Spojitost a limita funkce, limita posloupnosti
|
|
- Františka Müllerová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Spojitost a ita funkce, ita posloupnosti Spojitost funkce Limita funkcí Limita posloupností. p.1/14
2 Spojitost funkce Příklad Vyšetřete spojitost funkce x sin 1 pro x 0, f(x) = x 1 pro x =0. Příklad Určete číslo a tak, aby funkce f byla spojitá vbodě x =1, x 2 1 pro x 1, f(x) = x 3 1 a pro x =1. Příklad Vyšetřete spojitost funkce f na jejím definičním oboru, 2+x 2 pro x (, 0, f(x) = sin(2x) pro x (0, 5. x. p.2/14
3 Příklad Vyšetřete spojitost funkce f(x) = x sin 1 x pro x 0, 1 pro x =0.?. p.3/14
4 Příklad Vyšetřete spojitost funkce Výsledek: f(x) = Funkce f je spojitá x (, 0) (0, + ). x sin 1 x pro x 0, 1 pro x =0.. p.3/14
5 Příklad Vyšetřete spojitost funkce Návod: f(x) = x sin 1 x pro x 0, 1 pro x =0. Vbodechx R\{0} využijte vlastností elementárních funkcí. Nespojitost v bodě 0 plyne z toho, že f(x) f(0). x 0. p.3/14
6 Příklad Vyšetřete spojitost funkce Řešení: f(x) = x sin 1 x pro x 0, 1 pro x =0. Funkce 1 x je spojitá nasvém definičním oboru, tedy spojitá vevšech bodech x R\{0}, její obor hodnot je R\{0}. Funkce sin t je spojitá t R, tedy i složená funkce sin 1 x je spojitá nar\{0}. Funkce x je nar spojitá asoučindvouspojitých funkcí je funkce spojitá. Tedy funkce f je spojitá provšechna x 0.Zbývá vyšetřit spojitost v bodě x =0. Vypočteme f(x). Protože funkce sin t je omezená nasvém definičním oboru, x 0 je x sin 1 =0 f(0) = 1. x 0 x Tedy v bodě x =0není funkce f spojitá.. p.3/14
7 Příklad Vyšetřete spojitost funkce Maple: f(x) = > discont(x*sin(1/x),x); x sin 1 x pro x 0, 1 pro x =0. > L:=it(x*sin(1/x), x=0); > f(0):=1; {0} L := 0 f(0) := 1 Funkce neníspojitávboděx=0. > p1:=plot(x*sin(1/x),x=-1..0): p2:=plot(x*sin(1/x),x=0..1): p3:= point([0,1],color=blue): plots[display](p1,p2,p3); x 0.2. p.3/14
8 Příklad Vyšetřete spojitost funkce Mathematica: f(x) = x sin 1 x pro x 0, 1 pro x =0. f[x ]:=Piecewise[{{xSin[1/x],x 0}, {1,x == 0}}] Limit[f[x],x 0] 0 Funkce není spojitávbodě x =0. g = Plot[f[x], {x, 1, 1}, PlotRange {{ 1, 1}, { 0.3, 1.1}}, Epilog {{Disk[{0, 1}, {0.025, 0.025}]}, {Thickness[0.005], Circle[{0, 0}, {0.025, 0.025}]}}] p.3/14
9 Příklad Určete číslo a tak, aby funkce f byla spojitá vbodě x =1, x 2 1 pro x 1, f(x) = x 3 1 a pro x =1.?. p.4/14
10 Příklad Určete číslo a tak, aby funkce f byla spojitá vbodě x =1, x 2 1 pro x 1, f(x) = x 3 1 a pro x =1. Výsledek: a =2/3.. p.4/14
11 Příklad Určete číslo a tak, aby funkce f byla spojitá vbodě x =1, x 2 1 pro x 1, f(x) = x 3 1 a pro x =1. Návod: Využijte větu, že funkce je spojitá vbodě x =1právě když f(x) =f(1) = a. x 1. p.4/14
12 Příklad Určete číslo a tak, aby funkce f byla spojitá vbodě x =1, x 2 1 pro x 1, f(x) = x 3 1 a pro x =1. Řešení: Protože x 2 1=(x 1)(x +1)a x 3 1=(x 1)(x 2 + x +1), je x 1 x 2 1 x 3 1 = x 1 (x 1)(x +1) (x 1)(x 2 + x +1) = x 1 x +1 x 2 + x +1 = = 2 3. Tedy položíme-li a := 2/3, bude funkce f(x) spojitá vbodě x =1.. p.4/14
