Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40

Obsah 1 Vektory 2 Matice Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 2 / 40

Skaláry a vektory Vektory Veličiny popisující svět kolem nás lze rozdělit do dvou skupin: Skalární veličiny jediné číslo udávající jejich velikost - množství - vzdálenost - čas - hmotnost - teplota Vektorové veličiny více čísel v určeném pořadí - poloha částice v prostoru (3 souřadnice) - orientovaná síla (velikost a směr) - stav populace (počet a čas) Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 3 / 40

Vektory Vektor Necht n N. Uspořádanou n-tici reálných čísel v 1, v 2,..., v n nazýváme (reálným) vektorem. v 1 v v = 2. Rn n...dimenze (rozměr) vektoru v v 1, v 2,..., v n...složky (souřadnice) vektoru v Vektory často (kvůli úspoře místa) zapisujeme do řádku, tj. v n v = (v 1, v 2,..., v n ). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 4 / 40

Vektory Operace s vektory Sčítání vektorů definujeme po složkách, tj. pro v, w R n máme v + w = (v 1, v 2,..., v n ) + (w 1, w 2,..., w n ) = (v 1 + w 1, v 2 + w 2,..., v n + w n ) R n. Násobení vektoru v R n skalárem α R definujeme tak, že každou složku vektoru v vynásobíme skalárem α, tj. α v = α(v 1, v 2,..., v n ) = (αv 1, αv 2,..., αv n ) R n. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 5 / 40

Vektory Vektor 0 = (0, 0,..., 0) nazýváme nulový vektor. Pro libovolné α R, v R n platí: v + 0 = v, α 0 = 0. Vektor v = 1 v nazýváme opačný vektor k vektoru v. Platí v + ( v) = v v = 0. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 6 / 40

Vektory Vektorový prostor Pro všechny vektory v, w R n a skaláry α, β R platí: (1) v + w = w + v, (2) α v = vα, (3) α( v + w) = α v + α w, (4) (α + β) v = α v + β v, (5) α(β v) = (αβ) v, (6) 1 v = v. Množinu všech n-rozměrných vektorů splňující operace (1)-(6), tj. sčítání vektorů a násobení vektoru skalárem, nazýváme n-rozměrný vektorový prostor. Značíme jej V n či jednoduše R n. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 7 / 40

Vektory Vektorový prostor je uzavřen na operace sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem. Je-li V n vektorový prostor, v, w V n, a, b R, pak v + w V n, a v V n, a v + b w V n. Vektory lze zobrazit jako orientované průvodiče bodů (v R 2, R 3 ): Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 8 / 40

Vektory Vektor lze zadat pomocí počátečního a koncového bodu (orientovaná úsečka z A do B): w = AB = B A Vektor je dán velikostí a směrem zelené šipky jsou různá umístění téhož vektoru w. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 9 / 40

Vektory Necht v 1, v 2,..., v m R n a α 1, α 2,..., α m R. Vektor w = α 1 v 1 + α 2 v 2 + + α m v m = m α i v i i=1 nazýváme lineární kombinací vektorů v 1, v 2,..., v m. Příklad Vektor w = ( 1, 5, 4) je lineární kombinací vektorů u = (1, 2, 3) a v = ( 3, 1, 2). Skutečně: 2 u + v = 2 (1, 2, 3) + ( 3, 1, 2) = ( 1, 5, 4) = w Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 10 / 40

Vektory Lineární závislost a nezávislost vektorů Řekneme, že vektory v 1, v 2,..., v m R n jsou lineárně závislé, jestliže platí alespoň jedna z podmínek: Jeden z vektorů je lineární kombinací ostatních. Existují čísla c 1, c 2,..., c m R taková, že alespoň jedno z nich je nenulové a platí m c i v i = c 1 v 1 + c 2 v 2 + + c m v m = 0. i=1 V opačném případě řekneme, že vektory jsou lineárně nezávislé: m c i v i = c 1 v 1 + c 2 v 2 + + c m v m = 0 c 1 = c 2 = = c n = 0 i=1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 11 / 40

