Inversní matice 1 Definice Nechť je čtvercová matice řádu n Čtvercovou matici B řádu n nazveme inversní maticí k matici, jestliže platí B=E n =B, kdee n jeodpovídajícíjednotkovámatice 2 Tvrzení Inversní matice ke čtvercové matici řádu n je určená jednoznačně Vědomi si toho, že nemohou k jedné matici existovat dvě různé inversní matice, můžeme nyní inversní matici kmaticioznačovat 1 Samozřejměpokudexistuje 3TvrzeníNechťječtvercovámaticeřádu n,nechťkníexistujeinversnímatice 1 Pokudexistuje maticeb,respctaková,žeb E n,resp C=E n,potomb= 1,respC= 1 4TvrzeníNechťjesingulárnímaticePotom 1 neexistuje Existence inversní matice, způsoby výpočtu 5VětaNechťjeregulárníčtvercovámaticeřádu npotom 1 existujeaplatí D 11 D 21 D n1 1 = 1 det D 12 D 22 D n2, D 1n D 2n D nn kde D ij jedoplněkkpozicii, j) 6 Poznámka Inversní matici můžeme spočítat tak, že převrácenou hodnotou determinantu původní matice násobíme tzv adjungovanou matici Je to matice, která vznikne transponováním matice, jejímiž členy jsou jednotlivé doplňky Tento postup má svá úskalí, protože těch determinantů se musí počítat opravdu hodně Proto je vhodný zejména pro matice malých rozměrů 7 Jiný způsob výpočtu využívá elementárních řádkových nebo sloupcových úprav Pomocí nich upravíme regulární matici na jednotkovou Tomu odpovídá násobení této matice zleva nebo zprava elementárními transformačními maticemi Násobíme jimi tak dlouho, až je výsledná matice jednotková Pokud děláme pouze řádkové úpravy, máme vlastně Označíme-liB=T s T s 1 T 2 T 1,platí toznamená,žebjeinversnímaticíkmatici T s T s 1 T 2 T 1 E B E, 8 nalogicky, když děláme pouze sloupcové úpravy, násobíme vlastně odpovídajícími elementárními transformačními maticemi zprava Máme tedy T 1 T 2 T r 1 T r =E asoučint 1 T 2 T r 1 T r jeinversnímaticíkmatici Postupu úpravy regulární matice na jednotkovou se říká Gauss-Jordanova eliminace Nejprve upravíme matici na horní trojúhelníkovou, jak jsme to dělali např při výpočtu determinantu Potom ji jakoby převrátíme,poslednířádekpřevezmeúlohuprvníhoabudeme nulovat prvkyvposlednímsloupci,potom v předposledním, nalogicky postupujeme při sloupcových úpravách, upravujeme vlastně transponovanou matici 9 Poznámka Při tomto způsobu výpočtu inversní matice musíme dávat pozor, abychom opravdu dělali buď pouze řádkové nebo pouze sloupcové úpravy Řádkovým úpravám totiž odpovídá násobení zleva, sloupcovým násobení zprava elementárními transformačními maticemi a násobení matic není komutativní Měli bychom sice T 1 T t S 1 S s =E,
kdet i jsoumatice,kteréodpovídajířádkovýmúpravámas i matice,kteréodovídajísloupcovýmúpravám, ale odtud nijak neplyne, že T 1 T t E S 1 S s = 1 Vlastnosti inversních matic, záporné mocniny matic 10 Tvrzení Pro libovolnou regulární matici platí 1 ) 1 = 11TvrzeníProlibovolnouregulárnímaticiplatí,že T jetakéregulárnía T ) 1 = 1 ) T 12TvrzeníNechťaBjsouregulárnímaticetéhožřáduPotomtakématice BaB jsouregulární aplatí B) 1 =B 1 1 a B ) 1 = 1 B 1 13 Definice Nechť je regulární matice Definujeme n = n ) 1 = 1) n 14 Tvrzení Nechť je regulární matice Potom platí, že det 1 = 1 det Maticové rovnice 15 Definice Maticovými rovnicemi rozumíme rovnice, ve kterých se vyskytuje jako neznámá nějaká matice Nejjednoduššími maticovými rovnicemi jsou rovnice typu X=B nebo Y B 16TvrzeníPokudjematiceregulární,majítytorovnicevždyjedinéřešeníato X= 1 B nebo Y=B 1 Pokud je matice singulární, musíme použít jiné postupy, o kterých se dozvíte v kapitole o řešení soustav lineárních rovnic
