OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL

OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL Zobecnění Newtonov nebo Riemnnov integrálu se definují různým způsobem dostnou se někdy různé, někdy stejné pojmy. V tomto textu bude postup volen jko zobecnění Newtonov integrálu, protože je to vhodný postup pro výpočet integrálů. Funkce signum nemá primitivní funkci n celém R, le funkce x je spojitá primitivní k signum n (, 0) i n (0, + ). Vzth b sign t dt = b, zřejmě i v tomto přípdě odpovídá tomu, co se v předchozí části pod integrálem cháplo (npř. vyjádření plochy s příslušnými znménky). ekvivlence

Co je vlstně potřebné pro funkci F, by definice b f(x) dx = F (b) F () zobecňovl Newtonův integrál? Protože se jedná o zobecnění, musí být F = f n intervlech, kde F existuje. ekvivlence

NULOVÉ MNOŽINY Asi by nemělo smysl, kdyby F neexistovl n velké množině, npř. n nějkém intervlu. Jde o to určit vhodně význm mlé množiny. Lze pochopit, že konečné množiny jsou mlé (vzhledem k intervlům). Jsou mlé i spočetné množiny? To už tk jsné není, protože množin rcionálních čísel je spočetná v jistém smyslu vytváří všechn reálná čísl. DEFINICE. Množin C reálných čísel se nzývá nulová, jestliže pro kždé ε > 0 existují intervly ( n, b n ) tkové, že 1. ( n, b n ) C; n=1 2. (b n n ) < ε. n=1 Říká se, že vlstnost V pltí (zkrtk s.v.) n nějké množině M R, jestliže existuje C V pltí n M \ C. POZOROVÁNÍ. 1. Kždá nejvýše spočetná podmnožin R je nulová. 2. Podmnožin nulové množiny je. 3. Spočetné sjednocení nulových množin je. 4. Intervl není. ekvivlence

1 1 1 1 1 ekvivlence

J-INTEGRÁL ekvivlence

J-PRIMITIVNÍ FUNKCE Podle předchozího pozorování jsou konečné spočetné množiny nulové. Nespočetné množiny mohou le nemusejí být nulové. To nznčuje možnost, že nejvýše spočetné množiny tvoří specifickou třídu nulových množin že zobecněné primitivní funkce definovné n zákldě této třídy by mohly být tké nějk specifické. V předchozím příkldě pro signum by se dostl jiná hodnot integrálu, pokud by místo zobecněné primitivní funkce x byl použit npř. funkce x + 1 n (, 0) x n (0, + ). DEFINICE. Funkce F n intervlu I se nzývá k f n I, jestliže 1. F (x) = f(x) n I ž n nejvýše spočetnou množinu; 2. F je spojitá n I. Spočetná množin {x I; F (x) f(x)} se nzývá výjimečná množin funkce f. POZOROVÁNÍ. 1. Kždá spojitá funkce n intervlu I má n I J-primitivní funkci. 2. Je-li F k f n I, má tutéž vlstnost i F + k pro libovolné k R. 3. Jsou-li F, G k f, g n I, je αf +βg k αf +βg n I. ekvivlence

VĚTA. (Jednoznčnost) Dvě J primitivní funkce k f n I se liší o konstntu. LEMMA. Necht kompktní intervl [, b] je pokryt systémem S otevřených intervlů. Pk existuje konečný podsystém {S 1,..., S k }, který pokrývá [, b] S i, S j se protínjí jen pokud i j 1.. Důkz. Oznčí se p = sup{x [, b]; [, x] lze pokrýt konečným podsystémem systému S}. Kdyby p < b, stčí vzít jednu množinu z S, npř. (r, s), obshující p potom lze pokrýt konečným podsystémem i intervl [, q] pro q (p, s), což je spor. Lze předpokládt, že získný podsystém je minimální, tj. po odebrání libovolného jeho prvku zbylý systém už [, b] nepokrývá. Necht se získný konečný podsoubor skládá z intervlů S 1, S 2,..., S k se středy s 1, s 2,..., s k přičemž s 1 < s 2 <... < s k. Ukžte, že z minimlity vyplývá žádná vlstnost: intervly S i, S j se protínjí jedině když i j 1. Důkz. věty. Tvrzení stčí dokázt pro otevřený intervl I = (, b). Necht C je spočetná množin bodů c n, n = 1, 2,... z (, b), F je spojitá n (, b) F (x) = 0 pro x I \ C. Má se dokázt, že F je konstntní n (, b). Necht r, s (, b), r < s. Stčí ukázt, že F (r) F (s) je libovolně mlé. Bud tedy ε > 0. Může se předpokládt, že r, s C (jink se C o tyto body doplní). Pro kždé x (, b) existuje okolí U x = (x δ x, x + δ x ) (, b) tk, že F (y) F (x) ε y x pro y U x pokud x / C (protože F (x) = 0) tk, že F (y) F (x) ε/2 n pro y U x pokud x = c n (protože F je v c n spojitá). ekvivlence

