ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNCKÉ v RAZE Faulta eletrotechnicá Katedra řídící techniy Návrh regulátorů pro předepsanou fázovou bezpečnost baalářsá práce 2006 atri ONERKA ČVUT raha
Anotace Cílem této baalářsé práce bylo naprogramovat program, terý pro něoli změřených bodů frevenční charateristiy regulované soustavy nade onstanty regulátoru, a pro zadanou fázovou bezpečnost a ověřit e v prostředí Matlab a C#. ále v naměřené frevenční charateristice minimalizovat nepřesnosti metodou nemenších čtverců a následně tento program implementovat ao funční blo do návrhového systému C&S. Teoreticá část této baalářsé práce posytue potřebné informace o návrhu, a regulátorů pomocí frevenčních metod a stručně popisue i iné možné metody návrhu. Annotation The first obective of this bachelor thesis was to create program, which finds constants of, and compensators from several measured points of frequency response of a measured plant for specified phase margin, and verify it in Matlab and C# environments. The second obective was to minimalize uncertainties in measured frequency response by the method of least squares and to implement the program as functional bloc in designing system C&S. Theoretical part of this thesis provides necessary information about designing of, and compensators in frequency domain and shortly describes another possible methods of design.
oděování Chtěl bych poděovat všem, do mi přímo či nepřímo pomáhali při vzniu této práce. Zvláště pa děui oc. ng. Janu Johnovi CSc., vedoucímu mé baalářsé práce za podnětné připomíny, rady a za posytnutí všech potřebných materiálů včetně uázových souborů v azyce Matlab. Neméně pa ng. Jurčíovi, terý mi vždy ochotně radil zvláště při práci s apliačním systémem C&S. Velý dí taé patří rodičům a přítelyni, protože mi v průběhu studia posytovali zázemí a vešerou podporu hmotnou i duševní.
OBSAH Úvod... - 8-2 Metody návrhu spoitých regulátorů... - 9-2. Frevenční metody syntézy... - 9-2.. Rezonanční převýšení a šířa přenášeného pásma... - 0-2..2 Amplitudová a fázová bezpečnost... - 0-2..3 Návrh spoitých regulátorů, a... - 2-2.2 Syntéza polohy pólů regulačního obvodu... - 6-2.3 Empiricé metody seřizování regulátorů... - 6-3 Systém pro vývo apliací řídících a informačních systému C&S... - 7-3. Editor diagramu funčních bloů FBE... - 9-4 rogramová část... - 20-4. opis apliace... - 20-4.2 opis výonných procedur... - 20-4.2. rocedura freq_to_trans... - 20-4.2.2 rocedura frpi... - 2-4.2.3 rocedura frpd... - 22-4.2.4 rocedura frpid... - 22-5 řílad použití a výsledy... - 23-5. řílad: Návrh regulátoru... - 23-5.2 řílad: Určení frevenčního přenosu ze zarušené frevenční charateristiy... - 27-6 Závěr... - 28-7 Literatura a použité eletronicé pomůcy... - 29-7. Obsah přiloženého C... - 29 -
Úvod Úvod Na úvod celé práce bych chtěl čtenáře seznámit se záladními metodami návrhu spoitých regulátorů a přiblížit popis něterých záladních techni návrhu. Návrh e proveden pouze s využitím frevenčních metod. alší možné metody návrhu ao např. syntéza polohy pólů regulačního obvodu a empiricé metody seřizování uvádím pouze ao oraovou zmínu o alternativních možnostech návrhu. ále bych chtěl alespoň nastínit záladní informace o návrhovém systému C&S od UNS spol. s.r.o. Brno v proetu nteligentního Návrháře, pro terý měla být moe práce původně určena, avša v důsledu odložení této práce z časových důvodu se iž eho součástí nestala. Následně bych chtěl přeít popisu ednotlivých části mého programu. Zeména se bude ednat o hlavní funční proceduru freq_to_trans, terá zaišťue převod zadané frevenční charateristiy do přenosu systému spolu s minimalizací chyb metodou nemenších čtverců a dále ednotlivých dílčích funčních procedur frpd, frpi a frpid, určených výpočtu příslušných regulátorů dle zadané fázové bezpečnosti. ožadovaný výstup programu by měl posytovat vypočtené onstanty regulátorů ve tvaru časových onstant spolu s vypočtenou amplitudovou bezpečností. V závěru práce bych chtěl posytnout dosažené výsledy s porovnáním v prostředí Matlab. - 8 -
