Pravděodobost a statstka. INDUKTIVNÍ STATISTIKA Iduktví statstka Průvodce studem Navážeme a katolu 7 a ukážeme, jak racovat se soubory, jejchž všechy rvky ejsou zámy. Předokládaé zalost Pojmy z ředchozích katol, ředevším ak ze 7. katoly. Cíle Cílem této katoly je vysvětlt základí ojmy statstcké dukce, zůsoby výběru ze základího souboru a možost odhadováí arametrů základího souboru. Výklad.. Základí ojmy matematcké statstky a statstcké dukce Pokud jsme dosud hovořl o statstckých souborech, měl jsme v souladu s defcí v 7. katole a mysl soubory koečého očtu rvků, u chž jsme zal hodotu (hodoty) statstckého zaku. Pro ě jsme ak vytvořl soustavu charakterstk, které soubor osaly. To bylo obsahem deskrtví statstky. Hlaví síla statstky se však rojeví až ř rác se soubory, jejchž všechy rvky ejsou zámy. Buď je jch tolk, že je raktcky emožé (a eefektví, fačě áročé atd.) všechy údaje o rvcích s obstarat, ebo by to třeba šlo, ale statstcký soubor by tím byl zče (ař. ř destrukčích zkouškách výrobků). Zavádíme tu ojem základí soubor. Defce... Základí soubor, oulace (ZS) je koečý ebo ekoečý soubor všech možých (teoretcky dosažtelých) hodot áhodé velčy. Hodoty v dskrétím říadě a tervaly hodot ve sojtém říadě se vyskytují ve shodě s určtým rozděleím ravděodobost áhodé velčy. - -
Pravděodobost a statstka Iduktví statstka Je zřejmé, že o základím souboru v tomto smyslu emáme úlou formac, ať už jde o soubory reálé (rvky souboru estují a teoretcky by se daly zkoumat) ebo hyotetcké (rvky by vzkly oakováím okusu). Ale rávě o formac o ZS stojíme, eboť jde ař. o formac o kvaltě výroby, která daým techologckým rocesem vzká aod. Tuto formac získáváme rovedeím výběru ze základího souboru. Nejvhodější by byl samozřejmě výběr, který by co ejlée charakterzoval ZS, tj. rerezetatví výběr. To bychom ale musel zát vlastost ZS, což ebývá často. Proto vytváříme áhodý výběr.... Prostý áhodý výběr jedá se o ravděodobostí výběr, kdy každý rvek ZS (oulace) má stejou ravděodobost, že se do výběru dostae. Prostý áhodý výběr lze také defovat jako výběr o rozsahu, kdy každá moža rvků má stejou ravděodobost, že bude vybráa. K realzac takového výběru musíme mít k dsozc očíslovaý sezam všech rvků základího souboru - tzv. ooru výběru, a dále geerátor áhodých čísel, omocí ěhož vybereme očíslovaý rvek z oory výběru. Předokládejme, že ZS má N rvků a výběr bude mít rvků. Procedura výběru sestává z ásledujících kroků:. sestavíme ooru výběru a každému rvku řřadíme celé číslo od do N. rozhodeme, jak velký bude rozsah výběru 3. vygeerujeme áhodých celých čísel mez a N 4. získáme data od rvků detfkovaých v ooře výběru těmto áhodým čísly Poměr mez rozsahem výběru a velkostí ZS (oulace) N azýváme výběrový oměr: rozsah výběru výběrový oměr = velkost oulace N Teto oměr vyjadřuje ravděodobost, že rvek ZS je zařaze do výběru. Výběr můžeme rovádět s vraceím ebo bez vraceí. Vrátíme-l rvek do základího souboru, má eulovou ravděodobost, že bude do výběru vybrá vícekrát. Výhodější ro statstcké - -
