G( x) %, ν%, λ. x, x, N, N nezáporné přídatné proměnné, ( ) 2 Matematické programování

Matematicé programování Označení a definice veličin. opt i/maimalizace w, Žádaná hodnota,transpozice, relace typu nebo Inde diagonální formy vetoru. Obecná omezovací podmína Γ ( ( = ( Є, R, y podmíny typu rovnosti, nerovnosti Sloupcový jednotový vetor Jednotová matice Parciální derivace/ řád, rozměr rozměrný prostor reálných čísel Vetor veličin nezávislých/závislých, µ, ν, λ Diagonální forma, µ, ν, λ #,,, N, N nezáporné přídatné proměnné, Optimální, analyticé centrum L U, Interval hodnot vetoru L U Interval přípustných hodnot = Gradient salární funce N, 2 Matematicé programování : Є =, přípustný prostor = proměnných ( λ,ν Φ (, µ ( θ ( θ µ µ Lagrangeovy-multipliátory podmíne rovnosti a nerovnosti. Rozšířená cílová funce Funce q pro et. a inter. penalizaci ξ,, vetory eterních a interních =, λ, ν penalizačních oeficientů složený vetor proměnných f f f derivace funce podle f = =,..., f Gradient salární G f = = funce Jaobiova matice [ J ] = = Γ Γ v [ H ] = f ( Hessova matice Jaroslav Doležal, atedra eletroenergetiy ČVU -FEL Jaroslav Doležal, atedra eletroenergetiy ČVU -FEL

3 Matematicé programování Evivalence omezujících podmíne a operací. operace původní tvar nový tvar ransformace nerovnosti na rovnost ( transformace typů nerovností ransf. rovnosti na dvě nerovnosti transformace ma Náhrada volné proměnné zanedbání ofsetu a multipliativní onstanty ( + =, =, ( Є ( = Є, Є ma( ( { λ + } arg opt. C, λ,, 2 2 arg opt { } Operace s maticemi ( y [ A ] = y [ A] ( [ A] y = y A ( [ A] = [ A] + A = 2 [ A] n n A = A ([ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] A B = B A A B = B A 4 Matematicé programování Charateristiy bodu 2 2 2 ε X O ε X { : ε, X} O = ε Bod je vnitřním bodem množiny X, eistuje-li O X taové ε Bod je hraničním bodem množiny, obsahuje-li jeho libovolné oolí alespoň jeden bod z X a alespoň jeden bod nepatřící do X Množina všech hraničních bodů množiny X tvoří hranici množiny X otevřená množina, má pouze vnitřní body. uzavřená množina, obsahuje všechny své hraniční body. Jaroslav Doležal, atedra eletroenergetiy ČVU -FEL Jaroslav Doležal, atedra eletroenergetiy ČVU -FEL

5 Matematicé programování ohraničená (omezenámnožina, je-jestli eulidovsá vzdálenost mezi dvěma libovolnými body z X je onečná, jina množina je neohraničená (neomezená, 6 Matematicé programování Konvení množiny Průni onveních množin je taé onvení. ompatní množina je uzavřená a ohraničená Konvení množina obsahuje spolu se svými dvěma libovolnými body i úseču, terá tyto body spojuje. Konvení ombinace bodů vytvoří onvení množinu. Jaroslav Doležal, atedra eletroenergetiy ČVU -FEL Jaroslav Doležal, atedra eletroenergetiy ČVU -FEL

7 Matematicé programování Reálná funce f ( se nazývá onvení na množině X, dyž pro libovolné dva navzájem různé body a 2 z X platí: 8 Matematicé programování Derivace ve směru. f ( f ( ( 2 ( ( 2 f β + β f + β f < β < f ( f tgα = D f ( d 2 Přípustný směr: D je přípustný směrvbodě jestliže eistuje ε >, že + αd X pro α ε f ( 2 d D f ( lim f ( + td f ( df df = = dd t t dt f d df d d t d ( =, = + = = dt df ( f d = = f (. d dt = dt Jaroslav Doležal, atedra eletroenergetiy ČVU -FEL Jaroslav Doležal, atedra eletroenergetiy ČVU -FEL

