Kovariantní derivace. Kapitola Paralelní přenos

Transkript

1 [2.03,1.12,1.14,2.04,2.02,2.02,2.03,2.03,2.02,0,1.03] Kapitola 7 Kovariatí derivace Při zoumáí tezorových polí a varietách bychom rádi uměli charaterizovat změy těchto polí. Aparát difereciálí geometrie by ám měl umožňovat derivovat obecá tezorová pole. Ja jsme se vša již zmíili v apitole 3, aiví defiice derivace tezorového pole A podél parametrizovaé řivy z(τ) lim τ 0 1 ( A ( z(τ) ) A ( z(0) )) (7.1) τ aráží a problém, že v í odčítáme tezory v růzých bodech tezory patřící do růzých tečých prostorů. Koretě zavedeá derivace musí tedy obsahovat iformaci, ja teto rozdíl provést, ja přeést tezor z jedoho tečého prostoru do prostoru druhého, ve terém již tezory odčítat umíme. V apitole 3 v defiici Lieovy derivace D3.11 jsme teto přeos provedli pomocí difeomorfismu iduovaého vetorovým polem podél terého derivujeme. V této apitole ás bude zajímat přeos defiovaý geometricy, zobecňující pojem rovoběžosti. 7.1 Paralelí přeos V předchozí apitole jsme obecou diferecovatelou varietu vybavili velmi silou geometricou struturou metriou. Ta ám umožňuje defiovat vzdáleost, měřit úhly, a ja uvidíme později, zavést i pojem rovoběžosti. Naším cílem je vša popisovat obecý zařiveý prostor a jeho záladí odlišost od prostoru rového (plochého) je eexistece globálí rovoběžosti. V plochém prostoru můžeme globálě a ivariatě říci, teré vetory patřící do tečých prostorů růzých bodů jsou avzájem rovoběžé. V řivém prostoru ta učiit elze. Globálí rovoběžost je výzačá vlastost právě plochých variet. V zařiveém prostoru lze defiovat pouze slabší struturu - rovoběžý či paralelí přeos vetoru podél řivy. Paralalí přeos umožňuje přeést rovoběžě vetor z jedoho bodu do druhého podél orétí řivy. Výslede vša obecě závisí a cestě přeosu. Abychom vlastostem paralelího přeosu lépe porozuměli, avrátíme se varietě bez metricé strutury, tedy ebudeme předpoládat přítomost metriy. M7.1 Neexistece globálí rovoběžosti Jedoduchou evideci, že v případě zařiveého prostoru emáme globálí rovoběžost, zísáme a příladu dvoudimezioálí sféry S 2. Přeášíme-li vetor a rovoběžě z rovíu a pól podél ultého poledíu, poté podél 90-tého poledíu opět a roví, a aoec po rovíu zpět do výchozího bodu, zjistíme, že výsledý vetor a eí rovoběžý s vetorem původím rovoběžý přeos vetoru z bodu do bodu záleží a cestě, po teré vetor přeášíme. (Pod rovoběžým přeosem vetoru podél poledíu či rovíu a ouli zde mííme přeos, terý zachovává veliost vetoru a úhel mezi vetorem a poledíem či vetorem a rovíem. Více viz zavedeí paralelího přeosu.) 7 1

2 Kovariatí derivace 7 2 Defiice D7.1 (Paralelí přeos podél řivy) Nechť γ je orietovaá po částech hladá řiva spojující body x z a x. Paralelí přeos par[γ] podél γ je zobrazeí splňující ásledující vlastosti: par[γ] : T xz M T x M, par[γ](a + rb) = par[γ] a + r par[γ] b (liearita) pro a, b T xz M a r R. Navíc, poud se řiva γ sládá z dvou částí γ z a γ spojeých v bodě x o, tj. γ = γ z γ, a γ je řiva lišící se od γ orietací, paralelí přeos splňuje par[γ] = par[γ ] par[γ z ], par[ γ] = par[γ] 1, (pravidlo pro sládáí) (přeos v iverzím směru) par[γ] = id pro γ triviálí. (triviálí přeos) Paralelí přeos lze též aiduovat a obecý tečý tezorový budle T l M požadavem, že omutuje s tezorovým ásobeím par[γ](ab) = (par[γ] A) (par[γ] B). Pozáma Defiice paralelího přeosu by ještě měla obsahovat další podmíy určující hladost paralelího přeosu. Ty se vša sáze formulují v loálí řeči ovariatí derivace. Jeliož již v příštím oddíle budeme chápat ovariatí derivaci jao primárí objet a paralelí přeos jao odvozeou struturu, ebudeme defiici paralelího přeosu dále rozvádět. Zdůrazěme, že paralelí přeos závisí pouze a geometricé stopě řivy a varietě, ioli a případé parametrizaci řivy. Pro parametrizovaé řivy je vša výhodé zavést ásledující ozačeí: Defiice D7.2 Mějme řivu γ reprezetovaou pomocí parametrizace z : I M, de I je iterval v R obsahující 0. Pro τ I defiujeme par τ [z] = par[γ τ ]. Zde γ τ je řiva daá částí řivy γ mezi body z(0) a z(τ) (pro τ < 0 s opačou orietací ež γ). Paralelí přeos a obecé diferecovatelé varietě eí urče jedozačě. Můžeme defiovat růzé paralelí přeosy. Klasifiace všech možých paralelích přeosů vša bude mohem jedodušší, poud amísto globálího paralelího přeosu zavedeme jeho loálí formu ovariatí derivaci. Než ta provedeme, zmiňme ještě rátce pojem grupy holoomie. Paralelí přeos podél uzavřeé řivy, tj. řivy začíající a očící ve stejém bodě x, iduuje lieárí zobrazeí a tečém prostoru T x M. Všecha tato zobrazeí geerovaá všemi uzavřeými řivami srze x tvoří tzv. grupu holoomie Hol(x) v bodě x. 7.2 Kovariatí derivace Paralelí přeos je globálí strutura a varietě svazuje spolu tečé prostory růzých bodů spojeých řivou. Jeho geometricý výzam je poměrě ázorý. Neí vša ejvhodější pro loálí popis rovoběžosti. Pro taový popis je výhodější přejít loálí veličiě ovariatí derivaci.

3 Kovariatí derivace 7 3 Paralelí přeos vetorů a tezorů podél řivy ám totiž umožňuje dát výzam vzorci (7.1) pro derivaci tezorového pole. Tezory z růzých tečých prostorů přeeseme do společého prostoru právě pomocí paralelího přeosu. Defiice ovariatí derivace pomocí paralelího přeosu má ta tvar: Defiice D7.3 (Kovariatí derivace pomocí paralelího přeosu) Mějme tezorové pole A defiovaé v oolí bodu x a tečý vetor a T x M. Kovariatí derivaci aa pole A ve směru a defiiujeme aa = d ( dτ 1 = lim τ 0 τ ) τ=0 par τ [z] A ( par τ [z] 1 A ( z(τ) ) A ( z(0) )), de z(τ) je libovolá parametrizovaá řiva vedoucí ze z(0) = x s tečým vetorem a. Pozáma Kovariatí derivace ezávisí a volbě řivy z(τ), pouze a vetoru a v bodě x rozdíl způsobeý v odlišé volbě řivy z(τ) je vyššího řádu v τ. Kovariatí derivace je atoli užitečý a výzamý geometricý objet, že se většiou defiuje e jao druhotý objet závisející a pojmu paralelího přeosu, ale přímo, jao objet primárí. Kovariatí derivace se defiuje axiomaticy. Kdybychom vycházeli z defiice D7.3, tyto vlastosti by již byly jejím důsledem. My je vša zformulujeme jao defiičí vlastosti vymezující výzam pojmu ovariatí derivace ezávisle a paralelím přeosu: Defiice D7.4 (Kovariatí derivace) Kovariatí derivace a ve směru a v bodě x je operátor působící a tezorová pole splňující aa T x l M pro A T l M, (fa) A = f aa, (a+rb) A = aa + r b A, a ( A + rb ) = aa + r ab, a ( AB ) = ( aa ) B + A ( ab ), a CA = C aa, af = a[f] = a d f, (ultraloalita ve směru) (liearita ve směru) (liearita v argumetu) (Leibiz) (omutace s otrací) (působeí a fuce) de f je fuce a A, B tezorová pole defiovaé v oolí bodu x, a, b T x M, r R a CA azačuje libovolé zúžeí tezoru A. Pozáma Kovariatí derivace je též často azýváa lieárí oexí. Obdobu ovariatí derivace, terou jsme zavedli a tečém budlu, lze totiž defiovat a aždém lieárím fibre budlu pomocí obecějšího objetu oexe. Koexe je alterativí loálí popis paralelího přeosu vhodý pro obecé (e utě lieárí) budly. V případu lieárího budlu je pa oexe evivaletí ovariatí derivaci. Pro parametrizovaou řivu můžeme defiovat ovariatí derivováí tezorových polí podle parametru řivy. Defiice D7.5 (Kovariatí derivováí podél řivy) Nechť z : I M je parametrizovaá řiva a A tezorové pole defiovaé podél této řivy. Kovariatí derivací pole A podle parametru řivy τ azýváme derivaci pole A ve směru tečého vetoru

