Spojitost a limita funkce, limita posloupnosti

Transkript

1 Spojitost a ita funkce, ita posloupnosti Spojitost funkce Limita funkcí Limita posloupností. p.1/14

2 Spojitost funkce Příklad Vyšetřete spojitost funkce x sin 1 pro x 0, f(x) = x 1 pro x =0. Příklad Určete číslo a tak, aby funkce f byla spojitá vbodě x =1, x 2 1 pro x 1, f(x) = x 3 1 a pro x =1. Příklad Vyšetřete spojitost funkce f na jejím definičním oboru, 2+x 2 pro x (, 0, f(x) = sin(2x) pro x (0, 5. x. p.2/14

3 Příklad Vyšetřete spojitost funkce f(x) = x sin 1 x pro x 0, 1 pro x =0.?. p.3/14

4 Příklad Vyšetřete spojitost funkce Výsledek: f(x) = Funkce f je spojitá x (, 0) (0, + ). x sin 1 x pro x 0, 1 pro x =0.. p.3/14

5 Příklad Vyšetřete spojitost funkce Návod: f(x) = x sin 1 x pro x 0, 1 pro x =0. Vbodechx R\{0} využijte vlastností elementárních funkcí. Nespojitost v bodě 0 plyne z toho, že f(x) f(0). x 0. p.3/14

6 Příklad Vyšetřete spojitost funkce Řešení: f(x) = x sin 1 x pro x 0, 1 pro x =0. Funkce 1 x je spojitá nasvém definičním oboru, tedy spojitá vevšech bodech x R\{0}, její obor hodnot je R\{0}. Funkce sin t je spojitá t R, tedy i složená funkce sin 1 x je spojitá nar\{0}. Funkce x je nar spojitá asoučindvouspojitých funkcí je funkce spojitá. Tedy funkce f je spojitá provšechna x 0.Zbývá vyšetřit spojitost v bodě x =0. Vypočteme f(x). Protože funkce sin t je omezená nasvém definičním oboru, x 0 je x sin 1 =0 f(0) = 1. x 0 x Tedy v bodě x =0není funkce f spojitá.. p.3/14

7 Příklad Vyšetřete spojitost funkce Maple: f(x) = > discont(x*sin(1/x),x); x sin 1 x pro x 0, 1 pro x =0. > L:=it(x*sin(1/x), x=0); > f(0):=1; {0} L := 0 f(0) := 1 Funkce neníspojitávboděx=0. > p1:=plot(x*sin(1/x),x=-1..0): p2:=plot(x*sin(1/x),x=0..1): p3:= point([0,1],color=blue): plots[display](p1,p2,p3); x 0.2. p.3/14

8 Příklad Vyšetřete spojitost funkce Mathematica: f(x) = x sin 1 x pro x 0, 1 pro x =0. f[x ]:=Piecewise[{{xSin[1/x],x 0}, {1,x == 0}}] Limit[f[x],x 0] 0 Funkce není spojitávbodě x =0. g = Plot[f[x], {x, 1, 1}, PlotRange {{ 1, 1}, { 0.3, 1.1}}, Epilog {{Disk[{0, 1}, {0.025, 0.025}]}, {Thickness[0.005], Circle[{0, 0}, {0.025, 0.025}]}}] p.3/14

9 Příklad Určete číslo a tak, aby funkce f byla spojitá vbodě x =1, x 2 1 pro x 1, f(x) = x 3 1 a pro x =1.?. p.4/14

10 Příklad Určete číslo a tak, aby funkce f byla spojitá vbodě x =1, x 2 1 pro x 1, f(x) = x 3 1 a pro x =1. Výsledek: a =2/3.. p.4/14

11 Příklad Určete číslo a tak, aby funkce f byla spojitá vbodě x =1, x 2 1 pro x 1, f(x) = x 3 1 a pro x =1. Návod: Využijte větu, že funkce je spojitá vbodě x =1právě když f(x) =f(1) = a. x 1. p.4/14

