TEORIE MÍRY A INTEGRÁLU U EBNÍ TEXT PRO NMMA203

TEORIE MÍRY A INTEGRÁLU U EBNÍ TET PRO NMMA23 JAN MALÝ Obsh 1. Poem míry 1 2. Lebesgueov mír: nástin 4 3. M itelné funkce 5 4. Abstrktní Lebesgue v integrál 7 5. Lebesgue v integrál n p ímce 13 6. Zám n limity integrálu 15 7. Zám n dy integrálu 16 8. Integrál závislý n prmetru 16 9. Vn ²í mír 2 1. Konstrukce Lebesgueovy míry 22 11. Hopfov v t: Existence roz²í ení 24 12. Jednozn nost roz²í ení 25 13. Zúpln ní míry 25 14. Sou in m r Fubiniov v t 27 15. V t o substituci 3 16. Lebesgueovy prostory 35 17. erivování rozkld m r 38 18. Znménkové míry 41 19. M itelná zobrzení obrz míry 43 2. Míry n topologických prostorech 45 21. Lebesgue-Stieltes v integrál 48 22. istribu ní funkce edné prom nné 49 23. istribu ní funkce více prom nných 51 24. odtky 51 25. Funkce Gmm* 53 1. Poem míry 1.1. enice (Mnoºinové funkce). Nech e bstrktní mnoºin G 2. Zn íme Jkákoli funkce R = [, + ]. τ : G R se nzývá mnoºinová funkce. Mnoºinové funkce se v t²inou pouºíví k m ení mnoºin. N kdy budeme pouºívt pro mnoºinovou funkci zn ení (G, τ), bychom sou sn uvedli i znk pro eí deni ní obor. 1.2. P íkld. G m ºe být systém v²ech obdélník τ m ºe p i dit kºdému z nich obsh obvod po et vrchol íslo 14. kui Prof. r. Lu kovi Zí kovi, rsc. z cenné p ipomínky. kui v²em student m, kte í se podíleli n ld ní p edchozích verzí. 1

Uºite nost t chto p íkld pro dl²í rozvo teorie e rozdílná. 1.3. enice (élk intervlu). Nech, b R, b. Mnoºinu I { [, b], [, b), (, b], (, b) } nzveme (ednorozm rným) intervlem. Mnoºinový systém v²ech omezených ednorozm rných intervl v R zn íme I 1. N I 1 denueme mnoºinovou funkci délk intervlu p edpisem (1) l 1 (I) = b, I { [, b], [, b), (, b], (, b) } 1.4. enice (Elementární obem vícerozm rného intervlu). Mnoºinu Q R n nzveme n-rozm rným intervlem, estliºe existuí ednorozm rné intervly I 1,..., I n R tk, ºe Q = I 1 I n. Mnoºinu v²ech omezených n-rozm rných intervl budeme zn it I n. Kºdému n-rozm rnému intervlu Q p i díme eho obem p edpisem l n (Q) = l 1 (I 1 )... l 1 (I n ), kde l 1 (I) e ko v denici 1.3. Jedním z prvních cíl teorie míry e nít vhodné roz²í ení t chto mno- ºinových funkcí. 1.5. Plán. Ztím neumíme ni íci, co e obsh kruhu. Cht li bychom zvést ²irokou t ídu mnoºin, tzv. m itelné mnoºiny, n nich mnoºinovou funkci, tzv. Lebesgueovu míru (pro popis pom obsh, obem), tk, by v²echny intervly byly m itelné eich mír byl eich elementární obem, le tké by byly i iné p edstvitelné mnoºiny m itelné (geometrické obrzce t les), by se s t ídou m itelných mnoºin mírou dob e zcházelo. P irozené poºdvky: Np. sednocení (spo etn mnoh) m itelných mnoºin e m itelné Pokud sou mnoºiny disunktní, mír eich sednocení e sou et eich m r Poºdovné vlstnosti shrneme do xiom. Výb r xiom e výsledek práce mtemtik, kte í zistili, co v²e mohou poºdovt vzdli se nopk nesplnitelných poºdvk (np. n m itelnost kºdé mnoºiny). Konstrukce Lebesgueovy míry není ediná plikce teorie, nopk, n pomech, které nyní budeme budovt, e postven np. celá teorie prvd podobnosti. 1.6. enice (Jordn-Pen v obem). Z historického didktického hledisk e d leºité roz²í ení elementárního obemu n tzv. Jordn-Pen v obem (téº zván Jordn v i Peno-Jordn v). Vrinty této mnoºinové funkce sou pouºívány ke st edo²kolským denicím obemu. enice e zloºen n následuící my²lence, kterou zde pouze nzn íme. Kone né disunktní sednocení omezených n-rozm rných intervl nzveme gurou. Obem gury denueme ko sou et obem intervl, z nichº se skládá. Horní Jordn-Pen v obem mnoºiny e inmum obem gur, které i obshuí. olní Jordn-Pen v obem mnoºiny e supremum obem gur, které sou v ní obsºeny. Pokud horní dolní Jordn-Pen v obem mnoºiny se rovní sou kone né, ekneme, ºe m ená mnoºin e Jordn-Penovovsky m itelná spole nou hodnotu nzveme eím Jordn-Penovým (J.P.) obemem. Tímto zp sobem lze m it obem t les obsh obrzc známých z geometrie. Není t ºké zkonstruovt mnoºiny, které nesou J.P. m itelné. Kºdá J.P. m itelná mnoºin musí být omezená. Pokud z krychle o obemu 1 vezmeme mnoºinu E v²ech eích bod o rcionálních sou dnicích, vn ²í J.P. obem mnoºiny E e 1 vnit ní. Nvíc, kone né sednocení J.P.-m itelných mnoºin e J.P.-m itelné, le spo etné sednocení uº nemusí. J.P.-obem tedy není n²e cílová met, budeme sm ovt k lep²ímu roz²í ení elementárního obemu. 1.7. enice (Roz²í ení zúºení mnoºinové funkce). Nech e bstrktní mnoºin, U, V 2, µ e mnoºinová funkce n U ν e mnoºinová funkce n V. íkáme, ºe ν e roz²í ení µ, estliºe U V µ(a) = ν(a) pro kºdou A U. Nopk, mnoºinovou funkci µ v tomto p ípd nzýváme zúºením mnoºinové funkce ν z V n U zn íme i ν U. Relce býti roz²í ení e uspo ádání n t íd v²ech mnoºinových funkcí n. 1.8. enice (Okruh, σ-lgebr,...). Nech e bstrktní mnoºin. Systém O podmnoºin se nzývá okruh, estliºe (O-1) O, (O-2) A, B O = A \ B O. (O-3) A, B O = A B O. 2

Z xiom sndno dostneme téº A, B O = A B O. Indukcí dostneme, ºe kºdý okruh e tedy uzv en n kone ná sednocení kone né pr niky A 1,..., A m O = A 1 A m O, A 1 A m O. Poºdueme-li uzv enost n spo etná sednocení ( v d sledku n spo etné pr niky), dostneme xiomy σ-okruhu.. Tedy σ-okruh e mnoºinový systém, který spl ue (σ-o-1) O, (σ-o-2) A, B O = A \ B O. (σ-o-3) A 1, A 2, O = A O. Algebr e denován ko okruh obshuící celý prostor. σ-lgebr e denován ko σ-okruh obshuící celý prostor. Je to ned leºit ²í mnoºinový systém pro teorii míry. K ov ení, ºe mnoºinový systém S e σ-lgebr st í tyto xiomy: (S1-1) S, (S2-2) A S = \ A S, (S3-3) A S, = 1, 2,... = A S. Je-li S σ-lgebr n, dvoice (, S) se nzývá m itelný prostor. Mnoºiny A S se nzýví S- m itelné mnoºiny. Nehrozí-li nedorozum ní, budeme mluvit krátce o m itelných mnoºinách. 1.9. P íkldy. (N která z uvedených tvrzení sou netriviální d leºitá, eich d kz uvedeme pozd i v sekci 11) () {, } e σ-lgebr. (b) Systém 2 v²ech podmnoºin mnoºiny e σ-lgebr. (c) Borelovské mnoºiny n topologickém prostoru tvo í σ-lgebru. (d) Lebesgueovsky m itelné mnoºiny tvo í σ-lgebru. (e) J.-P.-m itelné mnoºiny tvo í okruh, ne σ-okruh, ne lgebru (f) Systém v²ech kone ných (disunktních) sednocení intervl tvo í lgebru, ne σ-lgebru (g) Systém v²ech kone ných (disunktních) sednocení omezených intervl tvo í okruh, ne σ-okruh, ne lgebru (h) Systém v²ech kone ných (disunktních) sednocení omezených intervl tvru (, b] tvo í okruh, ne σ-okruh, ne lgebru. (i) Systém v²ech spo etných (disunktních) sednocení omezených intervl netvo í ni okruh. () Systém v²ech uzv ených (resp. otev ených) podmnoºin topologického prostoru netvo í ni okruh (protoºe není uzv en n mnoºinový rozdíl). 1.1. enice (Generování mnoºinových systém ). Je-li F libovolný systém podmnoºin, potom existue nemen²í σ-lgebr obshuící F. Tuto σ-lgebru dostneme ko pr nik v²ech σ-lgeber obshuících F zn íme i σ(f). Podobn m ºeme generovt iné mnoºinové systémy, np. okruhy. Okruh z p íkldu (g) e generovný systémem I 1. 1.11. enice (Borelovské mnoºiny). Nech e topologický prostor G e systém v²ech eho otev ených podmnoºin. Potom denueme B() ko nemen²í σ-lgebru obshuící G (viz denice 1.1). σ-lgebr B() obshue krom otev ených mnoºin téº v²echny uzv ené mnoºiny. B() se nzývá borelovská σ-lgebr eím prvk m se íká borelovské mnoºiny. V R sou borelovské v²echny intervly, mnoºin v²ech rcionálních ísel, td. P íkldy neborelovských mnoºin se konstruuí velmi t ºko. N kdy e výhodné generovt B() ink neº systémem v²ech otev ených mnoºin. N R e p irozená topologie generovná intervly (, b), (, ] [, b). Tudíº B(R) e σ-lgebr n R generovná intervly. Podobn B(R) e generovná intervly. kzy t chto tvrzení (totiº, ºe generování otev enými mnoºinmi intervly vyde v t chto p ípdech nsteno) p enecháváme tená i. 1.12. enice (Mír). Nech (, S) e m itelný prostor. Mnoºinová funkce µ : S [, ] se nzývá mír, estliºe spl ue (M1-1) µ( ) =, (M2-2) (σ-dditivit) estliºe A S, = 1, 2,..., sou po dvou disunktní, potom µ( A ) = µ(a ). 3