Vektory Vektory v 1, v 2,..., v m R n jsou zcela jistě lineárně závislé, jestliže: Příklad je mezi nimi alespoň jeden nulový vektor jsou mezi nimi alespoň dva vektory stejné jeden z daných vektorů je násobkem jiného m > n Vektory u = (1, 2, 3), v = ( 3, 1, 2) a w = ( 1, 5, 4) jsou lineárně závislé. Skutečně: w = 2 u + v Případně: 2 u + v w = 0 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 12 / 40

Vektory Příklad Vektory v 1 = (1, 1, 1), v 2 = (1, 1, 1) a v 3 = (1, 0, 1) jsou lineárně závislé. Skutečně: Leží v jedné rovině. v 2 = 2 v 3 v 1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 13 / 40

Vektory Necht u, v R n. Číslo u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + + u m v m = m u i v i i=1 nazýváme skalární součin vektorů u, v. Dva vektory u a v jsou ortogonální (zobecnění pojmu kolmost) právě tehdy, když u v = 0. Příklad Určete, zda jsou vektory u = ( 3, 7, 2) a v = ( 1, 5, 4) ortogonální. Řešení: u v = 30 nejsou ortogonální Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 14 / 40

Vektory Báze vektorového prostoru Libovolnou n-tici ( v 1, v 2,..., v n ) lineárně nezávislých vektorů z vektorového prostoru V n nazýváme bází vektorového prostoru V n. Systém vektorů ( e 1, e 2,..., e n ) prostoru V n, kde e 1 = (1, 0, 0,..., 0), e 2 = (0, 1, 0,..., 0),. e n = (0, 0, 0,..., 1), nazýváme kanonickou bází prostoru V n. Necht ( v 1, v 2,..., v n ) je libovolná báze vektorového prostoru V n. Potom každý vektor v z prostoru V n je lineární kombinací vektorů z této báze, tj. existují čísla α 1, α 2,..., α n taková, že platí v = α 1 v 1 + α 2 v 2 + + α n v n. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 15 / 40

Vektory Jestliže pro každý vektor báze platí v i v j = 0 pro i j, pak nazveme tuto bázi ortogonální. Jestliže je báze ortogonální a navíc v i v i = 1 pro i = 1, 2,..., n, pak nazveme tuto bázi ortonormální. Kanonická báze je ortogonální i ortonormální. Příklad Zjistěte, zda vektory u = (1, 1, 1), v = (0, 1, 1) a w = (0, 0, 1) tvoří bázi ( u, v, w) vektorového prostoru V 3. Řešení: Musí platit: a 1 u + a 2 v + a 3 w = 0 a 1 = a 2 = a 3 = 0 (lineární nezávislost) Tedy (a 1, a 1 + a 2, a 1 + a 2 + a 3 ) = (0, 0, 0) a 1 = a 2 = a 3 = 0 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 16 / 40

Matice Matice (Reálnou) maticí typu m n rozumíme obdélníkové číselné schéma a 11 a 12 a 1n a A = 21 a 22 a 2n......, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,..., m, j = 1,..., n, nazýváme prvky matice A. Matici A s prvky a ij značíme také A = (a ij ). Množinu všech matic typu m n značíme Mat m n (R). Hlavní diagonála matice typu m n je posloupnost prvků (a 11, a 22,..., a ii ), kde i = min{m, n}. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 17 / 40

