3. část: Teorie hromadé obsluhy Ig. Michal Dorda, h.d.
Zálady teorie pravděpodobosti Náhodý pous je děj, jehož výslede eí ai při dodržeí všech předepsaých podmíe předem zám. Náhodý jev je výsledem áhodého pousu, áhodé jevy ozačujeme X,Y, Elemetárí jev E jev, terý ejde dále rozložit. Záladí prostor Ω možia všech elemetárích jevů. Ig. Michal Dorda, h.d. 2
Zálady teorie pravděpodobosti Jistý jev I jev, terý vždy astae (jev, terý astae s pravděpodobostí ). Nemožý jev jev, terý idy eastae. Opačý jev opačý jev jevu A je jev Ā, terý astae právě tehdy, dyž eastae jev A. Disjutí jevy jevy A a B jsou disjutí, emohou-li astat současě. Ig. Michal Dorda, h.d. 3
Zálady teorie pravděpodobosti Axiomaticé zavedeí pravděpodobosti:. ravděpodobost jevu je ezáporá veličia. A 2. ravděpodobost sjedoceí oečě ebo spočetě moho disjutích jevů je rova součtu pravděpodobostí těchto jevů. A A A A A...... 2 A 3. ravděpodobost jevu jistého je rova. I 2 Ig. Michal Dorda, h.d. 4
Zálady teorie pravděpodobosti Na záladě uvedeých axiomů plye, že pravděpodobost jevu opačého jevu A je rova doplňu do. A A Ig. Michal Dorda, h.d. 5
Náhodá proměá a její popis Náhodá proměá je reálá fuce defiovaá a možiě všech elemetárích jevů, terá aždému jevu přiřadí reálé číslo. Rozlišujeme áhodou proměou: Disrétí (obor hodot áhodé proměé je oečá ebo eoečá posloupost). Spojitou (obor hodot áhodé proměé je určitý oečý ebo eoečý iterval). Ig. Michal Dorda, h.d. 6
Náhodá proměá a její popis Disrétí áhodou proměou můžeme popsat fučími závislostmi: ravděpodobostí fuce px X x. Distribučí fuce Fx X x pxi. x x Spojitou áhodou proměou můžeme popsat pomocí: Hustoty pravděpodobosti f x. x Distribučí fuce Fx X x f t dt. i Ig. Michal Dorda, h.d. 7
Náhodá proměá a její popis ro distribučí fuci DN i SN platí: Fx. a X b Fb Fa. lim Fx,lim Fx. x x ro pravděpodobostí fuci DN platí: pxi. p. x i x i Ig. Michal Dorda, h.d. 8
Náhodá proměá a její popis ro hustotu pravděpodobosti SN platí: f x. f x dx. Ig. Michal Dorda, h.d. 9
Náhodá proměá a její popis Náhodou proměou můžeme dále popsat pomocí číselých charateristi. Číselé charateristiy N dělíme: odle způsobu výpočtu a mometové, vatilové a ostatí. odle toho, teré vlastosti rozděleí pravděpodobosti charaterizují a charateristiy polohy, variability, šimosti a špičatosti. Ig. Michal Dorda, h.d.
Náhodá proměá a její popis Středí hodota (počátečí momet. řádu): ro DN x p. EX ro SN xf x dx. EX ro středí hodotu platí: Ec c. EcX cex. EX Y EX EY. x i i x i Ig. Michal Dorda, h.d.
