Integrál jako funkce meze

Transkript

1 Část prcovní verze odstvců o následujících témtech z připrvovných skript o integrálním počtu (utoři P.Ř. V.Ž.): Integrál jko funkce meze První druhá zákldní vět integrálního počtu Výpočetní techniky pro Riemnnův integrál Nevlstní integrály Jordnov Penov mír Integrál jko funkce meze Nyní se podíváme n určitý integrál trochu jiným způsobem: Budeme zkoumt jeho vlstnosti v situci, kdy horní mez (popřípdě dolní mez, resp. obě meze součsně) chápeme jko proměnnou (resp. proměnné). Přesněji řečeno, pro funkci f integrovtelnou n intervlu, b budeme zkoumt vlstnosti funkce F (x) := x f(t) dt, (..) která je n intervlu, b dobře definován z předpokldu, že f R(, x) pro kždé x, b Této funkci říkáme integrál jko funkce horní meze. Vzhledem k tomu, že určitý integrál souvisí s obshem určitých obrzců, jejichž část hrnice je tvořen grfem integrndu, lze význm funkce F (pro f kldné) znázornit následovně: Předstvme si, že rozvíjíme netypický koberec, jehož šířk f(x) se mění spojitě vzhledem k rozvinuté délce x, jko n následujícím obrázku. Funkce (..) pk vyjdřuje obsh rozvinuté části koberce v závislosti n jeho ktuální délce. Typický koberec má konstntní šířku, neboli f(x) = k pro všechn x, b, kde b je jeho délk. V tkovém přípdě je pokrytá ploch přímo úměrná rozvinuté délce, F (x) = k x. Jink řečeno, rychlost, jkou koberec pokrývá podlhu, je vzhledem k proměnné x konstntní tto konstnt je právě k; zejmén je funkce F diferencovtelná, tudíž tké spojitá. V obecnějším přípdě šířk koberce konstntní není, všk předchozí závěry pltí ndále: Obsh rozvinuté části koberce se mění spojitě vzhledem k jeho délce (tento pozntek zobecníme záhy ve Větě..) rychlost, jkou koberec pokrývá podlhu, je rovn jeho ktuální šířce (tento pozntek upřesníme ve Větě..3). Nvíc si můžeme povšimnout, že obsh rozvinuté části odpovídjící libovolnému podintervlu c, d, b je roven rozdílu F (d) F (c) (tento pozntek zobecníme ve Větě..5).

2 2 Spojitost funkce F Nyní ukážeme, že pokud je funkce F n nějkém intervlu definován, tzn. pokud je funkce f n tomto intervlu integrovtelná, potom F je nutně spojitá. Funkce f přitom spojitá být nemusí. Vět... Jestliže je funkce f n intervlu, b integrovtelná, potom x je funkce F (x) := f(t) dt n tomto intervlu spojitá. Důkz. Z definice funkce F ditivity určitého integrálu vzhledem k mezím plyne, že x+h F (x + h) F (x) = f(t) dt pro kždé x, x + h, b. Z integrovtelnosti funkce f, plyne její omezenost, tudíž podle odstvce o nerovnostech dostáváme x+h f(t) dt M h, x kde M je reálná konstnt shor omezující funkci f mezi x x + h. Odtud vidíme, že pro dosttečně mlá h je hodnot F (x + h) libovolně blízko F (x), přičemž pro h = je zřejmě F (x + h) = F (x). Funkce F je tedy ve všech bodech intervlu, b spojitá (v krjních bodech jednostrnně). Poznámky..2. (i) Ve výše uvedeném znázornění můžeme uvžovt přípd, kdy koberec nerozvíjíme, le zvíjíme, příp. rozvíjíme či zvíjíme z druhé strny (nebo dokonce z obou strn součsně). Odpovídjící funkce popisující obsh rozvinuté části koberce budou nlogické (..). Npř. funkce odpovídjící zvíjení z levé strny vypdá tkto: G(x) := x x f(t) dt, kde x, b b je délk celého koberce. Této funkci se říká integrál jko funkce dolní meze. Je velmi sndné ukázt, že funkce G má obdobné vlstnosti jko funkce F. (ii) Vzhledem k nší konvenci lze integrál jko funkci horní, resp. dolní meze n intervlu, b definovt poněkud obecněji vzhledem k libovolnému bodu c, b : F (x) := x c f(t) dt, resp. G(x) := c x f(t) dt.

3 3 Vlstnosti funkce F, resp. G se ni v tomto obecnějším přípdě nezmění; zejmén kždá z těchto funkcí je spojitá, kdykoli je definován. (iii) Integrál jko funkce horní, resp. dolní meze, je v teorii integrálu velice užitečný. Díky němu v dlších odstvcích obecně vysvětlíme důležitou souvislost mezi pojmem primitivní funkce (tj. neurčitým integrálem) určitým integrálem. Dále jej potřebujeme npř. k zvedení tzv. nevlstního integrálu. Tímto způsobem lze tké definovt nové (příp. novým způsobem zvést známé) funkce. Velký význm má tké v jiných oblstech mtemtiky (teorie prvděpodobnosti, integrální trnsformce td.). Zákldní věty integrálního počtu Proztím jsme viděli, že určité integrály umíme spočítt pouze ve velmi jednoduchých přípdech, to z definice, uhádnutím, příp. kombincí těchto možností linerity. S těmito omezenými nástroji se jistě spokojit nehodláme hledáme nějké účinnější nástroje. Několik zákldních tvrzení v tomto odstvci vrcholí tzv. Newtonovou Leibnizovou větou, jejíž výpočetní důsledky záhy rozvineme. První zákldní vět Vzhledem k důležitosti tohoto tvrzení se mu obvykle přezdívá první zákldní vět integrálního počtu. Jedná se o doplnění Věty.. se silnějším předpokldem spojitosti: Vět..3. Jestliže je funkce f n intervlu, b spojitá, potom je funkce x F (x) := f(t) dt n tomto intervlu diferencovtelná pltí F (x) = f(x). Důkz. Důkz tohoto tvrzení není nijk složitý, vzhledem k výše uvedenému si můžeme dovolit následující zkrtku: F F (x + h) F (x) (x) = lim h h x+h = lim f(t) dt h h = lim h h x+h x f(t) dt x f(t) dt definice derivce definice funkce F ditivit vzhledem k mezím = lim f(c h ) h Vět o střední hodnotě = f(x) spojitost funkce f

4 4 Číslo c h v předposledním kroku je tkové číslo mezi x x+h, že. f(c h ) je střední hodnotou funkce f n intervlu x, x + h, resp. x + h, x podle znménk h. Zejmén c h x pro h. Uvědomte si, že díky konvencím jsou všechny úprvy pltné bez ohledu n znménko h. V krjních bodech intervlu, b máme smozřejmě n mysli jednostrnné derivce. Poznámk..4. Z první zákldní věty se mimo jiné dozvídáme, že ke kždé spojité funkci existuje funkce primitivní. Tímto je konečně dokázán vět, kterou jsme si uváděli n zčátku semestru. Druhá zákldní neb Newtonov Leibnizov vět Primitivní funkce (tedy neurčitý integrál) ke spojité funkci je ve Větě..3 sestrojen pomocí určitého integrálu jkožto funkce horní meze. Tento výsledek všk má pouze existenční chrkter zprvidl neumožňuje primitivní funkci k dné funkci njít. Nopk, známe-li primitivní funkci k dné funkci, jsme schopni velmi sndno určit hodnotu určitého integrálu: Předpokládejme, že f je spojitá n intervlu, b F je jkákoli k ní primitivní funkce. Rozdíl dvou primitivních funkcí k téže funkci je n libovolném x intervlu konstntní. Proto je podle předchozí věty F (x) = f(t) dt + C pro nějké C R všechn x, b. Součsně všk pltí F () = C. Odtud plyne, že F (x) = x f(t) dt + F () pro všechn x, b. Doszením x = b zjišťujeme, že určitý integrál f(t) dt =, tedy f(x) dx je jednoduše roven rozdílu hodnot primitivní funkce F v krjních bodech intervlu. Zobecnění tohoto pozntku pro obecné integrovtelné funkce je obshem tzv. Newtonovy Leibnizovy věty čili druhé zákldní věty integrálního počtu: Vět..5 (Newtonov-Leibnizov). Jestliže je funkce f n intervlu, b integrovtelná F je funkce, která je k f n tomto intervlu primitivní, potom pltí f(x) dx = F (b) F (). (..2) Důkz. Ukážeme, že pro libovolné dělení D = { = x, x,..., x n = b} intervlu, b existuje tkový výběr reprezentntů V, že odpovídjící Riemnnův součet