9 Matematicé programování Formulace optimalizační úlohy: { f } opt = arg R optimalizace bez omezení optimalizace s omezením typu nerovnosti = : Γ R = optimalizace s omezením typu rovnosti Matematicé programování Aproimace funce. vadraticá f( + αd = f + α. f D. +.5 α2. D. H. D+ zbyte lineární věta o eistenci optima. Každá spojitá funce definovaná na ompatní množině (ohraničená, uzavřená má maimální i imální hodnotu. Jaroslav Doležal, atedra eletroenergetiy ČVU -FEL Jaroslav Doležal, atedra eletroenergetiy ČVU -FEL

Matematicé programování Podmíny pro optimum:...pro imum...pro maimum 2 Matematicé programování Vázané etrémy Γ R ( = b Je-li bodem loálního optima,pa pro libovolný přípustný směr d platí. řád Hraniční bod ( f D Vnitřní bod f ( = 2. řád 2 d f D [ H ] H Ativní omezení Γ a ativně zúčastňuje (má relaci =!! = jsou ativní vždy je ativní v hraničních bodech Neativní omezení: neplatí = v ativně se nezúčastňuje ignoruje se Jaroslav Doležal, atedra eletroenergetiy ČVU -FEL Jaroslav Doležal, atedra eletroenergetiy ČVU -FEL

3 Matematicé programování Regulární bod. = R je regulární, dyž J ( Γ má plnou řádovou hodnost (=nezávislé gradienty 4 Matematicé programování Situace v optimálním bodě: Γa Γa g Γ a JΓ = = = a Γ a Γ g Γ Γ Γ ečná nadrovina { τ : Γ (. } a R τ = ( = ( τ ( ( τ = τ = = = t 2 vrstevnice = const ( ( = 2 t ( t f ( V etrému platí: Gradient účelové funce je lineární ombinací gradientů ativních omezení. a( R τ f ( R ( R λ a( R Γ = τ = f + Γ = Jaroslav Doležal, atedra eletroenergetiy ČVU -FEL Jaroslav Doležal, atedra eletroenergetiy ČVU -FEL

5 Matematicé programování KK podmíny optima. věta:je-li regulárním bodem loálního optima, pa eistují λ, ν ta, že platí: f + λ + ν. = ( =, ( neativního = ν ν ν Lagrangeova funce: je zonstruována ta, aby ve stacionárním bodě (podmíny.řádu byly splněny KK omezovací podmíny. řád Podmíny optimality:. ( λ ν ( λ ν λ 2.,, =,,, = ( ν (, λ, ν,, λ, ν. ν = ν ( νl( Ověření maimum/imum 2 2 2 = = + λ. [ H] L ( Є ( 2 + ν. ( pozitivně (imum H je semidefinitní negativně (maimum [ ] ( ξ = + λ Є + ν 6 Matematicé programování Interpretace λ = stínové (marginální ceny =citlivost na změnu omezovacích podmíne df dl = = df + λ dє λ = dє b.. změna { } = ( + λ. Є ( Є ( ( b Є ( ( b ( b ( ( b b Є v L b f b b b b Є = = = b b b = ( [ ] ( Є L f f b b Є = + λ = = λ f b f b = b = b ( Є b b b = ( b f b b = λ = λ b = b b b = [ ] d Jaroslav Doležal, atedra eletroenergetiy ČVU -FEL Jaroslav Doležal, atedra eletroenergetiy ČVU -FEL

