DISKRÉTNÍ MATEMATIKA II

Faulta pedagogcá Techcá uverzta v Lberc DISKRÉTNÍ MATEMATIKA II Doc. RNDr. Mroslav Koucý CSc. Lberec 4

Úvod Dsrétí ateata resp. její zálady patří jž tradčě ez stadardí téata předášeá a Techcé uverztě v Lberc zejéa a Faultě echatroy (jedoseestrálí předáša Zálady dsrétí ateaty společá pro celý. ročí a Dsrétí ateata pro.ročí) a a Faultě pedagogcé (dvouseestrálí předáša Dsrétí ateata pro. ročí obor forata). Přes zřejou poptávu ze stra studetů ebyl a aší uverztě doposud vydá žádý učebí text terý by daou oblast odpovídající způsobe poryl. Tato srpta jsou sahou autora teto zřejý edostate apravt. Z hledsa obsahu jde o druhý díl srpt Dsrétí ateata I (Koucý Zela TUL ) a obsahuje předevší záladí parte teore děltelost obatory včetě vytvořujících fucí a reuretích vztahů. Studu srpt předpoládá pouze záladí zalost středošolsé ateaty a schopost eleetárí logcé úvahy. V oezeé íře se používají ěteré pojy (předevší relace zobrazeí fuce) zavedeé ve srptu Dsrétí ateata I. Vhodý doplňe obou srpt je Sbíra úloh z dsrétí ateaty terá vychází současě a terá obsahuje řešeé eřešeé přílady uožňující důladé procvčeí jedotlvých téat. Přes uslovou sahu autora lze očeávat že jao aždá srpta tato obsahují celou řadu epřesostí resp. chyb. Autor bude vděčý za aždou přpoíu vedoucí e zlepšeí věcé forálí stráy ásledujícího textu. Autor Dsrétí ateata II straa

Obsah Kap. Teore děltelost. Defce a záladí pojy z teore děltelost. Společý děltel společý ásobe 9. Prvočísla a prvočíselé rozlady.4 Záladí artetcé fuce 8.5 Řetězové zloy 5.6 Kogruece 4.7 Řešeí ogruecí. stupě a jejch soustav 5 Kap. Kobatora 6. Záladí pravdla obatory 6. Varace perutace obace 69. Záladí obatorcé detty a úlohy 84.4 Reuretí vztahy a vytvořující fuce 97.5 Záladí obatorcé posloupost Přílohy Použté začeí 6 Tabula prvočísel 8 Tabula hodot Eulerovy fuce Tabula hodot Möbovy fuce Tabula hodot subfatorálů 4 Tabula hodot Fboaccho čísel 4 Lteratura a relevatí zdroje a teretu 5 Dsrétí ateata II straa

Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Mateata je rálovou všech věd a teore čísel je rálova ateaty. Záladí číselý obore se terý budee v této aptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěterých jasě defovaých případech se oezíe a jejch podobory ejčastěj N resp. N. Víe jž že celá čísla tvoří algebracou struturu (ozačovaou jao euledovsý obor tegrty) terá je uzavřeá vzhlede operac sčítáí odčítáí a ásobeí tj. součet rozdíl souč lbovolých dvou celých čísel je opět celé číslo. Vzhlede operac děleí vša celá čísla tuto vlastost obecě eají. Obsahe této aptoly budou právě vlastost celých čísel vzhlede operac děleí a hlaví výsledy teré se dotýající probleaty děltelost prvočísel a ogruecí ají zásadí výza apř. v oblast výpočetí techy oderí teore ódováí stochastcého odelováí apod.. Defce a záladí pojy z teore děltelost Defce.. - děltelost Řeee že eulové celé číslo b dělí a píšee V opačé případě píšee b a jestlže exstuje celé číslo q taové že a b q. (.) b / a a říáe že b edělí a. Poud b dělí a říáe taé že a je děltelé b. Číslo q azýváe podíle číslo a ásobe čísla b a číslo b děltele čísla a. Děltele b azvee vlastí děltele čísla a jestlže b a b. Věta.. Relace děltelost á ásledující vlastost: a) a Z platí a b) a Z {} platí a Dsrétí ateata II straa

c) a Z {} platí a a d) a b Z platí ( a b b a) ( a b a b) e) a b c Z platí ( a b b c) a c f) a b c Z platí a b a b c g) a b c d Z platí ( a b c d a d c) d b. Důaz. ad a b c) Sadé cvčeí pro čteáře. ad d) Vzhlede a b b a platí b a q a b q de q q Z tedy a a q q. Jelož a b dostáváe rovc q q terá á v oboru celých čísel dvě řešeí q q q q. Odtud a b a b. ad e) Zřejě platí b a q c b q de q q Z. Odtud c a q q tj. a c. ad f) Zřejě platí b a q q Z tj. a b c. tedy b c a ( q c) ad g) Zřejě a d q c d q b c a de q q Z evvaletí doazovaéu tvrzeí d b. tedy b d ( q q ) což je Pozáa.. Přpoeňe že vlastost a) se azývá reflexvta a c) traztvta relace děltelost. Poud bycho ve větě.. ahradl číselý obor Z obore přrozeých čísel N dostal bycho ísto b) ásledující vlastost: b * ) a b N platí ( a b b a) a b terá se ozačuje jao atsyetre. Je tedy zřejé že v oboru přrozeých čísel je relace děltelost (částečý) uspořádáí terá vša eí leárí (lbovolá dvojce přrozeých čísel a b eusí být v relac tj. eusí platt a b a b a). Vlastost g) předcházející věty lze zobect ásledující způsobe: g * ) Je-l záo že číslo d dělí všechy čley rovost a b j j roě jedého utě dělí zbývající čle. Jao zřejý důslede vlastost g * ) dostáváe: Jestlže a b poto a ( b x ) b x pro lbovolá x Z. Dsrétí ateata II straa 4

Přílad.. Nalezěte všecha celočíselá řešeí rovce x 84 x 5 x. Řešeí. Předpoládeje že exstují celá čísla x x x terá jsou řešeí uvedeé rovce. Vzhlede tou že 7 7 84 a 7 (-5) utě usí platt (dle výše uvedeé pozáy) 7. Spor tedy rovce eá v oboru celých čísel řešeí. Přílad.. Nechť y Řešeí. x jsou lbovolá celá čísla taová že ( 5 x y ) poto ( 8 y ) 7 Sado ahlédee že exstuje alespoň jeda dvojce y apř. y x. Dále zřejě platí ( ) ( x y ) x. x s vlastostí ( 5 y ) x 7 a vzhlede předpoladu 6 ( 5 x 7 y ). Z pozáy.. dostáváe [( ) ( x y ) 6 ( 5 x 7 y )] po sadé úpravě ( 8 x y ). a Pro další úvahy o děltelost á zásadí výza ásledující tvrzeí ozačovaé jao věta o děleí se zbyte. Věta.. Děleí se zbyte Pro aždé a Z b N exstují jedá q r Z taová že platí a b q r de r < b. (.) Důaz. Defuje q jao ejvětší celé číslo pro teré platí b q a a číslo r vztahe r a b q. Sado ahlédee že obě čísla vždy exstují vyhovují (.) a tedy zbývá doázat jejch jedozačost. Ozače proto q r q r lbovolá celá čísla pro terá a b q r r < b a a b q r r < b. Bez újy a obecost lze předpoládat že r r ( q ) b b q a a tedy q q.. Dále zřejě platí b ( q q ) ( r r ) b usí ( r r ). Jelož b což vzhlede vlastost r r < b vede r r Dsrétí ateata II straa 5

Pozaeeje že pro čísla a b q r z věty.. se běžě používá ásledující terologe: a děleec b děltel q eúplý podíl r zbyte. Přílad.. Zřejě platí: a 8 b 8 5 tj. q 5 r a -8 b -8 (-6) tj. q -6 r a 9 b 54 9 54 9 tj. q r 9 a -9 b 54-9 54 (-) 5 tj. q r 5 a 8 b 6 8 6 tj. q r a b 9 9 tj. q r. Ja douetuje ásledující přílad achází věta o děleí se zbyte využtí př převodech z desítové soustavy do ostatích číselých soustav. Přpoeňe že v soustavě o záladu b (b přrozeé větší ež jeda) vyjadřujee přrozeá čísla ve tvaru r r b r b r b (.) de r { b } N a používáe zráceý záps ( r r r ) b. V případě dvojové (bárí) soustavy de b azýváe jedotlvé cfry r bty ( r ejéě výzaý bt r ejvýzaější bt) a řetězec os btů byte. Přílad..4 Převeďte číslo 686 do číselé soustavy o záladu a) b) 8 c) 6. Řešeí. Hledaé cfry r r zísáe jao zbyty př opaovaé děleí daého čísla a ásledě r zísaých podílů zálade b. V jedotlvých případech ta dostáváe: ad a) Zálad b tj. { } r. Postupý děleí čísle ta dostáváe: 686 4 ( r ) 4 75 ( r ) 75 857 ( ) 857 48 ( r ) 48 4 ( r 4 ) 4 7 ( r 5 ) r Dsrétí ateata II straa 6