5 5 S(D, V ) je roven F (b) F (). Z definice Riemnnov určitého integrálu z předpokldu integrovtelnosti funkce f poté vyplývá pltnost (..2). Funkce F je podle definice diferencovtelná, tudíž je tké spojitá. Podle Lgrngeovy věty o střední hodnotě v kždém z podintervlů dělení D podle předpokldu F = f dostáváme F (x i ) F (x i ) = F (c i )(x i x i ) = f(c i )(x i x i ), kde c i je nějký bod z intervlu x i, x i i =, 2,..., n. Sečtením všech těchto rovností se téměř všechny členy n levé strně vyruší, n prvé strně obdržíme Riemnnův součet odpovídjící výběru V = {c,..., c n }. Celkem tedy pltí což jsme měli ukázt. F (b) F () = n f(c i )(x i x i ) = S(D, V ), i= Poznámky..6. (i) Nejprve si uvědomme, že skutečně nezáleží n tom, kterou z primitivních funkcí k funkci f ve vzorci (..2) použijeme. (ii) Vzhledem ke konvencím je zřejmé, že formule (..2) pltí i v přípdech, kdy > b. (iii) Nše verze Newtonovy-Leibnizovy věty předpokládá existenci primitivní funkce n celém integrčním oboru, b, což je všk poměrně silný poždvek. Npř. pro integrnd mjící nespojitost prvního druhu nemůže primitivní funkce existovt nelze tedy větu přímo plikovt. Tkové situce lze čsto řešit vhodným rozdělením integrčního oboru n podintervly, kde jsou již předpokldy splněny, pomocí ditivity integrálu vzhledem k integrčnímu oboru. Přípdné problémy v krjních bodech podintervlů lze sndno ošetřit odkzem n tvrzení o integrálech málo se lišících funkcí. Tyto myšlenky osvětlíme hned v následujících odstvcích, viz třeb Příkld..5. (v) Bezmyšlenkovité doszování do formule (..2) může vést k nesprávným výsledkům, viz třeb Příkld..7. Proto je nutné důsledně ověřovt předpokldy Newtonovy Leibnizovy věty! Pokud nejsou splněny n celém integrčním oboru, tk improvizujeme podle návodu v předchozí poznámce. (vi) Čsto budeme používt znčení [F (x)] b := F (b) F (), vzth (..2) potom nbývá následující tvr: [ f(x) dx = ] b f(x) dx. Příkld..7. Njděte chybu v následujícím výpočtu: 3π/4 cos 2 dx = [tg x]3π/4 = =. x

6 6 Řešení. Funkce tg x je sice primitivní funkcí k funkci / cos 2 x, problém je v tom, že funkce / cos 2 x není definovná v bodě π/2, 3π/4 v okolí tohoto bodu nbývá libovolně velkých hodnot. Tto funkce tudíž není n dném intervlu integrovtelná. Výpočetní techniky V této podkpitole se vrcíme k problému, jež už byl párkrát zmíněn který nyní můžeme zformulovt tkto: Jk určit hodnotu určitého integrálu f(x) dx? Některé integrály lze vypočítt přímo z definice Riemnnov integrálu, některé lze určit pomocí rozličných (čsto trikových) úprv úvh, některé pomocí Newtonovy Leibnizovy věty. Některé integrály lze počítt více způsoby (což může zhrnovt různé kombince přístupů), některé neumíme přesně určit vůbec v tkových přípdech se musíme spokojit s jejich přibližným vyjádřením. V tomto odstvci uvádíme několik jednoduchých integrálů upozorňujeme n typická úsklí při jejich řešení. Podle definice Riemnnov integrálu Přirozená výpočetní metod je odvozená z jedné ekvivlentní chrkterizce Riemnnov integrálu. Problemtickým místem uvedeného postupu je smozřejmě vyjádření Riemnnových součtů S(D n, V n ) v uzvřeném tvru, což nutně potřebujeme k tomu, bychom mohli počítt odpovídjící limitu lim S(D n, V n ). n Určité integrály většiny elementárních funkcí tímto způsobem nejspíš nikdy nespočítáme. Zde je n ukázku několik z mál výjimek. Příkld..8. Vypočtěte k N. x 3 dx zmyslete se nd zobecněním x k dx, kde Řešení. Zdná funkce je spojitá n celém definičním oboru, což je R, tudíž je integrovtelná n jkémkoliv omezeném podintervlu. Pro ekvidistntní dělení dného intervlu zjistíme, že potřebujeme vhodně uprvit součet třetích (obecněji k-tých) mocnin několik po sobě jdoucích přirozených čísel. To není neznámý problém, jeho obecné řešení všk není vůbec jednoduché. Npř. pro k = 3 pltí n 3 = 4 n2 (n + ) 2 ; Všimněte si, že výsledek je podezřelý už proto, že je záporný, přestože integrujeme kldnou funkci (s dolní mezí menší než horní).

7 7 ověřte indukcí. Odtud je již sndné vyjádřit posloupnost Riemnnových součtů v závislosti n n, tudíž spočítt limitu. Npř. pro dělení intervlu, b n n stejných dílů výběr reprezentntů v prvých dělicích bodech tk dostáváme tudíž S(D n, V n ) = n i= b n x 3 dx = b4 4 ( ) 3 ib = b4 n n 4 n i= lim (n + ) 2 n n 2 = b4 4. i 3 = b4 (n + ) 2 4n 2, Odtud podle ditivity integrálu vzhledem k mezím dostáváme x 3 dx = x 3 dx x 3 dx = b V následujícím příkldu je nopk snzší uprvit obecný součet posloupnosti, zto budeme mít trochu víc práce s limitou. Příkld..9. Vypočtěte r x dx, kde r (, ), zmyslete se nd zobecněním r x dx. Řešení. Pro obecné r (, ) je funkce r x spojitá pro všechn x R, tudíž je integrovtelná n kždém intervlu. Pro ekvidistntní dělení intervlu, výběry reprezentntů v levých dělicích bodech dostáváme S(D n, V n ) = n ( + r /n + r 2/n + + r (n )/n). Sčítnci v závorce tvoří geometrickou posloupnost s kvocientem q = r /n, kterou umíme bez problémů sečíst: S(D n, V n ) = r n( r /n ). Limitu můžeme dopočítt pomocí l Hospitlov prvidl: r x /n dx = ( r) lim n r = = r /n ln r. Zobecnění vzhledem k mezím necháváme n čtenáři.