12 Příklad Určete číslo a tak, aby funkce f byla spojitá vbodě x =1, x 2 1 pro x 1, f(x) = x 3 1 a pro x =1. Řešení: Protože x 2 1=(x 1)(x +1)a x 3 1=(x 1)(x 2 + x +1), je x 1 x 2 1 x 3 1 = x 1 (x 1)(x +1) (x 1)(x 2 + x +1) = x 1 x +1 x 2 + x +1 = = 2 3. Tedy položíme-li a := 2/3, bude funkce f(x) spojitá vbodě x =1.. p.4/14

13 Příklad Určete číslo a tak, aby funkce f byla spojitá vbodě x =1, x 2 1 pro x 1, f(x) = x 3 1 a pro x =1. Maple: > discont((xˆ2-1)/(xˆ3-1),x); > a:=it((xˆ2-1)/(xˆ3-1), x=1); {1} a := 2 3 > p1:=plot((xˆ2-1)/(xˆ3-1),x=-1..5): p2:=point([1,a], color=blue): display(p1,p2,axes=normal); x. p.4/14

14 Příklad Určete číslo a tak, aby funkce f byla spojitá vbodě x =1, x 2 1 pro x 1, f(x) = x 3 1 a pro x =1. Mathematica: Limit[(x 2 1)/(x 3 1),x 1] 2 3 Dodefinujeme funkci v bod2 x =1hodnotou f(1) = 2/3. f[x ]:=Piecewise[{{(x 2 1)/(x 3 1),x 1}, {2/3,x == 0}}] g = Plot[f[x], {x, 1, 2}, Epilog {{Disk[{1, 2/3}, {0.03, 0.02}]}}] p.4/14

15 Příklad Vyšetřete spojitost funkce f na jejím definičním oboru, 2+x 2 pro x (, 0, f(x) = sin(2x) pro x (0, 5. x?. p.5/14

16 Příklad Vyšetřete spojitost funkce f na jejím definičním oboru, 2+x 2 pro x (, 0, f(x) = sin(2x) pro x (0, 5. x Výsledek: f je spojitá vkaždém bodě x (, 5) a f je spojitá zlevavbodě x =5.. p.5/14

17 Příklad Vyšetřete spojitost funkce f na jejím definičním oboru, 2+x 2 pro x (, 0, f(x) = sin(2x) pro x (0, 5. x Návod: Pro x (, 0) aprox (0, 5 využijte věty o spojitosti elementárních funkcí ao spojitosti podílu dvou funkcí. V bodě x =0vypočtěte f(x) aaporovnejtesf(0). x 0+. p.5/14

18 Příklad Vyšetřete spojitost funkce f na jejím definičním oboru, 2+x 2 pro x (, 0, f(x) = sin(2x) pro x (0, 5. x Řešení: Definiční obor funkce f je D(f) =(, 5. Je-lix (, 0 je f(x) =2+x 2, a f je spojitá prox (, 0). 0 je pravým krajním bodem intervalu, funkce f je v bodě x =0 spojitá zlevaaf(0) = = 2. Funkce sin(2x) a funkce x jsou spojité na(0, 5), x 0 na (0, 5), tedy i jejich podíl je funkce spojitá na(0, 5). Bodx =5je pravým krajním bodem intervalu (0, 5, funkce f je v bodě x =5spojitá zleva.zbývá vyšetřit spojitost v bodě x =0. Protože t 0+ sin t t =1, dostaneme x 0+ sin(2x) x = x 0+ 2sin(2x) 2x = 2 x 0+ sin(2x) 2x =2 = f(0). Funkce f je tedy spojitá na celém svém definičním oboru (, 5 (v bodě x =5spojitá zleva).. p.5/14

