Kapitola 5-1 - Kapitola 5 Schrödigerova rovice Obsah: 5.1 Stacioárí Schrödigerova rovice 5. Nestacioárí Schrödigerova rovice 5. Souvislost mezi vlovou a klasickou mechaikou 5.4 ovice kotiuity Literatura: [1] BEISE A. "Úvod do moderí fyziky" [] FONG "Elemetary Quatum Mechaics" Vpředcházející kapitole jsme si astíili základy vlové mechaiky. Ukázali jsme si, jak v rámci tohoto matematického modelu reprezetovat klasický svět, a také, jak fyzikálě iterpretovat získaé kvatitativí výsledky. Zjistili jsme, že veškerá iformace o systému je uchováa ve vlové fukci, která, je-li záma, jedozačě určuje jeho stav. Implicitě jsme přitom předpokládali, že studovaý systém můžeme vždy ějakým způsobem připravit v libovolém stavu (apříklad vhodým "uplácáím" vlového balíku) reprezetovaém kvadraticky itegrovatelou vlovou fukcí. Situace je zde podobá té, s íž jste se setkali v klasické mechaice, kdy stav systému zadávají souřadice a rychlosti jedotlivých částic. Tam si a základě přímé zkušeosti umíme představit, jak připravíme studovaý systém v blíže specifikovaém stavu. Neí tudíž překvapující, že si víru, že to vždy jde, přeášíme i za hraice klasického světa. Nic a tom eměífakt,ževesvětě kvatovém eí zdaleka a prví pohled jasé, jak kokrétě máme postupovat. 1 Ve světě plém změ je ovšem statickýpopis systému, v ěmž čas hraje roli pouhého kostatího parametru, utě eúplý. Vždyť i v klasické fyzice hrál stav často roli "pouhé" počátečí podmíky pohybových rovic, jejichž řešeí (klasická evoluce) bylo zpravidla to, co ás zajímalo především. Je tedy jasé, že statický popis de Broglieho vl, který byl podá v předchozí kapitole, je uté doplit i o popis dyamický. Je tedy ačase zformulovat pohybovou rovici pro vlovou fukci. Z pochopitelých důvodů je esmyslé hovořit o odvozeí této rovice, stejě jako elze odvodit apříklad rovice Newtoovy či Maxwellovy. Můžeme však formulovat plausibilí argumety pro aše kroky, které povedou k apsáí kokrétí matematické formule, a tuto formuli ásledě porovat s tím, co již záme (tj. s klasickou mechaikou a experimetálí zkušeostí). Ověřit však, zda jsme zvolili formuli správou, můžeme pouze jejím opakovaým použitím při řešeí kokrétích problémů a srováím takto získaých výsledků s experimetem. Oč tedy půjde v této kapitole? Především si ukážeme cestu vedoucí k slavé Schrödigerově rovici. Ukážeme si rověž její souvislost s klasickou mechaikou. Ač to ebude a prví pohled zřejmé - Schrödigerova rovice je parciálí difereciálí rovice prvího řádu v čase a klasické pohybové rovice obyčejé difereciálí rovice, avíc druhého řádu v čase - ukážeme, že klasická mechaika je přiblížeím přesější Schrödigerovy vlové mechaiky. Podíváme se blíže i a matematickou podstatu Schrödigerovy rovice. 1 Pochopitelě vše, co bylo právě řečeo, jsme v předcházející kapitole diskutovali pouze pro ejjedodušší ze všech možých systémů - te, který obsahoval jediou bodovou částici. Proto slova jako "klasický svět" a "kvatový svět" jsou v kotextu toho, co záme velmi silá. Bohužel se musíme smířit s tím, že během ašeho povídáí o kvatové teorii se i adále soustředíme pouze a jedočásticové systémy. Z důvodu jedoduchosti a průhledosti výkladu.
Kapitola 5 - - 5.1 Stacioárí Schrödigerova rovice [1] str. 159-165 [] str. 4-48 Stacioárí Schrödigerova rovice Obecé moochromatické vly, které jsme zavedli vztahem (4-9) æ i ö ψ( r, t) = Ψ( r) exp( iωt) = Ψ( r) expç Et è h ø v předcházející kapitole, popisují stavy bodové částice s přesě defiovaou eergií v poli vějších sil. Příslušé pole budeme popisovat jeho poteciálem V(r). Tyto vly jsou, jak jsme si ukázali, speciálím řešeím vlové rovice 1 ψ( r, t) ψ( r, t) = 0 v f, (5-1) uějž jsme vhodou volbou časové závislosti elimiovali "efyzikálí" stupě volosti. osazeím vztahu (4-9) do (5-1) získáme sado, že prostorová část vlové fukce ψ musí splňovat rovici Ψ( r) ω Ψ( r) = 0. (5-) v f Uvědomíme-li si však, že podle (4-6) a de Broglieho relací zobecěých a případ částice ve vějším silovém poli je ω v f p = k =, (5-4) kde k je velikost vlového vektoru a p velikost hybosti částice v daém místě prostoru, a že pro velikost hybosti platí podle zákoa zachováí eergie vztah ( ) p= m E V( r ), (5-5) máme z (5-) okamžitě Viz odatek I k předcházející kapitole. Všiměte si ěkolika podstatých faktů: a) K získáí vztahu (5-5) jsme použili erelativistický záko zachováí eergie E = p /m + V(r). Schrödigerova teorie bude tedy erelativistická. b) Pro volou částici jsme v erelativistickém přiblížeí psali pro celkovou eergii částice vztah (4-5). Započítávali jsme tedy do í kietickou i klidovou část. Z (5-5) je jasé, že adále do eergie E klidovou část m 0 c ezapočítáváme.