8 8 Poznámk... Všimněte si, že Riemnnův integrál zde počítáme prostřednictvím jistých sum. Tyto sumy nemusíme všk chápt jen jko proximce integrálů. Lze je též povžovt z jkési diskrétní protějšky (určitých) integrálů. Připomeňme, že diskrétním protějškem derivce je tzv. diference, kterou definujeme jko f(k) = f(k + ) f(k). Obecněji lze brát i jinou hodnotu kroku než právě jedničku, dokonce i proměnnou. Pokud pk zvedeme operátor jko inverzi k operátoru, dostáváme diskrétní obdobu neurčitého integrálu (tj. primitivní funkce). Npř. k(k + ) = + C, C R, prcujeme-li n k oboru N. Ze znlosti neurčité sumy (tj. ntidiference) dné posloupnosti je pk již sndné obdržet hodnotu sumy. Proces integrce uvedeným způsobem tedy můžeme znázornit tkto: Riemnnův součet ntidiference součet sumy limitní přechod Riemnnův integrál Poznmenejme, že výpočet neurčité sumy všk většinou bývá mnohem obtížnější než nlezení primitivní funkce. Rfinovnosti triky Jisté nesmozřejmé čili trikové myšlenky jsou obsženy npř. v postupu Fermtov řešení tzv. kvdrtury prboly. Připomínáme, že tm vystupující součty určitě nelze interpretovt jko součty Riemnnovy, protože nesestávjí z konečně mnoh sčítnců. Příkld... Zobecníme myšlenku Fermtov řešení pro libovolné integrály typu x k dx, kde, b, k. Řešení. Uvžme = b, k obecné. Stejně jko výše si pomůžeme číslem α (, ), které určuje posloupnost (bα, bα 2, bα 3,... ) dělící intervl, b n nekonečně mnoho postupně se zmenšujících podintervlů. Nyní máme S(α) := b k+ ( α)( + α k+ + α 2(k+) + ). Sčítnci v prvé závorce tvoří geometrickou řdu s kvocientem α k+, který je díky předpokldu < α < ve stejných mezích. Řdu sndno sečteme, pro α dostáváme x k dx = lim S(α) = b k+ α bk+ lim = α α αk+ k +. Odtud stejně jko v příkldu..8 zjišťujeme, že x k dx = x k dx x k dx = bk+ k+. k +

9 9 Přípdy k =, resp. jsou smozřejmě triviální, le v uvedeném řešení nejsou nijk výjimečné. Řešení tktéž nezávisí n tom, zd je k větší nebo menší než, podsttný je pouze předpokld nezápornosti. Rozšíření tohoto návodu pro k <, všk různé od, umíme provést s použitím nevlstního integrálu. Přípd k = je vskutku specifický, viz následující příkld. Jedná se o tzv. kvdrturu (rovnoosé) hyperboly uvedené řešení je kompilcí myšlenek Gregor Sv. Vincent Alfonse Antoni de Srsy. Příkld..2. Všechny konstnty proměnné v následujících úkolech jsou kldná reálná čísl: (i) Dokžte, že pro libovolné c, d u pltí (ii) Dokžte, že F (x) := (iii) Vyjádřete x d c ud x dx = x dx. t dt je logritmická funkce s přirozeným zákldem. x dx pro obecné b. Řešení. Funkce f(x) = x je spojitá n R +, n libovolném uzvřeném podintervlu R + je tedy integrovtelná. (i) Kždý z integrálů v uvedené rovnosti je limitou nějké posloupnosti Riemnnových součtů. Pokud v obou přípdech zvolíme npř. posloupnosti ekvidistntních dělení s výběry v levých krjních bodech, potom pro kždé n N je odpovídjící Riemnnův součet n intervlu c, d zřejmě stejný jko n intervlu uc, ud. A stejné posloupnosti mjí stejné limity. (ii) Odtud z ditivity určitého integrálu vzhledem k mezím nyní plyne, že pro libovolné kldné u, v pltí F (uv) = uv t dt = u t dt + uv u t dt = u v t dt + uc dt = F (u) + F (v). t To je všk definující vlstnost logritmické funkce. Skutečně, je totiž známo, že kždé spojité řešení tzv. Cuchyovy rovnice g(x + y) = g(x) + g(y) n R má tvr g(x) = kx, k R. Tto rovnice je sice jiného tvru než F (uv) = F (u) + F (v). Stčí všk šikovná substituce (njděte ji) zjišťujeme, že kždé spojité řešení rovnice F (uv) = F (u) + F (v) n (, ) je tvru F (x) = k ln x, k R. K tomu, bychom rozpoznli hodnotu konstnty k, stčí znát hodnotu, příp. derivci funkce F v jednom bodě. Přímo z definice této funkce lze sndno vyvodit, že F () =. Proveďte. Dostneme tedy k =. (iii) Odtud již sndno plyne b x dx = x dx x dx = ln b ln = ln b.

10 My smozřejmě díky Větě..3 víme, že funkce F (x) = x t dt je primitivní funkcí k funkci f(x) = x, tedy F (x) = ln x + c pro nějké c. Vzhledem k tomu, že F () =, musí být c =, tedy F (x) = ln x. Přestože v uvedeném řešení používáme dnešní terminologii, jsou jeho myšlenky historicky strší než Vět..3 ve své obecnosti. Přímé užití Newtonovy Leibnizovy věty Newtonov Leibnizov vět..5 nbízí zjímvou početní lterntivu z předpokldu, že umíme určit primitivní funkci k integrndu. Víme, že toto může skutečný oříšek i pro celkem nevinně vyhlížející elementární funkce. Nejprve se vrátíme k sérii problémů řešených v Příkldech..8,....2: Příkld..3. Vypočtěte x k dx pro obecné k R vhodné meze b. Řešení. Definiční obor funkce f(x) = x k závisí n k; pro jednoduchost se omezíme pouze n kldná reálná čísl. N libovolném omezeném podintervlu (, ) je kždá z uvžovných funkcí spojitá, tedy integrovtelná. Pokud je k, potom primitivní funkce je F (x) = xk+ k+, podle Newtonovy Leibnizovy věty pltí: [ x x k k+ dx = k + ] b = bk+ k+. k + Pokud je k =, tj. f(x) = x, potom primitivní funkce je F (x) = ln x, podle Newtonovy Leibnizovy věty pltí: x dx = [ln x]b = ln b ln = ln b. Uvádíme ještě lterntivní řešení Příkldu..9: Příkld..4. Vypočtěte r x dx pro obecné, b R r R +. Řešení. Funkce f(x) = r x je integrovtelná n libovolném intervlu funkce F (x) = rx ln r je funkcí k ní primitivní. Podle Newtonovy Leibnizovy tedy pltí: [ r r x x dx = ln r ] b = rb r. ln r Pro = b = dostáváme právě výsledek Příkldu..9.

11 Příkld..5. Určete integrál následující funkce n celém definičním oboru: { cos x x π f(x) = 2, π 2, sin x x ( π 2, π. Řešení. Jediným bodem nespojitosti funkce f n definičním oboru je π 2. Vzhledem k typu této nespojitosti víme, že k funkci f neexistuje primitivní funkce n celém intervlu π 2, π. Avšk n podintervlu π 2, π 2 je funkce f spojitá, tudíž integrovtelná, s dobře známou primitivní funkcí. Pltí tedy π/2 π/2 f(x) dx = π/2 π/2 cos x dx = [sin x] π/2 π/2 = ( ) = 2. Podintervl ( π 2, π je zlev otevřený funkce f je n něm spojitá omezená. Ať už funkci f v levém krjním bodě rozšíříme jkkoliv, tto funkce bude integrovtelná hodnot integrálu bude π π/2 f(x) dx = Celkem tedy dostáváme π π/2 f(x) dx = π π/2 π/2 π/2 sin x dx = [ cos x] π π/2 = =. f(x) dx + π π/2 f(x) dx = 2 + = 3. K nlezení primitivní funkce velmi čsto potřebujeme různé pomocné úvhy úprvy, jimž jsme věnovli celou kpitolu o výpočetních technikách. Dvě zákldní účinné metody byly integrce per prtes integrce substitucí. V následujících dvou pododstvcích komentujeme užití Newtonovy Leibnizovy věty v přípdech, kdy je k nlezení primitivní funkce použit některá z těchto metod. Substituční metod pro určité integrály Substituční metod (pro neurčité integrály) je odvozen z věty o derivci složené funkce. Npř. sin x cos 3 x dx = u 3 du = 4 u4 + c = 4 cos4 x + c. Odtud, pro libovolné, b R, umíme podle Newtonovy Leibnizovy věty vyjádřit sin x cos 3 x dx doszením, resp. b do posledního výrzu, což je zřejmě totéž, jko kdybychom do předposledního výrzu doszovli cos, resp. cos b: sin x cos 3 x dx = cos b cos u 3 du = [ 4 u4] cos b cos = [ 4 cos4 x ] b.

