Obsah 3 Limita funkce 2 3.1 Limitafunkcevbodě... 2 3.2 Jednostrannéity... 3 3.3 Vlastnostiitfunkcí..... 4 3.4 Výpočetitfunkcí... 5 4 Spojitost funkce 6 4.1 Spojitostfunkcevbodě.... 6 4.2 Vlastnostifunkcíspojitýchvbodě..... 7 4.3 Bodynespojitosti..... 7 4.4 Spojitostfunkcenamnožině..... 7 4.5 Funkcespojiténauzavřenémintervalu... 8
3 Limita funkce 3.1 Limitafunkcevbodě Definice3.1 Nechť c Rjehromadnýmbodemdefiničníhooborufunkce f.říkáme,žefunkce f mávbodě cvlastníitu a R,jestliže 0 < x c < δ: f(x) a < ε f(x)=a Definice3.2 Nechť (resp. )jehromadnýmbodemdefiničníhooborufunkce f.říkáme,že funkce fmávlastníitu a Rv(nevlastním)bodě (resp. ),jestliže ε >0 K R x Df x > K : f(x) a < ε (resp. ε >0 K R x Df x < K : f(x) a < ε ) f(x)=a x f(x)=a x 2
Definice3.3 Nechť c Rjehromadnýmbodemdefiničníhooborufunkce f.říkáme,žefunkce f má v bodě c nevlastní itu (resp. ), jestliže K R δ >0 x Df 0 < x c < δ:f(x) > K (resp. K R δ >0 x Df 0 < x c < δ: f(x) < K ) f(x)= f(x)= Definice3.4 Nechť jehromadnýmbodemdefiničníhooborufunkce f.říkáme,žefunkce fmá nevlastní itu (resp. ) v nevlastním bodě, jestliže K R M R x Df x > M : f(x) > K (resp. K R M R x Df x > M : f(x) < K ) Definice3.5 Nechť jehromadnýmbodemdefiničníhooborufunkce f.říkáme,žefunkce fmá nevlastní itu (resp. ) v nevlastním bodě, jestliže 3.2 Jednostranné ity K R M R x Df x < M : f(x) > K (resp. K R M R x Df x < M : f(x) < K ) Definice3.6 Nechť c Rjehromadnýmbodemdefiničníhooborufunkce fzleva(resp.zprava). Říkáme,žefunkce fmávbodě cvlastníitu a Rzleva(resp.zprava),jestliže c δ < x < c: f(x) a < ε (resp. c < x < c+δ: f(x) a < ε ) Analogicky lze definovat i nevlastní jednostranné ity. Věta1 Nechť cjehromadnýmbodemdefiničníhooborufunkce f.potom 1.existujíobějednostrannéity f(x)=a 2. + f(x)= f(x)=a 3
3.3 Vlastnosti it funkcí Věta2 Každáfunkcemávboděnejvýšejednuitu. Věta 3 Konstantní funkce má itu v každém bodě svého definičního oboru. Věta4 Uvažujmefunkce f a g.nechť c R anechťexistuje P(c)(tj.redukovanéokolíbodu c) tak,že U (c) Df= U (c) Dg.Nechťdáleprovšechna x U (c) Df platí f(x)=g(x). Potom f(x)existujeprávětehdy,kdyžexistuje g(x)apřitomseoběityrovnají. Věta5 Nechť f(x)=a R(vlastníitavbodě c).potomexistujeredukovanéokolí U (c) tak,žefjeomezenánamnožině U (c) Df. Věta 6(Algebraické operace s itami) Nechť c je hromadným bodem definičních oborů funkcí fa g.nechťexistujíity f(x) R a g(x) R.Potomplatí jestližemajívýrazynapravéstraněsmyslvr. (f(x) ± g(x))= f(x) ± g(x) (f(x) g(x))= f(x) g(x) f(x) g(x) = f(x) g(x) f(x) = f(x) Věta7 f(x)=0 f(x) =0 1 f(x) = f(x) =0 Věta8 Nechť f(x)=a 0a g(x)=0.potom { f(x) pokudsgn a=sgn g(x)nanějakém U g(x) = (c) pokudsgn a= sgn g(x)nanějakém U (c) Věta9 Nechť f(x)=0anechťjefunkce g(x)omezenánanějakémredukovanémokolí U (c). Potom (f(x) g(x))=0. Věta10(oitětřífunkcí) Nechťprofunkce f, gahplatí f(x) g(x) h(x)nanějakém U (c) existujíity f(x)a h(x) f(x)= h(x)=a Potomexistujeiita g(x)aplatí g(x)=a. 4
3.4 Výpočet it funkcí Věta11(oitěsloženéfunkce) Nechť a,b,c R.Nechťjesloženáfunkce g f definovaná namnožině {x Df; f(x) Dg}.Nechť Nechť je dále splněna alespoň jedna z podmínek f(x)=a a g(y)=b. y a existuje U (c)tak,žeprovšechna x U (c) Dfplatí f(x) a g(a)=b. Potomexistujeitasloženéfunkce g fvbodě caplatí g(f(x))=b Dále se při výpočtu it funkcí používají věty uvedené v předchozí kapitole, znalosti význačných it některých elementárních funkcí a také několik vzorečků: x ax = 0 pro0 a <1 1 proa=1 proa >1 x ± 1 x ± x =0 x ax = ( 1+ 1 x) x = e x 0 (1+x)1 x = e ln(1+x) sin x =1 x 0 x x 0 x =1 pro0 < a <1 1 proa=1 0 proa >1 a x 1 =ln a, kde a R + \ {1}, x 0 x e x 1 speciálně =1 x 0 x 5
