Srovnání konformních kartografických zobrazení pro zvolené území (návod na cvičení) 1 Úvod Cílem úlohy je srovnání vlastnosti jednoduchých konformních zobrazení a jejich posouzení z hlediska vhodnosti či nevhodnosti pro znázornění zvoleného území. Metodika hodnocení je založena na analýze hodnot délkového zkreslení na okrajových rovnoběžkách území. Vzhledem k tomuto kritériu budou posuzována následující kartografická zobrazení: válcové zobrazení se dvěma nezkreslenými rovnoběžkami, kuželové zobrazení se dvěma nezkreslenými rovnoběžkami, stereografická projekce. Kartografická zobrazení volíme v obecné poloze. 1.1 Použitá symbolika Necht R představuje poloměr referenční koule, u, v zeměpisné souřadnice obecného bodu P, x, y pravoúhlé souřadnice obrazu bodu P v rovině mapy, u 0 zeměpisnou šířku jedné nezkreslené rovnoběžky, u 1, u šířky dvou nezkreslených rovnoběžek, u k, v k zeměpisné souřadnice kartografického pólu K, u s zeměpisnou šířku severního okraje území. Hodnoty š, d představují kartografické souřadnice bodu P, š 0 kartografickou šířku 1 nezkreslené rovnoběžky, š 1, š kartografické šířky dvou nezkreslených rovnoběžek, n představuje konstantu zobrazení. Válcové konformní zobrazení Zobrazovací rovnice Mercatorova zobrazení v obecné poloze lze zapsat ve tvaru x = R cos(š 0 ) cos(d) (1) y = R ln(tan( š + 45 )) () Volbu nezkreslené rovnoběžky provedeme z podmínky, aby délková zkreslení m rs na severním a m rj na jižním okraji území byla stejné, tj. platí Po sečtením (3) + (4) platí: m rs = m rj = 1 + c (3) m r0 = 1 c. (4) m rs + m r0 =. (5) 1
Obrázek 1: Znázornění volby válcového zobrazení v obecné poloze pro zadané území. S ohledem na obecný tvar zobrazovacích rovnic válcového zobrazení x = nv, y = f(u), kde n = R cos(u 0 ), určíme měřítko délek v rovnoběžce ze vztahu Dosadíme -li (6) do (5), platí dx R cos(u)dv = n R cos(u) = cos(u 0) cos(u). (6) cos(u 0 ) cos(0) + cos(u 0) cos(u s ) =. Zeměpisnou šířku u 0 nezkreslené rovnoběžky spočítat jako cos(u 0 ) = cos(u s) 1 + cos(u s ). (7) Druhá nezkreslená rovnoběžka bude symetrická vzhledem k rovníku, její zeměpisná šířka bude u 0. Zobrazení volíme v obecné poloze, ve vzorcích nahradíme u š a v d. Středem zadaného území vedeme kartografický rovník a dvě kartografické rovnoběžky tak, aby se území sevřelo do co nejužšího pásu, viz obr. 1. Odečteme zeměpisné souřadnice dvou libovolných bodů P 1 = [u 1, v 1 ] a P = [u, v ] ležících na kartografickém rovníku. Kartografický rovník představuje ortodromu, z bodů P 1 a P vypočteme s použitím kosínové věty pro sférický trojúhelník (S, P 1, P ) zeměpisné souřadnice kartografického pólu K = [u k, v k ] tan(v k ) = tan(u 1) cos(v ) + tan(u ) cos(v 1 ) tan(u 1 ) sin(v ) tan(u ) sin(v 1 ), (8) tan(u k ) = cos(v k v 1 ) tan(u 1 ) = cos(v k v ). (9) tan(u )
Označme libovolný bod ležící na okrajové rovnoběžce jako P 3 = [u 3, v 3 ]. Z tohoto bodu spočteme za použití kosinové věty pro sférický trojúhelník (S, P 3, K) její kartografickou šířku š s š s = 90 arccos(sin(u 3 ) sin(u k ) + cos(u 3 ) cos(u k ) cos(v 3 v k )). Kartografickou šířku nezkreslené kartografické rovnoběžky š 0 poté určíme jako cos(š 0 ) = cos(š s) 1 + cos(š s ). (10) Měřítko délek m lze v libovolném bodě s kartografickou šířkou š určit ze vztahu m = cos(š 0) cos(š). (11) Obrázek : Znázornění volby kuželového zobrazení v obecné poloze pro zadané území. 3 Kuželové konformní zobrazení Zobrazovací rovnice Lambertova konformního zobrazení v obecné poloze lze určit ze vztahu ( ) n tan( š 0 + 45 ) ρ = ρ 0 tan( š + (1) 45 ) ε = n d (13) Zobrazení má dvě konstanty, ϱ 0, n. Označme š s, š j kartografické šířky okrajových rovnoběžek svírající území. Konstantu n určíme ze vztahu n = log(cos(š s )) log(cos(š j )) log(tan( šj + 45 )) log(tan( šs + 45 )) sin(š 0 ) = n (14) 3