12 2 Zobecněním tohoto příkldu dostáváme následující nlogii Věty o substitutci: Vět..6. Uvžujme funkci ϕ spojitě diferencovtelnou n intervlu I =, b funkci f spojitou n obrze J = ϕ(, b ). Potom f je integrovtelná n J, funkce f(ϕ(x)) ϕ (x) je integrovtelná n I pltí f(ϕ(x)) ϕ (x) dx = ϕ(b) ϕ() f(u) du. (..3) Důkz. Funkce ϕ je spojitá, tudíž obrzem intervlu je intervl (nebo bod). Funkce f je spojitá, tudíž integrovtelná, n J kždém jeho podintervlu. Tké poslední komponent, z nichž je poskládná funkce g(x) := f(ϕ(x)) ϕ (x), je spojitá; proto je funkce g spojitá, tedy integrovtelná n I. Podle Věty..3, má funkce f primitivní funkci, kterou oznčíme F. Funkce G(x) := F (ϕ(x)) je zřejmě primitivní funkcí k funkci g(x), podle Newtonovy Leibnizovy věty tedy pltí f(ϕ(x)) ϕ (x) dx = [F (ϕ(x))] b = [F (u)] ϕ(b) ϕ() = ϕ(b) ϕ() f(u) du. Jko obvykle předpokldy věty lze různými způsoby zeslbovt. Tk lze získt obecnější (všk obtížněji dokztelná) tvrzení. Pro nše účely uvedená verze stčí. S rovností (..3) budeme stejně jko s její předchůdkyní nkládt dvojím způsobem: Její užití ve smyslu zlev doprv je ilustrováno v Příkldu..7, plikce zprv dolev v Příkldu..8. Příkld..7. Vypočtěte π/2 sin x cos 2 x 4 + cos3 x dx. Řešení. Integrovná funkce je definovná spojitá všude kromě lichých násobků čísl π; n dném intervlu je tedy integrovtelná. V čitteli integrndu rozeznáváme (ž n nějkou tu konstntu) derivci funkce pod odmocninou ve jmenovteli, což nás přirozeně nvádí k substituci podle rovnosti (..3) ve smyslu zlev doprv (nová proměnná je funkcí té stávjící), totiž u = ϕ(x) := + cos 3 x. Tto funkce je spojitě diferencovtelná n celém R, tedy i n intervlu I =, π/2. Vyjádříme du = ϕ (x) dx = 3 cos 2 x sin x dx zjistíme, jk se trns-

13 3 formují meze: = ϕ() = 2 b = π/2 ϕ(b) =. Po doszení dostáváme π/2 sin x cos 2 x 4 + cos3 x dx = du 3 4, u 2 což je integrál, který přímo podle Newtonovy Leibnizovy věty spočítá kždý pozorný čtenář. Konečným výsledkem je číslo 4( 4 8 )/9. Povšimněte si, že v předchozím výpočtu máme < b součsně ϕ() > ϕ(b), tedy nová dolní mez je větší než nová horní; to je jen důsledkem toho, že funkce ϕ je n uvžovném intervlu klesjící, což není nic neobvyklého. Ve výpočtu jsme tké nijk nekomentovli spojitost, resp. integrovtelnost funkce f(u) = / 4 u n intervlu J =, 2 ; tto vlstnost je všk zřejmá je důsledkem dříve uvedených pozntků. Příkld..8. Vypočtěte 9 x x + dx. Řešení. Integrovná funkce je definovná spojitá pro nezáporná x, tudíž je n dném intervlu integrovtelná. Hledáme-li substituci, která by nás zbvil nepříjemné odmocniny, musí nás npdnout x = ϕ(t) := t 2. Tto volb odpovídá užití rovnosti (..3) ve smyslu zprv dolev (stávjící proměnná je funkcí té nové). 2 Funkce ϕ je spojitě diferencovtelná n celém R pltí dx = ϕ (t) dt = 2t dt. N rozdíl od předchozího příkldu všk musíme být obezřetní s trnsformcí mezí: Funkce ϕ(t) = t 2 totiž není prostá vzorem intervlu J =, 9 není intervl, le sjednocení dvou intervlů I + =, 3 I = 3,. Pokud uvžujeme t I +, potom se meze trnsformují tkto ϕ() = = ϕ(b) = 9 = 3; celkem potom dostáváme 9 3 x dx = 2 x + t(t ) t + což je integrál rcionální lomené funkce, který umí dopočítt kždý. Konečný výsledek je ln 6. Pokud bychom uvžovli t I, potom by se meze měnily tkto ϕ() = = ϕ(b) = 9 = 3. Při doszování do integrndu si nvíc uvědomujeme, že x = t 2 = t, neboli dostáváme 9 x dx = 2 x + 3 t( t ) t + 2 Pokud někoho plete znčení proměnných, nechť si přepíše x n u t n x. dt, dt.

14 4 Výsledek odtud smozřejmě musí vyjít stejně. Pokud je substituční funkce ϕ prostá, potom k přepočítání mezí stčí plikovt inverzní funkci ϕ ; z prostosti ( spojitosti) funkce ϕ plyne, že vzorem intervlu J = ϕ(), ϕ(b) je právě intervl I =, b. Pokud funkce ϕ prostá není, potom ze spojitosti funkce ϕ plyne jenom to, že vzorem intervlu J je sjednocení intervlů; pk je nutné se n některý z těchto intervlů zúžit podobně, jko jsme to udělli v předchozím výpočtu. Porovnejte tuto diskuzi s formulcí druhé části věty o substituci. Metod per prtes pro určité integrály Metod per prtes (pro neurčité integrály) je odvozen z věty o derivci součinu funkcí; její princip možnosti užití byly vysvětleny dříve. Npř. víme x cos x dx = x sin x sin x dx =.... Odtud podle Newtonovy Leibnizovy věty pltí x cos x dx = [ x sin x ] b sin x dx = [x sin x] b sin x dx =..., to pro libovolné, b R. Zobecněním tohoto příkldu dostáváme následující nlogii známého tvrzení: Vět..9. Uvžujme funkce u v, které jsou spojitě diferencovtelné n intervlu, b. Potom jsou funkce u v u v integrovtelné n, b pltí u(x) v (x) dx = [u(x) v(x)] b u (x) v(x) dx. (..4) Důkz. Funkce u v jsou diferencovtelné, zejmén jsou spojité stejně tk jsou spojité jejich derivce u v. Všechny tyto funkce jsou tudíž integrovtelné, proto je integrovtelná tky funkce u v + u v, viz vlstnosti (i) (iii) v Odstvci 6.. Funkce u v je primitivní funkcí k u v + u v, jsou splněny všechny předpokldy Věty..5 rovnost (..4) je jen uprvená Newtonov Leibnizov formule. Předpokldy věty lze jko obvykle zeslbit, npř. stčí předpokládt diferencovtelnost u v integrovtelnost jejich derivcí. Vzhledem k úvhám v odstvci málo lišících se funkcích je možné tyto předpokldy dále zeslbovt, niž by to mělo nějký zásdní vliv n zdůvodnění. Pro nše účely uvedená verze stčí.

15 5 Příkld..2. Vypočtěte π/2 sin k x dx pro libovolné k = 2, 3, 4,.... Řešení. Předně si uvědomme, že pro jkékoliv uvžovné k je funkce sin k x integrovtelná n libovolném intervlu. Pro konkrétní (mlá) k umíme hodnotu integrálu vypočítt, to dokonce několik způsoby. Formulce úlohy nás všk nvádí k nlezení nějkého obecného vzthu v závislosti n k. Neznámý integrál oznčíme I k přepíšeme do tvru I k = π/2 sin x sin k x dx. Pomocí metody per prtes, brzy nlezneme rekurentní vzth I k = k k I k 2. Odvoďte explicitní vzorec pro I k ověřte jej indukcí. Všimněme si, že rekurentní formule je druhého řádu. Potřebujeme tedy dvě počáteční podmínky. Ty jsou dány hodnotmi I I 2, které lze sndno spočítt. Celkem dostáváme π/2 sin k x dx = { (k )(k 3) 3 k(k 2) 4 2 π (k )(k 3) 4 2 k(k 2) pro k sudé, pro k liché. Přibližné vyjádření Tyto výpočetní možnosti zde nyní nebudeme podrobněji diskutovt. Jedná se zejmén o numerickou integrci, dále o využití nerovností vět o střední hodnotě tké o plikci mocninných řd. Nevlstní integrály V souvislosti s určitým Riemnnovým integrálem jsme se dosud zbývli pouze přípdy, kdy integrční obor je ohrničený (zejmén uzvřený) intervl, integrnd je funkce ohrničená n tomto intervlu. Viděli jsme, že je možno hovořit o integrálu funkce i přes intervl otevřený, či polouzvřený; důležitá všk byl jeho omezenost. V řdě situcí (ť už jde o plikce či čistě mtemtické úvhy) si všk s integrálem omezené funkce n omezeném intervlu nevystčíme. Proto nyní rozšíříme pojem určitého integrálu i n přípdy, kdy je lespoň jeden z těchto

