K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební tet, erze 0 IV. Relatiistiká kinematika Leoš Dořák, MFF UK Praha, 05 IV. Relatiistiká kinematika IV.. Důsledky Lorentzoy transformae Odození Lorentzoy transformae a jejíh lastností jsme minulé kapitole ěnoali dost místa a energie. Máme tak šak rukou prostředek, s jehož pomoí teď můžeme ryhle ododit a přesněji rozebrat řadu důležitýh ýsledků speiální teorie relatiity. a) Skládání ryhlostí Nehť se částie nebo obeně nějaký signál pohybuje ůči systému S ryhlostí u její složky budeme značit u, u y, u z. Jaké budou složky její ryhlosti u, u y, u z ůči systému S? Zřejmě platí y z u, uy, uz, t t t respektie, pokud pohyb částie není ronoměrný, u lim,... t t0 (IV.) (IV.) Ryhlost je totiž rona přírůstku dráhy dělenému přírůstkem času (a podobně pro složku ryhlosti) a pro okamžitou ryhlost musíme limitoat časoý interal k nule podstatné zde ošem je, že systému S musíme užíat práě časoou souřadnii tohoto systému (tedy t ) a žádnou jinou. Počítat např. s hodnotou by edlo jen ke zmatkům. t Z Lorentzoy transformae (III.3) pro rozdíly souřadni již složky () lehe spočteme. Dělíme-li yjádření (tj. III.43.a) yjádřením t (III.43.d), dostááme t t t t t. (IV.3) Uědomíme-li si, že u resp. že tato ronost platí limitě t 0 (a přitom t t 0 t 0), můžeme (3) limitu proést a s yužitím () získat ýsledek Podobně ze ztahu u y y a yjádření t je u u (IV.4.a) y t a po limitoání t 0, t 0 pak y y t t t
K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební tet, erze 0 IV. Relatiistiká kinematika Leoš Dořák, MFF UK Praha, 05 Stejně se transformuje složka u z. u y uy u (IV.4.b) Poznamenejme, že úodníh ýkladeh STR se často uádí jen transformae ryhlosti e směru osy, čímž se může naodit mylná předstaa, jako by se ryhlost kolmém směru neměnila podobně jako se nemění zdálenost. Změna ryhlosti je tu ošem dána změnou přírůstku času. Inerzní transformae k transformaím (4) z nih samozřejmě získáme změnou znaménka (uědomte si znou proč!): u u y u u uy u (a) (b) (IV.5) a analogiky pro u z. Zejména ztah (5.a) býá často populárnější literatuře označoán jako zore pro skládání ryhlostí teorii relatiity. (Skládání ryhlostí ošem lastně popisují šehny ztahy (4) a (5).) Připomeňme, že stejný ztah yšel i při skládání dou speiálníh Lorentzoýh transformaí (iz (III.35)); oba ýsledky jsou tedy konzistentní. Ze ztahů (4) a (5) pro transformai ryhlostí teď ododíme tři důležité důsledky: i) ryhlost sětla je stejná e šeh ineriálníh systémeh To, že Lorentzoy transformae opradu yhoují prinipu konstantní ryhlosti sětla, jsme již oěřili ýše. Teď se nabízí jiná metoda oěření: Spočtěte hodnotu u u u íte-li, že u u u y z. Jinou možností (pro sětelný paprsek pohybujíí se roině y) je zít u y sin a spočítat u u. y y z u os, Tyto krátké ýpočty ponehááme čtenáři jako malé ičení a stejně tak i to, aby si uědomil jejih interpretai. ii) aberae sětla Soustaa S nehť je spojena se zdrojem sětla (hězdou), soustaa S s pozoroatelem na Zemi. Je-li úhel, který soustaě S sírá sětelný paprsek se směrem ryhlosti (tedy i s osou ) roen, iz obr.iv., je u sin, u sin. (IV.6) y y
K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební tet, erze 0 IV. Relatiistiká kinematika Leoš Dořák, MFF UK Praha, 05 Pro úhel, který paprsek sírá s osou a dosazení (6) a úpraě pak konečně Obr. IV.. K odození aberae sětla tg soustaě S, platí sin os uy tg a po yužití (4) u, (IV.7) ož je přesný relatiistiký ztah pro aberai sětla. Je z něj zřejmé, že pro 0 je sin tg tg, čili, tj. objekti dalekohledu se musí obeně ždy sklonit e os směru ryhlosti pohybu S ůči S. Vidíme, že k ysětlení aberae sětla nepotřebujeme éteroou teorii. Pro malé ryhlosti 4 (při pohybu Země kolem Slune, tj. pro 0 ) dáal ošem ztah (II.9) éteroé teorie ýsledek shodný s pozoroáním. Je tedy na místě oěřit, zda pro tyto ryhlosti ede i relatiistiký ztah (7) ke shodným ýsledkům. Pro zřejmě můžeme (7) zanedbat člen s ot g než s tg ; ze (7) po zmíněném zanedbání plyne os, z čehož sin sin (oproti ). Dále je jednodušší praoat os otg sin otg otg. (IV.8) sin Pro je ošem blízké, tj. je malé:. Pak lze psát d otg otg otg. Poronání s (8) pak dáá d sin sin, tedy ýsledek shodný se ztahem (II.9) éteroé teorie a tedy i ýsledek potrzený pozoroáním. 3
K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební tet, erze 0 IV. Relatiistiká kinematika Leoš Dořák, MFF UK Praha, 05 iii) strháání sětla V kapitole II. jsme uedli ještě jeden pokus, jehož ýsledek byl souladu s předpoědí éteroé teorie: Fizeaů pokus. (Jeho ýsledek se éteroé teorii interpretoal jako částečné strháání éteru.) Speiální teorie relatiity musí samozřejmě ýsledek pokusu také ysětlit. Připomeňme, že e Fizeauoě pokusu se kapalina o indeu lomu n pohybuje trubií ryhlostí. Sětlo se ůči kapalině pohybuje ryhlostí n; pokusu se pak měří ryhlosti sětla (e směru proudění kapaliny) ůči přístroji. Speiální teorie relatiity umožňuje tuto ryhlost spočíst elmi jednoduše: nehť S je soustaa spojená s přístrojem, S s proudíí kapalinou. V S je u n. Ryhlost ůči přístroji pak udáá ztah (5.a). Po úpraě pro z něj plyne: u n n n n n n. Při úpraě jsme zanedbáali členy řádu oproti, resp. oproti. Vidíme, že pro malé n ryhlosti dáá teorie relatiity stejný ýsledek jako éteroá teorie. Naí umožňuje bez dalšíh předpokladů ododit hodnotu Fresneloa strhoaího koefiientu. Z hlediska teorie relatiity je tedy strháání sětla projeem relatiistikého skládání ryhlostí a Fizeaů pokus jeho potrzením. b) Kontrake délek Uažujme ineriální systém S pohybujíí se ryhlostí ůči ineriálnímu systému S ( standardním způsobem) a tyč délky l 0, která je klidu ůči systému S (a má směr osy, iz obr.iv.). l 0 je délka měřená soustaě S. Obr. IV.. K odození kontrake délek: délka tyče soustaě S Pro souřadnie a konů tyče S tedy platí l. (IV.9) 0 Jakou délku tyče naměří pozoroatelé soustaě S? K odpoědi na tuto otázku musíme nejpre určit, jak měřit délky pohybujííh se předmětů. U předmětů, které jsou ůči dané soustaě klidu, je to jednoduhé: přiložíme k nim měřítko, označíme na něm začátek předmětu (např. tyče) a jeho kone. Rozdíl údajů měřítka odpoídajííh koni a začátku je délkou předmětu ostatně takto yjadřuje měření délky i ztah (9). 4
