Kmitání mechnicých soustv 1 stueň volnosti vynucené mitání Iv Petríová Ktedr mechniy, ružnosti evnosti
Obsh Soustv s jedním stuněm volnosti vynucené mitání Vynucené mitání netlumené Vynucené mitání tlumené Amlitudová fázová chrteristi Přenos sil do záldu Rotční nevyváženost Kinemticé buzení, reltivní ohyb.3.17
Vynucené mitání, hrmonicá budící síl mx ɺɺ + bxɺ + x F ( t mx ɺɺ + bxɺ + x F sin t hrmonicá budící síl 1. Vynucené netlumené mitání - homogenní řešení rovnice mx ɺɺ + x -rtiulární řešení rovnice mx ɺɺ + x F sin t Řešení dif. rovnice s rvou strnou ustálené vynucené mity (ustálená odezv Předoládné řešení ve tvru hrmonicé funce: x sin t + cost 1 Po doszení do dif. rov.: ( sin cos ɺɺ x x t + t 1 ( ( m sin t + m cos t F sin t 1 Porovnání oeficientů u funce sin cos n obou strnách rovnice hodnot mlitudy 1 F, 1 m
Vynucené mitání, hrmonicá budící síl Prtiulární řešení: x F sin t m F F 1 1 m m ST 1 1 η F ST β ( η 1 x ( t 1 1.5 1 1.5 ST 1 η Příd rezonnce: η 1 ST Kmitání soustvy s 1 stuněm volnosti v rezonnci t β ST Amlitud se blíží neonečnu Amlitudová chrteristi netlumené soustvy
Vynucené mitání, hrmonicá budící síl. Vynucené tlumené mitání - homogenní řešení rovnice mx ɺɺ + bxɺ + x -rtiulární řešení rovnice ɺɺ + ɺ + Předoládné řešení ve tvru hrmonicé funce: x sin t Názorné řešení omocí vetorového digrmu: mx bx x F sin t ( ϕ ( ( ( + + m sin t ϕ b cos t ϕ sin t ϕ F sin t F ( m + ( b tn ϕ b m Vetorový digrm
Vynucené mitání - mlitudová fázová chrteristi Řešení dif. rce: ( ( + x t x x t F sin t x t e C e + C e + h ( ζ i 1 ζ t i 1 ζ t ϕ [ 1 ] ( m + ( b Hodnoty C 1 C určíme z očátečních odmíne ST Phs se Angle φ Úrv n oměrné mlitudy: η F F 1 ( m + ( b m b 1 + F ST stticá výchyl η oeficient nldění η η ST 1 ( 1 η + ( ζη ϕ ζη rctg 1 η Přechodový děj v odrezonnční oblsti η<1
Postu řešení soustv s 1 stuněm volnosti Volné mitání tlumené Volné mitání netlumené Vynucené mitání tlumené mx ɺɺ + bxɺ + x mx ɺɺ + x vrinty homogenního řešení vrinty homogenního řešení ζt x e [ C e + C e ] h i 1 ζ t i 1 ζ t 1 ( cos sin x e A t B t ζt h T + T x h Ce ζ t ( ζ t + γ sin 1 x C e + C e h it it 1 x Acos t + Bsin t h ( x C sin t + γ h mx ɺɺ + bxɺ + x F ( t mx ɺɺ + bxɺ + x F sin t x x + x h ředold rtiulárního řešení sin ( ϕ x t Konstnty C 1, C res. A, B res. C, γ určíme z očátečních odmíne ( x t x xɺ ( t v ( ustálené mitání 1 ( t ϕ ( m + ( b x t e C e + C e + F ζt i 1 ζ t i 1 ζ t [ ] sin
Vynucené mitání - řenos sil do záldu Stroje nebo motory evně uložené n záldové onstruci budovy řenášejí vibrce římo do záldu. onst. η onst. >>, η>>, mlý oměrný útlum ζ b onst. vibroizolce, uložení s tlumením Phse Angle φ η η Amlitudová fázová chrteristi
Vynucené mitání rotční nevyváženost Zdrojem eriodicy roměnné ůsobící síly jsou vrtné nebo rotční stroje, nř. rotce nevyváženého otouče nebo ol. m... nevyvážená hmot, e oloměr m e m η, tg ϕ 1 ( 1 η + ( ζη ζη η m m e Phse Angle φ b m m e η mx ɺɺ + bxɺ + x F ( t ɺɺ ɺ mx + bx + x me sin t m e ( m + ( b η Amlitudová fázová chrteristi
Kinemticé buzení, reltivní ohyb Vynucené mitání mechnicého systému může být zůsobeno ohybem záldu (utomobily, letdl lodě Hrmonicé inemticé buzení y y e it r η y 1 ( η + ( ζη ξη tnϕ 1 η m ( ( mx ɺɺ + b xɺ yɺ + x y x x y mx ɺɺ + bxɺ + x my ɺɺ r r r ɺɺ ɺ it mxr + bxr + xr m ye Prtiulární řešení dif. rovnice x r e r i ( t ϕ r ( m + ( b r m y r m my e Amlitudová fázová chrteristi η