16 6 předpokldů porušen. Integrály tohoto typu se nzývjí nevlstní. Nejprve se budeme zbývt integrály přes intervly typu, ) (, b. Dále budeme zkoumt integrály funkcí neomezených n omezeném intervlu (tj. mjících tzv. singulární bod). Též zmímíme zobecnění integrálu, které vznikne určitou kombincí těchto typů nkonec se budeme zbývt kritérii konvergence integrálu. Nevlstní integrál n neohrničeném intervlu Uvžujme funkci f definovnou n, ), R, tkovou, že f R(, b) pro kždé b (, ). Definujme funkci F (t) = t f(x) dx, t, zkoumejme její chování, roste-li t neomezeně. Rozlišíme dv přípdy limitního chování, které mohou nstt podle nich definujeme následující typy: Říkáme, že nevlstní integrál f(x) dx konverguje (nebo že existuje), existuje-li vlstní limit lim t F (t); kldeme f(x) dx = lim t F (t), diverguje, neexistuje-li vlstní limit lim t F (t), tj. je-li lim t F (t) nevlstní nebo neexistuje. Poznámk..2. (i) Někdy se hovoří o nevlstním integrálu vlivem mezí či nevlstním integrálu vlivem intervlu či nevlstním integrálu. druhu. (ii) Anlogicky definujeme pojem konvergujícího resp. divergujícího nevlstního integrálu f(x) dx, kde b R. Již víme, že určitý integrál lze interpretovt jko obsh jistého obrzce. V přípdě vhodného nevlstního integrálu, který konverguje, pk sndno dostneme příkld obrzce, který má neomezený obvod, všk konečný obsh. Příkld..22. Vyšetřete konvergenci nevlstního integrálu kde p R. dx x p, Řešení. Oznčme F (t) = t /xp dx. Je-li p, pk máme F (t) = [ x p+ ] t p + = p ( ) t p.

17 7 Odtud lim F (t) = t { /(p ) pro p >, pro p <. Jestliže p =, pk F (t) = ln t. Celkem tedy dostáváme: Nevlstní integrál /x p dx { konverguje ( má hodnotu /(p )), je-li p > diverguje, je-li p. Dobře si všimněte, jkým způsobem při výpočtech nevlstních integrálů postupujeme. Nelze npř. používt zápis i když to mnoho studentů dělá znmenjící jkési doszování nekonečn, tj. /x p dx = /( p + )[x p+ ] =.... Je důležité si uvědomit, že je potřeb rgumentovt pomocí limitního přechodu. Dále si všimněte, že n konvergenci či divergenci v tomto přípdě nemá vliv to, když dolní mez nhrdíme libovolným kldným číslem; zjímá nás chování v okolí nekonečn. Diskutovný integrál je velmi užitečný pro srovnávcí účely v některých kritériích konvergence, viz níže. Nevlstní integrál neomezené funkce Nyní budeme prcovt n omezeném intervlu, ovšem s funkcí, jež je n něm neomezená. Uvžujme funkci f definovnou n intervlu, b),, b R, < b, tkovou, že f R(, c) pro kždé c (, b). Jestliže f je neomezená n, b), pk říkáme, že bod b je singulárním bodem funkce f. Podobně jko v předchozím odstvci definujme funkci F (t) = t f(x) dx, t, b), zkoumejme její chování pro t blížící se zlev k bodu b. Opět rozlišíme dv přípdy limitního chování, které mohou nstt, podle nich definujeme následující typy: Říkáme, že nevlstní integrál f(x) dx konverguje (nebo že existuje), existuje-li vlstní limit lim t b F (t); kldeme f(x) dx = lim t b F (t), diverguje, neexistuje-li vlstní limit lim t F (t), tj. je-li lim t b F (t) nevlstní nebo neexistuje. Poznámk..23. (i) Někdy se hovoří o nevlstním integrálu vlivem funkce či nevlstním integrálu 2. druhu.

18 8 (ii) Anlogicky definujeme singulární bod funkce f definovné n intervlu (, b konvergenci nebo divergenci nevlstního integrálu f(x) dx, kde b R. (iii) Jistě je n první pohled viditelné, že ob typy nevlstního integrálu, vlivem intervlu vlivem funkce, jsou si velmi podobné; jkoby singulární bod hrál roli nekonečn. A skutečně lze jeden typ jednoduše převést n druhý nopk. Uvžujme npř. nevlstní integrál f(x) dx se singulárním bodem b. Nechť je ε mlé kldné číslo, které nám zřizuje loklizci v libovolně mlém levém okolí bodu b. Potom nám následující situce převede integrál 2. druhu n integrál. druhu ε x = b /t f(x) dx = dx = t 2 dt /(b ), b ε /ε = /ε /(b ) Detily si promyslete smi; zejmén zkoumejte přípd, kdy ε +. Příkld..24. Vyšetřete konvergenci nevlstního integrálu kde p R. dx x p, f ( b ) t t 2 dt. Řešení. Vzhledem k podobnosti s příkldem z předchozího odstvce přenecháme detily výpočtu čtenáři. Zmiňme pouze, že je zde singulárním bodem. Výsledek je tento: Nevlstní integrál /xp dx konverguje (přičemž má hodnotu /( p)), je-li p (, ) diverguje, je-li p. Pro p již není singulárním bodem, integrál není nevlstní počítá se běžným způsobem. Nevlstní integrál obecný přípd Při studiu nevlstního integrálu jsme doposud předpokládli, že integrční obor obshuje právě jeden šptný bod. Vždy to byl krjní bod buďto způsobovl neomezenost intervlu ( nebo ) nebo neomezenost funkce (singulární bod). Je zcel přirozené se nyní zjímt o situci, kde může být v integrčním oboru těchto šptných bodů víc (konečný počet). Hlvní myšlenk spočívá v tom, že mezi šptné body vložíme pomocné body rozdělíme pomocí nich singulárních bodů integrční obor tk, by vzniklé podintervly neobshovly uvnitř už žádný singulární bod, tj. všechny singulární body budou krjními body některých podintervlů, přitom kždý podintervl bude mít šptný právě jeden konec. Uvžujme nyní tedy, b R {± }, < b, nechť {,..., n } je konečná množin reálných čísel tková, že = < < < n < n = b.

