. DYNAMIKA A DEFOMAČNÍ VAIANTA METODY KONEČNÝCH PVKŮ Př řešeí statckých úloh pomocí deformačí varaty metody koečých prvků jsme zjstl, že pro pops dskretzovaého systému potřebujeme zát pouze jedu jeho charakterstku a tou je matce tuhost systému [K]. Působíme-l a řešeý systém vějším slam, které popíšeme vektorem ekvvaletího uzlového zatížeí {F}, dostaeme po vyřešeí systému leárích rovc hledaé globálí uzlové deformačí parametry {Δ G }. Schéma statcké úlohy je a obr. -. [K] {F} { Δ G } VEKTO ZATÍŽENÍ STATICKÝ SYSTÉM. (.) Obr. - Schéma řešeí statcké úlohy a její matcová formulace VEKTO UZLOVÝCH DEFOMAČNÍCH PAAMETŮ [M] {F t } [D] [K] { Gt }... (.) Obr. - Schéma řešeí dyamcké úlohy a její matcová formulace Stráka /65
..Matce hmotost tyčového prvku.. Přímé rozděleí hmotost do uzlů Abychom dagoálí matc přblížl skutečost, požíváme metodu přímé rozděleí celkové hmotost prvku do uzlů, vz obrázek -3. Tvar matce hmotost bude ásledující hmotost kde dex dp zameá dagoálí a přímý způsob rozděleí Obr. -3 Přímé rozděleí hmotost do uzlů (obr. převzat z []).. Kozstetí matce Y Δ Δ X L X = ξ = X/L X = L ξ = ξ = Obr. -4 Zavedeí bezrozměré souřadce ξ Vztahy mez fukcí tvaru {N}a uzlovým deformačím parametry {Δ} pro prutový (tyčový) prvek byly defováy ve statce. Aproxmačí polyom pole posuutí je leárí.,, (.3) Stráka /65
kde ξ je bezrozměrá délková pořadce z obr. -4. Posuutí w v určtém místě prvku se vypočítá, stejě jako ve statce, podle ásledující rovce.4. ychlost posuutí jako časová dervace posuutí je defováa rovcí.5. Ketcká eerge elemetu hmotost dm je (.4) a (.5) (.6) Po tegrac přes objem prvku dostaeme výraz ketcké eerge prvku ve tvaru. (.7) Jak je zřejmé, rovce defující tvar matce hmotost má obecý tvar platý pro jakýkolv prvek: (.8) Pro tyčový prvek za předpokladu kostatího průřezu A a modulu pružost E, dostáváme Matce z rovce (.9) se azývá kozstetí matce hmotost. (.9)..3 Přímá dagoalzace V dyamce často potřebujeme je dagoálí matc hmotost, pak pro sledovaý tyčový prvek dostáváme zaedbáím mmodagoálích čleů matce ásledující tvar (.). Důvodem pro používáí dagoálích matc hmotost je výzamé urychleí dyamckých výpočtů rozsáhlých úloh (smulace tzv. crash testů automoblů aj.). Iverze dagoálích matc je velm rychlá.. (.) Dagoálí tvar matce hmotost má sadou fyzkálí terpretac, jak vyplývá z obr. -5. Zde je realta reprezetováa spojtým prutem kostatího průřezu délky L a celkové hmotost Stráka 3 3/65
m el. Po dskretzac metodou koečých prvků a zaedbáí mmodagoálích prvků dostaeme fyzkálí model prutu ve formě ehmoté tyče délky L, která má v počátečím a koečém uzlu dskrétí hmotost o velkost m el /3. Touto hrubou dskretzací jsme tedy ztratl třetu hmotost původího prvku. Tato matce pak popsuje dyamcké vlastost prutu je velm přblžě. Proto se sažíme chybějící hmotost koečého prvku určtým způsobem doplt. Jak, to uvádí další text. dskretzace (redukce) m prvku / 3 L m prvku / 3 Nehmotá tyč L Obr. -5 ealta, spojtý tyčový prvek je dskretzová (reduková) a fyzkálí model dvou hmotých bodů a ehmoté tyč..4 Kombovaá metoda Tato metoda je zobecělá metoda kombující dvě předchozí. Matce hmotost je obecě vyjádřea jako leárí kombace růzých matc hmotost. (.) Podle toho, jaké složky matce hmotost použjeme, a jaký ezávslý parametr μ staovíme, dostaeme růzé varaty výsledé matce hmotost. Nejzámější schéma sestaveí matce hmotost je založeo a použtí vážeého průměru kozstetí a dagoálí matce soustředěých hmotostí, (.) kde μ je ezávslý skalárí parametr. Tuto matc hmotost můžeme azvat apř. vážeou matcí hmotost. Pokud bude μ= ebo μ=, bude tato kombace redukováa zpět a kozstetí ebo dagoálí tvar matce hmotost. Pro výše uvedeý dvouzlový tyčový prvek dostáváme př použtí této metody matc hmotost ve tvaru Stráka 4 4/65
(.3) Z hledska mmalzace rozptylu žších frekvecí se jako ejlepší volba ezávslé kostaty μ jeví μ=,5...5 HZ (epové doplěí látky) Za zkratkou této metody se skrývají počátečí písmea jme autorů (čláek z roku 976, Hto E., ock T. ad Zekewcz, O, A ote o mass lumpg ad related processes the fte elemet method ). Autoř doporučují počátečí matc hmotost, která je obvykle kozstetí, upravt a dagoálí tvar přes vhodý čtel, který zachová celkovou ketckou eerg prvku. Metoda HZ je metodou ověřeou a má přjatelou fyzkálí odezvu. Algortmus vychází z výpočtu celkové hmotost elemetu, která je ásledově podělea součtem vybraých dagoálích prvků matce hmotost. Vybraé prvky příslušejí pouze jedomu z typů daých stupňů volost, tedy apříklad u osíkového elemetu to budou pouze posuvy a prvky příslušející rotacím budou vyecháy. Ozačíme-l matc hmotost vstupující do algortmu, je postup tvorby dagoálí matce hmotost je ásledující: a) určíme kozstetí matc hmotost b) určíme jedotlvé součty podle daého schéma, (.4), (.5) kde je počet stupňů volost daého elemetu. c) ahrazeí původích prvků matce hmotost prvky podle schéma, (.6) A ové hodoty dagoálích prvků budou,, (.7) Stráka 5 5/65
..Matce hmotost krouceého prvku Podobě jako u tažeého-tlačeého prvku bude áhradí fukcí pro prostý krut kruhových průřezů leárí polyom. Deformačí parametr v každém uzlu je jede a to úhel atočeí průřezu, jak je vdět a obrázku -6. Δ Δ Obr. -6 Deformačí parametry krouceého prvku Matce hmotost má obdobý tvar jako matce hmotost tažeého-tlačeého prvku tj., (.8). kde I x je hmotový momet setrvačost prvku [kg.m ], m p je hmotost prvku [kg], J x je průřezový momet setrvačost prvku [m 4 ], A je průřezová plocha prvku [m ]..3.Matce hmotost ohýbaého prvku... Kozstetí matce Δ Δ3 Δ Δ 4 L X = ξ = X/L X = L ξ = ξ = Obr. -7 Deformačí parametry ohýbaého osíku X Do vzorce (.9) dosaďme fukc tvaru pro aproxmac průhybové čáry u ohybu tvaru ; ; ;. (.9) Př odvozeí jsme zaedbal vlv posouvajících sl a deformac. Dostaeme ásledující tvar matce hmotost tzv. Beroullho osíku: í Stráka 6 6/65