Kapitola 5 - - Ψ( r) V( r) Ψ( r) = EΨ( r ). (5-6) m Po svém objeviteli se tato rovice azývá Schrödigerova. Protože popisuje pouze chováí prostorové části moochromatické vlové fukce (a tedy eobsahuje časové derivace), doplňuje se její ázev zpravidla přívlastkem stacioárí 4. Stacioárí Schrödigerovy rovice jako matematický problém Z matematického hlediska je stacioárí Schrödigerova rovice lieárí parciálí difereciálí rovice druhého řádu pro fukci tří proměých Ψ(x,y,z). O této fukci předpokládáme,žejemiimálě po částech dvakrát spojitě diferecovatelá a 5. Z fyzikálí iterpretace vlové fukce ψ vyplývá, že řešeí stacioárí Schrödigerovy rovice musí být kvadraticky itegrovatelé. Musí tedy splňovat Ψ( r ) d r <+. (5-7) Ovšem spojitá fukce splňující (5-7) musí v ekoeču dostatečě rychle klesat k ule, a tedy musí platit lim Ψ( r) = 0. 6 (5-8) r + 4 Stacioárí Schrödigerova rovice tedy popisuje prostorovou část vlové fukce odpovídající speciálím stavům bodové částice s přesě defiovaou eergií ve vějším časově eproměém poteciálovém poli. V erelativistickém přiblížeí samozřejmě. Časová závislost příslušé vlové fukce je obsažea pouze expoeciálím faktoru exp(-iωt). Jak jsme již uvedli dříve, experimetálě ověřitelou iformaci o jakémkoliv jedočásticovém systému eese samotá vlová fukce ψ, ale kvadrát její absolutí hodoty. Podle (4-9) je ale ψ = Ψ.Tedyfyzikálě zajímavou je pouze prostorová část moochromatické vlové fukce, která podle Borovy statistické iterpretace určuje hustotu pravděpodobosti alezeí částice v daém místě prostoru. Vzhledem k tomu, že tato hustota ezávisí a čase, můžeme říci, že ámi studovaý jedočásticový systém eměí z hlediska experimetátora s časem svůj stav. Také z tohoto důvodu se rovice (5-6) azývá stacioárí. 5 Je-li poteciál V(r) spojitou fukcí souřadic, je jistě rozumé předpokládat, že vlová fukce Ψ, kteráje řešeí stacioárí Schrödigerovy rovice, bude mít spojité druhé derivace a celém. Často se však v kokrétích úlohách budeme setkávat s modelovými poteciály, které obsahují espojitosti typu koečého či ekoečého skoku. Možia se pak rozpade a souvislé oblasti, a ichž bude fukce V(r) spojitá, ale a hraicích mezi imi se bude měit espojitě skokem. Je jasé, že a jedotlivých oblastech budeme moci hledat řešeí stacioárí Schrödigerovy rovice jako dvakrát spojitě diferecovatelou fukci. Na samotých rozhraích mezi těmito oblastmi budou však spojité pouze prví derivace ebo dokoce je samotá vlová fukce. ruhé derivace fukce Ψ se budou při přechodu hraice měit obecě espojitě. V tomto smyslu je třeba chápat ozačeí vlové fukce jako po částech dvakrát spojitě diferecovatelé. Ilustraci metody řešeí stacioárí Schrödigerovy rovice s espojitým poteciálem si poechejme do ásledující kapitoly. 6 Podmíka (5-8) je však pouze utou podmíkou platosti vztahu (5-7), eboť ic eříká o rychlosti poklesu absolutí hodoty Ψ, když se blížíme do prostorového ekoeča. Předpokládejme pro ilustraci tohoto problému, že se studovaá fukce chová v asymptotické oblasti velkých hodot r >r 0 (v dalším budeme velikost polohového vektoru r ozačovat prostě r) jako iverzí mocia, tj. Pak ovšem Ψ( r) 1 r. α
Kapitola 5-4 - K jedozačému řešeí parciálích difereciálích rovic potřebujeme kromě samoté rovice zadat ještě avíc tzv. okrajovou podmíku. Je jasé, že její roli zde přebírá vztah (5-7) resp. (5-8). Eergetické spektrum Vždy tedy budeme hledat takové řešeí stacioárí Schrödigerovy rovice, které v ekoeču klesá dostatečě rychle k ule. Takové řešeí reprezetuje fyzikálě realizovatelý stav studovaého jedočásticového problému. Jak se ukazuje v teorii parciálích difereciálích rovic, existuje etriviálí řešeí (tj. takové, které eí ideticky rovo ule) problému tvořeého rovicí (5-6) a okrajovou podmíkou (5-7) je pro ěkteré hodoty parametru E (celková mechaická eergie). Možia všech přípustých hodot eergií E je vždy ejvýše spočetá a její prvky zadávají izolovaé kvatové eergetické hladiy. Nazýváme ji diskrétím eergetickým spektrem 7. Prvky diskrétího eergetického spektra můžeme sado uspořádat podle velikosti a takto zobrazit vzájemě jedozačě a možiu přirozeých čísel (ebo ějakou její část) a jedotlivé eergie pak reprezetovat tímto způsobem přiřazeými kvatovými čísly. Příslušé vlové fukce, které jsou řešeím Schrödigerovy stacioárí rovice s kokrétí volbou kvatovaé eergie E, pak azýváme vlastími fukcemi příslušejícími hodotě eergie E z diskrétího eergetického spektra. Tyto