7 5 ( r 6 ) 5 6 ( r 7 ) 6 ( 8 ) 6 ( r 9 ) 6 ( r ) ( r ) ( r ) tedy 686 ( ). r ad b) Zálad b 8 tj. { 7} r. Postupý děleí čísle 8 ta dostáváe: 686 8 857 6 ( r ) 857 8 7 ( r ) 7 8 ( r ) 8 5 ( r ) 8 ( r 4 ) tedy ( 56) 8 686. ad c) Zálad b 6 tj. r { 9 A B C D E F}. Postupý děleí čísle 6 ta dostáváe: 686 6 48 4 ( r ) 48 6 6 ( r ) 6 6 ( ) 6 ( r ) tedy 686 ( ACE) 6. r Pozáa.. dvojová soustava K vyjádřeí čísel v oblast výpočetí techy se používají růzé číselé foráty jejchž velost bývá ásobe bytů tj. os btů. Napřílad poocí os btů lze ve dvojové soustavě vyjádřt přrozeá čísla 55 poocí 6 btů čísla 65 55 a btů 4 94 967 95. Sado zjstíe že poocí btů lze ve dvojové soustavě vyjádřt přrozeých čísel přčež u čísel je ejvýzaější bt astave a a u zbývajících čísel tj. je ejvýzaější bt astave a. Této sutečost se pa vhodý způsobe využívá vyjádřeí záporých čísel ve tvaru dvojových doplňů čísel a tedy u záporých čísel je ejvýzaější bt astave a. V toto případě jsou poocí btů vyjadřováa celá čísla z ožy { }. Napřílad využtí čtyř btů lze zapsat čísla 8 7. Jejch vyjádřeí je uvedeo v ásledující tabulce: Dsrétí ateata II straa 7

Nezáporé číslo Vyjádřeí ve dvojové soustavě Vyjádřeí ve tvaru dvojového doplňu Záporé číslo 7-8 6-7 5-6 4-5 -4 - - - Forát záporého celého čísla de lze popsat ásledově: ) Vypočt přrozeé číslo. ) Přrozeé číslo vyjádř poocí btů ve dvojové soustavě tj. ( b b b ). (Jelož je ejvýzaější bt zřejě astave a ulu tj. b ). ) Hledaé vyjádřeí záporého celého čísla pa dostáváe astaveí ejvýzaějšího btu a jedču tj. ( b b b ). V oblast výpočetí techy (sítě IADM delta gaa oega apod.) achází šroé uplatěí předevší popsu strutury ožy všech cest ez vybraý uzly tzv. zaéová bárí soustava. Tato číselá soustava používá zálad a cfry { } r a lze sado ahlédout že je pro tuto soustavu charaterstcé obecě ejedozačé vyjádřeí eulových čísel. Napřílad číslo 7 lze vyjádřt poocí čtyř btů ve tvaru ( ) ( ) 7 7 de ozačuje cfru a sybol zaéovou tj. ( ) ( ) ( ) bárí soustavu. Dsrétí ateata II straa 8

. Společý děltel společý ásobe Defce.. společý děltel společý ásobe Neulové přrozeé číslo d azvee společý děltele celých čísel a b jestlže d a d b tj. d dělí obě čísla. Neulové přrozeé číslo D azvee společý ásobe eulových celých čísel a b jestlže a D b D tj. D je děltelé oběa čísly. Zdůrazěe sutečost že v souladu s výše uvedeou defcí.. vyšetřujee pouze ladé společé děltele a ladé společé ásoby. Přílad.. Jedí společí děltelé čísel a 4 b 6 jsou 4 6 a čísla jsou všechy jejch společé ásoby. 6 de N Pro lbovolá a b Z {} ozače D a b ožu všech společých děltelů čísel a b. Sado zjstíe že ( a b ) D a b je shora oezeá eboť žádý z děltelů eůže být větší ež a tedy oža D a b á vzhlede přrozeéu uspořádáí jedozačě určeý axálí prve. Stejě sado zjstíe že oža N a b všech společých ásobů eulových čísel ež ( a b ) a b je zdola oezeá eboť žádý společý ásobe eůže být eší ax a tedy oža N a b á vzhlede přrozeéu uspořádáí jedozačě určeý álí prve. Tyto sutečost ás opravňují zavedeí ásledujících pojů. Defce.. ejvětší společý děltel eješí společý ásobe esoudělost Největší společý děltele celých čísel a b z chž alespoň jedo je růzé od uly azvee taového jejch společého děltele terý je ze všech společých děltelů ejvětší (exstuje vždy a jedý). Neješí společý ásobe eulových celých čísel a b azvee taový jejch společý ásobe terý je ze všech společých ásobů eješí (exstuje vždy jedý). Dsrétí ateata II straa 9

Řeee že celá čísla a b jsou esoudělá jestlže jejch ejvětší společý děltel je rove jedé. Pro ejvětší společý děltel čísel eješí společý ásobe ( a b) zápse NSD ( a b) resp. ( b) a b se vžlo ozačeí ( a b) NSD resp. ( b) a a pro jejch NSN. Nesoudělost čísel a b vyjadřujee obvyle a. Nyí přrozeě vzá otáza ja ejvětšího společého děltele efetvě alézt. Odpověď dává ásledující algortus jehož zálade je věta o děleí se zbyte. Euledův algortus určeí NSN ( a b) Nechť a b N. Jestlže aplujee ásledující postupé děleí se zbyte a b q r < r < b b r q r < r < r r r q r < r < r r r q r r r < < r q r < < r r r r q r poto ejvětší společý děltel čísel a b je rove posledíu od uly růzéu zbytu ve výše uvedeé postupu tj. NSD ( a b) r Důaz... Je třeba doázat oečost uvedeého postupu a tvrzeí že NSD ( a b) r Koečost vyplývá ze sutečost že zbyty r r tvoří lesající posloupost přrozeých čísel (věta.. děleí se zbyte) a tedy uvedeý algortus sočí po provedeí ejvýše b roů (lze dooce uázat že počet roů je rove ejvýše pětásobu počtu cfer ešího z čísel a b ). Z věty.. část g) dále vyplývá že ( a b) NSD( b r ) NSD( r r ) NSD( r r ) NSD( r r ) r NSD. Dsrétí ateata II straa

Přílad.. Určete: a) NSD ( 46) b) ( 8 5 ) Řešeí. Aplací Euledova algortu dostáváe: NSD de N. ad a) 4 6 4 6 4 4 tedy ( 4 6) ad b) 8 ( 5 ) ( ) 5 ( ) ( ) ( ) tedy ( 8 5 ) NSD a pro lbovolé N jsou uvažovaá čísla esoudělá. NSD. V prax se osvědčlo zapsovat Euledův algortus poocí ásledujícího schéatu de čísla psaá (pro rozlšeí) urzívou ozačují podíly q a čísla psaá tučě zbyty r. Výpočet z příladu.. ta probíhá ásledově: ad a) 4 6 96 q 6 4 4 q 4 r 4 q r ad b) 8 5 5 q 5 q r q r q r4 q4 r5 Dsrétí ateata II straa

Věta.. záladí vlastost NSD Pro ejvětší společý děltel dvou čísel platí: a) NSD ( a b) NSD( b a) b) NSD ( a b) NSD( a b) c) (.4) de N (.5) ( b) a b NSD a d a d b NSD (.6) d d d d) NSD ( a b) NSD( a c b) NSD( c b). (.7) Důaz. ad a) Zřejé (řádě zdůvoděte!). ad b) Bezprostředí důslede Euledova algortu eboť jedotlvé řády algortu lze vyásobt eulový přrozeý čísle. ad c) Vzhlede předpoladu a jž doázaé část b) dostáváe a d b d a b NSD ( a b) NSD d NSD d d d d tedy a b NSD( a b) NSD. d d d (Uvědote s de využíváe předpolad že d je společý děltele čísel a b.) ad d) Stačí doázat že NSD ( a c b) NSD( c b) NSD( c b) NSD( a c b). Zřejě NSD( a c b) NSD( a c b c) tj. NSD ( a c b) ( c NSD( a b) ) NSD ( a b) platí NSD ( a c b) c tedy NSD ( a c b) NSD( c b). Naopa NSD ( c b) c tedy NSD( c b) a c. Odtud NSD ( c b) NSD( a c b) a s ohlede a. Jao užtečé důsledy věty.. dostáváe: d a d b d NSD( a b) (.8) NSD ( a b) b a c b c (.9) NSD a b NSD( a b) NSD( a b) (.) a tedy aždá dvě eulová přrozeá čísla a b lze vyjádřt ve tvaru de NSD ( a b ) ( b) b b NSD( a b) a a NSD a (.). Tuto sutečost budee často využívat. Dsrétí ateata II straa