13 Příklad Určete číslo a tak, aby funkce f byla spojitá vbodě x =1, x 2 1 pro x 1, f(x) = x 3 1 a pro x =1. Maple: > discont((xˆ2-1)/(xˆ3-1),x); > a:=it((xˆ2-1)/(xˆ3-1), x=1); {1} a := 2 3 > p1:=plot((xˆ2-1)/(xˆ3-1),x=-1..5): p2:=point([1,a], color=blue): display(p1,p2,axes=normal); x. p.4/14
14 Příklad Určete číslo a tak, aby funkce f byla spojitá vbodě x =1, x 2 1 pro x 1, f(x) = x 3 1 a pro x =1. Mathematica: Limit[(x 2 1)/(x 3 1),x 1] 2 3 Dodefinujeme funkci v bod2 x =1hodnotou f(1) = 2/3. f[x ]:=Piecewise[{{(x 2 1)/(x 3 1),x 1}, {2/3,x == 0}}] g = Plot[f[x], {x, 1, 2}, Epilog {{Disk[{1, 2/3}, {0.03, 0.02}]}}] p.4/14
15 Příklad Vyšetřete spojitost funkce f na jejím definičním oboru, 2+x 2 pro x (, 0, f(x) = sin(2x) pro x (0, 5. x?. p.5/14
16 Příklad Vyšetřete spojitost funkce f na jejím definičním oboru, 2+x 2 pro x (, 0, f(x) = sin(2x) pro x (0, 5. x Výsledek: f je spojitá vkaždém bodě x (, 5) a f je spojitá zlevavbodě x =5.. p.5/14
17 Příklad Vyšetřete spojitost funkce f na jejím definičním oboru, 2+x 2 pro x (, 0, f(x) = sin(2x) pro x (0, 5. x Návod: Pro x (, 0) aprox (0, 5 využijte věty o spojitosti elementárních funkcí ao spojitosti podílu dvou funkcí. V bodě x =0vypočtěte f(x) aaporovnejtesf(0). x 0+. p.5/14
18 Příklad Vyšetřete spojitost funkce f na jejím definičním oboru, 2+x 2 pro x (, 0, f(x) = sin(2x) pro x (0, 5. x Řešení: Definiční obor funkce f je D(f) =(, 5. Je-lix (, 0 je f(x) =2+x 2, a f je spojitá prox (, 0). 0 je pravým krajním bodem intervalu, funkce f je v bodě x =0 spojitá zlevaaf(0) = = 2. Funkce sin(2x) a funkce x jsou spojité na(0, 5), x 0 na (0, 5), tedy i jejich podíl je funkce spojitá na(0, 5). Bodx =5je pravým krajním bodem intervalu (0, 5, funkce f je v bodě x =5spojitá zleva.zbývá vyšetřit spojitost v bodě x =0. Protože t 0+ sin t t =1, dostaneme x 0+ sin(2x) x = x 0+ 2sin(2x) 2x = 2 x 0+ sin(2x) 2x =2 = f(0). Funkce f je tedy spojitá na celém svém definičním oboru (, 5 (v bodě x =5spojitá zleva).. p.5/14
19 Příklad Vyšetřete spojitost funkce f na jejím definičním oboru, 2+x 2 pro x (, 0, f(x) = sin(2x) pro x (0, 5. x Maple: > discont(2+xˆ2,x); > discont(sin(2*x)/x,x); > f(0):=2; {} {0} > L:=it(sin(2*x)/x,x=0); f(0) := 2 L := 2 Funkce je spojitá ivboděx=0. > p1:=plot(2+xˆ2,x=-2..0, color=red): p2:=plot(sin(2*x)/x,x=0..5,color=blue): display(p1,p2); x. p.5/14
20 Příklad Vyšetřete spojitost funkce f na jejím definičním oboru, 2+x 2 pro x (, 0, f(x) = sin(2x) pro x (0, 5. x Mathematica: f[x ]:=Piecewise[{{2 +x 2,x 0}, {Sin[2x]/x, x > 0}}] Limit[f[x],x 0] 2 f[0] 2 Funkce je spojitá vbodě x =0,jetedyspojitáv celém intervalu (, 5. g = Plot[f[x], {x, 2, 5}, Epilog {{Disk[{0, 2}, {0.1,.15}]}}] p.5/14