fukce chápeme jako fukce tří proměých (složky polohového vektoru), icméě jejich kokrétí tvar závisí parametricky i a eergii E (resp. jí přiřazeém kvatovém číslu) a často i a dalších parametrech (opět kvatovaých a obvykle reprezetovaých dalšími vhodými kvatovými čísly). V ásledujícím odstavci této kapitoly využijeme tzv. pricip superpozice, který je ústředím postulátem Schrödigerovy vlové mechaiky. Te říká, že libovolý fyzikálě realizovatelý stav systému reprezetovaý kvadraticky itegrovatelou vlovou fukcí můžeme získat jako lieárí superpozici moochromatických vl (tedy řešeí stacioárí Schrödigerovy rovice). K tomuto účelu, jak zjistili matematikové, však zdaleka estačí vlastí fukce odpovídající diskretímu eergetickému spektru. Možiu používaých vlastích fukcí musíme proto rozšířit ještě o další moochromatické vlové fukce, které sice řeší stacioárí Schrödigerovu rovici, ale porušují okrajovou podmíku (5-7). Nereprezetují tedy žádé fyzikálě realizovatelé stavy, ale jsou uté k tomu, abychom mohli libovolý z těchto stavů "uplácat" z moochromatických vl 8. + α é Ψ() r d r = 4π Ψ() r r dr= 4πA r ê α + ù ú r> r0 r0 ë û r0 Aby však byl výraz v hraaté závorce koečý, musí platit -α < 0, eboli α > /. Fukce Ψ musí tedy v ekoeču kovergovat k ule rychleji ež r -/. 7 Všiměte si, že kvatováí eergie eí v rámci Schrödigerovy teorie ezávislým postulátem, ale pouhým důsledkem vlového popisu a Borovy statistické iterpretace tohoto popisu. Nebylo jej tedy uto do teorie ásilě vložit (jako apříklad v teorii Plackově, Bohrově či Sommerfeld-Wilsoově), aopak z í přirozeou cestou vyplyulo. 8 Vzpomeňte si a rovié moochromatické vly diskutovaé v předcházející kapitole..
Kapitola 5-5 - Ukazuje se, že v případě těchto dodatečých řešeí stacioárí Schrödigerovy rovice je uto okrajovou podmíku (5-7) ahradit požadavkem omezeosti v ekoeču 9. Musí tedy existovat takové r 0 >0,že sup Ψ( r ) <+. (5-8) r> r 0 Opět se ukazuje, že řešeí rovice (5-6) splňující okrajovou podmíku (5-8) existuje pouze pro ěkteré hodoty eergie E. Tetokrát je však možia těchto přípustých hodot eergie espočetá a zpravidla totožá s ějakým itervalem a reálé ose. Proto ji azýváme spojitým eergetickým spektrem a jedotlivým eergiím příslušející řešeí stacioárí Schrödigerovy rovice s okrajovou podmíkou (5-8) vlastími fukcemi odpovídajícími spojitému eergetickému spektru 10. O tom, jak kokrétě vypadá eergetické spektrum příslušého systému, rozhoduje charakter systému samotého. Ve speciálím případě jedočásticového systému ve vějším poteciálovém poli pak fukčí tvar poteciálu V(r). Obecě může spektrum tvořit jak spojitá tak i diskrétí část. Chybí-li spojitá část, hovoříme o čistě diskrétím spektru, pokud chybí část diskrétí, hovoříme o spektru čistě spojitém. Kokrétí příklady systémů s čistě spojitým a čistě diskrétím jakož i se smíšeým eergetickým spektrem uvedeme v ásledujících kapitolách. Nezávisí-li vlová fukce odpovídající kokrétí eergii a žádém dalším parametru, hovoříme o edegeerovaé eergetické hladiě. V opačém případě eergetickou hladiu azveme degeerovaou. Jedorozměrá stacioárí Schrödigerova rovice Pokud by áš prostor ebyl izomorfí 11 trojrozměrému afiímu (vektorovému) prostoru, ale prostoru jedorozměrému (přímce), abývala by stacioárí Schrödigerova rovice jedodušší tvar d Ψ( x) Vx ( ) Ψ( x) = EΨ( x), (5-9) m dx který se obvykle azývá jedorozměrou stacioárí Schrödigerovou rovicí. Praktický výzam rovice (5-9) můžeme spatřovat v ěkolika směrech : a) Popisuje modelový systém částice vázaé a přímku. Teto systém kvalitativě vystihuje základí "kvatové" rysy trojrozměrého světa, je však matematicky výrazě jedodušší ež odpovídající model trojrozměrý. Vždyť ústředí rovice popisující kvatováí eergie je tetokrát obyčejou difereciálí rovicí druhého řádu, lieárí, ač e s kostatími koeficiety. Oprávěě tedy můžeme očekávat, že ámaha vyaložeá a její řešeí bude mohem meší ež v obecém trojrozměrém případě. 9 Teto požadavek bychom měli ejspíše azvat "pozávacím zameím", eboť ve skutečostijesituacepoěkud složitější. Bohužel ezalost matematického aparátu ám edovoluje hlubší aalýzu tohoto problému. Pro aše účely je podmíka vyjádřeá ásledujícím vztahem vhodým zjedodušeím. 10 Z liearity stacioárí Schrödigerovy rovice a homogeity obou typů okrajových podmíek vyplývá, že příslušá vlová fukce je určea až a multiplikativí (obecě komplexí) kostatu. Tu můžeme určit apříklad ormováím alezeé vlové fukce k jedičce. Ovšem stav částice určuje stejě dobře kterákoliv z eormovaých vlových fukcí řešících stacioárí Schrödigerovu rovici s kokrétí přípustou volbou eergie. Je tedy rozumé ztotožit stav částice s jedorozměrým komplexím vektorovým prostorem všech eormovaých vlových fukcí. 11 Alespoň lokálě