Kroě Euledova algortu exstuje celá řada dalších způsobů výpočtu ejvětšího společého děltele. Např. z věty.. lze sado odvodt ásledující tzv. dvojový NSD algortus (další způsob terý využívá prvočíselé rozlady je uvede v aptole věovaé probleatce prvočísel). Dvojový NSD algortus - určeí NSN ( a b) Největšího společého děltele lbovolých dvou eulových celých čísel a b lze alézt opaovaou aplací ásledujících pravdel (doažte!): a b NSD. ) Jsou-l a b sudá poto ( a b) NSD a NSD a b NSD b. ) Je-l a sudé b lché poto ( ) a b NSD a b NSD b. ) Jsou-l a b lchá poto ( ) 4) NSD ( a b) NSD( b a). Algortus uočíe v stuac dy a b (zdůvoděte že sutečě astae!) a využjee ( a a) a NSD. Přílad.. Poocí dvojového NSD algortu určete NSD ( 5878). Řešeí. Postupou aplací pravdel dvojového NSD algortu dostáváe (použté pravdlo je uvedeo ad rovíte): NSD ( 58 78) ) NSD( 9864) ) NSD( 9 7) ) NSD( 5 7) ) tj. ( 58 78) 6 ) NSD. ) ) 4) ( 7) NSD( 7) NSD( ) ( ) NSD NSD ) V celé řadě případů je vel užtečá ásledující charatersta ejvětšího společého děltele: Dsrétí ateata II straa

Jsou-l a b eulová celá čísla poto jejch ejvětší společý děltel je rove (doažte!) eješíu ladéu přrozeéu číslu tvaru a x b de x Z. (.) x Ja douetuje ásledující přílad uožňuje Euledův algortus taové vyjádřeí efetvě alézt. Přílad..4 Vyjádřete ejvětšího společého děltele ásledujících čísel ve tvaru (.): a) 58 a b) a de N. ad a) Nejprve aplujee Euledův algortus: 58 r r r tedy ( 58) r NSD. Nyí ejvětšího společého děltele r ve tvaru (.) zísáe postupý vyjádřeí zbytů r 58 r r a jejch zpětý dosazováí dostáváe ( ) ( 58 ) 58 ( 5) tedy x 5 x a ( 58 ) 58 ( 5) ad b) Aplací Euledova algortu dostáváe: NSD. ( ) ( ) r ( ) ( ) r ( )( ) tedy ( ) r NSD. Vyjádřeí zbytů dostáváe r ( ) ( ) r ( ) ( ). Dosazeí r do r zísáe vyjádřeí ejvětšího společého děltele v hledaé tvaru NSD( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dsrétí ateata II straa 4

tj. x x. Přrozeý rozšířeí pojů společý děltel a ejvětší společý děltel dvou čísel je ásledující defce. Defce.. společý děltel ejvětší společý děltel a a Společý děltele celých čísel a a de azvee aždé eulové přrozeé číslo d teré dělí beze zbytu všecha čísla společý děltele celých čísel a a d a. Největší tj. { } a a z chž alespoň jedo je růzé od uly azvee taového jejch společého děltele terý je ejvětší (exstuje vždy a jedý). Pozáa.. Úlohu a výpočet ejvětšího společého děltele více ež dvou čísel a a převádíe a opaovaý výpočet ejvětšího společého děltele dvou čísel dle schéatu: ( ) d NSD a a ( ) d NSD d a ( ) d 4 NSD da4 ( a ) d NSD d de ( ) NSD a a d. Největší společý děltel eulových celých čísel a a je rove eješíu ladéu přrozeéu číslu tvaru a x de x Z. (.) V případě více ež dvou čísel se dále zavádějí pojy esoudělost (ědy ozačovaá jao sdružeá esoudělost) a esoudělost po dvou. Řeee že čísla esoudělá jestlže ( a ) a a a jsou NSD a řeee že jsou esoudělá po dvou jestlže jsou esoudělé všechy dvojce tj. j NSD( a a ). Je zřejé že j z esoudělost po dvou vyplývá esoudělost a ja lze ahlédout z ásledující uázy obráceé tvrzeí eplatí. Dsrétí ateata II straa 5

Napřílad trojce čísel 4 5 je esoudělá po dvou eboť ( 4 5) NSD ( 4 ) NSD( 5 ) a tedy esoudělá tj. ( 4 5 ) Trojce čísel 5 5 je esoudělá tj. NSD ( 5 5) dvou eboť ( 5) NSD( 5) NSD( 5 5) 5 NSD. NSD. NSD ovše eí esoudělá po Přílad..5 Nalezěte ejvětšího společého děltele čísel 694 46 858. Řešeí. Struturu výpočtu lze zázort ásledující schéate jehož jedotlvé ezvýpočty jsou realzováy poocí Euledova algortu: 694 46 858 d NSD( 694 46) 4 d NSD( d 858) d 4 NSD( d ) Tedy ( 694 46 858 ) d 4 NSD. Ke stejéu výsledu saozřejě dospějee v případě ásledujícího postupu: 694 46 858 4 Aalogcý postupe jao v příladu..4 zjstíe hodoty celočíselých oefcetů x ze vztahu (.). Dostáváe x x x x 77 tedy NSD 4 ( 694 46 858 ) 694 46 ( ) 858 ( ) 77. Dsrétí ateata II straa 6

Nyí se rátce zastave u společých ásobů dvou eulových přrozeých čísel. Ozače D lbovolý společý ásobe čísel tou že čísla NSD ( a b ) Lze ta psát a b. Lze tedy psát D a q de q N. Vzhlede a b lze vyjádřt ve tvaru a a NSD( a b) je číslo D NSD a ( b) a q b b NSD( a b) de přrozeé a avíc q je děltelé (beze zbytu) b. a q a de N a tedy a q a b. Něola sadý úprava b zísáe obecé vyjádřeí všech společých ásobů čísel de N. D a b NSD a ( b) a b ve tvaru Navíc je zřejé že pro eješí společý ásobe dvou čísel platí NSN ( a b) (.4) a b. (.5) NSD a ( b) V případě dy čísla a b jsou esoudělá dostáváe NSN( a b) a b. Přílad..6 Určete: a) eješí společý ásobe čísel 4 a 6 b) eješí společý ásobe D větší ež. Řešeí. ad a) Příou aplací vztahu.5 dostáváe NSN( 46) 4 6. Z příladu NSD ( 46).. část a) víe že NSD ( 4 6) tedy ( 4 6) 6 NSN. ad b) Ze vztahu (.4) vyplývá že všechy společé ásoby jsou tvaru 6 N a hledaéu společéu ásobu ta odpovídá teré je eješí řešeí (v oboru přrozeých čísel) erovce 6. Odtud 65 6 tedy D 9. Aalogcý jao v případě společého děltele a eješího společého děltele lze rozšířt pojy společý ásobe a eješí společý ásobe a případ více ež dvou čísel. Dsrétí ateata II straa 7

Defce..4 společý ásobe eješí společý ásobe a a Společý ásobe eulových celých čísel přrozeé číslo D teré je děltelé aždý z čísel Neješí společý ásobe eulových celých čísel a a de azvee eulové a a jejch společý ásobe terý je eješí (exstuje vždy a jedý).. tj. { } a D a a pa azvee taový Pozáa.. Úlohu a výpočet eješího společého ásobu více ež dvou přrozeých čísel a a převádíe a opaovaý výpočet eješího společého ásobu dvou čísel dle schéatu: ( a ) D NSN a ( D ) D NSN a ( D ) D 4 NSN a4 ( D a ) D NSN de ( a a ) D NSN. POZOR! Neješí společý ásobe více ež dvou čísel elze obecě počítat jao v případě dvou čísel tj. jejch souč děleý jejch ejvětší společý děltele. Jsou-l čísla a a NSN a a a a. po dvou esoudělá poto ( ) POZOR! Předpolad esoudělost po dvou elze pro > ahradt předpolade pouhé esoudělost. Sado zjstíe že pro eješí společý ásobe tří čísel platí NSN ( a b c) a b c NSD( a b c) ( b) NSD( a c) NSD( b c). (.6) NSD a Přílad..7 Vypočtěte eješí společý ásobe čísel a) 4 6 b) 694 46 858 a. ad a) Aplací vztahu (.5) dostáváe NSN( 46) 4 6. Z příladu.. NSD ( 46) část a) víe že NSD ( 4 6) tedy ( 4 6) 6 NSN. Dsrétí ateata II straa 8

ad b) Postup výpočtu eješího společého ásobu čtyř čísel lze zázort ásledující schéate jehož jedotlvé roy spočívají ve výpočtu eješího společého ásobu dvou čísel a teré realzujee dle vztahu (.5): 694 46 858 D NSN( 694 46) D NSN( D 858) 66 66 D 4 NSN( D ) 66 66 Tedy ( 694 46 858 ) D 4 66 66 NSN. Ke stejéu výsledu saozřejě dospějee v případě ásledujícího postupu: 694 46 858 6 6 66 66 Dsrétí ateata II straa 9

