ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT PŘÍKLADY STATICKY NEUTČITÝCH KONSTRUKCÍ Vetnutý tuhý olou s mezlehlou mostovou Lngerův trám (netuhý olou) Vsutý most Zvěšený most DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT Vsutá láv DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT Zoušení podvozového rámu Zoušení tuhost část rosere DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT Termnál HD v Hrdc Králové Ingrch P Kots foto: Petr Hron Stnce metr Střížov v prostoru sídlště Prose v Prze n trse C Ingrch P Kots foto: Petr Hron DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT POUŽITÍ PRINCIPU VIRTUÁLNÍCH PRACÍ PRO VÝPOČET PŘETVOŘENÍ PRINCIP VIRTUÁLNÍCH PRACÍ Ve sttce jsme defnovl vrtuální prác jo prác síly př vrtuálních posunech neo jo prác slové dvojce př vrtuálním pootočení, tj oecně jo prác zoecněné síly (síly neo slové dvojce) př vrtuálním přemístění Z vrtuální posun jsme povžovl ždý mlý posun, možný neo myšlený, soustvě udělený, terý je slučtelný s pohyovým možnostm soustvy, dným vzm Jn je tento posun lovolný Odoně lze defnovt vrtuální pootočení Vrtuální práce vnějších sl Předpoldy: soustv je v rovnováze vznlé deformce jsou mlé deformce jsou v souhlse s pohyovým možnostm soustvy, určeným vzm nejde o přípdy mtání DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT N nosní půsoí v průřezu síl P vyvodí v tomto průřezu průhy o velost δ Rostel síl P pozvoln, vyoná se přetvárná práce o velost 2 P δ N přetvořený nosní zčne nyní půsot síl P2, pod níž vznne dlší průhy δ 22 pod řemenem P průhy δ 2 Síl P2 vyoná prác 2 P 2δ 22 Síl P, terá už půsoí v onečné velost, vyoná ještě prác P δ 2 Z úvhy je ptrno, že př postupném půsoení sl P P2 nepltí záon superpozce, neoť práce vyonná př oou slových účncích je rovn hodnotě 2 P δ + P δ 2 + 2 P 2δ 22 DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT Předpoládejme dv n soě nezávslé slové ztěžovcí účny, tedy ždý půsoí n soustvu zvlášť ) Vnější síl P vyoná v odu n posunutí δ prác 2 P δ ) Vnější síl P2 vyoná v odu 2 n posunutí δ 22 prác 2 P 2δ 22 Uvžujeme-l ždý ze ztěžovcích stvů zvlášť, neude se ont práce P δ 2 Tuto prác oznčme jo prác vrtuální Je to pojem zvedený pro myšlenou (vrtuální) prác síly, onnou př přemístění vyvolném jnou zevšeoecnělou slou neo jným účnem Indexování vrtuálních posunutí: δ znmená, že posunutí v odu je vyvoláno slou P δ 2 znmená, že posunutí v odu je vyvoláno slou P2 δ 22 znmená, že posunutí v odu 2 je vyvoláno slou P2 DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT Pojem vrtuální práce můžeme tedy zvést pro dv lovolné, n soě zcel nezávslé ztěžovcí stvy soustvy Oznčme: velčny jednoho ztěžovcího stvu (síly, ohyové momenty rece) symoly P,, R velčny druhého ztěžovcího stvu symoly P,, R Potom pltí pro vrtuální prác vnějších sl, tj velčn ztěžovcího stvu P,, R př přemístěních ve směru těchto velčn, vyvolných ztěžovcím stvem P,, R : L e P R, r DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT VIRTUÁLNÍ PRÁCE VNITŘNÍCH SIL Přetvoření prutového prvu Účne normálové síly N Poměrné protžení N prvu (dílu) pltí: ds N ds N N ds EF ds EF Výsledné protžení prvu má hodnotu (ez uvžování teploty) N ds ds ds EF de E je modul pružnost láty, F je průřezová ploch prutu DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT Účne ohyového momentu neo účne nestejnoměrného rozdělení teploty po průřezu Nstává vzájemné pootočení dvou lízých řezů o úhel d Od účnu ohyového momentu vzná ( př ldném z ) v průřezu npětí ( z předpoldu Krchhofovy hypotézy zchování rovnného řezu ): z z E z J z resp poměrná deformce z EJ ds d ve vzdálenost z od střednce ds zds z d tedy z ds z z ds d z ds odtud plyne EJ d ds EJ DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT Účne posouvjící síly T Posouvjící síl T způsouje vzájemné posunutí prutových průřezů