19 Příklad Vyšetřete spojitost funkce f na jejím definičním oboru, 2+x 2 pro x (, 0, f(x) = sin(2x) pro x (0, 5. x Maple: > discont(2+xˆ2,x); > discont(sin(2*x)/x,x); > f(0):=2; {} {0} > L:=it(sin(2*x)/x,x=0); f(0) := 2 L := 2 Funkce je spojitá ivboděx=0. > p1:=plot(2+xˆ2,x=-2..0, color=red): p2:=plot(sin(2*x)/x,x=0..5,color=blue): display(p1,p2); x. p.5/14

20 Příklad Vyšetřete spojitost funkce f na jejím definičním oboru, 2+x 2 pro x (, 0, f(x) = sin(2x) pro x (0, 5. x Mathematica: f[x ]:=Piecewise[{{2 +x 2,x 0}, {Sin[2x]/x, x > 0}}] Limit[f[x],x 0] 2 f[0] 2 Funkce je spojitá vbodě x =0,jetedyspojitáv celém intervalu (, 5. g = Plot[f[x], {x, 2, 5}, Epilog {{Disk[{0, 2}, {0.1,.15}]}}] p.5/14

21 Limity Příklad Vypočtěte itu x + Příklad Vypočtěte následující itu: Příklad Vypočtěte itu x 1 x 1 ln x + x arccotg x. x 2 arccos x. x 2 arcsin x. Příklad Vypočtěte itu x 3 6 x + x 3 2x x 2. Příklad Vypočtěte ity a) x 0+ ln x 2 x 2 b) x + ln x 2 x 2.. p.6/14

22 Příklad Vypočtěte itu ln x + x x + arccotg x.?. p.7/14

23 Příklad Vypočtěte itu Výsledek: +. x + ln x + x arccotg x.. p.7/14

24 Příklad Vypočtěte itu Návod: x + ln x + x arccotg x. Aplikujeme větu o itě součtu, o itě podílu a o itě součinu.. p.7/14

25 Příklad Vypočtěte itu Řešení: x + ln x + x arccotg x. x + ln x + x arccotg x = x + 1 (ln x + x). arccotg x Protože Protože x + x + x + ln x =+, je i (ln x + x) =+. x + arccotg x =0+(funkce arccotg x je kladná nasvém definičním oboru), je 1 arccotg x =+. Výsledná ita je tedy (+ ) (+ ) = +.. p.7/14

26 Příklad Vypočtěte itu Maple: x + ln x + x arccotg x. > it((ln(x)+x)/arccot(x), x=infinity);. p.7/14

27 Příklad Vypočtěte itu Mathematica: x + Limit[(Log[x] +x)/arccot[x],x Infinity] ln x + x arccotg x.. p.7/14

28 Příklad Vypočtěte následující itu: x 2 x 1 arccos x.?. p.8/14

29 Příklad Vypočtěte následující itu: Výsledek: +. x 1 x 2 arccos x.. p.8/14

30 Příklad Vypočtěte následující itu: Návod: x 1 x 2 arccos x. Využijte spojitost funkce y = x 2 vbodě x =1avětu o itě podílu, je-li jmenovatel kladný a ita jmenovatele je 0.. p.8/14

31 Příklad Vypočtěte následující itu: Řešení: x 1 x 2 arccos x. Protože funkce y = x 2 je spojitá vbodě x =1,jeitafunkcerovnavtomtobodě funkční hodnotě: x2 =1. Funkce arccos x je nezáporná nasvém definičním oboru a arccos 1 = 0, tedy x 1 x 1 arccos x =0+. Limita podílu je 1/(0+) = +.. p.8/14