. Prvočísla a prvočíselé rozlady Zouáe-l počet děltelů ladých přrozeých čísel sado zjstíe že ěterá přrozeá čísla větší ež jeda ají pouze dva děltele - evlastí děltelé (číslo jeda a sebe saa) dežto ostatí ají vlastí děltele. Odtud ásledující defce poju prvočíslo. Defce.. prvočíslo složeé číslo Přrozeé číslo p > azvee prvočísle jestlže ( a N )( a p a a p) tj. číslo p á pouze evlastí děltele. Ostatí ladá přrozeá čísla větší ež jeda azýváe čísla složeá. Přílad.. Čísla 5 7 jsou prvočísla eboť všecha ají pouze evlastí děltele. Naopa čísla 4 6 89 jsou čísla složeá eboť ají vlastí děltele apř. 4 6 7 89 7. Ovše ohe obtížější je zjstt že apř. číslo 6 59 76 89 6 9 578 88 7 je prvočíslo dežto 4 8 66 9 98 46 46 74 67 4 768 457 je číslo složeé. Věta.. Euledes Exstuje eoečě oho prvočísel. Důaz. Spore. Předpoládeje že exstuje oečě prvočísel p p a polože p p p. Zřejě p p tudíž p je číslo složeé a usí být proto děltelé ěterý z prvočísel p p předpoládeje j p. Jstě platí že p j p p p. Z věty.. část g) ta dostáváe p. Spor exstuje tedy eoečě oho j p prvočísel. j Dsrétí ateata II straa

Pozaeeje že exstuje celá řada dalších růzě rafovaých důazu exstece eoečě oha prvočísel teré odrývají ohdy převapvé souvslost. Něteré jedoduché jsou obsažey ve Sbírce příladů z dsrétí ateaty TUL. Pozáa.. Neješí od jedčy růzý děltel složeého čísla je prvočíslo teré je ejvýše rovo. (Doažte!) Je-l p prvočíslo taové že p a b poto p a ebo p b. (Doažte!) Všecha prvočísla vysytující se v ožě { } lze alézt poocí algortu (azývaého Eratostheovo síto) terý lze forulovat ásledově:. Ozač prví evyšrtuté a ještě eozačeé číslo. Toto číslo p je prvočíslo. Je-l p jd a ro. ja uoč algortus a evyšrtutá čísla jsou právě všecha hledaá prvočísla.. Vyšrt všechy ásoby čísla p počíaje p. Po jejch vyšrtutí jd a ro. (Uvedeé roy algortu řádě zdůvoděte!) Výše popsaý algortus (Eratosthees 76 95 př.. l.) je pravděpodobě hstorcy prví etoda uožňující geerovat posloupost prvočísel. Přílad.. Poocí Eratostheova síta alezěte všecha prvočísla terá jsou eší ebo rova 5. Řešeí. V tabulce obsahující čísla 5 aplujee výše popsaý algortus. Dostáváe ta ásledující tabuly jejchž obsah postupě odpovídá jedotlvý roů algortu: Vyšrtutí ásobů (počíaje od ) Vyšrtutí ásobů (počíaje od 5 7 5 7 9 5 7 9 7 9 5 7 9 5 9 5 5 7 9 4 4 7 4 4 45 47 49 47 49 ) Dsrétí ateata II straa

Vyšrtutí ásobů 5 (počíaje od 5 ) Vyšrtutí ásobů 7 (počíaje od 5 7 5 7 7 9 7 9 9 9 7 4 4 7 4 4 47 49 47 7 ) Všecha prvočísla v řadě 5 jsou alezea po vyšrtutí ásobů čísla 7 a jsou obsažea v posledí tabulce. V dalších úvahách hraje líčovou rol ásledující věta ozačovaá často jao Záladí věta artety. Věta.. Každé přrozeé číslo větší ež jeda lze rozložt a souč prvočísel a to jedozačě epřhlížíe-l pořadí prvočísel. Důaz. Je třeba doázat dvě sutečost - exstec prvočíselého rozladu a jeho jedozačost. Ozače a lbovolé složeé přrozeé číslo větší ež jeda (v případě že a je prvočíslo věta evdetě platí). Dle prví část pozáy.. exstuje prvočíslo p teré je děltele a tj. a p a de < a < a. Poud a je prvočíslo dostal jse jž hledaý rozlad. V opačé případě dy číslo a je složeé opět využjee prví část pozáy.. a tedy exstuje prvočíselý děltel p čísla a tj. a p a de a < a. Je-l a složeé číslo větší ež postup opaujee (ja jse alezl požadovaý rozlad) doud eastae stuace dy a je prvočíslo ebo a. Vzhlede tou že čísla a tvoří lesající posloupost přrozeých čísel usí tato stuace sutečě astat. Odtud jž plye exstece prvočíselého rozladu a p p. Předpoládeje yí že p q a p q jsou dva prvočíselé rozlady čísla a. l p q q. Dle druhé část pozáy.. usí exstovat j taové Zřejě { } l že p q. Odtud l j p q. a po případé přečíslováí dostáváe { } Dsrétí ateata II straa

Jao zřejý důslede věty.. dostáváe že aždé přrozeé číslo a > lze jedozačě vyjádřt ve tvaru a p α α (.7) p de p jsou všecha avzáje růzá prvočísla (seřazeá vzestupě) terá se vysytují v rozladu čísla a α N (tzv. ásobost prvočísla p v rozladu a). Výraz (.7) se azývá aocý rozlad přrozeého čísla a. (Často budee používat ratší ozačeí rozlad ísto aocý rozlad.) Věta.. α α β βl Nechť a p p b q jsou aocé rozlady. Poto platí: q l a) Každý děltel d čísla a á aocý rozlad δ δ d p (.8) p de δ N δ α. b) Největší společý děltel čísel a b á aocý rozlad γ γ h ( b) r NSD a (.9) r h de r r jsou prvočísla společá aocý rozladů čísel a b h γ je u z expoetů se terý se prvočíslo r vysytuje v aocých rozladech čísel a b. c) Neješí společý ásobe čísel a b á aocý rozlad NSN λ λ ( a b) r (.) r de r r jsou prvočísla vysytující se v alespoň jedo aocé rozladu Důaz. λ je axu z expoetů se terý se prvočíslo r vysytuje v aocých rozladech čísel a b. ad a) Jelož d a ohou se v aocé rozladu děltele d vysytovat pouze prvočísla z aocého rozladu a (vz druhá část pozáy..) avíc s expoete terý je ejvýše rove expoetu z rozladu a. ad b) Jelož ( a b) NSD dělí a b usí jeho aocý rozlad obsahovat pouze prvočísla Dsrétí ateata II straa

terá se vysytují současě v obou aocých rozladech avíc s expoete rový právě ešíu z expoetů. ad c) Jelož a b dělí ( a b) NSN usí se aždé prvočíslo z rozladů a b vysytovat taé v rozladu NSN ( a b) avíc žádé jé prvočíslo se v rozladu ( a b) NSN vysytovat eůže (ja ejde o eješí společý ásobe). Expoety jedotlvých prvočísel v rozladu ( a b) NSN jsou zřejě rovy jejch axálíu expoetu vysytujícíu se v rozladech čísel a b. Přílad.. Poocí aocých rozladů čísel a 7 875 b 9 c 8 5 určete všechy děltele čísla a NSD ( a b c) NSN ( a b c). Řešeí. Nejprve je třeba alézt aocé rozlady uvedeých čísel. Tyto rozlady určíe ta že uvedeá čísla zoušíe dělt prvočísly (děleí zvoleý prvočísle opaujee doud je zbyte ulový). Dostáváe ta 4 a 5 7 b 5 c 5. δ δ δ Všechy děltele čísla a jsou tvaru d 5 7 de δ δ δ a jsou obsažey v ásledující tabulce. 5 7 9 5 5 5 45 6 75 5 5 75 5 5 75 55 875 5 575 65 7875 Z věty.. víe že aocý rozlad NSD ( a b c) obsahuje pouze prvočísla společá oběa aocý rozladů tj. a 5. Expoety jsou rovy u z expoetů se terý se vysytují v aocých rozladech čísel a b c. Odtud ( a b c) 5 75 NSD. (Nalezěte všechy společé děltele čísel a b c.) Dále víe (opět věta..) že aocý rozlad NSN ( a b c) obsahuje všecha prvočísla terá se vysytují v aocé rozladu alespoň jedoho z čísel a b c tj. 5 7 a. V toto případě se expoety rovají axu z expoetů. Odtud 4 ( a b c) 5 7 5 5 NSN. Dsrétí ateata II straa 4