Troice (, S, µ) se nzývá prostor s mírou. Zd rzn me, ºe denice míry zhrnue, ºe hodnoty sou nezáporné deni ní obor e σ-lgebr. 1.13. P íkldy. () ircov mír δ : e libovolná mnoºin,, S = 2, { 1, A, δ (A) =, / A. (b) Po ítcí mír e libovolná mnoºin, S = 2. Po ítcí mír p i dí kºdé mnoºin A po et eích prvk. Nekone ným mnoºinám p i dí prost, nerozli²ue nekone né mohutnosti. (c) Lebesgueov mír zobec ue poem délky intervlu, obshu obrzce i obemu t les. (d) Husdorov mír e druh n-rozm rné míry v R d. Zobec ue poem délky k ivky (n = 1), povrchu zk ivené plochy (n = 2, d = 3). 1.14. enice (Terminologie teorie míry). Mír µ n m itelném prostoru (, S) se nzývá () kone ná, estliºe µ() <, (b) σ-kone ná, estliºe existuí 1, 2, S tk, ºe µ( ) < =, (c) prvd podobnostní, estliºe µ() = 1, (d) úplná, estliºe kºdá podmnoºin mnoºiny míry nul e m itelná ( tudíº tké míry nul). Fráze skoro v²ude nebo µ-skoro v²ude se pouºívá ve spoení s vlstností bod mnoºiny. ekneme-li, ºe tková vlstnost pltí skoro v²ude (nebo ve skoro v²ech bodech), znmená to, ºe e spln n º n mnoºinu míry nul, neboli, ºe existue mnoºin N S míry nul tk, ºe vlstnost e spln n ve v²ech bodech mnoºiny \ N. Pouºívá se zemén pro rovnost nerovnosti mezi funkcemi pro bodovou konvergenci posloupnosti funkcí. 1.15. V ti k (Trik zdisunktn ní). Nech A 1, A 2, S. Potom existuí po dvou disunktní mnoºiny E 1, E 2, S tk, ºe A 1 A k = E 1 E k, k = 1, 2,.... Tuto vlstnost mí 1.16. V ti k (Vlstnosti míry). Nech A S. E 1 = A 1, E 2 = A 2 \ A 1, E 3 = A 3 \ (A 1 A 2 ).... () A 1 A 2 = µ(a 1 ) µ(a 2 ). (b) Jestliºe A S, = 1, 2,..., A 1 A 2..., potom µ( A ) = lim µ(a ). (c) Jestliºe A S, = 1, 2,..., A 1 A 2..., estliºe µ(a 1 ) <, potom µ( A ) = lim µ(a ). kz. () e sndné. K d kzu (b) pouºieme trik zdisunktn ní (v ti ku 1.15). A 1 \ A. (c): Pouºieme (b) n 1.17. P íkld. Nech µ e po ítcí mír n N A = {, +1,... }. Potom A, p esto µ(a ). Je to tím, ºe ve v ti ce 1.16 (c) není spln n p edpokld o kone nosti µ(a 1 ). 2. Lebesgueov mír: nástin 2.1. enice (Lebesgueov vn ²í mír). Nech A R n e libovolná mnoºin. enume { } (2) l (A) = inf l(q ) : Q I n, Q A. Mnoºinová funkce l : A l (A), denovná n poten ní mnoºin 2 Rn, se nzývá Lebesgueov vn ²í mír. Sou ty, vyskytuící se n prvé strn (2) se nzýví horní sou ty k l (A). Mnoºinová funkce l umí m it v²echny mnoºiny, le není ditivní. Proto v dl²ím se budeme snºit z ní vytvo it ditivní funkci (dokonce míru, viz denice 1.12), z coº zpltíme zúºením deni ního oboru. Výsledný obor v²ech m itelných mnoºin v²k iº bude dostte n bohtý pro v²echny plikce. 4

2.2. M itelné mnoºiny Lebesgueov mír. ekneme, ºe mnoºin A R n e (Lebesgueovsky) m itelná, estliºe pro kºdý intervl Q I n pltí (3) l(q) = l (Q A) + l (Q \ A). Mnoºinu v²ech Lebesgueovsky m itelných mnoºin budeme zn it M = M(R n ) mnoºinová funkce bude Lebesgueov mír. λ : A l (A), A M 2.3. Oznámení v ty. Nech Q I n. Potom Q M λ(q) = l (Q) = l(q). kz. Vyplyne z v ty 1.8. 2.4. Oznámení v ty. M e σ-lgebr obshuící v²echny borelovské podmnoºiny R n λ e mír n M. kz. Vyplyne z v t 9.5 1.2. 2.5. Poznámk (Lebesgueovsky nem itelné mnoºiny). V dl²ím se budeme n kolikrát vrcet k témtu m itelných mnoºin. P irozenou otázkou e, které mnoºiny m itelné nesou zd v bec n ké tkové existuí. Prvd e, ºe sice existuí, le d kz eich existence není konstruktivní. Filosocky vzto, z hledisk výpo t v plikcích nem ºe mít vliv n výsledek, zd nem itelné mnoºiny existuí nebo ne. Vynecht d kz m itelnosti mnoºiny, e-li eí m itelnost poºdován, e v²k hrubou mtemtickou chybou. 3. M itelné funkce 3.1. Zn ení. Je-li bstrktní mnoºin A, zn íme χ A chrkteristickou funkci mnoºiny A, neboli { 1, x A, χ A (x) =, x / A. Symbol m ºe být uºit pro +. Je-li f : R funkce, denueme f + = mx{f, }, f = mx{ f, }. (Mximum i minimum dvou funkcí se denue bod po bodu.) Tedy Je-li f funkce n M R, zn íme f = f + f, f = f + + f. {f M} = {x : f(x) M}, podobn zvádíme zn ení ko {f > }, {f = }. Symbolem ϕ f zn íme sloºenou funkci x ϕ(f(x)). Zn ení f 1 pouºíváme pro inverzní funkci k f. 3.2. Úmluv. N R zvádíme lgebrické operce nerovnosti p irozeným zp sobem. Sou et + b má smysl pokud R nebo b R nebo b sou nekone n steného znménk. Sou et + ( ) smysl nemá. Sou in b má smysl vºdy (d leºité!!), ve sporném p ípd zvádíme (4) ± =. Podíl /b má smysl s výimkou p ípd / ± / ±. V celé kpitole budeme uvºovt m itelný prostor (, S). 3.3. enice (M itelné funkce). Nech S. ekneme, ºe funkce f : R e S-m itelná, estliºe pro kºdý intervl I R e f 1 (I) S. Nebude-li hrozit nedorozum ní, budeme mluvit krátce o m itelných funkcích. 3.4. Pozorování. Nech, S. () Je-li f m itelná n 1, pk f e m itelná n 1. (b) Je-li funkce f : R S-m itelná n, = 1, 2,... =, pk f e m itelná n. 3.5. V ti k (Ov ování m itelnosti). Uvºume S funkci f : R. Nech S R e hustá mnoºin. P edpokládeme, ºe ( ) Pro v²echn q Q e {f > q} S. 5

