Limita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39

Podobné dokumenty
Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010

Základy matematické analýzy

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010

Spojitost a limita funkce

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Limita a spojitost funkce

Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

Goniometrie a trigonometrie

V této kapitole si zobecníme dříve probraný pojem limita posloupnosti pro libovolné funkce.

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková

Limita ve vlastním bodě

Matematická analýza pro informatiky I. Limita funkce

Limita a spojitost LDF MENDELU

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20

Teorie. Hinty. kunck6am

Řešení 1a Budeme provádět úpravu rozšířením směřující k odstranění odmocniny v čitateli. =lim = 0

Matematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce

7B. Výpočet limit L Hospitalovo pravidlo

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009

Teorie. Hinty. kunck6am

Limita a spojitost funkce

2.6. Limita funkce. Nechť c R jevnitřnínebokrajníbodintervaludefiničníhooborufunkce

1 L Hospitalovo pravidlo

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou

1) Spočítejte limitu pomocí l Hospitalova pravidla, pokud selˇze, spočítejte ji klasicky:

Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011

Posloupnosti a jejich limity

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice

0.1 Funkce a její vlastnosti

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 26. ledna x. x 1 + x dx. q 1. u = x = 1 u2. = 1 u. u 2 (1 + u 2 ) (1 u 2 du = 2.

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Derivace funkce Otázky

Vybrané kapitoly z matematiky

Matematika (KMI/PMATE)

Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace

Derivace goniometrických funkcí

5.3. Implicitní funkce a její derivace

Matematická analýza pro informatiky I. Spojitost funkce

3. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika I (KMI/PMATE)

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

VII. Limita a spojitost funkce

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty

0.1 Úvod do matematické analýzy

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: s1a64/cd/index.htm.

f(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0

Asymptoty funkce. 5,8 5,98 5,998 5,9998 nelze 6,0002 6,002 6,02 6, nelze

(5) Primitivní funkce

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

0.1 Úvod do matematické analýzy

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu

INTEGRÁLY S PARAMETREM

Teorie. kunck6am/ (a) lim. x x) lim x ln ) = lim. vnitřní funkce: lim x. = lim. lim. ln(1 + y) lim = 1,

Bakalářská matematika I

Úvodní informace. 17. února 2018

VI. Derivace složené funkce.

Goniometrické a hyperbolické funkce

Derivace funkcí více proměnných

Základy matematické analýzy (BI-ZMA)

Matematika 1 pro PEF PaE

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Definiční obor funkce

1. Posloupnosti čísel

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

5. cvičení z Matematiky 2

Matematická analýza III.

1 Polynomiální interpolace

Tabulkové limity. n! lim. n n) n + lim. n + n β = 0. n + a n = 0. lim. (d) Pro α > 0 (tj. libovolně velké) a pro β > 0 (tj.

Limita posloupnosti a funkce

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

II. 3. Speciální integrační metody

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu

Základy matematiky pro FEK

2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je

7. Aplikace derivace

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Transkript:

Limita funkce FIT ČVUT v Praze 3.týden (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39

Definice funkce. Zobrazení (f, D f ), jehož definiční obor D f i obor hodnot H f je podmnožinou množiny reálných čísel, se nazývá reálná funkce reálné proměnné. Grafem f se rozumí množina {( x, f (x) ) x D f } R 2. (FIT) Limita funkce 3.týden 2 / 39

Hromadný bod Definice Řekneme, že a R je hromadným bodem množiny A R, když existuje prostá posloupnost (x n ) taková že x n = a. (FIT) Limita funkce 3.týden 3 / 39

Příklady Uved me na několika příkladech, jak mohou vypadat hromadné bodů množiny. Konečná množina nemá žádný hromadný bod. Množina A = { 1 n n N} má jediný hromadný bod 0. Interval 0, 1) má za hromadný bod libovolný prvek intervalu 0, 1. Tento příklad ukazuje, že hromadný bod množiny A může, ale také nemusí patřit do množiny A. N Množina přirozených čísel má jediný hromadný bod, a to +. Z Množina celých čísel má dva hromadné body, a to ±. Množina Q má za své hromadné body celou množinu R. (FIT) Limita funkce 3.týden 4 / 39