4 Kovariatí derivace 7 4 Dz/dτ, dτ A = Dz dτ A. Kovariatí derivace a závisí a směru a ultraloálě závisí pouze a vetoru a v bodě x a evyžaduje zalost směru derivováí v oolí bodu x (ja tomu aopa bylo u Lieovy derivace). Závislost a směru derivováí je avíc lieárí. To ám umožňuje reprezetovat tuto závislost tezorově jao otraci směru a tezoru azývaého ovariatí difereciál. Kovariatí difereciál je ta zobecěím operace gradietu fuce pro obecá tezorová pole. V aalogii zavedeí gradietu pomocí derivace ve směru (2.1) defiujeme Defiice D7.6 (Kovariatí difereciál) Kovariatí difereciál A tezorového pole A T l M v bodě x je tezor z T xl+1 M splňující aa m = a c c A m Kovariatí difereciál spočteý v aždém bodě variety ta převádí tezorové pole a tezorové pole s jedím ovariatím idexem avíc. Teto idex budeme umisťovat přímo u symbolu viz idex c. Kovariatí derivaci a příslušý ovariatí difereciál azýváme hladé, poud pole A je hladé pro libovolé hladé pole A. Pozáma Zdůrazěme rozdíl mezi ovariatí derivací a ve směru vetoru a a ovariatím difereciálem c s abstraím idexem c. V prvím případě je vetor vysáze písmem běžé veliosti, v druhém případě je pro idex použito písmo meší. V ásledujícím textu se většiou bude používat ovariatí difereciál, derivace ve směru se objeví spíše výjimečě. Z vlastostí ovariatí derivace D7.4 přímočaře plye Věta V7.1 (Vlastosti ovariatího difereciálu) Kovariatí difereciál splňuje ásledující vlastosti : T l M T l+1m, ( c A... m... + r B... l... ) = c A... m... + r c B l... ( ) ( c A... = c A... ) m... B l A... m... m...b... l... c A = δ l c A......l..., c f = d c f,..., ( c B l......), de A, B jsou tezorová pole, f fuce a r R. Defiice D7.7 (Složy ovariatího difereciálu) Složy ovariatího difereciálu A tezorového pole A vzhledem e zvoleému souřadicovému systému x j ozačujeme A... l... ; : A = A... l... ; dx x dxl. Pozáma Výjimečě budeme používat pro složy A... l...; ovariatího difereciálu A též ozačeí A... l.... U tohoto ozačeí je uto mít a paměti, že se ejedá o derivaci salárů A... l..., tj. o složy gradietu `A... l..., ýbrž o složy ovariatí derivace tezoru A. Poud budeme ědy chtít apsat explicitě složy gradietu ompoet A... l..., použijeme přímo parciálích derivací A... l...,. Připomeňme, že zápis d ω l... by mohl mít jiý výzam pro atisymetricé formy ω ozačuje složy vější derivace dω (viz defiici D4.3).

5 Kovariatí derivace 7 5 Přílad P7.1 Derivováím vztahu a = δ ma m platém pro libovolé vetorové pole a obdržíme, že pro libovolou ovariatí derivaci platí δ = 0. Kovariatí derivace aihiluje i libovolý tezor vytvořeý z jedotového tezoru tezorovým ásobeím a permutací idexů. Např. aihiluje projetory a symetricé a atisymetricé tezory (defiice D1.8 a D1.3) (p) δ = 0, [p] δ = 0. V defiici D7.4 jsme zavedli ovariatí derivaci jao primárí objet, ezávislý a paralelím přeosu disutovaém a začátu apitoly. Kovariatí derivace aopa umožňuje defiovat pojem paralelího přeosu tezor je paralelě přeáše podél řivy, poud se podél řivy eměí, tj. poud jeho ovariatí derivace ve směru řivy je ulová. Můžeme tedy zformulovat defiici omplemetárí defiici D7.3: Defiice D7.8 (Paralelí přeos pomocí ovariatí derivace) Mějme ovariatí derivaci a řivu γ vedoucí z bodu x z do bodu x. O tezorovém poli A defiovaém podél řivy γ řeeme, že je ostatí ve smyslu derivace, poud v aždém bodě řivy platí aa = 0, de a je vetor tečý e řivce. Tezor A T x l M je paralelí přeos tezoru A z T xz l M podél řivy γ ve smyslu derivace, A = par[γ] A z, poud existuje ostatí pole A defiovaé podél γ taové, že A z = A xz a A = A x. Tato defiovaý paralelí přeos splňuje podmíy z defiice D7.1. Pro řivu γ reprezetovaou parametrizací z : I M jsme v defiici D7.2 zavedli přeos par τ [γ] z bodu z(0) do bodu z(τ). Teto přeos zřejmě geeruje ostatí pole podél řivy γ: dτ A τ = 0, de A τ = par τ [γ] A 0 T z(τ) l M. (7.2) Kovariatí derivace eí vlastostmi v defiici D7.4 určea jedozačě. Před tím, ež charaterizujeme prostor všech ovariatích derivací, zavedeme v ásledujícím oddíle důležité přílady ovariatích derivací tzv. souřadicové ovariatí derivace. 7.3 Souřadicová ovariatí derivace V apitole 2 jsme si v případě dy máme a oolí U M defiovaé souřadice x j zavedli parciálí derivace f,j fuce f defiovaé a U. Též jsme viděli, že při změě souřadic se parciálí derivace fuce trasformují jao složy složy 1-formy orétě jao složy gradietu df. Obecě se vša parciálí derivace ompoet tezorových polí etrasformují jao složy tezoru. Přesto vša můžeme z parciálích derivací slože tezorového pole vytvořit tezorový objet. M7.2 Trasformace parciálích derivací To že se parciálí derivace slože tezoru etrasformují při změě souřadého systému jao složy tezoru lehce ahlédeme a příladu vetorového pole. Mějme dva souřadé systémy x j a x j defiovaé a stejé oblasti. Parciálí derivace slože vetorového pole a se trasformují ásledově (viz apitolu 2 ohledě začeí): a j, = am, x j,m x, + am x j,m x,. (Doažte!)

6 Kovariatí derivace 7 6 Defiice D7.9 (Souřadicová ovariatí derivace) Mějme souřadice x j a oblasti U M. S tímto souřadicovým systémem asociujeme souřadicovou ovariatí derivaci jedozačě určeou podmíami dx j = 0 ebo x j = 0. Obě podmíy jsou díy dualitě bází dx j a x evivaletí. j Tato defiovaá derivace tezorového pole má jasou reprezetaci poud vyjádříme pole v souřadicovém systému x m. Zřejmě platí Lemma V7.2 Důaz: A m A m = A p... q... = A p... q...,r d x r d x q m x p. d x q m x p = ` A p... q... d x q m x p = A p... q...,r d x r d x q m x p. Kompoety souřadicové ovariatí derivace pole jsou tedy parciálí derivace ompoet pole. Přesěji, vezmeme-li souřadicovou ovariatí derivaci asociovaou se souřadicemi {x j } a provedemeli pomocí í derivaci tezorového pole, pa její ompoety vzhledem {x j } jsou parciálí derivace ompoet pole vzhledem {x j }. Vyjádříme-li vša souřadicovou ovariatí derivaci pole v jiém souřadicovém systému, ež se terým je tato derivace asociováa, výsledý vztah bude složitější. Lehce ahlédeme, že aždá souřadicová ovariatí derivace splňuje Lemma V7.3 Nechť f je hladá fuce, A hladé tezorové pole a souřadicová ovariatí derivace. Pa a b f = b a f, a b A = b a A. Důaz: V souřadicích x j, se terým je derivace asociováa, platí (torze) (řivost) a b f = f, l d ax d b x l. Druhé parciálí derivace fuce f jsou vša symetricé. Důaz pro derivace A je obdobý. Souřadicové ovariatí derivace asociovaé s růzými souřadicovými systémy jsou samozřejmě obecě růzé. Souřadicové ovariatí derivace vša evyčerpávají všechy ovariatí derivace. Dalšími speciálími představitely ovariatích derivací jsou derivace asociovaé s obecou bází {e j } v tečém prostoru.