7 Matematicé programování Interpretace KK podmíne. f, = : =, { } 2 ( λ. ν. L= f + + + zdůvodnění ν { :,, } X = = b b Minimum na větší množině X nemůže být větší než na podmnožině X. f f { } f = ν f = ν. b b pro b je f viz ν ν = ν = { } zdůvodnění ν = L 2 = 2ν = ν = ν 8 Matematicé programování Varianty relaovaných funcí. ξ =, λ, ν vetor proměnných µ, µ ( ϑ ϑ eterně řízené penalizační oeficienty eterní penelizace interní penalizace Lagrangeova funce: ξ = + λ. Є + ν. Rozšířená cílová funce: { } (, µ, µ µ. ( ϑ µ. ( ϑ Φ = + + Rozšířená Lagrangeova funce: ( Є ( ξ =Φ, µ, µ + λ. + ν. Jaroslav Doležal, atedra eletroenergetiy ČVU -FEL Jaroslav Doležal, atedra eletroenergetiy ČVU -FEL

9 Matematicé programování 2 Matematicé programování Dualita a sedlový problém. úloha 2 2 2 2 2 { }. 2 : 2. + 5. 3 = :.25 + 3, 3 Lagrangeova funce má sedlový bod, terý je řešením optimalizace. ( λ ( λ ( λ ( λ ( λ ( λ L, L, L,...bodimau λ L, L, L,...bod maima Jaroslav Doležal, atedra eletroenergetiy ČVU -FEL Jaroslav Doležal, atedra eletroenergetiy ČVU -FEL

2 Matematicé programování Lagrangián 4 3.5 3 2.5 2.5.5.5 duální -.5 Optimum - - -.5 primární.5 22 Matematicé programování platí : L(, λ L(, λ pro, λ Λ nerovnost se neporuší maimalizací ma ma L(, λ L(, λ pro λ Λ λ Λ ma L(, λ ma L(, λ λ Λ λ Λ maimum z im imum z maim rovnost platí pouze pro optimální řešení. Rozdíl funčních hodnot při společném řešení obou úloh = dualitní mezera nese informaci o vzdálenosti atuálního řešení od optima. Dualitní mezera (gap δ dualitní mezera, λ Jaroslav Doležal, atedra eletroenergetiy ČVU -FEL, λ Jaroslav Doležal, atedra eletroenergetiy ČVU -FEL

23 Matematicé programování primární duální ma funce LP = { L( ξ } L (, L λν, D λ ν = ξ úloha Úloha: { L } P { f } : ma λν, L D λ ν { } { (, } LP (, ν = ( f + ν. ma f / LD (, ν = ( f + ν. ν / X ma f = { f + ν. ( } R, ν > Primární úloha je totožná s výchozí úlohou, duální úloha hledá hodnoty duálních proměnných (λ, teré maimalizují duální funci. Duální úloha duální úloze je primární úloha! 24 Matematicé programování /opt ma ν < ν > ν < ν > Relace primární-duální. omezení proměnné polarita omezovacích multipliátorů λ N Primarní duální c ma [ A] [ A] [ A] primární maimalizace vetor Vetor omezení Vetor cílové funce ma λ b b ν b ν = b λ volné [ A] [ A] volné [ A] ν c ν c λ = c duální imalizace ransponovaný vetor Vetor cílové funce Vetor omezení proměnné omezení Jaroslav Doležal, atedra eletroenergetiy ČVU -FEL Jaroslav Doležal, atedra eletroenergetiy ČVU -FEL

25 Matematicé programování Interní a eterní penalizace Optimalizaci s omezením se nahrazuje optimalizací bez omezení. Výchozí úloha: opt { f / : (, = } (, p, b π µ µ opt Vnější penalizace ψ p Vnitřní penalizace ψ b = penalizovaná úloha { f ± µ p( ψ p( ϑ ± µ b ( ψb( ϑ } R µ µ µ p >, b >, b, podmíny ψ p ( ϑ =, ϑ = / ψ p ( ϑ >, ϑ < ψ p ( ϑ, ϑ > lim ψ p ( ϑ = ϑ vyžaduje vnitřní body Г N ma volí autor výpočtu Realizace ψ = + = a ma, = { ( } ( = 2 b ln ( 2 + ( penalizace penalizace 4 26 Matematicé programování 35 3 25 2 5 5 obr.4. Eterní penalizace µ=.5 µ=3 µ= 2 3 4 5 6 7 --> 6 5 4 3 2 obr.5 Interní penalizace µ=.5 µ=3 µ= - 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 --> Jaroslav Doležal, atedra eletroenergetiy ČVU -FEL Jaroslav Doležal, atedra eletroenergetiy ČVU -FEL