Matice Typy matic Čtvercová matice řádu n je matice typu n n. Diagonální matice je čtvercová matice, která má všude nuly s výjimkou hlavní diagonály. Nulová matice O je matice, která má všechny prvky nulové. Jednotková matice I (nebo E) je matice, která má na hlavní diagonále jedničky a všude jinde nuly. Schodovitá matice je matice mající pod hlavní diagonálou samé nuly (každý řádek začíná větším počtem nul než předešlý). A T = (a ji ) je transponovaná matice k matici A = (a ij ). Matice A T vznikne záměnou řádků a sloupců v matici A. Necht matice A a B mají stejný počet řádků. Blokově rozšířenou matici (A B) určíme tak, že prvky matic A a B napíšeme vedle sebe a dáme do jedné matice (A B). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 18 / 40

Matice Příklad Jsou dány matice ( ) 1 0 A =, B = 0 1 Matice A je - čtvercová řádu 2 - jednotková - schodovitá Matice B je schodovitá. Matice C - je čtvercová řádu 3 - není schodovitá ( ) 2 1 0 1 0 1 2 3, C = 0 1 3, D = 2 0 0 0 4 0 1 0 3 4 Matice D je transponovaná k matici B, tedy B = D T a také D = B T. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 19 / 40

Sčítání a odčítání matic Matice Sčítání a odčítání matic stejných rozměrů definujeme po složkách, tj. pro A, B Mat m n (R) máme A ± B = (a ij ) ± (b ij ) = (a ij ± b ij ) Mat m n (R). Příklad 2 1 2 7 0 1 + 4 2 = 5 3 1 8 0 6 4 1 6 11 Příklad ( ) ( ) 5 0 7 2 5 + = nelze (matice mají různé rozměry) 4 1 4 1 0 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 20 / 40

Matice Násobení matice skalárem Násobení matice A Mat m n (R) skalárem α R definujeme tak, že každou složku matice A vynásobíme skalárem α, tj. αa = α(a ij ) = (αa ij ) Mat m n (R). Příklad 2 7 14 49 7 4 1 = 28 7 1 8 7 56 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 21 / 40

Matice Násobení matic Necht matice A je typu m p a B je matice typu p n. Součinem matic A a B rozumíme matici C typu m n, pro jejíž prvky platí c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + a ip b pj = p = a ik b kj, k=1 pro i = 1,..., m, j = 1,..., n. Píšeme C = AB Platí: A m p B p n = C m n Při násobení matic vznikne prvek c ij jako skalární součin i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 22 / 40

Matice Příklad 3 0 2 2 1 K maticím A = 1 4 3 a B = 0 4 určete C = AB a D = BA. 2 7 1 5 9 Řešení: 3 0 2 2 1 16 21 C = 1 4 3 0 4 = 17 12 2 7 1 5 9 9 17 2 1 3 0 2 D = 0 4 1 4 3 = nelze (nemají správné rozměry) 5 9 2 7 1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 23 / 40

Matice Příklad Jsou dány matice 2 1 0 2 A = 1 3, B = 3 1. 4 5 Spočtěte 3A 2B, AB T, A T B. Řešení: 6 7 3A 2B = 9 7 14 11, AB T = 1 2 2 7 0 6 0 7, A T B = 10 17 6 ( 7 3 4 11 ) Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 24 / 40

Příklad Matice Společnost prodává 5 modelů počítačů A, B, C, D, E v prodejnách P 1, P 2, P 3. Velkoobchodní (V) a maloobchodní (M) ceny (v dolarech) a počty kusů každého typu počítače ve skladech jednotlivých obchodů jsou A B C D E P 1 4 2 3 7 1 P 2 2 3 5 0 6 P 3 10 4 3 4 3 V M A 700 840 B 1400 1800 C 1800 2400 D 2700 3300 E 3500 4900 Určete hodnotu skladovaného zboží v jednotlivých prodejnách. Řešení: 700 840 4 2 3 7 1 1400 1800 32000 40480 2 3 5 0 6 1800 2400 = 37000 50160 10 4 3 4 3 2700 3300 39300 50700 3500 4900 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 25 / 40