K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební tet, erze 0 IV. Relatiistiká kinematika Leoš Dořák, MFF UK Praha, 05 Jak ale určit délku předmětu, který se ůči měřítku pohybuje, klouže podél měřítka? Zřejmě to jde naprosto stejně jako u stojíího předmětu, jen musíme dát pozor na to, kdy budeme na měřítku označoat začátek a kone předmětu: pokud byhom nejpre označili začátek, pak híli počkali a tepre potom označili kone, bude yznačená délka záiset na tom, jak dlouho jsme s označením kone áhali a stěží byhom tedy takoéto měření mohli poažoat za spráné. Zřejmě nejlepší možný způsob je označit začátek a kone předmětu na měřítku současně. A protože čas záisí na soustaě souřadni, musíme toto konstatoání speifikoat ještě přesněji: současně soustaě spojené s měřítkem neboť to znamená současně pro nás pozoroatele, kteří měření proádíme a jsme ůči měřítku klidu. Teoretiky by šlo měření proést tak, že podél měřítka by byla řada pozoroatelů (stojííh ůči měřítku), kteří by měli synhronizoané hodiny a dohodli se, že např. přesně e 3 hodiny ti da z nih, které bude práě míjet začátek a kone předmětu, yznačí tyto polohy na měřítku (iz obr.iv.3). Obr. IV.3. K odození kontrake délek: měření délky tyče ze soustay S Samozřejmě to předpokládá, aby rozestupy pozoroatelů byly menší než požadoaná přesnost měření; teoretiky si ošem lze předstait, že pozoroatelé mohou být rozmístěni liboolně hustě. Výše popsaná metoda měření je jistě idealizoaná. Hodí se šak elmi dobře k analýze situae a liboolnou realistikou metodu, např. fotografoání tělesa pohybujíího se před měřítkem apod., s ní lze dobře poronáat. Předeším nám šak říká, o ůbe máme hápat jako délku pohybujíího se předmětu. Všihni se jistě shodneme na tom, že současné (z hlediska měřítka) označení začátku a kone předmětu je z hlediska pozoroatelů stojííh ůči měřítku nejlepším resp. nejrozumnějším možným ymezením délky předmětu. Nyní již můžeme ododit, jakou délku pozoroatelé S naměří. Pro souřadnie začátku a kone délky tyče platí ztahy Lorentzoy transformae (iz (III.30)) t t,, (IV.0) kde t a t jsou časy yznačení začátku a kone tyče (tato yznačení jsou událostmi a ). Při měření soustaě S je ošem t t, jak jsme zdůodnili ýše. Odečtením ztahů (0) je pak 5
K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební tet, erze 0 IV. Relatiistiká kinematika Leoš Dořák, MFF UK Praha, 05 ož, uážíme.li, že, l je délka měření soustaě S, dáá (s yužitím (9)): l l0, (IV.) ož je relatiistiký ztah pro kontraki délek (e směru pohybujíího se předmětu; e směreh kolmýh na směr pohybu samozřejmě k žádné kontraki nedohází.) Tento ýsledek bude již zřejmě řada žáků a studentů znát z populární literatury a sám o sobě tedy pro ně nemusí být překapujíí. Často jej ošem mohou znát e znění pohybujíí se předměty se zkraují a hápat je absolutním smyslu: že se zkraují předměty, které se pohybují zhledem k nějaké absolutní klidoé soustaě. Studenti si mohou tuto soustau intuitině spojoat se Zemí resp. naší Galaií apod. Mohou se pak např. domníat, že raketa pohybujíí se elkou ryhlostí ůči Zemi, se z hlediska Země zkrauje, ale že z hlediska rakety by se samozřejmě jeila Země a šehny předměty na ní protažené. Ošem letí-li raketa s ypnutými motory, je soustaa s ní spojená ineriální. Vzhledem k této soustaě se Země pohybuje, a tedy pozoroatelé raketě naměří Zemi roněž zkráenou poměru. To může žákům a studentům připadat paradoní. Případné námitky tohoto typu by bylo možno ypreparoat třeba do následujíí formulae: Z hlediska pozoroatele S se pohybuje měřítko (které je klidu ůči S) ryhlostí (iz obr.iv.4). Podle speiálního prinipu relatiity jsou systémy S a S ronopráné. Kontrake délek, kterou jsme ododili systému S se tedy musí uplatňoat i systému S! To znamená, že např. tyč, která je klidu ůči S a má S délku metr, naměří pozoroatelé S zkráenou, dlouhou metru. Ošem podle zdraého rozumu se těhto zkráenýh tyčí musí do délky l 0 ejít í než nezkráenýh metroýh tyčí ( klidu ůči S ), které užíají pozoroatelé S. Podle zdraého rozumu by tedy z hlediska S měli pozoroatelé S naměřit tyč, která má S délku l 0 nikoli kratší, ale delší! Obr. IV.4. Kontrake délek z hlediska pozoroatele S Zdánliě je tedy z hlediska S situae nepohopitelná. Problém lze yhrotit do otázky, kterou by si mohl položit pozoroatel S : Jak to, že pozoroatelé S naměří zkráeným metrem moji tyč nikoli prodlouženou, ale zkráenou? 6
K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební tet, erze 0 IV. Relatiistiká kinematika Leoš Dořák, MFF UK Praha, 05 Poznamenejme, že při diskusíh s žáky a studenty by zřejmě bylo hodné soustay S a S konkretizoat a podobně, jako to činil populárnějšíh ýkladeh Einstein, mluit třeba o laku ( soustaě S ), jedouím ryhlostí podél nádraží (soustay S). Situae se tím stane názornější a e ětáh se nebude pořád opakoat (a možná plést) S a S. To, že pozoroatelé S naměří měřítko stojíí ůči S zkráené, je zřejmé a lze to ostatně opět ododit z Lorentzoýh transformaí (tentokrát je ýhodnější yjít z (III.37.a)) je jen třeba si uědomit, že pozoroatelé S označí polohu začátku a kone předmětů e stejném čase t t t. Čtenář si může odození proést sám jako jednoduhé ičení. To, o musíme udělat, je rozebrat měření, proáděná pozoroateli S (pozoroateli na nádraží) z hlediska S (z hlediska laku). Klíčem k pohopení situae je skutečnost, že události, které jsou současné systému S, nejsou obeně současné systému S. Vyjdeme-li ze ztahu (III.37.d) inerzní Lorentzoy transformae t t t, t pak pro t t dostááme t t, čili t t l 0,. (IV.) Z hlediska soustay S tedy pozoroatelé, kteří proádí měření S, nejpre označí na měřítku polohu kone tyče (neboť t t ) a tepre až za dobu danou () označí polohu jeho začátku. Mezitím se ošem měřítko zhledem k S posouá (dolea, iz obr.iv.4) i s yznačeným konem tyče. Než se označí i začátek, posune se o t t. Z hlediska S tedy pozoroatelé S yznačí na měřítku ne délku l 0, ale lyznač. l0 t t l0 l 0 l0. Tuto yznačenou délku pak měří zkráeným (z hlediska S ) metrem zkráeným na délku. Naměří tedy l l yznač. naměř. l 0 tedy přesně tolik, kolik udáá ztah () pro kontraki délek. Pouze popis měření, který byl z hlediska soustay S jednoduhý, je z hlediska S poněkud komplikoanější: to, o je z hlediska S nejlepším možným označením počátku a kone tyče, je z hlediska S označením různýh časeh; naí je yznačená délka měřena zkráeným metrem. Výsledek je ošem tentýž., 7
