) (P u P v dudv, f d p na ploše Q E 3, která je orientována. x = u, y = v, z = a, (P u P v dudv = B

Transkript

1 E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II 6 V.4. Plošný integrál vektorové funkce Necht je jednoduchá hladká plocha orientovaná v bodech X jednotkovým vektorem normál n o X. Necht f je vektorová funkce omeená na a necht skalární funkce f n o je integrovatelná na ploše. Potom říkáme, že f je integrovatelná na a f X d p f X o n X dp. Je-li X Pu,v parametriace ploch definovaná na množině E, pak plošný integrál vektorové funkce f le přímo spočítat dle vorce: f X d p ± f Pu,v P u P v dudv, přičemž naménko vbíráme podle toho, da je plocha orientována souhlasně, resp. nesouhlasně, s parametriací Pu,v, tn. je-li P u P v n o X. Ponámka : Někd se používá i jiné načení : Je-li f U,V,W, pak plošný integrál vektorové funkce f se dá apsat ve tvaru f d p U dd +V dd +W dd Vpočítejte dané plošné integrál daným normálovým vektorem. f d p na ploše E, která je orientována Příklad64. f,,, {,,] E ;, a,,a, a, a > } je orientována vektorem k,,. k a u, v, a, u, a v,a a a Pu,v u,v,a],,a,a P u P v,,,,,, je orientovaná souhlasně s parametriací f d p,, d p u,v,a P u P v dudv u,v,a,,dudv a dudv a a a. Příklad644. f,,, {,,] E ; + + 6,,, }, normálový vektor ploch svírá s vektorem k,, ostrý úhel. 4

2 E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II 6 n P,,,6 ], 6,, 6, {,] E ; 6, } P P,,,,,, vektor,, svírá s vektorem k ostrý úhel, tn.,, k > f d p 6+dd,, d p 6 6+ ] /, 6, je orientovaná souhlasně s parametriací 6,,,,dd d 6 8 d ] Příklad645. f,,, {,,] E ; + 6,,, }, plocha je v bodě 4,,] orientována normálovým vektorem i,,. i je část válcové ploch použijeme clindrické souřadnice, kde r 4 4cosu, u 4sinu,, v, v,,, f d p 4sinu,v,6cos u P u P v dudv 4sinu,v,6cos u 4cosu,4sinu,dudv ] 8sinu 4vsinu dv du 8vsinu 4 v sinu du ] 4sinu 8sinudu cosu+8cosu 8+ 6 Pu,v 4cosu,4sinu,v] P u P v 4sinu,4cosu,,, 4cosu,4sinu, n 4,,] 4cos,,,, i je orientovaná nesouhlasně s parametriací Příklad 646. f,,, {,,] E ; +,, }, n svírá s vektorem k,, tupý úhel, tn. n k <. 4

3 E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II 6 n vcosu, u, vsinu, +v, v, Pu,v vcosu,vsinu,+v],, P u P v vsinu,vcosu, cosu,sinu, vcosu,vsinu, v vcosu,vsinu, v,, v < je orientovaná souhlasně s parametriací f d p vsinu,vcosu, P u P v dudv vsinu,vcosu, vcosu,vsinu, vdudv v sinucosu vdudv v sinu v dv du 9sinu 9 ] du 9 cosu u v ] sinu v du ] 9 Příklad 647. f,,, {,,] E ; 6,,, }, n svírá s vektorem k,, ostrý úhel. n 6 je část paraboloidu,, 6,,,,,] P,,,6 ],, P P,,,, 4,4,,4,,, > je orientovaná souhlasně s parametriací f d p,,6,,6,4,dd +6 ] d + 6 ] 4 P P dd d d +6 d