27 Matematicé programování Přílad formulace: (, p, b π µ µ = f pi bi = = i... čísloiterace + µ µ ln Algoritmus řešení.. i= volba µ bi >, µ pi >, ε>, ε b > ω bi >, ω pi > stanovení přípustného i 2. i=i+ argopt i = p b X π µ µ { (,, } 3. ontrola onvergence je-li i i ε pa stop jina 4. 4. orece µ µ bi = µ bi. ω bi µ pi = µ pi. ω pi jdi na 2. Jaroslav Doležal, atedra eletroenergetiy ČVU -FEL 28 Matematicé programování Metody vnitřního bodu (Interior point ( µ ( µ # ( µ = µ = Předp: ( jsou onvení a hladé { } případ : = : <, ohraničená ( ln ψ b ( = = if if arg Γ ac arg ma = ln ( = ln ( = = ac = arg ma ( (.. analyticý střed nerovností = Jaroslav Doležal, atedra eletroenergetiy ČVU -FEL

29 Matematicé programování metoda centrální cesty { :, } = úloha : f α > relativní váha mezi f a = ( = α f ln π α opt ( α = arg π ( α metoda středů volená proměnnáγ > f ln γ α =...analyticýstřed α >...centrální cesta úloha : f (, = : (, π γ { } ( f ln ( opt ( γ = arg π ( α ( γ f ( ( γ = = α = γ = α 3 Matematicé programování Paradigma IP originální problém - omezení nerovností { } f, a = : upravený problém - omezení rovností a b { } f, b = : =, obsluha nezápornosti c = { } Γ f µ ln (, c = : = relaovaný problém: ξ =, λ, Γ ln ξ = f µ ( λ R = podmíny. řádu ξ = f = λ =, = = λ = µ. + λ =. λ. = µ Jaroslav Doležal, atedra eletroenergetiy ČVU -FEL Jaroslav Doležal, atedra eletroenergetiy ČVU -FEL

3 Matematicé programování 2 2 f J =, H(, λ = λ. 2 2 (, λ [ ] J Jaroslav Doležal, atedra eletroenergetiy ČVU -FEL J H J [ ] λ [ ] [ Θ ] [ Ω] eliací f H(, λ J J λ = J [ ][ ] λ Θ Ω ( + µ [ Ω] 32 Matematicé programování Paradigma IP vadraticého programování. originální problém - omezení nerovností c + [ Q], = : [ A] b, 2 upravený problém - omezení rovností { } f, = : [ A] b =,, obsluha nezápornosti, { } b [ ] ln c + Q µ + ln, 2 = = = :[ A ] b= { } relaovaný problém: ξ =, λ, b ( ξ = c + [ Q] µ ln( + ln + R 2 = = R ( b [ A] + λ + podmíny. řádu ξ = [ ] { } c + Q µ A λ =, z z = µ { } = b [ A] + = λ = µ + λ = Jaroslav Doležal, atedra eletroenergetiy ČVU -FEL

33 Matematicé programování [ ] c + Q µ. z A λ =. = µ z [ ] λ = µ b A + = [ ] µ ( λ λ c + Q + z + z A + = + z + z = µ ( ( + ( λ ( λ + = µ b [ A]( + + ( + = [ Q] [ ] A z [ ] [ ] z = [ ] [ ] λ [ A] [ ] [ ] λ t c [ Q] + z + A λ µ z = µ λ [ A ] b Systém 2 ( + b rovnic pro 2 ( + b proměnných Jaroslav Doležal, atedra eletroenergetiy ČVU -FEL