Potom funkce f e m itelná n. kz. 1. Nech <, nd me rcionální ísl q. Pk {f > } = {f > q }. 2. Nech >, nd me rcionální ísl r. Pk {f } = {f > r }. 3. Nech b R, pk {f b} = \ {f > b}, {f < b} = \ {f b}. 4. Nech, b R, b. Potom {f [, b]} = {f } {f b} podobn pro osttní typy intervl. 3.6. Poznámk. Místo nerovnosti f > q v ( ) lze uºít f q, f < q nebo f q. 3.7. V ti k (M itelnost vzoru). Nech f e m itelná funkce n S A R e borelovská mnoºin. Potom {f A} S. kz. Systém mnoºin {E R: {f E} e m itelná} tvo í σ-lgebru obshue v²echny intervly. Tudíº obshue v²echny borelovské mnoºiny. 3.8. V ti k (M itelnost sloºené funkce). Nech f e m itelná funkce n S ϕ e spoitá funkce n otev ené nebo uzv ené mnoºin M R. Potom mnoºin := {f M} e m itelná sloºená funkce ϕ f e m itelná n. kz. Zvolme c R, potom P := {y M : ϕ(y) > c} e borelovská, tudíº e m itelná podle v ti ky 3.7. {ϕ f > c} = {f P } 3.9. Vrování. Budeme-li skládt spoitou m itelnou funkci v op ném po dí, výsledek nemusí být m itelný. Tké není obecn prvd, ºe inverzní funkce k m itelné funkci by byl m itelná funkce. Viz prikld 19.5 3.1. V t (Operce s m itelnými funkcemi). Nech funkce f, f sou m itelné funkce n S. Pk pltí následuící: () Funkce f, f +, f, f 2 sou m itelné n, 1/f e m itelná n {f }. (b) Funkce f 1 + f 2, f 1 f 2, f 1 f 2, f 1 /f 2 sou m itelné vºdy n mnoºin, kde u in ná operce dává smysl podle úmluvy 3.2. (c) Funkce sup f, inf f, lim sup f, lim inf f sou m itelné n. (d) Mnoºin v²ech bod, kde existue lim f e m itelná lim f e m itelná n. kz. () e d sledek v ti ky 3.8. (b): Je výhodné odpreprovt diskusí mnoºiny, kde edn z funkcí nebo ob nbýví nevlstních hodnot zm it se n mnoºinu {f 1 R} {f 2 R}. Máme {f 1 + f 2 > } = {f 1 > p} {f 2 > q}. ále Osttní e sndné. (c): Je odtud odvodíme i zbytek. f 1 f 2 = 1 4 p,q Q p+q> ( (f 1 + f 2 ) 2 (f 1 f 2 ) 2). {sup f > } = {f > } 6

(d) Máme {lim f existue} = {lim sup f = lim inf f } ( = \ {lim inf p Q f < p < lim sup f } ). 3.11. Jednoduché funkce. Funkci f n S nzveme S-ednoduchou, estliºe f e lineární kombince chrkteristických funkcí mnoºin z S, t. existuí-li mnoºiny A S α R, = 1,..., m, tk, ºe m f = α χ A. Pokud bude sné, kou σ-lgebru máme n mysli, budeme mluvit prost o ednoduchých funkcích. 3.12. Aproximce ednoduchými funkcemi. Nech (, S) e m itelný prostor. Nech f e nezáporná m itelná funkce n S. Potom existuí nezáporné ednoduché funkce f k f. Nvíc, f lze vyád it ve tvru (5) f = 2 χ E, kde E S. = kz. Poloºme P = i { [i2, (i + 1)2 ) : i e liché celé}. Potom kde f = = 2 χ E, E := {f P }. Jelikoº P sou borelovské, {f P } sou m itelné podle v ti ky 3.7. Jedná se vlstn o dydickou expnzi hodnoty f(x); totiº x E, práv kdyº f(x) má n -tém míst v dydickém rozvoi edni ku. Jednoduché funkce f k m ºeme denovt vzorcem k f k = 2 χ E. = k 4. Abstrktní Lebesgue v integrál Nech (, S, µ) e prostor s mírou. V této kpitole zvedeme bstrktní Lebesgue v integrál z µ- m itelné funkce. Lebesgueovo poetí nbízí lterntivní cestu k denici integrálu p es intervl, tkto vybudovný integrál dává pouºiteln ²í teorii neº integrál Newton v nebo Riemnn v. Zn n ²iroká t íd integrovtelných funkcí e en ednou z mnoh výhod. V moderní mtemtické litertu e se integrálem bez p ívlstku rozumí vºdy integrál Lebesgue v. Význm Newtonov Riemnnov integrálu z stává ve sfé e didktiky. P i lebesguovském integrování se v²k nemusíme omezovt n funkce reálné prom nné. Obecné poetí bstrktního Lebesgueov integrálu n libovolném prostoru s mírou má mnoho plikcí v nlýze, teorii prvd podobnosti v mtemtice v bec, v této obecnosti Riemnnov i Newtonov metod nenbízeí ni áste né e²ení problému. 4.1. enice (Rozkld). Kone ný soubor mnoºin {A 1,..., A m } S nzveme rozkldem nebo Lebesgueovským d lením mnoºiny S, estliºe mnoºiny A sou po dvou disunktní m A =. 7

4.2. Terminologická poznámk. Rozdíl mezi oby eným riemnnovským d lením lebesgueovským spo ívá hlvn v tom, ºe riemnnovské d lení e pouze n intervly, u lebesgueovského se d lí n libovolné m itelné mnoºiny. Tento rozdíl podsttn p ispívá k bohtství t ídy lebesgueovsky integrovtelných funkcí. 4.3. V ti k (Chrkteristik ednoduchých funkcí). Nech f e nezáporná m itelná funkce n. Pk e ekvivlentní (i) f e ednoduchá, (ii) f nbývá en kone n mnoh hodnot, (iii) existue rozkld {A } m mnoºiny nezáporná ísl α, = 1,..., m tk, ºe f = α χ A. kz. Implikce (i) = (ii) (iii) = (i) sou z emé. Pro (ii) = (iii), nech α 1,..., α m sou hodnoty, kterých nbývá funkce f poloºme A = {f = α }. 4.4. enice (Konstrukce integrálu). Nech, S f : R e m itelná funkce. Integrál f dµ vybudueme ve t ech krocích. V prvních dvou krocích p edpokládáme =. 1. Je-li f nezáporná m itelná funkce, denueme { m f dµ = sup α µ(a ) : {A } e rozkld, (6) } α f n A, = 1,..., m. Sou ty vyskytuící se v (6) nzýváme dolními sou ty k funkci f. Integrál z nezáporné m itelné funkce e denován vºdy, m ºe ov²em nbývt nekone né hodnoty. 2. V obecném p ípd, kdy f e m itelná funkce n, denueme (7) f dµ = f + dµ f dµ, pokud rozdíl v (7) má smysl. Pokud f + dµ = f dµ =, z stává integrál funkce f nedenován. 3. Je-li f m itelná (p esn : S-m itelná) funkce n µ( \ ) =, e ú elné denovt f dµ = f dµ. Smysl tkového integrálu výsledek smoz em v tom p ípd nezávisí n volb. V n kterých p ípdech e ú elné pouºívt podrobn ²í zápis f(x) dµ(x) pro f dµ. Pro integrál podle Lebesgueovy míry v R n pouºíváme zprvidl zn ení f(x) dx. Je-li n = 1 = (, b), pouºíváme b f(x) dx. Je-li integrál f dµ denován, íkáme téº, ºe má smysl, nebo ºe funkce f má integrál. Je-li nvíc tento integrál kone né íslo, íkáme, ºe f dµ konvergue nebo ºe f e integrovtelná. 4.5. Poznámk. N rozdíl od denice Riemnnov integrálu, u Lebesguov integrálu nekonfrontueme supremum dolní sou t s inmem n kých horních sou t. To e umoºn no tím, ºe se v smotném z átku denice omezueme pouze n m itelné funkce u t ch m ºeme supremu dolních sou t d v - ovt. 8

Podobná situce by nstl u Riemnnov integrálu, kdybychom se omezili n spoité funkce v prvém kroku bychom denovli integrál pro spoitou nezápornou funkci n uzv eném intervlu, tké bychom mohli v it dolnímu Riemnnovu integrálu. 4.6. enice (µ-m itelné funkce). Nech. ekneme, ºe funkce f : R e µ-m itelná n S, existue-li S tk, ºe µ( \ ) = f e S-m itelná n. To odpovídá situci, která se nskytl v t etím kroku denice integrálu. V dl²ím budeme slovo m itelná pouºívt ve význmu µ-m itelná v kontextu prostoru s mírou ve význmu λ-m itelná v kontextu integrce podle Lebesgueovy míry. 4.7. Oznámení v ty (Lebesgue v integrál Newton v integrál). Nech funkce f : (, b) R má n intervlu (, b) primitivní funkci F. () Je-li f λ-integrovtelná n (, b), potom existuí vlstní ednostrnné limity F (b ) F (+) pltí b f(x) dx = F (b ) F (+). (b) Jestliºe f existuí vlstní ednostrnné limity F (b ) F (+), pk f e λ-integrovtelná n (, b). kz. V tu v této obecnosti dokzovt nebudeme. ƒáste ným p ípdem se budeme zbývt ve v t 5.4. 4.8. V t (R zné vlstnosti Lebesgueov integrálu). Nech S f, g sou m itelné funkce n. () Je-li f, 1, 2 S 1 2, pk f dµ f dµ. 1 2 (b) Jestliºe 1, 2 S, 1 2 = 1 2 =, pk f dµ = f dµ + f dµ. 1 2 (c) Je-li f dµ <, pk f < skoro v²ude. (d) Je-li f dµ =, pk f = skoro v²ude. (e) (monotonie) Jestliºe f, g mí integrál f g skoro v²ude, pk f dµ g dµ. (f) Je-li g dµ < f g skoro v²ude, pk f e integrovtelná. kz. (), (b), (c) sou sndné. (d): Jestliºe mnoºiny E := { f > 2 } mí míru nul, pk f = skoro v²ude. Pokud edn z nich má kldnou míru, pk 2 µ(e ) e dolní sou et k f tudíº integrál f e kldný. (e): Tvrzení e sndné, pokud f g n. V obecném p ípd se d kz provede rozd lením n mnoºiny {f g}, {f g < }, { < f g}, {g < f} diskusí. (f) plyne z (e) denice integrálu. 4.9. Poznámk. Konvergence Newtonov integrálu nest í k ov ení konvergence Lebesgueov integrálu (ko p íkld slouºí funkce sin x/x n intervlu (, )). Pokud f n (, b), m ºeme pouºít v tu 4.7. Jestliºe f st ídá znménk, zákldním kritériem e (f) z p edchozí v ty 4.8. Bu np. f(x) = sin x, x (, ). 1 + x2 Poloºme g(x) = 1, x (, ). 1 + x2 Potom g e integrovtelná n (, ) podle v ty 4.7 f e integrovtelná n (, ), protoºe f g. 4.1. Lemm (O monotonii). Nech S. Nech {A } n, {B i} m i=1 sou rozkldy sou nezáporná reálná ísl. Jestliºe α 1,..., α n, m β i χ Bi i=1 9 β 1,..., β m n α χ A,