7 Kovariatí derivace 7 7 Defiice D7.10 (-ádová ovariatí derivace) Mějme systém hladých vetorových polí e j, j = 1,..., tvořící v aždém bodě bázi (tj., mějme zadá systém tzv. -ád). S tímto systémem asociujeme -ádovou ovariatí derivaci ð jedozačě určeou podmíou M7.3 Globálí rovoběžost derivace ð -ádové ovariatí derivace jsou specificé tím, že defiují globálí rovoběžost. Je-li ð asociovaá s -ádou {e j }, derivace vetorového pole a lze jedoduše vyjádřit v souřadicích vzhledem této tetrádě ðe j = 0. Evivaletě bychom zde mohli použít duálí bázi 1-forem e j. Pozáma Opět, pro růzé systémy -ád dostáváme růzé ovariatí derivace. Derivace tohoto typu hrají roli zejméa při zoumáí metricých variet, dy typicy pracujeme s ortorormálími tetrádami. Pozáma -ádová ovariatí derivace eí zrova ejšťastější ázev ze stejých důvodů jao samotý pojem -áda. Podivé slovo -áda se v češtiě eohýbá zrova ejlépe a avíc dimeze variety emusí být zrova. Ježe zuste vyslovit d-ádová derivace. Nabízely by se ázvy reperová či frejmová ebo dlouhé eholoomí souřadicová ovariatí derivace. Raději vša zůstaeme u - ádové derivace, ať už je dimeze ozačeá jaoli, a v orétích případech utečeme běžému tetrádová, popřípadě triádová a diádová ovariatí derivace pro d = 4, 3 a 2. Pro ovariatí derivaci asociovaou se systémem -ád eplatí obecě obdoba lemmatu V7.3. To uazuje, že tyto derivace jsou obecě odlišé od souřadicových ovariatích derivací. Ai -ádové derivace vša evyčerpávají všechy ovariatí derivace. Přílad P7.2 (Derivace asociovaé s polárími souřadicemi) Mějme v eulidovsé roviě zadaé pravoúhlé souřadice {x, y} a polárí souřadice {ρ, ϕ} svázaé vztahy x = ρ cos ϕ a y = ρ si ϕ. Jedotové vetory tečé souřadicovým čarám polárích souřadic jsou e ρ = / ρ a e ϕ = ρ 1 / ϕ, jedotové 1-formy mají tvar e ρ = dρ a e ϕ = ρ dϕ. Souřadicovou ovariatí derivaci asociovaou s polárími souřadicemi defiujeme vztahy ρ = 0, = 0, případě dρ = 0, dϕ = 0. ϕ Pro derivaci apř. vetoru e ϕ pa dostáváme 1 e ϕ = ρ ϕ = 1 ρ 2 dρ ϕ = 1 ρ eρ e ϕ. Obdobě, diádová ovariatí derivace ð je dáa podmíami ðe ρ = 0, ðe ϕ = 0, případě ðe ρ = 0, ðe ϕ = 0. Druhá diádová derivace fuce f je ððf = ð df = ð`f,ρ dρ + f,ϕ dϕ = ð`f,ρe ρ + ρ 1 f,ϕe ϕ = ` df,ρ eρ + ρ 1` df,ϕ eϕ + f,ϕ` dρ 1 e ϕ = f,ρρe ρ e ρ + ρ 2 f,ϕϕe ϕ e ϕ + ρ 1 f,ρϕ`eρ e ϕ + e ϕ e ρ Vidíme, že atisymetricá část je eulová ð að b f ð b ð af = ρ 2 f,ϕ e ρ a e ϕ b. ρ 2 f,ϕe ρ e ϕ. ða=ð(a e )=( da )e =(e j [a ]) e j e. Souřadice derivace ða jsou tedy derivace e j [a ] souřadic a ve směrech e j. Globálě rovoběžé vetorové pole je pole splňující ða = 0. Tuto rovici zřejmě splňují všechy pole s ostími souřadicemi a j vzhledem bázi {e j }. Libovolý vetor v jedom bodě můžeme tedy jedoduše rozést po varietě užitím stejých ompoet a j vzhledem {e j }. To vša v obecosti ezameá, že by derivace ð defiovala triviálí plochou struturu. V oddíle 7.5 o torzi íže se vrátíme otázce, čím se globálí rovoběžost defiovaá pomocí ð liší od triviálí rovoběžosti afiího prostoru. Pro ovariatí derivaci asociovaou s diádou e ρ, e ϕ aalogie prvího vztahu lemmatu V7.3. vsutu eplatí

8 Kovariatí derivace Složy ovariatí derivace V předchozích odstavcích jsme se sezámili s přílady ovariatích derivací. Nyí se zaměříme a to, ja popsat obecou ovariatí derivaci. Nejdříve zformulujeme lemma osvětlující vztah dvou růzých ovariatích derivací: Lemma V7.4 Rozdíl dvou ovariatích derivací a Γ = je pseudoderivace typu (0, 1) ve smyslu defiice D2.4. Důaz: Liearita Γ, platost pravidla pro derivováí součiu a omutativita s otrací jsou důsledem jejich platosti pro obě ovariatí derivace. Ace a fuce plye z fatu, že obě ovariatí derivace působí a fuce jao obyčejý gradiet. Pozáma Poud budeme chtít explicitě azačit, že rozdíl Γ přidává jede ovariatí idex (jedá se o pseudoderivaci typu (0, 1)), budeme psát Γ a = a a. Nyí můžeme použít aše zalosti o pseudoderivaci z věty V2.4: (i) jedá se o operaci reprezetovatelou tezorem a (ii) její ace a obecých tezorech je dáa jedozačě ací a vetorech. Věta V7.5 (Rozdíl ovariatích derivací) Mějme dvě ovariatí derivace a. Jejich rozdíl Γ je jedozačě urče svojí ací a vetorových polích, de lze reprezetovat pomocí tezoru Γbc a typu (1, 2): Γ a a b = a a b a a b = Γ b aa. Ace rozdílu Γ = tes[γ] a obecé tezorové pole A pa explicitě je Γ a A b1b2... c 1c 2... = Γ b1 aa b2... c 1c Γ b2 aa b1... c 1c Γ ac 1 A b1b2... c 2... Γ ac 2 A b1b2... c Defiice D7.11 (Rozdílový tezor) Tezor Γ z předchozí věty budeme azývat rozdílový tezor mezi dvěmi ovariatími derivacemi. Touto větou jsme zísali ástroj zadáváí obecé ovariatí derivace. Vidíme totiž, že aždá ovariatí derivace se liší od zvoleé souřadicové derivace lieárí (ultraloálí) operací daou tezorem Γbc. a Teto tezor (případě jeho složy) můžeme chápat jao souřadice vzhledem. Věta V7.5 pa určuje, ja působí a obecé tezorové pole. Defiice D7.12 (Složy ovariatí derivace [oexe]) Složy ovariatí derivace (též oeficiety oexe či Christoffelovy symboly) vzhledem souřadicím {x j } azýváme souřadice Γ j l rozdílového tezoru Γ mezi a souřadicovou ovariatí derivací asociovaou se systémem {x j }. Platí tedy = + Γ, de Γ = tes [ Γ ], Γ = Γ j l dx dx l x l. M7.4 Trasformace slože oexe Pozameejme, že souřadicový systém {x j } vstupuje do defiice slože ovariatí derivace dvěma způsoby. Za prvé, Γ j l jsou složy tezoru Γ vzhledem e zvoleému systému. Za druhé, Γ udává rozdíl mezi a souřadicovou derivací spojeou se systémem {x j }. Kompoety Γ j l jsou sice složy tezoru Γ a jao taové se trasformují při změě souřadic od {x j } {x j }: Γb a c = Γ j l x a,j x,b xl c. (*) Při trasformaci ompoet ovariatí derivace vša musíme avíc změit počáte, vůči terému ovariatí derivaci odečítáme, tj. musíme místo souřadicové derivace asociovaé s {x j } použít souřadicovou derivaci asociovaou s {x j }: = + Γ = + Γ, [ Γ = tes Γ j l dx dx l ]. x l Pseudoderivace Γ a Γ se od sebe liší rozdílem tes[γ] =, pro tezory geerující tyto pseudoderivace tedy dostáváme Γ = Γ γ. Vyjdříme-li teto vztah v souřadicích, dostaeme s užitím lemmatu V7.6 trasformačí vztah pro složy ovariatí derivace Γ j l = Γ m x j, x m, x,l x j,m x m, x,l = Γ m x j, x m, x,l + x j, x, l. Složy Γb a c v (*) tedy začí čárovaé souřadice ečárovaého rozdílového tezoru Γ, Γ j l v předchozí rovici začí čárovaé souřadice čárovaého rozdílového tezoru Γ.