2 Metody návrhu spoitých regulátorů 2 Metody návrhu spoitých regulátorů 2. Frevenční metody syntézy rincipem frevenčních metod návrhu e úprava frevenční charateristiy otevřené smyčy L, ta aby výsledná frevenční charateristia uzavřené smyčy T měla požadovaný průběh. Závislost mezi L a T popisue ednoznačný vztah T L L 2. Obr. 2.. Zpětnovazební řídící systém Typicý přenos uzavřené smyčy bude vypadat ao dolní propust - bude mít Ts až do isté frevence a od této frevence bude frevence dále bude amplituda přenosu lesat, Ts<. V ideálním případě by měl mít ednotovou amplitudu ve všech frevencích za předpoladu nulové fáze by pa přenášel libovolně rychlé změny reference wt v podstatě bez přechodového děe na výstup yt, to vša není reálně usutečnitelné a navíc by se tím přenášely na výstup i nežádoucí vysoofrevenční šumy. ři syntéze pomocí frevenčních charateristi upravueme frevenční charateristiu otevřené smyčy regulačního obvodu ta, abychom splnili uazatele vality, terými sou nečastěi šířa propustného pásma 0 nebo H při nepřeročení rezonančního převýšení A R ve frevenční charateristice uzavřené smyčy. Frevenční charateristiu otevřené smyčy můžeme obecně upravovat změnou zesílení přenosu otevřené smyčy zesílením regulátoru, zařazením sériového orečního členu regulátoru, zpětnovazebním nebo případně eich ombinací. Frevenční metody sou mimo iné vhodné i pro systémy s dopravním zpožděním, neaproximovaným racionálně lomenou funcí. - 9 -
2 Metody návrhu spoitých regulátorů 2.. Rezonanční převýšení a šířa přenášeného pásma ro hodnocení vality řízení definueme na frevenční charateristice uzavřené smyčy následuící míry. Rezonanční převýšení maximální hodnota zesílení Velé rezonanční převýšení znamená velý přemit na přechodové charateristice. Většina řídících systémů se v praxi navrhue s rezonančním převýšením -3 db, protože různé nelinearity, teré nesou lineárním modelem popsány, totiž zpravidla přemity utlumí. oud by se vyžadovalo rezonanční převýšení nulové, tedy bez přemitu, byla by ve sutečnosti odezva zpětnovazebního řídícího systému zbytečně pomalá. Šířa přenášeného pásma frevence, na níž polesne zesílení o 3dB oproti zesílení na nízých frevencích. Širší propustné pásmo znamená rychleší odezvu systému, t. ratší dobu náběhu přechodové charateristiy dobu, za terou přede výstup z 0% na 90% ustálené hodnoty. Na druhou stranu větší šířa přenášeného pásma vša znamená, že systém může reagovat i na vysoofrevenční rušení zpravidla přítomné na vstupech systému. 2..2 Amplitudová a fázová bezpečnost Z Nyquistova ritéria vyplývaí dvě bezpečnostní meze. Amplitudová bezpečnost gain margin, GM říá, olirát se eště může zvětšit zesílení v otevřené smyčce, než se zpětnovazební systém dostane na mez stability. oud systém Ls přenáší signály na isté frevenci GM s fázovým posunutím -80, dostane se ta výstup do protifáze se vstupem bude mít záporné znaméno. Zápornou zpětnou vazbou pa tento signál přivedeme zpět na vstup Ls, de se vša v tomto případě sečte se signálem vstupním. oud má zpětnou vazbou vrácený signál nižší amplitudu než signál budící, zůstane výstup omezený a zpětnovazební obvod stabilní. Nastane-li opačný případ, t. bude zesílen, zpětnovazební systém bude nestabilní. Je-li zesílení pro frevenci GM ednotové, sme na hranici stability. ři návrhu zpětnovazebního řízení e dobré vědět, olirát eště můžeme zvýšit zesílení, než se dostaneme na mez stability. Fázová bezpečnost phase margin, M podobně říá, o a velé zpoždění fázi můžeme dovolit zpozdit vstupní signál na frevenci M, pro terou má přenos Ls ednotové zesílení, než se fáze obrátí na -80 a zpětnovazební systém se ta dostane na mez stability. - 0 -