; ; ; (.) Jestlže uvážíme deformac osíkového prvku od posouvající síly, jak ukazuje obrázek -8, y/ x γ Obr. -8 Deformace Tmošekova osíku, y/ x atočeí průhybové čáry vlvem ohybového mometu, γ zkos od posouvající síly potom fukce tvaru bude ; ; ;. (.) Kostata je defováa ásledujícím vztahem,, (.) (čt kapa) je součtel erovoměrého rozděleí smykového apětí po průřezu. Stráka 7 7/65
Tvar matce hmotost Tmošekova osíkového prvku: 3 35 7 Φ Φ 3 6 5 L Φ Φ Φ 4 9 7 3 Φ 6 Φ 6 5-3 3 Φ Φ L Φ 4 4 4 symetre L 5 Φ Φ Φ Φ 6 5 6 3 L 3 4 3 Φ Φ Φ 4 4 L 4 Φ Φ 6 3 Φ Φ 6 6 (.) symetre symetre 3 7 Φ 6 Φ 35 3 5 symetre symetre symetre hmotost prvku, bezrozměrý součtel L L 5 Φ Φ 4 Φ Φ Φ Φ Φ 6 5 6 3 Poz: pro Beroullho osík dosaď Φ = a =, pro Flügeho osík dosaď Φ = (ANSYS prvek BEAM3 bez stupňů volost pro tah a tlak) Stráka 8 8/65
Tvar matce tuhost Tmošekova osíkového prvku: 6 6 6 4 6 (.3) 6 6 6 6 4 Způsoby výpočtu vlastích frekvecí u osíkových prvků: deformačí eerge vtřích sl setrvačé účky ANSYS M o T Dyamcká síla Dyamcký momet Beroull A N A N eí Flüge A N A A BEAM3,4 = Tmošeko A A A A BEAM3,4.3. Matce hmotost prvku rového rámu Kombací vzorců (.9) a (.9) dostaeme matc hmotost prvku rového rámu, který má v každém uzlu 3 deformačí parametry posuv ve směru lokálí osy x prvku (tah-tlak), posuv ve směru lokálí osy prvku y (průhyb) a atočeí prvku. U ohybu jde o Beroullho typ tj. bez vlvu posouvajících sl a deformac. Δ Δ5 Δ Δ 4 X Δ 3 Δ 6 L X = ξ = X/L X = L ξ = ξ = Obrázek -8 Lokálí deformačí parametry prvku rového rámu ý_á (.4) 9/65
.3. Matce hmotost prvku prostorového rámu Δ Δ 8 Δ 5 Δ Δ Δ 4 Δ Δ 7 Δ 3 Δ 6 Obrázek -9 Lokálí deformačí parametry prvku prostorového rámu ýá Δ 9 Δ (.5) Struktura eulových čleů lokálí matce hmotost prvku prostorového rámu má elegatí pravdelou strukturu, vz obr. -9 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Obrázek -9 Struktura eulových prvků matce hmotost prostorového rámu Stráka /65
.4. Matce hmotost trojúhelíkového stěového prvku Δ 6 Δ 5 Δ 4 Δ 3 Δ Δ Obrázek - Deformačí parametry rového (stěového) prvku Kozstetí matce hmotost má tvar.., (.6) dagoálí.. (-7) Stráka /65
.5.Matce hmotost čtyřstěu (tetraedru) (.8) Stráka /65
TABULKY Vlastích frekvecí ohybového (příčého) kmtáí základích typů uložeí rových osíků. (Beroullho teore kmtáá) VF osíků -- 3/65
VF osíků -- 4/65
Řešeí vlastích frekvecí kozolového osíku pomocí MKP Kozolový osík dle obrázku má délku L, průřezovou plochu S, průřezový momet setrvačost J, měrá hmotost materálu je ρ a jeho modul pružost E. Uvažujme kmtáí tzv. Beroullho osíku ( tj. zaedbáme vlv posouvající síly a deformac a zaedbáme rotačí setrvačé účky ). Exaktí hodoty vlastích kruhových frekvecí se získají řešeím frekvečí rovce λ E. J cos λ * cosh λ =, kde pro vlastí kruhovou frekvec Ω platí Ω =.. L ρ. S Pro uvedeý osík vychází λ =,5968.π a λ =,494.π, vlastí kruhové frekvece pak 3,556 E. J,35 E. J Ω =., Ω =.. L ρ. S L ρ. S S, J, ρ r L r Obrázek Dskretzace kozolového osíku Nyí přstoupíme k dskretzac kozolového osíku pomocí deformačí varaty MKP. Pro zjedodušeí řešeí volme ejhrubší možou dskretzac kozoly a to áhradu jedím koečým prvkem. Převezmeme zámé defce matce tuhost [k] a hmotost [m] ohýbaého prvku, za předpokladu užtí kubckého polyomu pro aproxmac průhybu osíku. Matce mají ásledující tvar: EJ 3 L sym. 6L 4L 6L [ k ] =. [ ] =. 6L L 6L 4L 56 L 54 3L 4 3 3 LS L L L m ρ 4 56 L. sym. 4L Symboly r ( průhyb ) a r ( atočeí ) a koc kozoly ozačují globálí deformačí parametry ( DP ). Protože okrajová podmíka ( vetkutí ) v počátečím uzlu prvku zamezuje jak průhybu tak atočeí, čísla odpovídajících deformačích parametrů jsou ulová a příslušé řádky a sloupce matc prvku se ve výsledých matcích osíku eprojeví. Koec osíku tj. kocový uzel ašeho jedého koečého prvku je volý, proto čísla DP jsou a. Výsledé matce ašeho osíku budou mít po dskretzac a uplatěí okrajových podmíek tvar: EJ 6L LS 56 L [ K ] = 3 a [ M ] = ρ L 6L 4L. Frekvečí rovc pro výpočet 4 L 4L vlastích kruhových frekvecí Ω (ΜΚP) a Ω (MKP) dostaeme rozvojem determatu det Ω ( M = [ ] [ ]. K MKP ) - - 5/65
Tato rovce má ásledující tvar: 4 6 3 Ω ( MKP ) L m p 4. Ω ( MKP ) L m p EJ 5 E J =, kde m p = ρ.l.s je hmotost prvku. Výsledkem řešeí kvadratcké rovce pro ezámé Ω,(MKP) jsou tyto hodoty: 3,5373 E. J 34,8689 E. J Ω ( MKP) = a Ω ( MKP) =. L ρ. S L ρ. S Porováím exaktích hodot vlastích kruhových frekvecí Ω s hodotam vlastích kruhových frekvecí dskretzovaého osíku metodou MKP Ω ι(μκp) docházíme k těmto závěrům. U prví frekvece je odchylka od exaktího řešeí,5 %, u druhé pak 58% ( chyba byla počítáa dle vzorce = (Ω ι(μκp) / Ω ). ). Vzhledem k ejhrubější možé dskretzac kozoly jedím koečým prvkem má hodota prví vlastí kruhové frekvece překvapvě dobrou shodu s teoretckým výsledkem. Druhá vlastí frekvece je však jž epoužtelá. Musel bychom použít jemější dskretzace osíku (mmálě dva, lépe více prvků). ( ) Prví vlastí tvar kmtáí určíme z rovce [ ] Ω( ) [ M ] r r = K MKP, kde r a r jsou ampltudy harmockého kmtáí prvího vlastího tvaru. Jsou leárě závslé, a proto lze získat jeom jejch poměr, př zadaé hodotě jedoho deformačího parametru, apř. pro r = vyjde r =,378/L. Tvar kmtáí je zobraze a obrázku. r r Obrázek Prví vlastí tvar kmtáí Poz.: Př děleí osíku a dva koečé prvky dostáváme hodoty vlastích kruhových frekvecí s ásledující chybou vůč exaktímu řešeí: Pořadové číslo.. 3. 4. VF Chyba vůč exaktímu řešeí v %,7,85,8 8,4 - - 6/65