19 9 Nechť f je funkce definovná n množině n k= ( k, k ), pro niž,..., n jsou její singulární body (body b mohou, le nemusí být jejími singulárními body, nebo může nstt = nebo b = ). Volme čísl c,..., c n tk, že < c < < c 2 < n < c n < n. (..5) O nevlstním integrálu f(x) dx řekneme, že konverguje, jestliže konvergují všechny nevlstní integrály c k k f(x) dx, k c k f(x) dx (k =,..., n) jeho hodnotu definujeme jko součet těchto integrálů. Všimněte si, že pomocné body c,..., c n měly splňovt pouze podmínku (..5), jink byly voleny zcel libovolně. Promyslete si, proč je tto libovolnost možná. Příkld..25. Vypočtěte dx x 2. Řešení. Singulárními body jsou zde body,. Proto lze z pomocné body volit npř. 2,, 2 vyšetřujeme tedy nevlstní integrály 2 dx x 2, 2 dx x 2, dx x 2, dx x 2, 2 dx x 2, 2 dx x 2. Primitivní funkci k funkci /(x 2 ) njdeme (rozkldem rozkldem v prciální zlomky) ve tvru 2 ln t t +. Nyní je již jednoduché zjistit, že některé z jednotlivých nevlstních integrálů konvergují některé nikoliv (vyšetřete všechny v přípdě těch konvergentních určete jejich hodnotu). Poněvdž lespoň jeden z těchto integrálů diverguje, tk diverguje i původní integrál. Příkld..26. Vypočtěte dx x 2. Řešení. N tomto důležitém příkldu si nejprve demonstrujme, km může vést neprávně zvolený přístup, kterého se studenti bohužel někdy dopouštějí. Ignorují totiž, že jde o nevlstní integrál použijí formálně Newtonovu-Leibnizovu formuli, jko by šlo o běžný určitý integrál. Jejich výpočet pk vypdá nějk tkto: [ dx x 2 = ] = 2. x To je smozřejmě úplně šptně! V tomto přípdě nelze použít Newtonovu-Leibnizovu formuli, neboť nejsou splněny potřebné předpokldy (proč?). Přinejmenším by nás všk mělo trknout, že integrál kldné funkce vyšel záporný. Pro správné vyřešení problému si stčí uvědomit, že integrční obor obshuje singulární bod. Rozdělením n dv podintervly získáme dv nevlstní integrály 2. druhu, které zřejmě divergují. Detily si promyslete smi. Poznámk..27. Právě uvedený příkld nás motivuje k poznámce, že uvžujemeli výrz f(x) dx,, b R, musíme zvžovt, zd je funkce f n intervlu, b omezená, či zd obshuje singulární bod(y).

20 2 Typickým příznkem je, že funkce není v některém bodě definovná. Nejčstěji jde o dělení nulou. To ovšem pořád neznmená, že musí jít o nevlstní integrál. Npř. v integrálu π je problemtickým bodem nul. Funkce (sin x)/x zde není definovná. Je všk n integrčním oboru omezená jde o běžný určitý integrál. Můžeme si nyní položit přirozenou otázku, co se stne, když při výpočtu běžného integrálu postupujeme, jko by šlo o nevlstní integrál. Ukzuje se, že (nštěstí) se nestne nic. To plyne z vlstností určitého integrálu jko funkce mezí. Někdy je dokonce výhodné tkto postupovt; spočtěte npř. integrál x ln x dx tk, že nejdřív budete běžně integrovt přes, v obdrženém výsledku pk provedete limitní přechod pro +. Vyhneme se tk trochu problemtickému nlezení primitivní funkce v bodě (i když i pro tyto přípdy existuje vhodné zobecnění Newtonovy-Leibnizovy formule). Rovněž si ověřte, že funkce x ln x je ohrničená n intervlu (, (stčí spočíst její limitu pro x + ); nejde tedy o nevlstní integrál. Kritéri konvergence nevlstních integrálů Chceme-li řešit otázku konvergence či divergence dného neurčitého integrálu, s nšimi dosvdními znlostmi jsme schopni pouze jediného postupu: vypočítt jistý pomocný integrál jko funkci dolní či horní meze poté provést ptřičný limitní přechod. Zejmén první část tohoto postupu všk může skýtt znčné úsklí, jk jsme viděli dříve; pro plikci Newtonovy-Leibnizovy formule totiž potřebujeme spočíst primitivní funkci, což může být velmi obtížné ž nemožné. Nštěstí všk pro zjištění konvergence či divergence nevlstního integrálu není vždy potřeb hledt jeho přesnou hodnotu. Existuje totiž řd kritérií, která nám umožní zjistit tuto informci dleko sndněji. My si zde uvedeme pouze t nejzákldnější kritéri, to pro přípd nezáporných integrndů. Srovnávcí kritérium Uvžujme funkci f, která je definovná nezáporná n, ) f R(, b) pro b >. Tj., zkoumejme nevlstní integrál typu f(x) dx Všechny osttní přípdy, tj. integrndů n intervlu (, b či n intervlu obshujícím singulární body by se vyšetřovly podobně; promyslete si je. Rovněž si promyslete, jk by vypdly přípdy, kde by předpokld nezápornosti funkce f byl nhrzen předpokldem její nekldnosti. Nejprve poznmenejme, že funkce F (t) = t f(x) dx je n intervlu, ) neklesjící, proto lim t F (t) buďto existuje jko konečné číslo, nebo je rovn. Uvžujme dlší funkci g definovnou n intervlu, ), splňující f(x) g(x) n, ). g R(, b) pro b >. Potom je jednoduché dokázt (promyslete si smi; prcujte zejmén s funkcemi F (t) G(t) = t g(x) dx), že pltí tto intuitivní tvrzení (tzv. srovnávcí kritérium): Jestliže konverguje g(x) dx, konverguje i f(x) dx.

21 2 Jestliže diverguje f(x) dx, diverguje i g(x) dx. K nevlstním integrálům vhodným pro srovnávcí účely ptří npř. x p dx, nebo e kx dx, kde p, k jsou reálné prmetry (, ). Lze lehce odvodit, pro které hodnoty prmetrů integrály konvergují resp. divergují; proveďte. Vhodné srovnávcí integrály pro jiné přípdy (tj. npř. integrční obor je (, b, nebo intervl obshuje singulární body) se obdrží podobným způsobem. Příkld..28. Vyšetřete konvergenci nevlstního integrálu e x2 dx. Řešení. Nejprve poznmenejme, že e x2 dx je vyšší trnscendentní funkcí, proto je bezprostřední výpočet v nši situci prkticky nemožný. Protože všk pltí e x e x2 n, ) e x dx konverguje, konverguje podle srovnávcího kritéri i původní nevlstní integrál. Limitní srovnávcí kritérium Opět se zjímejme o nevlstní integrál. druhu, tj. f(x) dx, přičemž osttní přípdy se vyšetří podobně (proveďte!). Předpokládáme, že f, g R(, b) jsou nezáporné n, ). Vzhledem k tomu, že pro kovergenci či divergenci f(x) dx je rozhodující chování funkce f v okolí nekonečn, nepřekvpí nás, že srovnání dvou integrndů postčí provést jistou limitní cestou. Předpokládejme, že existuje limit f(x) lim = M, ) { }. (..6) x g(x) Pltí tzv. limitní srovnávcí kritérium: Jestliže M < konverguje Jestliže M > diverguje g(x) dx, konverguje i f(x) dx. g(x) dx, diverguje i f(x) dx. Důležitou roli v jeho důkzu hrje předchozí srovnávcí kritérium, neboť npř. existence vlstní limity (..6) nám umožní nlézt rozumný vzth mezi f g. Dobře si rozmyslete, jké (vzájemné) symptotické chování vykzují funkce f g v závislosti n hodnotě M. Příkld..29. Vyšetřete konvergenci integrálu π/2 4 cos x 3 sin 2 2x dx. Řešení. Integrnd, který oznčíme f, je spojitý v intervlu (, π/2). Smi ověřte, že lim f(x) =, lim f(x) = ; x + x π/2 první rovnost je zřejmá, druhá využívá L Hospitlovo prvidlo. Dodefinujeme-li f(π/2) =, je funkce f spojitá v intervlu (, π/2, přičemž tto změn zřejmě