K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební tet, erze 0 IV. Relatiistiká kinematika Leoš Dořák, MFF UK Praha, 05 Tato situae je teorii relatiity řadě případů typiká: popis danýh jeů, měření apod. je některé ineriální soustaě jednoduhý a názorný, zatímo jinýh může ypadat složitě. Ošem při pečliém a korektním rozboru situae nedohází samozřejmě k žádnému sporu či paradou. Ty jsou jen důsledkem nepřesnýh úah. Přesědčení, že tomu tak opradu je a že pokud doházíme ke zájemně neslučitelným ýsledkům, je hyba nás resp. naših úaháh, získá ošem čtenář až tím, že si sám promyslí různé zdánliě paradoní situae. Práě toto přesědčení je ošem dosti důležité při diskusíh s žáky a studenty, kteří mohou někdy ymyslet situae dosti zamotané. Proto jsme zde ěnoali rozboru jednoho ze zdánliě nepohopitelnýh ýsledků tolik místa. ) Dilatae času Zkoumejme hod ideálníh hodin A, které jsou klidu systému S, z hlediska systému S. (S se pohybuje zhledem k S ryhlostí e směru osy, tak jak je to naših rozboreh obyklé.) Pro tyto dané hodiny je konst. (IV.3) Vztah (III.37.d) inerzní Lorentzoy transformae dá pro čas t (čas soustaě S, tj. čas, který ukazují i námi uažoané hodiny) hodnotu odpoídajíí časoé souřadnie t soustaě S : t t, (IV.4) pro čas t pak t t, (IV.5) přičemž díky (3) je. Odečtením (4) od (5) proto dostane ýsledek t t, (IV.6) kde t t t je přírůstek času na hodináh A a t odpoídajíí přírůstek času S (přírůstek času na hodináh soustay S). Časoý interal t soustaě S je delší než soustaě S, níž hodiny A stojí, proto o ztahu (6) říkáme, že popisuje dilatai času. Čas udáaný ideálními hodinami býá nazýán jejih lastním časem a označoán. O přírůstku času t na hodináh A tedy mluíme jako o přírůstku lastního času těhto hodin: t. Vztah (6 ) pak obykle přepisujeme do taru t který samozřejmě roněž ystihuje dilatai času., (IV.7) 8
K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební tet, erze 0 IV. Relatiistiká kinematika Leoš Dořák, MFF UK Praha, 05 Sloně se ýsledek (7) často yjadřuje formulaí pohybujíí se hodiny se zpomalují. Skutečně, jestliže systému S uplyne sekunda, yplýá ze (7), že přírůstek času (resp. přírůstek údaje) na hodináh A bude jen sekund (tj. méně než sekunda). Uedené sloní formulae není ošem příliš přesná a může ést k falešným předstaám. Zčásti může třeba sugeroat dojem, že eistují nějaké hodiny, které jdou spráně a nezpožďují se zřejmě to jsou nepohybujíí se hodiny, tedy absolutně se nepohybujíí hodiny; a už jsme zpět u absolutního prostoru. Uažujme ošem hodiny B stojíí systému S. Vzhledem k S se tyto hodiny pohybují ryhlostí. Protože systémy S a S jsou ronopráné, musí se hodiny B zpožďoat zhledem k času systému S. (Tj. analogiky k (7) musí být B t). Jinak by byl porušen speiální prinip relatiity. Zpomaloání hodin je tedy relatiní ždy ůči času systému, zhledem k němuž se hodiny pohybují. (Ostatně práě tak tomu bylo s kontrakí délek.) Uedená skutečnost může zpočátku žákům a studentům připadat nepohopitelná. Jejih námitky mohou ykrystalizoat třeba následujíí argumentai: Nehť se hodiny A pohybují ronoměrně přímočaře ůči hodinám B (iz obr.iv.5.a). Obr. IV.5. K dilatai času Podle teorie relatiity se tedy hodiny A ůči hodinám B zpožďují. Ošem z hlediska hodin A to jsou hodiny B, které se pohybují (iz obr.iv.5.b). Podle teorie relatiity by se tedy měly B zpožďoat ůči A. Které hodiny se tedy lastně zpožďují? Z běžného žiota jsme zyklí, že zpožďují-li se např. náramkoé hodinky oproti budíku, budík se naopak proti hodinkám předbíhá. Choání pohybujííh se hodin teorii relatiity se proto e sronání s běžnou zkušeností zdá paradoní. Problém nelze odbýt pouhou poznámkou, že z hlediska pozoroatele spojeného s hodinami A se zpožďují hodiny B a z hlediska pozoroatele spojeného s B se zpožďují A. To je sie prada, ale bez dalšího rozboru může toto konstatoání naodit předstau, že dilatae času je jen zdánliý efekt ož již prada není. (Viz dále článku IV.5. eperimentálně zjišťoané důsledky dilatae času.) Žák může argumentoat třeba tak, že A a B mohou být stopky, které se naráz spustí a naráz zastaí, pak oba pozoroatelé napíší čas zjištěný na sýh hodináh na papír a oba ýsledky se poronají. Zřejmě není možné, aby z hlediska jednoho pozoroatele byl na papírku označeném A napsán čas hodina a na papírku B čas půl hodiny a z hlediska druhého pozoroatele bylo naopak napsáno: A: půl hodiny, B: hodina. (Oba pozoroatelé přee nahlížejí na tutéž realitu!) Takže které hodiny se e skutečnosti zpozdí? 9
K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební tet, erze 0 IV. Relatiistiká kinematika Leoš Dořák, MFF UK Praha, 05 Řešení tkí samozřejmě tom, že ýše uedená argumentae je nepřesná. (Ošem práě takoou můžeme očekáat od žáků.) Je třeba si přesně uědomit, jak z hlediska systému S měříme hod pohybujííh se hodin (hodin A, které jsou klidu ůči S ). Údaj hodin A můžeme poronat s údajem danýh hodin B (stojííh S) okamžiku, kdy se tyto hodiny míjejí. Případně lze tento okamžik spustit stopky A a B. Pak se ošem hodiny A od hodin B zdalují; heme-li nějakém dalším okamžiku poronat údaj hodin A s časem systému S, musíme jej poronat s údajem hodin B stojííh systému S, které hodiny A práě míjí. Hodiny B musí být samozřejmě systému S synhronizoány s hodinami B. K tomu, abyhom určili hod jedněh pohybujííh se hodin A z hlediska systému S, potřebujeme tedy řadu hodin, které stojí S a jsou S synhronizoány. (Viz obr.iv.6.a) Při tomto poronáání zjistíme, že hodiny A se ůči soustaě hodin S zpomalují. a) b) Obr. IV.6. Měření hodu hodin z hlediska S a S Poronáme-li naopak hod jedněh hodin B (ze soustay S) s časem soustaě S, potřebujeme řadu hodin stojííh S a synhronizoanýh s A S. (Viz obr.iv.6.b, tomto případě zjistíme zpožďoání hodin B.) Nejde tedy o přímé poronáání jedněh hodin A s jedněmi hodinami B! Samozřejmě údaje hodin A a B byhom mohli poronáat