Reltivní výchyl Vibrometry celerometry y η x e e r r ξη tnϕ 1 η i( t ϕ i t ϕ ( 1 η + ( ζη ( ( i t ϕ i t ϕ xr re y e (1 Rovnice ředstvuje záldní rovnici ři onstruci snímčů ro měření výchyle rychlostí zrychlení η β 1 Vibrometry:ro měření výchyle ( Reltivní výchyl hmoty m vzhledem ohybu záldu je dán rovnicí (1 hodnot η β 1 xr y e i ( t ϕ Amlitud reltivní výchyly je řibližně stejná jo mlitud ohybu záldu. Tto odmín je slněn ro η > 3, > 3 To je v řídě, dy vlstní frevence měřícího řístroje je nižší než budící frevence. Nižší frevence řístroje lze dosáhnout zvýšením hmotnosti nebo snížením tuhosti. Tlumení může zlešit rozsh oužití vibrometru. Acelerometry: ro měření zrychlení Po úrvě rovnice (1: i( t ϕ xr yβ e y je mlitud zrychlení vibrujícího systému Pro β 1 : i( t ϕ x y e r
Coulombovo tlumení Coulombovo tření zůsobí ři ohybu soustvy (hmot-ružin o drsné odložce tzv. Coulombovo tlumení. Třecí síl ůsobí v očném směru než ohybující se objet. Kmitání je osáno diferenciálními rovnicemi, teré jsou závislé n směru ohybu, viz obr. b c. Pružin je stále v thu. Obr.1, b, c mx ɺɺ x T xɺ > mx ɺɺ x + T xɺ < mx ɺɺ + x T
Tlumení zůsobené Coulombovým třením Dif. rovnice s onstntní rvou strnou: x x + x x x h C T x t T A1 t B1 t x x t T A t B t x ( cos + sin ɺ ( I ( cos + sin + ɺ < ( II Konstnty A 1, B 1, A, B určíme z očátečních odmíne. Počáteční odmíny: očáteční výchyl je x, očáteční rychlost je nulová. Následuje ohyb dolev (rovnice (II: T T x A + A x B B T T x( t x cos t + (1 T x ɺ t x t ( sin ( Směr ohybu se změní, dyž ɺx, vyočteme čs t 1, dyž dojde e změně ohybu dorv: T π x sin t1 t1 Výchyl je dán doszením do (1: π T x ( t 1 x x + Ve druhé olovině cylu se hmot ohybuje dorv očáteční odmíny jsou dány rovnicemi (1 ( : π T π x x +, xɺ
Tlumení zůsobené Coulombovým třením Po doszení těchto očátečních odmíne do (I jsou onstnty: B1 A1 x 3 T Výchyl rychlost v druhé části eriody: T T x( t x 3 cos t T xɺ ( t x 3 sin t Amlitud lesá o ždé olovině eriody o hodnotu T/, o celé eriodě o 4T/. K zstvení ohybu dojde ři mlitudě f, dy je síl v ružině f menší než třecí síl Průběh lesání mlitudy. (Shbn,1997
Jméno název ředmětu Názvosloví z mitání Amlitud mximální výchyl hrmonicy se měnící veličiny od její růměrné hodnoty Buzení ůsobení vnější čsově roměnné síly nebo momentu n mitjící systém nebo vnější čsová změn výchyly Disrétní model model sonečným očtem stuňů volnosti (tuhé hmotné bezrozměrné útvry sojené ružnými nehmotnými elementy Fázová chrteristi závislost změny fázového úhlu n frevenci Frevence očet výsytů stejného jevu z jednotu čsu u eriodicého ohybu Frevence (úhlová frevence vynásobená π Frevence (vlstní úhlová frevence volného hrmonicého mitání netlumené soustvy Hrmonicý ohyb oující se ohyb osný čsově závislou sinovou nebo osinovou funcí Mtemticý model model osný rovnicemi Mechnicý model reálné soustvy, vnichž jsou onstruční součásti nhrzeny rvy idelizovných vlstností Netlumené mitání mitání ři němž se neztrácí energie.3.17 15
Jméno název ředmětu Názvosloví z mitání Period čs otřebný roběhnutí jednoho cylu eriodicého ohybu; řevrácená hodnot frevence Počáteční odmíny stv veličin n očátu děje (čsově Počet stuňů volnosti očet nezávislých zobecněných souřdnic, teré jednoznčně určují onfigurci těles či soustvy Rezonnce jev, terý nstává vřídě rovnosti frevence buzení sněterou zvlstních frevencí systému Tlumení roces disice energie Volné mitání mitání bez účinu vnějšího buzení dné ředesnými očátečními odmínmi Vynucené mitání mitání zůsobené trvjícím vnějším buzením Zdroj: Stejsl V., Orouhlí M.: Kmitání s MATLABEM, Vydvtelství ČVUT, Prh.3.17 16