Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec,

Transkript

1 Vektor a matice Jiří Militký Katedra tetilních materiálů echnická Universita Liberec,

2 Matice A 5 4 C Matice je obdélníkové pole čísel (funkcí) a a2 a d n d2 d3 a2 a22 D d2 d22 d 23 A d d d am amn Velikost matice je počet řádků počet sloupců (zde: m n). Poloha elementů a ij matice A je identifikována pomocí indeů (řádkový a sloupcový). Element mohou být čísla, proměnné nebo funkce proměnných. ě ýh

3 Prvkové operace s maticemi a a2 b b2 c c2 Jsou možné jen pro matice stejných rozměrů Maticové sčítání (odčítání) Komutativní: a 2 a 22 + b2 b 22 c2 c22 a3 a32 b3 b32 c3 c32 a +b c, a +b c, a +b c, a +b c, a +b c, a + b c A+BB+A Asociativní: (A+B)+CA+(B+C) Násobení matice skalárem 5* ca Ac pokud je c skalár ba ba 2 a a 2 Etrakce C ba 2 ba 22 pak C b A kde A a2 a 22 ba3 ba32 a3 a32

4 Maticové C A B násobení (m n) (m p) (p n) Počet sloupců první matice musí být stejný jako počet řádků druhé matice C Asociativní: (A B) C A (B C) Distributivní: A (B+C) AB+ + AC Není komutativní: AB BA C p A B jk l jl lk Sloupcové součt A 4 7 A A B

5 ranspozice matic A A A Platí, že: A a a m a n a am a mn a n a mn Pro čtvercové matice lze definovat A 0 E, A n A*A. n-krát A n A m AA n+m, (A n ) m A nm BA pokud B ij A ji i,j (A ) A (A B) B A (A+B+C) A +B +C

6 Násobení matice vektorem Skalární Výsledek je vektor Ab ab i i a a n b i < radek, b > am a mn b n amib i < radek m, > b i b a a2 an b a + b2 a2 + + bn an b n Vektorové -Výsledek je matice : lineární kombinace sloupců matice A

7 rojúhelníkové Horní trojúhelníková matice Pokud jsou diagonální prvk trojúhelníkové matice B nenulové je B invertovatelná Součin dolní (horní) trojúhelníkové Dolní trojúhelníková matice je dolní (horní) trojúhelníková matice Inverse (invertovatelné) dolní (horní) trojúhelníkové matice je dolní (horní) trojúhelníková matice det (U) u u 22..u nn det (U) u u 22..u nn det (L) l l 22..l nn

8 Geometrick je vektor proměnná mající velikost a směr Vektor vn v v e b b 2 Column vector Vektor je jednoduše matice obsahující buď jeden sloupec (sloupcový vektor) nebo řádek (řádkový vektor). v cv A [ 3 4 5] a v a (, 2 ) ( a, a2 ) if a then ranspozice (vektorů a matic): záměna řádků za sloupce (resp. naopak). Standard: sloupcový vektor (bez transpozice) Smetrické matice A 5 4 A A A a A 3 4 5

9 A Sčítání vektorů C B B Pro dva vektor a je jejich součet roven součtu složek A θ [ ] 2 [ ] 2,

10 Délka vektoru ( ) /2 2 2 Délka vektoru je odmocnina ze skalárního součinu vektoru se sebou (stejným vektorem) Jednotkový vektor u 2 d i i u Čistý směrě Skalární součin vektoru se stejným vektorem je ted čtverec jeho délk d Pthagorova věta: 2 2 ( ) /2

11 Vektorové [ 2 ] operace n 2... n i i i Vnitřní součin - skalární (výsledek je skalár) [ 2 3], i 3 i i < > n Vnější součin - vektorový (výsledek je matice) 2 3 [ ]

12 Vzdálenost vektorů Ekvidistantní vzdálenosti (r) od bodu z r z Eukleidovská vzdálenost d(, ) ( ) + + ( ) m m ( i i ) Minkowského vzdálenost ( ) ( ) p m m ( i i) p p p p d(, ) + + Manhattanská vzdálenost Vzdálenost od počátku i i d( ), ( ) ( ) d( 0), i i m i i i

13 Eukleidovská vzdálenost v R ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d( z,z) d( z,z) ( ) ( ) ( ) d( z,z ) z z z