Pozáa.. Jedí z fudaetálích probléů teore čísel je otáza rozložeí prvočísel v ožě všech přrozeých čísel. Něteré záladí výsledy lze forulovat ásledově (tabula v příloze obsahuje prvích 84 prvočísel): Exstuje eoečě oho lbovolě dlouhých posloupostí po sobě jdoucích složeých čísel tj. eobsahující žádé prvočíslo (doažte!). Pro lbovolá esoudělá přrozeá čísla a exstuje eoečě oho prvočísel p terá př děleí čísle dávají zbyte a tedy jsou tvaru (C. F. Gauss). p q a de q N Ozačíe-l π ( ) počet prvočísel eších ebo rových přrozeéu číslu platí π ( ) (.) l de sybol chápee jao přblžou rovost (přesěj lta podílu obou stra je pro rova ). Hodoty obou stra vztahu (.) jsou pro vybraá obsažey v ásledujících tabulách: π( ) l π( ) l 4 4 9 59 8 686 8 7 7 984 6 85 9 5 997 788 4 4 86 5 5 5 4 58 8 6 7 5 6 49 98 45 97 7 9 6 7 56 54 5 8 8 8 6 95 58 857 9 4 9 7 74 65 645 5 78 498 7 8 Přílad..4 Doažte specálí varatu obecého Gaussova tvrzeí (pozáa..) že exstuje eoečě oho prvočísel tvaru 4 q. Řešeí. Důaz provedee aalogcy důazu věty.. tj. spore. Dsrétí ateata II straa 5

Nejprve s uvědoe že aždé prvočíslo větší ež dává př děleí čísle 4 zbyte ebo. Nyí předpoládeje že exstuje pouze oečě prvočísel p p uvažovaého tvaru 4 q (určtě taová exstují apř. 7 9 apod.) a polože p 4 p p. Je zřejé že číslo p dává př děleí 4 zbyte avíc eí děltelé žádý z prvočísel p (ja by daé prvočíslo uselo dělt ). Vzhlede tou že souč čísel tvaru p 4 q je opět číslo téhož tvaru (doažte!) usí být číslo p děltelé prvočísle tvaru 4 q růzý od p p. Spor exstuje tedy eoečě oho prvočísel tvaru 4 q. Vel výzaou rol v teor čísel a v celé řadě aplací apř. oderí teore ódováí testy superpočítačů apod. (podrobost přesahují ráec těchto srpt relevatí teretovsé odazy vz příloha) hraje probleata aocých rozladů velých čísel resp. testy jejch prvočíselost. V toto otextu se ejčastěj vysytují čísla specálích tvarů apř. Feratova Merseova a Cughaova čísla. Defce.. - Feratova a Merseova čísla Feratový čísly azýváe čísla F de N a Merseový čísly azýváe čísla M de N. Pozáa.. - Feratova a Merseova prvočísla Feratova čísla F F 5 F 7 F 57 F 65 57 jsou prvočísla (tzv. 4 Feratova prvočísla). Tato sutečost vedla vyajícího fracouzsého ateata Perre de Ferat (6-695) vysloveí hypotézy že všecha Feratova čísla jsou prvočísla. Teprve pozděj byla tato hypotéza vyvrácea Leoarde Eulere terý uázal že číslo F 5 4 94 967 97 je složeé. Nyí pauje obecé přesvědčeí že všecha Feratova čísla F 5 jsou čísla složeá. Ovše a v deší době výpočetí techy eí sadé proázat že pro ěterou orétí hodotu je F číslo složeé (proč?). Napřílad doposud ebylo zjštěo zda F 4 je sutečě číslo složeé a u F (o teré je proázáo že je složeé) ebyl aleze jeho aocý rozlad (pro studety foraty rozhodě zajíavá výzva). Dsrétí ateata II straa 6

Hstorcy eéě zajíavá a z hledsa aplací vel výzaá jsou tzv. Merseova p prvočísla (Mar Mersee 588-648) tj. prvočísla tvaru de p je prvočíslo (jde tedy o specálí Merseova čísla). Lze uázat že poud p eí prvočíslo eůže být a p p prvočíslo. Obráceé tvrzeí ovše eplatí (je-l p prvočíslo poto být prvočísle ůže ale eusí). V současé době se předpoládá (eí ovše doázáo) p že ez vše čísly tvaru de p je prvočíslo exstuje eoečě oho Merseových prvočísel ale čísel složeých. Napřílad čísla M M jsou Merseova prvočísla dežto M M 5 M 7 M M 7 M 9 M 67 57 M M jsou čísla složeá. Největší v současé době (ro ) záé Merseovo prvočíslo je M 6 97 59 (to ovše ezaeá že o všech číslech p 6 97 59 M de p je prvočíslo eší ež 6 97 59 je záo zda jsou prvočísle). Vzhlede tou že pro Merseova čísla exstují efetví testy jejch prvočíselost (apř. Lucas- Leherův test) ůže jít opět o zajíavý áět pro studety (vz teretovsé odazy v příloze). Pro zajíavost uveďe že prvočíselost M 57 787 byla proázáa a superpočítač Cray T-94 ovše prvočíselost M 6 97 59 jž a pouhé PC Petu 5MHz. Dsrétí ateata II straa 7

.4 Záladí artetcé fuce V teor čísel a v jejch aplacích hrají výzaou rol fuce jejchž defčí obory tvoří ladá přrozeá čísla N. Pro taové fuce se vžlo ozačeí artetcé fuce. Defce.4. ultplatví fuce Řeee že artetcá fuce f je ultplatví jestlže: N taové že ( ) f N platí NSD( ) f ( ) f ( ) f ( ). (.) Záladí vlastost ultplatvích fucí popsuje ásledující věta. Věta.4. a) Je-l f ultplatví fuce poto f ( ). b) Souč ultplatvích fucí je ultplatví fuce. α α c) Je-l f ultplatví p p aocý rozlad poto d f α α ( d ) ( f ( p ) f ( p ) f ( p ) ( f ( p ) f ( p ) f ( p ). (.) (Součet a levé straě se provádí přes všechy děltele d čísla.) Důaz. ad a) Z ultplatvost plye exstece N taového že f ( ) avíc zřejě NSD ( ). Ze vztahu (.) vyplývá f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) eulovou hodotou f ( ) dostáváe doazovaý vztah. ad b) Ozače f f f de f f jsou ultplatví fuce. Zřejě () f () f () a po vyděleí f a tedy zbývá doázat platost (.). Předpoládeje proto že ( ) NSD. Dostáváe (aplací vztahu (.) a fuce f f ) ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f což bylo třeba doázat. ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f Dsrétí ateata II straa 8

Dsrétí ateata II straa 9 ad c) Jelož ( ) δ δ j p p j NSD pro j je po rozásobeí pravá straa doazovaého vztahu zřejě rova (využjee ultplatvost) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) α δ α δ δ δ δ δ α δ α δ δ δ δ δ p p f p f p f. Jelož děltelé d čísla jsou dle věty.. právě tvaru p p d δ δ de α δ je vztah (.) doázá. Pozáa.4. počet děltelů součet děltelů Artetcá fuce ( ) N f r r je ultplatví (doažte!) a dle vztahu (.) platí ( ) ( ) α α d r r r r r r r p p p p p p d. Odtud volbou r dostáváe vztah pro počet děltelů čísla ( ) ( ) ( ) α α τ d tj. ( ) ( ) ( ) α α τ. (.4) Volbou r dostáváe vztah pro součet děltelů čísla ( ) ( ) ( ) α α d p p p p p p d S tj. ( ) α α p p p p S. (.5) Přílad.4. Určete počet a součet všech děltelů čísla 5. Řešeí. Sado zjstíe že aocý rozlad daého čísla je 7 5 5 4. Pro počet děltelů ta dostáváe ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 4 5 τ a součet děltelů ( ) 5 59 7 7 5 5 5 4 S.