Definice ity Definice Necht a R je hromadným bodem definičního oboru D f funkce f a necht c R. Řekneme, že funkce f má v bodě a itu c, pokud pro každou posloupnost (x n ), jejiž členy x n jsou z množiny D f \ {a}, platí x n = a = f (x n) = c. n n Zapisujeme x a f (x) = c nebo zkráceně a f = c. (FIT) Limita funkce 3.týden 5 / 39

Věta Necht (α n ) je reálná posloupnost. Pak platí n = α R n = n eαn = e α, n = + n = n eαn = +, n = n = n eαn = 0. Pro vztah ity a logaritmu dostáváme Necht (α n ) je reálná posloupnost kladných čísel. Pak platí α n = α (0, + ) = ln α n = ln α, n n α n = + = ln α n = +, n n α n = 0 = ln α n =. n n (FIT) Limita funkce 3.týden 6 / 39

Příklad Pro libovolný bod a R platí x a ex = e a, protože podle věty o posloupnostech vztah x n a implikuje e xn e a. Ze stejného důvodu je ln x = ln a x a pro každé a (0, + ). (FIT) Limita funkce 3.týden 7 / 39

Příklad Ukážeme, že (1 + x) 1 x = e. (1) x 0 Abychom určili itu, podle definice máme uvažovat posloupnosti (x n ) takové, že x n = 0, kde navíc x n 0 pro každé n N. Zřejmě pro n absolutní hodnotu platí n 1 x n = +. ( p n = + = 1 + 1 ) pn = e. p n Úlohu posloupnosti (p n ) ted hraje posloupnost 1 x n. Proto f (x n) = (1 + x n) 1 xn n n = n ( 1 + 1 1 x n ) 1 xn = e. (FIT) Limita funkce 3.týden 8 / 39

Pozńamky k definici Udělejme několik důležitých komentářu k definici. Definice nevyžaduje, aby byl bod a z definiční ho oboru funkce f. Např. funkce sgn 1 není definovaná v bodě 0, přesto je x 2 sgn 1 = 1. x 0 x 2 Je-li bod a D f, nemá číslo f (a) žádný vliv na hodnotu ity funkce v bodě a. Např. sgn x 2 = 1 sgn 0 2 = 0. x 0 Požadavek, aby byl bod a hromadným bodem množiny D f je nezbytný k tomu, abychom našli alespoň jednu posloupnost x n D f \ {a}, která má za itu a. (FIT) Limita funkce 3.týden 9 / 39

Když se nám podaří najít dvě posloupnosti (x n ) a (y n ) bodů z D f \ {a} takové, že x n = y n = a a f (x n) f (y n) n n n n Pak x a f (x) neexistuje. (FIT) Limita funkce 3.týden 10 / 39

Příklad Ukažme, že Zkoumejme dvě posloupnosti x 0 sin 1 x neexistuje. x n = 1 2πn a y n = 1 2πn + π 2. Pro obě platí n x n = n y n = 0, ale sin 1 = n x sin(2πn) = 0 a n n sin 1 = n y sin(2πn + π n n 2 ) = 1. (FIT) Limita funkce 3.týden 11 / 39

Příklad Zkoumejme dvě ity 1 x 0 x a 1 x 0 x 2. O první z it snadno ukážeme, že neexituje. Položíme-li totiž za x n = 1 n a za y n = 1 n, obě posloupnosti mají itu a = 0, zato f (x n ) = 1 1 n = n + a f (x n ) = 1 1 n = n 1 Zato zřejmě ita x 0 x 2 = +. (FIT) Limita funkce 3.týden 12 / 39

Jednostranné ity Definice Necht bod a R je hromadným bodem množiny D f (a, + ) a necht c R. Řekneme, že c je itou funkce f v bodě a zprava, pokud pro každou posloupnost (x n ), jejiž členy x n jsou z množiny D f (a, + ), platí x n = a = f (x n) = c. n n Zapisujeme f (x) = c nebo zkráceně f = c. x a+ a+ Obdobně Necht bod a R je hromadným bodem množiny D f (, a) a necht c R. Řekneme, že c je itou funkce f v bodě a zleva, pokud pro každou posloupnost (x n ), jejiž členy x n jsou z množiny D f ((, a), platí x n = a = f (x n) = c. n n Zapisujeme f (x) = c nebo zkráceně f = c. x a a (FIT) Limita funkce 3.týden 13 / 39