Podle předchozího lemmtu lze njít body x 1 < x 2 <... < x k tk, že {U xi } k 1 pokrývá [r, s] protínjí se pouze sousední intervly. Pro kždé i existuje y i U xi U xi+1 (x i, x i+1 ), přičemž y 1 lze zvolit větší než r y k 1 menší než s. Nyní se položí y 0 = r, y k = s tedy je y i < y i+1 pro i = 0,..., k 1. Potom F (r) F (s) k 1 i=0 F (y i+1 ) F (y i ). Protože ob sousední body y i, y i+1 leží v U xi po obou strnách jeho středu (kromě, možná, prvního posledního intervlu), je F (y i+1 ) F (y i ) bud nejvýše ε(y i+1 y i ) pokud x i / C nejvýše ε/2 n pokud x i = c n. Odtud vyplývá, že F (r) F (s) k 1 i=0 F (y i+1 ) F (y i ) ε((s r) + 2). Zřejmě funkce typu signum jejich posunutí lineární kombince (tzv. jednoduché nebo schodovité funkce, mjící jen konečně mnoho hodnot, které nbývjí n konečně mnoh intervlech). VĚTA. Kždá ( tedy i jejich lineární kombince) n intervlu I má n tomto intervlu J-primitivní funkci. Důkz. Necht f je npř. neklesjící funkce n I C = {c n } je spočetná množin jejích bodů nespojitosti (skoků). ekvivlence

Oznčí-li se s n velikost skoku v bodě c n, pk nezáporná funkce s, která má v x I hodnotu {s n ; c n < x}, se nzývá funkce skoků. Rozdíl f s je spojitá funkce n I, která tedy má primitivní funkci n I. Sndno se zjistí, že S(x) = {s n (x c n ); c n < x} je k s n I s výjimečnou množinou C. Tedy i funkce f má J-primitivní funkci. 2 2 2 2 ekvivlence

J-INTEGRÁL Nyní lze definovt integrál stejným způsobem, jko u Newtonov integrálu. DEFINICE. Necht jsou splněny následující tři podmínky pro funkci f intervl I s hrničními body < b: 1. funkce f má n I J-primitivní funkci F ; 2. existují limity F ( + ), F (b ); 3. rozdíl F (b ) F ( + ) má smysl. Potom se definuje se funkce f: (J) b f dx = F (b ) F ( + ). Podobně jko u Newtonov integrálu se definují (J) = 0, (J) b = (J) b. Množin všech funkcí, které mjí vlstní (J) b f dx, se znčí J(, b). Funkce z J(, b) se nzývjí J-integrovtelné, nebo se říká, že jejich konverguje (n rozdíl od termínu existuje, kdy může být hodnot integrálu nevlstní). Ze symbolu pro integrál není vidět n jkém typu intervlu I (npř. otevřeném, uzvřeném) je integrál definován. Není to totiž podsttné, protože z definice je vidět, že hodnot integrálu nezávisí n tom, zd koncové body intervlu I náleží do I. V dlším textu bude proto čsto bez újmy n obecnosti brán otevřený intervl I. ekvivlence