Metoda redukce v dyamce Předpokládejme, že máme řešt vlastí frekvece rozsáhlého etlumeého systému řádu N. přtom potřebujeme řešt pouze spodí část spektra vlastích frekvecí o počtu m frekvecí, přčemž číslo m je výrazě meší, ež N tj. platí: m << N. Prvým krokem uváděé Guyaovy metody redukce je převedeí základí matcové rovce pro výpočet etlumeých vlastích kruhových frekvecí a tvarů do blokové úpravy podle rovce (): = () Zde platí symetre matc tj. = = () Za předpokladu, že setrvačé účky u vedlejších stupňů volost s ( slave ) se dají zaedbat, tedy matce [M sm ] a [M ss ] budou ulové, rozepsáím druhého řádku matcové rovce () dostaeme: =, po úpravě =. (3) Dále vytvořme obdélíkovou trasformačí matc [T] řádu m x N: =, kde (4) [].. je jedotková matce řádu m x m -[K ss ] - [K sm ].. je obdélíková matce řádu s x m. Pomocí ásledující podobostí trasformace sížíme původí řád N x N matc tuhost a hmotost a řád m x m. Nové matce tuhost a hmotost řádu m jsou ozačey stříškou: = a = (5) Je uté zdůrazt, že je vhodé, aby číslo m bylo o ěkolk čísel větší, ež počet požadovaých vlastích frekvecí p s požadovaou přesostí. Obvykle stačí, aby platlo m = p 5. (6) Pět vektorům z rovce (6) se říká stráží vektory a mají zajstt, aby proces redukce epřeskočl př výpočtu žádou vlastí frekvec. Následující matcovou rovc (7) psaou ve tvaru s modálí matcí [V] a dagoálí matcí vlastích kruhových frekvecí [Ω ], je možé řešt pro p požadovaých vlastích hodot lbovolou umerckou metodou (metoda smultáích terací, Q algortmus, Jacobova metoda zrcadleí atd.). 7/65
Ω =. (7) Ω Poz.: modálí matce [V] obsahuje jako sloupce vlastí tvary kmtáí, takže rozměr matce je N x m. Příklad: Vyřešte pro zadaý osík vlastí frekvece pro dskretzac osíku jedím prvkem se dvěma deformačím parametry. Pak s zvolte deformačí parametr Δ jako vedlejší a průhyb Δ jako hlaví a redukujte matce pomocí Guyaovy redukce. Řešeí: Obrázek Jedoduchý osík Na základě teore kotua lze vypočítat vlastí kruhové frekvece kmtáí Beroullho osíku exaktě. Pro typ okrajových podmíek ašeho příkladu Sem zadejte rovc.dostáváme vzorec: Ω = j pořadové číslo vlastí frekvece [] L délka osíku [m] E modul pružost materálu osíku [Pa] J průřezový momet setrvačost [m 4 ], kde (8) ρ měrá hmotost materal osíku [kg.m -3 ] Kostata = má pro prví vlastí frekvec hodotu c =,4674 a pro druhou vlastí frekvec hodotu c =,66. Na základě těchto exaktích hodot můžeme sledovat a kometovat chybu dskretzace. Nejdříve vytvoříme matcovou rovc pro eredukovaý problém, tedy řádu x. Vycházíme z matcové rovce ohybového kmtáí Beroullho osíku pro jede koečý prvek (matce tuhost a hmotost můžeme převzít ze str. 5 podkladů ke studu). ovce (9) odpovídá volému koečému prvku, bez okrajových podmíek. Po uplatěí okrajových podmíek ašeho příkladu se matcová rovce (9) upraví a rovc (). 8/65
6 6 4 6 6 6 6 Ω 6 6 4 56 54 3 Δ l 4 3 3 Δ l = (9) 54 3 56 Δ l 3 3 4 Δ l 6 6 4 Ω 56 3 3 4 Δ =. () Δ Hodoty kostat c a c jsou pro ejjedodušší dskretzac tyto: c =,48 a c = 7,54, což představuje chybu vůč exaktímu řešeí,4% a 4%. Je zřejmé, že hodota druhé vlastí frekvece má tak začou chybu, že je epoužtelá. Na druhou strau překvapuje ízká chyba u prvé vlastí frekvece. ovce () je výchozí rovcí pro realzac matcové redukce. Poěvadž deformačí parametr Δ je hlaví a Δ je vedlejší, emusíme upravovat matcovou rovc (). Má jž odpovídající blokovou strukturu daou rovcí (). To zameá, že bloková matce [K mm ] = EJ/L 3, [K ms ] = [K sm ] = 6EJ/L, [K ss ] = 4EJ/L a podobě blokové matce hmotost mají tvar [M mm ] = 56ρAL/4, [M ms ] = [M sm ] = -3ρAL /4, [M ss ] = 4ρAL 3 /4. Trasformačí matce = =. =. () Proveďme yí trasformac matc podle rovc (5), kdy řád matc x se bude redukovat a x, což je skalárí čle. Nejdříve matc tuhost = = 6 6 4 = =, podobě trasformujeme matc hmotost = = 56 3 4 3 4 =. Frekvečí rovce má tvar frekvec dostaeme hodotu Ω = Ω exaktímu řešeí je,7%, což je výborý výsledek. = =, a pro ejžší kruhovou vlastí a po odmocěí Ω =,. Chyba vůč Pro jemější dskretzac jsou výsledky uvedey v ásledující tabulce. Uvažujte o důsledcích uvedeých výsledků. 9/65
VÝSLEDKY EDUKCE NA JEDNODUCHÉM NOSNÍKU Násobtel /L EJ/ρA Exaktí řešeí Nosík s deformačím parametry Ω Ω Ω 3 Ω 4,467,7 6,685,93 MKP dva stupě volost,48 (,4%) 7,54 (4,%) MKP redukce master DOF slave DOF L,485 (,7%) MKP čtyř stupě volost 4,468 (,3%),6 (,83%) 69,648 (,9%) 65,5 (36,48%) MKP redukce, master DOF 3, 4 slave DOF 3 L L,468 (,3%) 3,58 (5,86%) MKP čtyř stupě volost 4,468,6 69,648 65,5 MKP redukce, 3 master DOF, 4 slave DOF 3 L L,484 (,68%) 4,54 (8,49%) /65
Metoda verzí terace (mocá metoda) Řešíme rovc pro výpočet vlastích čísel a vektorů symetrcké matce Algortmus Volba počátečího vektoru : = Vlastí teračí smyčka pro =,, dov Normováí vektoru Výpočet vlastích čísel e Kotrola kovergece pro ao Vlastí číslo a vlastí vektor /65
Další vlastí čísla určíme apř. Hotellgovou redukcí. Nejdříve ormujeme vlastí vektor pro k =,., přčemž je původí matce Příklad: /65
Jedoduchý dyamcký problém o dvou stupích volost OIGIN := M := K := 4 5 Δ Δ Úprava a problém vlastích čísel L := cholesky( K) L = ( ) T A := L M L A =.5.5.5.565 Výpočet vlastích čísel a vektorů v prostředí MATHCADU λ := gevals( M, K) λ =.65.66348 OM := λ OM =.449.849 VlVekt := gevecs( M, K) VlVekt =.4539.8578 3/65
MOCNINNÁ ITEAČNÍ METODA OIGIN := M := 4 6 6 6 9 6 dloh (, ) := K X := for lo.. h M K u w K w d, u d max( K) max( ) u d, w, d 3, w, d 4, w d5 (, ) 5, 3 d5 (, ) 5, 4 d5 (, ) = PVÁ VLASTNÍ FEKVENCE vl.číslo vl.frekvece vlastí vektor ormovaý a.4375.567857.57586.5958877.6486.6553.65897.66943.669549.66399.66346.6634558.6634694.663474.6634755 delta := Hotellgova úprava: 4 L := N := M d(, 5) X X T del := 5,.7539.87695 N =.87695.43848.585789.37778993.38586.9685.883386.856.8469666.843859.84744.843797.84558.8437.84993.84945.8498 L X delta max( delta).85749.6949.653.398676.34.347768.34955449.3536393.356393.357384.3576466.3577549.357796.35784.357884 delta = del =.756.6499.4539 4/65