21 Limity Příklad Vypočtěte itu x + Příklad Vypočtěte následující itu: Příklad Vypočtěte itu x 1 x 1 ln x + x arccotg x. x 2 arccos x. x 2 arcsin x. Příklad Vypočtěte itu x 3 6 x + x 3 2x x 2. Příklad Vypočtěte ity a) x 0+ ln x 2 x 2 b) x + ln x 2 x 2.. p.6/14
22 Příklad Vypočtěte itu ln x + x x + arccotg x.?. p.7/14
23 Příklad Vypočtěte itu Výsledek: +. x + ln x + x arccotg x.. p.7/14
24 Příklad Vypočtěte itu Návod: x + ln x + x arccotg x. Aplikujeme větu o itě součtu, o itě podílu a o itě součinu.. p.7/14
25 Příklad Vypočtěte itu Řešení: x + ln x + x arccotg x. x + ln x + x arccotg x = x + 1 (ln x + x). arccotg x Protože Protože x + x + x + ln x =+, je i (ln x + x) =+. x + arccotg x =0+(funkce arccotg x je kladná nasvém definičním oboru), je 1 arccotg x =+. Výsledná ita je tedy (+ ) (+ ) = +.. p.7/14
26 Příklad Vypočtěte itu Maple: x + ln x + x arccotg x. > it((ln(x)+x)/arccot(x), x=infinity);. p.7/14
27 Příklad Vypočtěte itu Mathematica: x + Limit[(Log[x] +x)/arccot[x],x Infinity] ln x + x arccotg x.. p.7/14
28 Příklad Vypočtěte následující itu: x 2 x 1 arccos x.?. p.8/14
29 Příklad Vypočtěte následující itu: Výsledek: +. x 1 x 2 arccos x.. p.8/14
30 Příklad Vypočtěte následující itu: Návod: x 1 x 2 arccos x. Využijte spojitost funkce y = x 2 vbodě x =1avětu o itě podílu, je-li jmenovatel kladný a ita jmenovatele je 0.. p.8/14
31 Příklad Vypočtěte následující itu: Řešení: x 1 x 2 arccos x. Protože funkce y = x 2 je spojitá vbodě x =1,jeitafunkcerovnavtomtobodě funkční hodnotě: x2 =1. Funkce arccos x je nezáporná nasvém definičním oboru a arccos 1 = 0, tedy x 1 x 1 arccos x =0+. Limita podílu je 1/(0+) = +.. p.8/14
32 Příklad Vypočtěte následující itu: Maple: x 1 > it(xˆ2/arccos(x), x=1,left); x 2 arccos x.. p.8/14
33 Příklad Vypočtěte následující itu: Mathematica: x 1 Limit[x 2/ArcCos[x],x 1, Direction 1] x 2 arccos x.. p.8/14
34 Příklad Vypočtěte itu x 2 x 1 arcsin x.?. p.9/14
35 Příklad Vypočtěte itu Výsledek: 2/π. x 1 x 2 arcsin x.. p.9/14
36 Příklad Vypočtěte itu Návod: x 1 x 2 arcsin x. Využijte spojitost obou funkcí a větu o itě podílu.. p.9/14
37 Příklad Vypočtěte itu Řešení: x 1 x 2 arcsin x. Protože funkce y = x 2 je spojitá vbodě x =1,jeitafunkcerovnavtomtobodě funkční hodnotě: x2 =1. Protože funkce y =arcsinx je spojitá zlevavbodě x =1,je x 1 x 1 arcsin x = π/2. Limita podílu je 1/(π/2) = 2/π.. p.9/14
38 Příklad Vypočtěte itu Maple: x 1 > it(xˆ2/arcsin(x), x=1,left); x 2 arcsin x. 2 π. p.9/14
39 Příklad Vypočtěte itu Mathematica: x 1 x 2 arcsin x. Limit[x 2/ArcSin[x],x 1, Direction 1] 2 π. p.9/14
40 Příklad Vypočtěte itu 6 x + x x 3 3 2x x. 2?. p.10/14
41 Příklad Vypočtěte itu Výsledek: 5/24. x 3 6 x + x 3 2x x 2.. p.10/14
42 Příklad Vypočtěte itu Návod: x 3 6 x + x 3 2x x 2. Zlomek rozšíříme výrazem 6 x x, vzniklé kvadratické trojčleny rozložíme na kořenové činitele. Zkrátíme-li členy x +3, dostaneme funkci, která se na prstencovém okolí bodu 3 rovná funkci, jejíž itu počítáme, a tedy obě ity se sobě rovnají.. p.10/14