4 Spojitost funkce 4.1 Spojitost funkce v bodě Definice4.1 Nechť c Df.Funkce fsenazýváspojitávboděc,jestližeprovšechna ε >0existuje δ >0tak,žeprovšechna x Dfsplňující x c < δplatí f(x) f(c) < ε,tj.jestliže x c < δ: f(x) f(c) < ε Věta12 Nechť d Dfjeizolovanýmbodemdef.oborufunkce f.pakjefunkce fspojitávbodě c. Věta13 Nechť c Dfjehromadnýmbodemdefiničníhooborufunkce f.potomplatí Definice4.2 Nechť c Df. fjespojitávbodě c f(x)=f(c) Nechť cjehromadnýmbodem Dfzleva.Funkce fsenazýváspojitázlevavbodě c,jestliže c δ < x c: f(x) f(c) < ε Nechť cjehromadnýmbodem Dfzprava.Funkce fsenazýváspojitázpravavbodě c,jestliže c x < c+δ: f(x) f(c) < ε Věta14 Nechť c DfjehromadnýmbodemDfzlevaizprava.Potom fjespojitávbodě c fjespojitávbodě czlevaizprava 6
4.2 Vlastnosti funkcí spojitých v bodě Věta15 Nechť fjespojitávbodě c Df.Potomexistujeokolí U(c)takové,žefunkce fjeomezená na U(c) Df. Věta16 Nechť fjespojitávbodě c df anechť f(c) <0(resp. f(c) >0).Potomexistujeokolí U(c)tak,že f(x) <0provšechna x U(c) Df(resp. f(x) >0provšechna x U(c) Df). Věta17 Nechťjsoufunkce fa gspojitévbodě c Df Dg( ).Potomjsouvbodě cspojitéi funkce f ± g, f g, f g (pro g(c) 0)a f. Věta18(ospojitostisloženéfunkce) Nechťjefunkce fspojitávbodě c Dfanechťjefunkce gspojitávbodě y= f(c) Dg(tj.platí Hf Dg ).Potomjesloženáfunkce f gspojitávbodě c. Věta19(ospojitostiinverznífunkce) Nechťjefunkce fprostána Dfanechťjespojitávbodě c Df.Potomfunkce f 1 (inverznífunkcekfunkci f)jespojitávbodě f(c). 4.3 Body nespojitosti Definice4.3 Nechť cjehromadnýmbodem Df.Říkáme,žefunkce fmávbodě codstranitelnou nespojitost, jestliže existujevlastníita f(x)=a R, existuje-li f(c),pak f(c) a. Definice4.4 Říkáme,žefunkce fmávbodě c Rnespojitost1.druhu(typuskok),jestližeexistují vlastní jednostanné ity v bodě c, ale přitom se nerovnají, tj. jestliže f(x) f(x) + Definice4.5 Říkáme,žefunkce fmávbodě c Rnespojitost2.druhu,jestližeaspoňjednajednostranná ita v bodě c neexistuje nebo je nevlastní. 4.4 Spojitost funkce na množině Definice 4.6(spojitost funkce na množině) Funkce f se nazývá spojitá na neprázdné množině M Df,jestližejespojitávkaždémboděmnožiny M.Je-li M= Df, fsenazýváspojitá na definičním oboru, krátce spojitá. Je-li M Df intervalskrajnímibody aab,kde a < b,potomsefunkce f nazýváspojitá naintervalu M,jestližejespojitávkaždémvnitřnímboděmnožiny Mapokud a M,resp. b M,jespojitávbodě azprava,resp.vbodě bzleva. Věta 20 Každá základní elementární funkce je spojitá(na Df. Věta 21 Součet, rozdíl, součin a podíl dvou spojitých funkcí, absolutní hodnota spojité funkce a funkce složená ze dvou spojitých funkcí jsou funkce spojité. Věta 22 Každá elementární funkce je spojitá. Věta 23 Je-li funkce spojitá(na Df), pak je spojitá na každé podmnožině svého definičního oboru. Definice4.7 Funkce f senazývápočástechspojitánaintervalu I Df,má-linaintervalu I nejvýše konečný počet bodů odstranitelné nespojitosti a nespojitostí 1.druhu(skoků) a přitom nemá žádné body nespojitosti 2.druhu. 7
4.5 Funkce spojité na uzavřeném intervalu Věta24(1.Weirstrassova) Nechť fjespojitánaintervalu < a,b >.Pakjefunkce fna < a,b > omezená. Věta25(2.Weierstrassova) Nechť fjespojitánaintervalu < a,b >.Pakfunkce f nabývána < a,b >svounejvětšíinejmenšíhodnotu(tj.existujíbody c,d < a,b >takové,že f(c)=max{f(x); x < a,b >} a f(d)=min{f(x); x < a,b >}) Věta26(1.Bolzanova) Nechť f jespojitánaintervalu J.Nechť a,b J, a < banechť f(a) f(b) <0.Potomexistujeaspojedenbod ξ (a,b)takový,že f(ξ)=0. Věta27(2.Bolzanova;omezihodnotě) Nechť fjespojitánaintervalu J.Nechť a,b J, a < b anechť f(a) f(b).potomkekaždémučíslu γležícímumezibody f(a)af(b)existujeaspoňjeden bod ξ (a,b)takový,že f(ξ)=γ. 8