2 Metody návrhu spoitých regulátorů Obr. 2.2. Amplitudová a fázová bezpečnost Jedním z parametrů při návrhu regulátoru pa může být předem určená fázová bezpečnost otevřené smyčy. Jeí hodnota souvisí s relativním tlumením, pro systém druhého řádu a hodnoty M<70 lze aproximovat vztahem M 00 podle terého lze přibližně zvolit M při požadovaném tlumení ζ., 2.2 V praxi se model nebo zísaná frevenční charateristia řízené soustavy nidy nebude přesně shodovat s realitou a proto při návrhu řízení na modelu zvolíme dostatečnou fázovou bezpečnost, abychom si byli isti, že i při apliaci na reálném, ne zcela totožném systému bude zaištěna stabilita uzavřené smyčy. V praxi se typicy používá fázová bezpečnost M=45. Hodnoty fázové a amplitudové bezpečnosti lze snadno nalézt napřílad na Bodeho diagramu Obr. 2.2.. - -
2 Metody návrhu spoitých regulátorů 2..3 Návrh spoitých regulátorů, a regulátor regulátor použieme tehdy, budeme-li chtít rozšířit propustné pásmo uzavřené smyčy a zvýšit tím rychlost odezvy systému na vstupní signál. regulátor přenáší romě regulační odchyly i eí derivaci a tím do výstupního signálu přidává informaci o časovém trendu odchyly. erivační orece pomáhá rozšířit propustné pásmo frevencí tím, že zvětšue fázový úhel frevenční charateristiy otevřené smyčy při vyšších frevencích. ři nastavení derivační orece musíme ovšem hledat ompromis mezi touto užitečnou funcí a nepříemným zvyšováním zesílení členu na vysoých frevencích. Rozumným ompromisem e využít toho, že na frevenci =/T má frevenční charateristia členu zesílení pouze 2 ½ při fázi +45, zatímco pro nižší frevence prudce lesá fázový úhel a pro frevence vyšší prudce stoupá zesílení. Zvolíme-li tento ompromis, měla by se frevence na frevenční charateristice octnout tam, de potřebueme co nevýše zvýšit fázi a touto orecí přitom co neméně zvýšit zesílení. To bývá nečastěi v bodě M, v němž chceme mít předepsanou fázovou bezpečnost M při eím dosažení obvyle vyde i přiatelná amplitudová bezpečnost AM. ro přenos regulátoru platí: C s s T s s 2.3 T p ; T 2.4 Konstanty a představuí proporciální a derivační složu regulátoru, T e derivační časová onstanta a e derivační frevence. ři návrhu regulátoru postupueme následuícím způsobem. arametr, zlomovou frevenci regulátoru, volíme ta, aby byla shodná se zatím neznámou frevencí M, na níž budeme měřit fázovou bezpečnost výsledného přenosu otevřené smyčy Ls, tedy zvolíme = M. Na této frevenci zvýší člen fázi soustavy o 45. arg L arg arg C arg 45 2.5 Fázová bezpečnost M e definována vztahem 80 M arg L. 2.6 Kombinací vztahu 2.5 a 2.6 zísáme - 2 -
2 Metody návrhu spoitých regulátorů - 3 -. 225 arg M 2.7 oud zvolíme M=45, vyde fáze soustavy na frevenci. 80 arg 2.8 Neznámou frevenci tedy nademe na frevenční charateristice řízeného systému s v místě, de eho fáze prochází -80. Nyní už zbývá pouze určit poslední parametr regulátoru. Ten určíme z podmíny, že poud e frevence, na teré se odečítá fázová bezpečnost, musí na ní zesílení otevřené smyčy L být ednotové 2 C L 2.9 Úpravou zísáme požadované onstanty regulátoru. 2 ; 2 2.0 regulátor regulátor volíme v případě, že vyžadueme nulovou ustálenou odchylu pro onstantní požadovanou veličinu i za cenu snížení rychlosti odezvy systému na vstupní signál. ro přenos regulátoru platí:. s s s s T s s C 2. T T ; 2.2 Konstanty i a p představuí proporcionální a integrační složu regulátoru, T i e integrační časová onstanta a i e integrační frevence. V případě návrhu regulátoru se přenos v podstatě liší od přenosu regulátoru pouze členem /s, postup proto bude obdobný.