Defce.4. - Möbova fuce Artetcou fuc µ ( ) defovaou vztahy µ () µ ( ) poud exstuje přrozeé číslo d > taové že d ( ) v ostatích případech de je počet prvočísel vysytujících se v aocé rozladu azýváe Möbovou fucí. Z defce je patré že hodoty µ ( ) sado určíe z aocého rozladu čísla p α α p. Jsou-l totž všecha α je µ ( ). α poto ( ) ( ) µ a poud alespoň jedo Věta.4. Möbova fuce je ultplatví a pro > platí ( ) µ d. Důaz. K důazu prví část tvrzeí (ultplatvta) stačí uázat platost vztahu (.). Jsou-l esoudělá poto je počet prvočísel v aocé rozladu souču rove součtu počtu prvočísel v rozladu plus počet prvočísel v rozladu avíc jejch expoety se eěí. V druhé část (s ohlede a jž doázaou ultplatvtu) stačí využít vztah (.). Pro > ta zřejě dostáváe µ d d ( d ) ( ( ) ) ( ( ) ). Defce.4. - Eulerova fuce Artetcou fuc ϕ ( ) defovaou vztahy ϕ () ϕ de je počet čísel v řadě terá jsou esoudělá s ( ) azýváe Eulerovou fucí. Dsrétí ateata II straa

Z defce sado zjstíe že pro lbovolé prvočíslo p platí ϕ( ) p V případě složeých čísel je výpočet hodoty Eulerovy fuce obtížější. p (zdůvoděte!). Věta.4. α α a) Je-l p p aocý rozlad poto b) Eulerova fuce je ultplatví. ϕ c) Platí ( d ) Důaz. d α α α α ( ) ( p p ) ( ) ϕ p p. (.6). (.7) ad a) Oače P ( A) pravděpodobost že áhodě zvoleé číslo z ožy { } je esoudělé s. S ohlede a defc Eulerovy fuce a lascou defc pravděpodobost platí ϕ P( A). ( ) Nesoudělost s je zřejě evvaletí s eděltelostí žádý z prvočísel p p ( ) vysytujících se v aocé rozladu a tedy de ( ) A p P ( A) P( A ) P( ) p A p ( ) P je pravděpodobost že áhodě zvoleé číslo z ožy { } děltelé prvočísle p. Nyí pravděpodobost ( ) A p eí P vyjádříe poocí doplňu tj. de ( ) A p P ( A ) P( A ) p p P je pravděpodobost že áhodě zvoleé číslo z ožy { } je děltelé prvočísle p. Z lascé defce sado dostáváe (aždé p - té číslo v řadě je děltelé p ) tedy P ( A ) P p p p ( A ) p. ( ) p Dsrétí ateata II straa

Dosazeí ( ) a ( ) do ( ) dostáváe ϕ p p a odtud je platost doazovaého vztahu evdetí. ( ) ad b) Jsou-l esoudělá poto se prvočísla a jejch expoety v aocé ad c) rozladu souču shodují s prvočísly a jejch expoety v aocé rozladu čísla resp.. Zbyte důazu je zřejý důslede vztahu (.6). Využtí vztahů (.) (.6) a jž doázaé ultplatvty dostáváe d ϕ α α ( p p ) ( p p ) ϕ( p ) α ( ) ( ) ϕ p ϕ p pα ( d ) ( p ) a tedy ϕ d α α ( p ) ( p p ) ( p p ) ϕ( p ) α ( ) ( ) ϕ p ϕ p α p α α ( d ) p p. Přílad.4. Určete hodotu Möbovy a Eulerovy fuce v bodech 799 47 a 4 58 47. Řešeí. Prví roe je určeí aocých rozladů. Platí 799 47 7 4 47 4 58 47 7 9 7. Přío z defce Möbovy fuce dostáváe ( 799 47) ( ) 6 µ eboť v aocé rozladu se vysytuje 6 prvočísel a aždé s expoete dále ( 4 58 47) µ eboť v aocé rozladu se vysytuje alespoň jedo prvočíslo s expoete větší ež (prvočísla a ). Hodotu Eulerovy fuce určíe ze vztahu (.6). Dostáváe ta ϕ ( 799 47) ( ) ( 7 ) ( ) ( ) ( 4) ( 47 ) 6 64 Dsrétí ateata II straa

a ϕ ( 4 58 47) ( ) ( 7 ) ( ) ( 9 ) ( 7 ) 975 4. Pozaeeje že v příloze lze alézt tabuly s hodota Möbovy a Eulerovy fuce pro hodoty 8 teré lze spolu s ultplatvtou vhodě využít výpočtů. Napřílad ( 5 ) ϕ( 5) ϕ( ) ϕ eboť NSD ( 5 ). V tabulách sado alezee ϕ ( 5 ) 6 a ϕ ( ) 4 ( 5 ) 8 64 ϕ. tedy Kroě artetcých fucí hrají v dsrétí ateatce výzaou rol taé fuce azývaé dolí celá část horí celá část a loeá část. Jsou defováy ásledově: Fuce dolí celá část x de x R je defováa jao ejvětší celé číslo eší ebo rové x. Tuto fuc budee ozačovat sybole x (ědy se používá ratší ázev celá část x) a lze j defovat ásledující vlastost: - x R x Z - R x x < x x. Fuce horí celá část x de x R je defováa jao eješí celé číslo větší ebo rové x. Tuto fuc budee ozačovat sybole x a lze j defovat vlastost: - x R x Z - x R x < x x. Fuc loeá část x de x R budee ozačovat sybole { x }. Tato fuce je defováa vztahe { x} x x. Přílad.4. 5 5 5 5 5 5 5 5 4 75 4 4 75 5 475 5 475 4 6 6 6 7 6 7 6 6 5 8 5 5 9 < 5 4 8 4 8 > 48 4 7 4 8 4 9 48 4. Dsrétí ateata II straa

Pozáa.4. Něteré často využívaé vlastost fucí dolí a horí celá část jsou (doažte!): x x x < x x < x x x x x x N x x N x x x x. Pro ázorost ásledují grafy fucí dolí celá část horí celá část a loeá část. x x - - - - x - - - x - - - - - { x} - - - - x - Dsrétí ateata II straa 4

.5 Řetězové zloy Je všeobecě záé že př uercých výpočtech vždy pracujee s racoálí čísly resp. s jejch jstou podožou. V toto otextu hraje důležtou rol probleata tzv. dofatcé aproxace terá zjedodušeě řečeo zouá ja přesě lze daé číslo (ejčastěj racoálí) aproxovat poocí racoálích čísel určtých vlastostí. K této probleatce á úzý vztah tato podaptola týající se řetězových zloů. Sado totž zjstíe že aždé číslo α R Z (v případě celých čísel je stuace trválí) lze vyjádřt jedý způsobe ve tvaru de q α Z α q α (ejvětší celé číslo eší ebo rové α ) a < α. Poud α eí přrozeé číslo lze postupovat aalogcy v toto případě tj. psát de α q a < α. Odtud α q α α q. q α Nazačeý postup lze saozřejě opaovat doud v ěteré rou (apř. v prví) edostaee α N poju rozvoj čísla α v řetězový zloe. (ja uvdíe pozděj tato stuace eusí astat). Tí se jž dostáváe Defce.5. Řetězový zloe azvee (oečý ebo eoečý) výraz tvaru q (.8) q q q de Z q N. q Dsrétí ateata II straa 5

Čísla q se azývají čley rozvoje (v řetězový zloe) a výrazy δ q δ q δ q q q q q (.9) se azývají přblžý zloy. Pro zjedodušeí budee častěj využívá záps ve tvaru δ [ ] δ [ q ] δ [ q q ] q q q Dále řeee že číslo α á oečý (uočeý) rozvoj v řetězový zloe jestlže exstuje taové že př postupu popsaé v úvodu je α celé číslo (tj. α pro V toto případě zřejě platí α [ q q ] q tj. α q q q. q N ). Věta.5. Reálé číslo α á oečý rozvoj v řetězový zloe právě tehdy je-l racoálí. Důaz. Z ásledující pozáy.5. a z oečost Euledova algortu vyplývá že aždé racoálí číslo á oečý rozvoj v řetězový zloe. Zbývá ta doázat platost obráceého tvrzeí tj. z oečost rozvoje v řetězový zloe plye racoalta. Postupuje spore a předpoládeje že číslo s oečý rozvoje v řetězový zloe eí racoálí. Spor eboť bycho alezl vyjádřeí racoálího čísla ve tvaru zlou. Obecý postup ja sestrojovat řetězové zloy je popsá v úvodu. Následující pozáa uazuje a souvslost s jž dobře záý Euledový algorte. Dsrétí ateata II straa 6

Pozáa.5. Řetězové zloy a Euledův algortus Je-l b a racoálí číslo poto užtí Euledova algortu dostáváe ásledující:. ro a b q r < r < b tj. a b q de α b >. α r. ro b r q r < r < r tj. tedy a b q q α. ro r r q r < r < r tj.. b r r r q α q α r de α > r r de α > r tedy a b q q q α. Vzhlede tou že zbyty tvoří lesající posloupost přrozeých čísel je zaručea oečost uvedeého postupu a usí astat stuace dy jsté r je posledí eulový zbyte. ro r r q r < r r tj. < tedy a b q q q q α r q α r. r de α > r ( ). ro r r q r r q tj. a b q q q q. Vdíe tedy že jedotlvé čley rozvoje racoálího čísla b a v řetězový zloe tvoří právě eúplé podíly z Euledova algortu. Dsrétí ateata II straa 7

