Příklady k předášce 1 - Frekvečí metody Michael Šebek Automatické řízeí 018 8-3-18
Frekvečí charakteristika OL a mez stability CL Pro esoudělý OL přeos Ls () platí: 1) Je-li s C pól CL, pak 1 + Ls () = 0 Ls () = 1 Ls () = 1, Ls () = 180 ) speciálě, je-li s = jω CL pól a mezi stability, T() s Ls () = 1 + Ls () 1 + L( jω) = 0 L( jω) = 1 L( jω) = 1, L( jω) = 180 Tedy uzavřeá smyčka má pól a mezi stability, právě když Nyquistův graf otevřeé smyčky L( jω) prochází bodem -1 1 0dB 1 Pozá se podobě i CL stabilita?
Cauchyho pricip argumetu Fukce komplexí proměé komplexí diferecovatelost Holomorfí = diferecovatelé (a tedy -krát) a otevřeé možiě Celistvá = všude holomorfí (apř. polyom) Meromorfí = holomorfí až a izolovaé póly (apř. racioálí fukce) Věta - Pricip argumetu: Pro fukci f meromorfí uvitř a a uzavřeé orietovaé křivce C, která a í emá uly ai póly, zato má uvitř Z ul a P pólů platí C f ( z) dz = π j Z P f( z) ( ) Itegrál z tzv. logaritmické derivace vlevo je úměrý rozdílu mezi počtem ul a pólů fukce uvitř C Souvisí s počtem obkroužeí počátku grafem f( C) Michael Šebek Pr-ARI-1-017 3
Obkroužeí Komplexí fukce komplexí proměé f : z f( z) Obrazem orietovaé uzavřeé křivky C je uzavřeá orietovaá křivka - tzv. koformí zobrazeí f( C) Obkroužeí orietovaou křivkou Př. proti směru po směru 1 0 Proti směru 1 3 Pricip argumetu Zobrazeí křivky fukcí komplexí proměé obkrouží počátek (Z-P)-krát, kde Z je počet ul a P je počet pólů ležících uvitř křivky obkroužeí se u křivky i jejího zobrazeí bere ve stejém smyslu Např. je-li uvitř křivky stejý počet ul a pólů, pak graf zobrazeí této křivky eobkrouží počátek ai jedou 4
Příklady Zobrazeí křivky a křivku v komplexí roviě H : x y = H( x) ula vě křivky pól vě křivky ula uvitř křivky x y x y PAdemo.m x y pól uvitř křivky ula a pól vě ula a pól uvitř y x y x x y uly uvitř uly a 1 pól uvitř x y x y Sledujte postaveí červeé křivky vzhledem k zeleému kritickému bodu 5
Zobrazeí křivky racioálí fukcí Do přeosu ( s z1)( s z) H() s = ( s p1)( s p) postupě (ve směru hod. ručiček) dosazujeme body a křivce Pro horí obrázek platí jα H( s0) = v= ve H( s ) = α = θ + θ ( φ + φ ) 0 1 1 Jak se s 0 posuuje, úhel se měí ale ai při celé otáčce se ezměí o 360, eboť každý z dílčích úhlů se akoec vrátí do původí velikosti Jiak to je (dolí obr.), když ějaký pól leží uvitř křivky: jeho úhel se po celé otáčce změí o -360 stejě i celý α proto graf hodoto obkrouží počátek Podobě: je-li uvitř ula, přispěje její úhel přírůstkem +360 Koečě, je-li uvitř křivky více ul a/ebo pólů, jejich příspěvky celkovému úhlu se sčítají (za každou ulu je to +360, a za každý pól -360 ) θ 1 θ 1 φ1 φ φ θ θ Im s s 0 Im s s 0 φ 1 Re s C C Re s Im [ H() s ] s 0 H() s α 1 Re [ H() s ] Im [ H() s ] s 0 Hs ( ): C HC ( ) H() s α 1 Re [ H() s ] Michael Šebek Pr-ARI-1-018 6