teď trochu praktického použití U zkoušky toto nebude LU rozklad LUrozkladlzepoužítk 1 řešení soustavy lineárních rovnic 2 výpočtu determinantu 3 výpočtu inversní matice 17DefiniceLUrozkladjerozkladregulárníčtvercovématicenasoučindvoumaticL U,kdematice L je dolní trujúhelníková a má na hlavní diagonále jedničky a U je horní trojúhelníková Jak jsme si již dříve ukázali, každou čtvercovou matici lze pomocí řádkových úprav převést na horní trojúhelníkovoumaticitomuto převádění odpovídánásobenítétomaticezlevaelementárnímitransformačními maticemi Pokud součin těchto ETM označíme B, upravenouhorní trojúhelníkovou) matici C a původní matici,platí,žeb 1 CPokudbymaticeB 1 byladolnítrojúhelníkováamělanahlavnídiagonále jedničky, byl by rozklad hotov Používejmejenjedentypúprav-ki-témuřádkupřičtěme α-násobek j-téhořádku,kde j < ipříslušná elementární transformační matice má na hlavní diagonále jedničky a na pozicii, j) číslo α Všude jinde jsou nuly Je tedy dolní trojúhelníková s jedničkami na hlavní diagonále 18TvrzeníNechťL 1 al 2 jsoudolnítrojúhelníkovématice,kterémajínahlavnídiagonálejedničkypotom imaticel 1 L 2,respL 2 L 1,jedolnítrojúhelníkováamánahlavnídiagonálejedničky 19 Tvrzení Nechť je L dolní trojúhelníková matice, které má na hlavní diagonále jedničky Potom i matice L 1 jedolnítrojúhelníkováamánahlavnídiagonálejedničky 20VětaNechťL 1,L 2,,L k jsouelementárnítransformačnímaticeodpovídajícípřičítáníreálnéhonásobku řádku k jinému řádku Potom je matice L=L k L k 1 L 1 ) 1 =L 1 1 L 1 2 L 1 k dolní trojúhelníková a má jedničky na hlavní diagonále 21 Poznámka Podobná tvrzení platí i pro horní trojúhelníkové matice, tedy součin dvou horních trojúhelníkových matic je horní trojúhelníková matice a inversní matice k horní trojúhelníkové matici je opět horní trojúhelníková matice Otázkou je, zda se nám pouze tímto jediným typem úprav podaří převést každou regulární matici na horní trojúhelníkovou Odpověď je záporná I při úpravě regulární matice se může stát, že se během eliminace na hlavní diagonále objeví nula Při běžné eliminaci si pomůžeme přehozením těchto řádků, případně přičtením násobkutoho dolního řádkukřádku hornímu Odpovídajícíelementárnítransformačnímaticepakale není dolní trojúhelníková Je tedy třeba prohodit řádky v původní matici, to znamená vynásobit matici zleva permutační maticí S,abymatice =S užtentoproblémnemělaadalaserozložitnal UMaticeSjejistěregulární součinetm),pokudoznačímepjejíinversi,můžemepsátp L UExistujetakovápermutačnímatice vždy? Odpověď je tentokrát kladná Vždy, když nastane tento problém, přehodíme řádky v původní matici a