Dsrétí ateata II straa 8 Věta.5. záladí vlastost přblžých zloů a) Mez čtatel P a jeovatel Q přblžých zloů platí P P q P de q P P (.) Q Q q Q de Q Q. (.) b) Pro lbovolé dva sousedí přblžé zloy δ δ platí ( ) δ δ Q Q. (.) c) Přblžé zloy jsou v záladí tvaru tj. ( ) P Q NSD. Důaz. ad a) Z tvaru přblžých zloů (.9) sado zjstíe záotost přechodu ez čtatel a jeovatel sousedích přblžých zloů. Je evdetí že δ dostaee z δ pouhou substtucí výrazu q q za q. Ozačíe-l tedy P čtatele a Q jeovatele -tého přblžého zlou tj. Q P δ lze psát: Q P q δ Q P Q Q q P P q q q q q q δ de defujee Q P ( ) ( ) Q P Q Q q P P q Q Q Q q q P P P q q Q Q q q P P q q δ a odtud dostáváe ateatcou ducí doazovaé vztahy (.) a (.). ad b) Zřejě platí δ δ Q Q Q P Q P Q P Q P proto vyšetřuje vztah ez hodotou čtatele a dexe. Ozače ( ) Q P Q P f a využje vztahy (.) a (.). Dostáváe ta () ( ) ( ) Q Q q P Q P P q f

tedy f ( ) ( P Q P Q ) ( ) f ( ) ( ) ( ) f ( ) a vzhlede tou že f ( ) P Q P Q číž je vztah (.) doázá. ad c) Sadý důslede vztahů (.) a (.). platí ( ) P Q (.) P Q Je zřejé že eúplé podíly q a reuretí vztahy (.) (.) s počátečí podía uožňují efetví výpočet přblžých zloů. Teto výpočet se často realzuje poocí tzv. tabuly přblžých zloů jejíž schéa ásleduje: - q - - - q q q q P q P P P Q Q Q Q Přílad.5. 78 Číslo rozvňte v řetězový zloe a sestavte tabulu přblžých zloů. 654 Řešeí. Poocí Euledova algortu zjstíe potřebé eúplé podíly: 654 ( q ) 7 654 7 5( q ) 9 7 9 6( ) 78 ( q ) 6 6 ( q 4 ) 6 6( q ) 9 Odtud hledaý rozvoj v řetězový zloe 78 654 5 6 6 q a tabula přblžých zloů (přpoeňe že čtatelé a jeovatelé jsou počítáy reuretě dle vztahů (.) a (.) z věty.5.): 5 Dsrétí ateata II straa 9

- 4 5 q - - - 5 6 6 P 6 7 4 78 Q 5 6 654 Nyí lze sado ověřt záladí vlastost přblžých zloů uvedeé ve větě.5.. Pozáa.5. Lze uázat (doažte) že ez vše racoálí čísly jejchž jeovatel je ejvýše rove platí: Je-l Q je právě přblžý zloe δ ejlepší aproxací rozvíjeého čísla. Přesěj P δ přblžý zloe rozvoje reálého čísla α v řetězový zloe Q a β b lbovolé racoálí číslo taové že b δ β poto α δ < α β. < Q Pro zajíavost jsou v ásledující tabulce uvedey (eoečé) řetězové zloy ěterých vybraých racoálích čísel. Číslo e π Řetězový zloe [468 ] [7594 ] [ ] 5 [444 ] [666 ] 7 [4888 ] 6 [5 ] Jao důslede ta dostáváe že ásledující racoálí čísla ejlépe aproxují (ve syslu prví odrážy této pozáy) číslo π. P 55 99 Q 7 6 4E- 6E- 8E-5 67E-7 578E- Posledí řáde obsahuje horí ez chyby aproxace tj. P π. Q Dsrétí ateata II straa 4

.6 Kogruece Z věty o děleí se zbyte víe že celá čísla dávají př děleí přrozeý čísle zbyty pouze z ožy { } a tedy z pohledu děltelost lze čísla dávající stejý zbyte považovat za totožá. Odtud ásledující defce. Defce.6. Řeee že celá čísla ají př děleí čísle stejý zbyte. a b jsou ogruetí odulo de N { } jestlže obě čísla Sutečost že čísla a b jsou ogruetí odulo vyjadřujee ěterý z ásledujících zápsů a b ( od ) b ( ) a resp. a b. V opačé případě (a b eají př děleí čísle stejý zbyte) píšee a b ( od ) eogruetí. / a říáe že uvedeá čísla jsou odulo Pozáa.6. Přes svou jedoduchost achází výše zavedeý poje ogruece vel šroé využtí v celé řadě oblastí. Vzhlede rozsahu srpt se stručě zííe pouze o geerováí áhodých (přesěj řečeo pseudoáhodých) čísel a ěterých způsobech ódováí. Efetví etodou geerováí posloupost pseudoáhodých čísel x jsou leárí ogruece. Jedotlvé čley jsou počítáy reuretě ze vztahu ( a x c) x x (.4) de a c x jsou vhodá přrozeá čísla taová že a < c < x < ( odul a ultplačí oefcet c reet x počátečí hodota). Větša stadardích počítačů des využívá pro geerováí pseudoáhodých čísel odul ultplačí oefcet 5 a 7 a avíc specálí varatu vztahu (.4) tzv. ryze ultplatví geerátor de c. (V případě dy požadujee pseudoáhodá čísla z tervalu ) použjee x posloupost ) Dsrétí ateata II straa 4

Jedí z ejstarších způsobů ódováí je tzv. Caesarovo ódováí teré spočívalo v cylcé posuutí celé abecedy o tř zay vpřed ( A D B E Z C). Z pohledu ogruecí lze toto ódováí popsat vztahe ( x ) y 6 (.5) de x je pořadové číslo ódovaého zau (v rác aglcé abecedy) y je pořadové číslo zaódovaého zau je posuutí a 6 je počet zaů abecedy. Deódováí se pa provádí zpětý posuutí tj. dle vztahu ( y ) x 6 (.6) de x je původí za a y zaódovaý za. Pozaeeje že výše popsaý způsob ódováí eí přílš bezpečý proto se des používají sofstovaější etody (vz pozáa.7.). Věta.6. Následující tvrzeí jsou evvaletí: a) a b ( od ) b) ( a b) c) a b t de t Z. Důaz (stačí doázat a) b) c) a)) ad a) b) Jelož a b ( od ) dostáváe z věty o děleí se zbyte a a r b b r de r <. Odtud ( a b ) tedy ( a b) a b. ad b) c) Přío z defce děltelost dostáváe a b t de t Z tedy a b t. ad c) a) Z věty o děleí se zbyte dostáváe a dosazeí do c) b q r r < ( q t) r a de r < a tedy obě čísla dávají př děleí stejý zbyte. Dsrétí ateata II straa 4

Přílad.6. Zřejě platí 76 ( od ) ( od 7) obě čísla dávají př děleí čísle zbyte tedy evvaletě platí 76 ( ) 76 ( ) 6. 76 / př děleí čísle 7 dává 76 zbyte 4 a zbyte 5 tedy ( od ) evvaletě 7 / 76 ( ) ( ) 7 t 76 pro aždé t Z. 45 obě čísla dávají př děleí čísle zbyte tedy evvaletě platí 45 45 ( 4). Ja doládá ásledující věta jsou početí pravdla pro ogruece ající stejý odul podobá početí pravdlů pro rovce. Věta.6. stejý odul Jestlže a b ( od ) a b ( od ) a) a a b b ( od ) poto platí:. (.7) b) a a b b ( od ). (.8) c) Jestlže d a d b NSD( d ) poto ( od ) Důaz. Zřejě a b t a b t. ad a) a a ( b t ) ( b t ) ( b b ) ( t ) t a b d d. (.9) a dle věty.6. platí (.7). ad b) a a ( b t ) ( b t ) b b ( b t t b t ) a dle věty.6. t platí (.8). ad c) Jelož d a d b a platí a b t usí d t. Vzhlede podíce ( d ) NSD a pozáce.. platí (.9). Jao sadý důslede pa dostáváe: K oběa straá ogruece lze přčíst resp. od ch odečíst lbovolé celé číslo. Čley z jedé stray ogruece lze převést a druhou poud u ch zěíe zaéo. Obě stray ogruece lze uoct a -tou de N. Dsrétí ateata II straa 4

