Literatura: Kapitola 5 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Podobné dokumenty
Literatura: Kapitola 5 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Literatura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Literatura: Kapitoly 3, 4 a 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Dnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic

Co jsme udělali: Au = f, u D(A)

Aplikovaná numerická matematika - ANM

Příklady pro cvičení 22. dubna 2015

(Poznámka: V MA 43 je věta formulována trochu odlišně.)

Numerická matematika 1

Tento dokument obsahuje zadání pro semestrální programy z PAA. Vypracování. vypracovanou úlohu podle níže uvedených zadání. To mimo jiné znamená, že

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

stránkách přednášejícího.

Úvod do parciálních diferenciálních rovnic. 2 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce

FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci

Co je obsahem numerických metod?

Numerická matematika. Zkouška: 4 příklady, důraz na dif. rovnice.

0.1 Úvod do lineární algebry

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008

0.1 Úvod do lineární algebry

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

1 0 0 u 22 u 23 l 31. l u11

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

Matematika B101MA1, B101MA2

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC

Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

8. Okrajový problém pro LODR2

Operace s maticemi

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic

Soustavy linea rnı ch rovnic

Literatura: Text o lineární algebře na webových stránkách přednášejícího (pro opakování). Kapitoly 4 a 5 ze skript Ondřej Zindulka: Matematika 3,

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Soustavy lineárních rovnic

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Základy matematické analýzy

které charakterizují danou fyzikální situaci. souvislostí). Může být formulován jako soustava rovnic a nerovnic.

Numerická matematika. Úvodní informace. Viz Kontakt: Petr Sváček, KN:D 201

Numerické řešení diferenciálních rovnic

PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic. 27. prosince 2011

IB112 Základy matematiky

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =

Řešení 1D vedení tepla metodou sítí a metodou

24. Parciální diferenciální rovnice

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

1 Determinanty a inverzní matice

Soustavy lineárních rovnic a determinanty


0 0 a 2,n. JACOBIOVA ITERAČNÍ METODA. Ax = b (D + L + U)x = b Dx = (L + U)x + b x = D 1 (L + U)x + D 1 b. (i) + T J

1 Modelování systémů 2. řádu

10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo

8 Matice a determinanty

Řešení okrajové úlohy metodou konečných diferencí a relaxační metody

Globální matice konstrukce

Budeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu a, b : 2 ) y i p i+ 1

Stabilizace Galerkin Least Squares pro

Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu

Homogenní (nulové) okrajové podmínky Nehomogenní (nenulové) okrajové podmínky

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

Kapitola 11: Vektory a matice:

l, l 2, l 3, l 4, ω 21 = konst. Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj. analyticky

1 Vedení tepla stacionární úloha

19 Hilbertovy prostory

1. Obyčejné diferenciální rovnice

Soustavy lineárních rovnic

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti

5. Lokální, vázané a globální extrémy

Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb

16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy

Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

Několik aplikací. Kapitola 12

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1

Lineární algebra : Metrická geometrie

Vyučující: Jan Chleboun, místnost B-305, linka 3866 Konzultace: čtvrtek 13:00-14:40 nebo dle dohody

em do konce semestru. Obsah Vetknutý nosník, str. 8 Problém č.8: Průhyb nosníku - Ritzova metoda

Rovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w

Operace s maticemi. 19. února 2018

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Základy matematiky pro FEK

Transkript:

Předmět: MA Dnešní látka: Metoda sítí pro D úlohy. Poissonova rovnice. Vlnová rovnice. Rovnice vedení tepla. Literatura: Kapitola 5 ze skript Karel Rektorys: Matematika 3, ČVUT, Praha,. Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Metoda sítí pro eliptické PDR ve D Připomeňme, že u je zkrácený zápis výrazu u x + u y Úloha (s Dirichletovou okrajovou podmínkou): u = f v Ω = (a, b ) (a, b ), u = g na Γ. Dělení ve směru x s krokem h, body x i = a + ih, i =,,...,M. Dělení ve směru x s krokem h, body x j = a + jh, j =,,...,N. Uzly P i,j (x i, x j ). Označme u i,j = u(p i,j ). Je-li u dostatečně hladká funkce, pak parciální derivace funkce u umíme vyjádřit pomocí hodnot u v uzlech a parametrů h a h :