Náhodá proměá a její popis Rozptyl (cetrálí momet 2. řádu): 2 2 DX x EX p ro DN. 2 2 ro SN DX x EX f x dx. 2 2 ři výpočtech rozptylu se spíš užívá vztahu: 2 2 DX EX EX EX EX 2, EX 2 2 2 xi px i 2 EX x f x x i i x i de pro DN,pro SN dx. x i Ig. Michal Dorda, h.d. 2
oissoovo rozděleí pravděpodobosti o(λ) atří mezi disrétí áhodé proměé. Rozděleí je defiováo jedím parametrem λ > středí počet událostí za jedotu času. oissoova N může abývat hodot,,2, a může apř. představovat počet záazíů přicházejících za jedotu času. ravděpodobostí fuce je defiováa: X e pro,,,2...,! X jide. ro středí hodotu a rozptyl platí: EX DX. Ig. Michal Dorda, h.d. 3
oissoovo rozděleí pravděpodobosti o(λ) Odvozeí vztahu pro středí hodotu: Ig. Michal Dorda, h.d. 4.... 2!!!!!! * 2 e e e e e e EK * Maclauriova řada... 2!!! 2 x x x e x
oissoovo rozděleí pravděpodobosti o(λ) Uáza průběhu pravděpodobostí fuce oissoovy áhodé proměé. Ig. Michal Dorda, h.d. 5
Expoeciálí rozděleí pravděpodobosti E(λ) atří mezi spojitá rozděleí pravděpodobosti. Rozděleí je defiováo jedím parametrem λ >. Expoeciálí N představuje dobu trváí čiosti (apř. obsluhy záazía), příp. dobu mezi jedotlivými událostmi (příchody záazíů) jestliže se počet přicházejících záazíů za jedotu času řídí oissoovým rozděleím, potom dély mezer mezi příchody záazíů se řídí expoeciálím rozděleím. Ig. Michal Dorda, h.d. 6
Expoeciálí rozděleí pravděpodobosti E(λ) ro hustotu pravděpodobosti platí: f f x x e pro x jide., x, ro distribučí fuci platí: F F x x e pro x jide., x, Ig. Michal Dorda, h.d. 7
Expoeciálí rozděleí pravděpodobosti E(λ) ro středí hodotu expoeciálí N platí: EX. ro rozptyl expoeciálí N platí: DX 2. Ig. Michal Dorda, h.d. 8
Expoeciálí rozděleí pravděpodobosti E(λ) Odvozeí vztahu pro středí hodotu: Ig. Michal Dorda, h.d. 9 lim lim 2 2 2 * a a a a x a x x e e a dx xe dx xe dx e x dx x xf EX 2 2 2 2 * a a a a a a a x a x a x a x a x a x x x a x e e a e e e a e e e a e e x dx e e x dx e e x e v u e v x u dx xe
Expoeciálí rozděleí pravděpodobosti E(λ) Uáza průběhu hustoty pravděpodobosti expoeciálí áhodé proměé. Ig. Michal Dorda, h.d. 2
Expoeciálí rozděleí pravděpodobosti E(λ) Uáza průběhu distribučí fuce expoeciálí áhodé proměé. Ig. Michal Dorda, h.d. 2
Systémy hromadé obsluhy Za systém hromadé obsluhy (SHO) lze považovat aždý systém, ěmuž přicházejí požadavy a obsluhu v systému. Vstupí proud požadavů Frota požadavů čeajících a obsluhu v SHO Liy provádějící obsluhu Výstupí proud požadavů Ig. Michal Dorda, h.d. 22
Systémy hromadé obsluhy SHO lze čleit podle moha ritérií, rozezáváme apř.: Systémy bez froty a systémy tvořící frotu. Systémy tvořící frotu lze rozdělit a systémy s eomezeou ebo omezeou délou froty. Systémy tvořící frotu lze dále rozdělit podle frotového režimu FIFO, LIFO, RI. Systémy s paralelě, sériově ebo ombiovaě řazeými liami. Systémy se spolehlivými liami a systémy s espolehlivými liami. Ig. Michal Dorda, h.d. 23
Systémy hromadé obsluhy Vstupí údaje o SHO Výstupí údaje o SHO Systém hromadé SS obsluhy Ig. Michal Dorda, h.d. 24
Systémy hromadé obsluhy Každý SHO lze charaterizovat ěolia fatory: Charater vstupího tou záazíů. Charater obsluhy. očet obslužých lie a jejich uspořádáí. Kapacita froty a frotový režim (poud SHO umožňuje tvorbu froty). Tyto údaje představují oblast vstupích dat (potřebujeme je zát, abychom mohli SHO matematicy modelovat). Ig. Michal Dorda, h.d. 25
Systémy hromadé obsluhy U daého SHO ás zajímá apř.: roceto odmítutých záazíů, resp. pravděpodobost odmítutí záazía ODM. Využití obslužých lie κ. Středí počet záazíů v systému EK. Středí počet záazíů v obsluze ES. Středí počet záazíů ve frotě EL. Tyto údaje představují oblast výstupích dat (tedy to, co chceme řešeím matematicého modelu SHO zísat) provozí charateristiy. Ig. Michal Dorda, h.d. 26
