Klasický a kvantový chaos Pavl Cjnar Ústav částicové a jadrné fyziky MFF UK Praha cjnar @ ipnp.troja.mff.cuni.cz 7.4. 20, fi/fy sminář MFF UK
Fyzika. druhu ( kódování ) složité chování jdnoduché rovnic
r r B r rot E div D r t r r D r r rot H + j divb 0 t
Fyzika 2. druhu ( dkódování ) jdnoduché rovnic složité chování
Mandlbrotova množina Posloupnost komplních čísl z z n ( ) 2 z c n + n +, c C z z z z M 0 2 3 c c 2 ( 2 c + c) L + c 2 + c Dfinic: Mandlbrotova množina j množina všch hodnot c, pro něž j posloupnost omzná ( < for n fi ). z n
Klasický chaos
Např. turbulnc Až potkám Boha, budu mít dvě otázky: Proč rlativita? A proč turbulnc? A věřím, ž na tu první by mohl mít odpověď. Wrnr Hisnbr (90976) Klasická fyzika j sic dtrministická, al něktré jvy s prakticky ndají přdvídat.
nbo počasí! Edward Lornz, 960: Znovuobjvní chaosu při numrických simulacích atmosfrické dynamiky Citlivá závislost na počátčních podmínkách Efkt motýlích křídl
Vysvětlní chaosu Trajktori tok v fázovém prostoru izolovaný (hamiltonovský) systém analo nstlačitlné kapaliny objm buňky s zachovává, al jjí tvar s můž stávat vlmi složitý Důsldk: ponnciální vzdalování trajktorií v něktrých směrch Lyapunovovy ponnty citlivá závislost na počátční poloz+hybnosti t
Intrabilní vrsus nintrabilní systémy (skoro žádný) (skoro všchny) Dfinic: Systém o f stupních volnosti j intrabilní, pokud istuj právě f nzávislých intrálů pohybu, ktré jsou v involuci. { H, I } 0 i, { I i, I i j } 0 Poissonova závorka K f { A, B} i ( ) A B B A p i i p i i
Intrabilní vrsus nintrabilní systémy KAM Kolmoorov 954 Arnold 963 Mosr 962
Vizualizac chaosu Poincarého mapa: řz fázovým prostorm, zobrazují s průsčíky trajktorií s rovinou řzu Pořádk průsčíky tvoří křivky Chaos průsčíky tvoří mlhu Pořádk+Chaos průsčíky tvoří křivky i mlhu hybnost Fázový prostor souřadnic
Vizualizac chaosu Příklad: prstncový biliár Poincarého mapa: řz fázovým prostorm, zobrazují s průsčíky trajktorií s rovinou řzu Pořádk průsčíky tvoří křivky Chaos průsčíky tvoří mlhu Pořádk+Chaos průsčíky tvoří křivky i mlhu koncntrický (uspořádaný) cntrický (chaotický)
Vizualizac chaosu Příklad: atomové jádro I Simulac pohybů jdnotlivých nuklonů v difúzním jadrném potnciálu (jdnočásticovém střdním poli) Arviu t al., Phys. Rv. A 35, 2389 (987) p r Poincarého řz r r
Vizualizac chaosu Simulac kolktivních vibrací jádra Příklad: atomové jádro II P. Cjnar, P. Stránský, Phys. Rv. Ltt. 93, 02502 (2004) P. Stránský, M. Kurian, P. Cjnar, Phys. Rv. C 74, 04306 (2006) ηβ cos γ ξβ sin γ souřadnic popisující dformaci v η dη/dt v ξ dξ/dt zobcněné rychlosti
Kvantový chaos
ih Y & Hˆ Y Erwin Schrödinr (88796)
ih Y & Hˆ Y ) Linarita nistuj p. závislost na počátčních podmínkách Nistuj kvantový chaos? 2) Kvazipriodicita nní možné p. vzdalování trajktorií nastává kvantové potlační chaosu Nistuj klasický chaos? Erwin Schrödinr (88796)
Hyprion τ(chaos) 00 dní τ(potlační) 37 lt τ(dkohrnc) 0 53 s
Intrmzzo obcná spciální Tori O Tori S Paramtr d : ( d fi 0) ( O fi S) O S h fi 0 Pitr Brul starší (+569) Vlké ryby jdí malé ryby (556)
http://www.phy.bris.ac.uk/popl/brry_mv/
h 0 0 2mV a V E Příklad: tunlový jv ) ( sin ) ( sinh 2 ) ( 4 2 ) ( 4 + + T ( ) 2 sinh Klasická limita: fi fi 0 h Transmisní pravděpodobnost:
h 0 0 2mV a V E ) ( sin ) ( sinh 2 ) ( 4 2 ) ( 4 + + T ( ) 2 sinh fi fi 0 h 2 Příklad: tunlový jv Klasická limita: Transmisní pravděpodobnost:
h 0 0 2mV a V E ) ( sin ) ( sinh 2 ) ( 4 2 ) ( 4 + + T ( ) 2 sinh fi fi 0 h 3 Příklad: tunlový jv Klasická limita: Transmisní pravděpodobnost:
h 0 0 2mV a V E ) ( sin ) ( sinh 2 ) ( 4 2 ) ( 4 + + T ( ) 2 sinh fi fi 0 h 4 Příklad: tunlový jv Klasická limita: Transmisní pravděpodobnost:
h 0 0 2mV a V E ) ( sin ) ( sinh 2 ) ( 4 2 ) ( 4 + + T ( ) 2 sinh fi fi 0 h 5 Funkc T(ε) nmá limitu γ Příklad: tunlový jv Klasická limita: Transmisní pravděpodobnost:
Kvantová chaoloi Chaos v kvantové fyzic nní jv, al spíš disciplína studující pomzí mzi klasickou a kvantovou fyzikou. Jd o to, do jakých kvantových vlastností systému s promítn rularita / chaoticita klasické dynamiky. Thr is no quantum chaos in th sns of ponntial snsitivity to initial conditions, but thr ar svral novl quantum phnomna which rflct th prsnc of classical chaos. M. Brry, Proc. R. Soc. Lond. A 43, 83 (987)
Bohiasova hypotéza krátkodosahové korlac v spktrch (984) Poissonovo rozdělní Winrovo rozdělní P P s P 2 p 4 s s s Rozdělní vzdálností d sousdních nr. hladin v jdnotkách střdní vzdálnosti d 0 d d 0 d po unfoldinu spktra s stjnými kvantovými čísly ) Winrova statistika: spktra chaotických systémů (navíc časově rvrsibilních) 2) Poissonova statistika: spktra typických rulárních systémů
Bohiasova hypotéza krátkodosahové korlac v spktrch (984) Winr Jadrný soubor hladin (data) ) Winrova statistika: spktra chaotických systémů (navíc časově rvrsibilních) 2) Poissonova statistika: spktra typických rulárních systémů
Bohiasova hypotéza krátkodosahové korlac v spktrch (984) Jadrné vibrační stavy (tori) P. Stránský, P. Hruška, P. Cjnar, Phys. Rv. E 79, 049202 (2009) P. Stránský, P. Hruška, P. Cjnar, Phys. Rv. E 79, 06620 (2009) Rlativní objm fázového prostoru s rulární dynamikou Poisson (ω0) Winr (ω) w «f r Brodyho rozdělní (973) w+ w a w s w+ P s ( 2 w+ a w G w+ ) různé kvantové vrz kolktivního modlu
Vizualizac kvantového chaosu Mtoda Prsovy mřížky A. Prs, Phys. Rv. Ltt. 53, 7 (984) Jadrné vibrační stavy (tori) P. Stránský, P. Hruška, P. Cjnar, Phys. Rv. E 79, 049202 (2009) P. Stránský, P. Hruška, P. Cjnar, Phys. Rv. E 79, 06620 (2009) pořádk < P > mírný chaos E
P. Stránský, P. Hruška, P. Cjnar, Phys. Rv. E 79, 049202 (2009) P. Stránský, P. Hruška, P. Cjnar, Phys. Rv. E 79, 06620 (2009) Jadrné vibrační stavy (tori) Vizualizac kvantového chaosu Mtoda Prsovy mřížky A. Prs, Phys. Rv. Ltt. 53, 7 (984) téměř úplný chaos
Mystérium: Rimannova zta funkc zavdna L. Eulrm prvočísla G.F.B. Rimann (826866) Rimannova hypotéza: Všchny body ς(s) 0 v komplní rovině s kromě s 2, 4, 6, lží na přímc s ½ +iy. Důlžité důsldky v torii (prvo)čísl a clé matmatic ς Numrické výsldky v souladu s RH, al jjí důkaz nní znám. rlativní čtnost Statistika nul přsně souhlasí s GUE. Zdá s, ž zta funkc nějak souvisí s kvantovým chaosm.?????? y normalizovaná vzdálnost nul
Sphairos & Chaos in Atomic Nucli http://wwwucjf.troja.mff.cuni.cz/~omtric/ Podl Empdokla (cca.490430 př.n.l.) s rálný svět (Cosmos) rodí střtm světa dokonalého pořádku (Sphairos) s světm naprostého npořádku (Chaos). Poděkování: Pavl Stránský, Michal Mack