Pravděodobost a statstka Iduktví statstka odvozováí růzých formulí je výběr s vraceím. V takovém říadě je však vhodé, aby výběrový oměr byl malý (<5%). Někdy se stává, že rostý áhodý výběr je erovedtelý ebo ákladý, hlavě v říadech, kdy je ZS začě rozsáhlý. Uvádíme ěkteré řjatelé áhradí metody výběru, jež ve výběru oužívají áhodý mechasmus: stratfkovaý áhodý výběr - je-l možé ZS rozdělt do dílčích oblastí, můžeme rovést áhodý výběr ro každou oblast. Tyto oblast se ak azývají strata ebo vrstvy. Tato techka je vhodá aříklad, když v oulac lze stratfkovat odle ohlaví, věku,... a výzkumík chce zajstt rerezetac každé odskuy; systematcký výběr - ze seřazeého ZS vybereme z rvích k rvků áhodě jede rvek a od ěho očítajíc vybereme k-tý, k-tý,... rvek (vz. říklad...); vícestuňový shlukový výběr - často se oužívá ro získáváí formací o veřejém míěí. Chceme aříklad zjstt ázory ldí z aelových sídlšť měst určté velkost. Postu bude takový:.áhodě vybereme vzorek okresů;.z každého vybraého okresu se áhodě vybere určtý očet měst ožadovaé velkost; 3.ro tato města se áhodě vybere vzorek jejch sídlšť; 4.z vybraých sídlšť se áhodě vyberou domácost, ve kterých se rovede dotazováí. Tato vícestuňová rocedura vyadá komlkovaě, ale ve skutečost je velm efektví a méě ákladá ež rostý áhodý výběr domácostí ze sídlšť. Řešeé úlohy Příklad... Vedeí vysoké školy chce rovést výběr o rozsahu 50 z 000 studetů.ročíku jedé z fakult, aby zjstlo sokojeost studetů s výukou matematky. Řešeí: Může zvolt ař. tuto strateg: Jedotlvé studety v sezamu ozačí čísly od do 0 tak, že je v sezamu ostuě očíslují touto sérí číslc jejím oakovaým oužtím. Náhodě se vybere celé číslo z tervalu až 0. Pak se dotáže všech studetů s tímto ozačeím. Jedá se tedy o systematcký výběr, který je založe a ravděodobost, ale rostředctvím jého mechasmu, ež je tomu u rostého áhodého výběru. - 3 -
Pravděodobost a statstka.. Odhady arametrů základího souboru Iduktví statstka Ctujme yí odroběj ČSN 0 050, z íž jsme jž řevzal ředešlou defc...: Statstcký soubor Základí soubor Náhodý výběr Vymezeí Koečý soubor áhodé velčy, bez vztahu k jejímu rozděleí ravděodobost Koečý ebo ekoečý soubor všech možých (teoretcky dosažtelých) hodot áhodé velčy. Hodoty v dskrétím říadě a tervaly hodot ve sojtém říadě se vyskytují ve shodě s určtým rozděleím ravděodobost áhodé velčy. Koečý soubor hodot áhodé velčy rerezetující základí soubor. Hodoty jsou vybráy ezávsle a sobě a hodoty raktcky dosažtelé mají všechy stejou možost dostat se do výběru. Ukazatelé statstckého souboru Parametry základího souboru charakterzují řesě a charakterzují řesě a úlě Charakterzující úlě vlastost vlastost základího souboru. údaje statstckého souboru. V ra jsou je zřídka řesě Lze je zjstt vždy ze zámy, je uto je odhadovat zalost hodot omocí výběrových charakterstk. souboru. Charakterstky áhodého výběru charakterzují řblžě arametry základího souboru. Údaje o oloze Údaje o roztýleí Průměr statstckého souboru (artmetcký růměr) X =. = Roztyl statstckého souboru ( ) S = X Středí hodota základího souboru E ( ξ ) = P( ) b ( ). ( ) E ξ = f d Roztyl základího souboru b a ( ξ) = ( ( ξ) ). ( ) D E f d a Výběrový růměr =. = Formálě latí X = Výběrový roztyl s = D( ξ) = ( E( ξ) ) P( ) ( ) (dskrétí áhodá velča), (sojtá áhodá velča).. Formálě latí s = S (Poz.: Ozačeí velč jsme řzůsobl ozačeí zavedeému výše.) - 4 -