DUHÁ VLASTNÍ FEKVENCE c( lo, h) := K for lo.. h N K u w K w c, u c max( K) max( ) u c, w, c 3, w, c 4, w X := c5 (, ) 5, 3 c5 (, ) 5, 4 c6 (, ) = vl.číslo vl.frekvece vlastí vektor ormovaý a.638574.9646.4933.3963.69668.585877.65878.6388.6663.64733.6549.657.656.658.654.6536.949668.94834.693437.4437.988.4888.8869.6545.37446.4758.4393.454.4476.44934.4487.44894.666664.43769.3539646.366764.347436.359939.35346.359394.35733.35834.35773.357835.3577954.357889.35784.357857 X =.3578 delta := delta = del := del = LX.435.7539 delta max( delta).4539 5/65
Metoda smultaích terací (terací v podprostoru) Řešíme rovc pro výpočet p vlastích kruhových frekvecí a p vlastích tvarů kmtáí, které jsou obsažey v obdélíkové modálí matc řádu N x p5. Modálí matce obsahuje q = p5 vlastích vektorů řádu N, kde N počet stupňů volost řešeého problému. Pět vektorů, které přdáváme avíc, jsou tzv. stráží vektory, které mají zajstt, že žádá vlastí frekvece mez prví a posledí hledaou p-tou ebude přeskočea. Δ Ω Algortmus Volba počátečích vektorů,,, : = Začátek teračí smyčky pro =,, dov Projekce do podprostoru q x q Řešeí úplého problému Ω e Výpočet modálí matce řádu N x q Kotrola kovergece Ω / ao Vlastí kruhové frekvece z matce Ω a vlastí tvary kmtáí z modálí matce Δ 6/65
Předpokládáme, že matce tuhost a hmotost jsou symetrcké řádu N, [K] je poztvě deftí a [M] je poztvě semdeftí. Kovergece je kotrolováa pro krát s číslc pro p vlastích frekvecí. 7/65
Gram-Schmdtova ortogoalzace Původí myšleka pochází od Laplace z 8. století, vylepšl j v 9. století J. Gram a E. Schmdt. Cílem je z eortogoálí báze vektorů {w j }, vytvořt ortoormálí báz vektorů {u j }. Zjedodušeý algortmus: Exstece {w j } vektorů j = Výpočet ových vektorů {u} j j =, kde je orma vektoru a vypočítá se j:= j Výpočet ových vektorů {w k } j k = j Příklad: Počátečí vektory Výpočet ormy Výpočet prvého vektoru Úprava druhých vektorů 8/65
Výpočet druhého vektoru Výpočet třetího vektoru Ortoormálí vlastost vektorů zkotrolujeme součy kde je Kroeckerovo delta (tj. pro ). Dále musí být jejch ormy rovy, což jedoduchou kotrolou můžeme ověřt. Např. pro Koec příkladu. Gram-Schmdtův ortogoalzačí proces můžeme defovat pomocí tragulzačího způsobu ásledově:...... (xx) ovc pro vyásobme zleva vektorem a uplatíme podmíky ortogoalty vektorů tj. ormováím dostaeme pro všecha =,,j-. Další úpravou rovce (xx) a to jejím a úpravou 9/65
a potom z (xx). Q Algortmus výpočtu vlastích čísel Nechť vektory tvoří báz -rozměrého prostoru a echť vektory jsou odpovídající ortoormálí báze jako výsledek Gram-Schmdtova ortogoalzačího procesu. Sestavme obě skupy vektorů do esgulárích matc a. Matce je ortogoálí matce pro kterou platí. Podle posledí úpravy předchozího odstavce, můžeme přepsat proces ortogoalzace pomocí matc takto:, kde. Posledí rovc můžeme použít k teračímu procesu alezeí vlastích čísel a vektorů matce, jestlže potřebujeme alézt všecha vlastí čísla. Poprvé tuto metodu uvedl ezávsle Fracs a Kubljaovskaja v roce 96. Úvodí krok, rozklad matce a prví odhad vlastích vektorů jako sloupců modálí matce k: = k ásobeí v opačém sledu k = k dov ový tvar modálí matce e Kotrola kovergece ao Vlastí čísla jsou v dagoálí matc Vlastí vektory v modálí matc Příklad: Podélé kmtáí systému o stupích volost 3/65
Δ Δ Matce tuhost a hmotost systému jsou 4 K M. Jedoduchým úpravam převedeme rovc výpočtu vlastích 5 kruhových frekvecí tvaru ( K M ) a tvar A X X. Vlastí číslo matce A je λ, X je odpovídající vlastí vektor. Pro převod rovce vlastích frekvecí potřebujeme ejdříve realzovat Choleského rozklad matce tuhost a souč dvou T trojúhelíkových matc tj. K L L. Potom matce A je dáa součem A L M L A rr A vys S rr S T. Popsaým postupem se zachovává symetre výsledé matce A 4 8 9 8 6 for s for j z rr j j for A z j A j A j rr j j for k ( j ) rr j k q for p A A f k q j q k A A A rr f k p k p k p j j k S A for S A rr A z vys z s A z z A rr vys S 3/65
S.33336.943667.943667.33336 [S] je Modálí matce, sloupce jsou vlastí vektory ychlost kovergece k vlastím číslům matce [A] vys T 3 4 5 6 7 8 9.45.4.5674684.453536.638649.35.657678.673.6685.6948.6633987.663.6634674.6536.6634753.6547.663476.6538.6634763.6537.6634763.6537.6634763.6537 3/65
Prví terace Q algortmu krok za krokem w 4 8 w 8 9 6 w.5.5 w.5.565 rrr w T w rrr.795 u w rrr u.8944.447 rrr w T u rrr w T w rrr rrr.447 rrr.795.3634.447 u w rrr u rrr u.447.8944 Q u Q u A rrr Q A.45...4 vys T (.45.4) 33/65
Prví terace.795.3634 rr.447 A.45...4 S.45...4 vys T (.45.4) Druhá terace rr.4584.3545.77 A.567.9.9.454 vys T.45.567.4.454 S.577.6.98.9 Třetí terace rr.5795.668.57 A.64.443.443. vys T.45.567.4.454.64. S.593..3.39 34/65
Čtvrtá terace rr.63.597.73 A.658.5.5.67 vys T.45.567.64.4.454..658.67 S.97.64.9.84 Pátá terace rr.66.4.63 A.663.5.5.6 vys T.45.567.64.4.454..658.67.663.6 S.589.379.4. 35/65
LANCZOSOVA METODA VÝPOČTU VLASTNÍCH FEKVENCÍ A TVAŮ NETLUMENÉHO KMITÁNÍ [ K][ Φ ] = [ M ][ ] modálí matce Φ Ω dagoálí matce [ Φ] obsahuje sloupce vlastích tvarůtkmtáí [ Φ] = { } { }...{ } Ω Ω = Ω.... obsahuje Ω N o o, o N čtverce vlastích kruhových frekvecí Laczosova metoda v prvém kroku převádí stadardí systém matcové rovce pro -tou vlastí ~ frekvec, tvaru [ K] Ω [ M ]]{ O} = { } a rovc [ T ] { o } = ~ { o } Ω, kde matce [ T ] je třídagoálí. Příslušý algortmus je ásledující: zvolíme počátečí vektor {x o } a vypočítáme { } { } x, kde γ = { } [ M ]{ x } echť β o =, potom pro =,..., počítej x = o T x o o γ [ K ]{ x } = [ M ]{ x} T α = { x } [ M ]{ x } / jestlže, platí: ~ { x } = { x} α { x} β { x } T / β = ({ ~ x} [ M ]{ ~ x }) { ~ x} { x } = β teoretcky, vektory {x }, pro =,...,, geerovaý podle výše uvedeých rovc jsou [M] T ortoormálí { x } [ M ]{ x} = δ j T matce [ X ] = [{ x },...{ }] vyhovuje důležtému vztahu [ X ] ([ M ][ K ] [ M ])[ X ] = [ T ] x 36/65