u (P i,j ) = u i+,j u i,j +O(h x h ), u x (P i,j ) = u i,j u i,j + u i+,j h +O(h ), u (P i,j ) = u i,j+ u i,j +O(h x h ), u x (P i,j ) = u i,j u i,j + u i,j+ h +O(h ). Označíme-li f i,j f(p i,j ) a zavedeme U i,j místo u i,j, můžeme psát diferenční (sít ové) rovnice odpovídající vnitřním uzlům sítě, např. uzlu P i,j. Vztah u(p i,j ) = f(p i,j ) nahradíme rovností

U i,j U i,j + U i+,j h U i,j U i,j + U i,j+ h = f i,j, kde i =,,...,M, j =,,...,N. Hodnoty U,j, U M,j, kde j =,,...,N, a hodnoty U i,, U i,n, kde i =,,...,M, jsou přímo určeny okrajovou podmínkou u = g na Γ. Dostáváme tedy systém (M )(N ) lineárních algebraických rovnic s neznámými U,, U,,..., U,N, U,, U,,...,U,N,..., U M,, U N,,...,U M,N. Neznámé uspořádáme do sloupcového vektoru û, hodnoty f i,j do sloupcového vektoru f a koeficienty soustavy do (řídké) matice A. Řešíme soustavu Aû = f. Lze ukázat, že matice A je symetrická a pozitivně definitní. Často h h = h, zjednodušení diferenčních rovnic.

Speciální případ: u =, čtvercová sít, tj. h = h. Rovnice U i,j U i,j + U i+,j h kde h = h a f i,j =, přejde v U i,j U i,j + U i,j+ h = f i,j, (U i,j U i,j + U i+,j ) (U i,j U i,j + U i,j+ ) =, tedy U i,j = U i,j + U i+,j + U i,j + U i,j+, tj. aritmetický průměr hodnot v sousedních uzlech. Liebmannova iterace: v nulté aproximaci je část hodnot U i,j dána okraj. podm., hodnoty ve zbývajících uzlech jsou libovolně zvoleny; postupný výpočet průměrů s využitím "čerstvých" hodnot; ukončení výpočtu při splnění konvergenčního kritéria. Odpovídá Gaussově-Seidelově metodě. Konvergence k přesnému řešení diskretizované úlohy.

Liebmannova iterace: příklad u = v Ω = (, ) (,, 5), u = x y + na Γ Ω. Diskretizační parametr h = / ve směru x i y. Liebmannova iterace. Presne reseni: x y + Liebmannova iterace. Presne reseni: x y + 6 6.5.5.75.75.75.5.5.5.5.5.5 osa y osa y osa x.75.5.5 osa x

Liebmannova iterace. Presne reseni: x y + Liebmannova iterace. Presne reseni: x y + 6 6.5.5.75.75.75.5.5.5.5.5.5 osa y osa y osa x.75.5.5 osa x Liebmannova iterace. Presne reseni: x y + Liebmannova iterace. Presne reseni: x y + 6 6.5.5.75.75.75.5.5.5.5.5.5 osa y osa y osa x.75.5.5 osa x

Liebmannova iterace. Presne reseni: x y + Liebmannova iterace. Presne reseni: x y + 6 6.5.5.75.75.75.5.5.5.5.5.5 osa y osa y osa x.75.5.5 osa x Liebmannova iterace. Presne reseni: x y + Liebmannova iterace. Presne reseni: x y + 6 6.5.5.75.75.75.5.5.5.5.5.5 osa y osa y osa x.75.5.5 osa x

Liebmannova iterace. Presne reseni: x y + Liebmannova iterace. Presne reseni: x y + 6 6.5.5.75.75.75.5.5.5.5.5.5 osa y osa y osa x.75.5.5 osa x Liebmannova iterace. Presne reseni: x y + 6.5.75.5.5 osa y.75.5.5 osa x