Pricip argumetu použitý v řízeí 1) Jako C vybereme křivku, která obkrouží celou pravou poloroviu ve směru hodiových ručiček potom graf H(C) obkrouží 1x počátek H(s) má 1 pól ebo ulu v pravé poloroviě ) Protože chceme použít zobrazeí této křivky v OL přeosu L(s) pro určeí stability CL systému Ls () T() s = 1 + Ls () Ls () C { jω: ω (, )} = Im s C C Re s CL póly jsou uly fukce 1 + Ls () = 0 proto aplikujme pricip argumetu a fukci Hs () = 1 + Ls () Hs () = 1 + Ls () graf zobrazeí křivky C fukcí H(s), tj. H(C), obkrouží počátek graf zobrazeí křivky C fukcí Ls () = Hs () 1, tj. L(C), obkrouží bod -1 graf L(C) zobrazeí křivky C fukcí L(s) je ale Nyquistův graf OL Michael Šebek Pr-ARI-1-018 7
Pricip argumetu použitý v řízeí 3) Protože s () ms () + s () pro s () Hs () = 1 + Ls () = 1+ = ms () ms () ms () tak platí esoudělé uly H(s) jsou póly CL systému póly H(s) jsou póly OL systému Shruto: Nyquistův graf otevřeé smyčky obkrouží kritický bod -1 N = Z - P krát, kde Z počet ryze estabilích CL pólů a P počet ryze estabilích OL pólů. Jiak řečeo: CL systém má Z = N + P ryze estabilích pólů, kde N počet bodu -1 Nyquistovým grafem L(s) P počet ryze estabilích OL pólů. Poz.: Obkroužeí proti směru hodiových ručiček se počítají záporě 8
Nyquistovo kritérium stability Zřejmě je CL systém stabilí, právě když emá žádé CL estabilí póly, tedy právě když Z = 0. Z toho plye Nyquistovo kritérium stability CL systém je stabilí právě když P = -N kde -N je počet obkroužeí Nyquistova grafu L(s) a P je počet ryze estabilích OL pólů. Zvláští případem je stabilí L(s), tedy OL stabilí systém Nyquistovo kritérium stability pro OL stabilí systém Je-li OL systém (tedy L(s) ) stabilí, pak je i CL systém stabilí právě když Nyquistův graf L(s) eobkrouží kritický bod -1 9
Praktické rady 1. Nyquistův graf L(s) akreslíme tak, že ejprve akreslíme kladou větev pro s = jωω, [ 0, ωh ], kde ωh je taková, že pro ω ωh je velikost L(s) zaedbatelě malá Pak dokreslíme větev pro ω ω h,0 symetricky podle reálé osy > [ ]. Počet N obkroužeí kritického bodu -1 ejlépe spočítáme tak, že akreslíme přímku z bodu -1 do libovolým směrem díváme se směrem od -1 do a počítáme její přechody (zleva doprava kladě, zprava doleva záporě) jsou-li výsledá obkroužeí, vyjde N záporé 3. Zjistíme počet P ryze estabilích pólu L(s) (OL estabilí pólů) 4. Vypočteme Z (počet CL ryze estabilích pólů) jako Z = N + P 5. Pro stabilitu musí být Z = 0 10
