5.5 Elementární funkce

5.5 Elementární funkce Lemm 5.20. Necht x R. Potom existuje kldné C R (závisející n x) tkové, že pro kždé n N h ( 1, 1) pltí (x + h) n x n nhx n 1 h 2 C n. Definice. Exponenciální funkci exp definujme pro x R předpisem exp(x) = Vět 5.21 (zákldní vlstnosti exponenciály). Funkce exp: R R je dobře definován splňuje (E1) x, y R: exp(x + y) = exp(x) exp(y), (E2) exp (0) = 1. Vlstnosti exponenciální funkce (E3) Pro kždé x R pltí exp (x) = exp(x). (E4) Pltí exp(0) = 1. (E5) Pro kždé x R pltí exp( x) = (E6) Pro kždé x R pltí exp(x) > 0. (E7) Funkce exp je spojitá n R. (E8) Funkce exp je rostoucí n R. 1 exp(x). n=0 x n n!. (E9) Pltí lim x exp(x) = lim x exp(x) = 0. (E10) Pltí R(exp) = (0, ). Vět 5.22. Existuje právě jedn funkce definovná n R splňující podmínky (E1) (E2). Definice. () Funkce log : (0, ) R je definován jko inverzní funkce k funkci exp. Nzývá se přirozeným logritmem. (b) Necht R, > 0, b R. Potom definujeme reálné číslo b předpisem b = exp(b log ). (c) Je-li n N liché, n-tou odmocninu x n x, x R, definujeme jko inverzní funkci k funkci x x n, x R. Je-li n N sudé, n-tou odmocninu x n x, x [0, ), definujeme jko inverzní funkci k funkci x x n, x [0, ).

Vlstnosti přirozeného logritmu (L1) Pltí D(log) = (0, ). (L2) Pltí R(log) = R. (L3) Funkce log je rostoucí n (0, ). (L4) Funkce log je spojitá n (0, ). (L5) Pro kždé x, y (0, ) pltí log(xy) = log(x) + log(y). (L6) Pro kždé (0, ) b R pltí log b = b log. (L7) Pro kždé x (0, ) pltí (log) (x) = 1 x. (L8) Pltí lim x 0+ log x = lim x log x =. Definice. Funkci sinus, znčíme sin, kosinus, znčíme cos, definujeme předpisy sin(x) = cos(x) = ( 1) n x 2n+1 (2n + 1)!, x R, ( 1) n x2n (2n)!, x R. n=0 n=0 Vět 5.23 (zákldní vlstnosti sinu kosinu). Funkce sinus kosinus jsou dobře definovné splňují (G1) pro kždé x, y R pltí (G2) pro kždé x, y R pltí (G3) sin je lichá funkce cos je sudá funkce, sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y), cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y), (G4) existuje kldné číslo π tkové, že sin je rostoucí n [0, π 2 ], sin(0) = 0 sin( π 2 ) = 1, (G5) sin (0) = 1.

Vlstnosti funkcí sinus kosinus (G6) Pltí cos(0) = 1. (G7) Pro kždé x R pltí sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1. (G8) Pltí cos ( π 2 ) = 0. (G9) Pro kždé x R pltí sin(x + π) = sin(x) cos(x + π) = cos(x). (G10) Funkce sin cos jsou 2π-periodické. (G11) Pro kždé x R pltí sin (x) = cos(x). (G12) Pro kždé x R pltí cos (x) = sin(x). (G13) Funkce sin cos jsou spojité n R. (G14) Pltí sin(x) = 0, právě když x = kπ pro k Z. (G15) Pltí cos(x) = 0, právě když x = π 2 + kπ pro k Z. Vět 5.24. Trojice (sin, cos, π) je vlstnostmi (G1) (G5) určen jednoznčně. Definice. Funkce tngens, znčíme ji tg, kotngens, znčíme ji cotg, definujeme předpisy tg(x) = sin(x) cos(x), x R \ { π 2 + kπ; k Z}, cotg(x) = cos(x), x R \ {kπ; k Z}. sin(x) Funkce sin, cos, tg cotg nzýváme goniometrickými funkcemi. Vlstnosti funkce tngens (G16) Funkce tg je spojitá v kždém bodě svého definičního oboru. (G17) Funkce tg je lichá. (G18) Funkce tg je π-periodická. (G19) Pltí tg (x) = 1 cos 2 (x), x D(tg). (G20) Funkce tg je rostoucí n ( π 2, π 2 ). (G21) Pltí tg( π 4 ) = 1. (G22) Pltí lim x π tg(x) = lim x π tg(x) =. 2 2 +

(G23) Pltí R(tg) = R. Vlstnosti funkce kotngens (G24) Funkce cotg je spojitá v kždém bodě svého definičního oboru. (G25) Funkce cotg je lichá. (G26) Funkce cotg je periodická s periodou π. (G27) Funkce cotg je klesjící n intervlu (0, π). (G28) Pltí lim x 0+ cotg(x) =. (G29) Pltí lim x π cotg(x) =. (G30) Pltí cotg ( π 4 ) = 1. (G31) Pltí R(cotg) = R. Definice. Cyklometrické funkce rkussinus (rcsin), rkuskosinus (rccos), rkustngens (rctg) rkuskotngens (rccotg) definujeme následujícím způsobem rcsin = ( sin [ π 2, π 2 ] ) 1, rccos = ( cos [0,π] ) 1, rctg = ( tg ( π 2, π 2 ) ) 1, rccotg = ( cotg (0,π) ) 1. Vlstnosti cyklometrických funkcí (C1) Pltí D(rcsin) = [ 1, 1] R(rcsin) = [ π 2, π 2 ]. (C2) Pltí D(rccos) = [ 1, 1] R(rccos) = [0, π]. (C3) Funkce rcsin je lichá, rostoucí spojitá n [ 1, 1]. (C4) Funkce rccos je klesjící spojitá n [ 1, 1]. (C5) Následující rovnosti plynou ze známých vlstností funkcí sin cos. (C6) Pltí lim x 0 rcsin x x rcsin( 1) = π 2, rccos( 1) = π, rcsin(1) = π 2, rccos(1) = 0, rcsin(0) = 0, rccos(0) = π 2, rcsin( 2 2 ) = π 4, rccos( 2 2 ) = π 4. = 1. (C7) Pro kždé y ( 1, 1) pltí rcsin (y) = 1 1 y 2.