Na konci.,., 3. a. cyklu iterací přes všechny uzly: Liebmannova iterace. Presne reseni: x y + Liebmannova iterace. Presne reseni: x y + 6 6.5.5.75.75.75.5.5.5.5.5.5 osa y osa y osa x.75.5.5 osa x Liebmannova iterace. Presne reseni: x y + Liebmannova iterace. Presne reseni: x y + 6 6.5.5.75.75.75.5.5.5.5.5.5 osa y osa y osa x.75.5.5 osa x

Spojitá, po částech lineární interpolace ("dva trojúhelníky = jeden obdélník"). Liebmannova iterace. Presne reseni: x y + 5 3.5.75.5.5 osa y.75.5.5 osa x Výsledky získané na jemnejší síti; iterací a iterací: Liebmannova iterace. Presne reseni: x y + Liebmannova iterace. Presne reseni: x y + 5 5.5 5 3 3.5 3 3 osa y osa x.5 osa y osa x

Liebmannovou iterací lze řešit i Poissonovu rovnici u = f Sít ová rovnice v uzlu s indexy i, j U i,j U i,j + U i+,j h kde h h = h, přejde v U i,j U i,j + U i,j+ h = f i,j, (U i,j U i,j + U i+,j ) (U i,j U i,j + U i,j+ ) = h f i,j, tedy U i,j = U i,j + U i+,j + U i,j + U i,j+ + h f i,j. Další postup je stejný jako dříve. Příklad: u = 6 sin(xy)(y + x ), s takovými okrajovými podmínkami, aby přesné řešení bylo u(x, y) = sin(xy) na obdélníku (, ) (,, 5).

Priblizne reseni (presne reseni sin(xy)).8.6.....6.8.5.5.75.5.5.75.5.5

Přibližné řešení z jiného pohledu. Priblizne reseni (presne reseni sin(xy)).5.5.5.5.75.5.5.75.5.5

Rozdil mezi presnym a pribliznym resenim v uzlech site x 3 x 3.5 y.5.5 x 3

Ukázka konvergence přibližného řešení. Poloviční krok sítě čtvrtinová chyba, ale čtyřnásobný počet iterací. Abs. hodn. rozdilu mezi presnym a pribl. resenim v uzlech site. h=, h h/ h/ h/8 h/6 3 5 3 Pocet cyklu Liebmannovych iteraci

Obecné poznámky k řešení Poissonovy rovnice s OP: Pokud Ω není obdélník, pak přibližné zachycení Dirichl. okrajových podmínek. Při některých způsobech větší chyba diskretizace větší chyba metody. Vhodná aproximace zajistí chybu metody η h max C(max(h, h )) (za předpokladu jisté hladkosti přesného řešení u). Lze řešit i úlohy s okr. podm. s derivací. Lze řešit okr. úl. se složitější dif. rov.: ( a u ) ( b u ) + qu = f, x x x y kde a, b C (Ω), q, f C(Ω), a, b c >, q.

Rovnice kmitání struny (vlnová rovnice) (příklad PDR hyperbolického typu) u t = u a x v Ω = (, L) (, T), u(x, ) = g (x), < x < L poč. výchylka u t (x, ) = g (x), < x < L poč. rychlost u(, t) = u(l, t) =, < t < T okraj. podm., přičemž a = F ρ, kde F je síla, která napíná strunu, a ρ je délková měrná hmotnost struny.

Diskretizace Uzly sítě: (x i, t k ) = (ih, kτ), i =,,...,M, k =,,...,N, h = L/M, τ = T/N, N a M jsou přirozená čísla. Za předpokladu hladkosti funkce u v Ω: Diferenční rovnice u x (x i, t k ) = uk i uk i + ui+ k h +O(h ), u t (x i, t k ) = uk+ i ui k + u k i τ +O(τ ). U k+ i Ui k + U k i τ = a Uk i Uk i + Ui+ k h, k =,,...,N, i =,,...,M. Pětibodové schéma.

Toto schéma patří mezi explicitní metody, protože ze znalosti přibližného řešení na k-té časové vrstvě explicitně ( vzorečkem ) spočítáme řešení na k + -ní časové vrstvě. Z diferenční rovnice plyne U k+ i = ( τ a h k =,,...,N, i =,...,M. Lze-li zvolit τ = h a, dostaneme U k+ i ) U ki +τ a ( ) h Ui k + Uk i+ U k i, = U k i + Uk i+ Uk i, k =,,...,N, i =,,...,M (explicitní čtyřbodové schéma).