pomoí sětelnýh signálů. Museli byhom ošem zít úahu dobu, kterou tyto signály potřebují k překonání zdálenosti mezi hodinami a rozbor situae by proto byl o něo složitější. Výsledek by byl ošem stejný. To je zřejmé už z toho, že synhronizai soustay hodin lze proádět práě sětelnými signály. Pokud se týče argumentu se spuštěním a zastaením stopek, hyba je bezmyšlenkoitém použití sloa naráz. Stopky A a B lze sie spustit naráz (tj. současně), když se A a B míjejí. V dalšíh okamžiíh jsou ošem A a B již na různýh místeh; tom případě ošem současně z hlediska soustay S (spjaté s A) znamená různýh časeh z hlediska S spjaté s B. A naopak. Podobně jako jsme to učinili u kontrake délek, mohli byhom se nyní ptát, jak bude pozoroatel S interpretoat fakt, že pozoroatelé S naměří zpomaloání jeho hodin A nazdory tomu, že z hlediska S jsou to hodiny pozoroatelů S, které se zpomalují. Odpoěď se opět zakládá na tom, že události současné S (tj. např. odbíjení poledne hodinami S) nejsou obeně současné z hlediska S : Hodiny, které jsou synhronizoány S, se tedy z hlediska S jeí synhronizoány špatně. Pozoroatel S tedy může prohlásit: Hodiny pozoroatelů S se zpožďují, ale naí jsou synhronizoány tak špatně, že tito pozoroatelé naměří zpožďoání mýh hodin A. Kantitatiní rozbor situae ponehááme čtenáři jako užitečné ičení. 0
K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební tet, erze 0 IV. Relatiistiká kinematika Leoš Dořák, MFF UK Praha, 05 Vztah (7) pro hod hodin nám umožňuje ryhle oěřit, že hodiny ineriální soustaě by bylo možno synhronizoat i nekonečně pomalým přenosem hodin. Chyba zniklá při přenosu ryhlostí je t t t t, kde jsme proedli aproimai platnou pro rona l, je l t a hyba synhronizai je tedy l t 0 pro 0.. Je-li zdálenost, na níž hodiny přenášíme, Volbou dostatečně malé ryhlosti přenosu lze tedy učinit hybu liboolně malou. Zdůrazněme ještě jednu skutečnost: Zpomalení hodu hodin dané dilataí času nezáisí na konstruki hodin. Může jít o obyčejné mehaniké náramkoé hodinky, optiké hodiny zmiňoané kap., hodiny řízené krystalem atd. Stejně tak liboolný fyzikální je probíhajíí S bude z hlediska S zpomalen. Liboolný pokus proáděný raketě, letíí ronoměrně přímočaře ůči Zemi, bude z hlediska Země probíhat pomaleji souladu se ztahem (7). Pozoroatel raketě samozřejmě žádné zpomalení dějů raketě nezaznamená; šehny probíhají stejně, jako by je pozoroal laboratoři na Zemi. Tak tomu musí být, protože soustaa Země i soustaa rakety jsou da ronopráné ineriální systémy. (Pro názornost zde mluíme o Zemi, i když íme, že soustaa s ní spojená je jen přibližně ineriální; jako e šeh ostatníh případeh nám ošem jde o da ineriální systémy.) Práě skutečnost, že raketě probíhají šehny děje stejně ryhle, je příčinou, že zpomalení šeh těhto dějů zhledem k dějům na Zemi je stejné. Z téhož důodu musí být pohybem rakety stejně zpomaleny i jiné děje než čistě fyzikální: např. hemiké a biologiké. Jestliže by třeba dělení buněk dané kolonii bakterií nebylo z hlediska Země zpomaleno faktorem (7), znamenalo by to, že raketě by se buňky zhledem k ryhlosti hodu hodin a jinýh fyzikálníh dějů dělily ryhleji než na Zemi. Soustaa rakety a soustaa Země by pak nebyly ronopráné, speiální prinip relatiity by byl narušen a mohli byhom (pomoí biologikýh eperimentů) hledat absolutní klidoou ineriální soustau. Bylo by ošem elmi podiné, že by se její eistene neprojeila žádném z elmi přesnýh fyzikálníh pokusů; e sém důsledku by to znamenalo, že by biologiké systémy museli být založené ještě na nějaké další, fyzie dosud neznámé interaki (a ta že by preferoala určitý ineriální systém). Dosaadní ýoj molekulární biologie ani jinýh odětí ni takoého nenaznačuje. Je tedy přirozené, že platnost speiálního prinipu relatiity ztahujeme na šehny děje. Dilatae času se pak samozřejmě týká i stárnutí kosmonautů apod.
K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební tet, erze 0 IV. Relatiistiká kinematika Leoš Dořák, MFF UK Praha, 05 d) Relatiita současnosti Skutečnost, že dě události současné soustaě S nejsou obeně současné jiné ineriální soustaě S, jsme ododili již myšlenkoým pokusem kap. I a značně jsme ji yužíali již uedenýh úaháh e skutečnosti práě relatiita současnosti byla klíčem ke korektnímu rozboru kontrake délek a dilatae času. Připomeňme tedy jen její odození z Lorentzoýh transformaí. Zapíšeme-li ztah (III.30.d) Lorentzoy transformae pro události a (o -oýh a časoýh souřadniíh, t a, t ) a odečteme je od sebe, získáme ztah t t t t (IV.8) (Viz též (II.43.d).) Události současné soustaě S ( t t ) tedy nejsou současné S pokud je : t t. IV.. Nadsětelné ryhlosti a kauzalita Je známou skutečností, že teorie relatiity nepřipouští ryhlosti yšší než ryhlost sětla. Méně je známo proč je nepřipouští. Často je totiž zákaz nadsětelnýh ryhlostí zdůodňoán nekorektně: Jeden z možnýh argumentů se opírá o Lorentzoy transformae. Ryhlost nih nesmí být ětší než ryhlost sětla, jinak by ztahy neměly smysl. Pokud by se nějaká částie pohyboala ryhlostí yšší než, bylo by s ní prý možno spojit ineriální systém to šak není možné, neboť jak jsme iděli, ineriální systémy se nadsětelnými ryhlostmi pohyboat nemohou. Z toho se uzaře, že se takto nemohou pohyboat ani částie. Argument ypadá na prní pohled přesědčiě, ošem ylučoal by i eisteni fotonů: ineriální systémy se přee ůči sobě nemohou pohyboat ani ryhlostí. (Dělení nulou Lorentzoě transformai). Fotony ošem eistují, pouze s nimi nelze spojit ineriální systém. S částiemi pohybujíími se nadsětelnou ryhlostí by samozřejmě roněž nebylo možno spojit ineriální systém ož by ošem nemuselo ylučoat jejih eisteni. Další uáděné důody býají dynamiké. Jak známo (a jak uidíme další kapitole), blíží-li se ryhlost částie ryhlosti sětla, roste její hmotnost do nekonečna. Konečnou silou nelze proto za konečný čas uryhlit částii ani na ryhlost sětla, tím spíše ne na ryhlosti yšší. I tento argument šak selháá případě fotonu. Ten také není na ryhlost sětla uryhloán z nějaké nižší ryhlosti prostě je už s touto ryhlostí emitoán z místa zniku. Lze si tedy předstait, že podobně by mohly být emitoány i částie, které by se pohyboaly nadsětelnou ryhlostí.