VĚTA. (Souhrn vlstností u) 1. N(, b) J(, b). 2. Pro kždou monotónní funkci n (, b) existuje z f n (, b). 3. J(, b) je lineární podprostor prostoru všech funkcí n (, b) (J) b je lineární zobrzení J(, b) do R. 4. () Je-li (c, d) (, b), je J(, b) J(c, d), kde poslední inkluzí se míní zúžení funkcí. (b) Je-li c (, b), je J(, b) = J(, c) J(c, b). 5. Je-li f J(, b) je (J) x f(t) dt k f n (, b). 6. Je-li f nezáporná funkce n (, b) (kromě, možná, spočetné množiny), která tm má J-primitivní funkci, pk existuje b f 0. 7. Je-li f J(, b), je (J) b lim n =, lim b n = b. f(x) dx = lim n (J) b n n f(x) dx, kde n b n b 8. Necht F, G jsou k f, g resp., n (, b). Potom (J) b F g = [F G]b (J) b fg dx, jestliže prvá strn má smysl je vlstní. 9. Necht f má J-primitivní funkci n intervlu I. Necht existuje spočetná množin C funkce ϕ tk, že ϕ zobrzuje ryze monotónně (α, β) do I; ϕ existuje n (α, β) \ C; Potom (J) ϕ(β ) ϕ(α+) f(x) dx = (J) β α f(ϕ(t))ϕ (t) dt, je-li jedn strn konečná. ekvivlence

Důkz. Vlstnosti 1 5 se dokáží přímo z definic. Pro ověření vlstnosti 6 je nutné si uvědomit, že spojitá funkce, která má nezápornou derivci všude n intervlu kromě nejvýše spočetné množiny, je neklesjící (viz návod v Otázkách). Vlstnosti 7 9 se dokzují stejně jko podobné vlstnosti pro Newtonovy integrály. substituce? DŮSLEDEK. Necht funkce f, g jsou definovány n intervlu (, b) kromě nejvýše spočetné množiny. 1. b f b g, pokud f, g J(, b), f(x) g(x) n (, b) kromě nejvýše spočetné množiny; 2. b f(x) dx b f(x) dx, pokud f, f J(, b). 3 3 3 3 ekvivlence

K-INTEGRÁL ekvivlence

K-PRIMITIVNÍ FUNKCE Pro obecnější integrál než je, je nejdříve nutné definovt obecnější primitivní funkci, která musí mít opět obvyklé vlstnosti. V definicích bude místo písmene J použito písmene K podle jmén Jroslv Kurzweil, který okolo r.1955 tento integrál definovl (nezávisle použil stejnou definici ve stejné době R.Henstock). Ob postupovli pomocí zobecnění Riemnnovy metody. Primitivní funkce byl zobecněn n J-primitivní tím, že se předpokládl existence derivce nikoli všude, le ž n spočetnou množinu. Jk vidět z příkldu Cntorovy funkce (viz ), v tomto přípdě nestčí předpokládt spojitost zobecněné primitivní funkce (nepltil by totiž zákldní vět o primitivních funkcích, že dvě zobecněné primitivní funkce k téže funkci se liší o konstntu). Z důkzu zákldní věty o J-primitivních funkcích je vidět, co je potřeb, by podobná vět pltil i pro jiné než spočetné výjimečné množiny C; potřebná vlstnost je zformulován v následující definici. DEFINICE. Necht C je podmnožin intervlu I. Funkce F definovná n I se nzývá bsolutně spojitá n I okolo C, jestliže pro kždý intervl [r, s] I libovolné ε > 0 existuje δ > 0 tk, že pro kždý konečný soubor disjunktních intervlů {( n, b n )} k 1 v I protínjících C [r, s] pltí k k (b n n ) < δ F (b n ) F ( n ) < ε. n=1 n=1 Jestliže C = I, říká se, že f je bsolutně spojitá funkce n I. POZOROVÁNÍ. ekvivlence

1. Je-li f bsolutně spojitá n I okolo množiny C, je bsolutně spojitá n I okolo kždé podmnožiny C. 2. Kždá spojitá funkce n intervlu I je bsolutně spojitá okolo kždé spočetné podmnožiny I. 3. Absolutně spojitá funkce okolo C je spojitá v kždém bodě množiny C. 4. Existuje spojitá funkce n [0, 1], která není bsolutně spojitá (viz ). 5. Množin bsolutně spojitých funkcí n (, b) je uzvřená n lineární kombince, součiny bsolutní hodnoty. DEFINICE. 1. F (x) = f(x) s.v. n I; Funkce F n intervlu I se nzývá K primitivní funkce k f n I, jestliže 2. F je bsolutně spojitá okolo {x I; F (x) f(x)}. Množin {x I; F (x) f(x)} se nzývá výjimečná množin funkce f. POZOROVÁNÍ. 1. Kždá k f n I je k f n I. 2. Je-li F k f n (, b), má tutéž vlstnost i F + k pro libovolné k R. 3. Jsou-li F, G k f, g n (, b), je αf + βg k αf + βg n (, b). ekvivlence