9 Kovariatí derivace 7 9 Nejprve alezeme složy souřadicové ovariatí derivace. Lemma V7.6 Mějme dva systémy souřadic {x j }, {x j } a s imi asociovaé derivace a. Ozačme γ j l složy ovariatí derivace vzhledem {x j } a γ j l složy vzhledem {x j }. Tyto složy lze vyjádřit pomocí derivací trasformačích vztahů mezi oběma systémy souřadic γ j l = x i,l x j,i = xj,m x m, x,l, γ j l = x i, l x j,i = x j,m x m, x,l. Pro tezory γ a γ vytvořeé z těchto ompoet platí γ = γ. Důaz: Derivováím vztahu dx j = x j,i dxi, využitím defiice D7.9 a vztahu = + tes[γ] dostaeme 0 = a d b x j = a`x j,l d j bx l x = x j,l x j,i γ l i d ax d b x l,,i γ ab dxi což doazuje prví rovost pro γ j l. Druhou rovost dostaeme obdobě derivováím vztahu / x j = x i,j / xi. Výrazy pro γ j l jsou aalogicé. Posledí vztah plye přímočaře z tes[γ] =, tes[γ ] =. Složy ovariatí derivace mají jasý geometricý výzam udávají derivace souřadicových vetorů a 1-forem. Přímou apliací = + Γ totiž dostáváme Věta V7.7 (Kovariatí derivace vetorové a formové báze) Nechť je ovariatí derivace určeá vzhledem souřadicím {x j } složami Γ j l. Pa platí x j = Γ l j dx x l, dx j = Γ j l dx dx l. Pomocí slože ovariatí derivace taé můžeme vyjádřit explicitě souřadice derivace obecého tezorového pole. Přímá apliace věty V7.5 a případ derivace a souřadicové derivace spolu s užitím defiice D7.12 vede tomu, že souřadice ovariatího difereciálu A tezorového pole A jsou A... l... ;a = A... l...,a + Γ aa a Γ ala (7.3) M7.5 Složy -ádové ovariatí derivace -ádová derivace hraje důležitou roli hlavě v otextu ortoormálích bází a metricé varietě (viz apitoly 6 a 9). V typicé situaci se používá -áda asociovaá s ějaým systémem souřadic {x j }, jejíž vetory e j se od souřadicových vetorů / x j liší pouze šálováím e j = 1 h (j) x j, ej = h (j) dx j (přes j se esčítá). (*) (V tomto otextu se vysytují výrazy, ve terých se esčítá přes opaující se idex. Zejméa idex u oeficietu h (j) se echová jao souřadicový a ebude se přes ěj sčítat. Na zbývající situace, dy ebude použita sčítací ovece, budeme vždy upozorňovat.) Spočtěme yí složy γ j l -ádové ovariatí derivace ð asociovaé s tato defiovaou - ádou. Derivováím vztahu (*), využitím D7.10 a vztahu ð = + tes[γ] dostaeme 0 = ð a e j b = ( a h(j) d b x j) h (j) γab c d c x j Odtud = h (j), d a x d b x j h (j) γ j l d ax d b x l (přes j se esčítá). γ j l = { 1 h (j) h (j), pro j = l, 0 pro j l. 7.5 Torze Na příladu -ádové ovariaí derivace jsme viděli, že atisymetricá část druhé ovariatí derivace fuce emusí být obecě ulová. Uazuje se vša, že emůže být zcela libovolá musí být proporcioálí gradietu fuce. Než alezeme tuto závislost explicitě, doažme ejdříve ásledující lemma:

10 Kovariatí derivace 7 10 Lemma V7.8 Nechť a, b jsou hladá vetorová pole a ovariatí derivace. Pa výraz M7.6 Geometricý výzam torze a b m b a m [a, b] m závisí a a, b lieárě a ultraloálě (lieárě vůči ásobeí fucí). Důaz: Liearita vůči sčítáí je zřejmá. Zbývá tedy doázat ultraloalitu, tj. liearitu vůči ásobeí fucí f: (fa ) b m b (fa m ) [fa, b] m = fa b m fb a m (b d f) a m f[a, b] m +b[f] a m = f `a b m b a m [a, b] m Z věty V2.3 vyplývá, že výraz z lemmatu V7.8 lze reprezetovat pomocí tezoru. Teto tezor se azývá torzí: Defiice D7.13 (Torze) Ke ovariatí derivaci můžeme přiřadit tezorové pole T typu (1, 2) vztahem T c ma m b = a b c b a c [a, b] c platým pro libovolá hladá vetorová pole a, b. Teto tezor azýváme torzí ovariatí derivace a píšeme T = Tor[ ]. Zavedeme též bilieárí vetor-začé zobrazeí a tečých vetorech T (a, b) = T la b l evivaletí tezoru torze. Nyí se můžeme vrátit e zoumáí druhé ovariatí derivace fuce. Věta V7.9 (Komutátor fuce) Nechť je ovariatí derivace s torzí T. Pa pro libovolou hladou fuci f platí m f m f = T c m d c f. Důaz: Výrazem z defiice torze zapůsobíme a gradiet fuce f T c ma m b d cf = = `a m mb d f `b m ma d f a m d m`b d f + b m d m`a d f = a m b m f b m a m f, de jsem užili defiice Lieovy závory D2.3 a fatu, že gradiet fuce lze zapsat jao ovariatí derivace. Přejmeováím idexů a zráceím libovolě zvoleých vetorových polí a, b dostaeme tvrzeí věty. V lemmatu V7.3 jsme si již uázali, že souřadicová derivace má ulovou torzi: Tezor torze má ázorý geometricý výzam charaterizuje, aoli se euzavírá rovoběží složeý z čtyř po dvou stejých úseče. Korétě, mějme v bodě x vetory a, b. Ve směru těchto vetorů protáheme úsečy u a v (části geodeti u(α) a v(β) s tečými vetory a a b parametrizovaé afiím parametrem viz defiici D7.15 íže). Dély obou úseče zvolíme úměré veliosti vetorů a, b s oeficietem s (tj. zvolíme úsey geodeti charaterizovaé stejým afiím parametrem s). Podél úsečy u přeeseme rovoběžě vetor b z bodu u(0) = x do bodu u(s). Odtud vedeme další přímou liii v ve směru přeeseého vetoru b, opět o úse úměrý vetoru b oeficietem s, až do bodu v(s) (vedeme další geodetiu v(β) tečou b až do bodu daého afiím parametrem β = s). Obdobě vedeme úseču v z x do v(s) a odtud úseču ū do ū(s). Tato zostruovaý rovoběží se obecě euzavírá, v(s) ū(s). Rozdíl mezi body v(s) a ū(s), tj. jistá eomutativita paralelího přeosu, je dá právě tezorem torze. Nepořádě zapsáo totiž platí v(s) ū(s) s 2 T (a, b). Teto ituitiví vztah lze zpřesit použitím libovolé salárí fuce f f( v(s)) f(ū(s)) s 2 T (a, b) d f(x). Tato geometricá iterpretace torze je úzce spojea s podobou disusí týající se Lieových závore viz margiálie M3.1. Uázali jsme, že eomutativita přeosu podél dvou vetorových polí a a b je dáa jejich Lieovou závorou [a, b]. Nyí pouze pracujeme se speciálími vetorovými poli, teré zísáme z vetorů a, b T x M jejich rovoběžým rozeseím podél geodeti v(β) a ásledě ū(α) (pole a), případě podél geodeti u(α) a v(β) (pole b). Pro tato zostruovaá pole můžeme defiovat jejich Lieovu závoru. Z defiičího vztahu pro tezor torze (defiice D7.13) uvážeím, že vetorové pole a je paralelé přeášeé ve směru b a aopa, b a m = a b m = 0, dostaeme [a, b] = T (a, b). Neomutativita přeosu podél geodeti ve směrech a, b je ta dáa vetorem T (a, b). (Pozameejme ještě, že geodetiy užité výše jsou v ásledujícím vztahu e řivám defiovaým v dodatu 3.A: u(α) = u 0 (α), ū(α) = u s (α), v(β) = v 0 (β), v(β) = v s (β).)