32 Příklad Vypočtěte následující itu: Maple: x 1 > it(xˆ2/arccos(x), x=1,left); x 2 arccos x.. p.8/14

33 Příklad Vypočtěte následující itu: Mathematica: x 1 Limit[x 2/ArcCos[x],x 1, Direction 1] x 2 arccos x.. p.8/14

34 Příklad Vypočtěte itu x 2 x 1 arcsin x.?. p.9/14

35 Příklad Vypočtěte itu Výsledek: 2/π. x 1 x 2 arcsin x.. p.9/14

36 Příklad Vypočtěte itu Návod: x 1 x 2 arcsin x. Využijte spojitost obou funkcí a větu o itě podílu.. p.9/14

37 Příklad Vypočtěte itu Řešení: x 1 x 2 arcsin x. Protože funkce y = x 2 je spojitá vbodě x =1,jeitafunkcerovnavtomtobodě funkční hodnotě: x2 =1. Protože funkce y =arcsinx je spojitá zlevavbodě x =1,je x 1 x 1 arcsin x = π/2. Limita podílu je 1/(π/2) = 2/π.. p.9/14

38 Příklad Vypočtěte itu Maple: x 1 > it(xˆ2/arcsin(x), x=1,left); x 2 arcsin x. 2 π. p.9/14

39 Příklad Vypočtěte itu Mathematica: x 1 x 2 arcsin x. Limit[x 2/ArcSin[x],x 1, Direction 1] 2 π. p.9/14

40 Příklad Vypočtěte itu 6 x + x x 3 3 2x x. 2?. p.10/14

41 Příklad Vypočtěte itu Výsledek: 5/24. x 3 6 x + x 3 2x x 2.. p.10/14

42 Příklad Vypočtěte itu Návod: x 3 6 x + x 3 2x x 2. Zlomek rozšíříme výrazem 6 x x, vzniklé kvadratické trojčleny rozložíme na kořenové činitele. Zkrátíme-li členy x +3, dostaneme funkci, která se na prstencovém okolí bodu 3 rovná funkci, jejíž itu počítáme, a tedy obě ity se sobě rovnají.. p.10/14

43 Příklad Vypočtěte itu Řešení: x 3 6 x + x 3 2x x 2. x 3 6 x + x 3 2x x 2 = x 3 6 x + x 3 2x x 2 6 x x 6 x x = = x 3 6 x x 2 (3 2x x 2 )( 6 x x) = x 3 (x + 3)(2 x) (x + 3)(1 x)( 6 x x) = x 3 (2 x) (1 x)( 6 x x) = (2 ( 3)) (1 ( 3))( 6 ( 3) ( 3)) = = 5 24, kde jsme využili spojitosti funkcí 2 x, 1 x a 6 x x vbodě x = 3 afaktu,že 6 x + x 3 2x x 2 = (2 x) (1 x)( 6 x x) x P δ ( 3), δ > 0, atedyityoboufunkcíprox 3 se sobě rovnají.. p.10/14

44 Příklad Vypočtěte itu Maple: x 3 6 x + x 3 2x x 2. > it((\sqrt(6-x)+x)/(3-2*x-xˆ2), x=-3); p.10/14

45 Příklad Vypočtěte itu Mathematica: x 3 6 x + x 3 2x x 2. Limit[(Sqrt[(6 x)] + x)/(3 2x x 2),x 3] p.10/14

46 Příklad Vypočtěte ity a) x 0+ ln x 2 ln x 2 x 2. b) x 2 x +?. p.11/14

47 Příklad Vypočtěte ity Výsledek: a), b)0. a) x 0+ ln x 2 x 2 b) x + ln x 2 x 2.. p.11/14

48 Příklad Vypočtěte ity Návod: a) x 0+ ln x 2 x 2 b) x + ln x 2 x 2. a) Převed te na součin (+ ) ( ). b) Na výraz + aplikujte L Hospitalovo + pravidlo.. p.11/14