[ ] T α β = β α β β α β β α yí můžeme srovat vlastí čísla a vektory matce [ T ] s problémem [ K]{ } = Ω [ M ]{ }, který můžeme upravt do tvaru [ ][ K ] [ M ]{ } = [ M ]{ } o o M o o dále použjeme trasformace mez vlastím vektory matce [T ] a vlastím tvary kmtáí { o }: ~ ~ ~ { } = [ X ]{ } a dostáváme v úvodu uvedeou rovc [ T ] { } { } o o o Ω = o Ω. Pro tzv. úplý problém vlastích hodot, kdy = N je Laczosova metoda evýhodá, protože podmíka T ortoormalty{ x } [ M ]{ x} δ j ~ ~ = eí splěa. Problém [ T ] { } { } pro částečý problém vlastích hodot, kdy =q N. o = o Ω se sado řeší Poz.: MATHCAD [Ω ] OM:=gevals(K,M) [] :=gevecs(k,m) MATLAB [,OM]=EIG(K,M) 37/65
Matce tlumeí Ve výpočetí prax u systémů dskretzovaých MKP, velm často řešíme tlumeí přblžě. Přesější určeí matc tlumeí prvků je áročá expermetálí čost jak z hledska časového, tak ekoomckého. Proto se obvykle přjímá ejjedodušší a to vskozí (také leárí ebo aelyghovo) model tlumeí. Předpokládáme tlumeí úměré prvé mocě rychlost. Z důvodu dalších zjedodušeí volíme matc tlumeí [D] úměrou matc hmotost a tuhost podle vzorce. (Tl ) Prvý čle α[m]charakterzuje tlumeí vější tj. tlumeí podloží, tlumeí vějším médem atd. Druhý čle β[k]popsuje vtří tlumeí sytému, bude jé pro kostrukce svařovaé, šroubovaé, ýtovaé atd. Otázkou yí je, jak určt kostaty α a β. Poměrě sado se dá odvodt užtečý vztah mez poměrým útlumem ξ j pro j-tou vlastí frekvec a oběma kostatam a to Ω. (Tl ) Ω Nezámé kostaty α a β se dají jedozačě určt ze dvou měřeí poměrého útlumu pro dvě růzé vlastí frekvece. Obvykle to bývá prvá vlastí frekvece a pak co možá ejvzdáleější tj. pátá ebo vyšší. Jak vypadá průběh poměrého útlumu ξ j a hodotě vlastí kruhové frekvece ukazuje obrázek Tl. 6 6 p ý ξω ( ) α Ω β Ω 4 strukturálí (vtří) tlumeí. 4 6 8 Ω Obrázek Tl Závslost poměrého útlumu a vlastí kruhové frekvec vější tlumeí V praktckých příkladech se velm často vější tlumeí zaedbává a potom součtel β se vypočítá z poměrého útlumu pro prví vlastí frekvec ξ ze vzorce. Ω. (Tl 3) 38/65
Poměrý útlum zjstíme z lterárích údajů aebo expermetálím určeím logartmckého dekremetu útlumu ϑ podle vzorce. a potom /. (Tl 4) V předcházejících vzorcích začí: počet kmtů mez měřeím výchylek a t výchylka v čase t a t.t výchylka v čase t.t T doba kmtu tlumeého kmtavého pohybu. Uveďme s hodoty poměrého útlumu ξ pro základí vlastí frekvec zámé z lteratury: Materál ebo struktura Hodota ξ poměrého útlumu ejžší vlastí ferkvece Kovy v elastcké oblast <, Kovové struktury s klouby,3 Hlík / hlíkové vedeí 4 x -4 Automoblové tlumče,3 Pryž,5 Velké budovy během zemětřeseí,,5 Pokud ebudeme mít možost určt poměré hodoty pro vyšší vlastí frekvece expermetálě, abízí se ásledující vzorec pro jejch staoveí (vz. W. Clough, J. Peze. Dyamcs of Structures. Mc Graw-Hll.) Ω Ω Ω Ω. (Tl.5) V případě, že máme k dspozc dvě hodoty poměrého útlumu a to apř. ξ a ξ j, potom kostaty α a β se vypočítají z rovc: Ω Ω Ω. (Tl.6) a (Tl.7) Poěvadž jsou zřídka k dspozc dvě hodoty poměrého útlumu pro dvě růzé frekvece, používáme často jedu hodotu poměrého útlumu pro růzé vlastí kruhové frekvece. Pak kostaty α a β určíme z rovc a. (Tl.8) a (Tl.9) 39/65
Odezva leárího systému rozkladem do vlastích tvarů. METODA ŘEŠENÍ ODEZVY SYSTÉMU OZKLADEM DO VLASTNÍCH TVAŮ KMITÁNÍ tj. { } =? Pohybová rovce v matcovém tvaru, [ ] [ ] [ ]{ } = { } (.) předpokládáme vskózí (leárí) tlumeí [ ] = [ ] [ ] (.) Základí myšlekou je předpoklad, že odezva může být dáa součtem čleů řady vektorů, vyásobeých skalárí fukcí času. Výhodou je, jestlže čley řady jsou vzájemě ortogoálí. Přímo se abízejí vlastí tvary kmtáí, ormovaé s vahou matce [M]. Odezva { t } se předpokládá ve tvaru { } = { } { } { } = { } = [Φ]{ } (.3),kde... pořadové číslo čleů řady, v ašem případě vlastí frekvece... hledaá -tá skalárí fukce času t (ozačeí fukce času ebude pro zjedodušeí v závorce) { }... vektor -tého vlastího tvaru kmtáí, ormovaý s vahou matce [ ] p... počet použtých čleů řady tj. vlastích frekvecí [Φ]... modálí matce (má za sloupce vektory vlastích tvarů { } ). Proveďme dervac vztahu (.3) podle času a to prví druhou dervac a obdržíme = { } a = { }. (.4a) a (.4b) Dosaďme yí dvě posledí rovce do (.) a tuto rovc vyásobme zleva součem{ }. Dostaeme { } [ ] { } { } [ ] { } { } [ ] { } ={ } { }, (.5). což je rovce (.5). Do í ještě dosadíme learzovaou matc tlumeí podle (.). Po uplatěí podmíek ortogoalty dostáváme =, (.6) kde výraz a pravé straě je dá součem = { } { } a je to z matematckého hledska zámá fukce času. Závorku v rovc (.6) ahraďme výrazem, kde = ( je tzv. kostata dozíváí). Po úpravě pak hodota poměrého útlumu bude =.(.7) ovce (.6) pak bude mít jedoduchý tvar = (.8) Stráka 4/65
Odezva leárího systému rozkladem do vlastích tvarů Řešeí rovce (.8) je velm dobře zámé z teore dferecálích rovc a je součtem řešeí aulovaé rovce (homogeí řešeí) a rovce s pravou straou (partkulárí řešeí). Formálě můžeme psát =, (.9) kde = ( s cos ) (.) a kruhová frekvece tlumeého kmtáí = (.a) Itegračí kostaty a jsou fukcí počátečích podmíek pohybu a jejch odvozeí bude provedeo v ásledující kaptole. Výhoda výše uvedeého postupu je v tom, že místo vázaé soustavy N dferecálích rovc druhého řádu, (N je řád úlohy), dostaeme je p jedoduchých dferecálích rovc (.8) pro ezámé fukce času. Závslé dferecálí rovce z (.) by mohly mít apř. ásledující tvar,,,,,, = (.). Pro žeýrské výpočty zřídka potřebujeme řešt úlohy pro p >3 (obvykle p je až 5).. Odezva vyvolaá změou počátečích podmíek Předpokládejme, že záme počátečí výchylky { }a rychlost v čase t. Pokud vyšetřovaá soustava ebude buzea vějším slovým účky, bude výsledým řešeím rovce (.8) dáo je řešeím homogeí rovce, tj. = = s cos (.) a aším úkolem je alézt závslost = ({ }, ) a = ({ }, ). V čase = tedy záme = { } = { } (.3) a = = { }. (.4) Vyásobíme zleva obě posledí rovce součem { } [ ] a dostaeme: { } [ ]{ } = { } [ ] { } = = ( s cos ) (.5) a { } [ ] = { } [ ] { } = = s cos cos s = = (( ) s ( )cos )= s cos, (.6) kde ové kostaty a jsou pouze leárí fukcí původích a. Výrazy a levých straách rovc jsou zámé hodoty, ozačme je symboly a Stráka 4/65
