou otázkou je, jak najít a, b. Jednoduchou manipulací s definičním vztahem dostáváme následující tvrzení. Věta 8.6. Přímka y = ax + b je asymptotou grafu funkce f v, jestliže f(x) lim x x = a a lim (f(x) ax) = b. x Analogické tvrzení platí pro x.

37 Kapitola Průběh funkce Nyní již máme vybudován aparát k tomu, abychom mohli vyšetřovat průběhy (nepříliš složitých funkcí). Co máme vyšetřováním průběhu funkce na mysli? Většinou následující postup: 1. Určíme D(f). V jednodušších případech se můžeme pokusit i o H(f), avšak většinou je lépe jej nechat na později, neboť plyne z dalších úvah. Dále vyšetříme paritu funkce, periodicitu, body nespojitosti (a případně jejich druh, nebo to necháme až na později). Určíme nulové body funkce f (případně průsečíky s oběma osami) a sgn f (tj. intervaly, kde je funkce kladná resp. záporná) je dobré tyto informace zakreslit na osu. 2. Vypočteme f, určíme D(f ) a sgn f. Význačné body (ve smyslu první derivace) a sgn f zakreslíme na osu. Určíme typ monotonie a lokální extrémy. 3. Vypočteme f, určíme D(f ) a sgn f. Význačné body (ve smyslu druhé derivace) a sgn f zakreslíme na osu. Určíme intervaly konvexity resp. konkavity a body inflexe. 4. Určíme asymptoty bez směrnice (ty mohou být pouze v bodech nespojitosti 2. druhu) a asymptoty se směrnicí v i v. 5. Vypočteme funkční hodnoty ve významných bodech (lokální extrémy, inflexní body atd.). Na základě všech zjištěných skutečností načrtneme graf funkce. Uvedený postup netřeba brát dogmaticky. Je možné jej různě modifikovat v závislosti na konkrétním tvaru funkce. Je dobré si též všímat speciálních vlastností funkcí u konkrétních případů.

38 38 Kapitola 8

39 Literatura [1] Z. Došlá, J. Kuben, Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, PřF MU Brno [2] L.E. Garner, Calculus and Analytic Geometry, Dellen Publ. Comp., [3] V. Novák, Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, PdF MU Brno [4] J. Stewart, Calculus, Concepts and Contexts, Brooks/Cole Pub Co., [5] G. B. Thomas, R. L. Finney, Calculus and Analytic Geometry, Addison Wesley,