43 Příklad Vypočtěte itu Řešení: x 3 6 x + x 3 2x x 2. x 3 6 x + x 3 2x x 2 = x 3 6 x + x 3 2x x 2 6 x x 6 x x = = x 3 6 x x 2 (3 2x x 2 )( 6 x x) = x 3 (x + 3)(2 x) (x + 3)(1 x)( 6 x x) = x 3 (2 x) (1 x)( 6 x x) = (2 ( 3)) (1 ( 3))( 6 ( 3) ( 3)) = = 5 24, kde jsme využili spojitosti funkcí 2 x, 1 x a 6 x x vbodě x = 3 afaktu,že 6 x + x 3 2x x 2 = (2 x) (1 x)( 6 x x) x P δ ( 3), δ > 0, atedyityoboufunkcíprox 3 se sobě rovnají.. p.10/14
44 Příklad Vypočtěte itu Maple: x 3 6 x + x 3 2x x 2. > it((\sqrt(6-x)+x)/(3-2*x-xˆ2), x=-3); p.10/14
45 Příklad Vypočtěte itu Mathematica: x 3 6 x + x 3 2x x 2. Limit[(Sqrt[(6 x)] + x)/(3 2x x 2),x 3] p.10/14
46 Příklad Vypočtěte ity a) x 0+ ln x 2 ln x 2 x 2. b) x 2 x +?. p.11/14
47 Příklad Vypočtěte ity Výsledek: a), b)0. a) x 0+ ln x 2 x 2 b) x + ln x 2 x 2.. p.11/14
48 Příklad Vypočtěte ity Návod: a) x 0+ ln x 2 x 2 b) x + ln x 2 x 2. a) Převed te na součin (+ ) ( ). b) Na výraz + aplikujte L Hospitalovo + pravidlo.. p.11/14
49 Příklad Vypočtěte ity Řešení: a) Protože x 0+ x 0+ a) x 0+ ln x 2 x 2 = x 0+ ln x 2 x 2 b) x + 1 ln x 2 x 2. x 2 ln x2 = (+ ) ( ) =. x2 =0+(funkce je kladná na prstencovém okolí bodu0), je 1 =+ a x 0+ x ln 2 x 0+ x2 =. b) Protože x + x2 =+ a x + + ln x2 =+, počítáme itu neurčitého výrazu. Aplikujeme L Hospitalovo pravidlo a pokud existuje ita podílu derivací, obě + ity se rovnají: x + ln x 2 x 2 = x + 1 x 2 2x 2x = x + 1 x 2 =0.. p.11/14
50 Příklad Vypočtěte ity Maple: a) b) a) x 0+ ln x 2 > it(ln(xˆ2)/xˆ2, x=0,right); > it(ln(xˆ2)/xˆ2, x=infinity); x 2 b) x + 0 ln x 2 x 2.. p.11/14
51 Příklad Vypočtěte ity Mathematica: a) x 0+ ln x 2 a) Limit[Log[x 2]/x 2,x 0, Direction 1] b) Limit[Log[x 2]/x 2,x Infinity] 0 x 2 b) x + ln x 2 x 2.. p.11/14
52 Limita posloupností Příklad Vypočtěte itu posloupnosti: n Příklad Vypočtěte itu posloupnosti: n 2 n 1 2 n +1. ( 1+ 1 ) 6n+5. 3n. p.12/14
53 Příklad Vypočtěte itu posloupnosti: 2 n 1 n 2 n +1.?. p.13/14
54 Příklad Vypočtěte itu posloupnosti: Výsledek: 1. n 2 n 1 2 n +1.. p.13/14
55 Příklad Vypočtěte itu posloupnosti: Návod: Vytkneme v čitateli i ve jmenovateli 2 n. n 2 n 1 2 n +1.. p.13/14
56 Příklad Vypočtěte itu posloupnosti: Řešení: n 2 n 1 2 n +1. n Využili jsme toho, že 2 n 1 2 n +1 = n n 1 2 n =0. 2 n (1 1 2 n ) 2 n ( n ) = n n n = =1.. p.13/14
57 Příklad Vypočtěte itu posloupnosti: Maple: n 2 n 1 2 n +1. > it((2ˆn-1)/(2ˆn+1), n=infinity); 1. p.13/14
58 Příklad Vypočtěte itu posloupnosti: Mathematica: n Limit[(2 n 1)/(2 n +1),n Infinity] 1 2 n 1 2 n +1.. p.13/14
59 Příklad Vypočtěte itu posloupnosti: n ( 1+ 1 ) 6n+5. 3n?. p.14/14
60 Příklad Vypočtěte itu posloupnosti: Výsledek: e 2. n ( 1+ 1 ) 6n+5. 3n. p.14/14
61 Příklad Vypočtěte itu posloupnosti: Návod: Využijte toho, že n n ( 1+ 1 n ) n =e. ( 1+ 1 ) 6n+5. 3n. p.14/14