(C8) Pltí rcsin +( 1) = rcsin (1) =. (C9) Pro kždé x [ 1, 1] pltí rcsin x + rccos x = π. 2 (C10) Pro kždé y ( 1, 1) pltí rccos 1 (y) =. 1 y 2 (C11) Pltí D(rctg) = R R(rctg) = ( π 2, π 2 ). (C12) Funkce rctg je spojitá, rostoucí lichá n R. (C13) Pltí lim x rctg x = π 2, lim x rctg x = π 2. (C14) Pltí rctg(0) = 0, rctg(1) = π 4, rctg( 1) = π 4. (C15) Pltí lim x 0 rctg x x = 1. (C16) Pro kždé x R pltí rctg x = 1 1 + x 2. (C17) Pltí D(rccotg) = R R(rccotg) = (0, π). (C18) Funkce rccotg je spojitá klesjící funkce n R. (C19) Pltí lim x rccotg(x) = 0 lim x rccotg(x) = π. (C20) Pltí rccotg(0) = π 2 rccotg(1) = π 4. (C21) Pro kždé x R pltí rctg x + rccotg x = π 2. (C22) Pro kždé x R pltí rccotg x = 1 1+x 2.

6 Tylorův polynom 6.1 Zákldní vlstnosti Definice. Necht f je funkce, R f (n) () R. Pk polynom Tn f, (x) = f() + f ()(x ) + + 1 n! f (n) ()(x ) n nzýváme Tylorovým polynomem řádu n funkce f v bodě. Lemm 6.1. Necht Q je polynom, st Q n lim x Q(x) (x ) n = 0. Pk Q je nulový polynom. Vět 6.2 (Penův tvr zbytku). Necht R, f (n) () R P je polynom stupně nejvýše n. Pk f(x) P (x) lim = 0 P = T f, x (x ) n n. Vět 6.3. Necht, x R, < x. Předpokládejme, že f je funkce, která má v kždém bodě intervlu [, x] vlstní (n + 1)-ní derivci, ϕ je spojitá funkce n [, x], která má v kždém bodě intervlu (, x) vlstní nenulovou derivci. Pk existuje ξ (, x) tkové, že f(x) T f, n (x) = 1 n! ϕ(x) ϕ() f (n+1) (ξ)(x ξ) n. ϕ (ξ) Vět 6.4 (Lgrngeův tvr zbytku). Necht, x, f jsou jko ve Větě 6.3. Pk existuje ξ (, x) tkové, že f(x) Tn f, 1 (x) = (n + 1)! f (n+1) (ξ)(x ) n+1. Vět 6.5 (Cuchyův tvr zbytku). Necht, x, f jsou jko ve Větě 6.3. Pk existuje ξ (, x) tkové, že 6.2 Symbol mlé o f(x) Tn f, (x) = 1 n! f (n+1) (ξ)(x ξ) n (x ). Definice. Necht f g jsou funkce, R. Řekneme, že funkce f je v bodě mlé o od g (píšeme f(x) = o(g(x)), x ), jestliže pltí Vět 6.6. Necht R. f(x) lim x g(x) = 0.

(i) Jestliže potom (ii) Jestliže potom (iii) Jestliže potom f 1 (x) = o(g(x)), x, f 2 (x) = o(g(x)), x, f 1 (x) + f 2 (x) = o(g(x)), x. f 1 (x) = o(g 1 (x)), x, f 2 (x) = o(g 2 (x)), x, f 1 (x)f 2 (x) = o(g 1 (x)g 2 (x)), x. f(x) = o(g 1 (x)), x, lim x g 1 (x) g 2 (x) R, f(x) = o(g 2 (x)), x. Vět 6.7. Necht, b R, f(y) = o(g(y)), y b, lim x ϕ(x) = b existuje δ R, δ > 0, tkové, že x P (, δ) : ϕ(x) b. Potom f(ϕ(x)) = o(g(ϕ(x)), x. 6.3 Tylorovy řdy elementárních funkcí Definice. Necht f je funkce, R f (n) () R pro kždé n N. Potom řdu 1 j! f (j) ()(x ) j j=0 nzýváme Tylorovou řdou o středu. Ve speciálním přípdě = 0 mluvíme o Mclurinově řdě. x R : exp x = x ( 1, 1] : log(1 + x) = x R : sin x = x R : cos x = x ( 1, 1) : (1 + x) α = 1 k! xk k=0 ( 1) k 1 x k k k=1 ( 1) k 1 (2k 1)! x2k 1 k=1 ( 1) k (2k)! x2k k=0 ( ) α x k k k=0