2 Metody návrhu spoitých regulátorů arametr, integrační frevenci regulátoru, volíme ta, aby byla shodná se zatím neznámou frevencí M, na níž budeme měřit fázovou bezpečnost výsledného přenosu otevřené smyčy Ls, tedy zvolíme = M. Na této frevenci sníží člen fázi soustavy o -45. arg L arg arg C arg 45 2.3 Fázová bezpečnost M e definována vztahem 80 M arg L. 2.4 Kombinací vztahu 2.3 a 2.4 zísáme arg 35 M. 2.5 oud zvolíme M=45, vyde fáze soustavy na frevenci arg 90. 2.6 Neznámou frevenci tedy nademe na frevenční charateristice řízeného systému s v místě, de eho fáze prochází -90. Nyní už zbývá pouze určit poslední parametr regulátoru. Ten určíme z podmíny, že poud e frevence, na teré se odečítá fázová bezpečnost, musí na ní zesílení otevřené smyčy L být ednotové. L C 2 i 2.7 Úpravou zísáme požadované onstanty regulátoru. ; 2 2.8-4 -
2 Metody návrhu spoitých regulátorů - 5 - regulátor regulátor volíme v případě, dy potřebueme zmenšit ustálenou odchylu a zároveň co neširší přenášené pásmo frevencí. ro přenos regulátoru platí: s T s s T s s s s s s s s C i i 0 0 2.3 T T ; 2.4 T ; ; 2.5 ři návrhu regulátoru postupueme obdobně ao u regulátoru s tím rozdílem, že frevenci i zvolíme taovou, aby se vliv integrační orece = M, de budeme měřit fázovou bezpečnost, téměř neproevil, t. typicy i zvolíme =0.. Avša vzhledem posunu pólů uzavřené smyčy nulám často =0.2. Následně zvolíme fázovou bezpečnost M a z podmíny rovnováhy fáze na frevenci ω Δ vypočteme příslušný fázový úhel frevenční charateristiy regulované soustavy. M 225 arg 2.6 Z tohoto vztahu Δφ =80 /π / představue přírůste fáze a arg e příslušný fázový úhel frevenční charateristiy regulované soustavy. ále z φ Δ nademe na frevenční charateristice regulované soustavy zatím neznámou frevenci Δ ta, aby platilo arg. 2.7 erivační frevenci regulátoru položíme rovnu Δa následně z podmíny 2 C L 2.8 Výsledné parametry,, a regulátoru, vypočteme pomocí vztahů 2.5 a 2.9. 2 ; ; 2.9
2 Metody návrhu spoitých regulátorů 2.2 Syntéza polohy pólů regulačního obvodu Záladem metod syntézy využívaících umísťování pólů e porovnání žádaného popisu uzavřené smyčy s obecným tvarem tohoto popisu. V obecném tvaru popisu se vysytuí onrétní parametry soustavy a zatím neznámé parametry regulátoru. orovnáním obou popisů zísáme soustavu rovnic pro parametry regulátoru. o této supiny syntéz patří dvě následuící metody:. metoda předepsané onfigurace predominantních pólů Tato metoda slouží seřizování lasicých spoitých regulátorů. Vede na optimální onfiguraci něolia pólů uzavřené smyčy. Model přenosu popis uzavřené smyčy regulace e tedy z principu neúplně definován. Metoda vede v něterých ednoduchých případech na přímý výpočet onstant regulátoru a zonfigurování všech pólů soustavy. Ve složitěších případech vede na ompliovanou soustavu nelineárních rovnic algebraicých rovnic a nerovností. 2. metoda umisťování pólů ři této metodě můžeme teoreticy dosáhnout libovolných hodnot pólů a do isté míry nul vyráceného přenosu řízení. Tato metoda e vhodná pro spoité i disrétní systémy. 2.3 Empiricé metody seřizování regulátorů V této apitole uvedu pouze zmínu o dvou neběžněších empiricých metodách seřizování regulátorů. rvní z nich bude metoda ručního seřizování regulátorů a druhá metoda Zieglera a Nicholse.. metoda ručního seřizování regulátorů Kritérium pro tuto metodu e dosažení maximálního zesílení proporcionálního a integračního análu regulátoru při co nerychleším přechodovém děi a zachování předem zvoleného průběhu přechodové charateristiy uzavřené smyčy regulačního obvodu např. zvoleného přeývnutí. 2. metoda Zieglera a Nicholse Zálad této metody vychází z nalezení riticé frevence K a riticého zesílení S K. Kriticé zesílení a riticou frevenci nademe na frevenční charateristice nebo zusmo na reálné soustavě např. ručním rozmitáním v protifázi nebo po zapoení regulátoru ta, že regulátor zapoíme ao proporcionální a zvyšueme eho zesílení až po dosažení meze stability. - 6 -
3 Systém pro vývo apliací řídících a informačních systému C&S 3 Systém pro vývo apliací řídících a informačních systému C&S Architetura vývoového systému vychází z abstratní systémové funce integrace proetových dat roect ata ntegration, terá realizue systémové požadavy, ladené na vývoový systém. Z toho plyne, že architetura vývoového systému e určena struturou systémové funce integrace proetových dat implementované do vývoového systému. Funce integrace proetových dat e funcí abstratní. Systémová funce integrace proetových dat se odvozue od typových úloh v záladních fázích vývoe apliace : obetová analýza apliace Analysis Application; obetový návrh apliace esign Application. Uživatelsé funce vývoového systému sou realizovány prostřednictvím nástroů vývoového systému. rocesy realizuící uživatelsé funce sou vyádřeny záladním diagramem procesních řetězců vývoe apliace. Esenciální model obsahue architeturu apliace Architecture Application e vyádřen ve formě: diverzifiace úlohy identifiace resp. řízení mezi ednotlivé procesory; definice úlohy pro aždý procesor; deompozice úlohy aždého procesoru. Architetura apliace e definována diagramem systémové