VĚTA. (Jednoznčnost) Dvě k f n I se liší o konstntu. Důkz. je podobný důkzu obdobného tvrzení pro. Nejdříve je nutné si uvědomit, že lze důkz opět převést n funkce s nulovou derivcí. Jestliže F, G jsou dvě k f, s výjimečnými množinmi C, D, pk F G je bsolutně spojitá okolo C D (F G) = 0 n I \ (C D). Jedině bsolutní spojitost F G okolo C D nemusí být zřejmá. Stčí si všk uvědomit, že pokud intervl ( n, b n ) z definice npř. neprotíná D, pk G( n ) = G(b n ). Stčí tedy ukázt, že pokud je F bsolutně spojitá okolo nulové množiny C I F = 0 n I \ C, je F konstntní n I. Zřejmě můžeme opět předpokládt, že I je otevřený intervl (, b). Necht [r, s] (, b) ε > 0. Pro kždé x (, b) existuje okolí U x = (x δ x, x+δ x ) (, b) tk, že F (y) F (x) ε y x pro y U x pokud x / C (protože F (x) = 0). Protože f je bsolutně spojitá okolo C, existuje δ > 0 tk, že pltí příslušná vlstnost z definice bsolutní spojitosti pro zvolené ε. Pro nlezené δ existuje pokrytí {( n, b n )} množiny C podintervly z (, b) tkové, že (bn n ) < δ. Z pokrytí {( n, b n )} {U x ; x / C} intervlu [r, s] se podle pokrývcího lemmtu vybere konečné pokrytí {I i } k i=1. Stejně jko pro se njdou body y 0,..., y k tk, že dv sousední body y i, y i+1 leží v I i. V přípdě, že U i = U x pro nějké x / C, je F (y i ) F (y i+1 ) < ε(y i+1 y i ). Zbývjící intervly I il náleží do souboru {( n, b n )} tedy součet i=i l (y i+1 y i ) < δ. Z bsolutní spojitosti vyplývá i=i l F (y i ) F (y i+1 ) < ε tedy dohromdy F (r) F (s) i l F (y i ) F (y i+1 ) < ε(1 + s r). ekvivlence

4 4 4 4 ekvivlence

K-INTEGRÁL DEFINICE. (, b): Necht jsou splněny následující tři podmínky pro funkci f intervl 1. funkce f má n (, b) K-primitivní funkci F ; 2. existují limity F ( + ), F (b ); 3. rozdíl F (b ) F ( + ) má smysl. Potom se definuje se funkce f: (K) b f = F (b ) F ( + ). Podobně jko u předchozích integrálů se definují (K) = 0, (K) b = (K) b. Množin všech funkcí n intervlu (, b), které mjí vlstní, se znčí K(, b) prvky této množiny se nzývjí K-integrovtelné funkce, nebo se říká, že jejich K- integrál konverguje (n rozdíl od termínu existuje, kdy může být hodnot integrálu nevlstní). VĚTA. (Souhrn vlstností u) 1. N(, b) J(, b) K(, b). 2. K(, b) je lineární podprostor prostoru všech funkcí n (, b) (K) b je lineární zobrzení K(, b) do R. ekvivlence

3. () Je-li (c, d) (, b), je K(, b) K(c, d), kde poslední inkluzí se míní zúžení funkcí. (b) Je-li c (, b), je K(, b) = K(, c) K(c, b). 4. Je-li f K(, b), je (K) x f(t) dt k f. 5. Je-li f nezáporná funkce s.v. n (, b), která tm má K-primitivní funkci, pk existuje b f 0. 6. Je-li f K(, b), je (K) b lim n =, lim b n = b. f(x) dx = lim n (K) b n n f(x) dx, kde n b n b 7. Necht F, G jsou k f, g resp., n (, b). Potom (K) b F g = [F G] b (K) b fg dx, jestliže prvá strn má smysl je vlstní. 8. Necht f má K-primitivní funkci n intervlu I. Potom (K) ϕ(β ) ϕ(α+) f(x) dx = (K) β je-li jedn strn konečná ϕ zobrzuje ryze monotónně (α, β) do I. DŮSLEDEK. Necht funkce f, g jsou definovány n intervlu (, b). 1. b f b g, pokud f, g K(, b), f(x) g(x) s.v. n (, b); 2. b f(x) dx b f(x) dx, pokud f, f K(, b). 5 5 α f(ϕ(t))ϕ (t) dt, ekvivlence