Ja doládá ásledující uáza je ve větě.6. část c) předpolad ( d ) 44 78 /. 6 6 eboť 44 78 ( od ) ovše ( od ) NSD podstatý Věta.6. zěa odulu a) Jestlže a b ( od ) poto a b ( ) b) Jestlže a b ( od ) d od de poto a b od. d c) Jestlže a b ( od ) d NSD( a b ) N. a b poto od. d d d d) Jestlže a b ( od ) a b ( ) poto b ( od NSN ( )) Důaz. ad a) Dle věty.6. část c) platí od a. a b t tedy a b ( ) t což je dle stejé věty evvaletí doazovaéu vztahu. ad b) Ozače. Dle věty.6. část b) platí ( a b) a jelož d platí d ( a b) což je evvaletí doazovaéu vztahu. a b ad c) Jelož a b t a d NSD( a b ) platí t což je evvaletí d d d doazovaéu vztahu. ad d) Jelož ( a b) a ( a b) zřejě NSN( ) ( a b). Přílad.6. Pro určeí de v týdu (podělí eděle) terý přpade a daé datu lze využít tzv. Zellerovy ogruece r s x d 6 r ( od 7) 4 s 4 (.4) de x je detface de v týdu dle tabuly d je de v ěsíc 4 5 6 NE PO ÚT ST ČT PÁ SO Dsrétí ateata II straa 44

je detface ěsíce dle tabuly 4 5 6 březe dube věte červe červeec srpe 7 8 9 září říje lstopad prosec lede úor s je století příslušé N de N je pro lede a úor předcházející ro zjšťovaého datuu a v ostatích případech jde o atuálí ro r jsou jedoty a desíty let (bez století) příslušé N. Sado ta apřílad zjstíe že de:.. byla středa ( d 9 r s x ) N 7.. bude sobota ( d r s x 6) N 7. Pro další úvahy je důležté s uvědot že vztah být ogruetí odulo tvoří bárí relac a Z s vlastost a Z a a ( od ) (reflexvta) a b Z a b ( od ) b a ( od ) (syetre) a b c Z a b ( od ) b c ( od ) a c ( od ). (traztvta) Jde tedy o relac evvalece terá duuje rozlad Z ající ásledujících tříd evvalece [] { } { Z} [] { } { Z} [] { } { Z} [ ] { } ( ) { Z} azývaé zbytové třídy odulo resp. třídy zbytů odulo. Každá třída zbytů obsahuje právě všechy avzáje odulo ogruetí celá čísla (tj. čísla ající př děleí stejý zbyte). Pro ožu všech tato vzlých zbytových tříd odulo se vžlo ozačeí Z tj. {[][] [ ] } Z. Pozaeeje že v dalších částech srpt de by jž eělo dojít edorozuěí budee běžě používat zjedodušeý záps a ísto [ a ] a { } Z. Dsrétí ateata II straa 45

Nyí a ožě a ásobeí Z defuje operac sčítáí [ a ] [ b] [ a b] [ a] [ b] [ a b]. (Doažte že obě operace jsou defováy oretě tj. poud [ a ] [ a ][ b ] [ ] [ a ] [ b ] [ a ] [ ] a [ a ] [ b ] [ a ] [ ] b.) b poto b Kroě obvylých vlastostí obou operací (asocatvta outatvta dstrbutvta exstece ulového opačého a jedotového prvu) platí: V Z lze dělt právě tehdy je-l prvočíslo tj. [ a] Z {[ ]} [] b Z [][ a b] [ ] právě tehdy je-l prvočíslo. (V toto případě používáe ozačeí [ a ] ísto [ b ] a luvíe o verzí prvu.) V Z exstují vlastí děltele uly právě tehdy je-l je číslo složeé tj. [][] a b Z {[] } [][] b [] a právě tehdy je-l číslo složeé. Přílad.6. Algebracá strutura Z 5 obsahuje ásledujících pět zbytových tříd (ověřte že sutečě tvoří rozlad tj. Z [] [] [] [ ] [ 4] a j { 4} j platí [] [ j] [] { 5 5 } { 5 Z} ): čísla děltelá pět tj. dávající zbyte [] { 9 4 6 } { 5 Z} čísla dávající př děleí pět zbyte [] { 8 7 } { 5 Z} čísla dávající př děleí pět zbyte [] { 7 8 } { 5 Z} čísla dávající př děleí pět zbyte [] 4 { 6 494 } { 5 4 Z} čísla dávající př děleí pět zbyte 4 de operace sčítáí a ásobeí jsou defováy ásledující tabula: [] [] [] [] [4] [] [] [] [] [4] [] [] [] [] [] [4] [] [] [] [] [] [] [] [] [] [] [4] [] [] [] [] [] [] [4] [] [] [] [4] [] [] [] [] [] [4] [] [] [] [] [4] [] [] [] [] [] [] [] [4] [] [4] [4] [] [] [] [] [4] [] [4] [] [] [] Dsrétí ateata II straa 46

Nyí sado ověříe že v Z 5 je ožé provádět stejé výpočty jao v Q resp. R. Specálě lze dělt eboť avíc platí [] [] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 4] [ 4] [][] a b [ ] ([ a] ) ([ b] ). Napřílad poud áe určt zbytovou třídu [ x ] taovou aby [ ][][] x 4 [] postupovat ásledově: Odtud Dále tedy [] [] x. lze [ ] [ ] [ x ] [ 4] [ ] [ ] využíváe [ ] [ ] [ ] [ 4 ] [ ] x. [ x ] [ 4] [ 4] [ ] [ 4] využíváe [ 4] [ 4] Algebracá strutura Z 6 obsahuje ásledujících šest zbytových tříd: [] { 66 } { 6 Z} čísla děltelá šest tj. dávající zbyte [] { 5 7 } { 6 Z} čísla dávající př děleí šest zbyte [] { 4 84 } { 6 Z} čísla dávající př děleí šest zbyte [] { 9 95 } { 6 Z} čísla dávající př děleí šest zbyte [] 4 { 8 46 } { 6 4 Z} čísla dávající př děleí šest zbyte 4 [] 5 { 7 57 } { 6 5 Z} čísla dávající př děleí šest zbyte 5 de operace sčítáí a ásobeí jsou defováy ásledující tabula: [] [] [] [] [4] [5] [] [] [] [] [4] [5] [] [] [] [] [] [4] [5] [] [] [] [] [] [] [] [] [] [] [] [4] [5] [] [] [] [] [] [] [4] [5] [] [] [] [4] [5] [] [] [] [] [] [4] [] [] [4] [] [] [4] [5] [] [] [] [] [] [] [] [] [] [] [4] [4] [5] [] [] [] [] [4] [] [4] [] [] [4] [] [5] [5] [] [] [] [] [4] [5] [] [5] [4] [] [] [] Dsrétí ateata II straa 47

Z jž elze provádět výpočty ta jao v Q resp. R eboť eexstuje [] [] [] 4 V 6 elze obecě dělt) a avíc ůže platt [ a ] [ b] [ ] přesto že [ a ] [] [][] [][] 4 [] ). (tj. b (apř. Odtud jž otvace pro ásledující defc úplé a reduovaé soustavy zbytů. Defce.6. úplá a reduovaé soustava zbytů Úplou soustavou zbytů odulo azvee aždou ožu obsahující odulo eogruetích celých čísel. Reduovaou soustavou zbytů odulo azvee taovou podožu úplé soustavy zbytů odulo terá obsahuje právě všechy zbyty esoudělé s odule. Pozáa.6. Z defce Eulerovy fuce vyplývá že počet prvů reduovaé soustavy zbytů odulo je rove ϕ ( ). Pro daý odul exstuje eoečě oho úplých ( reduovaých) soustav zbytů eboť aždá zbytová třída je v úplé soustavě zastoupea lbovolý svý prve (tzv. reprezetat zbytové třídy). Nejpoužívaější je vša úplá soustava eješích ezáporých zbytů odulo tj.: { } resp. úplá soustava absolutě eješích zbytů odulo tj.: pro lché resp. pro sudé. Přílad.6.4 Přílady úplých a reduovaých soustav zbytů odulo 5: { 4} úplá soustava eješích ezáporých zbytů odulo 5 { } úplá soustava absolutě eješích zbytů odulo 5 Dsrétí ateata II straa 48

{ 7 8 9 } { 9 8 7} { } { } 4 6 8 5 68 další přílady úplých soustav zbytů odulo 5. Jelož ϕ () 5 4 á aždá reduovaá soustava zbytů odulo 5 právě 4 prvy. { 4} { } { 4 6 8} { } 5 6 8 přílady reduovaých soustav zbytů odulo 5. Přílady úplých a reduovaých soustav zbytů odulo 6: { 4 5} úplá soustava eješích ezáporých zbytů odulo 6 { } { } { 456} { 9 8 7 6 5} { 7 4 8 5 4} { } 7 6 8 9 45 úplé soustava absolutě eješích zbytů odulo 6 další přílady úplých soustav zbytů odulo 6. Jelož ϕ ( 6 ) á aždá reduovaá soustava zbytů odulo 6 právě prvy. { 5} { } { } { } 9 7 přílady reduovaých soustav zbytů odulo 6. Věta.6.4 Nechť a b Z de NSD( a ). Poto platí: a) Je-l { x x } úplá soustava zbytů odulo poto { a x b a x b} taé úplou soustavu zbytů odulo. { } tvoří { } b) Je-l x xϕ( ) reduovaá soustava zbytů odulo poto a x a xϕ( ) tvoří taé reduovaou soustavu zbytu odulo. Důaz. ad a) Zřejě stačí doázat že čísla { a x b } jsou eogruetí odulo. Dsrétí ateata II straa 49