Příklad.. 1 x 0+ x 1 = + a x 0 x = sgn x = 1 a sgn x = 1 x 0+ x 0 (FIT) Limita funkce 3.týden 14 / 39

Nutná a postačující podmínka Věta a f = c právě tehdy, když současně a+ f = c a a f = c. Rozdílnost jednostranných it indikuje tedy neexistenci ity celkové. (FIT) Limita funkce 3.týden 15 / 39

Výpočet ity funkce Věta a (f ± g) = a f ± a g, a (f.g) = a f. a g, a ( f g ) = a f a g za předpokladu, že a je hromadným bodem množiny D f ±g, resp. D f.g, resp. D f a výrazy na pravých stranách rovnosti mají smysl. g (FIT) Limita funkce 3.týden 16 / 39

Příklad Uvažujme funkci f (x) = x 4 + 2x 2 3 x 3 3x 2 + 2x a zkoumejme její ity postupně v bodech a = 1, 1, 2,. Protože zřejmě x a = x mužeme s použitím předchozí věty spočítat itu pro každý bod a R, pro který bude výraz f (a) definován. Proto x 1 x 4 + 2x 2 3 x 3 3x 2 + 2x = f ( 1) = 0. Hodnoty f (1) a f (2) nejsou definovány. To znamená, že 1 a 2 jsou kořeny polynomu x 3 3x 2 + 2x. Snadno upravíme x 4 + 2x 2 3 x 3 3x 2 + 2x = (x 2 + 3)(x + 1)(x 1) = (x 2 + 3)(x + 1) x(x 1)(x 2) x(x 2) (FIT) Limita funkce 3.týden 17 / 39

Pokračování příkladu Nyní už můžeme určit prostým dosazením (x 2 + 3)(x + 1) f (x) = = 8. x 1 x 1 x(x 2) Pro výpočet ity v bodě a = 2 upravíme dále (x 2 + 3)(x + 1) (x 2 + 3)(x + 1) = x 2 x(x 2) x 2 x 1 x 2 Limit prvního zlomku je 7, druhý zlomek itu nemá, protože ita zprava a zleva je + resp.. Proto ani celková ita neexistuje. (FIT) Limita funkce 3.týden 18 / 39

Pokračování příkladu Pro výpočet ity v bod e a = musíme provádět upravy jiného druhu, 1 abychom mohli využít toho, že x = 0. x x x 4 + 2x 2 3 x 3 3x 2 + 2x = x 1 + 2 3 x 2 x 4 x x 1 3 x + 2 x 2 3 x 2 x 4 = x 2 x 1 + 2 x 1 3 x + 2 =.1 = (FIT) Limita funkce 3.týden 19 / 39

O itě složené funkce Věta (o itě složené funkce) Necht a R je hromadným bodem definičního oboru složené funkce f ( g(x) ), necht b, c R a necht jsou splněny tyto tři podmínky: 1 x b f (x) = c, 2 x a g(x) = b, 3 bud ( Ha )( x D g Ha {a})(g(x) b) nebo (b D f a f (b) = c). Pak x a f ( g(x) ) = c. (FIT) Limita funkce 3.týden 20 / 39

Příklad Odvodíme důležitou itu Větu o itě složené funkce použijeme na ln(1 + x) = 1. (2) x 0 x vnější funkci f (x) = ln x a bod b = e a vnitřní funkci g(x) = (1 + x) 1 x a bod a = 0. (FIT) Limita funkce 3.týden 21 / 39

. Protože podle (1) je x 0 g(x) = e = b, je splněna 2. podmínka vety. Stačí položit c := x e f (x) = ln e = 1 a je splněna i 1. podmínka. Protože f (g(x)) = ln(1 + x) 1 x = ln(1 + x) x stačí k důkazu tvrzení (2) ověřit splnění 3. podmínky. Jelikož b = e D f = D ln a f (b) = ln e = c = 1 je pravdivá druhá, část 3. podmínky., (FIT) Limita funkce 3.týden 22 / 39