7 Mocninné řdy Definice. Mocninnou řdou o středu x 0 R rozumíme řdu k=0 k(x x 0 ) k, kde x R k R pro kždé k N {0}. Vět 7.1. Necht k=0 k(x x 0 ) k je mocninná řd. Pk existuje nezáporný prvek ρ R tkový, že pro kždé x R, x x 0 < ρ, uvedená řd konverguje bsolutně, pro kždé x R, x x 0 > ρ, uvedená řd diverguje. Prvek ρ splňuje ρ = 1 lim sup k k k, kde výrzem 1/0 zde rozumíme výrzem 1/ zde rozumíme 0. Prvek ρ nzýváme poloměrem konvergence uvedené řdy. Vět 7.2 (o derivci mocninné řdy). Necht ϱ je poloměr konvergence řdy n=0 n(x x 0 ) n. Potom poloměr konvergence řdy n=1 n n(x x 0 ) n 1 je tké roven ϱ. Pro x R, x x 0 < ϱ, definujme f(x) = n (x x 0 ) n. Potom funkce f má vlstní derivci v kždém bodě x R, x x 0 < ϱ, pltí f (x) = n n (x x 0 ) n 1. n=0 n=1 Vět 7.3. Necht mjí symboly f ϱ stejný význm jko ve Větě 7.2. Pk má funkce f v kždém bodě x R, x x 0 < ϱ, derivce všech řádů pro kždé k N pltí f (k) (x) = n(n 1) (n k + 1) n (x x 0 ) n k. n=k Speciálně pltí f (k) (x 0 ) = k! k, k N. Lemm 7.4. Necht n=0 n je konvergentní řd {s n } n=0 je posloupnost jejích částečných součtů. Necht x ( 1, 1). Potom řdy n=0 nx n n=0 s nx n bsolutně konvergují pltí n x n = (1 x) s n x n. n=0 Vět 7.5 (Abel). Necht n=0 n(x x 0 ) n je mocninná řd necht ϱ je její poloměr konvergence. Předpokládejme, že pltí ϱ (0, ). Necht dále n=0 nϱ n konverguje. Potom n x n = n ϱ n. lim x ϱ n=0 n=0 n=0

8 Primitivní funkce 8.1 Zákldní vlstnosti Definice. Necht funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f n I, jestliže pro kždé x I existuje F (x) pltí F (x) = f(x). Vět 8.1. Necht F G jsou primitivní funkce k funkci f n otevřeném intervlu I. Pk existuje c R tkové, že F (x) = G(x) + c pro kždé x I. Vět 8.2. Necht f je spojitá funkce n otevřeném neprázdném intervlu I. Pk f má n I primitivní funkci. Vět 8.3. Necht f má n otevřeném intervlu I primitivní funkci F, funkce g má n I primitivní funkci G α, β R. Potom funkce αf + βg je primitivní funkcí k αf + βg n I. Vět 8.4 (o substituci). (i) Necht F je primitivní funkce k f n (, b). Necht ϕ je funkce definovná n (α, β) s hodnotmi v intervlu (, b), která má v kždém bodě t (α, β) vlstní derivci. Pk f(ϕ(t))ϕ (t) dt = c F (ϕ(t)) n (α, β). (ii) Necht funkce ϕ má v kždém bodě intervlu (α, β) nenulovou vlstní derivci ϕ((α, β)) = (, b). Necht funkce f je definován n intervlu (, b) pltí f(ϕ(t))ϕ (t) dt c = G(t) n (α, β). Pk f(x) dx c = G(ϕ 1 (x)) n (, b). Lemm 8.5 (Drbouxov vlstnost derivce). Necht f má n neprázdném otevřeném intervlu I primitivní funkci. Potom má f n I Drbouxovu vlstnost, tj. f(j) je intervl, kdykoliv J I je intervl. Vět 8.6 (integrce per prtes). Necht I je neprázdný otevřený intervl funkce f je spojitá n I. Necht F je primitivní funkce k f n I G je primitivní funkce ke g n I. Pk pltí g(x)f (x) dx = G(x)F (x) G(x)f(x) dx n I.

8.2 Integrce rcionálních funkcí Definice. Rcionální funkcí budeme rozumět podíl dvou polynomů, kde polynom ve jmenovteli není identicky roven nule. Vět 8.7 (o rozkldu n prciální zlomky). Necht P, Q jsou polynomy s reálnými koeficienty tkové, že (i) st P < st Q, (ii) Q(x) = n (x x 1 ) p 1... (x x k ) p k (x 2 + α 1 x + β 1 ) q 1... (x 2 + α l x + β l ) q l, (iii) n, x 1,... x k, α 1,..., α l, β 1,..., β l R, n 0, (iv) p 1,..., p k, q 1,..., q l N, (v) žádné dv z mnohočlenů x x 1, x x 2,..., x x k, x 2 + α 1 x + β 1,..., x 2 + α l x + β l nemjí společný kořen, (vi) mnohočleny x 2 + α 1 x + β 1,..., x 2 + α l x + β l nemjí reálný kořen. Pk existují jednoznčně určená čísl A 1 1,..., A 1 p 1,..., A k 1,..., A k p k, B 1 1, C 1 1,..., B 1 q 1, C 1 q 1,..., B l 1, C l 1,..., B l q l, C l q l tková, že pltí P (x) Q(x) = A 1 1 (x x 1 ) p 1 + + A1 p 1 x x 1 + + A k 1 (x x k ) p k + + Ak p k x x k + + B 1 1x + C 1 1 (x 2 + α 1 x + β 1 ) q 1 + + B1 q 1 x + C 1 q 1 x 2 + α 1 x + β 1 + + B l 1x + C l 1 (x 2 + α l x + β l ) q l + + Bl q l x + C l q l x 2 + α l x + β l. 8.3 Některé užitečné substituce Typ R(sin t, cos t) dt vždy lze užít substituci tg t 2 = x je-li R(, b) = R(, b), lze užít substituci sin t = x je-li R(, b) = R(, b), lze užít substituci cos t = x je-li R(, b) = R(, b), lze užít substituci tg t = x Typ R(t, ( t+b ct+f )1/q ) dt q N, q > 1,, b, c, f R, f bc substituce ( t+b ct+f )1/q = x