Odezva leárího systému rozkladem do vlastích tvarů { } [ ]{ } = (.7) a { } [ ] =. (.8) Pro výpočet tegračích kostat a dostáváme dvě rovce a = ( s cos ) (.9) = s cos. (.) Po jejch vyřešeí obdržíme hledaé hodoty pro a : a = s cos (.) = cos s. (.) Pro = se rovce (.) a (.) velm zjedoduší a = (.3) =, (.4) v tomto případě bude mít homogeí řešeí pro tvar = ( s cos ). (.5) Příklad : předpokládejme, že záme působící slový mpuls {I} vějších sl v čase =. Našm úkolem je alézt a ze zadaé hodoty slového mpulsu. Předpokládáme, že mpuls zače působt a vyšetřovaý systém v okamžku jeho kldového stavu. Řešeí: ze zákoa o změě hybost určíme vektor počátečích rychlostí. Pro dskretzovaý systém bude mít teto záko ásledující tvar: { } = [ ]. (P.) Předpokládáme, že = {} a tedy vektor počátečích rychlostí je urče rovcí = [ ] { }. (P.) Vektor počátečích výchylek je rove ulovému vektoru { } = {}. Dosaďme yí získaé hodoty počátečích výchylek a rychlostí do rovc (.7) a (.8) pro a : a = { } [ ]{} = (P.3) = { } [ ][ ] { } = { } { }. (P.4) Po dosazeí do (.5) dostáváme 4/65 Stráka 3
Odezva leárího systému rozkladem do vlastích tvarů = { } { } s a průběh deformačích parametrů je dá poměrě jedoduchým vztahem (P.5) { } = { } = ( { } { } s ){ }. (P.6). Buzeí je harmockou fukcí času V rovc (.) předpokládáme { } = { }s( ). Partkulárí řešeí má stejý tvar, jako pro jede stupeň volost, tedy = s( ), (.6) kde ampltuda ustáleého harmockého kmtáí je = { } { } =. (.7) Fázové posuutí vůč působící síle a koefcet aladěí jsou dáy ásledujícím rovcem =arcta, =. (.8), (.9) Odezva globálích deformačích parametrů { } = { } = ( s( ) cos( )) s( ) ) { }. (.3).3 Buzeí je spojtou fukcí času { } Partkulárí řešeí budeme hledat metodou varací kostat ve tvaru = ( s cos ), (.3) kde a ejsou kostaty, ale ezámé fukce času. Proveďme prvou dervac podle času. Dostaeme výraz = ( s cos ) cos s ( s cos ) (.3) položme yí a hledaé fukce a další podmíku, která vychází z předcházející rovce a pokládá její posledí čle rove ule tj. 43/65 Stráka 4
Odezva leárího systému rozkladem do vlastích tvarů s cos =. (.33) proveďme yí druhou dervac podle času rovce (.3) (aebo prvou dervac (.33). = ( s cos ) cos s s cos cos s s cos cos s (.34) Dosaďme do rovce (.8) rovce (.3), (.3) a (.34). Dostáváme ( s cos ) cos s cos s s cos cos s ( s cos ) cos s s cos =, (.35) kde čley rovce ozačeé stejou barvou se vyruší a dostáváme pouze čle cos s = (.36) Z rovc (.33) a.36) můžeme určt hodoty a, tedy = cos (.37) = s. (.38) a úpravou = cos (.39) = s. (.4) Posledí rovce dosaďme do (.3) a upravme = { } { }, dostaeme = cos s s cos = = { } { } ( ) cos s { } ( ) s cos = 44/65 Stráka 5
Odezva leárího systému rozkladem do vlastích tvarů = { } Ω {F }e ( ) s Ω (t τ )DΤ. (.4) = ( ) ( ) (.4) Itegrál v posledí rovc se azývá Duhammelův ebo kovolučí. Příklad : předpokládejme, že záme vektor působících vějších sl {F} a půjde o skokový árůst síly a hodoty {F } v čase =. Naším úkolem je alézt { }. Předpokládáme, že skokový mpuls zače působt a vyšetřovaý systém v okamžku jeho kldového stavu. Řešeí: využjme zde elegatí postup alezeí má dva čley matematckým sporem. Platí, že hledaá odezva { } = { } = { } (P.) Budeme předpokládat, že = { } = { }, (P.) jak řečeo, partkulárí řešeí odpovídá statcké deformac systému vyvolaé vektorem působících sl { }. Současě musíme předpokládat platost ásledující rovce = { } { }. (P.3) Dosaďme yí do statcké rovce MKP, která má zámý tvar [ ]{ } = { } (P.4) rovc (P.) a vyásobme j zleva lbovolým vektorem { } a dostáváme { } [ ] { } = { } { }. (P.5) Po uplatěí podmíek ortogoalty pro levou strau rovce (P.5) obdržíme { } [ ]{ } = { } { }, a po úpravě = { } { } a jedoduchou úpravou = { } { }, což jsme chtěl dokázat pomocí tvrzeí rovce (P.3). Dosazeím homogeího řešeí do rovce (P.) dostaeme { } = { } = s( ) cos( ) { } { } (P.6) Z kaptoly (.) záme vztah mez kostatam a. Stráka 6 45/65
Odezva leárího systému rozkladem do vlastích tvarů a = { } [ ]({ } { } ) (P.7) = { } [ ]( ), kde (P.8) { } = { }, = {}, jsou počátečí podmíky partkulárího řešeí { } = = {} zameá, že působeí vektoru sl se děje a soustavu, která je v kldu. Potom ={ } [ ]{ }, =. (P.9, P.) Po dosazeí posledích rovc do (P.6) dostaeme { } = s( ) cos( ) { } { } = = ({ } [ ]{ }) s( ) cos( ) { } { } = { } {} ({ } [ ]{ } ) s( ) cos( ) = { } {} s( ) cos( ), tedy (P.) { } = { } { } ( ) ( ) (P.) Jak vypadá odezva a skokové buzeí, ukazuje ásledující obrázek.. Obrázek. Průběh dvou deformačích parametrů jako odezva a buzeí skokovou slou Stráka 7 46/65
PŘÍMÁ INTEGACE POHYBOVÝCH OVNIC (step-by-step) [ ]{ } [ ]{ } { } { } { } [ ]{ } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } )...,,,,, ( algortmus: Implctí,...),,,,, ( algortmus: Explctí t t = = = = ext f f K F F F D M ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺ ɺɺ 47/65
EXPLICITNÍ ALGOITMUS OZVOJ a V TAYLOOVU ŘADU { } { } { } = { } t{ ɺ } { ɺɺ } { ɺɺɺ } ɺ t t { } = { } t{ } { } { } ɺɺ t 6 t 6 Obě rovce sečteme a vypočítáme zrychleí v kroku 3 3 ɺɺɺ { ɺɺ } { } { } { } = t MKP II 48/65