11 Kovariatí derivace 7 11 Lemma V7.10 (Torze souřadicové ovariatí derivace) Nechť je souřadicová ovariatí derivace. Pa Tor[ ] = 0. Pro -ádovou ovariatí derivaci máme vztah Lemma V7.11 (Torze -ádové ovariatí derivace) Nechť ð je -ádová ovariatí derivace asociovaá s -ádou {e j } a ozačme t = Tor[ð]. Pa tm a e m el = [e, e l ] a, (i) případě, v -ádových složách, Dále platí t j l = [ e, e l ] j. t a m e j a = d m e j. (ii) Pole {e j } jsou 1-formy báze duálí vetorové -ádě {e j }. Důaz: Prví výraz plye přímo z defiice torze D7.13 dosazeím a = e, b = e l a využitím ðe j = 0. Rovost (ii) plye z vyjádřeí vější derivace pomoci derivace ovariatí (viz rovici (8.4) íže) a užití ðe j = 0. -ádová ovariatí derivace ð ta sice defiuje globálí rovoběžost způsobem popsaém v margiálii M7.3, ejedá se vša o triviálí plochou derivaci. Difeomorfismy iduovaé vetorovými poli e j spolu obecě eomutují (pro [e, e l ] 0) a geodetiy ve smyslu ð se proto euzavírají do souřadicových čar. Tato eomutativita je zachycea právě v torzi t. Máme-li dvě ovariatí derivace, rozdíl jejich torzí je dá rozdílovým tezorem: Věta V7.12 (Vztah torzí dvou ovariatích derivací) Mějme dvě ovariatí derivace a. Rozdíl jejich torzí T a T je dá atisymetricou částí jejich rozdílového tezoru Γ: T ab T ab = Γ ab Γ ba = 2 Γ [ab], de tes[γ] =. Důaz: Apliujeme vztah = + tes[γ] ve výrazu pro omutátor fuce z věty V7.9: T m c d cf = m d f + Γm c d cf + d mf Γm c d cf = Tm c d cf + Γm c Γm c dcf. Jeliož fuce f byla zvolea libovolě, můžeme df zrátit a obdržíme požadovaý vztah. Speciálě dostáváme Lemma V7.13 (Rozdíl ovariatích derivací bez torze) Tezor Γ charaterizující rozdíl dvou ovariatích derivací bez torze je symetricý: Tor[ ] = Tor[ ] = 0 Γ a bc = Γ a cb, de tes[γ] =.

12 Kovariatí derivace 7 12 Uvážíme-li, že torze souřadicové derivace je ulová, dostáváme jao přímočarý důslede věty V7.12 též vyjádřeí tezoru torze obecé derivace pomocí jejích slože vzhledem souřadicovému systému {x j }. Lemma V7.14 (Torze pomocí slože ovariatí derivace) Nechť je ovariatí derivace určeá vzhledem souřadicím {x j } složami Γ j l, respective příslušým rozdílovým tezorem Γ. Torze T je pa určea atisymetricou částí rozdílového tezoru Γ T a bc = Γ a bc Γ a cb = 2 Γ a [bc]. Přílad P7.3 (Poračováí příladu P7.2 torze) Nyí můžeme spočíst torzi diádové ovariatí derivace ð spojeé s polárími souřadicemi defiovaé v příladu P7.2. Podle lemmatu V7.11, využitím [e ρ, e ϕ ] = ρ 1 e ϕ, dostáváme t = 1 ρ eρ e ϕ e ϕ. Neboli, jedié eulové ompoety tezoru torze jsou t ϕ ρϕ = t ϕ ϕρ = 1 ρ. 7.6 Prostor ovariatích derivací Nyí prozoumáme, jaou struturu má prostor všech ovariatích derivací. Defiice D7.14 (Prostor ovariatích derivací) Prostor ovariatích derivací ozačíme GM. Prostor ovariatích derivací bez torze ozačíme G 0 M. Z věty V7.5 víme, že rozdíl mezi dvěmi ovariatími derivacemi je charaterizová rozdílovým tezorem. Všechy možé rozdílové tezory (tezory typu (1, 2)) tvoří vetorový prostor. Prostor všech ovariatích derivací GM vša vetorový prostor eí. Mezi ovariatími derivacemi elze vydělit ulový prve v prostoru ovariatích derivací elze vybrat jedozačě počáte. Jeliož vša umíme dvě ovariatí derivace odčítat a rozdíl leží ve vetorovém prostoru, prostor GM má struturu afiího prostoru. Zaměřeí tohoto afiího prostoru je isomorfí prostoru všech rozdílových tezorů, tj. prostoru T 1 2M. V prostoru GM si můžeme zvolit počáte a ostatí ovariatí derivace popisovat pomocí jejich průvodičů vzhledem tomuto počátu. Poud za počáte zvolíme souřadicovou ovariatí derivaci, průvodič obecé ovariatí derivace eí ic jiého ež pseudoderivace Γ charaterizovaá složami Γ j l. Určeí obecé ovariatí derivace pomocí jejích slože Γ j l zameá ta zadáí slože jejího průvodiče vzhledem počátu. Ačoli elze v prostoru ovariatích derivací GM vybrat aoicy počáte, existuje v ěm výzačý podprostor prostor G 0 M ovariatích derivací s ulovou torzí. Teto prostor má opět struturu afiího prostoru. Podle lemmatu V7.13 je rozdílový tezor dvou ovariatích derivací bez torze symetricý. Prostor T 1 (2) M symetricých tezorů typu (1, 2) je opět vetorový prostor a tvoří zaměřeí afiího prostoru G 0 M.

13 Kovariatí derivace 7 13 Na podprostor G 0 M můžeme dooce defiovat projetor. Odchyla ovariatí derivace od podprostoru G 0 M je právě její torze. Poud od ovariatí derivace její torzí část odečteme, dostaeme derivaci z podprostoru G 0 M. Lemma V7.15 (Beztorzí část ovariatí derivace) Nechť je ovariatí derivace s torzí T. Kovariatí derivace = tes [ 1 T ] 2 má ulovou torzi a azveme ji beztorzí část derivace. Mají-li dvě ovariatí derivace stejou beztorzí část, jejich rozdílový tezor je atisymetricý. Obecou ovariatí derivaci můžeme tedy aoicy rozdělit a její beztorzí část (z afiího prostoru G 0 M) a torzi (z vetorového prostoru T[2] 1 M). Z tohoto hledisa je dostatečé zoumat vlastosti ovariatích derivací bez torze. Derivace s torzí se pa dostaou posuem určeým obyčejým tezorovým polem torzí. Ve fyziálích apliacích se sutečě používají hlavě ovariatí derivace bez torze. Nicméě, ja jsme viděli v lemmatu V7.11, ovariatím derivacím s torzí se evyheme při užití -ádových ovariatích derivací. Podprostor ovariatích derivací se stejou beztorzí částí lze chraterizovat i přímo geometricy. Trochu předběheme a prozradíme, že ovariatí derivace z tohoto prostoru defiují stejé geodetiy viz ásledující oddíl. Třída beztorzích derivací je stále velmi široý prostor obsahující ja obecé, ta poměrě triviálí ovariatí derivace. Příladem těch triviálích jsou souřadicové ovariatí derivace. Po zavedeí pojmu řivosti íže budeme schopi vymezit tuto trivialitu přesěji bude se jedat o tzv. ploché ovariatí derivace, derivace, teré mají ulový Riemaův tezor řivosti. V prostoru beztorzích ovariatích derivací G 0 M ta můžeme idetifiovat podprostor G F M plochých ovariatích derivací. Loálě lze aždá plochá ovariatí derivace idetifiovat jao souřadicová derivace vhodě zvoleého systému souřadic. Kostruce taového systému je založea a obecější ostruci tzv. ormálích souřadic. 7.7 Geodetiy a ormálí oolí Kovariatí derivace a s í spojeý paralelí přeos ám umožňuje zobecit pojem přímy, přímé čáry. Křivu azveme přímou, poud její tečý vetor bude podél í paralelí. Defiice D7.15 (Geodetia) Parametrizovaá řiva w(τ) se azývá geodetia s afiím parametrem τ (ve smyslu ovariatí derivace ), poud platí Dw dτ dτ = 0, tj. poud je tečý vetor Dw/dτ podél řivy paralelě přeáše. Je-li ovariatí derivace specifiováa vzhledem souřadicovému systému x j pomocí slože Γ j l, případě pomocí rozdílového tezoru Γ, rovice pro geodetiu lze zapsat D w + Γ D w D l w l = 0, (7.4) dτ dτ dτ dτ