Pravděodobost a statstka Iduktví statstka V dalším tetu budeme charakterstky základího souboru (teoretcké charakterstky) začt malým ísmey, aříklad μ, σ, ρ,.... Charakterstky emrckého výběru (emrcké charakterstky), tj. charakterstky kokrétího áhodého výběru, budeme začt malým latským ísmey, aříklad m, s, r,.... Výběrové charakterstky, tj. charakterstky obecého áhodého výběru, budeme začt velkým latským ísmey, aříklad M, S, R,.... Je zřejmé, že arametry základího souboru jsou kostaty, eáhodé velčy (které třeba a ezáme, eboť základí soubor je možá edostuý statstckému zracováí, oř. vůbec eestuje), ale velčy v osledím slouc áhodé velčy jsou. Měí se výběr od výběru, měí se změou rozsahu výběru, jsou to tzv. statstky. V tomto říadě jsou to bodové odhady dvou základích arametrů základího souboru. Defce... Bodový odhad (estmátor) arametru β je statstka B, která aromuje arametr β s ředesaou řesostí. Oba vzorce ro bodové odhady středí hodoty a roztylu (vz. v tabulce výše): =., s ( = = ) evychýleé odhady říslušých arametrů: se dají odvodt z ožadavku, aby udávaly Defce... Nevychýleý odhad arametru β je taková statstka β, jejíž očekávaá hodota E(β ) = β, čl je to každá statstka, která statstcky (stochastcky) koverguje k arametru β V oačém říadě se velča β azývá odhadem vychýleým, a to vravo ebo vlevo, odle toho, zda E(β ) - β > 0, res. E(β ) - β < 0 V obou říadech bodových odhadů středí hodoty a roztylu je také slě ožadavek kozstetost (esorost) odhadu: - 5 -
Pravděodobost a statstka Iduktví statstka Defce..3. Kozstetí (esorý) odhad arametru β je taková statstka β, že ro dost velká je P( β - β ε) > - η, kde ε > 0, η > 0 jsou jakákolv (lbovolě malá) ředem zvoleá čísla. K získáváí bodových odhadů se oužívají dvě metody: a) metoda mometů je založea a orováí mometů základího souboru a výběru. Počet rorvávaých mometů je dá očtem arametrů rozděleí. Závsí-l rozděleí a S arametrech, řešíme soustavu S rovc o S ezámých: μ = m μ = m μ = m S S μ teoretcké momety, m emrcké momety; =,,,S Řešeé úlohy Příklad... Metodou mometů určete ezámý arametr Possoova rozděleí. Řešeí: Possoovo rozděleí má ravděodobostí fukc: (, λ) λ = e! λ Vybereme rvků,, μ = λ m = μ = m Tedy: λ = - 6 -