Jak doplit větve jdoucí do Abychom mohli spočítat počet obkroužeí Pól OL v ule? musí být graf uzavřeá křivka ω = 0 ω = 0 Tou eí, má-li OL pól a Im ose oblouk v celý pro ω 0 Větve jdoucí do proto musíme spojit doplěým obloukem + + ω = 0 je správě doplěí ω = 0 a ebo? abychom to zjistili, trochu pozměíme křivku změa je malá a eovliví rozhodováí o stabilitě. Použijeme při pohybu zdola ahoru těsě kolem pólu v s = 0 se úhel změí z -90º a + 90º, tj. o +180º protože jde o pól, jeho příspěvek se projeví záporě a úhel a grafu L(s) se změí o -180º a oblouk bude ve směru hodiových ručiček 11
Doplěí pro víceásobý pól Je-li pól v s = 0 dvojásobý, apř. u Ls () = také jeho příspěvek dvojásobý takže úhel a grafu L(s) se změí o (-180º) = -360º kvůli zaméku - zase ve směru hod. ručiček s 1 ( s+ 1) ω = 0 + oblouk v celý pro ω 0 ω = 0 podobě pro troj- a víceásobé póly 1
Víceásobé případy GM a PM když graf prote záporou Re vícekrát, uvažujeme pro GM je protutí ejbližší bodu -1 podobě, prote-li graf jedotkovou kružici vícekrát, vezmeme jako PM ta ejmeší Např. L=85*(s+1)*(s^+*s+43.5)/s^/(s^+*s+8)/(s^+*s+101) GM = 1.3 = db GM =1.3 PM =37 PM =37 13
Víceásobé případy GM a PM Ls () = ( s) 3 ( s ) ( s 7.9555 3 ( s 0.5403s+ 0.1 s + 1 4.9511 7.30) 5) 14
Příklad Pro soustavu uvažme dva regulátory s Ps () = Ks= () 1 Cs () = s 1 s+ 3.3 s+ 0.55 1.7s + 1.5s+ 1 3.3 1 0.55 1 1.5 1.7 s+ s+ s + s+ Pro zeleý jsou všechy okraje (GM i PM) lepší ebo stejé jako u modrého Přesto je zeleý graf blíže kritickému bodu ež modrý A při současé změě zesíleí i fáze bude jeho CL stabilita ohrožea dřív 15
Příklad:. řád soustava. řádu 1 Gs () =, Ls () = KGs () s P regulátorem ( s + 1) a jedotkovou ZV CL char. pol. je stabilí pro každé K 0, c s = s+ + K = s + s+ + K CL ( ) ( 1) (1 ) pro K =1 je OL Nyquistův graf pro rostoucí K = 1,,3, je to ai při rostoucím K eobkrouží bod -1 ai se mu eblíží N = 0 pro každé K > 0 proto je CL stabilí pro každé K > 0 Totéž plye z RL [ ) 1 K ( s + 1) K 16
Rozsah stabilizujících K Jak určit rozsah K, pro který je CL systém stabilí přitom ekreslit moho růzých grafů pro růzá K? KG() s Řešeí je jedoduché: vydělíme OL přeos L() s = KG() s parametrem a akreslíme Nyquistův graf pro G(s) pak místo kritického bodu -1 akreslíme body -1/K v určitém rozsahu K, což je jedodušší pro zjištěí CL stability uvažujeme počet obkroužeí bodu -1/K To je možé, protože graf G(s) obkrouží bod -1/K právě tolikrát, kolikrát graf L() s = KG() s obkrouží bod -1 Miulý příklad: pro žádé kladé K eobkrouží graf bod -1/K, protože K 0, : 1 K,0 1 K ( ) ( ) 17
Příklad: estabilí soustava s + 1 soustava Gs () = je estabilí s(0.1s 1) c s= s s + Ks+ = s+ K s+ K CL ( ) (0.1 1) ( 1) 0.1 ( 1) CL je stabilí pro K >1 K K =1 s + 1 s(0.1s 1) ω = 0 + ω = ± 1 10 K =1 1 Ks 1 Kl ω = 0 ω = Pro velká K = K L > 1 je N = 1 Protože teď ale je P = 1, tak Z = N + P= 0 a CL je stabilí Pro malá K = K S < 1 je N = 1 Protože teď ale je P = 1, tak Z = N + P= a CL je estabilí 18