K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební tet, erze 0 IV. Relatiistiká kinematika Leoš Dořák, MFF UK Praha, 05 Lze se setkat i s argumentem, že nadsětelné ryhlosti části nepřiházejí úahu, neboť e ýrazeh např. pro hybnost, energii a hmotnost se yskytuje faktor (Např. pro hmotnost m m 0, kde 0 soustaě, níž částie stojí iz následujíí kapitola.) Pro ztráely smysl (faktor by byl imaginární). m je hmotnost měřená by tyto ýrazy Ošem částie, která by se pohyboala nadsětelnou ryhlostí ůči jednomu ineriálnímu systému, by se pohyboala nadsětelnou ryhlostí ůči šem ineriálním systémům! (Ze ztahů (4) pro transformai ryhlostí si to čtenář může ododit jako užitečné ičení; zároeň by si měl uědomit na základě jejih odození proč tyto ztahy platí i pro u.) Neeistuje tedy ineriální systém, němž by takoáto částie stála a např. eličina m 0 tedy není nijak přímo měřitelná. Mohli byhom ji tedy formálně uažoat jako ryze imaginární, ýsledná hodnota m by pak yšla reálná a problémy by odpadly. Stejně tak pro foton formálně bereme m 0 a nepoažujeme kombinai se ztahem pro m za důod, 0 proč by foton neměl eistoat. Pro částie, které by se pohyboaly ryhleji než sětlo, bylo dokone narženo i jméno: tahyony, z řekého = ryhlý. (Částie pohybujíí se nadsětelnou ryhlostí se daném kontetu někdy nazýají tardyony z = těžký a částie pohybujíí se ryhlostí sětla luony). Tahyony jsou oblíbeným námětem některýh polopopulárníh publikaíh, narazit na ně ale můžeme i seriózníh teoretikýh článíh. Je ošem nutno si uědomit, že jde o částie pouze hypotetiké, které nebyly nikdy detekoány a pro něž nejsou ani nepřímá eperimentální sědetí. Naproti tomu je tu ážný teoretiký důod proti jejih eisteni. Důod, proč teorie relatiity skutečně zakazuje nadsětelné ryhlosti. Uažujme události a. Událostí nehť je yslání nějakého signálu (třeba yslání částie) a událostí jeho příjem (zahyení částie). Orientujme ineriální systém souřadni S tak, že je y y, z z a (iz obr.iv.7). Pozoroatele, který signál ysílá, označme jako A, pozoroatele, který jej přijímá, jako B. Obr. IV.7. K ryhlosti šíření signálů Podle prinipu kauzality (příčinnosti) musí příčina ždy předházet následek. (Nebo alespoň nesmí nastat později, než následek.) V našem případě to znamená, že yslání signálu se musí uskutečnit dříe, než jeho přijetí: t t. Příjem signálu je totiž jistě následkem jeho 3
K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební tet, erze 0 IV. Relatiistiká kinematika Leoš Dořák, MFF UK Praha, 05 yslání: přijetí signálu záisí na tom, zda A jej yšle nebo ne. (Připustit byhom mohli t t signál by se šak musel šířit nekonečně ryhle.), Je ostatně jasné, že příjem signálu nemůže nastat dříe, než byl signál yslán jinak by si to po příjmu signálu pozoroatelem B mohl pozoroatel A rozmyslet a žádný signál neyslat. Byl by tedy přijat nikdy neyslaný signál: to je e sporu s eškerou zkušeností, kterou lidsto má a jsme proto přesědčeni, že něo takoého není přírodě možné. Podíejme se nyní na situai z hlediska systému S, pohybujíího se e směru osy ryhlostí. Podle (8) je ošem t t t t t t t t t t je ryhlost u sig. daného signálu zhledem k S. Je tedy Vidíme, že pro u t t t t sig. u sig. dojde k přehození časoého sledu: je t t, ale t t!. (IV.9) V soustaě S by příjem takoéhoto signálu nastal dříe než jeho yslání! Prozkoumejme, kdy by to bylo možné. Z (0) je (IV.0) usig.. (IV.) Muselo by tedy jít o signál, který by se zhledem k S pohyboal nadsětelnou ryhlostí. Platí to i obráeně: pokud usig., eistuje ždy takoá ryhlost, pro níž je splněna podmínka () a tedy i (0) tedy eistuje ineriální systém S, němž dojde k přehození časoého sledu. Signál, který se ůči nějakému ineriálnímu systému pohybuje nadsětelnou ryhlostí, se ůči některým jiným ineriálním systémům pohybuje zpět čase! Samozřejmě, může-li se takoý signál pohyboat zpět čase systému S, může se takto pohyboat i systému S. (Vždyť jde o systémy ronopráné.) Pozoroatel A by tak mohl poslat pozoroateli B signál, pro nějž by bylo t t (tj. t přijetí u B < t yslání u A). Pozoroatel B by mu mohl signál rátit tak, že t přijetí u A < t yslání u B < t yslání půodního signálu od A Tak by si pozoroatel A mohl posílat zpráy do lastní minulosti a případně ji oliňoat! 4
K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební tet, erze 0 IV. Relatiistiká kinematika Leoš Dořák, MFF UK Praha, 05 Jakmile připustíme oliňoání minulosti, objeí se ošem nesčíslná řada paradoů, počínaje klasikou (e si-fi) možností zabránit, aby se jeho rodiče ůbe kdy poznali pak by ošem eistoal, aniž by měl rodiče. Lze samozřejmě ymýšlet i arianty drastičtější a etrémním případě e ěku třeba třieti let zastřelit sám sebe minulosti útlém školním ěku pak by čloěk eistoal, i když minulosti zemřel. A jestliže by neeistoal, pak kdo tedy střílel? Detektiní příběhy by obeně možnost střílet do minulosti značně zkomplikoala: o když padne oběť a rah si to pak rozmyslí a neystřelí? Těhto a podobnýh příkladů lze yužít k diskusi se žáky. Některé sie ypadají zbytečně drastiké, ale jednak nelze předpokládat, že by žái nečetli detektiky, a jednak nih nejostřeji ystoupí paradonost situae. Je zřejmé, že jestliže by se přírodě realizoala možnost působení do minulosti, museli byhom značně přebudoat logiku a ůbe elý náš pohled na sět. Podle šeho o dosud íme, tomu tak není. To ale znamená, že nejsou možné ani ryhlosti signálů yšší ryhlost sětla e akuu. V důsledku prinipu kauzality se podle teorie relatiity žádná částie ani rozruh pole, obeně liboolný signál nesouí informai, nemůže šířit ryhlostí přeyšujíí ryhlost sětla e akuu. Tento fakt má důležitý a na prní pohled překapujíí důsledek: Teorie relatiity nepřipouští eisteni absolutně tuhýh těles. Absolutně tuhým tělesem by totiž bylo možno posílat signály nekonečnou ryhlostí. Pokud byhom např. měli k dispozii absolutně tuhou tyč, sahajíí od Země k Proimě Centauri, mohli byhom posunoáním kone tyče posílat zpráy třeba Morseoě abeedě. Celá tyč by se přitom musela pohyboat současně, jako jeden elek (protože deformoat by se nemohla); její kone u Proimy Centauri by tedy předáanou zpráu yťukáal současně s tím, jak byhom počátkem tyče pohyboali na Zemi nazdory tomu, že elektromagnetikým lnám by přenos zpráy tral téměř čtyři roky Skutečné tyče nejsou absolutně tuhé. Pohneme-li konem skutečné tyče, začne se jí šířit elastiká lna. Ta se šíří ryhlostí zuku a tepre až dospěje na kone tyče, pohne se i tento kone signál je přenesen. Teorie relatiity tady klade na lastnosti reálnýh materiálů i kantitatiní omezení, spočíajíí tom, že ryhlost zuku nemůže přeýšit ryhlost sětla e akuu. Ještě poznámku k problému tahyonů: přesnější rozbor ukazuje, že jednoduhou argumentaí s pomoí pouze dou pozoroatelů A a B nelze e skutečnosti eisteni tahyonů yloučit. Pohyb tahyonů zpět čase od A k B lze totiž reinterpretoat jako pohyb antitahyonu od B k A ( čase před). Ošem lze narhnout takoé uspořádání čteřie zájemně se pohybujííh pozoroatelů, kdy i situai, kdyby šihni ysílali tahyony ze sého hlediska čase před, by se tahyonoý signál rátil k ýhozímu pozoroateli dříe, než byl půodní signál yslán. Proto, nemá-li být porušen prinip kauzality, nemohou tahyony eistoat. Resp. pokud by eistoaly, nesmělo by být možno pomoí nih posílat signály; obyčejné částie a pole by tedy s nimi neměly interagoat. Otázkou pak ošem je, jak byhom se o jejih eisteni mohli přesědčit, resp. jaký fyzikální smysl by ůbe mělo trzení, že tahyony eistují. 5