Okrajová podmínka U k = = Uk M, k =,,...,N. Počáteční výchylka Ui = g (x i ), i =,,...,M. Počáteční rychlost U i = U i +τg (x i ), i =,,...,M. Chyba metody řádu O(τ + h ). Přesnější vztah pro přibližné řešení na. časové vrstvě by zlepšil chybu metody na O(τ + h ).

Stabilita metody O metodě řekneme, že je stabilní, pokud se chyba, které se dopustíme během výpočtu či při zadání počátečních podmínek, nebude zvětšovat.... slabě stabilní, pokud se chyba... zvětšuje jen "mírně" (lineárně).... nestabilní, pokud se chyba... "prudce" zvětšuje. Postačující podmínka, aby naše explicitní metoda byla slabě stabilní: τ h a ; silně stabilní: τ < h a. Metoda je podmíněně stabilní.

Příklad: Struna s počáteční nenulovou výchylkou a s nulovou počáteční rychlostí Struna v case.6.....6.5.5...6.8

τ =.9 τ kriticke =. τ =.996 τ kriticke =..6.6.........6.6.5.5.6.8.6.8.5...5.. τ =. τ kriticke =. τ =. τ kriticke =..6.6.........6.6.5.5.6.8.6.8.5...5..

τ =.9 τ kriticke =. τ =.996 τ kriticke =..6.6.........6.6.5.5.6.8.6.8.5...5.. τ =. τ kriticke =. τ =. τ kriticke =..6.6.........6.6.5.5.6.8.6.8.5...5..

τ =.9 τ kriticke =. τ =.996 τ kriticke =..6.6.........6.6.5.5.6.8.6.8.5...5.. τ =. τ kriticke =. τ =. τ kriticke =..6.6.........6.6.5.5.6.8.6.8.5...5..

Implicitní schéma U k+ i Ui k + U k i τ [ = U k+ a i Uk+ i + U k+ i+ h + Uk i Uk i h + U k i+ Sedmibodové schéma. Při přechodu na novou časovou vrstvu (tj. (k + )-ní) je nutno vyřešit soustavu lin. alg. rovnic pro neznámé U k+ i, i =,..., M s třídiagonální regulární maticí. Metoda je stabilní pro libovolné τ > (nepodmíněně stabilní). ].

Poznámka ke kmitání struny: vlastní čísla a vlastní funkce Hledejme řešení vlnové rovnice ve speciálním tvaru: u(x, t) = v(x)s(t) Po dosazení do u t = a u x dostaneme: v(x)s tt (t) = a v xx (x)s(t) v Ω. Tedy (za předpokladu, že s a v ) s tt (t) s(t) = v xx(x) a v(x) (x, t) Ω. Obě strany se tudíž rovnají téže konstantě ˆλ. Odtud v xx ˆλ a v =, v() = = v(l) okrajové podm., s tt ˆλs =.

Upravme v xx ˆλ ˆλ v = zavedením λ = a a. Dostaneme okraj. úlohu na intervalu [, L]. v xx +λv =, v() = = v(l) Systém vlastních čísel a vlastních funkcí (sinus; vlastní tvary). Ukázalo by se, že řešeními druhé rovnice (pro s(t)) jsou také periodické funkce (sinus a kosinus). Z požadavku na splnění počáteční výchylky pak vyplyne, jaké násobky vlastních funkcí se objeví v řešení úlohy. Vlastní kmitočty struny: πn F/ρ, n =,,... L Větší napínací síla F zvýšení kmitočtu. Větší hustota materiálu struny ρ snížení kmitočtu. Delší struna snížení kmitočtu.