Pro velost poměrného posunutí pltí s, G de je tvrový součntel > ( npř odélní =,2, pro ruh = 32/27 ) G je modul pružnost ve smyu (pltí E G ) 2 T s je střední hodnot smyového npětí v průřezu F Je tedy zosení vlvem posouvjící síly T ds dt ds GF s DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT Nechť př ztížení nosníu slovým velčnm ztěžovcího stvu P,, R půsoí n prve nosníu vntřní síly, N, T,teré vyvodí v prvu nosníu dély ds přetvoření od ohyového momentu, normálové síly posouvjící síly (vz výše) ds N N ds T T ds,, EJ EF GF Podoně nechť př ztížení nosníu slovým velčnm P,, R půsoí n prve nosníu vntřní síly, N, T Od těch vznjí v elementu přetvoření ds, EJ N N ds, EF T T ds GF Elementární vrtuální práce vntřních sl, N, T, příslušných ztěžovcímu stvu P,, R N T př deformcích,, plynoucích ze ztěžovcího stvu P,, R, se určí vzthem N T dl N T (horní ndex oznčuje, že jde o vrtuální prác vntřních, tj nterních sl) Po doszení z,, ntegrc po celé délce nosníu p N T ds ds ds dl N N TT EJ EF GF DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT Podoně to pltí pro elementární vrtuální prác vntřních sl, N, T plynoucích ze N T ztěžovcího stvu P,, R, př deformcích,,, příslušných ztěžovcímu stvu P,, R : Bettho vět ( o vzájemnost vrtuálních prcí ) Vrtuální práce vnějších sl supny P př přemístěních vyvozených supnou sl P se rovná vrtuální prác vnějších sl supny P př přemístěních vyvozených supnou P A e A xwellov vět xwellov vět plyne z věty Bettho jo její zvláštní přípd Píšeme-l podle Bettho větyp P, pltí př P e P DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT xwellovu větu lze vyjádřt tto: ) Síl P půsoící v místě vyvodí přemístění v místě ve směru síly P, teré je stejně velé jo přemístění v místě, ve směru síly P, vyvozené slou P ) Úhlové pootočení vyvozené v průřezu od účnu momentu půsoícího v průřezu se rovná úhlovému pootočení vyvozenému momentovým účnem v průřezu c) Úhlové pootočení vyvozené v průřezu od účnu síly P půsoící v průřezu je číselně stejné jo průhy vyvozený účnem momentu v průřezu DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT Formulce prncpu vrtuálních prcí Z prncpu o zchování energe plyne, že součet prcí vnějších sl se rovná součtu prcí sl vntřních, tj ds EJ ds EF P R r N N T T ds GF Vrtuální práce rovnovážné soustvy vnějších sl př přemístěních vyvolných druhou rovnovážnou soustvou vnějších sl neo jným účny je rovn vrtuální prác vntřních sl příslušných první slové soustvě př deformcích vyvolných druhou slovou soustvou V prx má n přetvoření nosníů hlvní vlv ohyový moment, vlv normálové posouvjící síly se znedává, potom P R r ds EJ DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT VÝPOČET VNITŘNÍCH SIL KONSTRUKCÍ STATICKY NEURČITÝCH etody výpočtu etod slová etod deformční Vol vhodné metody závsí N stupn sttcé neurčtost N stupn přetvárné (deformční) neurčtost Zhodnocení voly Slová metod použjeme, je-l stupeň přetvárné neurčtost vyšší než stupeň sttcé neurčtost ( přípdně metod mnm potencální energe ) Deformční metod použjeme, je-l stupeň sttcé neurčtost větší než stupeň přetvárné neurčtost Stupeň sttcé č přetvárné neurčtost nám určuje počet neznámých prmetrů pro výpočet sttcy neurčté onstruce DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT Posouzení sttcé č přetvárné neurčtost Stupeň sttcé neurčtost s Stupeň přetvárné neurčtost d počet hmotných odů počet dese počet jednoduchých vze 2 - počet dvojných vze 3 - počet trojných vze p počet uzvřených rámů t počet všech neznámých styčníových pootočení u počet vodorovných posunů (pter) w počet svslých posunů (sloupů) DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT Příldy s 333 6 6x sttcy neurčtá F c d d = 2 ( styčníy ) 2 stupně přetvárné neurčtost s > d použjeme deformční metodu e s 3 22 x sttcy neurčtá F c 2 styčníy + vodorovný posun, tj d 2 