architetury Systém Architecture iagram. iagram systémové architetury obsahue dvě vzáemně souviseící definice: způsob omuniace apliace s relevantním oolím; vzáemnou omuniaci mezi ednotlivými procesory. Z diagramu systémové architetury plynou apliační ontexty ednotlivých procesorů. Apliační ontext procesoru e vyádřen ontextovým diagramem. Kontextový diagram představue diagram datových toů ata Flow iagram a e umístěn na vrcholu apliace. Vyadřue propoení procesu apliace na eí rozhraní. iagram datových toů má hierarchicý charater. rostřednictvím hierarchie diagramu funčních bloů se provádí proces funční i datové deompozice funčních požadavů na apliaci směrem od abstratních procesů až po onrétní implementovatelné funce. Struturovaná analýza obsahue definice strutury apliace pro ednotlivé procesory Structure Application efinition. Strutura apliace definue obety pro procesy tvořící struturovaný návrh apliace. Jde o následuící procesy: avizice a distribuce dat; zpracování dat; persistence dat. - 7 -
3 Systém pro vývo apliací řídících a informačních systému C&S Obsah uvedených procesorů e definován ve fázi struturovaného návrhu. Výsledem úlohy delarace rocess eclaration e specifiace funcí aždého procesoru rocess Specification. Výsledem struturovaného návrhu se provádí transformace esenciálního modelu na model implementační, enž vyadřue chování apliace. Obr. 3. osloupnost užití editorů vývoového systému v rámci cylu vývoe apliace - 8 -
3 Systém pro vývo apliací řídících a informačních systému C&S 3. Editor diagramu funčních bloů FBE Editor diagramu funčních bloů FBE představue eden z nástroů vytvářeného apliačního systému C&S. Architetura FBE e oncipována ta, aby vyhovovala architetuře C&S. Apliace FBE e oncipována ao otevřený systém. Systém může být funčně doplňován pomocí dynamicy připoovaných obetových modulů. od pomem dynamicy připoitelný obetový modul e v následuícím popisu vždy míněn modul programu v provedení{ro}.ll, terý lze dynamicy připoit apliaci v čase eho běhu RO - ynamic Runtime Obect. Vývo a udržování velých programových apliací lade velé nároy na specifiace vnitřních vazeb, spolupráci ednotlivých částí, stanovení rozhraní. Apliace FBE e od počátu navrhována ao obecně rozšiřitelná, a z pohledu programátora ta z pohledu uživatele. Obr. 3.. iagram funčních bloů FBE Od programu FBE se navíc očeává sdružování různých vzáemně závislých i nezávislých úloh dle výběru uživatele. Různí uživatelé mohou mít různé požadavy na sestavu úloh teré potřebuí pro řízení svého technologicého procesu popř. zísání informace o stavu technologicého procesu. - 9 -
4 rogramová část 4 rogramová část V této části bych se chtěl blíže věnovat samotné apliaci s bližším popisem a přiblížením eích ednotlivých výonných částí. Nedříve se zaměřím na popis apliace ao celu a následně v navazuící části se pousím obasnit samotné výonné procedury. 4. opis apliace rogram byl vytvořen v azyce C# v prostředí Microsoft Visual C#.NET. o odložení této práce, dy měla být použita ao funční blo editoru diagramu funčních bloů FBE v proetu nteligentního návrháře, e tato apliace pouze samostatnou apliací pro návrh regulátorů pomocí frevenčních charateristi. Apliace obsahue vlastní instalátor, terý po spuštění provede uživatele ompletní instalací. rogramové prostředí umožňue zadávání hodnot naměřené frevenční charateristiy prostřednictvím zadávacího formuláře, případně načtením dat z uložených souborů s možnostmi editace. o zadání hodnot vstupní frevenční charateristiy se provádí výpočet přenosových funcí viz apitola 4.2. procedura freq_to_trans podle uživatelem zadaného řádu čitatele a menovatele. Uživatel má možnost prohlédnutí frevenčních charateristi ednotlivých přenosů a má možnost posoudit valitu určení těchto přenosů pomocí zobrazených úhlu vyčnívání, případně si prohlédnout relativní chyby výpočtu. o výběru přenosové funce a zadání požadované fázové bezpečnosti má uživatel možnost volby ze třech dostupných typů regulátorů, a viz apitoly 4.2.2 frpd, 4.2.3 frpi a 4.2.4 frpid. U regulátorů zároveň volí poměr integrační a derivační frevence dle svého uvážení. Výsledem e zobrazení vypočtených onstant regulátorů spolu s přenosem vybraného regulátoru. 4.2 opis výonných procedur 4.2. rocedura freq_to_trans F s Tato procedura e určena výpočtu přenosové funce m 0 n i0 b s a s i i m n z něolia změřených bodů frevenční charateristiy pro zvolené frevence, 2, 3, Frevence sou voleny, aby vystihly část frevenční charateristiy, potřebnou pro budoucí syntézu uzavřené smyčy regulačního obvodu, tedy nečastěi pro fázové úhly mezi -00 a -80. Zísaný přenos nemusí být fyziálně správný díy chybám měření a zednodušením sutečně málody bude fyziálně správný, ale vystihue obvyle s dostatečnou přesností průběh frevenční charateristiy v daném rozsahu frevencí a dá se tedy využít syntéze. roblémem zůstává volba řádu náhradního modelu. Ten e možno určit např. podle minima relativní chyby s přihlédnutím průběhu sinů úhlu vyčnívání.v zásadě by měl být model pro syntézu stabilní, co nenižšího řádu, s co nemenší chybou výpočtu nemenších čtverců sqrerrv a nemenší sinus - 20-4.