potom (8) m n β i µ(b i ) α µ(a ). i=1 kz. Je-li A B i, potom z p edpokld plyne β i α tudíº (9) β i µ(a B i ) α µ(a B i ). Pokud A B i =, pk µ(a B i ) = zse dostáváme (9). Se tením p es i, zám nou po dí sumce dostáváme m n n m (1) β i µ(a B i ) α µ(a B i ). i=1 i=1 Jelikoº z (1) dostáváme (9). n µ(a B i ) = µ(b i ), m µ(a B i ) = µ(a ), i=1 4.11. Lemm (Integrál ednoduché funkce). Nech S. Nech {A } n e rozkld α 1,..., α n sou nezáporná reálná ísl. Potom ( n ) n α χ A dµ = α µ(a ). kz. Ozn me Je-li f = n α χ A. m β i µ(b i ) i=1 dolní sou et k f, podle lemmtu 4.1 dostáváme m β i µ(b i ) i=1 n α µ(a ) p echod k supremu p es v²echny dolní sou ty dává n f dµ α µ(a ). Jelikoº n α µ(a ) e téº dolní sou et k f, máme i obrácenou nerovnost. 4.12. sledek. Je-li f nezáporná m itelná funkce n S, potom { } f dµ = sup s dµ : s f, s e ednoduchá. 4.13. V t (Levi, Lebesgue, monotone convergence theorem). Nech {f } e posloupnost m itelných funkcí n S, f 1 f 2..., f = lim f. Potom (11) f dµ = lim f dµ. 1

kz. Nech n α µ(a ) e ostrý dolní sou et k f, t. pro kºdé e α = nebo α < f n A. Ozn me n s = α χ A poloºme E k = {f k s}. Sndno ov íme, ºe k E k =. Podle v ti ky 1.16 (b), µ(a ) = lim k µ(a E k ), tedy (zám n limity kone né sumy není ºádný problém) n n (12) α µ(a ) = lim α µ(a E k ). k Kºdý sou et n α µ(a E k ) e dolní sou et k f k, tedy limitu n prvé strn (12) m ºeme shor odhdnout limitou lim f k dµ. k Tedy (vytknutí konstnty p ed integrál není problém, srov. v tu 4.15(b)) n α µ(a ) lim f k dµ. k P echodem k supremu p es v²echny ostré dolní sou ty k f (z em supremum ostrých dolních sou t e stené ko supremum v²ech dolních sou t ) dostáváme f dµ lim f k dµ. k Op ná nerovnost e z emá. 4.14. sledek (Spoitá závislost n integr ním oboru). Nech, E k S, E 1 E 2..., k E k =. Nech f e nezáporná m itelná funkce n. Potom f dµ = lim f dµ. k E k kz. St í plikovt Leviho v tu n f k = fχ Ek. 4.15. V t (Linerit integrálu). () Nech f, g sou m itelné funkce n S. Potom (f + g) dµ = f dµ + g dµ, má-li prvá strn smysl. (b) Nech f e m itelná funkce n S γ R. Pokud f má integrál, pk γf dµ = γ f dµ. 11

kz. Tvrzení (b) e z emé. (): Neprve p edpokládeme, ºe funkce f g sou nezáporné ednoduché. Podle v ti ky 4.3 ndeme vyád ení n m f = α χ A, g = β i χ Bi, kde {A } n, {B i} m i=1 sou rozkldy α 1,..., α n, β 1,..., β m sou nezáporná reálná ísl. Potom tké {A B i : i = 1,..., m, = 1,..., n} e rozkld m n f + g = (α + β i )χ A B i. Podle lemmtu 4.11 Máme (f + g) dµ = (f + g) dµ = = = m i=1 i=1 i=1 f dµ = g dµ = m i=1 n α µ(a ), m β i µ(b i ) i=1 i=1 n (α + β i )µ(a B i ). n (α + β i )µ(a B i ) n m m n α µ(a B i ) + β i µ(a B i ) i=1 n m α µ(a ) + β i µ(b i ). Tím e d kz proveden pro ednoduché funkce. Nech f g sou nezáporné m itelné funkce. Podle v ty 3.12 existuí nezáporné ednoduché funkce f f, g g. Pk tké (f + g ) (f + g). Podle p edchozí ásti d kzu (f + g ) dµ = f dµ + g dµ n obou strnách rovnosti pouºieme Leviho v tu k limitnímu p echodu. To nám dá d kz pro nezáporné m itelné funkce. Nech f g sou integrovtelné funkce n. Bu i=1 = { f + g < }. Potom S, µ(\ ) =. M ºeme se tedy omezit n mnoºinu. Jelikoº f +g f + g, podle p edchozího kroku v ty 4.8 e f + g tké integrovtelná. N pltí Podle p edchozího kroku máme (f + g) + dµ + = = Vhodným p eskupením s ítnc dostneme (f + g) + dµ (f + g) dµ = coº e dokzovný vzorec. (f + g) + + f + g = (f + g) + f + + g +. f dµ + g dµ = [(f + g) + + f + g ] dµ [(f + g) + f + + g + ] dµ (f + g) dµ + f + dµ + g + dµ. f + dµ f dµ + g + dµ g dµ, 12

Obecný p ípd, kdy prvá strn má smysl, le funkce f, g nemusí být integrovtelné, e otázkou sndné, le zdlouhvé diskuse, kterou ponecháváme tená i. 4.16. sledek (Leviho v t pro dy). Nech S g, = 1, 2,..., sou nezáporné m itelné funkce n. Potom (13) g = g kz. St í pouºít Leviho v tu 4.13 n áste né sou ty. 5. Lebesgue v integrál n p ímce Integrál podle Lebesgueovy míry λ budeme nzývt (klsickým) Lebesgueovým integrálem. V této kpitole dokáºeme, ºe pro kºdou spoitou funkci f n intervlu [, b] splývá f dλ [,b] s Newtonovým integrálem funkce f p es [, b]. Pro klsický Lebesgue v integrál funkce f p es intervl (, b) budeme téº pouºívt trdi ní zn ení b f(x) dx. Pouºívání klsického Lebesgueov integrálu e mnohem výhodn ²í neº pouºívání Riemnnov i Newtonov integrálu, nebo vede k úpln ²í t íd integrovtelných funkcí. Lze dokázt, ºe kºdá Riemnnovsky integrovtelná funkce e Lebesgueovsky integrovtelná Lebesgue v integrál v tomto p ípd splývá s Riemnnovým. Op ná inkluze nepltí, lebesgueovsky integrovtelných funkcí e víc. Lebesgue v integrál nepokrývá tzv. nebsolutn konvergentní integrály, np. sin x x které v ednoduchých p ípdech zchycue Newton v integrál. Pro hlub²í studium nebsolutn konvergentních integrál se hodí poem Perronov nebo Kurzweilov integrálu. Nebsolutn konvergentní integrály vyuºíví eukleidovskou strukturu nemí rozumný prot ²ek n obecných prostorech s mírou. 5.1. enice (Neur itý Lebesgue v integrál). Nech f e spoitá funkce n intervlu (, b ). Funkci F : (, b ) R nzveme neur itým Lebesgueovým integrálem funkce f, estliºe b dx, f(x) dx = F (b) F () pro kºdý intervl [, b] (, b ). Poznmeneme, ºe kºdá spoitá funkce n otev eném intervlu e m itelná (protoºe otev ené mnoºiny sou borelovské tudíº m itelné) má neur itý Lebesgue v integrál. Ten se zkonstruue np. ko { x f(t) dt, x c, F (x) = c c f(t) dt, x x < c pro pevn zvolený bod c (, b ). Konvergence integrál plyne z omezenosti integrovtelných funkcí integr ních obor. 5.2. V t (o neur itém Lebesgueov integrálu). Nech f, F sou spoité funkce n intervlu (, b ). Potom F e primitivní funkce k f, práv kdyº F e neur itý Lebesgue v integrál funkce f. kz. Nech neprve F e neur itý Lebesgue v integrál. Sndno ov íme, ºe F (x + h) F (x) 1 lim = lim h + h h + h x+h x f(t) dt = f(x), x (, b ), podobn pro limitu zlev. F e tedy primitivní funkce. Nech nopk F e primitivní funkce, ndeme neur itý Lebesgue v integrál G. Podle p edchozí ásti e G primitivní funkce, tedy G F se li²í en o ditivní konstntu. Jelikoº se F li²í o ditivní konstntu od neur itého Lebesgueov integrálu, e to tké neur itý Lebesgue v integrál. 13