Systémy hromadé obsluhy SHO se pro ázorost ozačují dle Kedallovy lasifiace SHO: X / Y / / m, de: X vyjadřuje pravděpodobostí rozděleí příchodu záazíů SHO, Y vyjadřuje pravděpodobostí rozděleí, terým se řídí doba trváí obsluhy záazía, ozačuje počet obslužých lie v SHO, m ozačuje celový počet míst v SHO. Ig. Michal Dorda, h.d. 27
Systémy hromadé obsluhy M E D G ozice X expoeciálí doby mezi příchody (elemetárí vstupí to) Erlagovo rozděleí dob mezi příchody ostatí doby mezi příchody obecé rozděleí dob mezi příchody ozice Y expoeciálí doba obsluhy Erlagovo rozděleí doby obsluhy ostatí doba obsluhy obecé rozděleí doby obsluhy Ig. Michal Dorda, h.d. 28
Systémy hromadé obsluhy Budeme se zabývat systémy: Vstupí to záazíů bude elemetárí. Doba obsluhy záazía bude expoeciálí áhodá proměá. U systémů tvořících frotu budeme uvažovat FIFO režim výběru záazíů z froty. Obslužé liy budou řazey paralelě, budou homogeí a ebudeme uvažovat možost jejich poruchy. Ig. Michal Dorda, h.d. 29
Elemetárí vstupí to Elemetárí vstupí to je taový to, terý splňuje tři záladí vlastosti: Stacioárost, bezásledost a ordiárost. Stacioárost (eměost stochasticého režimu): očet záazíů, teří přicházejí SHO za čas t, závisí pouze a délce tohoto itervalu a ezávisí a jeho poloze a časové ose. Ig. Michal Dorda, h.d. 3
Elemetárí vstupí to Bezásledost (eexistece ásledých účiů): očet záazíů, teří přijdou SHO za čas t, ezávisí a počtu záazíů, teří SHO přišli před začátem tohoto časového itervalu. Ordiárost: Záazíci přicházejí SHO jedotlivě. Ig. Michal Dorda, h.d. 3
Elemetárí vstupí to ro elemetárí vstupí to platí: t ravděpodobost p, tedy že za čas t přijde SHO záazíů, je rova: p p t t t! e t pro jide., t,,,2,..., Elemetárí vstupí to je tedy oissoův, mezery mezi příchody záazíů SHO jsou expoeciálí. Ig. Michal Dorda, h.d. 32
Itezity přechodů Za rátý časový oamži t jsou přípusté pouze tyto přechody: říchod jedoho záazía astae s itezitou přechodu λ (itezita příchodu záazía ezávisí a počtu záazíů acházejících se v systému). Odchod jedoho z obsluhovaých záazíů, de =,, astae s itezitou µ (itezita odchodu záazía závisí a počtu záazíů, teří jsou v obsluze). Ig. Michal Dorda, h.d. 33
M/M// SHO Systém je tvoře paralelě řazeými homogeími liami. Systém epřipouští tvorbu froty čeajících záazíů a obsluhu, je-li systém plý, jsou přicházející záazíci odmítái. Ig. Michal Dorda, h.d. 34
M/M// SHO Vstupí to je elemetárí s itezitou λ. Středí počet záazíů, teří přicházejí SHO za jedotu času je tedy rove λ. Jeliož je vstupí to elemetárí (tedy oissoův), jsou doby mezi příchody po sobě jdoucích záazíů expoeciálí áhodou proměou s parametrem λ. řevráceá hodota tohoto parametru je rova středí době mezi příchody záazíů systému. Ig. Michal Dorda, h.d. 35
M/M// SHO Doba obsluhy záazía je áhodá a řídí se expoeciálím rozděleím pravděpodobosti, teré je defiováo parametrem μ. arametr μ azýváme parametrem obsluhy a udává, oli záazíů je průměrě schopa lia obsloužit za jedotu času, hodota / μ potom udává středí dobu obsluhy jedoho záazía. arametr μ azýváme parametrem systému a udává, oli záazíů za jedotu času je systém schope průměrě obsloužit. Ig. Michal Dorda, h.d. 36
M/M// SHO Nyí ás apřílad zajímá, jaý je středí počet záazíů v systému EK. Jeliož áhodou proměou je počet záazíů v systému, terý je disrétí, můžeme psát: EK. Z uvedeého vztahu je zřejmé, že výpočtu potřebujeme zát pravděpodobosti, že v systému se achází záazíů pro =,,,. Ty staovíme postupem, terý si uážeme dále. Ig. Michal Dorda, h.d. 37
řechodový graf M/M// SHO Systém se může acházet v ásledujících stavech tvořících možiu S (možia všech stavů systému): systém je prázdý (v systému se eachází žádý záazí). v systému se achází záazí teto záazí je obsluhová. v systému (a tedy i v obsluze) se achází záazíů, de =, 2,,. v systému (a tedy i v obsluze) se achází záazíů, systém je zaplě. Ig. Michal Dorda, h.d. 38