4 rogramová část úhlu vyčnívání v příslušném řádu matice sinuvm měl být alespoň 0,005. Sinus úhlu vyčnívání e měřítem podmíněnosti příslušné soustavy rovnic pro výpočet nemenších čtverců. Obecně taé nemusí platit, že nelepší náhradní model musí mít stený řád ao identifiovaný systém, protože v omezeném rozsahu frevencí může lépe vyhovovat model nižšího řádu. Záladem algoritmu e porovnání vzorce pro výpočet ednotlivých bodů frevenční charateristiy a příslušných naměřených hodnot: F m b ω b ω b ω n 2 3 an ω a ω a0 m 0 0 ω ω, ω, ω,. 4.2 o vynásobení vznilých rovnic menovateli přenosů a rozdělení na reálnou a imaginární část zísáme dvonásobný počet lineárních algebraicých rovnic, vhodných výpočtu neznámých parametrů a i a b Re Re 2 3 F ω a 0 a2ω mf ω a ω a3ω 3 2 F ω a ω a ω mf ω a a ω 3 0 2 b 0 b b 2 ω b ω 3 0 0 ω ω, ω,ω, 2 3 2 3. 4.3 V algoritmu e dále pro výpočet použita metoda nemenších čtverců, onrétně procedury reduce a elim. rocedura reduce slouží reduci aždé ze zísaných rovnic do troúhelníové matice. rocedura elim provádí eliminaci soustavy lineárních algebraicých rovnic, zapsaných v rozšířené troúhelníové matici ta e zapsaná ao vetor po řádcích ao A[x',]'=0, poslední sloupec odpovídá záporným pravým stranám. 4.2.2 rocedura frpi rocedura frpi slouží nastavení regulátoru podle zadané fázové bezpečnosti. Jeí funce spočívá v nalezení onstant regulátoru z něolia neméně dvou bodů frevenční charateristiy. Regulátor by měl zaistit předepsanou fázovou bezpečnost přenosu uzavřené smyčy. Body frevenční charateristiy sou voleny v blízosti bodu, v němž má frevenční charateristia fázový posun přibližně -60 až -90 z důvodu přesnosti nepříliš daleo od tohoto rozsahu. oužitý algoritmus interpolue, případně extrapolue zadané body frevenční charateristiy a nade nepravděpodobněší bod, v němž má frevenční charateristia soustavy fázový posun -35 +Δφ, de Δφ e předepsaná fázová bezpečnost uzavřené smyčy. o tohoto bodu frevenční charateristiy umístí absolutní hodnotu nuly regulátoru i = / představue integrační složu a proporcionální složu regulátoru, což e bod v němž má frevenční charateristia regulátoru fázový posun -45. Tím na této frevenci zaručí fázový posun frevenční charateristiy otevřené smyčy regulace -80 +Δφ. a iž pouze vypočte integrační onstantu regulátoru r_ ta, aby v tomto bodě bylo zesílení v otevřené smyčce rovno právě edné, což e podmína pro dosažení předepsané fázové bezpečnosti. - 2 -
4 rogramová část 4.2.3 rocedura frpd rocedura frpd představue ve své podstatě analogii předchozí proceduře frpi a slouží nastavení regulátoru podle zadané fázové bezpečnosti. ro přehlednost zde uvedu i eí popis s drobnými odlišnostmi od předchozího případu. Jeí funce opět spočívá v nalezení onstant regulátoru z něolia neméně dvou bodů frevenční charateristiy. Body frevenční charateristiy sou voleny v blízosti bodu, v němž má frevenční charateristia fázový posun přibližně -50 až -80 z důvodu přesnosti nepříliš daleo od tohoto rozsahu. Opět se provádí interpolace a dochází nalezení nepravděpodobněšího bodu, v němž má frevenční charateristia soustavy fázový posun -225 +Δφ, de Δφ e předepsaná fázová bezpečnost uzavřené smyčy. o tohoto bodu frevenční charateristiy se následně umístí absolutní hodnotu nuly regulátoru = / představue proporcionální složu a derivační složu regulátoru, což e bod v němž má frevenční charateristia regulátoru fázový posun +45. Tím na této frevenci zaručí fázový posun frevenční charateristiy otevřené smyčy regulace -80 +Δφ. a iž pouze vypočte proporcionální zesílení regulátoru r0 ta, aby v tomto bodě bylo zesílení v otevřené smyčce rovno právě edné, což e podmína pro dosažení předepsané fázové bezpečnosti. 