5.3. enice (Newton v integrál). Nech f e funkce n intervlu (, b). P ipome me, ºe íkáme, ºe funkce f má Newton v integrál I p es (, b), estliºe f má n (, b) primitivní funkci F, t má limity F (+) = lim x + F (x), tyto limity sou vlstní (ve smyslu kone né) I = F (b ) F (+). F (b ) = lim F (x), x b Integrál I zn íme (N) b f(x) dx. Kdyº f má Newton v integrál, íkáme, ºe Newton v integrál f konvergue, v op ném p ípd íkáme, ºe divergue, Jestliºe Newton v integrál f konvergue, rozli²ueme bsolutní konvergenci (t. téº (N) f(x) dx konvergue) nebsolutní konvergenci (t. (N) f(x) dx divergue). Konvergence integrálu f sm o sob e²t nezru ue bsolutní konvergenci integrálu f. Np. funkce { 1, x, f(x) = 1, x < nemá primitivní funkci, le (N) 1 f(x) dx konvergue. 1 5.4. V t (vzth mezi Newtonovým Lebesgueovým integrálem). Nech f e nezáporná spoitá funkce n intervlu (, b). Potom (N) b f(x) dx konvergue, práv kdyº konvergue Lebesgue v integrál funkce f. V tom p ípd mí ob integrály spole nou hodnotu. kz. () Zvolme c (, b) nd me intervly [, b ] tk, ºe < < c < b < b,, b b. Nech F e neur itý Lebesgue v integrál funkce f, coº e podle v ty 5.2 primitivní funkce k f. Potom F e neklesící tudíº má limity F (b ), F (+). Jelikoº (z monotonie) F (b ) nem ºe být F (+) nem ºe být +, rozdíl F (b ) F (+) má smysl pltí (14) F (b ) F (+) = lim k (F (b k ) F ( k )). Ozn me f k = fχ k,b k. Funkce f má Lebesgue v integrál p es (, b) (e totiº nezáporná m itelná). Podle Leviho v ty 4.13 (14) e b f(x) dx = lim k b f k (x) dx = lim k bk k f(x) dx = lim k (F (b k ) F ( k )) = F (b ) F (+), tkºe b f(x) dx konvergue, práv kdyº F (b ) F (+) <, le to e p esn podmínk pro konvergenci Newtonov integrálu. 5.5. sledek (iskuse vzthu mezi Newtonovým Lebesgueovým integrálem). Nech f e spoitá funkce n intervlu (, b). () Jestliºe konvergue Lebesgue v integrál z f od do b, konvergue i Newton v to bsolutn. (b) Jestliºe Newton v integrál z f od do b konvergue bsolutn, pk konvergue i Lebesgue v. (c) Pokud konvergue k Lebesgue v, tk Newton v integrál z funkce f, pk ob mí stenou hodnotu. (d) Jestliºe Newton v integrál z f od do b konvergue nebsolutn, pk Lebesgue v integrál nemá smysl. Tvrzení (b) (c) pltí i bez p edpokldu spoitosti, le d kz e sloºit ²í. Tvrzení () nopk spoitost vyºdue. Jink nepltí ºádná inkluze mezi t ídou v²ech lebesgueovsky integrovtelných funkcí t ídou v²ech newtonovsky integrovtelných funkcí. kz e sndné cvi ení, zloºené n rozkldu f = f + f. Pokud Newton v integrál f konvergue bsolutn, konverguí i Newtonovy integrály funkcí f + f, protoºe f + = 1 2 ( f + f) f = 1 2 ( f + f). 5.6. V t (Vzth mezi Riemnnovým Lebesgueovým integrálem). Nech f e Riemnnovsky integrovtelná funkce n [, b]. Potom Lebesgue v integrál funkce f od do b konvergue e roven integrálu Riemnnovu. kz. Nech R e Riemnn v integrál funkce f od do b. Z denice Riemnnov integrálu plyne, ºe existuí po ástech konsttní funkce g, h tk, ºe g f h, b g (x) dx R, 14 b h (x) dx R.

Funkce g = sup g h = inf h sou m itelné podle v ty 3.1. Máme R sup b g b g b h inf b h R. Tedy funkce h g e nezáporná m itelná (h g) = h g =. Podle v ty 4.8 e h = g s.v., tedy i h = f s.v. Tím e dokázán m itelnost funkce f. Protoºe f e omezená n [, b], e Lebesgueovsky integrovtelná b f = b h = R. 6. Zám n limity integrálu V této kpitole prcueme v prostoru s mírou (, S, µ). Symbol pro integrci budeme n kdy zednodu²ovt (vynecháním dµ). Vzorec lim f = lim pltí pro Lebesgue v integrál z zn n obecných p edpokld. N druhé strn e sndné sestroit protip íkldy (np. pro klsický Lebesgue v integrál f (x) = 2 e x, = (, )), tudíº e zpot ebí tyto p edpokldy hlídt. V dl²ím budeme uvºovt prostor s mírou (, S, µ). 6.1. Lemm (Ftouovo). Nech S {f } e posloupnost nezáporných m itelných funkcí n. Potom (15) lim inf f lim inf f. kz. Pro k = 1, 2,... máme inf f inf k i k f Limitní p echod pro k s pouºitím Leviho v ty n posloupnost {inf k f } k dává (15). 6.2. V t (Lebesgueov, dominted convergence theorem). Nech S f, f, = 1, 2,..., sou m itelné funkce n. Nech posloupnost {f } konvergue skoro v²ude k f. Nech existue integrovtelná funkce g (tkzvná mornt) tk, ºe (16) f (x) g(x), = 1, 2,..., x. Potom (17) f = lim kz. M ºeme p edpokládt, ºe uvºovné funkce sou kone né konvergence nstává v²ude, ink bychom z odstrnili mnoºinu míry nul. Pouºieme dditivitu integrálu Ftouovo lemm n funkce g + f, g f. ostneme coº e (17). f lim inf f. f i. f lim sup f f, 6.3. sledek (Lebesgueov v t pro dy). Nech S g, = 1, 2,..., sou m itelné funkce n. Nech d g konvergue skoro v²ude. Nech existue integrovtelná funkce g (tkzvná mornt) tk, ºe k (18) g (x) g(x), k = 1, 2,..., x. Potom (19) g dµ = g dµ. kz. St í pouºít dditivitu integrálu Lebesgueovu v tu n áste né sou ty. 15

7. Zám n dy integrálu N které v ty o zám n dy integrálu sme iº dostli ko d sledky v t o zám n limity integrálu. Podle d sledku 4.16, u d s nezápornými leny zám n ne iní potíºe. Obecný p ípd e t º²í, nebo p edpokld (18) d sledku 6.3 se t ºko ov ue. Málokdy totiº umíme spo ítt áste né sou ty dy. Výimku tvo í geometrické dy, le i tm sou ednodu²²í cesty k cíli. Následuící v t obshue prktická kritéri pro zám nu dy integrálu. 7.1. V t (Zám n dy integrálu). Nech S g, = 1, 2,... sou m itelné funkce n. P edpokládeme, ºe e spln n spo edn z následuících podmínek: () g = q, kde, q sou m itelné funkce, q < 1, 1 q dµ konvergue (geometrická d), (b) g dµ <, (c) g dµ <, (d) g = ( 1) h, h 1 h 2 h 3, h, h 1 e integrovtelná (lternuící d). Potom d g konvergue skoro v²ude pltí vzorec g dµ = g dµ, kz. () odvodíme z formule pro áste né sou ty geometrické dy. Zám nu lze potom provést podle d sledku 6.3, mornt 2 1 q. Pouºieme-li Leviho v tu (d sledek 4.16) n g, zistíme, ºe podmínky (b) (c) sou ekvivlentní. P edpokládeme tedy (b) nebo (c). Funkce g := g e integrovtelná, tudíº podle v ty 4.8 kone ná skoro v²ude. V bodech x, kde e g(x) kone ná, konvergue d g (x), nebo konvergue bsolutn. M ºeme tedy pouºít d sledek 6.3 s morntou g. V p ípd (d) d g konvergue podle Leibnizov kritéri áste né sou ty mí morntu h 1, tudíº m ºeme provést zám nu podle d sledku 6.3. 7.2. P íkld. Máme 1 ln 1 x 1 x 2 dx = 1 n= ( ) x 2n ln 1 x dx = n= n= n= 1 x 2n ln 1 x dx = n= 1 (2n + 1) 2. Zám nu vý²e m ºeme ov it z d sledku 4.16, le n podobnou úlohu 1 ln 1 1 ( x 1 + x 2 dx = ) 1 ( 1) n x 2n ln 1 x dx = ( 1) n x 2n ln 1 x dx = ( 1) n (2n + 1) 2 musíme pouºít n které z kritérií v ty 7.1. 7.3. Vrování. V²imn te si dob e po dí operátor,,... v podmínkách (b), (c) v ty 7.1! Jen velmi slbý student se m ºe rdovt, kdyº ov í t eb g dµ <. 8. Integrál závislý n prmetru V této kpitole uvºueme prostor s mírou (, S, µ) S. Cílem e studovt chování funkce F (t) := f(t, x) dµ(x), kde t e dl²í prom nná (prmetr). Je-li f funkce dvou prom nných t x, zvedeme funkce f(, x) prom nné t f(t, ) prom nné x p edpisem f(t, ) : x f(t, x), f(, x) : t f(t, x). 8.1. V t (Limit integrálu závislého n prmetru). Nech P e metrický prostor A P. Bu A \ A. Nech funkce f : A R má následuící vlstnosti: (Li-1) Pro skoro v²echn x existue lim f(t, x). t, t A (Li-2) pro v²echn t A e funkce f(t, ) m itelná, (Li-3) existue integrovtelná funkce g n tk, ºe pro v²echn t A x e f(t, x) g(x). 16 n=