Pravděodobost a statstka Iduktví statstka Řešeé úlohy Příklad... Metodou mometů určete ezámý arametr eoecálího rozděleí. Řešeí: Eoecálí rozděleí má hustotu ravděodobost: f ( ) = 0 < 0 λ λ e 0 Vybereme rvků,, m = = λ u = v = e λ λ μ = f ( ) d= λ e d= λ e d= 0 0 u = v = e λ λ λ λ = e + e d lm 0 e 0 0 = + = + = λ e λ λ λ 0 Porováme-l tedy oět rví očátečí momety: μ = m = λ λ = 0 λ = b) metoda mamálí věrohodost Má-l základí soubor frekvečí fukc (, θ ), kde θ ( θ θ θ ) =,,..., jsou arametry rozděleí základího souboru, ak ravděodobost, že výběr ( ξ, ξ,..., ξ ) bude mít realzac (,,..., ) je vyjádřea vztahem: P =, =,..., = =,.,..., = (, θ ) = ( ξ ξ ξ ) ( θ) ( θ) ( θ) = L(,,...,, θ ) Fukc L azýváme fukcí mamálí věrohodost. Za ejravděodobější ovažujeme takovou hodotu θ, ř íž má fukce L mamálí hodotu. - 7 -
Pravděodobost a statstka Iduktví statstka Řešeé úlohy Příklad..3. Metodou mamálí věrohodost odhaděte ezámý arametr Possoova rozděleí. Řešeí: Possoovo rozděleí má ravděodobostí fukc: (, λ) λ = e! λ λ λ L(,,..., ) = e l! ( λ ( ) λ ) l L= l l! ( λ ( ) λ ) l L= l l! dl L = dλ λ Položíme-l dervac rovu 0: λ = 0 = λ λ = Krtcké hodoty rozděleí Defce..4. Krtcké hodoty rozděleí a hladě výzamost jsou kvatly, kde de vyjadřuje ravděodobost, že áhodá velča (u symetrckých rozděleí její absolutí hodota), řekročí tuto hodotu. Užívaá ozačeí: u krtcká hodota ormálího rozděleí a hladě výzamost. P( X > u ) =, X má ormovaé ormálí rozděleí N(0,) - 8 -
Pravděodobost a statstka Iduktví statstka ( u) ( u) ( u ) ( u) ( u ) Φ Φ = Φ Φ = Φ = Φ ( u ) =, kde u -kvatl ormálího rozděleí N(0,) Odsud se určí ař. u 0,05 =,96. χ krtcká hodota rozděleí χ s -stu volost a hladě výzamost. ( ) P(X > χ ( )) =, X má rozděleí χ s -stu volost t () krtcká hodota Studetova rozděleí s -stu volost a hladě výzamost. P( X > t () ) =, X má Studetovo rozděleí s -stu volost F (m,) krtcká hodota Fscherova rozděleí s m,-stu volost a hladě výzamost. P(X > F (m,) ) =, X má Fscherovo rozděleí s m,-stu volost Itervalové odhady arametrů: Defce..4. Itervalový odhad arametru β základího souboru je terval < B ; B >, v ěmž leží skutečá hodota arametru s ravděodobostí -, tz. P( B β B ) = -. Iterval < B ; B > se azývá terval solehlvost (kofdečí terval) ro arametr β a hladě výzamost (ebo se stuěm solehlvost - ). - 9 -
Pravděodobost a statstka Hodoty B, B jsou krtcké hodoty ro arametr β. Itervaly ( - ; B ) a ( B ; + ) se azývají krtcké tervaly. Iduktví statstka Hlada výzamost je ravděodobost toho, že skutečá hodota odhadovaého arametru eleží uvtř tervalu solehlvost. Bývá zvykem volt hodotu = 0, ebo = 0,05 ebo = 0,0. Stueň solehlvost vyjadřuje ravděodobost toho, že skutečá hodota arametru leží v tervalu solehlvost. Iterval solehlvost lze určt ekoečě moha zůsoby. Nejčastěj se oužívá symetrcký oboustraý terval solehlvost, tz. že arametr β se vyskytuje v jedom z krtckých tervalů s ravděodobostí. P( β < B ) = P( β > B ) =. Věujme se yí tervalovému odhadu ejdůležtějších statstckých velč, středí hodoty a roztylu. Ukazuje se, že te se dá odvodt jako důsledek tzv. cetrálí lmtí věty. Uveďme j v jedom z ěkolka užívaých tvarů bez důkazu: Věta... Nechť X = X + X + + X je áhodá velča, která vzkla součtem ezávslých áhodých velč s koečou středí hodotou μ a koečým roztylem σ. Pak áhodá roměá Y = X + X + X σ μ má ro ormálí rozložeí N(0,). Všměme s hlavě toho, že o výchozím (základím) souboru eí ředokládáo s výjmkou koečost jeho základích charakterstk vůbec c. Hlavě se c eředokládá o jeho rozložeí. Přesto je tedy dokazatelé, že výběrové růměry ormálí rozložeí mají. A jejch středí hodota je rova středí hodotě základího souboru (vzomeňme a bodový odhad středí hodoty) a roztyl těchto - 0 -
