Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace 22.z-3.tr ZS 2015/2016 2015 - Ing. Václav Rada, CSc.
TEORIE ŘÍZENÍ druhá část tématu předmětu pokračuje. oblastí matematických pomůcek nezbytných k řešení příslušných problémů. VR - ZS 2010/2011
TEORIE ŘÍZENÍ druhá část tématu předmětu pokračuje. oblastí matematických pomůcek nezbytných k řešení příslušných problémů. LAPLACEOVA TRANSFORMACE
Principem je náhrada zápisu časové derivace funkce jedné proměnné v diferenciálních rovnicích pomocí operátoru D a to ve tvaru, který není součinem: f = D f (t) kde D... je lineární diferenciální operátor. Formálně tato úprava vypadá následovně
Pro diferenciální rovnici (zachycující časově proměnnou skutečnost systému prezentované jednoduchou rovnicí) ve tvaru: nebo y + a * A y + b * y = f d 2 y / dt 2 + a * dy / dt + b * y = f (t)
bude zápis pomocí operátoru D ve tvaru: (D 2 + a * D + b ) * y = f a řešení nespočívá ve vydělení funkce mnohočlenem v závorce.
Pokud budou derivace nahrazeny součtem nekonečně mnoha tlumených funkcí exponenciálních ve tvaru: f (t) = F(p) * e at * dp kde a... konstanta pak operátor D bude představovat násobení konstantou a.
Pak lze také vyjádřit derivace časové funkce pomocí integrálu závislého na parametru p vztahem: f (t) = F(p) * e -pt * dp a tedy následnou derivací za integrálem přejde do tvaru: f (t) = D f (t)= p * F (p) * e -pt * dt
Za podmínek, že bude pro funkci f (t) platit (musí splnit tyto podmínky): f (t) je jednoznačná a pro t < 0 identicky nulová (v čase před t = 0 jakoby neexistovala) f (t) je v každém konečném intervalu po částech hladká (spojitá) f (t) je exponenciálního tvaru, tzn., že existuje takové číslo (hranice konvergence) c > 0 pro které platí e -pt * f (t) < M kde M... je konečná kladná konstanta a dále, že následujíc integrál existuje pro všechna p, pro které platí: Re p > c
Za uvedených podmínek platnosti a existence lze všechny funkce významné v technické praxi vyjádřit ve tvaru: f (t) = F (p) * e -pt * dt přičemž tento tvar lze zapsat i pomocí tzv. Laplaceova obrazu funkce: T F (p) = L [ f (t) ] = f (t) * e -pt * dt = f (t) * e -pt * dt 0
Za splnění výše uvedených podmínek platí, že Laplaceova transformace splňující uvedené podmínky je jednojednoznačná a že každé funkci f(t) náleží jediný obraz F(p) a naopak. je tedy přiřazením obrazu F(p) každé funkci f (t). Aplikace je možná pouze pro určité systémy a za určitých podmínek (přesně definovaných) - pro běžnou praxi jsou knižní formou k dispozici tabulky vzájemného převodu různých funkcí originálu f (t) a jeho Laplaceova obrazu F(p).
Definice Laplaceova obrazu funkce Nechť funkce f (t) je takovou komplexní funkcí jedné reálné proměnné t, že integrál na pravé straně konverguje alespoň pro jedno komplexní číslo p. Pak funkce f (t) je nazývána předmětem nebo originálem a funkce F (p) je definována rovnicí: F (p) = f (t) * e -pt * dt 0 a je nazývána Laplaceovým obrazem originálu funkce f (t).
Důležité vlastnosti - funkcí a jejich obrazů patří: linearita transformace pro: f (t) = a 1 * f 1 (t) + a 2 * f 2 (t) + a 3 * f 3 (t) +... + a n * f n (t) existují jednotlivé obrazy a tedy i pro: F(p) = a 1 * F 1 (p) + a 2 * F 2 (p) + a 3 * F 3 (p) +... + a n * F n (p) a platí to i obráceně pro zpětnou Laplaceovu transformaci.
Obraz funkce násobené konstantou pro: pro obraz F(p) bude platit: f 1 (t) = c * f (t) F 1 (p) = L [ c * f (t) ] = c * F(p)
Obraz posunuté funkce pro: když t < d a d A > 0, pak bude: f 1 (t) = 0 f 1 (t)= f (t d ) pro t d to znamená, že funkce f 1 (t) je posunuta o čas d vpravo (směrem rostoucího času) a.
. její obraz bude: neboli F 1 (p) = L [ f (t d) ] = f (t - d) * e-pt * dt = = e -pd * 0 0 F 1 (p) = e -pd f (u) * e -pu * du * F (p) pro posun vlevo platí: F 2 (p) = e pd d * F (p) - e -pd * 0 f (t) * e -pt * dt
Obraz derivace funkce pro: k 1 F (k) (p) = L [df (k) (t) / dt k ] = p k * F (p) - i 0 Věta o počáteční hodnotě pro: p i * f (k-i-1) (+0) f (+0) = lim f (t) = lim p * F (p) t 0 p Věta o konečné hodnotě pro: f ( ) = lim f (t) = t lim p 0 p * F (p)
Obraz integrálu funkce f (t) pro obraz F (p) pak pro zpětnou transformaci bude platit: t L [f (t) * dt ] = F (p) / p 0 konvoluce obrazů pro F 1 (p) a F 2 (p), které jsou obrazy funkcí f 1 (t) a f 2 (t) platí: F (p) = L [ f 1 (t) * f 2 (t) ] = F 1 (p) * F 2 (p) (kde!!! znak * znamená konvoluci).
Zpětná je definována vztahem: f (t) = (1 / 2*π*j) * F (p) * e pt * dp = Res [ F (p i ) * e pit ] G n i 1 kde p = p i... jsou póly funkce F (p) Res [ F (p i ) * e pit... je residuum pólu p i. Integrace musí být provedena v komplexní rovině a integrační cesta G musí obcházet (obepínat) všechny póly.
Je-li funkce F (p) racionální, ryze lomená, pak platí její rozklad na podíl mnohočlenů v čitateli a ve jmenovateli pro m n : M ( p) N( p) F (p) = = bm * p m bm 1* p m 1... b 0 a n * p n b n 1 * p n 1... a 0 a k tomu je časová funkce (lze ji určit L Hopitalovým pravidlem) jako rozvojový vzorec: f (t) = n M ( p) i 1 N( p) * e pit
a to by bylo zatím vše... 310...
Témata..