Potom (2) lim t, t A f(t, x) dµ(x) = lim speciáln výrzy vyskytuící se v (2) mí smysl. f(t, x) dµ(x). t, t A kz. P ipome me, ºe v metrických prostorech lze pouºít ekvivlentní tzv. Heineovu denici limity: K d kzu tvrzení f(t, ) dµ = lim f(t, ) dµ lim t t st í ov it, ºe pro kºdou posloupnost t bod mnoºiny A pltí lim f(t, ) dµ = lim f(t, ) dµ. To e v²k z emé z Lebesgueovy v ty 6.2. Poznmeneme, ºe spo edn tková posloupnost {t } existue, tudíº funkce lim f(t, ) = lim f(t, ) t e m itelná. 8.2. Poznámk. Tvrzení v ty 8.1 o zám n limity integrálu pltí téº v situci, kdy np. A = (, + ) = +. Substituce t 1/t p evádí problém n limitu v nule zprv, která uº z em spdá do kontextu metrických prostor. 8.3. V t (Spoitost integrálu závislého n prmetru). Nech P e metrický prostor. Bu P U okolí bodu v P. Nech funkce f : U R má následuící vlstnosti: (Sp-1) Pro skoro v²echn x e funkce f(, x) spoitá v, (Sp-2) pro v²echn t U e funkce f(t, ) m itelná, (Sp-3) existue integrovtelná funkce g n tk, ºe pro v²echn t U x e f(t, x) g(x). Potom pro v²echn t U e f(t, ) integrovtelná funkce F : t f(t, x) dµ(x) e spoitá v bod. kz. V t e z emým d sledkem v ty 8.1, kterou plikueme n A = U \ {} 8.4. V t (erivce integrálu závislého n prmetru). Nech (, S, µ) e prostor s mírou I R e otev ený intervl. Nech funkce f : I R má následuící vlstnosti: (e-1) Pro skoro v²echn x e funkce f(, x) diferencovtelná n I, (e-2) pro v²echn t I e funkce f(t, ) m itelná, (e-3) existue integrovtelná funkce g n tk, ºe pro v²echn t I x e f t (t, x) g(x), (e-4) existue t I tk, ºe f(t, ) e integrovtelná n. Potom pro v²echn t I e f(t, ) integrovtelná n, funkce F : t f(t, x) dµ(x) e diferencovtelná n I pltí vzorec F (t) = f (t, x) dµ(x). t kz. Nech, b I, b. Podle v ty o st ední hodnot pro skoro kºdé x existue ξ mezi b tk, ºe f(b, x) f(, x) = f b t (ξ, x) g(x). Odtud plyne, ºe funkce f(b, x) f(, x) x b 17

e integrovtelná, tudíº, volíme-li = t, i funkce f(b, ) e integrovtelná. Zvolme znovu I. Uvºume funkci f(t, x) f(, x), t, h(t, x) = t f (, x), t =. t Z p edpokld vý²e dokázného e sné, ºe funkce h(t, x) spl ue p edpokldy v ty 8.3 pro spoitost v bod (s morntou g), tedy F () = lim f(t, x) dµ(x) f(, x) dµ(x) t t f(t, x) f(, x) f = lim dµ(x) = (, x) dµ(x). t t t Tím e v t dokázán. 8.5. P íkld. Uvºume funkci F (t) = 1 cos x x 2 e tx dx. Potom F e spoitá n [, ) (mornt x 2 (1 cos x)) pro t (, ) e F (t) = F (t) = 1 cos x x e tx dx, (1 cos x) e tx dx. Zde iº nem ºeme nít morntu nednou pro t (, ), poslouºí x 1 cos x e x, x x (1 cos x) e x pro t (, ). Jelikoº pro p >, q R e [ e e px cos qx dx = Re e px iqx px iqx dx = Re p + iq p = p 2 + q 2, máme Jelikoº sndno ov íme Speciáln dostáváme (21) Bu F (t) = t t 2 t t 2 + 1 = 1 t(t 2 + 1). lim F (t) = lim F (t) =, t t ] x= F (t) = 1 2 ln ( 1 + 1 t 2 ), t (, ), F (t) = π 2 rctg t 1 2 t ln ( 1 + 1 t 2 ), t [, ). Potom integrováním per prtes dostneme Limitní p echod s vyuºitím (21) dává 1 cos x x 2 dx = F () = π 2. G() = G() = 1 cos lim sin x x sin x x dx. 1 cos x + x 2 dx. dx = lim G() = π 2. 18 = Re 1 p + iq

8.6. P íkld. Nech F (t) = 1 x t dx, t > 1. ln x Mechnickým derivováním z integr ním znmením (není spln n p edpokld ( 4)) bychom dostli F (t) = 1 koli F. Porovnete s výpo tem derivce pro 8.7. P íkld. Nech G(t) = F (t) = 1 x t dx = 1 1 + t, x t 1 ln x dx. cos tx 1 + x 2. Mechnickým derivováním z integr ním znmením (není spln n p edpokld ( 3)) bychom dostli F (t) = x sin tx 1 + x 2, kterýºto integrál konvergue pouze v nule. Nul e ov²em ediný bod, kde F derivci nemá. Zkuste dokázt existenci F n R \ {}! (Per prtes vede n integrál, který e vst ícn ²í k derivování z integr ním znmením.) 8.8. enice (Zvedení Gmm Bet funkce). Funkci Gmm denueme n intervlu (, ) p edpisem (22) Γ(s) = x s 1 e x dx. Funkci Bet dvou prom nných p >, q > denueme p edpisem B(p, q) = Ov te smosttn konvergenci integrál! 1 x p 1 (1 x) q 1 dx. 8.9. Pozorování (Rekurentní formule). Integrováním per prtes zistíme pro s > (23) Γ(s + 1) = Obdobn pro p, q > (24) pb(p, q + 1) = 1 x s e x dx = px p 1 (1 x) q dx = 1 s x s 1 e x dx = s Γ(s). x p q(1 x) q 1 dx = qb(p + 1, q). 8.1. Pozorování (erivování funkce Γ). Formálním derivováním z integr ním znmením dostneme rekurentn Γ (k) (s) = x s 1 (ln x) k e x dx. Vzorec lze od vodnit pouºitím v ty o derivování podle prmetru pro s (p, q), kde < p < q <, s morntou g(x) = (x p 1 + x q 1 ) ln x k e x. Funkce Gmm e tedy nekone n diferencovtelná, tím spí² spoitá n (, ). 8.11. Pozorování (Pr b h funkce Gmm). Z em Γ(s) > pro s >. ruhá derivce e z em kldná, tedy Gmm e striktn konvexní n (, ). Z konvexity e zevné, ºe lim s Γ(s) existue. Jelikoº n!, e lim Γ(s) =. s Ze vzorce Γ(s) = Γ(s + 1)/s dostneme lim Γ(s) =. s + 19