49 Příklad Vypočtěte ity Řešení: a) Protože x 0+ x 0+ a) x 0+ ln x 2 x 2 = x 0+ ln x 2 x 2 b) x + 1 ln x 2 x 2. x 2 ln x2 = (+ ) ( ) =. x2 =0+(funkce je kladná na prstencovém okolí bodu0), je 1 =+ a x 0+ x ln 2 x 0+ x2 =. b) Protože x + x2 =+ a x + + ln x2 =+, počítáme itu neurčitého výrazu. Aplikujeme L Hospitalovo pravidlo a pokud existuje ita podílu derivací, obě + ity se rovnají: x + ln x 2 x 2 = x + 1 x 2 2x 2x = x + 1 x 2 =0.. p.11/14

50 Příklad Vypočtěte ity Maple: a) b) a) x 0+ ln x 2 > it(ln(xˆ2)/xˆ2, x=0,right); > it(ln(xˆ2)/xˆ2, x=infinity); x 2 b) x + 0 ln x 2 x 2.. p.11/14

51 Příklad Vypočtěte ity Mathematica: a) x 0+ ln x 2 a) Limit[Log[x 2]/x 2,x 0, Direction 1] b) Limit[Log[x 2]/x 2,x Infinity] 0 x 2 b) x + ln x 2 x 2.. p.11/14

52 Limita posloupností Příklad Vypočtěte itu posloupnosti: n Příklad Vypočtěte itu posloupnosti: n 2 n 1 2 n +1. ( 1+ 1 ) 6n+5. 3n. p.12/14

53 Příklad Vypočtěte itu posloupnosti: 2 n 1 n 2 n +1.?. p.13/14

54 Příklad Vypočtěte itu posloupnosti: Výsledek: 1. n 2 n 1 2 n +1.. p.13/14

55 Příklad Vypočtěte itu posloupnosti: Návod: Vytkneme v čitateli i ve jmenovateli 2 n. n 2 n 1 2 n +1.. p.13/14

56 Příklad Vypočtěte itu posloupnosti: Řešení: n 2 n 1 2 n +1. n Využili jsme toho, že 2 n 1 2 n +1 = n n 1 2 n =0. 2 n (1 1 2 n ) 2 n ( n ) = n n n = =1.. p.13/14

57 Příklad Vypočtěte itu posloupnosti: Maple: n 2 n 1 2 n +1. > it((2ˆn-1)/(2ˆn+1), n=infinity); 1. p.13/14

58 Příklad Vypočtěte itu posloupnosti: Mathematica: n Limit[(2 n 1)/(2 n +1),n Infinity] 1 2 n 1 2 n +1.. p.13/14

59 Příklad Vypočtěte itu posloupnosti: n ( 1+ 1 ) 6n+5. 3n?. p.14/14

60 Příklad Vypočtěte itu posloupnosti: Výsledek: e 2. n ( 1+ 1 ) 6n+5. 3n. p.14/14

61 Příklad Vypočtěte itu posloupnosti: Návod: Využijte toho, že n n ( 1+ 1 n ) n =e. ( 1+ 1 ) 6n+5. 3n. p.14/14

62 Příklad Vypočtěte itu posloupnosti: Řešení: Protože n n ( 1+ 1 n ) n =e, dostaneme ( 1+ 1 ) 6n+5. 3n n ( 1+ 1 ) 6n+5 = 3n m ( 1+ 1 m ) 2m+5 = (substituce m := 3n, n + m + ) m ( 1+ 1 ) 2m ( 1+ 1 ) 5 = m m m (( 1+ 1 ) m ) 2 ( 1+ 1 ) 5 = m m =e 2 (1 + 0) 5 =e 2.. p.14/14

63 Příklad Vypočtěte itu posloupnosti: n ( 1+ 1 ) 6n+5. 3n Maple: > it((1+(1/(3*n)))ˆ(6*n+5), n=infinity); e 2. p.14/14

64 Příklad Vypočtěte itu posloupnosti: Mathematica: n ( 1+ 1 ) 6n+5. 3n Limit[(1 + (1/(3 n))) (6 n +5),n Infinity] e 2. p.14/14