Kmitání obdélníkové homogenní membrány u t = a ( ) u x + u y v Q = Ω (, T), kde Ω = (, L) (, L), u(x, y, ) = g (x, y), (x, y) Ω poč. výchylka u t (x, y, ) = g (x, y), (x, y) Ω poč. rychlost u(x, y, t) = g (x, y, t), (x, y) Ω, < t < T okraj. podm. Na Ω sít s uzly (x i, y j ) = (ih, jh), kde i, j =,,...,M, h = /M. Časová proměnná diskretizovaná s krokem τ = /N.

Explicitní diferenční schéma (diferenční rovnice v uzlu (x i, y j ): U k+ i,j U k i,j + Uk i,j τ k =,,...,N, i, j =,,...,M. = a Uk i,j + Uk i+,j + Uk i,j + Uk i,j+ Uk i,j h, Využití okrajové podmínky pro stanovení uzlových hodnot na Ω. Využití počátečních podmínek pro stanovení uzlových hodnot v nulté a první časové vrstvě. Podmínka stability a konvergence metody: τ h /( a). Schéma opět vede k explicitnímu vyjádření vektoru U k+ = (U k+,, Uk+,,...,Uk+ M,, Uk+,,..., Uk+ M,,..., Uk+ M,M )T.

Implicitní schéma U k+ i,j = a U k i,j + Uk i,j + a τ U k+ i,j + Uk+ i+,j + Uk+ i,j + Uk+ i,j+ Uk+ i,j h U k i,j + Uk i+,j + Uk i,j + Uk i,j+ Uk i,j h. Absolutně stabilní; bodů (po pěti v (k + )-ní a v (k )-ní časové vrstvě, jeden bod v k-té časové vrstvě). Pro přechod z (k )-ní a k-té časové vrstvy na (k + )-ní vrstvu je nutné vyřešit soustavu s řídkou, pásovou maticí s pěti nenulovými prvky na jednom řádku.

Rovnice vedení tepla (jedna prostorová proměnná) u = a u t x v Q = (, L) (, T), a >, u(x, ) = g(x), < x < L počáteční teplota u(, t) = q (t), < t < T u(l, t) = q (t), < t < T zadaná teplota levého konce, zadaná teplota pravého konce (q () = g(), q () = g(l) podmínky souhlasnosti) Řešením rozumíme každou funkci u(x, t), která je spojitá v Ω = Ω Γ, má v Ω spojité parciální derivace u/ t a u/ x, splňuje v Ω PDR a na Γ\{T} (, L) splňuje okrajové podmínky a počáteční podmínku.

Diskretizace (viz vlnovou rovnici!!!) Uzly sítě: (x i, t k ) = (ih, kτ), i =,,...,M, k =,,...,N, h = L/M, τ = T/N, N a M jsou přirozená čísla. Za předpokladu hladkosti funkce u v Ω: u x (x i, t k ) = uk i uk i + ui+ k h +O(h ), u t (x i, t k ) = uk+ i ui k +O(τ). τ Diferenční rovnice Uk+ i Ui k = a Uk i Uk i + Ui+ k τ h, k =,,...,N, i =,...,M. Využití okr. a poč. podm.! Čtyřbodové explicitní schéma: U k+ i = Ui k +τ a ( ) h Ui k Uk i + Ui+ k.

Zaved me β = τa a U k+ h i = Ui k + τa ( U k h i Ui k + Ui+ k ). upravme na U k+ i = βu k i +( β)uk i +βu k i+. Maticově U k+ = AU k, kde β β.... β β β.. A =. β..... ;.......... β β β pro jednoduchost q = = q (nulová teplota na koncích).

Z U k+ = AU k plyne, že U k = A k U, k =,..., N, vektor U je ovšem přímo dán počáteční podmínkou!!! Vyšetření stability metody (naznačení, jak se to dělá) Je nebezpečí, že není-li krok τ dostatečně malý, metoda bude nestabilní? Lze ukázat, že vlastní čísla matice A jsou λ m = β sin mπ M, kde m =,...,M. Pro velká M jest λ M β. Je-li β > /, je β <, tedy aspoň jedno vlastní číslo matice A k v absolutní hodnotě neomezeně roste s rostoucím k (tj. jako β k. Z toho a z Geršgorinovy věty plyne, že aspoň jeden prvek matice A k v absolutní hodnotě také neomezeně roste (vl. č. je v kruhu, který má "vzdálený" střed nebo velký poloměr, prvků matice A k je však stále stejný počet, aspoň jeden tedy musí neomezeně růst). Nestabilita.