Rezoačí špička Používáí OL frekvečí charakteristiky je je pomůcka Ve skutečosti ás zajímá frekvečí charakteristika uzavřeé smyčky, která ukazuje chováí výsledého zpětovazebího systému ω Pro (výsledý) systém. řádu T() s = existují jedoduché vzorečky s + ζωs+ pro vztah mezi přechodovým jevem a frek. Char. Zřejmě ω M( ω) = T( jω) = ( ω ω ) + 4ζ ωω Derivováím podle ω můžeme odvodit 1 M p = ω p = ω 1 ζ ζ 1 ζ ω 10 abs 1 0.7 0.1 M( ω) = T( jω) logω p M p 0 db 0 0 což platí pro ζ 0.707, jiak špička eí Pozor: také se ozačuje jako M = M = M p r T [1 + (ζ/ω ) jω+ ( jω/ω ) ] -1 19
Vztah mezi špičkou M p a překmitem Předchozí vzoreček ω platí je pro eboť p = ω 1 ζ ζ 1 0.707 pro větší tlumeí ( ζ > 0.707) špička eexistuje - eplést s překmitem, te eexistuje pro ζ 1 Spojíme-li vzorec M = ζ ζ p 1 ( 1 ) ( ) se vzorcem pro překmit l(%os 100) ζ = π + l (%OS 100) dostaeme vztah mezi špičkou M p a překmitem %OS Uvědomte si, že obecě ωp ω %OS ale pro malé ζ platí ωp ω takže je ěkdy pro malá tlumeí pokládáme za rové M p 0
PM a tlumeí Představme si, že přeos uzavřeé smyčky vzikl jedotkovou ZV z přeosu otevřeé smyčky ω ω Ls () = Ts () = s( s+ ζω) s + ζωs+ ω a vypočtěme z otevřeé smyčky ω L( jω) 1 PM tak, že vyřešíme rovici = ω + jζωω = Řešeím je ω = ω ζ + 1+ 4ζ C 4 ω ss ( + ζω ) Fáze L pro tuto frekveci je 4 ω ζ + 1+ 4ζ C L( jωc ) = 90 arcta = 90 arcta A z toho je ζω ζ ζ + 1+ 4ζ PM = L( jωc ) ( 180 ) = 90 arcta ζ ζ PM = arcta 4 ζ + 1+ 4ζ 4 1
PM a tlumeí vzorec PM = arcta ζ ζ + 1+ 4ζ 4 PM Vyeseme do grafu, kde PM je ve stupích Příklad: Pro jaké PM emá CL frekvečí charakteristiky špičku? Je to pro ζ > 1 0.707 Čemuž odpovídá PM 1.14 rad = 65.53 ς
Šířka pásma pro systém. řádu Ze vztahu Plye ω M( ω) = T( jω) = = ( ω ω ) + 4ζ ωω 1 BW = ω = ω ζ + ζ ζ + BW 4 (1 ) 4 4 Tedy s rostoucím ζ poměr BW/ω mootóě klesá BW je přímo úměré ω 3
Příklad Pro soustavu uvažme dva regulátory s s+ 1.7s + 1.5s+ 1 Ps () = Ks= () 1 Cbad () s = s 1 s+ 1 s + 1.5s+ 1.7 Pro zeleý jsou všechy okraje (GM i PM) lepší ebo stejé jako u modrého Přesto je zeleý graf blíže kritickému bodu ež modrý A při současé změě zesíleí i fáze bude jeho CL stabilita ohrožea dřív 4
Vliv přidáí uly Přidáme-li k systému ulu ve s = -1/T ω ω Ls () = () = s s+ s + s+ Ts ζω ζω ω ( ) ω ( 1+ Ts) ω ( 1+ Ts) Ls () = Ts () = s s+ ζω s + ζω + Tω s+ ω ( ) Změí se šířka pásma ( ) 4 b + 4ω BW = b +, b = 4ζ ω + 4ζω T ω ω T 3 4 Složitý vztah, ale (až a malé hodoty T) přidáí uly zvětšuje BW Michael Šebek ARI-01-011 5
Vliv přidáí pólu Přidáme-li k systému pól ve ω ω ω Ls () = () = = s s+ ζω s s+ ζω + ω Ts + 1+ ζω T s + ζω s+ ω Ts 3 ( )( 1+ Ts) ( )( 1+ Ts) ( ) Vzike systém 3. řádu, který může být i estabilí Pro ω = 1, ζ = 0.707 je stabilí pro všecha T a růzé variaty jsou vykresley s = 1 T Obecě systém s dalším pólem je méě stabilí a má meší BW 6