14 Kovariatí derivace 7 14 respetive, v souřadicích w j (τ) = x j (w(τ)) d 2 w dτ 2 + Γ l dw dτ dw l dτ = 0. (7.5) Dostáváme ta obyčejé difereciálí rovice druhého řádu s oeficiety daými složami oexe. Stadardí věty o existeci a jedozačosti řešeí soustavy obyčejých difereciálích rovic ám zaručují, že daým počátečím podmíám počátečímu bodu x a počátečímu tečému vetoru a existuje jedozačě maximálě prodloužeá geodetia. Defiice D7.16 Geodetia se azývá úplá, poud je defiováa pro plou šálu hodot afiího parametru τ R. Varieta se azývá geodeticy úplá, poud aždá geodetia lze prodloužit a úplou geodetiu. Pozáma Pojem geodeticé úplosti hraje důležitou roli v obecé teorii relativity, de se pomocí existece geodeti eprodloužitelých a úplé deteuje přítomost sigularit. Rozdílový tezor je v (7.4) zúže symetricy s tečým vetorem. Rovice pro geodetiu ta eí citlivá a atisymetricou část rozdílového tezoru. Ta je vša podle věty V7.14 dáa torzí. Ja jsme již zmíili výše, geodetiy proto závisí pouze a beztorzí části ovariatí derivace. Při změě parametrizace geodetiy je potřeba rovici geodetiy z defiice D7.15 modifiovat. Lemma V7.16 (Obecá parametrizace geodetiy) Parametrizovaá řiva w(η) je geodetia (ve smyslu ovariatí derivace ), splňuje-li Dw dη dη Dw dη. Afií parametr geodetiy je dá až a lieárí trasformaci. Důaz: Přímým dosazeím τ = τ(η) do D7.15 dostáváme dη 2 Dw dτ dη dη + d2 η Dw dτ 2 dη = 0, což dává požadovaou proporcioalitu. Vidíme též, že parametr geodetiy zůstává afiím parametrem, poud 2 je fator dη d 2 η ulový. Závislost jedoho afiího parametru a jiém dτ dτ 2 ta musí být lieárí. Geodetiy můžeme využít při reprezetaci bodů blízých daému bodu x pomocí tečých vetorů reprezetaci, terá se často zapisuje heuristicým výrazem x + εa + O(ε 2 ). Defiice D7.17 (Geodeticé zobrazeí) Geodeticé zobrazeí geod x je zobrazeí z tečého prostoru T x M do oolí bodu x přiřazující vetoru a bod s afiím parametrem 1 geodetiy vedoucí z x ve směru a: geod x a = w(1), de w(τ) je geodetia splňující w(0) = x, Dw dτ (0) = a. Pro z = geod x a budeme též psát a = geod 1 x z.

15 Kovariatí derivace 7 15 Geodeticé zobrazeí geod x eí obecě defiováo a celém tečém prostoru T x M, protože geodetiy obecě elze prodloužit a geodetiy úplé. Nicméě vždy existuje oolí N 0 T x M ulového vetoru 0, a terém je geodeticé zobrazeí geod x difeomorfismus zobrazující N 0 jedozačě a hladce a oolí N x M bodu x. Defiice D7.18 (Normálí oolí) Oolí N x bodu x, a terém je zobrazeí geod 1 x difeomorfismus, se azývá ormálí oolí bodu x. Normálí oolí N x ze azývá ovexí, poud aždé jeho dva body lze spojit právě jedou geodetiou celou patřící do N x. Ke aždému bodu existuje ovexí ormálí oolí. V ovexím ormálím oolí lze zvolit tzv. ormálí souřadice Defiice D7.19 Nechť N x je ovexí ormálí oolí bodu x. Mějme dále v bodě x zvoleou -ádu vetorů {e j }. Na oolí N x defiujeme ormálí souřadice { x j } pomocí ompoet vetoru asociovaého s bodem pomocí geodeticého zobrazeí: x j (z) = z j z = geod x ( z j e j ). Bod x azýváme počáte systému { x j }. Zřejmě x j (x) = 0. Normálí souřadice jsou ejbližší aalogií lieárích souřadic zámým z afiího prostoru. Připomeňme, že a afiím prostoru máme globálí rovoběžost určující plochou ovariatí derivaci. Složy této derivace vzhledem lieárím souřadicím jsou ulové. Rozvieme-li a obecé varietě v blízosti bodu x složy obecé oexe vzhledem ormálím souřadicím, zjistíme, že jsou v prvím řádu ulové a v dalším řádu dáy řivostí variety. Trochu předběheme a uvedeme zde teto rozvoj explicitě. Křivost v ěm bude popsáa pomocí tzv. Riemaova tezoru pojmem řivosti včetě Riemaova tezoru se budeme zevrubě zabývat íže. Věta V7.17 (Složy oexe v ormálích souřadicích) Mějme v oolí bodu x 0 ormálí souřadice { x j } zostruovaé pomocí geodeti ve smyslu beztorzí ovariatí derivace. Složy Γ j l této ovariatí derivace vzhledem systému { xj } jsou v blízosti x 0 dáy rozvojem Γ l x = 1 ( Rj 3 l + R ) x0 jl x j + O ( ( x i ) 2), de x j jsou souřadice bodu x. Zde R l j jsou složy Riemaova tezoru (v systému { x j }), terý charaterizuje řivost ovariatí derivace viz defiici D7.21 a po í ásledující text. Pro ovariatí derivaci s torzí má rozvoj slože tvar Γ l x = 1 2 T ( 1 l x0 + 2 T l,j 2 3 R ) x0 j( l) x j + O ( ( x i ) 2), de T l jsou složy torze v ormálích souřadicích. Důaz: Začeme důazem vztahu pro beztorzí derivaci. Rozvoj slože oexe má obecě tvar Γ l = Γ x l + Γ x0 l,j x x0 j + O`( x i ) 2. (o)

16 Kovariatí derivace 7 16 přičemž díy předpoladu o ulové torzi jsou všechy čley symetricé v idexech a l. Křiva w(ε) = geod x0 (εa) je geodetia jdoucí z x 0 ve směru a. Její souřadice jsou x j (w(ε)) = εa j, de a = a j e j. Tečý vetor Dw (ε) dε má podél celé geodetiy ostatí souřadice a j. Rovice geodetiy má ta tvar a a l Γ l = 0. w(ε) V bodě x 0 (tj. ε = 0, x j = 0) tedy máme a a l Γ l = 0, přičemž vetor a x0 zde můžeme zvolit libovolě. Jeliož jsou vša složy Γ l v a l symetricé, dostáváme x0 = 0. (i) x0 Γ l V dalším řádu v ε dostáváme podmíu a a l a j Γ l,j = 0 platící opět x0 pro libovolé a. Z toho plye, že symetricá část oeficietů Γ vymizí: x0 Γ (l,j) = 0. (*) x0 Část oeficietu Γ l,j atisymetricá v posledích dvou idexech je dáa x0 Riemaovým tezorem. Vsutu, z věty V7.27 íže užitím rovice (i) dostaeme l,j ` Γ jl, Γ j,l x0 = R l j x0 (**) Přímým vyjádřeím symetrizace a atisymetrizace lehce ahlédeme, že pro libovolý tezor s třemi ovariatími idexy symetricý v prvím páru idexů platí Γ l,j = Γ (l,j) + 2 Γ [l,j] + Γ l[,j]. 3 Užitím (*) a (**) dostáváme oeficiet dalšího řádu rozvoje (o) Γ l,j = 1 Rj x0 l + 3 R jl x0. (ii) Dosazeím (i) a (ii) do (o) dostaeme doazovaé tvrzeí. V případě ovariatí derivace s torzí defiice geodetiy a ostruce ormálích souřadic a torzi ezávisí. Stejé odvozeí tedy dává beztorzí symetricou část slože ovariatí derivace. Atisymetricá část slože oexe je aopa určea právě torzí viz lemma V7.14. Máme tedy Γ l = Γ (l) T l. Rozviutím v souřadicích x j a užitím předchozího výsledu pro symetricou část dostaeme doazovaé tvrzeí. 7.8 Vztah mezi ovariatí a Lieovou derivací Pomocí ovariatí derivace můžeme vyjádřit Lieovu derivaci zavedeou v apitole 3. Lieova derivace je defiováa podél vetorového pole a (defiujícího jedoparametricou grupu difeomorfismů). V případě její ace a vetorových polích je vztah (libovolě zvoleé) ovariatí derivaci založe a defiici torze D7.13 a vyjádřeí Lieovy derivace pomocí Lieovy závory (věta V3.7)