62 Příklad Vypočtěte itu posloupnosti: Řešení: Protože n n ( 1+ 1 n ) n =e, dostaneme ( 1+ 1 ) 6n+5. 3n n ( 1+ 1 ) 6n+5 = 3n m ( 1+ 1 m ) 2m+5 = (substituce m := 3n, n + m + ) m ( 1+ 1 ) 2m ( 1+ 1 ) 5 = m m m (( 1+ 1 ) m ) 2 ( 1+ 1 ) 5 = m m =e 2 (1 + 0) 5 =e 2.. p.14/14
63 Příklad Vypočtěte itu posloupnosti: n ( 1+ 1 ) 6n+5. 3n Maple: > it((1+(1/(3*n)))ˆ(6*n+5), n=infinity); e 2. p.14/14
64 Příklad Vypočtěte itu posloupnosti: Mathematica: n ( 1+ 1 ) 6n+5. 3n Limit[(1 + (1/(3 n))) (6 n +5),n Infinity] e 2. p.14/14
Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε.
LIMITA FUNKCE Pojem ity unkce charakterizuje chování unkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých unkce není deinovaná Zápis ( ) L Přesněji to vyjadřuje deinice: znamená, že pro
VíceLIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin
Více3. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE
3. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE Okolí reálného čísla a 3.1. Deinice Okolím reálného čísla a nazýváme otevřený interval a, a, kde je libovolné kladné číslo. Je to tedy množina reálných čísel x, která vyhovují
VíceDerivace funkce a parciální derivace
Derivace funkce a parciální derivace Derivace funkce jedné proměnné Derivace vyšších řádů L Hospitalovo pravidlo Parciální derivace. p.1/18 Derivace funkce jedné proměnné Příklad 3.1.1 Vypočtěte z definice
VíceLimita a spojitost LDF MENDELU
Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceNejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou
4 Cíle Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou funkce, jejichž ita v bodě 0 je rovna funkční hodnotě v tomto bodě Seznámíme se s vlastnostmi takových funkcí
Více30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: s1a64/cd/index.htm.
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení č. 11 30. listopadu 2017 [KS] Jaromír Kuben Petra Šarmanová: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: http://homel.vsb.cz/ s1a64/cd/inde.htm. 1
Víceln(1 + 3x) lim lim lim ln(x 2 x + 1) lim ln(x 10 + x + 1) = ln x 2 (1 1 x + 1 x 2 ) ln x 10 (1 + 1 x = lim 2 ln x + ln(1 1 x 2 + ln(1 1 x
6. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ ktaristka@gmail.com Příklad. a) b) c) ln + 3x) x x ln 3 ) x x x e 2 e 2x arccos x d) Vtkněte nejrchleji rostoucí člen z logaritmu lnx 2 x + ) lnx 0 +
VíceLimita a spojitost funkce
Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu
VíceMetody výpočtu limit funkcí a posloupností
Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou
Více1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu
22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte
Více2.6. Limita funkce. Nechť c R jevnitřnínebokrajníbodintervaludefiničníhooborufunkce
2.6. Limita funkce Nechť c R jevnitřnínebokrajníbod intervalu definičního oboru funkce f.(funkce v něm může, ale nemusí být definovaná.) Jestliže vzorům x blízkým bodu c, ale různýmod c, (tedy x (c d,
Vícearcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.
Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál
VíceTeorie. kunck6am/ (a) lim. x x) lim x ln ) = lim. vnitřní funkce: lim x. = lim. lim. ln(1 + y) lim = 1,
8. cvičení http://web.natur.cuni.cz/ kunck6am/ Teorie Příklady. Spočtěte ity a) + ) vnitřní funkce: + ) e ln+ ) ln + ) ln + ), nebot další vnitřní funkce b) c) a ln + y) 0 y 0. podmínka P, g) 0 pro 0,
VíceMATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel
MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní
VícePrůběh funkce jedné proměnné
Průběh funkce jedné proměnné Průběh funkce Newtonova metoda. p.1/8 Průběh funkce Příklad 4.1.1 Vyšetřete průběh funkce f(x) =ln 3 x. Příklad 4.1.2 Vyšetřete průběh funkce f(x) =arctg 1 x. Příklad 4.1.3
VíceNMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 26. ledna x. x 1 + x dx. q 1. u = x = 1 u2. = 1 u. u 2 (1 + u 2 ) (1 u 2 du = 2.
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 4 Celkem bodů Bodů 5 6 8
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceFunkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Více5. Limita funkce a spojitost strana 1/5 2018/KMA/MA1/přednášky. Definice 5.1. Mějme funkci f : D R a bod x 0 R.
5. Limita funkce a spojitost strana 1/5 2018/KMA/MA1/přednášky Definice 5.1. Mějme funkci f : D R a bod 0 R. a) Číslo c R je částečná ita funkce f v bodě 0, pokud eistuje posloupnost ( n ) taková, že platí
VíceLIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE - CVIČENÍ
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VícePříklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3
Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme
VíceLimita ve vlastním bodě
Výpočty it Definice (a případné věty) jsou z knihy [] příklady z [] [] a []. Počítám u zkoušky dvacátou itu hlavu mám dávno už do čista vymytu papír se značkami skvěje z čela mi pot v proudech leje než
VícePříklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6
Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly
VíceAsymptoty grafu funkce
Asymptoty grafu funkce Lenka Přibylová 8. července 006 Obsah Najděteasymptotygrafufunkce y = 1 x.... 3 Asymptotybezsměrnicekegrafufunkce y = 1 x : D(f) = R {} x + = 0 + = x = 0 = Funkcemáasymptotubezsměrniceajejípřímka
Více2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je
Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)
VíceKapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20
Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Okolí bodu 2/20 Značení: a R, ε > 0 O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a)
VíceMatematika I pracovní listy
Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny
VíceMonotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak
VíceHelena R ˇ ı hova (CˇVUT) Funkce 5. rˇı jna / 28
Funkce Helena Říhová FBMI 5. října 2012 Helena Říhová (ČVUT) Funkce 5. října 2012 1 / 28 Obsah 1 Reálná funkce jedné reálné proměnné Limita funkce Věty o limitách Spojitost funkce Význačné limity Asymptoty
VíceVybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 8-9 Vybrané kapitoly z matematiky 8-9 / 6 Funkce více proměnných Vybrané kapitoly z matematiky 8-9 / 6 Definice Necht M R n, M. Funkcí n proměnných je zobrazení
VíceKapitola 7: Integrál.
Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci
VíceTabulkové limity. n! lim. n n) n + lim. n + n β = 0. n + a n = 0. lim. (d) Pro α > 0 (tj. libovolně velké) a pro β > 0 (tj.
1 Limity posloupností 1. (a) pro a > 1 je (c) Pro β > 0 a a > 1 Tabulkové ity n! n n = 0 a n n! = 0. n β a n = 0. (d) Pro α > 0 (tj. libovolně velké) a pro β > 0 (tj. libovolně malé) ln α n n β = 0. (e)
VíceLimita a spojitost funkce
Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném
VíceZlín, 23. října 2011
(. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva
VíceNMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 4. února 2009
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 4 Celkem bodů Bodů 4 4
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva
VíceMATEMATIKA 1B ÚSTAV MATEMATIKY
MATEMATIKA B Sbírka úloh Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA B Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika B - Sbírka úloh. Tato sbírka je doplněním tetu Fuchs,
VíceIntegrální počet funkcí jedné proměnné
Integrální počet funkcí jedné proměnné Neurčité integrály Určité a nevlastní integrály Geometrické aplikace určitého integrálu. p.1/?? Neurčité integrály Příklad 7.1.1 Vhodnou metodou vypočítejte neurčitý
VíceDerivace úvod. Jak zjistit míru změny?