Pravděodobost a statstka růměrů je -tou roztylu základího souboru. Iduktví statstka Zde s můžete otevřít lustračí úlohu vyřešeou v Ecelu (ouze a webu).... Itervalový odhad středí hodoty Víme tedy, že velča X μ X μ = σ σ má ormovaé ormálí rozděleí ravděodobost N(0,). Nechť Pak latí: u, u jsou kvatly ormovaého ormálího rozděleí, hlada výzamost. X μ P u u =Φ u Φ u = =. σ Využjeme-l symetre ormovaého ormálího rozděleí ředchozí vztah uravt a tvar u = u, můžeme σ σ P X u μ X + u =, což je ožadovaý oboustraý terval solehlvost ro středí hodotu. Pokud eí záma hodota roztylu základího souboru σ (tak je tomu většou), ahradíme j bodovým odhadem. Itervalový odhad středí hodoty je ak ve tvaru: s s P X u μ X + u =. Podmíce asymtotčost ovšem uto vyhovět a užívat vzorec ouze ro > 30. - -
Pravděodobost a statstka Iduktví statstka Pro meší vzorky latí aalogcký vztah, ale ormálí ormovaé rozložeí je ahrazeo rozložeím Studetovým s - stu volost. Kvatl u ak ahrazujeme kvatlem t (-) Studetova t-rozložeí: s s P t ( ) μ + t ( ) = Výraz σ s Δ= u = u, res. σ s Δ = t = t je vlastě ožadovaá řesost ro hledaý arametr (běžý je zás μ = ±Δ), která latí ro zvoleou hladu výzamost. Ze vztahu ro výočet Δ však můžeme aoak určt, které určí otřebý rozsah výběru, jehož charakterstka má ožadovaou solehlvost, ař.: σ = Δ. u, res. su. = + Δ Řešeé úlohy Příklad..4. Měřl jsme růměr vačkového hřídele a 50 součástkách. Předokládáme ormálí rozděleí souboru. Z výsledků měřeí jsme určl výběrový růměr a výběrovou dserz = 995,6, s = 34,7. Určete terval solehlvost ro středí hodotu základého souboru ř hladě výzamost 5 %. Řešeí: Úlohu vyřešíme v Ecelu - z důvodu jedoduchého výočtu krtcké hodoty ormálího rozděleí omocí ředdefovaé fukce NORMSINV - v souladu s ředchozí teorí: s 34,7 Δ=. u =. NORMSINV ( 0,975 ) =,44558 49 Itervalový odhad středí hodoty je tedy: Δ ; +Δ = 994,584;997,046 Tuto úlohu s můžete otevřít vyřešeou v Ecelu. - -
Pravděodobost a statstka Iduktví statstka Příklad..5. Př měřeí kaacty sady kodezátorů bylo rovedeo 0 měřeí s výsledky v tabulce. Odhaděte terval solehlvost ro kaactu těchto kodezátorů se solehlvostí 90 %, res. 95 %. 5 56 48 53 50 56 40 55 45 48 Řešeí: Úlohu vyřešíme obdobě jako ředchozí říklad..4.: Výběrový růměr a výběrovou směrodatou odchylku s vyočteme v Ecelu omocí ředdefovaých fukcí PRŮMĚR a SMODCH. Výsledky: = 50,3; s = 4,9 Hodot je méě ež 30, tudíž tervalový odhad vyočteme omocí kvatlů Studetova rozděleí. V Ecelu k tomu oužjeme ředdefovaou fukc TINV. Dosazováí do této fukce je oěkud roblematcké, eboť latí: ( ) TINV( ) t =. ; Řešeí úlohy je ak tedy ásledující: s 4,9 Δ 0,90 =. t ( ) =. TINV ( 0,;9) 3,0065 9 s 4,9 Δ 0,95 =. t ( ) =. TINV ( 0,05;9) 3,70 9 Iterval solehlvost a hladě výzamost 90%: Δ ; +Δ = 47,9;53,3 Iterval solehlvost a hladě výzamost 95%: Δ ; +Δ = 46,59;54,0 Tuto úlohu s můžete otevřít vyřešeou v Ecelu.... Itervalový odhad roztylu Přstume yí k odvozeí tervalového odhadu dserze. V 5. katole o rozložeích ravděodobost sojté áhodé velčy bylo kostatováo, že áhodá velča, která - 3 -