eliminujeme znovu Nakonec dostaneme matici, která bude mít LU rozklad 22PoznámkaVpraxisesamozřejměnepostupujemetodou pokus-omyl ),alerovnousepočítámatice LJakmilepřehazuemevupravovanématiciřádkyi-týza j-tý,kde i < j),přehodímeřádkytakévmatici L,alepouzeposloupec i 1 Místoprohozenířádkůmůžemeprohoditsloupce,potomdostávámerozkladL U P Shrnutí 23VětaKekaždéregulárnímaticiexistujímaticeL,kterájedolnítrojúhelníkováamájedničkyna hlavní diagonále, matice U, která je horní trojúhelníková, a permutační matice P tak, že P L U
24VětaKekaždéregulárnímaticiexistujímaticeL,kterájedolnítrojúhelníkováamájedničkyna hlavní diagonále, matice U, která je horní trojúhelníková, a permutační matice P tak, že L U P 25VětaPokudmáregulárnímaticeLUrozklad,jsoumaticeLaUurčenyjednoznačně Použití LU rozkladu 26Výpočetdeterminantu:Nechťjeregulárníčtvercovámaticeřádu naplatíl U,kdeLje dolní trojúhelníková a má jedničky na hlavní diagonále a U je horní trojúhelníková, potom je detdetl U=detL detu=1 detu=u 11 u 22 u nn 27Řešenísoustavlineárníchrovnic:Nechťjeregulárníčtvercovámaticeřádu naplatíl U, kde L je dolní trojúhelníková a má jedničky na hlavní diagonále a U je horní trojúhelníková Uvažujme soustavulineárníchrovnic x= b,tedy a 11 x 1 + a 12 x 2 + +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + +a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x 2 + +a nn x n = b n PotomL U x)=l U) x= x= baoznačíme-liu x= y,dostávámevlastnědvěsoustavyrovnic strojúhelníkovýmimaticemi,totižl y= bau x= y SoustavuL y= břešímedopřednousubstitucínejprve y 1,potom y 2,, y n )ProtožejematiceLdolní trojúhelníková a má na hlavní diagonále jedničky, řešíme vlastně soustavu y 1 = b 1 l 21 y 1 + y 2 = b 2 jejímž řešením je l n1 y 1 + l n2 y 2 + +y n = b n, y 1 = b 1 y 2 = b 2 l 21 y 1 = b 2 l 21 b 1 y n = b n l n1 y 1 + +l n,n 1 y n 1 ) PotomřešímesoustavuU x= yzpětnousubstitucínejprvespočítáme x n,potom x n 1,, x 1 Protožeje matice U horní trojúhelníková, řešíme vlastně soustavu jejímž řešením je u 11 x 1 + u 12 x 2 + +u 1n x n = y 1 u 22 x 2 + +u 2n x n = y 2 u nn x n = y n, 1 x n = u nn y n 1 x n 1 = u n 1,n 1 y n 1 u n 1,n x n ) x 1 = 1 u 11 y 1 u 1n x n + +u 12 x 2 )) 28Výpočetinversnímatice:Přivýpočtuinversnímaticevlastněřešímematicovourovnici 1 =E, cožsimůžemepředstavitjakořešení nsoustav nlineárníchrovniconneznámých,kdenapravéstraněse objevují jednotlivé sloupce jednotkové matice, tedy sloupcové vektory, které mají na jednom místě jedničku a jinak samé nuly Řešení provádíme postupem popsaným v předchozím příkladu
29 Složitost SložitostLUrozkladujeOn 3 )Přiřešenísoustavyrovnicjenutnodopočítat ydopřednoua xzpětnou substitucíobojímásložitoston 2 ),celývýpočetmátedysložitoston 3 )ProtiklasickéGaussověeliminaci, kterámásložitoston 3 ),nicnezískávámetosevšakzmění,kdyžřešímesoustavysestejnoumaticíale různými pravými stranami Při výpočtu determinantu ani inversní matice zrychlení také nezískáme 30 Příklady 1 2 Nebo také 1 1 2 2 1 3 1 2 1 4 2 5 6 4 7 4 2 5 6 4 7 2 1 0 1 3 1 0 1 0 0 3 1 2 1 0 3 2 1 3 1 0 2 0 1 0 0 2 0 2 1 0 0 2 0 1 0