4.2.4 rocedura frpid rocedura frpid vychází z předchozích dvou procedur. Naznačím iž pouze v rychlosti. o provedení interpolace a dochází nalezení nepravděpodobněšího bodu, v němž má frevenční charateristia soustavy fázový posun -225 +Δφ+arctgΔ, de Δφ e předepsaná fázová bezpečnost uzavřené smyčy a Δ / e poměr integrační a derivační frevence. o tohoto bodu frevenční charateristiy se následně umístí absolutní hodnotu nuly regulátoru. Tím v tomto bodě zaručí fázový posun frevenční charateristiy otevřené smyčy regulace -80 +Δφ. a iž pouze vypočte onstanty regulátoru ta, aby v tomto bodě bylo zesílení v otevřené smyčce rovno právě edné, což e podmína pro dosažení předepsané fázové bezpečnosti. - 22 -
5 řílad použití a výsledy 5 řílad použití a výsledy 5. řílad: Návrh regulátoru ředpoládeme, že na neznámé soustavě s přenosem třetího řádu s 3 s sme naměřili s dostatečnou přesností pět bodů frevenční charateristiy na frevencích [0.3, 0.5,,.5, 2]. Změřené hodnoty zesílení činí [0.879, 0.75, 0.354, 0.7, 0.08] a hodnoty změřené fáze ve stupních [-50, -79.69, -35, -68.93, -90]. Naměřené hodnoty zadáme do programu formou vstupního textového souboru, případně zadáme ze zadávacího formuláře. Obr. 5.. Vstupní naměřené hodnoty Následně zvolíme řád hledané přenosové funce. Můžeme použít např. stený řád ao předpoládáme u neznáme soustavy řád menovatele=0, řád čitatele=3. o dosazení požadovaných řádů program nabízí dvě dostupné soustavy. rvní z nich e požadovaná soustava řád menovatele=0, řád čitatele=3, druhá soustava řád menovatele=0, řád čitatele=2. Soustavu vybíráme např. podle relativních chyb výpočtu přenosových funcí viz. Obr. 5..2 s přihlédnutím hodnotám sinů vyčnívání viz. Obr 5..3.. Volbu soustavy provedeme podle nemenší relativní chyby výpočtu přenosové funce, přičemž nemenší sinus úhlu vyčnívání v příslušné soustavy neměl být menší než 0,005 z důvodu přesnosti. Obr. 5..2 Relativní chyby výpočtu přenosových funcí - 23 -
5 řílad použití a výsledy Obr. 5..3 Hodnoty sinů úhlů vyčnívání Volíme soustavu, terá odpovídá požadavu nemenší relativní chyby. V našem případě toto odpovídá soustavě viz. Obr. 5..3.. Hodnoty GOO signalizuí, že při výpočtu nedošlo polesu sinů úhlů vyčnívání pod požadovanou mez 0.005. Obr. 5..4 Vypočtené přenosové funce Nyní zvolíme-li hodnotu fázové bezpečnosti např. 60º, zísáme onstanty regulátoru s přenosovou funcí C s 2.64s 3. 77. Obr. 5..5 - Vypočtené onstanty regulátoru - 24 -
5 řílad použití a výsledy Tento regulátor sutečně zaistí přenos otevřené smyčy, ehož frevenční charateristia má sutečně fázovou bezpečnost sutečně 59.8 ~60, o čemž se můžeme přesvědčit např. v Matlabu pomocí nástroe sisotool viz. Obr. 5..6. Obr. 5..6 - Amplitudová a fázová bezpečnost soustavy s regulátorem Vliv chyb měření: oud se při měření ednotlivých bodů frevenční charateristiy dopustíme výrazných náhodných chyb s nulovou střední hodnotou, může při větším počtu změřených bodů použitá metoda nemenších čtverců chyby vyrovnat. Nyní zusíme zašumět data např: fázi gaussovsou chybou ozn: Jao generátor náhodných chyb s nulovou střední hodnotou byla použita funce randn v Matlabu. o zašumění zišťueme, že se původní přenos s výslednému 3 s - 25 -