17 Kovariatí derivace 7 17 Lemma V7.18 Nechť je ovariatí derivace s torzí T a a, b jsou vetorová pole. Pa $ab = [ a, b ] = a b ( l a + a T l) b l. Aci Lieovy derivace a obecé tezorové pole pa dostaeme a záladě pozorováí, že rozdíl mezi $a a a je pseudoderivace. Věta V7.19 (Lieova derivace pomocí ovariatí derivace) Nechť je ovariatí derivace s torzí T a a vetorové pole. Pa $a a je pseudoderivace a můžeme psát $a = a + La, de La = tes [ l a a T l]. Důaz: Liearita vůči součtu a působeí a souči tezorů rozdílu La = $a a plye z vlastostí Lieovy a ovariatí derivace. Ultraloalita plye z fatu, že ja Lieova, ta ovariatí derivace působí a fuce jao obyčejá derivace ve směru. Rozdíl La je ta pseudoderivace a jeho působeí je dáo podle věty V2.4 jeho ací a vetorech, terá je dáa lemmatem V7.18. Speciálě, pro vetor b, 1-formu ω a metriu g dostáváme $a b = a b ( l a + a T l) b l, $a ω = a ω + ( a l + a T l ) ωl $a g m = a g m + ( m a l) g l + ( a l) g ml + a Tm l g l + a T l g ml. (7.6) Všiměme si, že ač ovariatí derivace a závisí a směru a ultraloálě, Lieova derivace $a již a a ultraloálě ezávisí. Rozdíl mezi a a $a totiž obsahuje derivaci a, terá je citlivá a chováí vetorového pole a v oolí bodu, ve terém derivace počítáme. V apitole 3 jsme viděli, že vztah pro Lieovu derivaci se výrazě zjedodušuje, poud derivujeme podél souřadicového pole řeěme podle / x 1 systému souřadic {x j }. Rovici (3.6) můžeme zovu odvodit pomocí souřadicové ovariatí derivace asociovaé se systémem {x j }. Využitím věty V7.19 a vlastostí oamžitě dostáváme $ x 1 A = x 1 A, (7.7) případě v souřadicích ( $ A) m... x 1... = A m......, 1. (7.8) Pozáma Připomeňme, že `$ / x 1A m v posledí rovici začí souřadice Lieovy derivace tezoru, e Lieovu derivaci souřadic tezoru i dyž to v tomto případě vede e stejému výsledu. 7.9 Vztah mezi ovariatí a vější derivací V apitole 4 o atisymetricých formách jsme se zmíili, že vější derivace je atisymetrizací ovariatí derivace. Nyí již ovariatí derivaci máme dispozici a můžeme toto tvrzeí zformulovat přesě.

18 Kovariatí derivace 7 18 Věta V7.20 (Vější derivace pomocí ovariatí derivace) Nechť je libovolá ovariatí derivace bez torze, Tor[ ] = 0. Pa vější derivace p-formy ω lze vyjádřit dω = ω, případě, užitím tezorových idexů, d a0 ω a1...a p = a0 ω a1...a p = (p + 1) [a0 ω a1...a p] Formálě můžeme též psát d =. (Viz důaz za rovicí (7.12).) Zde jsme použili ozačeí motivovaé defiicí vějšího součiu: Defiice D7.20 (Atisymetrizovaá ovariatí derivace) Nechť ω A p M. Pa budeme užívat ozačeí a0 ω a1...a p = (p + 1) [a0 ω a1...a p]. Korétě, pro 0-formu (fuci) f, 1-formu γ a 2-formu σ dostáváme d a f = a f, d a γ b = 2 [a γ b] = a γ b b γ a, d a σ bc = 3 [a σ bc] = a σ bc + b σ ca + c σ ab. (7.9) Vidíme, že atisymetricá část beztorzí ovariatí derivace p-formy ezávisí a ovariatí derivaci je proporcioálí vější derivaci. Vější derivaci můžeme vyjádřit pomocí libovolé ovariatí derivace. Užitečé je apřílad zvolit souřadicovou ovariatí derivaci asociovaou se systémem {x j }. Pro souřadice vější derivace dω pa dostáváme Speciálě d a0 ω a1...a p = (p + 1) ω [a1...a p,a 0]. (7.10) d a f = f,a, d a γ b = 2γ [b,a] = γ b,a γ a,b, d a σ bc = 3σ [bc,a] = σ bc,a + σ ca,b + σ ab,c. (7.11) Vztah vější derivace e ovariatí derivaci s torzí je složitější. K výrazům ze (7.9) přibudou avíc čley obsahující tezor torze. Pro 1-formu a 2-formu lze vější derivace vyjádřit ásledově: M7.7 Vztah d a s torzí Pro ovariatí derivaci s eulovou torzí T je potřeba větu V7.20 modifiovat. Ve výrazu pro vější derivaci přibudou čley obsahující torzi: d a0 ω a1...ap = = a0 ω a1...ap + T a0a1 ω a2...ap = (p + 1) [a0 ω a1...ap] + ( ) p+1 2 T ω [a0a1 a2...ap]. Výzam zvýrazěí idexu bude objasě v příští apitole v defiici D8.1 zde ám postačí vědět, že se jedá o evivaletí zápis posledího výrazu užívajícího pouze obyčejé tezorové operace. Formálě bychom mohli též psát saději zapamatovatelý výraz bez idexů: d = + T. Rozepíšeme-li atisymetrizaci explicitě (viz margiálie M4.2), dostaeme d a0 ω = a1...ap = ( 1) a ω a1...ap }{{} 0 p + 0 <l p mimo a ( 1) +l+1 T ω aal a1...ap }{{} mimo a, a l. Speciálě, pro p = 0, 1, 2 dostáváme rovici (7.12). Důaz probíhá aalogicy důazu pro p = 1 uvedeému za rovicí (7.12), pouze místo vztahu z příladu P4.3 je potřeba použít obecý vztah z margiálie M4.5. d a f = a f, d a γ b = a γ b b γ a + T ab γ, d a σ bc = a σ bc + b σ ca + c σ ab + T bc σ a + T ca σ b + T ab σ c. (7.12) Obecý výraz pro formy vyššího stupě viz margiálie M7.7. Důaz: Doážeme si tvrzeí pro 1-formu γ, důaz pro formy vyššího stupě je aalogicý. Vější derivaci dγ zúžíme s dvěma libovolými vetory a, b, použijeme vztah z příladu P4.3, a v ěm ahradíme gradiety salárů ovariatími derivacemi: a m b d mγ = a m m`b γ b `am γ m [a, b] c γ c.