Kapitola 5-6 - b) Jak uvidíme později, i speciálí trojrozměré systémy je možo po jistých úpravách popsat rovicí typu (5-9). Jedorozměrý model eí tedy ryze akademický, setkáme se s ím i při studiu realistických fyzikálích systémů. Řešeí rovice (5-9) hledáme jako dvakrát spojitě diferecovatelé, je-li fukce V(x) spojitá. V obecějším případě, s ímž se můžeme setkat, kdy je fukce V(x) pouze po částech spojitá 1, hledáme toto řešeí jako spojitou fukci (evetuálě se spojitou prví derivací) po částech dvakrát spojitě diferecovatelou a. Vše ostatí, co bylo řečeo o matematické struktuře trojdimezioálí Schrödigerově rovici, zejméa o klasifikaci spekter, zůstává po epatrých modifikacích 1 v platosti i v jedorozměrém případě. Nestacioárí Schrödigerova rovice [1] str. 159-165 [] str. 4-48, str. 6-68 Nestacioárí Schrödigerova rovice Stacioárí Schrödigerova rovice popisuje přípusté eergie systému a jim odpovídající vlové fukce. Neříká však ic o tom, jak se bude systém vyvíjet, pokud jej a počátku připravíme v libovolém fyzikálě realizovatelém stavu (reprezetovaém kvadraticky itegrovatelou vlovou fukcí). Cílem tohoto odstavce je dát odpověď právě a tuto otázku. Podle pricipu superpozice je možo libovolý realizovatelý stav systému získat jako lieárí superpozici moochromatických (stacioárích) stavů. Ve speciálím případě jedočásticového systému s čistě diskrétím edegeerovaým spektrem (tvořeým eergiemi E, kterým odpovídají vlastí fukce Ψ ) 14 to zameá, že pro libovolou kvadraticky itegrovatelou vlovou fukci můžeme psát i ψ( r, t) = ( r)exp æ ö å Ψ ç E t. (5-10) è ø Protože evolučí rovice musí obsahovat časovou derivaci vlové fukce, derivujme podle času vztah (5-10). Získáme tak ψ( r, t) å i i = E ( r)exp æ ö Ψ ç E t. (5-11) è ø Ovšem podle předpokladu je Ψ řešeím stacioárí Schrödigerovy rovice a musí tedy platit relace (5-6), v íž doplíme ezbytý idex. Proto je možo (5-11) přepsat a tvar 1 eálou fukci reálé proměé azýváme po částech spojitou a, je-li tato fukce spojitá a koečém sjedoceí otevřeých itervalů, které po vzájemém sjedoceí a přidáí jejich krajích bodů dají celé. 1 Pouze trojrozměrou itegraci přes je uto ahradit itegrací a reálé ose a mírě modifikovat závěry pozámky 6, což poechejme čteáři jako jedoduché cvičeí. 14 Výsledky získaé pro teto speciálí systém je možo sado rozšířit i a obecý jedočásticový systém a akoec i a systémy mohočásticové. Speciálích předpokladů se podržíme pro přehledost zápisu.
Kapitola 5-7 - ψ( r, t) å i ì ü = í Ψ ( r) + V( r) Ψ ( r) ýexp m î i E t i ì i i i = ( r)exp æ ö ü í Ψ ç E t ý V ( r) Ψ( r)exp æ ç E t m è ø è î å æ ö ç = è ø þ þ å ö ø (5-1) Po úpravách a započteí (5-10) získáme akoec i ψ( r, t) = ψ ( r, t) + V( r) ψ( r, t), (5-1) m tedy slavou estacioárí Schrödigerovu rovici 15. Nestacioárí Schrödigerova rovice jako matematický problém Nestacioárí Schrödigerova rovice je lieárí parciálí difereciálí rovicí pro komplexí fukci čtyř proměých. ruhého řádu v prostorových a prvího řádu v časové proměé. Její řešeí hledáme jako fukci, která je spojitě diferecovatelá podle času a podle chováí poteciálu miimálě spojitá (resp. jedou spojitě diferecovatelá) a po částech dvakrát spojitě diferecovatelá podle prostorových proměých. Má-li popisovat fyzikálě realizovateléhou časovou evoluci jedočásticového systému, musí vlová fukce ψ v každém časovém okamžiku splňovat okrajovou podmíku ψ( r, t) d r <+. (5-14) K jedozačému řešeí estacioárí Schrödigerovy rovice je uto díky přítomosti časové derivace zadat avíc ještě tzv. počátečí podmíku. ψ(r,t=0) = ψ 0 (r), (5-15) kde ψ 0 je libovolá kvadraticky itegrovatelá a dvakrát (evetuálě po částech) diferecovatelá fukce. Tato fukce zadává stav systému, v ěmž jsme jej připravili a samotém počátku sledovaého vývoje. Teto počátek jsme bez újmy a obecosti položili do času 0. Vyřešeím estacioárího problému (5-1) - (5-15) pak získáme úplou iformaci o tom, jak se bude zadaá počátečí podmíka vyvíjet v čase. á se ukázat, že řešeí rovice (5-1) s užitím okrajové podmíky (5-14) a počátečí podmíky (5-15) je určeo jedozačě. Obecé řešeí estacioárí Schrödigerovy rovice Nestacioárí Schrödigerova rovice ma velmi složitou matematickou strukturu a vyřešit ji v obecém případě pro libovolou zadaou počátečí podmíku je zpravidla možé je s pomocí sofistikovaých umerických metod. V každém případě se však abízí teoretická 15 Podobě jako ve stacioárím případě můžeme i yí sado apsat estacioárí Schrödigerovu rovici pro "jedorozměrý svět" i ψ( xt, ) ψ( xt, ) = + Vx ( ) ψ( xt, ). m