3 s < d použjeme slovou metodu d DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT ETODA SILOVÁ Prncp slové metody spočívá v určení sttcy neurčtých velčn, y yl splněn podmín evvlence přetvoření mez dnou ( původní ) onstrucí záldní onstrucí (ovyle sttcy určtou ) ztíženou dným ( původním ) ztížením sttcy neurčtým velčnm Sttcy neurčté velčny Odpovídjí počtu ndytečných slože ( npř vnějších recí ) c q d c q d c q d F původní soustv (PS) F záldní soustv (ZS) F záldní soustv (ZS) Pomocí slové metody určíme sttcy neurčté velčny, 2, 3 3 2 3 2 DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT Sttcy neurčté velčny mohou ýt: ) Složy vnějších recí ) Složy vntřních recí c) Nědy vntřní síly ) Složy vnějších recí Sttcy neurčté velčny zísáme npř jo složy recí t, že uvolníme n ndytečných vze v nchž neznámé rece nhrdíme neznámým sttcy neurčtým velčnm součsně ztížíme záldní soustvu dným ztížením q F q F 2 3 původní soustv (PS) 2 3 záldní soustv (ZS) 2 2x sttcy neurčtá Protože sttcy neurčté velčny neznáme, necháme v jejch půsoštích směrech půsot jednotové síly (přípdně momenty) dle podmíne uložení 2 Od jednotlvých slových (neo momentových) účnů určíme velost průěhy vntřních sl DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT 3 Z prtcých důvodů uvžujeme jednotlvé ztěžovcí stvy smosttně (v lneární teor pružnost pltí prncp superpozce) q F q F 2 3 původní soustv 2 3 ztěžovcí stv ZS vyvodí vntřní síly f, Nf, Tf 2ztěžovcí stv ZS 3ztěžovcí stv ZS 2 vyvodí vntřní síly, N, T vyvodí vntřní síly 2, N2, T2 Protože hledné sttcy neurčté velčny jsou oecně různé od jednoty, musíme po výpočtu hodnoty vntřních sl od jednotového ztížení vynásot příslušnou sttcy neurčtou velčnou DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2 Podle prncpu slové metody pltí pro výsledné vntřní síly (pro tento onrétní příld) 2 2 2 2 2 2 T T T T N N N N f f f Oecně pro n rát sttcy neurčtou onstruc s uvážením vnějších recí rece vnější n f n f n f n f R R R T T T N N N
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT Přetvárné podmíny Sttcy neurčté velčny určujeme z přetvárných podmíne podmínečné rovnce Prncp: Výsledné přetvoření záldní soustvy odpovídá přetvoření původní soustvy Pltí prncp superpozce prncp proporconlty Pro jednotlvé ztěžovcí stvy se provede nlýz příslušných přetvoření q přetvoření v místě ve směru půsoení velčny od ztížení záldní soustvy přetvoření v místě ve směru půsoení velčny od ztížení záldní soustvy = v f f přetvoření v místě ve směru půsoení velčny od ztížení záldní soustvy dným ztížením t - -přípdné účny teplotní v výsledné přetvoření ve směru půsoení t DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2 Jsou-l sttcy neurčté velčny složm vnějších recí, musí pltt: Př pevných podporách výsledné přetvoření nulové Př popuštění podpor výsledný posun v roven velost popuštění příslušné podpory (npř poddolovné území) Podle záon superpozce výsledný posun v ve směru : t f n n v 2 2 z předpoldu pevných podpor v = 0 dostneme pro n sttcy neurčtých velčn soustvu podmínečných rovnc: 0 0 0 3 3 2 2 2 2 2 3 23 2 22 2 3 3 2 2 nt nf n nn n n n t f n n t f n n
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT Aychom vypočítl neznámé sttcy neurčté velčny musíme předem určt hodnoty součntelů,, f (přípdně t) Podle xwelovy věty o vzájemnost přetvoření pltí =, což zjednoduší výpočet součntelů Řešením podmínečných rovnc se zísjí hodnoty neznámých velčn přepočtením záldní soustvy se stnoví průěhy všech vntřních sl Výpočet součntelů K jejch určení použjeme prncp vrtuálních prcí Zvedeme jednotovou vrtuální sílu (vetor), terou necháme půsot ve směru hledného reálného posunu (resp reálného pootočení) Vrtuální práce vntřních sl je rovn vrtuální prác sl vnějších: s d s T dq s N ds S přhlédnutím přetvoření u záldní soustvy od účnu = * T N ds dq ds ds