Příklad Dokážeme e x 1 = 1. (3) x 0 x Opět použijeme větu o itě složené funkce. Tentokráte f (x) = ln(1 + x) x a bod b = 0 a g(x) = e x 1 a bod a = 0. Stačí položit c = f (x) = x a x = 1, a protože g(x) = x a x 0 ex 1 = 0 = b je vyhověno 1. a 2. podmínce. V tomto případě, však b = 0 / D f. Nicméně x 0 ln(1+x) g(x) = e x 1 0 = b pro každé x 0 = a, je vyhověno i 3. podmínce, kde za okoĺı H a lze zvolit libovolné okoĺı bodu 0. (FIT) Limita funkce 3.týden 23 / 39

. Celkově do dosazení máme ln(1 + e x 1) f (g(x)) = x 0 x 0 e x = 1 x 0 z čehož už (3) plyne. ln e x e x 1 = x 0 x e x 1 = 1, (FIT) Limita funkce 3.týden 24 / 39

. Na jendoduchém příkladě ukážeme, že podmínka 3. ve znění věty není zbytečná. Uvažujme funkci f (x) = sgn x 2 a bod b = 0. Jak jsme ukázali je f (x) = 1 = c. Je-li vnitřní funkce konstantně rovna 0, tj. g(x) = 0, x b pak x a g(x) = 0 = b. Přesto f (g(x)) = 0 = 0 1 = f (x). x a x a x b (FIT) Limita funkce 3.týden 25 / 39

Nerovnosti v itách Věta Necht existují obě ity f (x) a g(x) a necht navíc existuje okoĺı x a x a Ha takové, že Ha \ {a} D f a Ha \ {a} D g. Pak platí implikace 1 ( x Ha \ {a}) ( f (x) g(x) ) = f (x) g(x). x a x a 2 f (x) < g(x) = ( H a H x a x a a )( x H a \ {a}) ( f (x) < g(x) ). (FIT) Limita funkce 3.týden 26 / 39

Věta o itě sevřené funkce. Věta Necht pro funkce f, g, h a body a, c R platí: 1 existuje okoĺı H a takové, že H a \ {a} D f Dg Dh ; 2 f (x) g(x) h(x) pro každé x H a \ {a} ; 3 existují x a f (x) = x a h(x) = c. Pak existuje i ita x a g(x) a je rovna c. (FIT) Limita funkce 3.týden 27 / 39

P řipomeňme si definice funkcí sin, cos a tg. Pro hodnoty x (0, π 2 ) je z geometrické představy zřejmé, že 0 < sin x < x. Protože funkce sin x je lichá, platí také x < sin x < x pro každé x ( π 2, π 2 ) {0} Jelikož x 0 x = 0, dostaneme z předchozí věty sin x = 0. x 0 Jelikož cos 2 x + sin 2 x = 1 a cos x ( π 2, π 2 ) je kladný, odvodíme pomocí pravidel pro výpočet ity cos x = 1 sin 2 x = 1. x 0 x 0 (FIT) Limita funkce 3.týden 28 / 39

. Využijeme ještě jednu nerovnost, kterou vyčteme z grafického znázornění trigonometrických funkcí Jelikož tg x = sin x cos x dostaneme 0 < sin x < x < tg x pro x (0, π 2 ). cos x < sin x x < 1 pro x (0, π 2 ). Protože funkce cos x i funkce sin x x jsou sudé, lze platnost předchozích nerovnosti rozšířit na x ( π 2, π 2 ) {0}. Z věty o itě sevřené funkce odvodíme sin x = 1. x 0 x (FIT) Limita funkce 3.týden 29 / 39

Example Pro výpočet následující ity využijeme známého vztahu sin 2 x + cos 2 x = 1. cos x 1 (cos x 1)(cos x + 1) sin 2 x = = x 0 x x 0 x(cos x + 1) x 0 x(cos x + 1) = = x 0 ( 1 cos x + 1. x 0 ) sin x 2. x x = 1 x 0 2. 1. 0 = 0. (FIT) Limita funkce 3.týden 30 / 39