KONVERGENCE A EXISTENCE K-INTEGRÁLU Postup v této části je obdobný jko v příslušné části pro Newtonovy integrály. VĚTA. (Kritéri u) 1. (Srovnávcí kritérium) Necht f má K-primitivní funkci n (, b). Jestliže existují g, h K(, b) tk, že g f h s.v. n (, b), pk f K(, b). 2. Necht funkce g je monotónní n [, b). (Dirichletovo kritérium) Jestliže f má omezenou K-primitivní funkci n (, b) lim g(x) = 0, pk (K) b x b f(x)g(x) dx konverguje. (Abelovo kritérium) Jestliže f K(, b) g je omezená, pk fg K(, b). Důkz. 1. Jsou-li F, G, H k f, g, h n (, b), je F G neklesjící F H nerostoucí. Odtud z existence vlstních limit funkcí G, H v krjních bodech plynou i existence vlstních limit v krjních bodech funkcí F G, F H, tedy i funkce F. 2. Protože g je monotónní, má s.v. derivci (viz ). Jsou tedy splněny předpokldy pro použití integrce per prtes: (K) b f(x)g(x) dx = [F (x)g(x)] b (K) b F (x)g (x) dx. Bod nečiní potíže. Protože je g monotónní vždy omezená, má v b vlstní limitu. ekvivlence

V přípdě Dirichletov je F omezená lim g(x) = 0 tedy lim F (x)g(x) = x b x b 0. V přípdě Abelov existuje vlstní lim x b F (x) tedy i lim x b F (x)g(x). Zbývá ukázt konvergenci (K) b F (x)g (x) dx. V obou přípdech je F omezená tedy F g K g n [, b). Protože g je monotónní, nemění g znménko (K) b g (x) dx konverguje právě když konverguje (K) b g (x) dx. Poslední integrál se rovná g(b) g(). Následující důsledky (první je důsledkem srovnávcího, druhý Abelov ) uvádějí ekvivlence pro konvergenci integrálů. DŮSLEDEK. 1. (nelimitní) Necht nezáporné funkce f, g mjí n [, b). Jestliže existují kldná čísl K, L tk, že n [, b) pltí s.v. Kf(x) g(x) Lf(x), pk (K) b f(x) dx konverguje právě když (K) b g(x) dx konverguje. 2. (limitní) Necht f, g jsou nezáporné s.v. n [, b) mjí tm. f(x) Jestliže lim x b g(x) (0, ), pk (K) b f(x) dx konverguje právě když (K) b g(x) dx konverguje. DŮSLEDEK. Necht n [, b) jsou definovány funkce f, g, h, přičemž g(x)/h(x) konverguje pro x b monotónně k nenulovému vlstnímu číslu.pk (K) b f(x)g(x) dx konverguje právě když (K) b f(x)h(x) dx konverguje. ekvivlence

LEBESGUEŮV INTEGRÁL Pro lze stejně jko pro Newtonův integrál definovt bsolutní konvergenci dokázt stejné zákldní tvrzení. DEFINICE. funkce f n (, b) konverguje bsolutně, jestliže f má n (, b) K-primitivní funkci f K(, b), konverguje nebsolutně, jestliže f K(, b) f / K(, b). VĚTA. Absolutně konvergentní je konvergentní. U se může hůře zjišt ovt, zd je bsolutně spojitá okolo nějké nulové množiny. Jednodušší mohou být přípdy, kdy je bsolutně spojitá n celém intervlu (, b). DEFINICE. Funkce F se nzývá L-primitivní k f n (, b), jestliže 1. F (x) = f(x) s.v. n (, b); 2. F je bsolutně spojitá n (, b). Zřejmě je kždá i K-primitivní funkcí, le existují funkce, které mjí K-primitivní funkci nemjí L-primitivní funkci. Podobně jko se dá pomocí L-primitivních funkcí definovt příbuzné pojmy. I tento integrál má podobné vlstnosti, jko ty předchozí. VĚTA. f L(, b) právě když f, f K(, b). ekvivlence

DŮSLEDEK. f L(, b) právě když f má bsolutně konvergentní. Podle předchozího důsledku se Lebesgueův integrál nzývá bsolutně konvergentní integrál. 7 7 ekvivlence