Funkce dvou proměnných

Funkce dvou proměnných Funkce dvou proměnných harmonická vlna Postupné příčné vlnění T=2, = 2 ( t, ) Asin t 2 Asin t T v t Asin 2 T Počátek koná harmonický pohb, ten se šíří dál řadou oscilátorů ve směru os rchlostí v. Do bodu M ve vdálenosti od droje vlnění dospěje a čas τ =. O tuto dobu je kmitání bodu M v opožděno oproti kmitání droje. 1

Př: paraboloid Funkce dvou proměnných Etrém pro H>0, Sedlový bod pro H < 0 2 limita_ondra.ggb Vjádření ploch 1. Eplicitní: = f(,) ; [,] 2. Implicitní: F(,,)=0 sin 0, ; 0,1 r 3. Parametrické: P(u,v) = [(u,v), (u,v), (u,v)] 2

Kvadrik algebraické ploch 2. stupně O O O 0 = V Kvadrik algebraické ploch 2. stupně Trojosý elipsoid a b c 2 1 2 O acos ucos t b cosu sin t c sinu Jednodílný hperboloid a b c 2 1 2 a cosh u cost bcosh usin t c sinhu Dvoudílný hperboloid a b c 2 1 2 O a cosh u b cost sinh u csin t sinh u 3

Parabolický paraboloid a b O at bu t u Hperbolický paraboloid a b at bu t u Kuželová plocha a b 2 0=V at cosu bt sinu t Parametriace kulové ploch OM1 d d cos d sin d r cos r sin rcos cos rcos sin rsin ; 0,2 ;, M 1 M 4

Parametrické vjádření ploch Plocha je dvouparametrická množina bodů P(u,v), jejichž souřadnice le vjádřit spojitým obraením E 3, [u, v] [,, ] P (u,v) = [(u,v); (u,v); (u,v)] = (u,v) = (u,v) = (u,v); [u, v] [u 0,v 0 ] Křivka na ploše Plocha P(u,v) = [(u,v) ; (u,v) ; (u,v)] Křivka na ploše má parametrické vjádření K(t) = [ (u(t), v(t)); (u(t), v(t)); (u(t), v(t))] = (u(t), v(t)) = (u(t), v(t)) = (u(t), v(t)) u konstantní u=u 0... parametrická v křivka K(v)=P(u 0,v) = [(u 0,v) ; (u 0,v) ; (u 0,v)] v konstantní v=v 0... parametrická u křivka K(u)=P(u,v 0 ) = [(u,v 0 ) ; (u,v 0 ) ; (u,v 0 )] Například: rotační paraboloid P t t t t 2 (, ) [ cos, sin, ] P( t, ) [ t cos, t sin, t ], kružnice 2 0 0 0 0 P t t t t 2 (, 0 ) [ cos 0, sin 0, ], parabola rotacni-paraboloid.ggb 5

Implicitní rovnice: 2 + 2 = r 2 Parametrické rovnice: = r cos u = r sin u = v, u<0, 2>, v <0, h> křivka na ploše: u = t, v = t, t <0, 4> Rotační válec u,v, v 1 2 1 1 n Transformace parametru Plocha je dána vektorovou funkcí P u, v na oblasti a nechť je dána bijekce u 1., jsou tříd C u,v. Nechť 2. na je Jakobián J nenulový u J v u v 1 2 1 2 P := [ cosh( u ) cos( v ), cosh( u ) sin( v ), sinh( u) ] Pt := [ cosh( u ) cos ( v 2 u ), cosh( u ) sin ( v 2 u ), sinh( u) ] 6

Transformace parametru = u u cos sin J u usin ucos 2 X( u, )=[ u cos( ), u sin( ), u ] rotacni_paraboloid.ggb Transformace parametru = X( u,v)=[ u v, u v, u v u v ] u u 1 1 J 2 1 1 v v 7

Tečná rovina a normála ploch Nechť T je bod ploch. Uvažujme všechn křivk k i ploch, procháející bodem T. Pokud tečn všech křivek k i tvoří rovinu, pak bod T naveme regulárním bodem ploch a rovinu tečnou rovinu ploch. t (t,r) Plocha je dána parametrick: P (u,v) = [(u,v); (u,v); (u,v)] Tečná rovina ploch v bodě T: u, v T ut vr T r t ; ; u u u r ; ; v v v Normála ploch přímka kolmá na tečnou rovinu Př: Tečná rovina a normála kulové ploch v bodě T( = 0, =0) Kulová plocha cos cos cos sin cos sin cos cos sin ; 0 0,2 ;, T( 0, 0) [1, 0, 0] Tečná rovina : : 1 P t P r 0,1,0 n t r 0,0,1 1,0,0 u v; u, v R normála : n[1 u,0,0] t sin cos sin sin cos r t T r 01_sfera_tecna.ggb 8