Je-li β /, jsou vlastní čísla matice A k omezená konstantou nezávislou na M a N. Lze ukázat, že i prvky matice A k jsou omezené, a že metoda je tudíž stabilní. Protože β = τa, je podmínka stability uvedené explicitní h metody dána nerovností τ h a. Při nedodržení podmínky stability pozorujeme jevy podobné ukázkám nestabilního chování explicitní metody sítí pro řešení vlnové rovnice. Čtyřbodové explicitní schéma při volbě τ = h a : U k+ i = ( ) Ui k + Uk i+.

Příklad: Tepelně izolovaný drát s počátečním rozložením teploty a s Dirichletovou okrajovou podmínkou Teplota v case.6.....6..8.6.....6.8

τ =.5 τ kriticke =.5 h =.5 τ =.875 τ kriticke =.5 h =.5.6.6.........6..6..8.8.6.8.6.8.....6.....6.5 Teplota v x=.5 (casove kroky).55 Teplota v x=.5 (casove kroky).5.5.5...35.35.3.5.3..5.5.. 3 5 6 7 8.5 3 5 6 7 8

Dirichletova okrajová podmínka je leckdy nerealistická. Rovnice vedení tepla s Newtonovou OP u = a u t x v Q = (, L) (, T), a >, u(x, ) = g(x), < x < L, počáteční teplota, u x (, t)= α(u(, t) q (t)), < t < T, α > q je teplota prostředí vlevo (je-li vyšší než teplota drátu, drát se zleva zahřívá, jeho teplota klesá směrem dovnitř, derivace teploty je na levém konci záporná), u x (L, t)= α(u(l, t) q (t)), < t < T, α > q je teplota prostředí vpravo (je-li vyšší než teplota drátu, drát se zprava zahřívá, jeho teplota klesá směrem dovnitř, tedy roste směrem k pravému konci, derivace teploty je na pravém konci kladná).

Jak diskretizovat Newtonovy OP? U k+ U k+ h ( ) = α U k+ q ((k + )τ). Hodnotu U k+ už můžeme znát (viz čtyřbodové schéma pro parabolickou rovnici). Pak je explicitní vztah pro U k+ Obdobně pro U k+ M. U k+ = Uk+ + hαq ((k + )τ). +hα. V numerickém příkladu je α =, q = q = ; stejná počáteční teplota jako u Dirichletových OP:

Krátký časový krok stabilní metoda. τ =.5 τ kriticke =.5 h =.5.5 Teplota v x=.5 (casove kroky).6..5.....35.6..8.6.8.3.....6.5 3 5 6 7 8 9

τ =.5 τ kriticke =.5 h =.5 τ =.875 τ kriticke =.5 h =.5.6.6.........6..6..8.8.6.8.6.8.....6.....6.5 Teplota v x=.5 (casove kroky).5 Teplota v x=.5 (casove kroky).5.5...35.3.35.5..3.5.5 3 5 6 7 8. 3 5 6 7 8

Nenulové zdroje "f " vedou na rovnici u t = a u x + f s patřičnými počátečními a okrajovými podmínkami. Explicitní schéma U k+ i U k i τ = a Uk i Uk i + U k i+ h + f k i, kde f k i = f(ih, kτ).

I pro rovnici vedení tepla (s nulovou či nenulovou pravou stranou) lze použít implicitní schéma: U k+ i U k i τ = a Uk+ i Uk+ i + U k+ i+ h +f k i, které vede na chybu metody O(τ + h ). (Z té plyne, že ačkoli stabilita metody nezávisí na velikosti časového kroku τ, přesto τ musí být řádově tak velké jako h, jinak by chyba způsobená krokemτ převládla a zcela znehodnotila přesnost získanou diskretizací prostorové proměnné.) Jiné implicitní schéma (nepodmíněně stabilní, s chybou O(τ + h )): U k+ i U k i τ [ = U k+ a i Uk+ i + U k+ i+ h + Uk i ] Uk i + Ui+ k h.