K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební tet, erze 0 IV. Relatiistiká kinematika Leoš Dořák, MFF UK Praha, 05 Tím, že teorie relatiity zakazuje nadsětelné ryhlosti šíření signálů, nezakazuje jakékoli nadsětelné ryhlosti ůbe. Da příklady za šehny možné ukazuje obr. IV.8.: Obr. IV.8. Příklady možnýh nadsětelnýh ryhlostí: a) prasátko, b) průsečík tyčí a) Sětelná skrna, ytořená paprskem otáčejíího se reflektoru nebo laseru na zdáleném stínítku, může přeběhnout po stínítku liboolně elkou ryhlostí. Nelze po ní ošem poslat signál: pozoroatel A se může sebeí snažit obarit sětelnou skrnu; na její baru u pozoroatele B to nebude mít li. (To, o se zde skutečně šíří a nese informai, jsou fotony šíříí se od reflektoru ke stínítku. Ty se ošem samozřejmě pohybují ryhlostí.) b) Průsečík dou tyčí, které sírají malý úhel, se může pohyboat nadsětelnou ryhlostí, přestože tyče samy se pohybují ryhlostmi <. Průsečík je ošem jen myšlený bod, nelze po něm poslat signál (obarit jej, sdělit po něm byť jen olbu 0 apod.). Čtenář by snad mohl namítnout, že mezi tyče by bylo možno ložit zarážku resp. kolík, který by se musel pohyboat spolu s průsečíkem tyčí (kousek před ním). Na tento kolík by již bylo možno zpráu napsat. Ošem tomto případě by nebylo možno ani liboolně elkou silou uryhlit kolík na ryhlost ronou či přesahujíí ryhlost sětla, neboť hmotnost kolíku by pro kolíku rostla do nekonečna. Prinip kauzality tedy není ani tomto případě porušen. IV.3. Paradoy relatiistiké kinematiky Nepřesné úahy a nekorektní argumentae mohou ést k tomu, že popis určité situae ypadá z hlediska některého ineriálního systému paradoně. Zdánliě mohou být třeba rozporu předpoědi ýsledků daného děje. V dalším si uedeme několik typikýh příkladů, kdy je tomu tak. Sloo paradoy použíané k jejih označení si ošem zaslouží být uozokáh. Rozpor či nekonzistene zde totiž opradu není teorii relatiity, ale jen její nepřesné aplikai. A proč se o paradoeh ůbe zmiňujeme? Vždyť posláním teorie relatiity není ani konstruoat, ani řešit takoéto hříčky. S podobnými úahami mohou ošem yrukoat žái a na druhé straně nám práě tyto na prní pohled paradoní situae umožní si relatiistikou kinematiku lépe promyslet. a) Relatiističtí rytíři Problém je jednoduhý: Da rytíři, kteří mají stejně dlouhé kopí, se proti sobě řítí ysokou ryhlostí tak ysokou, že efekty kontrake délek jsou již elmi ýrazné. Prní rytíř uažuje následoně: Můj soupeř se ůči mně pohybuje ryhlostí blízkou ryhlosti sětla a jeho kopí je proto zkráeno. Mé kopí zkráeno není já ho tedy propíhnu, on mne ne. (Viz obr.ii.9.a). 6
K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební tet, erze 0 IV. Relatiistiká kinematika Leoš Dořák, MFF UK Praha, 05 Stejně ošem uažuje i druhý rytíř (iz obr.iv.9.b). Prinezna, ůči níž se oba rytíři pohybují stejnou ryhlostí, si říká: Oba mají kopí zkráena stejně, propíhnou se oba. (Viz obr.iv.9.). Obr. IV.9. Souboj relatiistikýh rytířů: a) z hlediska prního rytíře, b) z hlediska druhého rytíře Kdo má pradu? A proč? ) z hlediska prinezny Pradu má samozřejmě prinezna. V soustaě souřadni s ní spojené se oba rytíři probodnou současně. Jen o něo složitější je ýklad z hlediska soustay spojené s prním rytířem: To, o je současné pro prineznu, není současné pro rytíře. V soustaě spojené s rytířem nejpre on sým kopím probodne sého protiníka a až pak je sám probodnut. Probodnutí sého soupeře ani neuidí signál, který by yslala špička jeho kopí při dotyku protiníka, který by měl přijít k rytíři dříe, než je on sám zasažen kopím soupeře, by se musel šířit nadsětelnou ryhlostí. (Uědomte si proč! Není-li ám to jasné, raťte se k předhozímu článku.) Z hlediska druhého rytíře je situae přesně stejná. Lze samozřejmě promýšlet různé arianty souboje. Pokud se při zájemném napíhnutí soupeři zastaí, přestáá hrát roli kontrake délek a soupeřoo kopí se opět prodlouží. Rytíř by si také samozřejmě mohl ypočíst, kdy již jeho kopí zasáhlo protiníka a uhnout stranou pak by se zahránil. Totéž by ošem mohl udělat i druhý soupeř a oba soupeři by se pak minuli. Atd. atd. 7
K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební tet, erze 0 IV. Relatiistiká kinematika Leoš Dořák, MFF UK Praha, 05 Při některýh způsobeh souboje by pro ýklad mohl být podstatný i fakt, že kopí nemůže být absolutně tuhé. Podobná skutečnost bude hrát roli i dalšíh paradoeh. b) Šílený záorář Šílený záorář si uprail záory po obou stranáh trati tak, že se spouštějí elmi ryhle, a jeho oblíbenou zábaou je lapat mezi ně projíždějíí auta. K přejezdu se práě blíží automobil, který by se, kdyby stál, práě ešel mezi záory. Nedbá ošem na dopraní předpisy a jede ryhlostí blízkou ryhlosti sětla. Šílený záorář si říká: Automobil je zkráen díky kontraki délek, hytím ho bez potíží. (Viz obr.iv.0.a.) Řidič je naopak přesědčen: Díky kontraki délek je pro mě zdálenost záor menší než délka automobilu. Záory mohou spadnout maimálně na kapotu a ta to ydrží. Projedu. (Viz obr.iv.0.b.) Kdo z nih má pradu? A proč? Obr. IV.0. K paradou šíleného záoráře: a) situae z hlediska záoráře b) situae z hlediska řidiče Pokud jsou záory dostatečně pené a záorář je spustí ze sého hlediska současně, má pradu on; automobil se hytí. Z hlediska soustay souřadni spojené se záorami je to jednoduhé: hytil se zkráený automobil. Z hlediska soustay souřadni, níž automobil stojí (při přibližoání k záorám) je ysětlení opět o něo složitější. Zde nejpre spadne zdálenější záora. Čelo automobilu do ní narazí (resp. ona do něj) a automobil se začíná deformoat. Musí, není absolutně tuhý. Stlačuje se, a tepre až je elý mezi záorami, spadne i leá záora. Záď automobilu ještě do té híle nemůže být odražena en mimo záoru. Žádný signál yslaný od konoé záory okamžiku jejího pádu totiž ještě nemohl dospět k leé záoře k tomu by se musel pohyboat ryhleji než sětlo. Uědomte si proč! Tedy ani lna elastiké deformae nemohla ještě dospět k zádi automobilu; obrazně řečeno, záď ještě neí, že přední část automobilu je již deformoána. Také tento parado by bylo možno obměňoat. Automobil by mohl být klidu i delší než je zdálenost záor; dokone by bylo možno lapit liboolně dlouhý automobil stačí, aby přijížděl dostatečnou ryhlostí Analogiký parado býá někdy popsán jako způsob, jak dostat delší auto do kratší garáže. Stačí jet tak ryhle, že se projeí kontrake délek a elmi ryhle zařít deře. (Ale e skutečnosti to samozřejmě nezkoušejte. ) 8