Typ R(t, t 2 + bt + c) dt, 0 t 2 + bt + c má dvojnásobný kořen α R: t2 + bt + c = t α, pro > 0 t 2 + bt + c má dv reálné kořeny α 1 < α 2 : t 2 + bt + c = t α 1 t α 2 t α 1 t 2 + bt + c nemá reálné kořeny: pk > 0, c > 0, lze užít některou z Eulerových substitucí t2 + bt + c = ± t + x nebo t 2 + bt + c = tx + c Konec 9. přednášky, 16. 3. 2015

9 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [, b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,..., x n nzýváme dělícími body. Normou dělení D = {x j } n j=0 rozumíme číslo ν(d) = mx{x j x j 1 ; j = 1,..., n}. Řekneme, že dělení D intervlu [, b] je zjemněním dělení D intervlu [, b], jestliže kždý dělící bod D je i dělícím bodem D. Definice. Necht f je omezená funkce definovná n intervlu [, b] D = {x j } n j=0 je dělení [, b]. Oznčme S(f, D) = S(f, D) = n M j (x j x j 1 ), kde M j = sup{f(x); x [x j 1, x j ]}, j=1 n m j (x j x j 1 ), kde m j = inf{f(x); x [x j 1, x j ]}, j=1 f(x) dx = inf{s(f, D); D je dělením intervlu [, b]}, f(x) dx = sup{s(f, D); D je dělením intervlu [, b]}. Definice. Řekneme, že omezená funkce f n intervlu [, b], < b, má Riemnnův integrál od do b, pokud f(x) dx = f(x) dx. Hodnot integrálu f od do b je rovn této společné hodnotě. Znčíme ji f(x) dx. Pokud > b, definujeme f(x) dx = f(x) dx, v přípdě, že = b, definujeme b b f(x) dx = 0. Definice. Necht, b R. Množinu všech funkcí, které mjí Riemnnův integrál od do b, znčíme R([, b]). Lemm 9.1. Necht f je omezená funkce n intervlu [, b]. (i) Necht D, D jsou dělení [, b] D zjemňuje D. Pk pltí S(f, D) S(f, D ) S(f, D ) S(f, D)

(ii) Necht D 1, D 2 jsou dělení intervlu [, b]. Pk pltí S(f, D 1 ) S(f, D 2 ). (iii) Pltí f(x) dx f(x) dx. Důsledek 9.2. Necht f je omezená n [, b], D 1 D 2 jsou dělení intervlu [, b]. Potom m(b ) S(f, D 1 ) f(x) dx kde m = inf{f(x); x [, b]} M = sup{f(x); x [, b]}. f(x) dx S(f, D 2 ) M(b ), Vět 9.3. Necht f je omezená n [, b]. Pk pro kždé ε > 0 existuje δ > 0 tkové, že pro kždé dělení D intervlu [, b] splňující ν(d) < δ pltí: f(x) dx S(f, D) f(x) dx S(f, D) f(x) dx ε, f(x) dx + ε. Konec 10. přednášky, 17. 3. 2015 Důsledek 9.4. Necht f je omezená n [, b] {D n } n=1 je posloupnost dělení intervlu [, b] splňující lim n ν(d n ) = 0. Potom f(x) dx = lim n S(f, D n ), f(x) dx = lim n S(f, D n ). Vět 9.5 (kritérium existence Riemnnov integrálu). Necht f je omezená funkce n intervlu [, b]. Pk f R([, b]), právě když ε R, ε > 0 D, D je dělení intervlu [, b] : S(f, D) S(f, D) < ε. Definice. Řekneme, že funkce f je stejnoměrně spojitá n intervlu I, jestliže pltí ε > 0 δ > 0 x I y I : ( x y < δ f(x) f(y) < ε). Vět 9.6. Necht funkce f je spojitá n omezeném uzvřeném intervlu [, b]. Pk f je stejnoměrně spojitá n [, b]. Vět 9.7. Necht funkce f je spojitá n omezeném uzvřeném intervlu [, b]. Pk f je riemnnovsky integrovtelná n [, b].

Konec 11. přednášky, 23. 3. 2015 Vět 9.8. Necht funkce f je monotónní n omezeném uzvřeném intervlu [, b], < b. Pk f je riemnnovsky integrovtelná n [, b]. Vět 9.9 (vlstnosti Riemnnov integrálu). () Necht f, g R([, b]) α R. Potom f + g R([, b]), αf R([, b]) pltí (f + g) = f + g, αf = α f. (b) Necht f, g R([, b]) f g. Pk f g. (c) Necht < b < c jsou reálná čísl. Pk pltí f R([, c]) (f R([, b]) f R([b, c])), je-li f R([, c]), pk c f = f + c (d) Necht f R([, b]). Pk f R([, b]) f f. b f. Konec 12. přednášky, 24. 3. 2015 Vět 9.10. Necht J je nedegenerovný intervl f je funkce definovná n J splňující f R([α, β]) pro kždé α, β J. Necht c je libovolný pevně zvolený bod z J. Definujme n J funkci Potom pltí (i) F je spojitá n J, F (x) = x c f(t) dt. (ii) je-li x 0 bod spojitosti funkce f, pk F (x 0 ) = f(x 0 ). Důsledek 9.11. (i) Jestliže je f spojitá n intervlu (, b), pk má n (, b) primitivní funkci. (ii) Necht f je spojitá n intervlu [, b],, b R F je funkce primitivní k f n (, b). Potom existují vlstní limity lim x + F (x), lim x b F (x) pltí f(t) dt = lim F (x) lim F (x). x b x + Vět 9.12. Necht, b R, < b, f je funkce definovná n [, b]. Pk následující dvě tvrzení jsou ekvivlentní:

(i) f R([, b]), (ii) existuje I R tkové, že pro kždé ε R, ε > 0, existuje δ R, δ > 0, splňující: je-li D = {x i } n i=0 dělení intervlu [, b], ν(d) < δ, t i [x i 1, x i ], i = 1,..., n, pk n f(t i )(x i x i 1 ) I < ε. i=1 Konec 13. přednášky, 30. 3. 2015

10 Newtonův integrál Definice. Řekneme, že Newtonův integrál funkce f n intervlu (, b), < b,, b R, existuje, jestliže f má n (, b) primitivní funkci (oznčme ji F ), limity lim x + F (x), lim x b F (x) existují jejich rozdíl je definován. Hodnotou Newtonov integrálu funkce f přes intervl (, b) pk rozumíme číslo (N) f(t) dt = lim F (x) lim F (x). x b x + Pokud (N) f(t) dt existuje vlstní, pk říkáme, že integrál je konvergentní. Není-li integrál konvergentní, říkáme, že je divergentní. Definice. Množinu všech funkcí f, které mjí konvergentní Newtonův integrál od do b, znčíme N (, b). Vět 10.1 (vlstnosti Newtonov integrálu). () Necht f, g N (, b) α R. Potom f + g N (, b), αf N (, b) pltí (f + g) = f + g, αf = α f. (b) Necht f, g N (, b) f g. Pk f g. (c) Necht < b < c + f N (, c). Potom f N (, b), f N (b, c) pltí c f = f + c f. b (d) Necht < b < c +, f N (, b), f N (b, c) f je spojitá v b. Potom f N (, c). Vět 10.2. Necht funkce F je primitivní k f n (, b), G je primitivní ke g n (, b). Potom pokud je prvá strn definován. gf = [GF ] b Vět 10.3 (substituce pro určitý integrál). Necht ω : (α, β) (, b) splňuje ω((α, β)) = (, b) ω má vlstní nenulovou derivci n (α, β). Potom f(x) dx = pokud lespoň jeden z integrálů existuje. β α Gf, (f ω)(t) ω (t) dt, Konec 14. přednášky, 31. 3. 2015

Vět 10.4 (Bolznov-Cuchyov podmínk). Necht R F je definován n jistém prstencovém okolí bodu. Potom lim x F (x) existuje vlstní, právě když je splněn Bolznov- Cuchyov podmínk: ε R, ε > 0 δ R,δ > 0 x, y P (, δ): F (x) F (y) < ε. Vět 10.5. Necht f je omezená spojitá n omezeném intervlu (, b). Potom f N (, b). Vět 10.6 (srovnávcí kritérium). Necht < < b +. Jestliže pro funkce f g pltí 0 f g n [, b), f je spojitá n [, b) g N (, b). Potom f N (, b). Konec 15. přednášky, 7. 4. 2015 Vět 10.7 (limitní srovnávcí kritérium). Necht < < b +. Jestliže pro nezáporné spojité funkce f g n [, b) pltí lim x b f(x)/g(x) = c (0, ), potom f N (, b), právě když g N (, b). Vět 10.8. Necht, b R, < b, f : [, b] R je spojitá, g : [, b] R je nerostoucí, nezáporná spojitá n [, b]. Potom g() inf x [,b] x f fg g() sup x [,b] Vět 10.9 (Abelovo-Dirichletovo kritérium). Necht < < b +, f : [, b) R je spojitá. Její primitivní funkci n (, b) oznčme F. Dále necht g : [, b) R je monotónní spojitá n [, b). Potom pltí (A) Jestliže f N (, b) g je omezená, potom fg N (, b). (D) Jestliže je F omezená n (, b) lim x b g(x) = 0, potom fg N (, b). Konec 16. přednášky, 13. 4. 2015 Vět 10.10 (první vět o střední hodnotě). Necht, b R, < b, f : [, b] R je spojitá, g : [, b] R je nezáporná, g N (, b) fg N (, b). Potom existuje ξ [, b] tkové, že fg = f(ξ) Vět 10.11 (druhá vět o střední hodnotě). Necht, b R, < b, f : [, b] R je spojitá, g : [, b] R je monotónní spojitá n [, b]. Potom existuje ξ [, b] tkové, že g. ξ fg = g() f + g(b) ξ f. x f.