5 řílad použití a výsledy zčásti podobá, ale ve většině případů tomu ta není viz př. 5.2 v apitole 5. Avša při porovnání frevenčních charateristi původního a zašuměného přenosu zistíme, že výsledná frevenční odezva e podobná původní frevenční odezvě systému viz. Obr 5..8 a 5..9. Obr. 5..7 - Vypočtené přenosové funce zašuměných vstupních dat fáze Obr. 5..8 Frevenční charateristia v omplexní rovině původního systému Obr. 5..9 Frevenční charateristia v omplexní rovině zašuměného systému - 26 -
5 řílad použití a výsledy 5.2 řílad: Určení frevenčního přenosu ze zarušené frevenční charateristiy 5s 0 Jao vstupní data předpoládeme data změřené na soustavě s. 3 2 s 2s 3s 4 ro nezašuměná data zísáváme správný výslede pro přenos třetího řádu.25s 2.5 s. Ovšem stačí vstupní data trochu zašumět např. fázi 3 2 0.25s 0.5s 0.75s 0.672s 2.2205 gaussovsou chybou a zísáváme úplně iný přenos s, 3 2 0.00398s 0.475s 0.465s terý se původnímu vůbec nepodobá. řesto e eich frevenční charateristia dosti podobná. Toto můžeme posoudit v Matlabu viz. obr. 5.2. Frevenční charateristia rozdílu původního a vypočteného systému. Obr. 5.2. Frevenční charateristia rozdílu původního a vypočteného systému Z obrázu e zřemé, že v daném rozsahu frevencí..2 rad/s frevenční charateristia rozdílu liší en velmi málo příbližně o -20 db. - 27 -
6 Závěr 6 Závěr Tato baalářsá práce měla původně vzninout ao sromná součást proetu nteligentního návrháře ve spolupráci s UNS s.r.o. Brno. Avša v důsledu problémů, s terými sem se setal v průběhu odlaďování líčových procedur programu, se z časových důvodu vydání proetu tato práce iž nestala eho součástí. Tudíž v současné době e tato práce využitelná ao samostatný program pro návrh regulátorů ze zadané frevenční charateristiy. V práci se podařilo realizovat návrhy ednotlivých typů regulátorů se zadanou fázovou bezpečností. Z větší části se ednalo o implementaci a přeprogramování převzatých funčních bloů z prostředí Matlab do prostředí C#. rogram e využitelný pro běžný návrh regulátorů ze zarušené vstupní frevenční charateristiy. Výsledy návrhu e možné posoudit na příladech viz. apitola 5. Koncepce programu e vytvořena ta, aby program mohl být dále rozšířen o další metody návrhu regulátoru ao např. o popsané syntézy polohy pólů regulátoru viz. apitola 2.2 a empiricé metody viz. apitola 2.3. Součástí baalářsé práce e přiložené C se zdroovými ódy, instalátorem a manuálem programu. - 28 -
7 Literatura a použité eletronicé pomůcy 7 Literatura a použité eletronicé pomůcy [] John J.: Systémy a řízení, raha: Vydavatelství ČVUT, 2003. [2] Horáče.: Systémy a modely, raha: Vydavatelství ČVUT, 200 eletronicé pomůcy [] John J.: John, J.: texty a programy na http://dce.fel.cvut.cz/sri2/ondera/onerka/ nebo v adresáři X:\VYUKA\TAR\SR\ONERKA [2] Lawson, R.C., Hanson, C.L.: Solving Least Squares roblems. rentice Hall, nc., 974 viz též http://home.att.net/~hanson.ool/pubs2004.htm [3] UNS, spol. s.r.o.: evelopment System rogrammer Guide, 2006 [4] Havel.: Frevenční metody syntézy použitý software [] Matlab Version 6.5.0.8093a Release 3 [2] Microsoft Visual Studio 2003.NET [3] nihovny ot.net.magic 2...0 - v rámci licenčního uednání UNS spol. s.r.o. Brno [4] nihovny Graphic Server. Net - v rámci licenčního uednání UNS spol. s.r.o. Brno 7. Obsah přiloženého C C obsahue následuící adresáře a soubory: /nstall/ /Zdroové ódy/ /oumentace/ /bp_ondera_2006.pdf Adresář obsahue ompletní instalaci programu Adresář se zdroovými ódy v C#. Tento adresář obsahue uživatelsou příruču programu. Tento doument ve formátu F. - 29 -