ds EJ GA EA Součntel pro jeden prut ude mít tvr * TT N N ds ds ds EJ GA EA s s s DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT Od účnu = ude mít součntel tvr 2 2 2 * T N ds ds ds EJ GA EA s s s J jž ylo řečeno, v prtcých výpočtech znedáváme vlv normálové posouvjící síly Konečné výrzy pro přímé pruty s onstntní tuhostí ez uvážení vlvu posouvjících sl normálových sl teploty: n j n j n j 2 dx dx f f dx r R EJ l j j 0 EJ l j j 0 EJ l j j 0 r de n je počet ztěžovcích stvů r - vyjdřuje posun neo pootočení ve směru od popuštění podpor R - rece od ztížení záldní soustvy velčnou = r - zdné polesy podpor DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT ETODA DEFORAČNÍ ROVINNÉ KONSTRUKCE Stupeň deformční neurčtost je dán celovým počtem všech neznámých prmetrů styčníové deformce: Styčníové deformce ) Styčníové pootočení ) Posuny ve směrech souřdncových os +u V ždém styčníu jsou: - tř neznámé prmetry styčníové deformce +w - plně určeny třem sttcým podmínm rovnováhy, tj rovnováhy sttcých velčn, terým půsoí všechny pruty n styční (,N,T) DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT Předpoldy řešení zjednodušenou deformční metodou: ) Znedáváme vlv normálové síly n přetvoření prutu ) Posuny styčníů, teré jsou spojeny pruty leží v jedné přímce, jsou ve směru této přímy stejné (npř vodorovné posuvy styčníů ptr sdruženého rámu jsou stejné) Přetvárná neurčtost onstruce je p určen: počtem t pootočení tuhých styčníů počtem možných posuvů u ve směru gloální osy x počtem posuvů w ve směru osy z, styčníů neo částí (pter, sloupů) onstruce: d t u w Přetvárná neurčtost je opět pouze závslá n tvru podepření onstruce je zcel nezávslá n typu ztížení K určení počtu d deformčních přetvoření musíme sestvt d podmíne rovnováhy Jsou to: - podmíny momentové rovnováhy ve styčnících styčníové rovnce - podmíny rovnováhy sl půsoících n posuvné část ve směru jejch posunů ptrové sloupové rovnce DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT Kldný smysl vntřních sl (ve styčnících n oncích nosníů) Kldný smysl normálových posouvjících sl zůstává stejný jo u výpočtu sttcy určtých nosníů, u ohyových momentů je ldným smyslem shody s chodem hodnových ručče n nosníu op n styčníu - nosní mez dvěm styčníy - normálové síly N N - posouvjící síly T T DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT - ohyové momenty +dc d + + c Půsoí-l n onc prutu ldný ohyový moment, jsou n levém onc tžen spodní n prvém onc horní vlán +cd Příld: Hledáme tové ztěžovcí stvy, ychom jejch superpozcí dostl tový ztěžovcí stv jo je stv původní c q d c H ~ cd V ~ cd ~ cd q ~ dc V ~ dc H ~ dc d c ~ cd V ~ cd H ~ cd H ~ dc d ~ dc V ~ dc S S0 Sp DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT Záldní deformčně určtá soustv s0 předpoládá, že př dném ztížení jsou v ždém oncovém průřezu prutu všechny složy deformce nulové tomu odpovídá doonlé vetnutí ždého prutu V místech vetnutí vznjí od dného ztížení prutu složy rece U dné onstruce ~ ~ ~ ~ ~ ~ je ztížen pouze prut cd, proto vznjí složy recí cd, Hcd, Vcd dc, Hdc, Vdc V prutech c d žádné složy recí nevznjí ( nejsou ztíženy ) Deformčně neurčtá soustv Ztížíme-l onstruc v ždém styčníu pouze těmto vntřním slm, le opčného směru ez dného ztížení pomocí prncpu superpozce sečteme tento stv sp se stvem s0 dojde vyrušení styčníového ztížení stvu s0 s recem stvu sp dostneme dnou soustvu s ztíženou pouze dným ztížením Pltí s s 0 s p DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT Sttcé velčny stvu sp vyjádříme pomocí deformčních neznámých, velčny stvu s0 ovyle určujeme z tule Výpočet momentů př doonlém vetnutí prutu l Použjeme tule, de jsou vrnty pro různá ztížení pro nosní ooustrnně vetnutý pro nosníy jednostrnně vetnuté Pro přípd omnovného ztížení pltí prncp superpozce ~ ~ omenty v oncových průřezech prutu př pružném