Konstantu ϱ 0 lze spočítat jako ϱ 0 = R cos(š 0 ) cos(š s ) tan n ( šs + 45 ) n [ cos(š 0 ) tan n ( š0 + 45 ) + cos(š s ) tan n ( šs + 45 ) ] (15) Zadané území sevřeme dvěma kartografickými rovnoběžkami představujícími soustředné kružnice do co nejužšího pásu, viz obr.. Souřadnice kartografického pólu K = [u k, v k ] určíme odečtením z mapy, představuje střed kružnic. Na každé z okrajových rovnoběžek zvolíme libovolný bod, označme je jako P 1 = [u 1, v 1 ] a P = [u, v ]. V dalším kroku určíme ze sférických trojúhelníků (P 1, S, K) a (P, S, K) za použití kosínové věty kartografické šířky š s, š j obou okrajových rovnoběžek. š s = 90 arccos(sin(u 1 ) sin(u k ) + cos(u 1 ) cos(u k ) cos(v 1 v k )), (16) š j = 90 arccos(sin(u ) sin(u k ) + cos(u ) cos(u k ) cos(v v k )). (17) Tyto hodnoty dosadíme do (14), (15). Poloměr severní rovnoběžky ρ s určíme dosazením š s za š do (1), poloměr jižní rovnoběžky ρ j dosazením š j za š do (1). Dosazením š s, š j ρ s, ρ j do obecného vzorce pro výpočet měřítka délek nϱ s R cos(u s ) = nϱ j R cos(u j ) (18) určíme hodnoty délkových zkreslení na severní a jižní okrajové rovnoběžce. Dosazením š 0, ρ 0 do (18) zkontrolujeme, zda pro délkové zkreslemí na této rovnoběžce platí m r0 = 1. 4 Azimutální konformní zobrazení Stereografická projekce bude disponovat jednou nezkreslenou rovnoběžkou s kartografickou šířkou š 0. Zobrazovací rovnice stereografické projekce v obecné poloze lze zapsat ve tvaru ρ = ( 90 ) š R tan (19) ε = d (0) Zenitový úhel ψ. Azimutální zobrazení zavádějí substituci ψ = 90 u, úhel ψ je označován jako zenitový, představuje doplněk zeměpisné šířky do 90. Zadanému území opíšeme kružnici představující kartografickou rovnoběžku s co nejmenším poloměrem, její střed představuje kartografický pól K, viz obr. 3. Zvolíme libovolný bod P 1 = [u 1, v 1 ] ležící na této rovnoběžce. Azimutální zobrazení v obecné poloze zavádějí substituci ψ = 90 š. S využitím kosínové věty pro sférický trojúhelník (S, P 1, K) určíme hodnotu ψ okr jako ψ okr = arccos(sin(u 1 ) sin(u k ) + cos(u 1 ) cos(u k ) cos(v 1 v k )). (1) Abychom minimalizovali vliv zkreslení, upravíme volbu konstant. 4
Obrázek 3: Znázornění volby azimutálního zobrazení v obecné poloze pro zadané území. Multiplikační konstanta k. V kartografickém pólu nebudeme uvažovat nulové zkreslení. Zkreslení bude nabývat hodnoty k, tuto proměnnou nazýváme jako multiplikační konstantu. Nezkreslenou rovnoběžku ψ 0 nebudeme volit, její hodnota nám vyjde z výpočtu. Pro délkové zkreslení na pólu, ψ = 90 š, bude platit m = c tan( ψp ) R sin( ψp ) cos( ψp ) = k c = kr. Hodnotu multiplikační konstanty k lze pro určit ze vztahu Redukovanou šířku ψ 0 vypočteme jako k = Délkové zkreslení m r na okrajové rovnoběžce ψ okr určíme ze vztahu 5 Závěr cos ( ψ okr ) 1 + cos ( ψ () okr ). ψ 0 = arccos( k). (3) k cos ( ψ (4) okr ). Pro území protáhlého tvaru se jako nejvhodnější jeví válcová či kuželová zobrazení, jejichž křivky stejného zkreslení tvoří obrazy kartografických rovnoběžek (tj. úsečky). Pro zobrazení území s podobnou šířkou a délkou (nejsou dominantní v jednom ze směrů) je nejvhodnější použít azimutální zobrazení, jehož ekvideformáty představují obrazy kartografických rovnoběžek ve tvaru kružnice. 5