Kapitola 5-8 - možost zvládutí tohoto problému. Ozřejměme si ji a případě jedočásticového systému s čistě diskrétím edegeerovaým spektrem. Obecé řešeí estacioárí Schrödigerovy rovice můžeme vždy rozložit do řady podle vlastích fukcí podle vztahu (5-10). Budeme-li předpokládat, že použité vlastí fukce jsou ormováyk jedičce, musíme vztah (5-10) přepsat a å i ψ( r, t) = A ( r)exp æ ö Ψ ç E t è ø, (5-16) kde A jsou zatím ezámé komplexí kostaty, které určíme je z počátečí podmíky. Musí totiž platit ψ 0 ( r) = å A Ψ ( r). (5-17) Neí to sadé, ale dá se ukázat, že vlastí fukce příslušející diskrétí části spektra splňují, jsou-li ormováy k jedičce, ásledující relaci Ψ ( r) Ψm ( r) d r =δ m. 16 (5-18) 16 Nesadý je pouze obecý důkaz ásledující idetity. Nicméě v moha kokrétích případech, s imiž se později setkáme, ebude její ověřeí čiit žádé potíže. Kokrétí výpočty si tedy poechejme do ásledujících kapitol. Velmi zajímavá může být však alespoň zběžá iterpetace vztahu (5-18). ealizovatelý stav systému ve vlové mechaice popisujeme kvadraticky itegrovatelou fukcí. V řeči dodatku II předcházející kapitoly fukcí z L ( ). V teorii tzv. Hilbertových prostorů se dokazuje, že L ( )je lieárí vektorový prostor ekoečé dimeze. Na tomto prostoru je možo zavést skalárí souči defiovaý vztahem ϕψ ϕ ( r) ψ ( r) d r. Ukažte sami, že uvedeá formule splňuje axiomy skalárího součiu, které záte z lieárí algebry. Sad až a aprosto epodstatou změu při vytýkáí komplexího čísla z prvího resp. druhého čiitele ámi defiovaého skalárího součiu, která je typická pro fyzikálí koveci. Nedejte se zmýlit pro matematiky ezvyklým ozačeím skalárího součiu. Tuto tzv. bra-ketovou symboliku zavedl do kvatové teorie geiálí aglický fyzik irac a již dlouho je ostatími fyziky všeobecě akceptováa. Vraťme se však k ašemu tématu. V zavedeé symbolice můžeme vztah (5-18) přepsat a Ψ Ψ m =δ m. Jiými slovy: řešeí stacioárí Schrödigerovy rovice pro systém s čistě diskrétím edegeerovaým spektrem jsou v defiovaém skalárím součiu avzájem kolmá a tvoří ortoormálí systém a L ( ). Sado bychom ověřili, že tomu tak je i pro spektrum degeerovaé. Protože každou fukci z L ( ) je možo rozložit do řady typu (5-17), jsou tyto vektory vlastě jakousi "ortoormálí bází" a L ( ). Jak jsme tyto vektory získali? Řešeím rovice (5-6). Tu je možo přečíst tak, že aplikací jistých operací a levé straě vztahu a příslušou vlovou fukci se tato fukce až a jakýsi multiplikativí faktor reprodukuje. Ozačíme-li symbolicky H /( m) + V( r ),můžemestacioárí Schrödigerovu rovici přepsat do tvaru HΨ = E Ψ,
Kapitola 5-9 - Aplikací idetity a (5-17) získáme pak vyjádřeí pro kostaty A A = Ψ ( r) ψ 0 ( r) d r. (5-19) Jak se zdá, máme řešeí estacioárí Schrödigerovy rovice určeo počátečí podmíkou jedozačě. Zbývá tedy ověřit, že je splěa i podmíka okrajová. Ovšem s pomocí vztahu (5-18) sado ahlédeme, že platí ψ( r, t) d r ψ ( r, t) ψ( r, t) d r= A. (5-0) Bude-li tedy fukce ψ splňovat podmíku (5-14) v čase t=0 (a to ovšem předpokládáme, eboť vlová fukce ψ 0 reprezetuje fyzikálě realizovatelý stav), bude ji splňovat i ve všech ostatích časech. Navíc, bude-li počátečí podmíka ψ 0 ormalizováa k jedičce, bude taková i fukce ψ v každém čase. Kvatově-mechaický determiismus Pro klasickou mechaiku je přízačý determiistický popis studovaých systémů, který ejlépe vystihuje volě parafrázovaý Laplaceův výrok - "Zadejte mi počátečí polohy a rychlosti všech částic ve vesmíru a já vám určím jeho budoucost". To, že jde o tvrzeí velmi adeseé, jsme již částečě diskutovali v předcházející kapitole, kdy jsme zdůrazili, že každé "zadáí počátečích podmíek vesmíru" je utě zatížeo experimetálími chybami, tedy Laplaceova předpověď může být pouze přibližá 17.Přesto se idea takto formulovaého determiismu, který azvěme klasickým, stala ústředím bodem celé klasické fyziky. å který ápadě připomíá rovici pro vlastí hodoty čtvercové matice, kterou rověž záte z lieárí algebry. Víte také, že čtvercová matice je speciálí reprezetací lieárího zobrazeí vektorového