Aplikce určitého integrálu Definice. Křivkou budeme rozumět zobrzení ϕ : [, b] R n (n N,, b R, < b) tkové, že ϕ = (ϕ 1,..., ϕ n ) je třídy C 1, tj. ϕ i je spojité n [, b], i = 1,..., n, přičemž v krjních bodech [, b] symbol ϕ i(x) znčí příslušnou jednostrnnou derivci. Geometrickým obrzem křivky ϕ rozumíme množinu ϕ = ϕ([, b]) R n. Definice. Necht ϕ: [, b] R n je křivk. Délkou křivky ϕ rozumíme hodnotu L(ϕ) = sup{l(ϕ, D); D je dělení intervlu [, b]}, kde pro dělení D = {x j } k j=0 intervlu [, b] definujeme L(ϕ, D) = k vzdálenost (ϕ(x j 1 ), ϕ(x j )). j=1 Lemm 10.12. Necht, b R, < b, f = (f 1,..., f n ) : [, b] R n je spojitá (tj. f i je spojitá, i = 1,..., n). Potom pltí f := [ f 1,..., ] f n f. Konec 17. přednášky, 14. 4. 2015 Vět 10.13 (délk křivky). Necht ϕ = (ϕ 1,..., ϕ n ) : [, b] R n je křivk. Potom pltí L(ϕ) = (ϕ 1 ) 2 + + (ϕ n) 2 (= ϕ ). Vět 10.14 (objem povrch rotčního těles). Necht f je spojitá nezáporná n intervlu [, b],, b R, < b. Oznčme Pk Je-li nvíc f spojitá n [, b], pk T = {[x, y, z] R 3 ; x [, b], y 2 + z 2 f(x)}. Objem (T ) = π Povrch pláště (T ) = 2π f(x) 2 dx. f(x) 1 + (f (x)) 2 dx. Vět 10.15 (integrální kritérium). Necht f je nezáporná, nerostoucí spojitá n [n 0, + ), kde n 0 N. Necht pro posloupnost reálných čísel { n } n=1 pltí n = f(n) pro n n 0. Pk n 0 f(x) dx konverguje, právě když n konverguje. n=1

Vět 10.16 (zbytek Tylorov polynomu v integrálním tvru). Necht, x R, < x, funkce f má v kždém bodě intervlu [, x] vlstní (n + 1)-ní derivci. Potom f(x) T f, n (x) = x 1 n! f (n+1) (t)(x t) n dt. Konec 18. přednášky, 20. 4. 2015

11 Metrické prostory I 11.1 Zákldní vlstnosti Definice. Metrickým prostorem budeme rozumět dvojici (P, ρ), kde P je množin, ρ : P P [0, ) je funkce splňující (i) x, y P : ρ(x, y) = 0 x = y, (ii) x, y P : ρ(x, y) = ρ(y, x), (iii) x, y, z P : ρ(x, z) ρ(x, y) + ρ(y, z). Funkci ρ nzýváme metrik n P. Definice. Necht (P, ρ) je metrický prostor. (i) Necht x P, r > 0. Množinu B(x, r) definovnou předpisem B(x, r) = {y P ; ρ(x, y) < r} nzýváme otevřenou koulí se středem x poloměrem r nebo tké okolím bodu x. (ii) Necht x P, r > 0. Množinu B(x, r) definovnou předpisem B(x, r) = {y P ; ρ(x, y) r} nzýváme uzvřenou koulí se středem x poloměrem r Definice. Necht (P, ρ) je metrický prostor. (i) Necht M P, x P. Řekneme, že x P je vnitřním bodem množiny M, jestliže existuje r > 0 splňující B(x, r) M. (ii) Množin M P se nzývá otevřená v (P, ρ), jestliže kždý její bod je jejím vnitřním bodem. (iii) Vnitřkem množiny M rozumíme množinu všech vnitřních bodů množiny M. Vnitřek množiny M budeme znčit int M. Vět 11.1 (vlstnosti otevřených množin). Necht (P, ρ) je metrický prostor. (i) Prázdná množin celý prostor P jsou otevřené v (P, ρ). (ii) Necht A je neprázdná množin indexů. Necht množiny G α P, α A, jsou otevřené v (P, ρ). Pk α A G α je otevřená množin v (P, ρ). (iii) Necht m N. Necht množiny G i, i = 1,..., m, jsou otevřené v (P, ρ). Pk m i=1 G i je otevřená množin v (P, ρ).

Definice. Necht (P, ρ) je metrický prostor. Konec 19. přednášky, 21. 4. 2015 (i) Necht M P x P. Řekneme, že x je hrničním bodem množiny M, pokud pro kždé r > 0 pltí B(x, r) M B(x, r) (P \ M). (ii) Hrnicí množiny M rozumíme množinu všech hrničních bodů M. Znčíme ji H(M). (iii) Uzávěrem množiny M rozumíme množinu M H(M). Uzávěr množiny M znčíme M. (iv) Řekneme, že množin M je uzvřená v (P, ρ), jestliže obshuje všechny své hrniční body (tj. H(M) M, neboli M = M). Vět 11.2 (vlstnosti uzvřených množin). Necht (P, ρ) je metrický prostor. (i) Necht F P. Potom F je uzvřená v (P, ρ), právě když P \ F je otevřená v (P, ρ). (ii) Prázdná množin celý prostor P jsou uzvřené v (P, ρ). (iii) Necht A je neprázdná množin indexů. Necht množiny F α P, α A, jsou uzvřené v (P, ρ). Pk α A F α je uzvřená množin v (P, ρ). (iv) Necht m N. Necht množiny F i, i = 1,..., m, jsou uzvřené v (P, ρ). Pk m i=1 F i je uzvřená množin v (P, ρ). Definice. Necht (P, ρ) je metrický prostor, A P, A, x P. Vzdáleností bodu x od množiny A rozumíme číslo ρ(x, A) = inf{ρ(x, y); y A}. Dimetrem neprázdné množiny B P rozumíme dim(b) = sup{ρ(x, y); x, y B} kldeme dim( ) = 0. Pokud dim B <, pk říkáme, že B je omezená množin v (P, ρ). Vět 11.3 (vlstnosti uzávěru). Necht (P, ρ) je metrický prostor, A P, B P. Pk pltí: (i) =, P = P, (ii) pokud A B, pk A B, (iii) A je uzvřená, tj. A = A, (iv) A B = A B, (v) A = {x P ; ρ(x, A) = 0}, pokud A, (vi) dim A = dim A, tedy A je omezená, právě když A je omezená. Konec 20. přednášky, 27. 4. 2015