14 Kolineární vektor: Úhel mezi * dvěma vektor sinθ cosθ 2 sin 2 β cos β θ β 2 α cosα cos( β θ) cos β cosθ + sin βsinθ cosα Ortogonální vektor: 0 α π /2 cosα

15 Význam úhlu mezi osou a vektorem a b. ( ) ab cos θ - Cos θ 0 2 Cos θ 0 0 Cos θ Cos θ - θ Cos θ - Cos θ 0 0 Cos θ Cos θ 0

16 Projekce vektoru 0.8 [ 0.6.0] d [ ] Projekce l vektoru na vektor je rovna délce projekce p násobené jednotkovým vektorem ve směru p cos ( θ )*d d.0 d v kolmé na projekce na l p /d 2 d Chbový vektor v l je kolmý na v ( l ) 0

17 Vzdálenost od rovin Rovina je definována bodem p v rovině a jednotkovým normálovým vektorem n. Hledá se vzdálenost bodu od této rovin. vzdálenost ( ) p n Vzdálenost je délka projekce vektoru -p na vektor n n p -p

18 Zákon sínů a kosínů Zákon sínů: a sinα b sin β c sin γ Zákon kosínů: c α β b a γ c 2 a 2 + b 2 2ab cosγ

19 Lineární nezávislost Vektor {v, v 2,, v k } jsou lineárně nezávislé pokud platí, že: α v + α 2 v α k v k 0 jen kdž α i 0 pro všechna i o znamená, že žádný vektor nelze získat jako lineární kombinaci ostatních vektorů. Ortogonální vektor jsou vžd lineárně nezávislé Paralelní vektor jsou vžd lineárně závislé w v

20 Vektorové prostor V (neprázdná množina vektorů) v, w V v + w V v V,, α je skalár αv V {v, v 2,, v n } jsou lineárně nezávislé bázové vektor {v, v 2,, v n } pokrývají ký celý vektorový prostor V: V V {α v + α 2 v α n v n, α i jsou skalár} Každý vektor v V je jednoznačná lineární kombinace bázových vektorů. Počet bázových vektorů definuje dimenzi vektorového prostoru. z Pro prostor R 3 jsou standardně bázové ortogonální vektor,, z (označované často jako i, j, k )

21 Maticové vjádření Nechť {v, v 2,, v n } jsou bázové pro prostor V v α v + α 2 v α n v n v α n Každý vektor v V je jednoznačně definován jako Vektor v je vlastně sloupcový vektor: Bázové vektor jsou pak pro R m sloupce jednotkové matice: ,, 0 0 α

22 B je bázová matice Ortonormální báze v,...,v Ortonormální báze: n Párová ortogonalita: Jednotková délka: Spektrální representace Maticově : v i v i, v i vi', n a v i i i n n, vi ai vi, vi ' ' ai' vi', i ' i' v,v i i' 0 i i ' i,..., n v Ba a i a, v i a i B i a se označuje jako transformace (např. Fourierova, Wavelet)

23 Speciální Diagonální matice a matice I D a a 33 0 Jednotková matice a44 E A A E A Anti smetrická matice 0 0 -A A Pokud je A čtvercová matice je A + A smetrická a A A je anti smetrická matice E B B b ij b ji Smetrická matice B Idempotentní matice A 2 A Dvě čtvercové matice A a B komutují, pokud AB BA

24 <v Ortogonální i, v i > v i <v matice i, v j > 0 v E A A Ortogonální matice A [v v 2 v j v n ]. v j je j tý sloupec: v j v k 0( (pro j k) v j v j d jj, v 2 v v 2 v n v n v i v j δ ij Matice D je diagonální A AD Ortonormální matice A [v v 2 v v j v n ]. q j je j tý sloupec: v j v k 0 (pro j k) v j v j, Matice E je jednotková A A E A - A

25 Pokud je determinant sstému n rovnic o n neznámých větší než nula má tato soustava právě jedno řešení. Determinant det(ab)det(ba)det(a)det(b) a b A c d det (A) ad - bc det(ca)c n det(a) det(a - )/det(a) a b c det( ) det f A a dt bdet dt A d e f + c dt det g h i Vlastnosti Determinant je definován pouze pro A (nn) n) [a čtvercové matice ij ] Pokud det(a) 0, je matice A is A n singulární a matice A - neeistuje ( + j ) aj Mj Pkddt(A) Pokud det(a) 0j 0, je matice A nesinguární j, a matice A - eistuje det( ) ( ) e f d f d e h i g i g h