prostoru do sebe sama. Pochopitelě i operace a levé straě rovice (5-6) (které jsme si ozačili speciálím symbolem H ), zadávají rověž jakési lieárí zobrazeí prostoru L ( ) do sebe sama. Vzpomeňte si dále a větu o spektrálím rozkladu hermitovských matic, která říká, že vlastí vektory hermitovské matice jsou ortogoálí a po evetuálí ormalizaci tvoří astudovaém(koečědimezioálím) vektorovém prostoru ortoormálí bázi. Přestože ekoečá dimeze prostoru L ( ) situaci poěkud komplikuje, obdobou větu je možo zformulovat i pro jistým způsobem "hermitovské" operátory a ěm. Jistě vás epřekvapí, že výše zavedeý operátor H je jedím z ich. 17 Kromě zatížeí počátečí podmíky experimetálími chybami má Laplaceova idea i další problematické rysy. Především Laplace vycházel z klasické Newtoovy mechaiky, která je "tvořea" pohybovými rovicemi a již zmíěými počátečími podmíkami. Zatímco počátečí podmíky vkládáme do teorie z vějšku jako změřeá čísla, pohybové rovice mají tvar obecých zákoů, které jsou platé pro všechy mechaické systémy. I oy však obsahují experimetálí vstupy - charakteristiku vzájemých iterakcí částic prostředictvím sil resp. fukcí poteciálí eergie (poteciálů), které jsou však utě taky zatížey experimetálími chybami. Jak se ukázalo později (zejméa v tomto století), ěkdy tyto chyby mohou způsobit, že o korétích trajektoriích studovaých částic toho moho říci emůžeme. Je zde ovšem ještě problém techický, eboť pokud bychom chtěli řešit apříklad byť je epatrou část vesmíru - kapku vody - zcela v duchu klasické mechaiky, museli bychom ajít pro daou počátečí podmíku řešeí soustavy zhruba 10 eliárích difereciálích rovic. A to eí ai des, v dobách velmi výkoých počítačů, možéazřejmě ai ikdy možé ebude. Navíc by asi byly potíže se zadáím počátečí podmíky, kterou by v tomto kokrétím případě tvořilo asi 10 4 čísel. Takže apříklad při obvyklé reprezetaci reálého čísla 64 bity paměti použitého počítače bysejedalooějakých 10 5-10 6 bitů, čili řádově o10 0 megabytů.
Kapitola 5-10 - Odmyslíme-li si však poext, který determiistickému pojetí přírodích jevů dal Laplaceův výrok, alezeme aprosto přijatelý požadavek, aby každá fyzikálí teorie byla budováa tak, že zadáme-li přesě stav studovaého systému v ějakém kokrétím okamžiku, budeme moci určit přesě jeho stav v kterémkoliv okamžiku budoucím (a zpětě i miulém). Všiměte si ovšem, že stav systému ijak kokrétě especifikujeme. Jeho vymezeí je zcela v kompeteci kokrétí teorie, kterou budeme, je-li splěa právě formulovaá podmíka, azývat determiistickou. Takovou je apříklad klasická mechaika. Ale též mechaika vlová. ozdíl je pouze v tom, jak podrobě charakterizujeme výchozí stav systému. Pro odlišeí od klasického pojetí se typ determiismu vyplývající ze Schrödigerovy teorie azývá kvatovým. 5. Souvislost mezi vlovou a klasickou mechaikou [] str. 54-6 ruhý Newtoův záko 18 Podle druhého Newtoova zákoa, který je výchozím bodem klasické mechaiky hmotého bodu, se poloha bodové částice měí tak, že její zrychleí je v každém okamžiku přímo úměré působící síle. Platí tedy vektorová rovice F =ma, (5-1) kde F je působící síla, m hmotost a a zrychleí studovaé částice. Předpokládáme-li, že příslušé silové pole má poteciál V(r) (-gradv=f ), můžeme rovici (5-1) přepsat a tvar r grad V( r) = m d. (5-1') Jak jsme si ukázali v předcházející kapitole, roli polohy bodové částice hraje ve vlové mechaice její středí hodota, v případě ormovaé vlové fukce defiovaá vztahem (4-0). Podívejme se, co o závislosti této veličiy a čase říká estacioárí Schrödigerova rovice. erivací vztahu (4-0) podle času sado získáme Taková však eí ai souhrá kapacita všech paměťových médií a Zemi. Pokud bychom áhodou podobou sumu iformací přece je shromáždili, měli bychom zcela jistě potíže s jejich přeosem. Tak apříklad pokud bychom počítali s přeosem těchto dat během eskutečé doby jedoho roku, museli bychom dosáhout erealizovatelé přeosové rychlosti kolem 10 1 megabytů za sekudu. 18 říve ež se začtete do ásledujících řádků, zopakujte si vše, co víte o difereciálích operátorech (div, grad, ) a o Gaussově (Gauss-Ostrogradského) větě. Bez patřičé zalosti těchto pojmů ebude pro vás povídáí o druhém Newtoově zákoě průchodé. Na druhé straě chápejte zde používaou matematiku pouze jako prostředek k dosažeí výsledku, jehož fyzikálí iterpretace bude aším hlavím cílem. Sažte se, aby se teto cíl eztratil v temých matematických zákoutích.