Matice Vlastnosti operací na maticích Pro všechny matice A, B Mat m n (R) a skaláry α, β R platí: (1) A + B = B + A, (2) αa = Aα, (3) α(a + B) = αa + αb, (4) (α + β)a = αa + βa, (5) α(βa) = (αβ)a, (6) 1A = A. Podobně jako vektory, tak i všechny matice typu m n tvoří vektorový prostor V dimenze m n s operacemi sčítání matic a násobení matice skalárem. Tyto operace splňují vlastnosti vektorového prostoru, což odpovídá právě operacím (1)-(6). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 26 / 40

Matice Necht A, B, C jsou matice vhodných rozměrů. Pak platí zákony asociativity a distributivity (AB)C = A(BC), A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC. Součin matic není komutativní, tj. AB BA a obecně tedy nelze zaměňovat pořadí násobení matic. Necht A Mat m n (R). Potom platí A I n = A a I m A = A. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 27 / 40

Matice Elementární řádkové úpravy Následující úpravy matice nazýváme elementární řádkové úpravy: výměna dvou řádků matice, vynásobení řádku matice nenulovým číslem, přičtení jednoho řádku matice k jinému řádku, vynechání nulového řádku matice. Řekneme, že matice A a B jsou ekvivalentní a píšeme A B, jestliže lze matici A převést konečným počtem výše uvedených operací na matici B. Každou matici lze konečným počtem elementárních řádkových úprav převést na schodovitý tvar. Tomuto postupu říkáme Gaussova eliminační metoda. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 28 / 40

Matice Převod matice na schodovitý tvar (1) V matici najdeme sloupec nejvíce vlevo s alespoň jedním nenulovým prvkem. (2) Zvolíme v tomto sloupci jeden z nenulových prvků (tzv. pivota) a přemístíme řádek, ve kterém se nachází, na pozici prvního řádku (pomocí výměny řádků). (3) Pomocí elementárních řádkových úprav vynulujeme prvky pod pivotem. Vznikne-li nulový řádek, vynecháme ho. (4) Kroky (1)-(3) opakujeme na podmatici, která vznikne z původní matice vynecháním řádku s pivotem. (5) Postup opakujeme, dokud není matice ve schodovitém tvaru. Kdykoliv během postupu můžeme některý řádek vynásobit, nebo vydělit vhodným číslem tak, abychom matici zjednodušili. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 29 / 40

Matice Příklad 0 1 2 6 Převed te matici A = 1 3 3 0 na schodovitý tvar. Řešení: 0 1 2 6 A = 1 3 3 0 2 1 4 1 I II 1 3 3 0 0 1 2 6 2 1 4 1 2 1 4 1 1 3 3 0 1 3 3 0 0-1 2 6 5 II + III 0 1 2 6 0 5 10 1 0 0 0 29 2 I + III Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 30 / 40

Matice Hodnost matice Necht A Mat m n (R). Hodností h(a) matice A rozumíme maximální počet lineárně nezávislých řádků v matici A. Příklad Ekvivalentní matice mají stejnou hodnost. Hodnost matice ve schodovitém tvaru je rovna počtu jejích nenulových řádků. Matice transponovaná má stejnou hodnost jako matice původní. V předchozím příkladu jsme zjistili, že tedy h(a) = 3. 0 1 2 6 1 3 3 0 A = 1 3 3 0 0 1 2 6 2 1 4 1 0 0 0 29, Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 31 / 40

Příklad Matice Určete hodnost matice 2 1 0 3 A = 1 3 2 3. Řešení: h(a) = 2 1 4 2 6 Převodem matice na schodovitý tvar lze zjistit lineární závislost/nezávislost vektorů: Naskládáme vektory do matice po řádcích (či po sloupcích). Jestliže hodnost matice = počet vektorů, pak jsou vektory lineárně nezávislé a můžou tvořit bázi. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 32 / 40