Rotační válec rovinutelná přímková plocha Implicitní rovnice: 2 + 2 = 1 Parametrické rovnice: X := [ cos( ), sin( ), u] Parciální derivace: u Tečná rovina v bodě X 0,1,0 X, u0 2 X u, u0 2 1,0,0 0,0,1, u0 2 TR := [ s, 1, r] Hperbolický paraboloid = X u v u v u v (, ) [,, ] X X [1,0,2 u]; [0,1, 2 v] u v Tečná rovina v bodě X(0,0) = [0,0,0] X t, w t w, t w, 4tw X t X t : 0 X w X w 1,1, 4w; 1,1, 4t 0,0 1,1,0 ; (0,0) 1,1,0 03_hp_paraboloid_funkce_tecna.ggb 9

Tečná rovina grafu funkce dvou proměnných sin 0, ; 0,1 = f, X(, ) [,, f, ] X f X f [1,0, ]; [0,1, ] Tečná rovina v bodě [ 0, 0,f( 0, 0 )] r 0 s 0 f f f ( 0, 0 ) r ( 0, 0 ) s ( 0, 0 ) f f f ( 0, 0 ) 0 ( 0, 0 ) 0 ( 0, 0 ) sin_funce_tecna.ggb Gradient f skalárního pole f(,) Diferenciální operátor, jehož výsledkem je vektorové pole vjadřující směr a velikost největší měn skalárního pole. Znáorníme-li skalární pole f(,) jako graf funkce = f(,), určuje gradient směr největšího spádu. f f f (, ), 05_gradient.ggb 10

Gradient f skalárního pole f(,) Normála ploch přímka kolmá na tečnou rovinu X ( u, v) ( u, v), ( u, v), ( u, v) n t r t ; ; u u u r ; ; v v v Plocha dána implicitně: F(,, ) 0 F F F n F,, 11

Klasifikace bodů na ploše dle průnikové křivk ploch a tečné rovin Bod T naýváme : Eliptický bod ploch je-li bod T iolovaný (nebo jediný) bod průnikové křivk T Hperbolický bod ploch je-li bod T ulovým bodem křivk Parabolický bod ploch v ostatních případech T T T Množina eliptických a hperbolických bodů na ploše je oddělena křivkou parabolických bodů. hperbolické bod Ře tečnou rovinou v parabolickém bodě eliptické bod 12

Ře anuloidu tečnou rovinou v hperbolickém bodě Eliptické a hperbolické bod Ře tečnou rovinou v parabolickém bodě Normálová křivost Každá normálová rovina řeže ploch v normálovém řeu. Křivost normálového řeu je v každém směru tečné rovin jiná. Etrémální křivosti naýváme hlavní křivosti, jejich směr pak hlavní směr. Dupinova indikatri je křivka v tečné rovině náorňující křivosti normálového řeu v ávislosti na směru tečn - tj. úhlu otočení. Vdálenost bodu D od bodu dotku A je R, kde R je poloměr oskulační kružnice příslušného normálového řeu. 13

Průniková křivka ploch Průniková křivka ploch Průnik jednodílného hperboloidu a rotačního válce 2 1 1 Průniková křivka X( t) cos( t), 2 sin t,sin t 14

Rotační ploch Parametrické vjádření rotační ploch Plocha vnikne rotací tvořící křivk k kolem os. Nechť je osou rotace souřadnicová osa, tvořící křivkou je meridián v souřadnicové rovině (,). Křivka je dána parametrick: Parametrické vjádření rotační ploch: X ( t) t,0, t X ( t, ) t cos, t sin, t 15

Implicitní rovnice a a b 2 1 2 Rotační elipsoid Parametrické rovnice a cost cos a cost sin b sin t ; 0,2, t, Šroubové ploch 16

Parametrické vjádření šroubové ploch Plocha vnikne šroubovým pohbem tvořící křivk k kolem os. Nechť je osou šr. pohbu souřadnicová osa, tvořící křivkou je meridián v souřadnicové rovině (,). Křivka je dána parametrick: X ( t) t,0, t Parametrické vjádření rotační ploch: X ( t, ) t cos, t sin, t, t, R 17