26 Determinant 22 matice A a a2 a a det( A) a a - a a matice a a2 a3 A a 2 a22 a23 a3 a32 a33 a a a a a a det A A a - a + a a a a a 33 a 3 a det A A a a a - a a a + a a a a2a2a 33 + a3a2a32 - a3a22a3

27 Stopa matice Stopa tr(a) čtvercové matice A je součet jejích diagonálních elementů ( n A) a ii tr a i A ( ) n A ii tr a +45 i Vlastnosti Pro skalár c, t(a) tr(ca) c[tr(a)] tr(a ± B) tr(a) ± tr(b) tr(ab) tr(ba) t(b tr(b - AB) t(a) tr(a) ( 2 AA ) ij n m tr a i j

28 Vlastnosti Inverzní matice A - lze určit pouze pro čtvercovou matici A (n n) Pokud A - eistuje, je Ane- singulární (invertabilní) (A B) - B - A -, c A - (/c)a - B - A - AB B - B E (A ) - (A - ) (A - ) A (A A - ) E Inverse matice A (n n) eistuje pouze pokud má tato matice hodnost rovnou n ( rank A n ). DD A - A A - A E E

29 Výpočet inverzní matice a b a b 2 A c d 3 4 c 2 a b 0 A A 3 4 c d 0 A 2 E c2 + a + d 0 c2 b a3 + c4 0 b + d2 0 2 b a ( bc ad ) det( A ) b3 + d4 2 A d b det( A) c a Pro invertaci i matic lze použít celé řad d metod od Gauss-Jordanov resp. Gaussov eliminace až po různé rozklad matic ( LU ).

30 Hodnost matice A Hodnost matice rank (A) je určena jako menší číslo z počtu nezávislých řádků resp. sloupců. ransponovaná matice má ted stejnou hodnost jako původní matice. Pokud je hodnost matice A (n n) n, je tato matice ne singulární. Pro určení hodnosti matice lze určit počt nezávislých řádků resp. sloupců např. pomocí Gauss Jordanov eliminace. Lineárně nezávislé Lineárně závislé

31 Vlastní čísla a vlastní vektor Vlastní vektor jsou invariantní vůči lineární transformaci Nechť je A nn matice a uvažujme soustavu rovnic:av λv Hodnota λ pro kterou má tato soustava řešení v 0 se nazývá vlastní číslo matice A. Platí: tr(a)σ λ i,det(a)π λ i Odpovídající řešení v je pak vlastní vektor matice A. Avλv Av - λv 0 (A- λe)v ) 0 o je homogenní lineární soustava rovnic, která má netriviální řešení, jen pokud je A- λe singulární, tj. její determinant je roven nule. Pro výpočet vlastních čísel je třeba řešit rovnici det(a- λe)0. O Av λv A(αv) λ(α v) α v je také vlastní vektor Av λv,, Aw λw A(v+w) λ(v+w) Vlastní vektor pro stejné λ tvoří lineární podprostor.

32 Výpočet vlastních čísel A - (A) A - 0 (A - A) 0 E 0 0, A 0 má a triviální řešení Nenulové řešení A λ odpovídá det(a λ E) 0 A λ A λ 0 A λe 0 (A λe) 0 det(a λ E) je polnom stupně n. (charakteristický polnom). Kořen polnomu jsou vlastní čísla. Pro liché n je alespoň jedno λ reálné Matice: Pro vlastní čísla sapat,det( platí, det(a-λe) λ 0: 5 λ 2 det( A λ E) 2 2 λ ( 5 λ )( 2 λ ) 4 λ 7λ A 2 2 Vlastní čísla - a -6. jsou pak řešením kvadratické rovnice.

33 Vlastní vektor Vlastní vektor se běžně normalizují. Každému vlastnímu číslu λ odpovídá vlastní vektor. ento vektor lze určit dosazením λ do vztahu : A λ Např λ 5 2 A λ Při dosazení λ-, resultuje 2 2. Po volbě např., vjde odpovídající vlastní vektor roven 2 Při dosazení λ-6, resultuje -2 2 a pak při volbě 2 - vjde 2 2

34 Spektrum matice Všechna vlastní čísla matice A tvoří její spektrum. Matice A je diagonalizovatelná pokud má A právě n nezávislých vlastních vektorů (tvoří matici V). Pak AV VD Av Av Av λ v λ v A v 2 λ v n n n v v v n v 2 v n λ λ2 λ n