Derivace úvod P ČEZ Jak zjistit míru změny? Derivace nám dá odpověď jestli je funkce: rostoucí/klesající konkávní/konvení jak moc je strmá jak moc roste kde má maimum/minimum 1000 700 P ČEZ P ČEZ 3% 4%
VíceDiferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011
Diferenciál funkce Derivace vyšších řádů L Hospitalovo pravidlo Jiří Fišer 22. a 23. března 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 6 22. a 23. března 2011 1 / 18 y ω(h) dy O x Obrázek:
Více6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina
Instrukce: Příklady řešte výhradně elementárně, bez použití nástrojů z diferenciálního a integrálního počtu. Je-li součástí řešení úlohy podmnožina reálných čísel, vyjádřete ji jako disjunktní sjednocení
VíceTeorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
VíceManagement rekreace a sportu. 10. Derivace
Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu
VíceLimita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]
KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu
VíceNMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 5 Celkem bodů Bodů 8
VíceTeorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 2. cvičení Teorie Věta (Aritmetika derivací). Necht a R a necht f a g jsou funkce definované na nějakém okolí bodu a. Necht existují f (a) R a g (a) R.
VíceLimita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39
Limita funkce FIT ČVUT v Praze 3.týden (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39 Definice funkce. Zobrazení (f, D f ), jehož definiční obor D f i obor hodnot H f je podmnožinou množiny reálných čísel, se nazývá
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceŘešení 1a Budeme provádět úpravu rozšířením směřující k odstranění odmocniny v čitateli. =lim = 0
Příklad Vypočítejte ity funkcí: a) b) c) d) Poznámka Po dosazení do všech těchto úloh dostaneme nedefinovaný výraz. Proto je třeba provést úpravy vedoucí k vykrácení a následně k výsledku. Řešení a Budeme
VíceDerivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace
Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace
VíceMatematika 1. Matematika 1
5. přednáška Elementární funkce 24. října 2012 Logaritmus a exponenciální funkce Věta 5.1 Existuje právě jedna funkce (značíme ji ln a nazýváme ji přirozeným logaritmem), s následujícími vlastnostmi: D(ln)
Více(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí
1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální
VíceMocninná funkce: Příklad 1
Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
Vícey H = c 1 e 2x + c 2 xe 2x, Partikularni reseni hledam metodou variace konstant ve tvaru c 1(x)e 2x + c 2(x)xe 2x = 0
1 Urcete vsechna maximalni reseni: y + 4y + 4y = e 2x x + 1 Definicni obor: x 1, tj. resim na intervalech (, 1) a ( 1, ) Charakteristicky polynom λ 2 + 4λ + 4 ma dvojnasobny koren -2, tedy tvar homogenniho
VíceNalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné
. Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x
Více= 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3,
V. Lokální extrémy. Příklad 1: Určete lokální extrémy zadané funkce. 1. f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 3y 2. Definičním oborem funkce je množina Df = R 2 a funkce f má spojité parciální = 2x + y, = 2y + x 3.
VíceMATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch
MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. Vážení studenti,
Více3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim
3 a b s = (a + b) 2 f(s) 3,46 4,680 3,93-2,9422 3,93 4,680 4,2962-2,034 4,2962 4,680 4,4886-0,0954 4,4886 4,680 4,5848 3,2095 4,4886 4,5848 4,5367,0963 4,4886 4,5367 4,526 0,427 4,4886 4,526 4,5006 0,508
Více1) Spočítejte limitu pomocí l Hospitalova pravidla, pokud selˇze, spočítejte ji klasicky:
Příklady k desátému cvičení ) Spočítejte itu pomocí l Hospitalova pravidla pokud selˇze spočítejte ji klasicky:. 2. 3.. 5 + 3 2 8 π π sin 2 + ln(cos(3)) 3 2) Upravte na zlomek a pouˇzijte l Hospitalovo
Vícei=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
Vícesoubor FUNKCÍ příručka pro studenty
soubor FUNKCÍ příručka pro studenty 1 Obsah Poznámky 6 lineární funkce mocninné funkce s přirozeným exponentem o sudým o lichým s celým záporným exponentem o sudým o lichým s racionálním exponentem o druhá
VíceDERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceF (x) = f(x). Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak existuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I.
KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-6:P7.] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních
VíceKapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
VíceTeorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VíceDiferenciální počet funkcí jedné proměnné
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =
VíceMatematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16
Matematika 1 3. přednáška 1 Derivace 2 Vlastnosti a použití 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 1 / 16 1. zápočtový test již během 2 týdnů. Je nutné se něj registrovat přes webové rozhraní na https://amos.fsv.cvut.cz.
VíceOznačení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x).
9 Využití derivace 9.1 Derivace vyšších řádů Definice 1. Nechť funkce má derivaci v nějakém okolí bodu c D(f). Nechť funkce ϕ() =f () máderivacivboděc. Pak hodnotu ϕ (c) nazýváme derivací 2. řádu (2. derivací)
VíceVypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 7. přednáška Derivace funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 31. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
Víceverze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu
Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové
Více1. Písemka skupina A...
. Písemka skupina A.... jméno a příjmení Načrtněte grafy funkcí (v grafu označte všechny průsečíky funkce s osami a asymptoty). y y sin 4 y y arccos ) Určete, jestli je funkce y ln prostá? ) Je funkce
Více1. sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) pro x, y R, cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) pro x, y R;
3. Elementární funkce. Věta C. Existují funkce sin(x) a cos(x) z R do R a číslo π (0, ) tak, že platí: 1. sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) pro x, y R, cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y)
VíceKapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
VíceMatematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze
Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............
Více1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.
1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle
VícePříklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar
Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné
VíceSpojitost a limita funkce
Spojitost a ita funkce Okolí bodu Značení: a R ε > 0 označujeme O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a) \ {a} x a ε-ové
VíceAlgebraické výrazy - řešené úlohy
Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,
Více9. Limita a spojitost
OKOLÍ BODU, VNITŘNÍ A HRANIČNÍ BOD Okolí bodu a je libovolný interval (a r, a + r), kde r > 0; značí se O(a, r), případně jen O(a) (obr. 9..). Číslo r se nazývá poloměr okolí. O(a, r) 0 a r a a + r Obrázek
VíceDERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO - CVIČENÍ
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně LDF)
VíceSeznámíte se s principem integrace metodou per partes a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.
.. Integrace metodou per partes.. Integrace metodou per partes Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme poznali, že integrování součtu funkcí lze provést jednoduše, známe-li integrály jednotlivých
Více7.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P7.1a]
KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-8:P7.a] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních
VícePřednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4
Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:
Více( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce
MATA P1 Užití derivací Funkce rostoucí a klesající: Deinice rostoucí a klesající unkce Funkce je rostoucí v intervalu (a,b), právě když platí: ( ) ( ) ( ), a, b : 1 1 1 Funkce je klesající v intervalu
Vícef( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů
3 Výklad Definice 3 Jestliže nastane alespoň jeden z případů lim =, lim =, + + lim =, lim =, kde ( D ), pak říkáme, že přímka = je asymptotou funkce f() v bodě f Jestliže lim ( k q) =, resp lim ( k q)
Více22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace
22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich ita a derivace Základní vlastnosti Definiční obor Definiční obor je množina neznámých, pro něž je funkce definována. Obor hodnot Obor hodnot je množina všech
Vícef konverguje a g je omezená v (a, b), pak také konverguje integrál b a fg. Dirichletovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce
1. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Abelovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce spojitá na [a, b) a funkce g : [a, b) R je na [a, b) spojitá
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018 Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Příklad 1 (2 bodů) Studijní program: Studijní obory: Varianta A Matematika MMUI Navrhněte deterministický konečný
Více0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Limita a spojitost funkce Lineární funkce Lineární funkce je jedna z nejjednodušších a možná i nejpoužívanějších funkcí. f(x) = kx + q D(f)
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii
VíceVII. Limita a spojitost funkce
VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o
Více10. cvičení - LS 2017
10. cvičení - LS 2017 Michal Outrata Příklad 1 Spočtěte následující itu daných posloupností: (a) (b) (c) n 3 +5n 2 n 3 6n 2 +3 n ; n 4 3n 2 6 n 4 + 3n 2 + 6; n 2 15n+2(1 n). 2(n 2) 3 2n 3 Příklad 2 Pro
Více