VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECNICKÁ UNIVEZITA OSTAVA FAKULTA STOJNÍ PUŽNOST A PEVNOST V PŘÍKLADEC Kvadratický moment I doc. Ing. Karel Frydrýšek, Ph.D., ING-PAED IGIP Ing. Milan Sivera Ing. ichard Klučka Ing. Josef Sedlák Ing. Luboš Pečenka Ing. Michal Šofer Ostrava 13 Ing. Lukáš OTTE, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN 978-8-48-3-9 Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ.1.7/../15.463, MODENIZACE VÝUKOVÝC MATEIÁLŮ A DIDAKTICKÝC METOD
OBSA KVADATICKÝ MOMENT I... 3.1 Příklad... 4. Příklad 3... 5.3 Příklad 4... 7 MODENIZACE VÝUKOVÝC MATEIÁLŮ A DIDAKTICKÝC METOD CZ.1.7/../15.463
3 KVADATICKÝ MOMENT I OBSA KAPITOLY: Kvadratický moment průřezu a těžiště plochy. Steinerova věta. CÍL: Kvadratický moment průřezu k posunutým osám, kvadratický moment průřezu k pootočeným osám, deviační moment průřezu, hlavní centrální kvadratický moment průřezu. MODENIZACE VÝUKOVÝC MATEIÁLŮ A DIDAKTICKÝC METOD CZ.1.7/../15.463
4.1 PŘÍKLAD Odvoďte obecně vztahy pro kvadratické momenty kruhového průřezu. Obr..1 ozměry průřezu Jedná se o kruhový průřez o poloměru. Souřadný systém si opět zvolíme do těžiště průřezu, tudíž do středu kruhu. Kvadratický moment průřezu určíme z elementu (Obr..), který vyjmeme ve vzdálenosti r od středu o tloušťce dr a v úhlové vzdálenosti φ a úhlovém výseku dφ. Kvadratické momenty průřezu J y a J z lze spočítat pomocí transformace do polárních souřadnic. Transformační rovnice mají následující tvar Obr.. Vyjmutí elementu Kde J je jakobián transformace y = r cos φ, z = r sin φ, J = r. J yt = (r sinφ) rdrdφ = (.1) (.) MODENIZACE VÝUKOVÝC MATEIÁLŮ A DIDAKTICKÝC METOD CZ.1.7/../15.463
5 = (sinφ) dφ r 3 dy = 1 φ 1 4 sin (φ) J zt = (r cosφ) rdrdφ = = (cosφ) dφ r 3 dy = 1 φ + 1 4 sin(φ) r4 4 = 4 4 = D4, 64 r4 4 = 4 4 = D4 64. (.3) Pro integraci výrazu (sinφ) a (cosφ) jsou využity následující vztahy a integrace pomocí substituce (sinφ) = 1 1 cos(φ), (cosφ) = 1 + 1 cos(φ). (.4) Polární kvadratický moment setrvačnosti je pak prostým součtem kvadratických momentů průřezu J y a J z J p = J yt + J zt = D4 64 + D4 64 = D4 3. (.5). PŘÍKLAD 3 Odvoďte obecně vztahy pro kvadratické momenty čtvrtkruhového průřezu. Obr..3 ozměry průřezu MODENIZACE VÝUKOVÝC MATEIÁLŮ A DIDAKTICKÝC METOD CZ.1.7/../15.463
6 Obr..4 Vyjmutí elementu Podobně jako v předchozím příkladě se jedná o kruhový průřez, nyní ale pouze v rozmezí 9, jde tedy o čtvrtkruh o poloměru. Souřadný systém zde není zaveden to těžiště, ale je orientován podél spodní a levé hrany průřezu. K odvození vztahů pro kvadratický moment průřezu plochy použijeme opět element o rozměrech dφ a dr vyjmutý ve vzdálenosti r od středu a φ od osy y (Obr..4). K odvození využijeme opět transformaci do polárních souřadnic rovnice (.1) a vztahy pro výpočet kvadratických momentů průřezu (rovnice (1.4)) J yt = (r sinφ) rdrdφ = = (sinφ) dφ r 3 dy = 1 φ 1 4 sin (φ) = 4 16 = D4 56. r 4 4 J zt = (r cosφ) rdrdφ = = (cosφ) dφ r 3 dy = 1 φ + 1 4 sin(φ) = 4 16 = D4 56. r 4 4 1 4 = 4 = 1 4 = 4 = (.6) (.7) MODENIZACE VÝUKOVÝC MATEIÁLŮ A DIDAKTICKÝC METOD CZ.1.7/../15.463
7.3 PŘÍKLAD 4 Odvoďte obecně vztahy pro kvadratické momenty trojúhelníkového průřezu. Obr..5 ozměry průřezu V tomto příkladě je nutné nejprve upozonit na jinou orientaci zvoleného souřadného systému. Kladná osa z směřuje podél levé hrany dolů, osa y pak doprava od vrcholu trojúhelníku. Z trojúhelníku opět vyjmeme element ve vzdálenosti z od osy y výšky dz a ve vzdálenosti y od osy z šířky dy (viz Obr..5). Elementární plocha pak je da = dy dz. orní integrační mez pro souřadnici y je nutné určit z podobnosti trojúhelníků, a to y z = B B z y =. (.8) MODENIZACE VÝUKOVÝC MATEIÁLŮ A DIDAKTICKÝC METOD CZ.1.7/../15.463 Obr..6 Vyjmutí elementu Pro výpočet kvadratických momentů setrvačnosti použijeme opět vztahy (1.4.), v tomto případě se jedná o průřez, který nemá osu symetrie, tudíž musíme vypočítat i deviační moment setrvačnosti J yt = J zt = z dydz = z [y] dz = B z4 4 B 3 = 4, (.9) y dydz = y3 3 B 3 dz = 3 3 z4 4 B 3 = 1, (.1)
8 J ytzt = yzdydz = z y dz = B. z4 4 B = 8. (.11) MODENIZACE VÝUKOVÝC MATEIÁLŮ A DIDAKTICKÝC METOD CZ.1.7/../15.463