11.2 Konvergence v metrických prostorech Definice. Necht (P, ρ) je metrický prostor {x n } n=1 je posloupnost prvků P. Řekneme, že {x n } n=1 konverguje k y P v (P, ρ), jestliže pltí lim n ρ(x n, y) = 0. Prvek y nzýváme limitou posloupnosti {x n } n=1 v (P, ρ). Konvergentní posloupností v (P, ρ) rozumíme kždou posloupnost prvků P, která má limitu v (P, ρ). Vět 11.4 (vlstnosti konvergence). Necht (P, ρ) je metrický prostor. Pk pltí: (i) Necht {x n } n=1 je posloupnost prvků z P existují n 0 N, y P tkové, že x n = y pro kždé n n 0. Pk lim n + x n = y. (ii) Kždá posloupnost má nejvýše jednu limitu. (iii) Necht A P. Množin A je uzvřená, právě když limit kždé konvergentní posloupnosti prvků z A leží v A. (iv) Necht {x nk } k=1 je posloupnost vybrná z posloupnosti {x n} n=1 prvků P, tj., {n k } k=1 je rostoucí posloupnost přirozených čísel. Jestliže lim n + x n = y, pk tké lim k + x nk = y. Konec 21. přednášky, 28. 4. 2015 11.3 Spojitá zobrzení Definice. Necht (P, ρ) (Q, σ) jsou metrické prostory, f je zobrzení z P do Q, P M P. Řekneme, že f je spojité v bodě vzhledem k množině M, jestliže M pltí ε R, ε > 0 δ R, δ > 0 x M : ρ(x, ) < δ σ(f(x), f()) < ε; f je spojité v bodě, jestliže je spojité v vzhledem k P, f je spojité n M, jestliže je spojité v kždém bodě b M vzhledem k M, f je spojité, jestliže je spojité n P. Vět 11.5 (chrkterizce spojitosti). Necht (P, ρ) (Q, σ) jsou metrické prostory, f : P Q. Pk jsou následující tvrzení ekvivlentní. (i) Zobrzení f je spojité. (ii) Pro kždou otevřenou množinu G v prostoru (Q, σ) je f 1 (G) otevřená v (P, ρ). (iii) Pro kždou uzvřenou množinu F v prostoru (Q, σ) je f 1 (F ) uzvřená v (P, ρ).

Definice. Necht (X, ρ) je metrický prostor, M X x X. Řekneme, že x je hromdným bodem množiny M, jestliže ε R, ε > 0: M (B(x, ε) \ {x}). Množinu všech hromdných bodů množiny M znčíme M nzýváme ji derivcí množiny M. Body z M \ M nzýváme izolovnými body množiny M. Definice. Necht (X, ρ) (Y, σ) jsou metrické prostory, f je zobrzení z X do Y, A X necht X je hromdným bodem množiny A. Řekneme, že prvek b Y je limitou zobrzení f v bodě vzhledem k množině A, jestliže pltí ε R, ε > 0 δ R, δ > 0 x A, x : ρ(x, ) < δ σ(f(x), b) < ε. Je-li A = X, říkáme, že f má v bodě limitu b. Konec 22. přednášky, 4. 5. 2015 Oznčení. Pokud limit f v bodě vzhledem k A existuje, pk ji znčíme lim x,x A f(x). Místo lim x,x X f(x) píšeme jen lim x f(x). Vět 11.6 (Heineov vět). Necht (X, ρ) (Y, σ) jsou metrické prostory, f je zobrzení z X do Y, A D(f), A, b Y. Potom jsou následující dvě tvrzení ekvivlentní: (i) lim x,x A f(x) = b, (ii) pro kždou posloupnost {x n } prvků množiny A\{} splňující lim x n = pltí lim f(x n ) = b. Vět 11.7 (spojitost složeného zobrzení v bodě). Necht (X, ρ), (Y, σ) (Z, ω) jsou metrické prostory, f je zobrzení z X do Y g je zobrzení z Y do Z. Necht A X, A, B Y, f() B pltí: existuje δ R, δ > 0, tkové, že f(b(, δ) A) B, f je spojité v bodě vzhledem k A, g je spojité v bodě f() vzhledem k B. Pk zobrzení g f je spojité v bodě vzhledem k A. Vět 11.8 (spojitosti složeného zobrzení). Necht (X, ρ), (Y, σ) (Z, ω) jsou metrické prostory, f : X Y g : Y Z jsou spojitá zobrzení. Pk zobrzení g f : X Z je spojité. Vět 11.9 (limit složeného zobrzení). Necht (X, ρ), (Y, σ) (Z, ω) jsou metrické prostory, f je zobrzení z X do Y g je zobrzení z Y do Z. Necht A X, A, B Y, b B, c Z pltí:

existuje δ R, δ > 0, tkové, že f((a B(, δ)) \ {}) B, lim x,x A f(x) = b, lim y b,y B g(y) = c. Pokud dále pltí jedn z podmínek (P) existuje η R, η > 0, tkové, že pro kždé x B(, η) A, x, pltí f(x) b, (S) zobrzení g je spojité v bodě b vzhledem k B, pk lim x,x A g f(x) = c. Definice. Necht (X, ρ) (Y, σ) jsou metrické prostory, f : X Y. Řekneme, že zobrzení f je homeomorfismus, jestliže je prosté n, je spojité f 1 je tké spojité. Řekneme, že prostory (X, ρ) (Y, σ) jsou homeomorfní, jestliže existuje bijekce g : X Y, která je homeomorfismem. Konec 23. přednášky, 5. 5. 2015