19 Kovariatí derivace 7 19 Užitím pravidla pro derivováí součiu dostaeme a m b d mγ = a m b mγ a b m mγ + a m` mb γ b ` a m γ [a, b] c γ c. Srováím s defiicí torze D7.13 alezeme a m b d mγ = a m b mγ γ m + T c m γ c, což je požadovaý výraz Křivost Nyí zavedeme ejdůležitější charateristiu ovariatí derivace její řivost. Křivost ovariatí derivace charaterizuje její eomutativitu. Charaterizuje, ja moc se příslušý paralelí přeos odlišuje od globálí rovoběžosti. Nejdříve defiujeme Riemaův tezor řivosti Defiice D7.21 (Riemaův tezor řivosti) c Riemaův tezor řivosti R ab d ovariatí derivace je tezor typu (1, 3) splňující pro libovolá vetorová pole a, b, c vztah R l m a b l c m = a ( b c ) b ( a c ) [a, b] c. M7.8 Geometricý výzam řivosti Riemaův tezor má ázorý geometricý výzam. Jedá se o plošou hustotu etriviálosti paralelího přeosu podél uzavřeé řivy. Přeeseme-li v řivém prostoru paralelě vetor podél uzavřeé smyčy zpět do počátečího bodu, edostaeme obecě stejý vetor. Odchyla od původího vetoru je pro malou smyču úměrá ploše smyčy s oeficietem daým právě Riemaovým tezorem. Zavedeme též bilieárí tezor-začé zobrazeí a tečých vetorech typu (1, 1) R(a, b) m = a b l R l m, teré je evivaletí Riemaovu tezoru. Koečě, budeme-li chtít zdůrazit asociaci Riemaova tezoru s ovariatí derivací, budeme psát R = Riem[ ]. Výraz a pravé straě defiičího vztahu pro Riemaův tezor obsahuje druhé ovariatí derivace a eí a priori jasé, že jej lze reprezetovat tezorově. Aby byla defiice ozistetí, musí teto výraz záviset a vetorových polích ultraloálě. Vsutu platí Lemma V7.21 Výraz a ( b c ) b ( a c ) [a, b] c. závisí a a, b, c ultraloálě a lieárě. Důaz: Liearita vůči sčítáí plye z liearity ovariatí derivace a Lieovy závory. Zbývá doázat, že výraz je též lieárí vůči ásobeí fucí. Začěme ultraloalitou v argumetu a (obdobě pro b): fa `bl l c b `fa l l c [fa, b] m mc = fa `bl l c fb `al l c `b f a l l c f[a, b] m mc `b d f a m mc = f a `bl l c b `al l c [a, b] m mc. Pro argumet c je rozderivováí součiů delší, ale s použitím defiice Lieovy závory D2.3 vede opět ultraloalitě. Korétě, mějme dvoudimezioálí plochu Σ parametrizovaou souřadicemi α, β s počátem v bodě x o (tj. α(x o ) = β(x o ) = 0). Souřadicové vetory v bodě x o ozačme a a b. V této ploše zvolme podél souřadicových čar malou obdélíovou řivu w(τ) o rozměrech α a β. Vetor c = par 1 [w] c paralelě přeeseý podél této smyčy se bude obecě lišit od původího vetoru c a pro malou smyču tato odchyla bude řádu α β: par 1 [w] c c α β R(a, b) l c l. Riemaův tezor je zde vyčísle v bodě x o. Pozameejme, že vetory a, b v uvedeém vztahu určují pouze plochu, ve teré smyča leží, a jedoty, ve terých se měří rozměry smyčy. Neí důležité, aby smyča začíala a očila ve směru těchto vetorů. Vsutu, v dodatu 7.A doážeme obecější verzi tvrzeí: Zvolíme-li v ploše Σ libovolou malou řivu w s (τ) lieárího rozměru řádu O(s) ohraičující plošu o obsahu S O(s 2 ) (měřeo v souřadicích α, β), vetor paralelě přeeseý podél w s je dá vztahem par 1 [w s ] c = c S R(a, b) l c l + O(s 3 ).

20 Kovariatí derivace 7 20 Defiice Riemaova tezoru D7.21 se odazuje pouze a aci ovariatí derivace a tečém budlu, tj. pouze a vetorových polích. Nepotřebuje rozšířeí derivace a celou tezorovou algebru. My vša vždy toto rozšířeí předpoládáme a můžeme proto v defiici D7.21 provést rozderivováí součiů typu b l l c. Užitím defiice torze D7.13 oamžitě dostáváme Lemma V7.22 (Komutátor působící a vetorové pole) Nechť R = Riem[ ] a c TM. Pa l c l c + T m l m c = R l m c m. Vidíme, že Riemaův tezor charaterizuje esymetrii ovariatí derivace působící a vetorová pole. Jedá se o aalogii vztahu z věty V7.9 pro omutátor ovariatí derivace působící a fuce. Nabízí se samozřejmě otáza, zda omutátor ovariatí derivace působící a složitějších tezorové veličiy vede dalším veličiám charaterizujícím ovariatí derivace. Odpověď je záporá, omutátor libovolé tezorové veličiy je již jedozačě dá Riemaovým tezorem a torzí. Defiice D7.22 (Operátor řivosti) Komutátor ovariatí derivace ve směrech a a b (s opravou a eomutativitu vetorových polí a, b), R(a, b) = a b b a [a, b], působící a obecé tezorové pole, azýváme operátor řivosti. Stejě jao při působeí a vetorová pole (defiice D7.21, lemma V7.21) můžeme závislost a vetorech a, b reprezetovat tezorově. K tomu účelu zavedeme tezor-začý (typu (0, 2)) operátor řivosti R l : R(a, b) = a b l R l. Pozáma Zdůrazěme, že oba operátory řivosti jsou vsutu operátory, působící doprava a tezorové algebře apř. R(a, b) A m = a b l R l A m = a` b A m b` a A m [a, b] A m Aalogicy lemmatu V7.22 můžeme operátor řivosti apsat explicitě. Věta V7.23 (Atisymetricá část druhé ovariatí derivace) Operátor řivosti R l ovariatí derivace lze vyjádřit R l = l l + T l. Věta V7.24 (Působeí operátoru řivosti) Operátor řivosti R(a, b) derivace je pseudoderivace typu (0, 0) charaterizovaá tezorem R(a, b). Respetive, operátor řivosti R l je pseudoderivace typu (0, 2) charaterizovaá přímo Riemaovým tezorem R: R(a, b) = tes[r(a, b) m], R l = tes[r l m ].

21 Kovariatí derivace 7 21 Důaz: Musíme ověřit vlastosti pseudoderivace z defiice D2.4. Liearita omutátoru plye z liearity ovariatí derivace. Podobě je zaručea omutativita s otrací. Aihilace fuce (ultraloalita) plye z věty V7.9. Zbývá ověřit, že platí pravidlo pro derivováí součiu. Opaovaým použitím Leibizova pravidla zjistíme, že čley s prvími derivacemi polí A a B se avzájem vyruší a dostaeme a b`a... b a`a... + T c ab c`a... l... B m = A... l... ` a b B m l... B m b ab m T ab c cb m... + ` a b A... l... b aa... l... + T ab c ca... l... l... B m Bm Tím jsme ověřili, že omutátor (s opravou a torzi) je pseudoderivací a je tedy dá svojí ací a vetorových polích. Ta je vša podle defiice D7.21, případě lemmatu V7.22, dáa Riemaovým tezorem. Pro vetorová pole, 1-formy, oprátory a tezory typu (0, 2) ta pro R l explicitě dostáváme R l c = R l m c m, m R l ω = R l ω m, R l A a a b = R l A b R l b A a, R l g ab = R l a g b R l b g a. (7.13) Souřadicové a -ádové ovariatí derivace jsou z hledisa řivosti triviálí. Platí Lemma V7.25 (Křivost souřadicové a -ádové derivace) Nechť je souřadicová ovariatí derivace asociovaá se souřadým systémem {x µ } a ð -ádovaá ovariatí souřadice -ády {e j }. Pa Riem[ ] = 0, Riem[ð] = 0. Důaz: Operátor řivosti derivace ð působící a vetorové pole a dává R a = a R e. Ovšem ðe j = 0, tedy i R e j = 0 a tedy R a = 0. Z věty V7.24 pa dostáváme Riem[ð] = 0. je speciálí případ -ádové derivace. Ai defiice Riemaova tezoru řivosti D7.21, ai věta V7.24 o omutátoru ovariatí derivace edávají explicití předpis pro výpočet Riemaova tezoru. Ja jsme disutovali v předchozím textu, ovariatí derivaci typicy zadáváme pomocí jejích slože vůči ějaému souřadému systému (viz defiice D7.12). Rádi bychom vyjádřili Riemaův tezor pomocí těchto slože. Složy ovariatí derivace jsme zavedli jao souřadice rozdílového tezoru mezi a souřadicovou derivací. Proto bude užitečé začít obecým vztahem mezi Riemaovými tezory dvou ovariatích derivací. Věta V7.26 (Vztah Riemaových tezorů) Nechť a jsou dvě ovariatí derivace (s torzí T, respetive T ) lišící se rozdílovým tezorem Γ (tj. = tes[γ]). Pa pro příslušé Riemaovy tezory R a R platí R ab l = R ab l + a Γ bl b Γ al + T ab Γ l + Γ a Γ bl Γ b Γ al.