MKP II 3 Použjeme vztah mez drahou a kostatí rychlostí s = s o v o. t { } { } { } { } { } { } t t = = toho z ɺ ɺ Dosadíme vztahy pro zrychleí a rychlost v čase do pohybové rovce [ ] { } { } { } [ ] { } { } [ ]{ } { } [ ] [ ] { } { } [ ]{ } [ ]{ } [ ] [ ] { } ) ( ) ( po úpravě = = ext ext t D t M M t K F t D t M F K t D t M EA pokračováí 49/65
MKP II 4 Provedeme substtuc a upravíme původí pohybovou rovc: [ ] { } { } [ ] { } { } [ ] { } { } { } [ ] [ ] { } [ ] [ ] { } { } [ ] { } { } [ ] [ ] { } [ ] [ ] { } ) ) ( ) ( ( ) ( ) ( potom ) ( ) ( t t = = ext ext t D t M t D t M F F M t t D t M t D t M F F t M t D t D EA pokračováí 5/65
EA pokračováí Pozámky: Pro [M] dagoálí pro každý časový krok výpočet velm rychlý! Neí potřebé řešt smultáí systém rovc Toto samé platí, je l [D] dagoálí ebo ulová. Pozor pro [D]= α[m] jsou tezvě tlumey ízké frekvece! Posledí rovce a stráce 3 je podmíěě stablí. Musí totž platt: m t = t ebo t T kr Ω π max Pro posledí rovc a straě 4, závsí krtcký časový krok a poměrém útlumu ξ t m( Ω ( ξ ξ )), ale obvykle t ( Ω max ( ξ ξ )) MKP II 5 5/65
EA pokračováí ad Pozámky: Krtcký časový krok t kr lze určt z Geršgorovy věty o poloze vlastích čísel matc. Pro dagoálí matc hmotost platí: N Ωmax max k j N m, kde =,, j= Exstuje způsob pro určeí t kr z charakterstky MKP sítě. Platí, že Ω max je ejvětší hodota z každého samostatého koečého prvku bez jakýchkolv vazeb = CFL podmíky Příklad: tyčový elemet uzlový (LINK) det AE L Ω m p / / = MKP II 6 5/65
EA pokračováí ad Pozámky: Ω Ω m p ( =, Ωm = Ωmax 4 AE ) L, kde c je rychlost zvuku v materálu = AE m L p = c L MKP II 7 53/65
EA pokračováí Startovací procedura { } V explctích vztazích potřebujeme výchylky v čase -. Kde j vezmeme, jestlže začíáme výpočet? V čase = musí být zámy hodoty { } = { Y } a { ɺ } = { Yɺ } Využjme vztahu pro rozvutí v řadu. Potom { } t zjstíme z pohybové rovce včase { } = { } t{ ɺ } { ɺɺ }, kde zrychleí{ ɺɺ } { } [ ] [ ]{ } [ ]{ } { ext ɺɺ = M ( D ɺ K F } ) MKP II 8 54/65
IMPLICITNÍ ALGOITMUS Přpomeňme s rovc rychlost a dráhy pro rovoměrě zrychleý pohyb v = v at a s = s vt at Podobě apíšeme rovce pro vektor rychlost a zrychleí V časovém kroku umělá kostrukce zrychleí ( ) ɺ ɺ ɺɺ ɺɺ { } = { } t γ { } ( γ ){ } t ( ) { } = { } t{ ɺ } β { ɺɺ } ( β ){ ɺɺ } umělá kostrukce zrychleí Implctí algortms MKP II 9 55/65
IA pokračováí Kostatí zrychleí γ= (emá výzam) Průměré zrychleí γ=/ β=/4 Leárí zrychleí γ=/ β=/6 Z rovce pro posuutí a předcházející stráce, vyjádříme zrychleí v čase a dosadíme do rovc pro rychlost. Dostaeme: ɺɺ = t ɺ ɺɺ β t β ( ) { } { } { } { } { } γ γ γ β t β β { ɺ } = ({ } { } ) { ɺ } t { ɺɺ } mplctí MKP II 56/65
IA pokračováí Dosazeím do pohybové rovce a její úpravou: { } { ext } [ ] { } { } K { } eff = F M ɺ ɺɺ β t β t β γ γ γ β t β β γ K eff = [ M ] [ D] [ K ] β t β t [ D] { } { ɺ } t { ɺɺ } Matce [K eff ] eí dagoálí. Jestlže [M] je poztvě deftí, pak [K eff ] eí sgulárí když [K] je sgulárí! Žádý problém s řešeím mechazmů a pohybů těles. Jestlže dokoce [K eff ] eí fukcí posuutí {}, [K eff ] se spočítá pouze jedou! mplctí MKP II 57/65
IA pokračováí { ɺɺ } Na začátku opět potřebujeme, určí se stejě jako u explctí metody. Vektor {} se určí z pohybových rovc a dosadí se do rovc a předcházející stráce, aby se vypočítaly počátečí rychlost a zrychleí v kroku. Pozámky: Výpočet zrychleí v čase je áročý, jestlže je matce [M] pásová. Proto ěkdy volíme ulový počátečí vektor zrychleí. Řešeí je epodmíěě stablí, jestlže platí β γ Řešeí je podmíěě stablí, jestlže platí γ γ β < mplctí MKP II 58/65
ŘEŠENÍ NELINEÁNÍ OVNICE NEWTON-APHSONOVA metoda a) odvozeí a základě výzamu prvé dervace Hledejme hodotu eleárí fukce f(x) =. N- metoda je založea a ásledující skutečost. Je-l počátečí odhad řešeí x, potom jestlže ahradíme tagetu ke křvce f(x ) a alezeme průsečík tagety s osou x v bodě x, zlepšuje teto druhý odhad řešeí, vz obrázek. y f(x ) f(x ) x α x x Obrázek Prcp Newto-aphsoovy metody a základě defce prvé dervace Využjme defce prví dervace f ( x ) f ( x ) = taα = () x x, což po úpravě dává vzorec základí formulace Newto-aphsoovy metody: Nevýhody: ) dvergece v flexím bodě ) děleí ulou 3) osclace lokálího maxma ebo mma 4) přeskočeí kořeů. x = x f ( x ) f ( x ). () 59/65
x y x x? Obrázek Osclace Newto-aphsoovy metody b) odvozeí N- formule z Taylorovy řady Předpokládejme zámou hodotu eleárí fukce v bodě x. ozvňme v tomto bodě fukc v řadu... 3! / ) )( (! / ) )( ( ) )( ( ) ( ) ( 3 = x x x f x x x f x x x f x f x f (3) Pro aproxmac řešeí vezměme pouze dva čley řady ) )( ( ) ( ) ( x x x f x f x f, (4) yí hledáme bod, pro ějž platí f(x ) = ) ( ) ( x tedy ), )( ( ) ( ) ( x f x f x x x x f x f x f = = = (5) 6/65
c) aplkace N- metody a řešeí eleárích statckých úloh systémů dskretzovaých MKP V leárích úlohách statky je zúžeo řešeí ezámých deformačích parametrů systému a řešeí jedé matcové rovce [ K ]{} = {} F Δ, (6) kde ezámým jsou deformačí parametry vektoru {Δ}. Často s euvědomujeme, že souč matce tuhost [K] a vektoru deformačích parametrů {Δ} má bezprostředí mechacký výzam. Je to vektor uzlových vtřích sl {B} a platí zřejmě [ K ]{} = {} B = {} F Δ. (7) Na prví pohled se zdá tato rovce trválí. Vyjadřuje však skutečost, že v řádku kde vektor exterího zatížeí {F} má ulovou hodotu apř. řádek, pak b =, protože vtří síly v uzlech sítě jsou "vyrovaé" a tedy ulové. V řádku apř. j, kde vektor exterího zatížeí {F} má eulovou hodotu, se této hodotě rová součet všech vtřích sl v uzlu sítě koečých prvků tedy b j = f j. V eleárích problémech defujeme základí rovc pro řešeí ezámých posuutí v - tém kroku zatížeí jako sahu, splt ásledující rovc tak, aby rozdíl vektoru vějšího zatížeí {F} a vtřích sl {B} a se blížl ulovému vektoru. Vektor tohoto rozdílu se azývá zbytkový