4 Příklad648. f n E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II 6,, +, : vcosu, vsinu, bu šroubová plocha, u,v],a, a >,b >, orientována normálovým vektorem n n,n,n, kde n >. f d p Pu,v vcosu, vsinu, bu],a, P u cosu,sinu,, P v vsinu,vcosu,b P u P v bsinu, bcosu,v v > orientace ploch je souhlasná s parametriací,, + d p b u vcosu,b u vsinu,buv bsinu, bcosu,vdudv b vu sinucosu b vu sinucosu+bv u dudv a Příklad 649.* Vpočítejte bv ududv u bv 4] a u ] udv du b 4 a 4 b. dd, {,,] E ; + + 4,,, }, n svírá s vektorem k,, ostrý úhel. n je část kulové ploch použijeme sférické souřadnice, kde r : cosucosv sinucosv u sinv v Pu,v cosucosv, sinucosv, sinv],, P u sinucosv, cosucosv, P v cosusinv, sinusinv, cosv P u P v 4cosucos v, 4sinucos v, 4sinvcosv je orientovaná souhlasně s parametriací dd f d p,, d p,,4sin v 4cosucos v, 4sinucos v, 4sinvcosv 6sin vcosvdudv 6 sin 4 v 4 ] /. 44

5 E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II 6 Určete tok vektorového pole f plochou E orientovanou daným normálovým vektorem n. Příklad65. f,,, je trojúhelník o vrcholech A,,C, kde A,,],,,], C,,6], n i <. Tok vpočteme tentokrát podle definice, tj. převedením na integrál skalární funkce. n C A f d p 4 je část rovin, jejíž rovnici napíšeme v úsekovém tvaru : f n o dp + dp 4 je rovina s normálovým vektorem n ±,, podmínk n i < plne, že n,, n o n n,,,, ,,,, 4 dp dp P,,,6 ], 6 P P,,,,,, P P D 6 4dd 6 4 ]6 d 4+ 4 d d d ] 6. Příklad65. f,,,, kde {,,] E ; +,, }, {,,] E ; +,, }, jednotkovým vektorem normál ploch je n o j. : n n Pu,v vcosu,vsinu,] V souladu s normálovým vektorem n o j bude jednotkový vektor normál ploch n o k. f d p f d p+ f d p,/, P u P v vsinu,vcosu, cosu,sinu,,, v,, v,, v > je orientovaná souhlasně s parametriací 45

6 E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II 6 f d p v cos ududv : v dv / v cos 4 udu 4 Pu,v vcosu,,vsinu] ] / / +cosu,/, v cos udv du du 8 u+ sinu P u P v vsinu,,vcosu cosu,,sinu, v,, v,,, v > je orientovaná souhlasně s parametriací / f d p v sin ududv v 4] / cosu du u sinu 4 8 f d p f d p+ f d p 8. v sin udv du ] / 6. Příklad65. f,,, {,,] E ; 4, }, jejíž normálový vektor splňuje podmínku n k >. 4 je rotační paraboloid vcosu, u, n vsinu, 4 v, v, ] / 6. Pu,v vcosu,vsinu,4 v ],, P u P v vsinu,vcosu, cosu,sinu, v v cosu, v sinu, v v cosu,v sinu, v,, v < je orientovaná nesouhlasně s parametriací f d p ± f P u P v dudv vsinu, vcosu,4 v v cosu, v sinu, vdudv 4v v dudv 4v v dv du v v4 4 ] 8 Příklad65. f,,, {,,] E ; 4 +, }, normálový vektor n n,n,n má n >. n je část kuželové ploch

7 E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II 6 P,,,4 + ] {,] E ; + 9 } P P,,,, + + +,, +, třetí souřadnice je kladná je orientovaná souhlasně s parametriací f d p + f P P dd,,4 + +, 4 + dd rcosϕ rsinϕ J r 4 r rdr dϕ r r +, dd ] r ϕ 44. Příklad654. f,,, {,,] E ; +9 9, 4}, plocha je v bodě,,4] orientována normálovým vektorem n i,,.,,4] i 4 je eliptická válcová plocha použijeme obecněné clindrické souřadnice cosu u sinu v 4 v Pu,v cosu,sinu,v],,4 P u P v sinu,cosu,,, cosu,sinu, n,,4] nu,v 4,, orientace ploch není souhlasná s parametriací f d p ± 4 f P u P v dudv cosu,sinu,v cosu,sinu,du dv cos u+sin udu dv 4 4. Příklad655. f,,, {,] E ; + + a,, a > }, normálový vektor n svírá s vektorem k,, tupý úhel. n je část kulové ploch + + a, 47 a