K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební tet, erze 0 IV. Relatiistiká kinematika Leoš Dořák, MFF UK Praha, 05 ) Deska nad otorem Může pohybujíí se předmět propadnout otorem díky tomu, že zhledem ke kontraki délek je kratší než je délka otoru? Pro rozbor budeme uažoat idealizoanou situai. Tuhá deska klouže ryhlostí po roině, níž je otor (iz obr.iv..a). Obr. IV.. Deska nad otorem: a) situae z hlediska roiny s otorem, b) situae z hlediska desky Délka desky je takoá, že by klidu otorem neprošla, ale šířka desky je menší než šířka otoru. Z hlediska soustay spojené s roinou je deska zkráena tak, že je kratší než otor. Zapůsobíme-li na ni okamžiku, kdy je elá nad otorem, silou, tahujíí ji do otoru, může otorem propadnout. Abyhom situai nekomplikoali zaáděním graitačního pole, můžeme předpokládat, že prostě do šeh bodů desky shora současně strčíme. (Je též možno uažoat ronoměrně nabitou a okamžiku, kdy je nad otorem, nad ním zapnout homogenní elektriké pole apod.) Z daného pohledu je tedy zřejmé, že deska otorem propadne. Z hlediska desky se ošem pohybuje roina s otorem a je to tedy otor, kdo je zkráen. (Viz obr.iv..b.) Jak může propadnout delší deska kratším otorem? Vysětlení poskytne opět relatiita současnosti. V soustaě spojené s roinou začnou síly působit na elou desku současně a elá deska také začíná současně padat. V soustaě spojené s deskou ošem začnou síly působit nejdříe na přední kone desky. Ta, protože není absolutně tuhá, se ohýbá, přední kone začíná padat. Zbytek desky zatím není oliněn informae o tom, že se přední kone ohýbá, tam dosud nestačila dospět. (Proč?) Ohyb pak samozřejmě postupuje dál. Z hlediska ineriální soustay, níž byla deska klidu (a ůči níž pak padá kolmo dolů) tedy deska otorem proklouzne. (Viz obr.iv..) Obr.IV.. Propadnutí desky otorem z hlediska ineriální soustay, níž byla deska klidu Situai lze ošem zaranžoat tak, že žádné síly nemusí působit a k ohybu desky tedy nemůže dojít. Stačí, když se soustaě spojené s roinou blíží deska k otoru poněkud šikmo. (Viz obr.iv.3.a.) 9
K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební tet, erze 0 IV. Relatiistiká kinematika Leoš Dořák, MFF UK Praha, 05 Abyhom nekomplikoali ýklad transformaí s obeným směrem ryhlosti, zeptejme se jen, jak průhod tyče otorem ysětlit soustaě S, která klouže podél roiny tak, že deska se ní pohybuje shora dolů (kolmo na osu ). Odpoěď může být pro čtenáře překapujíí: deska bude ůči otoru natočena! (Viz obr.iv.3.b.) Zdůodnění pomoí Lorentzoy transformae je jednoduhé. Obr. IV.3. Druhý způsob jak může deska projít otorem a) z hlediska roiny s otorem, b) z hlediska S, níž se deska pohybuje kolmo dolů V soustaě S (iz obr.iv.3.a) jsou y-oé souřadnie zadního a předního kone desky stejné: Přitom 0. V S je ( daném čase t ) y y y y0 yt. t t y y y 0 y, y y y0 y Odečtením ztahů () získáme y y y z čehož pro úhel mezi deskou a osou dostaneme tg y y y,. (IV.) (IV.3) Vzhledem k tomu, že 0 je 0 a deska je tedy skloněna tak, jak je to znázorněno na y obr. IV.3.b. Čtenář si může i kantitatiním rozborem oěřit, že deska skloněná o úhel daný (3) projde z hlediska S otorem (jsou-li parametry takoé, že deska projde z hlediska S). 0
K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební tet, erze 0 IV. Relatiistiká kinematika Leoš Dořák, MFF UK Praha, 05 d) Parado dojčat Parado dojčat je snad nejznámějším z paradoů speiální teorie relatiity. V minulosti byl občas i mylně ykládán a někdy použíán i jako argument proti teorii relatiity. Podstata je jednoduhá: Raketa odstartuje od Země a ryhlostí blízkou ryhlosti sětla letí ke zdálenému íli. Tam se obrátí a opět se elkou ryhlostí rátí k Zemi. Před startem rakety ukazoaly palubní hodiny rakety stejný čas, jako hodiny na Zemi. Jaký čas budou poronání s pozemskými hodinami ukazoat po náratu? Místo hodin se obykle populárníh ýkladeh uažuje dojie bratrů dojčat, z nihž jeden zůstane na Zemi a druhý letí raketou. Otázka pak zní, které z dojčat bude po náratu starší. Z hlediska Země je situae jasná (iz obr.4.a). Raketa se pohybuje ysokou ryhlostí, při pohybu ryhlostí se tedy důsledku dilatae času zpomalují šehny proesy na raketě (hod hodin, stárnutí atd.) zhledem k času na Zemi, resp. zhledem k času soustaě spojené se Zemí. Kosmonaut letíí raketou tedy zestárne méně než jeho bratr na Zemi, palubní hodiny ukáží po náratu menší čas než pozemské. To zatím není parado, jen důsledek dilatae času. Obr.IV.4. K paradou dojčat. a) Z hlediska Země, b) Z hlediska rakety. Paradoní se situae jeí až z hlediska rakety. Vzhledem k raketě je to totiž Země, která se pohybuje. (Viz obr.4.b.) Lze tedy argumentoat tak, že zhledem k času rakety jsou to děje na Zemi, které jsou zpomaleny. Mladší by tedy po náratu měl být bratr na Zemi, nižší údaj pozemskýh hodin. Takže: Který z bratrů je po náratu mladší? Zde samozřejmě nemůžeme odpoědět z hlediska Země prní bratr, z hlediska rakety druhý. Poronání údajů pozemskýh a palubníh hodin tedy musí dát jednoznačný ýsledek. Problém nelze yřešit ani jednoduhým poukazem na relatiitu současnosti, jak jsme to učinili ýše při rozboru dilatae času: po náratu se totiž poronáají na tomtéž místě jediné hodiny A s jedinými hodinami B. Některá z úah edouíh k paradou musí být nespráná, Z hlediska Země je argumentae korektní. Soustaa spojená se Zemí je ineriální. (Čtenáři, kterým adí, že e skutečnosti je ineriální jen přibližně, mohou uažoat soustau helioentrikou.) Chod hodin, které se ůči této soustaě pohybují, je pomalejší podle ztahu (7) palubní hodiny ukáží po náratu méně než pozemské.