Kapitola 5-11 - dr æ ψ = r + ç è ψ ψ ö ψ d r ø, (5-) kde hvězdičkou ozačujeme komplexí sdružeí. Po dosazeí za časové derivace z estacioárí Schrödigerovy rovice máme okamžitě dr ( ψ ψ ψ ψ) = r im d r. (5-) Je pouhým cvičeím z vektorové aalýzy ukázat, že ψ x ψ ψ x ψ(div ψ ) = div x ψ ψ ψ x ψ. ψ ( ) k k k k x k (5-4) a aalogicky ψ x ψ ψ x ψ(div ψ ) = div x ψ ψ ψ x ψ. ψ ( ) k k k k x k. (5-4') osazeím těchto vztahů do (5-) dostaeme po jedoduchých úpravách 19 dr ( ) = ψgradψ ψ gradψ d r, (5-5) im 19 Kromě uvedeých čleů by měla pravá straa ásledujícího vztahu obsahovat ještě čley typu ( k ) div x ψgradψ d r. (i) Ovšem podle Gaussovy věty můžeme pro dostatečě hladké vektorové pole A(r) psát divad r = lim A. dσ, r + Kr ( ) kde K(r) je kulová plocha o poloměru r a = r/r vektor vější ormály k í. Symbole dσ jsme ozačili povrchovou míru, která má pro kulový povrch ve sférických souřadicích tvar dσ =r si(θ) dθ dφ. Neuvažujme pro tuto chvíli závislost studovaých fukcí a úhlových proměých, která je zde zcela irelevatí. Pak z paragrafu věovaého stacioárí Schrödigerově rovici víme, že v asymptotické oblasti velkých r vlová fukce závisí a vzdáleosti od počátku zhruba jako ψ 1, kde α > /. Totéž pochopitelě α r platí i o jejím komplexím sdružeí. Itegrál (i) přepišme podle Gaussovy věty a lim x ψgradψ. dσ, + r k Kr ( ) přičemž sado zjistíme, že uvažovaý plošý itegrál závisí a r jako 1/r. Příslušá limita je tedy ulová a teto čle eí třeba v dalším uvažovat.
Kapitola 5-1 - přičemž teto vztah je možo ještě dále upravit a koečý tvar 0 dr = ψ gradψd r. (5-6) im Je jistě zajímavé si povšimout, že ze vzorce (5-6) dostáváme pro středí hodotu hybosti vztah p r m d = ψ ( i grad ) ψd r, (5-7) který je ekvivaletím vyjádřeím (4-). Podobým postupem bychom po jistém úsilí určili i druhou časovou derivaci středí polohy částice. Získali bychom tak zajímavý vztah m d r = ψ { gradv r } ( ) ψ d r, (5-8) který říká, že středí hodota zrychleí bodové částice je úměrá středí hodotě a i působící síly. A to zcela podle druhého Newtoova zákoa. V případě silě lokalizovaé vlové fukce přechází pak vztah (5-8) s pomocí věty o středí hodotě a druhý Newtoův záko, jak jej záte z klasické mechaiky. Je-li totiž v daém čase vlová fukce eulová je a blízkém okolí bodu a a tomto okolí se poteciál ai jeho gradiet příliš eměí, můžeme přibližě (avšak s dostatečou přesostí) psát vzhledem k ormováí vlové fukce ψ a { } { } ψ gradv( r) ψd r gradv( ) ψ ψd r= gradv( ) rψ ψ r ψ d ψd r =. 0 Sado ahlédeme, že ( ψ ψ ψ ψ) r = ( ( ψ ψ ) ψ ψ) grad grad d grad grad d r a s pomocí podobých úvah jako v pozámce 0 ukážeme, že prví itegrad a pravé staě uvedeého výrazu po provedeí itegrace vypade. K tomu použijeme modifikaci Gaussovy věty gradφd r = lim r + Kr ( ) φdσ.
Kapitola 5-1 - Hamilto-Jacobiho rovice 1 Přepišme estacioárí Schrödigerovu rovici do ového tvaru s pomocí ové komplexí fukce S prostorových proměých a času, kterou defiujeme pomocí vlové fukce ψ vztahem æ i ö ψ( r, t) = exp ç S ( r, t ). (5-9) è ø Po dosazeí do (5-1) získáme po sadých úpravách S 1 = ( ) + m grad S V i m S, (5-0) což je až a posledí čle a pravé straě Hamilto-Jacobiho rovice zámá z klasické mechaiky. Pokusme se adbytečý čle z pravé stray (5-0) odstrait. K tomuto účelu rozveďme fukci S do řady podle moci Plackovy kostaty, kokrétě k + æ ö S( r, t) = å ç Sk ( r, t). (5-1) è i ø k= 0 osazeím do (5-0) a porováím čleů stojících a obou straách u stejých moci Plackovy kostaty získáme ásledující řetězec rovic S0 1 = ( ) + m grad S V 0 (5-) S1 1 = { ( grad S 0).( grad S1) + S0} atd. (5-') m Prví z těchto rovic je již správá Hamilto-Jacobiho rovice. Popisuje zcela zřejmě vlově-mechaickou evoluci studovaé vlové fukce v přiblížeí ultého řádu vzhledem k mociám Plackovy kostaty. Jí reprezetovaá klasická mechaika je tedy přiblížeím ultého řádu Schrödigerovy vlové mechaiky. Nultý čle rozvoje (5-1) takto odpovídá klasické akci systému v souřadicové reprezetaci. Započteí prvích dvou čleů v rozvoji (5-1) (obsahujících S 0 as 1 řídících se rovicemi (5-) a (5-')) získáme tzv. kvaziklasické přiblížeí, které eí ičím jiým ež přiblížeím Schrödigerovy teorie prvího řádu. Po aalýze, která přesahuje aše možosti, bychom zjistili, že výsledky tohoto přiblížeí jsou idetické s těmi, které poskytuje Sommerfeld- Wilsoova kvatovací podmíka! 1 Z kursu teoretické mechaiky víte, že pohybovou rovici pro hmotý bod můžete zapsat jako parciálí difereciálí rovici pro účiek, která ese po svých tvůrcích ázev Hamilto-Jacobiho. Zopakujte si vše, co o této rovici víte. Velmi zdařile je teto problém popsá v učebici Ladauově a Lifšicově (Teoretičeskaja fizika I - Mechaika) či v kize Brdičkově a Hladíkově (Teoretická mechaika).