8 E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II 6 P,,, a ] {,] E ; + a } P,, P,, a a P P a, a, podmínk n,, < orientace ploch není souhlasná s parametriací 4,, d p /,, a a dd a a, dd a, rcosϕ rsinϕ J r r 4 sin ϕcos ϕ a r rdrdϕ sin ϕ sin ϕdϕ sin ϕ sin 4 ϕdϕ a a r 4 a r rdr a r a ϕ a r t rdr tdt a t t tdt vi př. 4 4 a 4 a t +t 4 t dt ] a 4t 4 at5 5 + t7 a 7 a 7 4 a7 5 + a7 7 5 a7. Je dána vektorová funkce f a plocha. a Načrtněte danou plochu. Navrhněte její parametriaci a k ní napište vektor kolmý k ploše. b Vpočítejte tok adaného vektorového pole f plochou při orientaci daným normálovým vektorem n f,,, {,,] E ; + + 4,, }, n svírá s vektorem k,, ostrý úhel. ap,,,4 ], {,] E ;, }, b7 P P,, 657. f,,, {,,] E ;+, + 4}, n o,, apu,v vcosu,vsinu, vcosu], b8 {u,v] E ;}, u, v P u P v v,, v 48

9 E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II f,,, {,,] E ; +, 9}, normálový vektor svírá s vektorem k,, úhel tupý. a P,,, + ], {,] E ; + 9}, P P,, a Pu,v vcosu,vsinu,v ], {u,v] E ; u, v }, P u P v v cosu, v sinu, v b f,,, {,,] E ; +,, }, normálový vektor svírá s vektorem k,, ostrý úhel. a P,,, + ], {,] E ; + 9}, P P +, +c, a Pu,v vcosu,vsinu,v], {u,v] E ; u, v }, P u P v vcosu, vsinu, v 66. f,,, {,,] E ; 9 +, }, n j < b9 a P,,9 +, ], {,] E ; + 9}, P P +,, + a Pu,v vcosu,9 v,vsinu], {u,v] E ; u, v }, P u P v vcosu, v, vsinu b f,,, {,,] E ; + + 4, }, n o,,] i a P, 4,, ], {,] E ; + 4}, P P, +, + a Pu,v cosucosv,sinucosv,sinv],,,, P u P v 4cosucos v, 4sinucos v, 4cos vsinv b 6 Určete tok vektorového pole f plochou E orientovanou normálou n : 66. f,,, je trojúhelník o vrcholech A,,], 5,,], C,4,], normálový vektor svírá s vektorem k,, ostrý úhel. ] 66. f i j + k, je rovnoběžník s vrchol A,,],,,], C,4,5], D,,] orientován normálou n,,. ] 664. f,,, {,,] E ; 9, }, normálový vektor n n,n,n má třetí souřadnici kladnou f,,, {,,] E ; + 9 4,, }, n k < 8] ] 49

10 E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II f,,, {,,] E ; + 9, 4}, n o,,] i f, +,, {,,] E ; +, h}, n k < 668. f,, +, {,,] E ; + b, h, } n o b,,] i f,,, {,,] E ; 4 9,, }, n k > 67. f,,, {,,] E ; +, }, n k < 7] h ] b h] 67. f,,, {,,] E ; + +,,, }, n k < 7 ] 8 ] 8] 67. f,,, {,,] E ; 6 +,, }, 4 n o,,] k. 67. Vpočítejte plošný integrál dd + dd, {,,] E ; +, }, n svírá tupý úhel s vektorem k. 64] ] 5