K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební tet, erze 0 IV. Relatiistiká kinematika Leoš Dořák, MFF UK Praha, 05 Stejnou úahu ošem nelze udělat z hlediska rakety. Raketa sie může dlouhou dobu letět ronoměrně přímočaře a být tak ineriální ztažnou soustaou. Ošem u íle letu musí brzdit a pak se zase zryhloat e směru k Zemi, aby se mohla rátit. Při akelerai s ní ošem není možno spojit ineriální systém a tedy ani užíat ztahu (7). Tím je parado dojčat rozřešen. Následujíí ysětlení ho již jen z různýh hledisek doplňují. Raketa samozřejmě musí zryhloat i brzdit i blízkosti Země, ož ošem není pro ýsledek podstatné: raketa mohla totiž nejpre ounout a pak míjet Zem již plné ryhlosti a přitom synhronizoat sé palubní hodiny s pozemskými. Podstatná je akelerae u íle esty. Při elém ronoměrném přímočarém letu tam se totiž opradu zhledem k času soustay spjaté s raketou hodiny na Zemi zpomalují (iz ýše ýklad dilatae času). Otázka kdy toto zpomalení doženou?, kterou mohou studenti klást, je sie sugestiní, ale může sobě skrýat i přežíajíí předstau o absolutní současnosti událostí. Odpoěď totiž záisí na olbě soustay souřadni. V soustaě, která s raketou letěla tam (a pokračuje ronoměrném přímočarém pohybu) se raketa při pohybu zpět pohybuje yšší ryhlostí než Země a proto jdou této soustaě palubní hodiny ještě pomaleji než pozemské; zpomalení se dožene na zpáteční estě. V ineriálním systému, němž je raketa klidu na estě zpět, je to naopak esta tam, při níž se zpoždění nadežene. Spojit triiálně obě ineriální soustay (pro estu tam i zpět) a ztotožnit jejih časoé souřadnie ošem nelze. Pokud by ale posádka rakety použíala prou soustau pro estu tam a druhou pro estu zpět, došla by k záěru, že hodiny na Zemi sé zpoždění doženou a nadeženou e fázi akelerae rakety, ať je jakkoli krátká. Z hlediska soustay spojené se Zemí samozřejmě není o dohánět. Uedené úahy jen znou demonstrují relatiitu současnosti: Řekne-li kapitán rakety u íle esty Co teď asi dělají na Zemi? pak toto teď může na Zemi reprezentoat značně různé časoé okamžiky. Pozorný čtenář by mohl namítnout, že i naší argumentai z hlediska Země je ještě mezera. Vztah (7) pro dilatai času jsme totiž ýše ododili jen pro hodiny pohybujíí se ronoměrně přímočaře (zhledem k danému ineriálnímu systému). Palubní hodiny se šak spolu s raketou pohybují během obrátky se zryhlením. Jaká je ryhlost hodu hodin, které se pohybují zryhleně? Při úaháh o měření času jsme článku III. zaedli pojem ideální hodiny, jejihž hod není oliňoán nějšími liy. Mezi nější liy můžeme počítat i zryhlení hod ideálníh hodin by tedy zryhlením neměl být oliněn. Samozřejmě: hodiny pohybujíí se zryhleně se pohybují proměnnou ryhlostí a jejih hod se proto mění důsledku dilatae času. Tento li ošem nemáme na mysli. (Ostatně jde o li ryhlosti, ne zryhlení.) Vli zryhlení na hod hodin byhom mohli zjišťoat tak, že byhom laboratoři zryhloali hodiny z klidu do nepříliš ysokýh ryhlostí a přitom sledoali jejih hod. Chod kyadloýh hodin samozřejmě takoéto uryhloání oliní, ošem hodiny řízené krystalem můžeme podrobit i značnému zryhlení aniž by se ryhlost hodu změnila. Je tedy přirozené přijmout předpoklad, že hod ideálníh hodin nezáisí na zryhlení.
K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební tet, erze 0 IV. Relatiistiká kinematika Leoš Dořák, MFF UK Praha, 05 Tento předpoklad býá nazýán hypotéza hodin. Mluit o hypotéze je ošem poněkud skromné. Pro poločas rozpadu elementárníh části (konkrétně mionů) je totiž hypotéza hodin eperimentálně oěřena i pro ryhlosti řádu 0 0 m/s! Nezáisí-li hod hodin H na zryhlení při malýh ryhlosteh, nezáisí na něm ani při ryhlosteh liboolně elkýh (< ). Vždy totiž můžeme uažoat ineriální soustau S ~, níž hodiny H daný okamžik práě stojí. (Vedle rakety letíí zryhleně může letět druhá raketa s ypnutými motory tak, že jejih ryhlosti jsou daném okamžiku stejné.) Zryhlení neoliňuje hod hodin H zhledem k hodinám soustay S ~ : (IV.4) ( ošem musí být malé, aby se ryhlost hodin H příliš nezměnila; matematiky zela H přesně byhom mohli (4) formoat tak, že lim.) 0 S H Pro hod hodin S ~ (ronoměrně přímočaře se pohybujííh ůči ineriální soustaě S) ošem platí ztah (7). Díky (4) pak tentýž ztah platí i pro přírůstek lastního času hodin pohybujííh se zryhleně. Matematiky korektně to můžeme zapsat ztahem d lim t 0 dt t S S (IV.5) Celkoý lastní čas, který uplyne na liboolně se pohybujííh hodináh od okamžiku t do t (časy S) pak získáme sečtením příspěků t t, resp. integraí t t t d d t d t dt (IV.6) Na záěr snad již jen formální připomínka: literatuře se často ztah (5) zapisuje pomoí difereniálů e taru d d t (IV.7) analogikém ztahu (7). Tar (7) se proto dobře hodí k zapamatoání; na střední školy jej šak přesto raději nebudeme zaádět. IV.4. Hyperboliký pohyb Nabitá částie homogenním elektrikém poli, těleso, na nějž působí konstantní síla, raketa, jejíž motory yíjejí konstantní tah šehny tyto objekty se podle klasiké mehaniky pohybují ronoměrně zryhleně. (Neuažujeme zde ubýání palia rakety.) Ronoměrně zryhlený pohyb ošem není podle speiální teorie relatiity dlouhodobě možný lineárně zrůstajíí ryhlost by totiž po určité době musela překročit ryhlost sětla. Můžeme si ošem položit otázku, jak by se tedy pohyboala raketa, jejíž motory by praoaly tak, aby přístroje unitř rakety ukazoaly konstantní zryhlení. 3
K přednáše NUFY097 Teorie relatiity prozatímní učební tet, erze 0 IV. Relatiistiká kinematika Leoš Dořák, MFF UK Praha, 05 Jaké přístroje? Stačí obyčejný siloměr se záažím. Je-li zryhlení rakety a, setračná síla působíí na záaží m je F ma a tuto sílu siloměr ukáže. Práě tak poítí zryhlení díky setračné síle i kosmonauti raketě. Uedené úahy ošem známe z klasiké mehaniky. Jejih platností si tedy můžeme být jisti, jen pokud je ryhlost rakety malá. Pro další odození to šak stačí. Uažujme ineriální systém S, ůči němuž určitém okamžiku raketa stojí. (Další úahy se budou ztahoat práě k tomuto okamžiku nebo jeho těsné blízkosti.) Názorně si můžeme systém S předstait jako spojený s raketou R letíí s ypnutými motory; daný okamžik se rakety míjejí a jejih zájemná ryhlost je nuloá. Viz obr.iv.5. Obr. IV.5. K okamžité klidoé ineriální soustaě. Soustau S můžeme přirozeně nazat okamžitou klidoou ineriální soustaou. Zryhlení rakety R, o němž jsme mluili ýše, je zřejmě zryhlením ůči soustaě S, resp. ůči raketě R. (Vůči R je totiž raketa R e stejné situai jako by byla ůči Zemi okamžiku, kdy by z ní práě startoala.) Označme toto zryhlení a. Jaké je zryhlení rakety R s ohledem k ineriální soustaě S, ůči níž se R (a tedy i S a R ) pohybuje daný okamžik ryhlostí? To musíme ědět dříe, než se pustíme do dalšíh úah; potřebujeme tedy najít ztah pro transformai zryhlení. Bude nám stačit ztah pro transformai -oýh složek zryhlení. Vyjdeme ze ztahu (4a) pro transformai ryhlosti: Přírůstek složky dostaneme po úpraáh jako d u u u u u du u u z něj (při = onst). (IV.8) Využijeme ještě ztahu (III.43.d) Lorentzoy transformae pro interaly souřadni přepsaného do taru Dělením (8) a (9) dostááme u t t t. (IV.9) 4