9. Vn ²í mír V této kpitole uvedeme obecné schém pouºívné ke konstrukci m r. Motivem sou plikce n konstrukce m r v nlýze, zvlá²t Lebesgueovy míry, plikce v teorii prvd podobnosti. Konstrukce popsná v denici 9.2 e stená, kou sme iº pouºili v speciálním p ípd n konstrukci vn ²í Lebesgueovy míry v denici 2.1. 9.1. enice (Vn ²í mír). Vn ²í mírou n mnoºin rozumíme mnoºinovou funkci γ : 2 [, ] (tedy denovnou n v²ech podmnoºinách ) spl uící následuící poºdvky: (VM-1) γ( ) =, (VM-2) A B = γ(a) γ(b), (VM-3) γ( A ) γ(a ) (σ-subdditivit). S vn ²ími m rmi se budeme setkávt p edev²ím ko s mezistupn m p i konstrukci míry. 9.2. enice (Z výchozí mnoºinové funkce k vn ²í mí e). Nech G 2 τ : G [, ] e mnoºinová funkce n spl uící (25) G, τ( ) =. Podmínce (25) budeme íkt po áte ní podmínk. Pro A poloºme (26) τ (A) = inf{ τ(g ) : G G, G A} (uv domte si, ºe inf = + ). Kºdý sou et kde τ(g ), G G, G A, nzveme horním sou tem k τ (A). Uºite nost konstrukce dokládá následuící v t. 9.3. V t. Nech G, τ τ sou ko v denici 9.2. Potom τ e vn ²í mír. kz. (VM-1) (VM-2) sou z emé. (VM-3): Chceme-li dokázt τ ( A ) τ (A ), z em se st í omezit n p ípd, kdy n prvé strn máme kone né íslo. Volme ε > nlezn me G i G, i, = 1, 2,..., tk, by G i A i=1 i=1 τ(g i ) < τ (A ) + 2 ε. Potom G i A τ(g i ) τ (A ) + ε.,i=1,i=1 Tedy τ ( A ) τ (A ) + ε. 9.4. enice (γ-m itelné mnoºiny). Nech γ e bstrktní vn ²í mír n. Mnoºinu M nzveme γ-m itelnou (podle Crthéodoryho), estliºe pro kºdou testovcí mnoºinu T pltí γ(t ) = γ(t M) + γ(t \ M) Systém v²ech (crthéodoryovsky) m itelných mnoºin zn íme M(γ) mnoºinovou funkci γ M(γ) zn íme γ. 2

K d kzu γ-m itelnosti mnoºiny M st í ov it pouze nerovnost γ(t ) γ(t M) + γ(t \ M), to e²t smoz em en v p ípdech, kdy γ(t ) <. 9.5. V t (Crthéodoryov). Nech γ e bstrktní vn ²í mír n. Pk systém M(γ) tvo í σ-lgebru γ e úplná mír. kz. Ihned e vid t, ºe, M(γ), estliºe M M(γ), potom i \ M M(γ). Bu te A, B M(γ), chceme ukázt, ºe i A B M(γ). Volme tedy testovcí mnoºinu T. Pouºieme postupn T pro testování m itelnosti A T A, T \ A pro testování m itelnosti B. ostneme (symbolem M c budeme zn it \ M) γ(t ) = γ(t A) + γ(t A c ), tkºe (pouºieme tké subdditivitu γ) γ(t A) = γ(t A B) + γ(t A B c ), γ(t A c ) = γ(t A c B) + γ(t A c B c ), γ(t ) = γ(t A B) + γ(t A B c ) + γ(t A c B) + γ(t A c B c ) γ(t (A B)) + γ(t (A B) c ). okázli sme ztím, ºe systém v²ech γ-m itelných mnoºin e lgebr. M me nyní posloupnost {E } po dvou disunktních γ-m itelných mnoºin. Indukcí dostneme z p edchozího, ºe pro kºdé m = 1, 2,... pro kºdou testovcí mnoºinu T e m m (27) γ(t ) = γ(t E ) + γ(t \ E ) Podrobn i: pro m = 1 e to m itelnost E 1. Pltí-li (27) pro m, pouºieme testovcí mnoºinu T \ m E n m itelnost E m+1 dostneme (28) γ(t \ m m+1 E ) = γ(t E m+1 ) + γ(t \ E ). Se tením (27) (28) dostneme (27) pro m + 1. Z (27) máme hned m γ(t ) γ(t E ) + γ(t \ E ) odtud limitním p echodem pro m (29) γ(t ) γ(t E ) + γ(t \ E ). Nyní dokáºeme, ºe pro A M(γ) e A M(γ). Vyrobíme po dvou disunktní E z A podle v ti ky 1.15. Potom E M(γ) podle první ásti d kzu. Pouºieme σ-subdditivitu γ n (29) dostneme γ(t ) = γ(t E ) + γ(t \ E ) coº dává γ-m itelnost mnoºiny γ(t E ) + γ(t \ E ), E = A. Zbývá dokázt, ºe γ e mír. Víme, ºe γ( ) =. Bu {E } posloupnost po dvou disunktních γ- m itelných mnoºin. Potom pouºieme (29) n T = 21 E

(pro ) σ-subdditivitu γ (pro ) dostneme γ( E ) = γ(e ). Úplnost míry γ e sndná. 9.6. enice (Zákldní konstrukce). Zákldní schém konstrukce míry probíhá ve dvou krocích. Vydeme z nezáporné mnoºinové funkce (G, τ), od které nechceme tém nic p edpokládáme en po áte ní podmínku (25). V prvním kroku vytvo íme podle denice 9.2 v ty 9.3 vn ²í míru τ, v druhém kroku pk podle denice 9.4 v ty 9.5 (úplnou) míru (M(τ ), τ ). Pro výslednou míru zvedeme zkrácené zn ení (3) (G, τ ) := (M(τ ), τ ). Konstrukci obvykle povºueme z úsp ²nou, estliºe (G, τ ) e roz²í ením (G, τ). Tento p ípd nstává p i konstrukci Lebesgue-Stieltesovy míry, coº záhy uvidíme. 1. Konstrukce Lebesgueovy míry 1.1. enice (Lebesgueov mír). N elementární obem l = l n budeme plikovt zákldní konstrukci z denice 9.6. V prvním kroku denueme vn ²í míru l ko v (26). Vn ²í mír l : A l (A), denovná n poten ní mnoºin 2 Rn, se nzývá (Lebesgueov) vn ²í mír. Aplikueme-li zákldní konstrukci n (I n, l), výsledkem bude mír ((I n ), l ), která se nzývá Lebesgueov mír zn í (M, λ). Ve v t 1.8 dokáºeme, ºe ((I n ), l ) e roz²í ením mnoºinové funkce l. 1.2. V t. Nech Q I n. Potom l (Q) = l(q). kz. Z em l(q) e horní sou et k l (Q) tudíº l (Q) l(q). Obrácenou nerovnost dokáºeme sporem. M me Q, Q I n, = 1, 2,..., p edpokládeme, ºe Q Q, le (31) l(q) > l(q ). Intervly Q, Q si e²t trochu uprvíme pomocí spoitosti zprv (Q trochu zmen²íme Q trochu zv t²íme) tk, ºe (31) pltí stále co se tý e inkluze, dokonce Q Q. Poloºme I 1 = Q. Z em l(i 1 ) > l(i 1 Q ). Pomocí vhodné ndroviny H H n rozd líme I 1 n I 1 H I 1 \ H. Potom z ditivity l(i 1 ) = l(i 1 H) + l(i 1 \ H), l(i 1 Q ) = l(i 1 Q H) + l(i 1 Q \ H), = 1, 2,... tkºe ndeme I 2 {I 1 H, I 1 \ H} tk, ºe l(i 2 ) > l(i 2 Q ). Pokr ueme indukcí postupným d lením ncházíme stále men²í intervly I k tk, ºe I 1 I 2..., dim I k l(i k ) > l(i k Q ), k = 1, 2,.... 22

Podle Cntorovy v ty existue bod x k I k. Potom x Q tudíº existue tk, ºe x Q. Pk ov²em pro dost velká k e I k Q, proto l(i k ) = l(i k Q ), coº e spor. ostáváme tedy pro kºdý horní sou et k l (Q), tedy l(q) l(q ) l(q) l (Q). 1.3. Lemm. Nech E R n. Potom E e l -m itelná, práv kdyº (32) l(q) = l (Q E) + l (Q \ E), Q I n. kz. Podle v ty 1.2 e l(q) = l (Q), tedy l -m itelnost implikue (32). Co se tý e op né implikce, zvolme tedy T R n uvºume horní sou et l(q ) pro l (T ). Jelikoº l spl ue xiomy bstrktní vn ²í míry mnoºin E spl ue (32), máme l (T E) + l (T \ E) l (T E Q ) + l (T E c Q ) l (E Q ) + l (E c Q ) = l(q ) P echodem k inmu p es horní sou ty dostneme l (T E) + l (T \ E) l (T ) Op ná nerovnost plyne triviáln ze subditivity l. 1.4. Poznámk. Lemm 1.3 osprvedl ue p vodní denici 2.2 lebesgueovsky m itelných mnoºin. 1.5. enice. Ozn me H n systém v²ech poloprostor tvru {x R n : x i c} kde i {1,..., n} c R. 1.6. Lemm. Kºdý poloprostor H H n e l -m itelná mnoºin. kz. Nech H H n Q I n. Potom Q H, Q \ H I n. S pomocí ditivity v ty 1.2 dostáváme Podle lemmtu 1.3 e H l -m itelná. l(q) = l(q H) + l(q \ H) = l (Q H) + l (Q \ H). 1.7. Lemm. Systém H n generue borelovskou σ-lgebru v R n. kz. Z em e kºdý poloprostor borelovský. Jelikoº kºdý intervl Q I n e pr nik 2n sou dnicových poloprostor, e I n σ(h n ). Bu Q systém v²ech n-rozm rných krtézských sou in ednorozm rných intervl s rcionálními konci. Potom Q I n. Je-li G R n otev ená, sndno ov íme G = {Q Q: Q G}, tedy G e spo etným sednocením mnoºin z σ(h n ). ostáváme σ(h n ) = σ({g R n : G otev ená}) = B(R n ) 1.8. V t. Systém mnoºin M = M(l ) e σ-lgebr obshuící v²echny borelovské mnoºiny (tím spí² v²echny intervly), λ = l spl ue xiomy míry l = l n I n. kz. V t e pouze shrnutím iº dosºených výsledk. Ze zákldní konstrukce (v t 9.5) dostáváme, ºe systém mnoºin M(l ) e σ-lgebr l spl ue xiomy míry. okáºeme m itelnost intervl. Podle lemmtu 1.6, kºdý poloprostor H H n e v M(l ) o tomto systému uº te víme, ºe e to σ-lgebr. Tedy podle lemmtu 1.7 e kºdá borelovská mnoºin l -m itelná. P ipome me, ºe podle v ty 1.2 e l (Q) = l(q) pro kºdý intervl Q I n. Vzhledem k m itelnosti intervl m ºeme tuto rovnost p epst ko l (Q) = l(q). 23