upnutí Je tře určt vzthy mez ohyovým momenty v oncových průřezech složm styčníové deformce, neoť výsledné ohyové momenty n oncích prutu jsou vyvozeny ztížením známým ztížením neznámým deformčním velčnm n záldní soustvě DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT Uvolníme doonlé vetnutí v oncích prutu umožníme vzn ntočení w, posun p VS p x VS2 w 2 Použtím prncpu vrtuálních prcí stnovíme velost momentů v oncích prutu vyvolných neznámým pootočením, posunutím w DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT Výsledné momenty ve styčnících ~ p ~ p Resp ~ 2EJ 2 3 l ~ 2EJ 2 3 l ~ ~ de jsou momenty v oncových průřezech prutu př jeho doonlém upnutí,, jsou sutečná úhlová pootočení oncových průřezů prutu, je sutečné pootočení prutu 2EJ Výrz je sutečná ohyová tuhost prutu ooustrnně pružně upnutého l Z prtcých důvodů zvádíme c, což je poměrná ohyová tuhost prutu, de c je lovolně volená onstnt (terá je společná všem prutům onstruce) t, y z důvodu usndnění výpočtu hodnoty tuhostí neyly n přílš velé, n přílš mlé DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT Potom onečné vyjádření rovnc vypdá tto ~ ~ 2 3 2 3 Kde pro poměrné styčníové pootočení pro poměrné pootočení prutu pltí c c c 0 3 4 uloženého F w 0 oment v oncovém průřezu prutu jednostrnně pružně upnutého tomto přípdě řešíme moment ve vetnutí pomocí úprvy jž odvozených vzorců Z podmíny, že moment v louovém uložení je nulový, dostneme ~ Kde ~ je moment v doonlém vetnutí n prutu jednostrnně louově uloženém je ohyová tuhost rovná ¾ tuhost téhož prutu ooustrnně pružně 2 2 DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT Výpočet posouvjících sl ohyových momentů v oecných průřezech prutu N N N T T x x x x x x T T N T T l l l ztěžovcí stv 2ztěžovcí stv ztěžovcí stv Posouvjící síly T, T odpovídjí recím prostého nosníu té posouvjící síl T x v oecném odě x, je př ztěžovcím stvu shodná s posouvjící slou n prostém nosníu 2ztěžovcí stv Z podmíne rovnováhy dostneme T T l DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT P výsledná posouvjící síl v odě x má hodnotu T x T x l Dále doončíme výpočet ohyového momentu v odě x : x x T x x x l Uprvíme zvedením x l x dostneme onečný vzth x x x l x Pro prut s louovou podporou n jedné strně se oncový moment rovná nule (nd louem) DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT Styčníové rovnce Vyjdřují momentovou podmínu rovnováhy ve vyjmutém styčníu d f c e j g j jsou momenty, jmž půsoí pruty n styční jsou vnější momenty ( ztížení ve j styčníu vnějším momentovým ztížením, npř od onzoly ) Npř pro styční pltí momentová podmín rovnováhy n j j 0 DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT Ptrové sloupové rovnce Jsou to dlší podmíny pro určení deformčních neznámých Vyjdřují součtovou podmínu rovnováhy všech sl ( vnějších vntřních ) půsoících n jeden neo soustvu vyjmutých prutů, teré mjí shodný ptrový ( sloupový ) posun = ptrový řez ψ d ld Pruty c d uvedené onstruce se pootočí dél prutu nemění Proto evvlence ptrového posunutí styčníů, lze vyjádřt vzthem se lc c ψ c d c l c d l d DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2
ÚSTAV ECHANIKY A ATERIÁLŮ FD ČVUT Svslému posunu rání pevné louy c d, pouze se pruty c d se pootočí Vyjmuté pruty dostneme z onstruce oddělením ptrovým řezem, terý vytíná pruty, teré mjí shodný ptrový posun Tc Td vzthů T c T d 0 je ptrová rovnce; posouvjí síly se vyjádří podle výše uvedených Ptrová rovnce vyjdřuje podmínu, že součet všech vodorovných sl půsoících n ptro rámu ( s možností vodorovného posunu ) je roven nule Sloupová rovnce vyjdřuje podmínu, že součet všech svslých sl půsoících n sloup rámu ( s možností svslého posunu ) je roven nule Počet ptrových sloupových rovnc je totožný s počtem nezávslých ptrových sloupových posunů DOC ING ICHAL ICKA, CSc PŘEDNÁŠKA 2