Kapitola 5-14 - 5.4 ovice kotiuity [1] str. 165-168 [] str. 6-65 V klasické teorii pole, kdy studovaý systém popisujeme jedou či ěkolika fukcemi defiovaými a vymezeé oblasti prostoru, hraje výzamou roli tzv. rovice kotiuity, kterou zpravidla zapisujeme v difereciálím tvaru ρ + divj = 0, (5-) kde ρ je objemová hustota ějaké veličiy a j její plošý tok. Přímou fyzikálí iterpretaci má pak její itegrálí tvar, který získáme itegrací (5-) přes ějakou prostorovou oblast Ω. Po aplikaci Gaussovy věty pak můžeme psát d ρ d r+ j. dσ = 0 Ω Ω, (5-') kde se plošý itegrál počítá přes hraici oblasti Ω, kde jsme ozačili dσ plošou míru a í a vektor její vější ormály. Vztah (5-'), vzhledem k defiici toku j, říká, že se změa veličiy popsaé hustotou ρ a obsažeé v oblasti Ω rovátomu,codotétooblastipřiteče či zí oeče. Jde tedy o záko zachováí příslušé veličiy. Vlovou fukci můžeme jistě pokládat za (komplexí) pole defiovaé a celém prostoru. Platí i pro i ějaký záko zachováí typu (5-)? Při hledáí odpovědi a tuto otázku musíme opět vyjít z estacioárí Schrödigerovy rovice. Z í totiž pro kvadrát absolutí hodoty vlové fukce ψ plye ψ ( ψ) ( ψ ψ ψ ) + ψ im = 0, (5-4) což po užití vektorové idetity f g = div( f gradg) gradf. gradg aplikovaé a ψ a ψ dává ψ ( ψ) ( ψ gradψ ψgradψ ) ì + diví îim ü ý = 0. (5-5) þ Teto vztah ovšem abývá stadardí tvar rovice kotiuity, zavedeme-li ρ = ψψ (5-6) Teorie kotiua a hydrodyamika, Maxwellova teorie elektromagetického pole.
Kapitola 5-15 - a j = im ( ψ gradψ ψgradψ ). (5-7) Jeho fyzikálí iterpretace je rověž asadě vzhledem k iterpretaci ρ jako hustoty pravděpodobosti alezeí částice v daém místě prostoru. ovice (5-5) abývá po itegraci tvar d ( ) ì ü ( ψ ψ) d r + lim í ψ gradψ ψgradψ ý. dσ = 0, (5-8) r + im K( r) î kde ve druhém itegrálu itegrujeme přes kulovou plochu o poloměru r. Jedotkový vektor vější ormály k í jsme stadardě ozačili a míru a í dσ. Podle pozámky 0 je však druhý čle a levé straě (5-6) ulový. Z rovice kotiuity tedy vyplývá, že časová evoluce vlové fukce podle estacioárí Schrödigerovy rovice eměí její ormalizaci. Tak apříklad bude-li počátečí podmíka ψ 0 ormovaá k jedičce, bude taková v jakémkoliv i samotá vlová fukce. þ Ke stajému výsledku jsme dospěli již dříve při studiu chováí obecého řešeí estacioárí Schrödigerovy rovice - viz vztah (5-0).
Příklady ke kapitole 5-16 - Příklady 1) Napište stacioárí a estacioárí Schrödigerovu rovici pro a) lieárí harmoický oscilátor, b) prostorový harmoický oscilátor, c) abitou bodovou částici v Coulombově poli s bodovým cetrem v počátku souřadic, d) bodovou částici v homogeím gravitačím poli, e) bodovou volou částici, f) elektro v poli elektrického dipólu. ) Určete středí hodotu hybosti částice ve stavu reprezetovaém Gaussovým miimalizujícím vlovým balíkem (4-6) podle (4-) a (5-7) a výsledky porovejte. ) Zopakujte odvozeí provedeé v odstavci 5. pro jedorozměrou estacioárí Schrödigerovu rovici. 4) ovice kotiuity v jedorozměrém případě má tvar ρ j + =0. x Podejte její iterpretaci jako zákoa zachováí. Ukažte, že podobou rovici je možo odvodit pro hustotu pravděpodobosti vlové fukce v jedorozměrém případě. Ukažte, že i jedorozměrá estacioárí Schrödigerova rovice zachovává ormalizaci vlové fukce. 5) Ukažte, že tok pravděpodobosti (5-7) je reálý vektor. Propočítejte si i příklady z [1] str. 177-178.