11. Hopfov v t: Existence roz²í ení Hopfov v t e bstrktním nástroem ke konstrukcím m r roz²i ováním. Hopfovu v tu by bylo moºné pouºít i ke konstrukcím Lebesgue-Stieltesových m r, le ov ení p edpokld by bylo prcné. 11.1. enice (Prmír, kone n ditivní mír). Nech e bstrktní mnoºin O 2 e okruh. Mnoºinová funkce π : O [, ] se nzývá prmír, estliºe spl ue (Pr-1) π( ) =, (Pr-2) estliºe A O, A O, = 1, 2,..., A sou po dvou disunktní A = A, potom π(a) = π(a ). Poºdvek, ºe hodnoty sou nezáporné deni ní obor e okruh, e sou ástí denice prmíry. Pokud mnoºinová funkce π n okruhu spl ue pouze (Pr-1) obdobu (Pr-2) pro kone ná disunktní sednocení, nzývá se kone n ditivní mír. Zd rzn me, ºe kone n ditivní mír nemusí být mír, p ívlstek e zobec uící. ekneme, ºe prmír π n O e σ-kone ná, estliºe existuí k O tk, ºe π( k ) <, k = 1, 2,..., = k. 11.2. V t (Hopfov v t). Nech O e okruh podmnoºin π e prmír n O. Nech S e nemen²í σ-lgebr obshuící O. Potom existue mír µ n S, která roz²i ue π. Jestliºe π e σ-kone ná, pk e tková mír µ n S ur en ednozn n. 11.3. Poznámk. kz Hopfovy v ty vyplyne z obecn ²ích tvrzení (v t 11.4, v t 12.5), která doká- ºeme v této následuící sekci. 11.4. V t (Hopfov o existenci). Nech e bstrktní mnoºin, O e mnoºinový okruh n π e prmír n O. Potom mír (O, π ) (výsledek zákldní konstrukce) roz²i ue (O, π). kz. 1. krok. Nech Q O, chceme dokázt, ºe Q M(π ). Zvolme testovcí mnoºinu T spo etný systém {G k } mnoºin z O tk, ºe T k G k. Mnoºiny G k Q, G k \ Q leºí v O, tedy π(g k ) = π(g k Q) + π(g k \ Q). Jelikoº k π(g k Q) e horní sou et k π (T Q) k π(g k \ Q) e horní sou et k π (T \ Q), máme π (T Q) + π (T \ Q) π(g k Q) + π(g k \ Q) = π(g k ) p echodem k inmu p es v²echny horní sou ty k π (Q) dostneme k=1 k=1 π (T Q) + π (T \ Q) π (T ). Op ná nerovnost pltí ze subditivity, tedy Q M(π ). 2. krok. Ukáºeme, ºe pro kºdou Q O e π (Q) = π(q). Je-li systém {G k } pokrytí Q mnoºinmi z O, pk pro kºdé k N e G k Q O. Pouºieme trik zdisunktn ní (v ti ku 1.15) ndeme disunktní systém {E } mnoºin z O tk, ºe E G Q E = (G Q) = Q. Tedy podle p edpokldu (Pr-2) e π(q) = π(e ) π(g ). p echodem k inmu p es v²echny horní sou ty dostneme π(q) π (Q). Jelikoº ednoprvkový systém {Q} e pokrytí Q, op ná nerovnost π (Q) π(q) pltí triviáln. 11.5. Poznámk (o úplnosti). Mír π, která vznikne roz²í ením π z pomoci zákldní konstrukce, e utomticky úplná. Klsická formulce Hopfovy v ty v²k o úplnosti nemluví. Pokud chceme pouºít toto zn ní pro konstrukci np. Lebesgueovy míry, pouºieme Hopfovu v tu (o roz²í ení z intervl n generovnou σ-lgebru) v kombinci s konstrukcí zúpln ní, kterou popí²eme v section 13. Prdoxn pk docházíme k postupu, kdy vytvo íme tu správnou míru iº p i d kzu Hopfovy v ty, pk se e²t b hem tohoto d kzu neborelovských m itelných mnoºin zbvíme, bychom e v dl²ím kroku konstrukce (iº mimo Hopfovu v tu) iným zp sobem získli zp t. 24 k=1 k=1

12. Jednozn nost roz²í ení 12.1. enice (ynkin v systém). Nech e bstrktní mnoºin. Systém mnoºin 2 se nzývá ynkin v systém, e-li spln no (-1),, (-2) A, B, B A = A \ B. (-3) Jestliºe A sou po dvou disunktní, pk A. Kºdá σ-lgebr e ynkin v systém. leºitost ynkinových systém spo ívá v tom, ºe sou li µ, ν dv míry n (, S), µ() = ν() <, potom systém mnoºin {A S : µ(a) = ν(a)} e ynkin v systém (obecn ne σ-lgebr: uvºute np. míry A λ({x A : x > }) A λ({x A : x < }) n intervlu [ 1, 1]). 12.2. enice (Generování ynkinových systém ). Je-li F libovolný systém podmnoºin, potom existue nemen²í ynkin v systém obshuící F. Tento ynkin v systém dostneme ko pr nik v²ech ynkinových systém obshuících F; budeme e zn it δ(f). P ipome me, ºe σ(f) zn íme nemen²í σ-lgebru obshuící F. 12.3. V t (o ynkinových systémech). Nech F e systém podmnoºin uzv ený n kone né pr niky. Potom δ(f) = σ(f). kz. Nech A σ(f). Ozn me F A = {B σ(f) : A B δ(f)}. Jestliºe A F, pk F A e ynkin v systém obshuící F, tedy F A δ(f). Nech nyní A δ(f), potom podle p edchozího kroku e F A ynkin v systém obshue F. Pk le podobn ko v p edchozím kroku e F A δ(f). okázli sme, ºe systém δ(f) e uzv ený n pr niky. Kºdý ynkin v systém uzv ený n pr niky e v²k z em σ-lgebr, tedy δ(f) e σ-lgebr obshuící F. Z minimlity obou systém plyne, ºe δ(f) = σ(f). 12.4. V t (o ednozn nosti). Nech F e systém podmnoºin uzv ený n kone né pr niky. Nech µ ν sou míry n σ(f), které se shoduí n F. Jestliºe existuí k F tk, ºe µ( k ) < k =, pk µ = ν n σ(f). kz. Pro kºdé k N e systém mnoºin {A σ(f) : µ(a k ) = ν(a k )} ynkin v systém obshuící F δ(f) = σ(f) (rovnost nstává podle v ty 12.3). Kºdou mnoºinu A σ(f) m ºeme npst ko (po dvou) disunktní sednocení k N A = A, kde A = E, E 1 = A, E 2 = (A \ 1 ), E 3 = (A \ ( 1 2 )),.... V²imn me si, ºe E vyrobíme z mnoºin z F okruhovými opercemi, tedy E σ(f), le tím pádem E δ(f) µ(e ) = ν(e ), neboli µ(a ) = ν(a ) pro v²echn N. Jelikoº A e disunktní sednocení mnoºin A, dostáváme µ(a) = ν(a). 12.5. V t (Hopfov o ednozn nosti). Nech e bstrktní mnoºin, O e mnoºinový okruh n π e σ-kone ná prmír n O. Nech mír (S, µ) n roz²i ue (O, π). Potom σ(o) S µ = π n σ(o). kz. V t e d sledkem v ty 12.4. 13. Zúpln ní míry 13.1. enice (Zúpln ní míry). Nech (, S, µ) e prostor s mírou. Poloºme S := {E : E, E S : E E E, µ(e \ E ) = }, µ(e) := µ(e ) = µ(e ), E S. Rovnost µ(e ) = µ(e ) n p edchozím ádku e triviálním d sledkem poºdvku µ(e \ E ) =. Ov me, ºe denice µ(e) nezávisí n volb E. Totiº, pokud E, E S, E E E, potom µ(e ) = µ(e ) µ(e ) podobn µ(e ) µ(e ). Mnoºinová funkce (S, µ) se nzývá zúpln ní míry (S, µ). 25