Matice Příklad Jsou dány vektory u = (1, 1, 1), v = ( 1, 8, 7), w = (5, 2, 3). Zjistěte, zda tvoří bázi vektorového prostoru R 3. Pokud ano, rozhodněte, zda se jedná o bázi ortogonální či ortonormální. Řešení: 1 1 1 1 1 1 1 8 7 0 9 6 5 2 3 0 0 114 Vektory jsou lineárně nezávislé a tvoří ortogonální bázi, která není ortonormální ( u u 1). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 33 / 40

Matice Inverzní matice Necht A je čtvercová matice řádu n. Jestliže existuje čtvercová matice A 1 řádu n taková, že platí A A 1 = I = A 1 A, nazýváme matici A 1 inverzní maticí k matici A. Necht A je čtvercová matice řádu n a h(a) = n (matice A má lineárně nezávislé řádky). Pak řekneme, že matice A je regulární. V opačném případě řekneme, že matice A je singulární. Ke čtvercové matici A existuje inverzní matice A 1 právě tehdy, když je matice A regulární. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 34 / 40

Výpočet inverzní matice Matice (1) Matici A blokově rozšíříme o jednotkovou matici stejné velikosti, čímž získáme blokově rozšířenou matici (A I). (2) Pomocí elementárních řádkových úprav převedeme matici A na schodovitý tvar (pracujeme s celými řádky rozšířené matice). (3) Stejným způsobem vynulujeme prvky nad pivoty (směrem zprava doleva) dokud nezískáme diagonální matici. (4) Každý řádek matice vydělíme diagonálním prvkem. (5) Tím jsme matici A převedli na matici I a matici I na matici A 1. Výsledná rozšířená matice je tedy (I A 1 ). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 35 / 40

Matice Příklad Najděte inverzní matice k maticím A, B a C. 1 2 1 3 2 2 3 1 A = 3 4, B = 1 0 4, C = 4 1 2 5 6 2 3 3 2 2 3 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 36 / 40

(B I) = Matice 1 3 2 1 0 0 1 0 4 0 1 0 2 3 3 0 0 1 I + II, 1 3 2 1 0 0 0 3 6 1 1 0 0 3 1 2 0 1 1 3 2 1 0 0 0 3 6 1 1 0 0 0 5 1 1 1 II + III 1 5 1 3 2 1 0 0 0 3 6 1 1 0 0 3 0 11/5 1/5 6/5 0 0 1 1/5 1/5 1/5 2 I + III 0 0 1 1/5 1/5 1/5 2 III + I, 1 3 0 7/5 2/5 2/5 II + I 6 III + II Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 37 / 40

Matice Tedy 1 0 0 4/5 1/5 4/5 0 3 0 11/5 1/5 6/5 0 0 1 1/5 1/5 1/5 1 0 0 4/5 1/5 4/5 0 1 0 11/15 1/15 6/15 0 0 1 1/5 1/5 1/5 1 3 = (I B 1 ) 4/5 1/5 4/5 B 1 = 11/15 1/15 6/15 = 1 12 3 12 15 11 1 6 1/5 1/5 1/5 3 3 3 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 38 / 40

Matice (C I) = 2 3 1 1 0 0 4 1 2 0 1 0 2 2 3 0 0 1 2 3 1 1 0 0 0-5 4 2 1 0 0 5 4 1 0 1 2 3 1 1 0 0 0 5 4 2 1 0 0 0 0 1 1 1 2I + II, II + III I + III Matice C není regulární (h(c) = 2), tedy k ní neexistuje inverzní matice. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 39 / 40

Matice Příklad Najděte inverzní matici k maticím 3 2 1 2 2 1 3 A = 2 2 1, B = 0 1 0 1 2 1 1 2. 1 3 3 2 3 0 3 Řešení: A 1 = 1 11 0 3 0 1 3 12 7 5 9 8, B 1 = 1 2 3 2 1 2 2 13 0 3. 4 5 2 2 5 2 1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 40 / 40