. Zatím jsme se věnovali hlavně výpočtu ity funkce v bodě 0. Odvodili jsme ln(1 + x) e x 1 sin x = 1, = 1 a y 0 x x 0 x x 0 x = 1 Tyto ity a větu o itě složené funkce použijeme při výpočtu dalších důležitých it v obecném bodě a R. (FIT) Limita funkce 3.týden 31 / 39

. Na začátku kapitoly jsme přímo z definice ity viděli, že x a ex = e a a ln x = ln a. x a Abychom ukázali, že rovněž x a sin x = sin a, budeme potřebovat součtový vzorec pro funkci sin sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β. Můžeme proto psat sin x = sin ( (x a) + a ) = sin(x a) cos a + cos(x a) sin a, a tedy sin x = cos a sin(x a) + sin a cos(x a) = x a x a x a = cos a y 0 sin y + sin a y 0 cos y = cos a. 0 + sin a. 1 = sin a (FIT) Limita funkce 3.týden 32 / 39

. V posledním kroku úprav jsem využili větu o itě složené funkce, kde za vnitřní funkci bereme y = g(x) = x a. Ze znalosti součtového vzorce pro cos(α + β) obdobně odvodíme, že cos x = cos a. x a (FIT) Limita funkce 3.týden 33 / 39

Příklad Pro a R odvod te Upravujeme e x e a x a x a e x e a x a x a = ea. = e a( e x a 1 ) = e a e x a 1 = x a x a x a x a = e a e y 1 = e a.1 = e a. y 0 y Pro předposlední rovnost jsme využili větu o itě složené funkce, kde za vnitřní funkci jsme vzali g(x) = x a. (FIT) Limita funkce 3.týden 34 / 39

Příklad Pro a > 0 odvod te ln x ln a = 1 x a x a a. Upravujeme ) ln x ln a ln x ln (1 + x a = x a x a x a x a = a 1 x a a ( x a 1) = ) = 1 ln (1 + x a a 1 x a x a 1 = 1 a ln(1 + y) = 1 y 0 y a. Opět jsme využili větu o itě složené funkce, tentokráte za vnitřní funkci jsme vzali g(x) = x a 1. (FIT) Limita funkce 3.týden 35 / 39

Příklad S použitím binomické věty vypočítame itu x 5 a 5 x a x a Stejným postupem dostaneme = (x a)(x 4 + x 3 a + x 2 a 2 + xa 3 + a 4 ) = x a x a = x a (x 4 + x 3 a + x 2 a 2 + xa 3 + a 4 ) = 5a 4. x n a n x a x a = nan 1, pro každé n N. (FIT) Limita funkce 3.týden 36 / 39

. Opustíme-li podmínku celočíselnosti exponentu n, musíme využít složitější aparát. Připomeňme, že funkce e x a ln x jsou k sobě navzájem inverzní, a tedy jejich složením dostaneme identitu. Proto platí e ln b = b pro každé b > 0. (FIT) Limita funkce 3.týden 37 / 39

Příklad Uvažujme nyní parametry α R a a > 0 a dokažme Upravujeme x α a α x a x a = a α x a e α ln x α a α x a x a = αaα 1. ( ( a α x ) ) α = a 1 x a x a x a 1 α ln x a α ln x a x a = αaα x a e α ln ( ) aα e α ln x a 1 = = x a x a x a 1 α ln x a ln x ln a = x a x a = αa α e y 1 ln x ln a. = αa α. 1. 1 y 0 y x a x a a = αaα 1 Pro závěr výpočtu jsme použili příklad 5 a větu o itě složené funkce s vnější funkcí f (y) = ey 1 y a vnitřní funkci g(x) = α ln x a. (FIT) Limita funkce 3.týden 38 / 39

Příklad Odvodíme, že sin x sin a = cos a. x a x a K výpočtu této ity postupně využijeme součtový vzorec pro sin(α + β), výsledek příkladu 1 a větu o itě složené funkce. sin x sin a sin(x a) cos a + cos(x a) sin a sin a = = x a x a x a x a sin(x a) cos(x a) 1 = cos a. + sin a. = x a x a x a x a = cos a. 1 + sin a.0 = cos a. (FIT) Limita funkce 3.týden 39 / 39