35 Spektrální rozklad v Každá smetrická matice A (m m) se dá vjádřit pomocí lineární kombinace vlastních čísel a vlastních vektorů (λ i, v i ) m m - a její inverze A λi vv i i i k i A λ i vv i i A , v 5, λ - 6 a λ 2-4 A λ i v v i i i A

36 Spektrum a diagonalizace Pokud je A diagonalizovatelná, platí A VDV, kde D je diagonální matice A je vlastně škálování podél os vlastních vektorů! A VDV A v Av λ v λ v A v v 2 v n λ λ2 v v 2 v n Av λ v n n n λ n

37 Diagonalizace A ortonormální báze V rotace reflee D jiná ortonormální báze A je normální pokud AA A A. Smetrická matice A A. Normální n n matice mají právě n lineárně nezávislých vlastních vektorů. ů Pokud je A smetrická, má všechn vlastní čísla reálná a vlastní vektor jsou ortonormální

38 SVD I Spektrální rozklad obdélníkové matice A (m k) při použití vlastních čísel a vlastních vektorů čtvercových matic A A resp. (AA ). Eistují ortogonální matice U (m m), V (k k) takové, že A UΣV Singulární čísla matice A Diagonální matice Σ má i-tý diagonální prvek element σ i 0 pro i, 2,, min (m,k) a 0 pro ostatní element. SVD je také maticový rozklad závislý na hodnosti r matice A. r i i i r r r i A σ uv U Σ V - positivní konstant σ, σ 2,, σ r, (singulární čísla) - ortogonální jednotkové vektor (m ) u, u 2,, u r, - ortogonální jednotkové vektor (k ) v, v 2,, v r,

39 5 4 2 SVD II Matice AA má vlastní čísla a vektor (λ i, u i ), a ted λ λ 2 i i i σi i i i i AA u u u i >0, i,...,r, a λ0, ir+,...,m, (pro m>k) i v λ A u Matice A A má vlastní čísla a vektor (λ i, v i ), a ted λ i A Av λ 2 v σv i i i i i u Av Av λ i i i σi i >0, i,...,r a λ0, ir+,...,k (pro k>m) i Singulární čísla matice A (σ i ) ted souvisí s vlastními čísl (smetrických) matic A A a AA σ i λi

40 Odstranění šumů A ) V U diag σ,..., σ k (, k,0,...,0,, ) nejmenších r-k singulárních čísel je nulových A U Σ V rs výz. výnamný ob bjekt vý ýznamný šum šum šum A k k σ u v i i i i Součet matic hodnosti

41 Zkrácená SVD 0 (n m) (n m ) (m m) (m n) Pro zkrácenou SVD je matice Σ (m m) diagonální a obsahuje na diagonále tzv. singulární čísla matice A. Matice U (n m) a V (m n) Regrese jsou ortogonální a X*b + ε normované U U E V V E 0 b (V ) S o b VS U o U

42 Přesnost řešení MNČ bk obsahuje odhad parametrů počítané klasickou inverzí, bp obsahuje odhad počítané s vužitím pseudoinverse, bz obsahuje odhad počítané s vužitím zpětného lomítka (MALAB), bsm obsahuje odhad počítané s vužitím SVD, brs obsahuje odhad počítané s vužitím rozkladu na vlastní čísla. 2 3 ep ep 0 2ep 0 ep ep je přesnost (malé číslo). korektní řešení je b a b 2 2 Výsledk ep0-7 bk bz bp bsm brs Výsledk ep bk bz bp bsm brs NaN NaN Výsledk ep0-6 a menší bk bz bp bsm brs NaN NaN

43 Kvadratická forma Kvadratická forma je funkce Q() A Vektor má m složek,, m, matice A (m m) je smetrická. Pokud je Q() A > 0 pro vektor 0, označuje č se A jako positivně definitní. Nechť A c 2. Pro m 2 tvoří všechna splňující tuto rovnici elipsu c 2 λ ( i ) 2 + λ 2 ( i ) 2. i i 2 -AA je positivně semidefinitní matice, pokud λ i 0, pro i,,rank(a) - A je positivně definitní matice, pokud λ i >0 0, pro i,,rank(a) Vektor cλ -/2 i vhovuje rovnici elips ve směru i a má délku cλ -/2

44 Kvadratická forma - příklad Kvadratická forma obsahuje pouze druhé mocnin a smíšené člen Příklad Q ( ) m m i j a A a ij i j Q( ) A