22 22 nemá vliv n konvergenci či divergenci původního integrálu. Jediným singulárním bodem integrálu je tedy. Položme g(x) = x 2/3. Pk pltí lim x + f(x)/g(x) = 4 2 2/3 > ; ověřte. Protože integrál π/2 x 2/3 dx konverguje, konverguje podle limitního srovnávcího kritéri tké původní integrál. Nutná podmínk konvergence Limitní srovnávcí kritérium může být užito k obdržení velmi jednoduché podmínky, která musí pltit pro rozumné integrndy konvergujících nevlstních integrálů. Předpokládejme, že Potom pltí f(x) dx konverguje existuje L = lim f(x) = L. x (tzv. nutná podmínk konvergence). Důkz je velmi jednoduchý. Nznčíme pouze hlvní myšlenku, detily promyslete smi. Předpokládáme-li totiž sporem, že L, bez újmy n obecnosti vezměme npř. L >, zvolíme-li v limitním srovnávcím kritériu g(x) =, pk dostneme divergenci f(x) dx, což je spor. Pozor: Tto vět netvrdí, že integrnd konvergentního integrálu musí mít limitu. Obecně nic tkového nepltí, jk ukzuje následující příkld. Příkld..3. Vypočtěte f(x) dx, kde f(x) = { x pro x N, pro x, ) \ N. Řešení. Oznčme F (t) = t f(x) dx. Poněvdž se funkce f v intervlu, t pro libovolné t > liší od identicky nulové funkce jen v konečném počtu bodů, tk pltí F (t) pro kždé t >. To plyne z odstvce o málo líšících se funkcích. Odtud dostáváme lim t F (t) =, tedy f(x) dx konverguje má hodnotu. Přitom lim x f(x) zřejmě neexistuje; dokonce je funkce f n integrčním oboru, ) neohrničená. Jordnov Penov mír Již několikrát jsme se v souvislosti s určitým integrálem zmínili o výpočtu obshu rovinných obrzců. Tomu se budeme věnovt zejmén v následujícím odstvci. Chceme-li všk k této látce přistupovt spoň trochu poctivě, je třeb přesněji vymezit intuitivně jsný pojem obsh rovinného obrzce. Tento pojem je nám zřejmý v přípdě jednoduchých obrzců, jko je npř. obdélník či trojúhelník (i když skutečně precizní vysvětlení, proč je obsh obdélník o délkách strn m n právě m n, není úplně triviální. V přípdě složitějších množin jsou buďto známy vzorce pro obsh, 3 nebo je potřeb nějk jejich obsh spočíst (z předpokldu, 3 Zde je všk potřeb říct, ž řd studentů neví, odkud se vlstně tkové vzorce vzly. A to včetně i těch nejznámějších formulek, jko je npř. obsh kruhu. Prostě těmto vzorcům jen uvěří.

23 23 že je to vůbec možné v nějkém rozumném smyslu). Dokonce mohou existovt množiny, jko npř. {(x, y) R 2 : x, y, x, y Q}, (..7) u kterých bychom velmi váhli, jestli je lze vůbec rozumně změřit. Míru lze chápt jko zobecnění či spíše zpřesnění pojmů délk, obsh, či objem; my se nyní zbýváme především obshem. Měřitelná množin (v R 2 ), je dosttečně rozumná množin, u které lze určit její obsh. Obecně se touto problemtikou zbývá tzv. teorie míry, která jde nd rámec nšeho kurzu. Hned n zčátku musíme čtenáře zklmt, že níže sestrojená Jordnov Penov mír vlstně není mírou, tj. nemá všechny vlstnosti, které od míry v moderní mtemtice poždují. Jde všk o poměrně jednoduchý objekt, který pro nše účely nprosto postčí. Asi tk jko nám postčuje Riemnnův integrál. Většinou se Jordnov Penov mír konstruuje podobným způsobem, jko popíšeme nyní. Všimněte si podobnosti s přístupem, který používl vlstně už Archimedes. Totiž proximci rovinného útvru pomocí jednodušších útvrú. Nejdříve uvžujme množinu v rovině (nzývejme ji třeb elementární množinou), kterou definujeme jko konečné sjednocení obdélníků mjících nvzájem disjunktní vnitřky. 4 Nechť E znčí množinu všech elementárních množin v rovině. Dále nechť m(m) pro M E znmená míru neboli obsh množiny M; s obshem elementárních množin jistě nemáme problém. 5 Uvžujme množinu A v rovině, která je omezená (tj. celá se nchází v dosttečně velkém kruhu či obdélníku). Potom množin {m(m) : M E, M A} je neprázdná shor omezená; promyslete si tuto skutečnost. Podobně je množin {m(m) : M E, M A} neprázdná zdol omezená. Můžeme tedy bez obv definovt tzv. vnější Jordnovu míru, m (A) = inf{m(m) : M E, M A}, m (A) = sup{m(m) : M E, M A}, tzv. vnitřní Jordnovu míru. Zřejmě pltí m (A) m (A). Jestliže nstne rovnost, pk máme hlednou míru: Definice..3. Jestliže m (A) = m (A), pk říkáme, že množin A je měřitelná (v Jordnově či Jordnově Penově smyslu) definujeme její (Jordnovu) míru (obsh) vzthem m(a) = M (A) = m (A). 4 Někdy se elementární množin definuje jko sjednocení množin tvru I J, kde I, J jsou intervly. Nezáleží n tom, zd se tyto množiny překrývjí. Nezáleží n typu intervlů I, J. Máme zde jen drobné technické rozdíly, které lze sndno překlenout. Ve skutečnosti lze ukázt, že kždá tkto definovná množin se dá vyjádřit jko sjednocení disjunktních množin tvru I J, kde I, J jsou intervly. 5 Chceme-li být formálně přesní, měli bychom ještě ukázt, že mír elementární množiny je nezávislá n rozdělení do obdélníků. To všk skutečně pltí.

24 24 Pochopitelně bychom místo obdélníků mohli uvžovt stejně dobře npř. trojúhelníky, nebo bychom mohli utvořit v rovině přímo čtvercovou síť sledovt situci při neomezeném zjemňování této sítě. Pokuste se o tkovou konstrukci, kde rovinu pokryjeme nejdříve čtvercovou sítí, v níž je délk strn jednotlivých čtverců rovn, v dlším kroku je rovn /2, pk /4 td. 6 Vnitřní vnější míru pk dostáváme jko limity jistých omezených monotonních posloupností. Poznmenejme, že Jordn používl čtvercovou síť Peno mnohoúhelníky. Právě sestrojená mír má zákldní vlstnosti obshu ve smyslu elementární geometrie. Nemění se posunutím, otočením nebo provedením osové souměrnosti. Jsou-li A, B měřitelné množiny, jsou A B, A B, A \ B tky měřitelné. Dále pltí (z předpokldu, že A, B jsou měřitelné množiny): m(a) (tj. obsh je vždy nezáporný), A B m(a B) = m(a) + m(b) (tj. obsh je ditivní ), A B m(a) m(b) (tj. obsh je monotónní ), A je obdélník o délkách strn m, n m(a) = m n (tj. obsh obdélníku se počítá tk, jk jsme zvyklí). Téměř bezprostředně z definice plyne: Jestliže pro kždé ε > existují M, M 2 E tkové, že M A M 2 že m(m 2 ) m(m ) < ε, pk A je měřitelná. Dále si uvědomme, že množiny, které uvžujeme při definici horního dolního součtu jsou elementární. Užitím těchto dvou fktů dostáváme následující tvrzení: Nechť f R(, b) je nezáporná funkce definovná n, b. Potom Pltí 6 Uvžujme omezenou množinu M R 2. Sestrojme v rovině tzv. síť řádu n, n N {} pomocí přímek rovnoběžných s osmi x, y, které procházejí body [k2 n, ] resp. [, k2 n ], k Z. Síť řádu n nám rozdělí rovinu n tzv. čtverce řádu n, z nichž kždý má zřejmě míru (tj. obsh) rovnu 4 n. Tzv. elementární množinu řádu n definujeme jko sjednocení konečného počtu čtverců téhož řádu n s disjunktními vnitřky. Tzv. jádro řádu n množiny M (ozn. J n(m)) definujeme jko elementární množinu vytvořenou všemi čtverci řádu n obsženými ve vnitřku M. Tzv. obl řádu n množiny M (ozn. O n(m)) definujeme jko elementární množinu vytvořenou všemi čtverci řádu n, jejichž průnik s uzávěrem M je neprázdný. J n(m) M M M O n(m) m(j n(m)) m(j n+ (M)), m(o n(m)) m(o n+ (M)), n N {}, kde m znčí míru (obsh) dné elementární množiny. (S výpočtem obshů elementárních množin jistě není problém.) Všimněte si, že jsme tkto obdrželi jisté posloupnosti, které jsou omezené monotonní. Tedy máme zručenu existenci limit lze bez obv definovt m (M) = lim m(jn(m)), n m (M) = lim m(on(m)); n m (M) se nzývá vnitřní Jordnov mír množiny M m (M) se nzývá vnější Jordnov mír množiny M. Vždy pltí m (M) m (M).