12 Funkce více proměnných 1 Definice. Necht f je reálná funkce n proměnných, R n 1 i n. Pk prciální derivci funkce f v bodě podle i-té proměnné definujeme jko limitu f f( + te i ) f() () = lim. x i t 0 t Symbolem f x i oznčujeme prciální derivci funkce f podle i-té proměnné, tj. funkci definovnou předpisem f : x f (x). x i x i Definice. Necht f je reálná funkce n proměnných, R n L : R n R je lineární zobrzení. Řekneme, že L je totální diferenciál funkce f v bodě, jestliže pltí f( + h) f() L(h) lim h o h Vět 12.1 (vzth totálního diferenciálu prciální derivce). Necht L je totální diferenciál funkce f v bodě R n. Potom existují prciální derivce pro kždé h R n pltí f (),..., f () x 1 x n = 0. L(h 1,..., h n ) = f x 1 ()h 1 + + f x n ()h n. Konec 24. přednášky, 11. 5. 2015 Vět 12.2. Má-li funkce f v bodě R n totální diferenciál, je f v bodě spojitá. Lemm 12.3. Necht f je reálná funkce n proměnných, I = (α 1, β 1 ) (α n, β n ) R n,, b I. Necht v kždém bodě I existují prciální derivce f podle všech proměnných. Potom existují body ξ 1,..., ξ n I tkové, že f(b) f() = n i=1 f x i (ξ i )(b i i ). Vět 12.4. Necht f je reálná funkce n proměnných, R n f x 1,..., v bodě. Potom má f v bodě totální diferenciál. f x n jsou spojité funkce Definice. Necht f je reálná funkce n proměnných, R n v R n. Pk derivcí funkce f v bodě podle vektoru v rozumíme (vlstní) limitu f( + tv) f() D v f() = lim. t 0 t

Definice. Necht f je reálná funkce n proměnných, R n f () existuje. Pk definujeme grdient funkce f v bodě jko vektor ( f f() = (), f (),..., f ) () R n. x 1 x 2 x n Konec 25. přednášky, 12. 5. 2015 Vět 12.5. Necht f je reálná funkce n proměnných, R n v R n. Necht existuje f (). Pk pltí (i) f ()(v) = D v f(), (ii) mx{d v f(); v = 1} = f(). Definice. Necht F je zobrzení z R n do R k, R n L : R n R k je lineární zobrzení. Řekneme, že L je derivcí zobrzení F v bodě, jestliže pltí F ( + h) F () L(h) lim h o h Vět 12.6. Necht F je zobrzení z R n do R k, které má v bodě R n derivci L. Potom je L reprezentováno mticí F 1 F x 1 ()... 1 x n () F 2 F x 1 ()... 2 x n ()... F k F x 1 ()... k x n () Vět 12.7. Necht F je zobrzení z R n do R k, R n F () existuje. Potom F je spojité v. Vět 12.8. Necht F je zobrzení z R n do R k, R n F j x i, i = 1,..., n, j = 1,..., k, jsou spojité v. Potom F () existuje. Lemm 12.9. Necht L: R n R k je lineární zobrzení. Pk existuje C R tkové, že L(x) C x pro kždé x R n. = 0. Definice. Normou lineárního zobrzení L : R n R k rozumíme číslo { } L(x) L = sup ; x R n, x o. x Lemm 12.10. Necht f je zobrzení z R n do R k, R n f () existuje. Potom existují C R δ R, δ > 0, tkové, že pro kždé h B(o, δ) pltí f( + h) f() C h. Konec 26. přednášky, 18. 5. 2015

Vět 12.11 (derivce složeného zobrzení). Necht f je zobrzení z R n do R k, g je zobrzení z R k do R s, R n b = f() R k. Jestliže existují f () g (b), pk existuje (g f) () pltí (g f) () = g (b) f (). Důsledek 12.12 (řetízkové prvidlo). Necht funkce f 1,..., f k z R n do R mjí v bodě R n totální diferenciál funkce g z R k do R má v bodě b = (f 1 (),..., f k ()) totální diferenciál. Definujme funkci h z R n do R předpisem h(x) = g(f 1 (x),..., f k (x)). Potom má h v bodě totální diferenciál pro i {1,..., n} pltí h x i () = k j=1 g y j (b) f j x i (). Vět 12.13 (o přírůstku funkce). Necht f je funkce z R n do R, která má diferenciál v kždém bodě otevřené množiny G R n. Necht, b G úsečk L spojující body, b je obsžen v G, tj. L = {(1 t) + tb; t [0, 1]} G. Pk existuje ξ L tkové, že f(b) f() = f (ξ)(b ). Definice. Řekneme, že množin A R n je konvexní, jestliže pro kždé dv body z A pltí, že úsečk, která je spojuje, je obsžen v A. Vět 12.14 (vět o přírůstku vektorové funkce). Necht n, k N, K R, G R n je otevřená konvexní množin, f : G R k je zobrzení mjící derivci v kždém bodě G necht Pk f je lipschitzovské s konstntou K, tj. sup{ f (x) ; x G} K., b G : f(b) f() K b. Konec 27. přednášky, 19. 5. 2015