vektor a ozačíme jej {Z}. { } { B} = { Z} { } F (8) V eleárích problémech statky systémů dskretzovaých MKP je však výsledá matce tuhost systému [K] fukcí deformačích parametrů, přesější ozačeí by mělo být ve tvaru [ K ] = f ({}) Δ ({ Δ} ). Abychom s ozačeí zjedodušl, ozačme matc tuhost, která je fukcí deformačích parametrů symbolem [ Kˆ ] a budeme j azývat eergetcká matce tuhost e (pomocí í počítáme pouze eerg). I v eleárích problémech můžeme vyjádřt eerg systému jako součet eerge deformačí a potecálu exterích sl T T {}[ Δ Kˆ ]{} Δ {}{} Δ F ΠC = e, (9) předpokládáme-l že exterí síly ejsou fukcí deformačích parametrů, pak prvou dervac podle ezámého vektoru {Δ} provedeme ásledově: [ ]{} {} [ ˆ ] {} {} {} [ ] {} [ ˆ ˆ T Ke ˆ T Ke ] Ke Δ Δ Δ ) F = ( Ke Δ Δ {} Δ Π C = (. {} Δ ) = po úpravě T [ ] {} [ Kˆ e ] Kˆ Δ {} Δ {} Δ {} F {} Δ {} F, () ( e ) =. () 6/65
Dervací eergetcké matce [ Kˆ e ] vektorem {Δ}, vzká matce "prostorová" (která má tř dexy) a obsahuje "za sebou" N matc typu NxN, které ozačíme [K S ] NxNxN. Dervujeme totž postupě jede sloupec eergetcké matce za druhým. Dervací prvého sloupce vzká matce [K SE, ], dervací druhého sloupce pak matce [K SE, ], až N-tého sloupce [K SE,N ]. Celý postup je schematcky zázorě a ásledujícím obrázku. k, N Δ. k N, N Δ...... k Δ k Δ, N. N N, N N k Δ. kn Δ,,...... k Δ. k N Δ k Δ k Δ,.,, N N, N...... [K SE, ] k Δ. k Δ, N N, N [K SE,N ] () [K SE, ] K SE,N K SE, Obrázek 3 Schematcký obrázek vysvětlující dervac matce vektorem. 6/65
Úpravou posledí rovce dostaeme T [ ] {} [ Kˆ e ] ( Kˆ e Δ ) Δ = ( Kˆ e Δ Δ [ K ]{} Δ = {} F se {} T {} [ ] {}[ K ] ){} Δ = ([ Kˆ ] [ Kˆ ]) {} Δ S NxNxN e se = (3) Matce, která vzkla výše uvedeou úpravou, se často azývá "matce sečá" a je obecě fukcí deformačích parametrů {Δ}. Všměme s, že vyásobeím prostorové matce [K S ] NxNxN zleva vektorem {Δ} T, vzke jedoduchá (rová) matce [ K se( { Δ} )] (tato je ještě dělea dvojkou podle výše odvozeých rovc). Vyásobeím sečé matce a sloupcového vektoru deformačích parametrů vzke vektor vtřích sl pro jedotlvé uzly sítě koečých prvků a je opět fukcí deformačích parametrů {Δ}. Tedy [ { Δ }) ]{ Δ} = B( { Δ} ) { } { F} Δ ) = ({ Δ} ) { B( } { Z } K se ( = (4) F, (5) a ásledě pak { } { } kde vektor {Z} je vektor zbytkových sl, jak jž bylo dříve uvedeo, v leárích úlohách je mplctě rove ule. Z důvodu zjedodušeí zápsu budeme spodí dex, vyjadřující závslost matc ebo vektorů a deformačích parametrech vyechávat. Jestlže eleárí řešeí posledí rovce provádíme teračě a záme všechy hodoty v - tém kroku řešeí, odvodíme postup jak teračím způsobem získáme vektor přírůstku deformačích parametrů v ásledujícím kroku. ozvňme vektor vtřích sl {B}, v okolí kroku v Taylorovu řadu a vezměme v úvahu pouze dva čley rozvoje. { } B( { Δ} ) { B( { Δ })} { B( { Δ} )} d{ Δ} = { F }, (6) { Δ } což vede po úpravě a rovc [ KT ({ })] d{ Δ} = { F } { B( { Δ })} = { Z } ({ Δ }) Δ. (7) Dervací vektoru vtřích sl {B} podle vektoru deformačích parametrů, získáváme tečou matc tuhost [K T ], { B } ({ Δ} ) = [ K ], T { Δ} { Δ } ( ) která je výzamou matcí v procesu řešeí eleárích systémů pomocí N- metody. Jak provádíme dervac vektoru vtřích sl {B} vektorem deformačích parametrů {Δ} ukazuje ásledující rovce: (8) B { Δ} [ K ] = T ({ Δ} ) { } ( ) { Δ } b Δ =. b Δ N...... b Δ. b Δ N N N (9) 63/65
ovc (7) terujeme tak dlouho, až je splěa kovergečí podmíka rovováhy sl vtřích a vějších tj. vektor zbytkových sl {Z} se blíží ule. V rovc (7) jsme předpokládal, že v -tém kroku záme řešeí a teracem dospějeme k výsledkům v kroku. Jedotlvé kroky výpočtu se lší přírůstky vektoru vějších sl {F}. Abychom s blíže vysvětll terace uvtř jedotlvých kroků (v aglčtě "substep"), musíme rovc (7) upravt zavedeím dexů pro terace uvtř výpočtových kroků. Iteračí dexy uvtř jedotlvých kroků, budou zavedey jako expoety vpravo ahoře. Vpravo dole jsou u jedotlvých velč dexy, ozačující jedotlvé výpočtové kroky. V podstatě jde o learzac rovce (4) resp. (5). ovce (7) pak dostává teto tvar j j j j [ K, ] d{ Δ } = { F } { B } = { Z } pro j,,... jmax T = () Předpokládáme, že v kroku jsou všechy hodoty zámy a chceme pokračovat v terac řešeím. Předpokládejme, že v kroku -tém jsme potřeboval ke kovergec p terací. Pak vstupí velčy pro rovc () se určí ásledově: p p { Δ } { Δ }, { B } { B }, { Z } { F } { B } matce tuhost [ ] se vypočítá pro vektor { } a K T, Δ () Pro jede stupeň volost, tedy pro skalárí hodoty, jsou tyto teračí kroky výpočtu zobrazey v ásledujícím obrázku F F dδ α df = Z Z B B 4 =F Z 4 = F B dδ dδ dδ 3 Δ Δ p = Δ 3 Δ Δ Δ Δ 4 = Δ Obrázek 3 Prcp Newto-aphsoovy metody a případě jedoho stupě volost Z barevého trojúhelíka v obrázku je zřejmý prví teračí krok výpočtu pro j = tj. Z F B tg( α ) = KT, = =. () dδ dδ Další teračí kroky uvtř jedoho zatěžovacího kroku, zde, jsou pak zřejmé z obrázku. j Po výpočtu každého d{ Δ }, dosadíme teto dílčí výsledek do součtové rovce (3) pro určeí výsledého vektoru deformačích parametrů v kroku 64/65
j j j { } = { Δ } { } Δ (3) d Δ Iterace v jedom kroku se provádějí tak dlouho, až je splěa kotrola kovergece apř. typu j { Z } N j ( zs( ) ) s= ε =, kde (4) N { F } j ( Fs ( ) ) s= ε je malé číslo,-, N je rozměr matc struktury s dex ozačuje jedotlvé prvky vektorů zbytkových sl a zatěžujícího vektoru j { Z } je skalárí orma vektoru zbytkových sl { F } je skalárí orma vektoru zatěžovacích sl., Icalzace výpočtu, č í říů í, : = Iteračí smyčka pro jedotlvé kroky zatížeí, : pro =, max j : =j Iterace uvtř zatěžujících kroků pro j =,, j max, vypočítej zbytkový vektor Vyřeš soustavu rovc pro ezámé, Nový vektor posuutí ao e Kotrola kovergece pro ε, Obrázek 4 Algortmus Newto-aphsoovy teračí metody 65/65