25 25 G f (, b) je měřitelná množin pltí m(g f (, b)) = f(x) dx, kde G f (, b) je tzv. subgrf funkce f definovný jko G f (, b) = {[x, y] R 2 : x, b, y f(x)}. Pltí ovšem tké opčná implikce. Celkem tedy dostáváme: Vět..32. Nechť f je omezená, nezáporná funkce definovná n, b. Potom f R(, b) G f (, b) je měřitelná. V přípdě měřitelnosti (či integrovtelnosti) potom pltí m(g f (, b)) = f(x) dx. (..8) Vlstnosti uvedené z Definicí..3 jsou jistě ty rozumné vlstnosti, které by měl obsh mít. Někdy se n zákldě tkových rozumných vlstností (xiomů) obsh zvádí. Můžeme postupovt třeb tkto. Chceme njít dosttečně širokou třídu nezáporných funkcí, pro něž dovedeme určit obsh (míru) jejich subgrfu. Přesněji, uvžujeme nějkou třídu M nezáporných funkcí, z nichž kždá je definován n nějkém uzvřeném intervlu. Dále nechť G(M) znčí množinu všech subgrfů všech funkcí z M. Pro zobrzení definujme tyto vlstnosti: m : G(M) R (m ) Jestliže f M,, b Dom(f) c (, b), potom m(g f (, b)) = m(g f (, c)) + m(g g (c, b)). (m 2 ) Jestliže f, g M,, b Dom(f), c, d Dom(g) G g (c, d) G f (, b), potom m(g g (c, d)) m(g f (, b)). (m 3 ) Jestliže f(x) = c, ) pro x, b, potom f M m(g f (, b)) = c(b ). Nzývejme číslo m(g f (, b)) obshem (měrou) množiny G f (, b). Existuje-li tříd funkcí M zobrzení m : G(M) R splňující (m 2 ) (m 3 ), pk je m(g f (, b)) pro kždou f M. Dokžte si tento fkt. Následující vět říká, že náš výše formulovný problém je jednoznčně řešitelný, vezmeme-li M = M R, kde M R je množin všech nezáporných funkcí, z nichž kždá je definovná Riemnnovsky integrovtelná n nějkém uzvřeném intervlu.

26 26 Vět..33. Existuje jediné zobrzení m : G(M R ) R, které splňuje xiomy (m ), (m 2 ), (m 3 ). Toto zobrzení je dáno vzthem m(g f (, b)) = f(x) dx. Důkz. Pro f M R položme m(g f (, b)) = f(x) dx. Pk m je zobrzení G(M R ) do R, které splňuje (m ), (m 2 ), (m 3 ); ověřte tuto skutečnost s využitím dříve odvozených vlstností Riemnnov integrálu. Při důkzu jednoznčnosti postupujeme tkto: Vezmeme libovolné zobrzení m : G(M R ) R splňující (m ), (m 2 ), (m 3 ) libovolnou funkci f M R definovnou n, b. Potom S(D, inf) m(g f (, b)) S(D, sup) pro libovolné dělení D intervlu, b, kde S(D, inf) resp. S(D, sup) je dolní resp. horní integrální součet. Řádně si odvoďte tento fkt, využívá se vlstností (m ), (m 2 ), (m 3 ). Odtud pk již plyne m(g f (, b)) = f(x) dx, neboť f (, b). V této souvislosti si nemůžeme odpustit ještě jedno poměrně zřejmé tvrzení, které je vlstně přepisem známého fktu v jiné{ řeči: Jestliže f je spojitá nezáporná funkce n, b, pk funkce F (x) = pro x = m(g f (, x)) pro x (, b je primitivní funkcí k f n, b. V Definici..3 jsme zvedli dvoudimenzionální (Jordnovu Penovu) míru. Anlogicky ji lze definovt obecně v R n, n N. Pro ilustrci nznčme jednu poněkud úspornější konstrukci. Prostor R n lze vidět jko sjednocení n rozměrných intervlů tvru,j,,j 2,j2, 2,j2 n,jn, n,jn, kde množin čísel i,j (i =, 2,..., n; j =, ±, ±2,... ), s vlstnostmi i,j < i,j, lim j ± i,j = ±, je dělení R n. Tzv. chrkteristickou { funkci χ M : R n R množiny M R n pro [x, y] M definujeme předpisem χ M (x, y) = pro [x, y] M. Nechť A R n je omezená množin. Potom vnitřní měrou množiny A máme n mysli číslo m (A) = sup min χ A(x)m(J), x J kde m(j) je objem n rozměrného intervlu J ve smyslu elementární geometrie (tj. součin délek jeho hrn), sčítá se přes všechny intervly dělení supremum se bere přes všechn dělení prostoru R n. Podobně definujeme vnější míru množiny A jko m (A) = inf mx x J χ A(x)m(J). Pltí-li rovnost m (A) = m (A) =: m(a), (..9)

27 27 pk m(a) je Jordnov Penov mír množiny A. Jko speciální přípd pro n = 2 dostneme míru (obsh) z Definice..3. Pro n = 3 jsme tkto dli přesný formální smysl intuitivně jsnému pojmu objem. Pozor: je třeb uvžovt dimenzi prostoru, v němž prcujeme; npř. úsečk má v R míru rovnu své délce, le v R 2 má míru nulovou (lze ji chápt jko obdélník s jednou strnou nulovou). Ve Větě..32 jsme propojili Rimnnův integrál s dvoudimenzionální (Jordnovou Penovou) mírou. Nyní poukážeme n souvislost Riemnnov integrálu s mírou n přímce. Vět..34. Množin A, b je měřitelná, právě když χ A R(, b). V přípdě měřitelnosti (či integrovtelnosti) potom pltí m(a) = χ A(x) dx. Důkz. Dokážeme nejdříve implikci zlev doprv. Nechť tedy A je měřitelná. Vezměme libovolné ε >. Pk lze njít elementární množiny M, N R (tedy jsou tvořeny konečným sjednocením intervlů) tkové, že M A N m(n \ M) ε. Zřejmě χ M χ A χ N χ M, χ N R(, b). Uvžujme dělení D sestvené z koncových bodů množin M, N. Poněvdž M, N jsou elementární, pro horní dolní součty jejich chrkteristických funkcí pltí S(D, sup; χ M ) = S(D, inf, χ M ) = m(m) S(D, sup; χ N ) = S(D, inf; χ N ) = m(n). Máme S(D, sup; χ A ) S(D, sup; χ N ) S(D, inf; χ A ) S(D, inf; χ M ). Dostáváme tk S(D, sup, χ A ) S(D, inf, χ A ) ε, odkud již sndno plyne tvrzení. Nopk předpokládejme, že χ A R(, b). Pro libovolné ε > umíme njít dělení tkové, že n ( ) mx χ A (x) min χ A (x) (x i x i ) < ε. x i x x i x i x x i i= Vezměme elementární množiny M, N v R tkové, že M A N N = i x i, x i, přičemž mx χ A = n x i, x i M = i (x i, x i ), přičemž min χ A = n x i, x i. Potom máme m(n) m(m) < ε. Vzhledem k Větě..34 nás nepřekvpí, že Jordnov Penov mír množiny n R se někdy zvádí pomocí Riemnnov integrálu. Přesněji formulováno: nechť χ A R(, b) pro A, b. Pk míru množiny A definujeme jko m(a) = χ A(x) dx. Uvedená konstrukce je univerzální, tj. lze ji použít n množiny v R 2, R 3 obecně v R n pro libovolné n N. Předpokldem pro možnost její plikce je ovšem vybudování teorie n-rozměrného integrálu. Protože se náš text vícerozměrnými integrály nezbývá, zmiňme pouze, že konstrukce je velmi obdobná jednorozměrnému přípdu. Při posuzování (ne)měřitelnosti množiny můžeme jistě postupovt dle definice, všk většinou to není zrovn optimální postup. Ještě než si vyslovíme