Pravděodobost a statstka vzke součtem ormovaých velč s ormálím rozložeím, má Pearsoovo rozložeí χ. Stejě tak často tuto součtovou velču ozačujeme, tedy ( ) χ = má rozložeí σ χ s stu volost. Nezáme-l středí hodotu (a to zravdla latí), ak áhodá velča ( ) ( ) s χ = = má Pearsoovo rozložeí ro ( - ) stuňů volost. σ σ Iduktví statstka Oboustraý tervalový odhad áhodé velčy χ můžeme zasat ravděodobostí rovcí: P χ ( ) χ χ ( ) = čl ( ). s P χ ( ) χ ( ) =. σ Krtcké hodoty jsou tabelováy. Po úravě získáme ravděodobostí rovc ro tervalový odhad roztylu základího souboru v raktčtějším tvaru: P. s (. ) s σ = χ ( ) ( ) χ ( ) Řešeé úlohy Příklad..6. Určete oboustraý kofdečí terval roztylu ormálě rozložeého základího souboru ro hlady solehlvost 0,90, 0,95 a 0,99, když u výběru s rozsahem = byl zjště roztyl 0,64. Posuďte získaé výsledky. Řešeí: Krtcké hodoty Pearsoova rozděleí v ecelu vyočteme omocí ředdefovaé fukce CHIINV. Řešeí ro solehlvost 0,90: - 4 -
Pravděodobost a statstka Iduktví statstka s. s. χ σ ( ) χ ( ).0, 64.0, 64 σ CHIINV 0,05; CHIINV 0,95; ( ) ( ) 0,358,539 σ Zbývající dva říady vyřešíme zcela aalogcky. Tuto úlohu s můžete otevřít vyřešeou v Ecelu. - 5 -
Pravděodobost a statstka Iduktví statstka Úlohy k samostatému řešeí.. Měřl se růměr hřídele a 50 součástkách. Předokládáme ormálí rozděleí souboru. Z výsledků se určl výběrový růměr a výběrová dserze: = 995,6; s = 34,7. Určete terval solehlvost ro středí hodotu a hladě výzamost 5%... Byla měřea délka trváí určtého rocesu. Z měřeí byla zjštěa středí doba trváí rocesu 44 s a směrodatá odchylka 4 s. Sestrojte 90 % a 95 % terval solehlvost ro očekávaou délku rocesu za ředokladu ormálího rozděleí..3. Př měřeí kaacty sady kodezátorů bylo rovedeo 0 měřeí s výsledky: 5, 56, 48, 53, 50, 56, 40, 55, 45, 48. Odhaděte terval solehlvost ro kaactu těchto kodezátorů se solehlvostí a) 90%, b) 95%..4. Bylo zkoušeo 30 áhodě vybraých ocelových tyčí k určeí meze kluzu určtého druhu ocel. Po zracováí výsledků byla určea její emrcká středí hodota 86,4 Ma a roztyl [Ma ]. Určete tervalový odhad arametrů základího souboru s 95% solehlvostí. Kolk vzorků by bylo třeba volt, aby chyba určeé středí hodoty eřesáhla Ma?.5. Určete tervalový odhad s 90% solehlvostí středí hodoty a směrodaté odchylky ro ásledující hodoty: 606, 49, 67, 44, 50, 340, 09, 957, 463, 80, 086, 69, 33, 734, 458, 80, 03, 736, 97, 459. - 6 -
Pravděodobost a statstka Iduktví statstka Výsledky úloh k samostatému řešeí.. <994,6;997,04>.. = 0,: <4,83;46,7> = 0,05: <4,35;46,65>.3. a) <47,9;53,3> b) <46,59;54,0>.4. <8,;90,58> <79,39;6,> = 0.5. <544,4;0,55> <57,;987,73> - 7 -