řechodový graf M/M// SHO 2 Vrcholy grafu představují stav systému (počet záazíů v systému), hray představují možé změy stavu systému za čas Δt a ohodoceí hra představuje itezitu přechodu. Ig. Michal Dorda, h.d. 39
Rovice globálí rovováhy Jedá se sice o dyamicý systém, my budeme ale vyšetřovat systém v tzv. ustáleém (rovovážém) stavu, tedy pro t. V ustáleém stavu platí tzv. pricip globálí rovováhy: ro aždou možiu stavů A, terá je podmožiou S, platí, že to (pravděpodobost stavu ásobeá itezitou přechodu) z této možiy je rove tou do této možiy. Ig. Michal Dorda, h.d. 4
Rovice globálí rovováhy M/M// SHO 2 Ig. Michal Dorda, h.d. 4
Rovice globálí rovováhy M/M// SHO 2 2 2 Ig. Michal Dorda, h.d. 42
Rovice globálí rovováhy M/M// SHO 2 Ig. Michal Dorda, h.d. 43
Rovice globálí rovováhy M/M// SHO 2 Ig. Michal Dorda, h.d. 44
Rovice globálí rovováhy M/M// SHO 2 Ig. Michal Dorda, h.d. 45
Rovice globálí rovováhy M/M// SHO Dostáváme soustavu + lieárích rovic s + ezámými pravděpodobostmi, de =,,,. Soustavu lze obecě zapsat ve tvaru: pro,2,.... Tato soustava má eoečě moho řešeí (jeda rovice je lieárí ombiací ostatích rovic). Ig. Michal Dorda, h.d. 46
Rovice globálí rovováhy M/M// SHO Abychom zísali pouze jedo řešeí rovice, je uté soustavu doplit tzv. ormativí podmíou pravděpodobosti, terá ám říá, že systém se může acházet pouze ve stavech z možiy S. Zapsáo matematicy:. Ig. Michal Dorda, h.d. 47
Aalyticé řešeí M/M// SHO Z rovice plye vztah: pro,2,... pro,2,...,. přímo Teto reuretí vztah umožňuje spočítat pravděpodobost stavu pomocí pravděpodobosti stavu -. Ig. Michal Dorda, h.d. 48
Aalyticé řešeí M/M// SHO Nyí bychom potřebovali vyjádřit vztahy pro výpočet pravděpodobostí jedotlivých stavů pomocí pravděpodobosti stavu, chceme tedy vyjádřit závislost pro =,2,, a. K tomu využijeme reuretí vzorec, terý jsme si odvodili v předchozím postupu. Ig. Michal Dorda, h.d. 49
Aalyticé řešeí M/M// SHO Ig. Michal Dorda, h.d. 5,...,,2 pro! 3! 2 3 3 2! 2 2! 3 2 3 2 2 omocí tohoto vztahu jsme schopi spočítat všechy pravděpodobosti romě pravděpodobosti, terou odvodíme z ormativí podmíy pravděpodobosti. Erlagův vzorec
Aalyticé řešeí M/M// SHO Abychom mohli použít vzorec odvozeý v předchozím símu, musíme zát hodotu pravděpodobosti. Vztah pro výpočet této pravděpodobosti odvodíme s využitím ormativí podmíy pravděpodobosti. Ig. Michal Dorda, h.d. 5
Aalyticé řešeí M/M// SHO Ig. Michal Dorda, h.d. 52!!!...!...!!!...!...!!...... Erlagův vzorec
rovozí charateristiy M/M// SHO ravděpodobost odmítutí záazía ODM : řicházející záazí bude odmítut, ajde-li v oamžiu svého příchodu systém plý, tedy ve stavu. ro pravděpodobost odmítutí tedy platí: Ig. Michal Dorda, h.d. 53.!!! ODM
rovozí charateristiy M/M// SHO Středí počet záazíů v systému EK staovíme podle vzorce pro výpočet středí hodoty DN, de áhodou proměou K je počet záazíů v systému. Tedy platí: Ig. Michal Dorda, h.d. 54....!...!!!!! EK
rovozí charateristiy M/M// SHO Vztah pro výpočet EK lze taé odvodit ásledujícím způsobem. Vyjdeme z výchozí soustavy rovic globálí rovováhy: Ig. Michal Dorda, h.d. 55., 2, 2
rovozí charateristiy M/M// SHO Sečteím všech rovic globálí rovováhy dostaeme: Ig. Michal Dorda, h.d. 56 2 2
rovozí charateristiy M/M// SHO Vyjdeme-li z defiičího vztahu pro výpočet středí hodoty disrétí áhodé proměé počtu záazíů v systému, můžeme psát: EK.... Ig. Michal Dorda, h.d. 57
rovozí charateristiy M/M// SHO oužijeme-li teto vztah ve vztahu předcházejícím, zísáváme postupými úpravami: Ig. Michal Dorda, h.d. 58.,, EK EK EK
rovozí charateristiy M/M// SHO Středí počet záazíů v obsluze ES staovíme podle vzorce pro výpočet středí hodoty DN, de áhodou proměou S je počet záazíů v obsluze. Jeliož u tohoto systému platí, že počet záazíů v systému se rová počtu záazíů v obsluze, můžeme psát: ES EK. Ig. Michal Dorda, h.d. 59
rovozí charateristiy M/M// SHO Středí počet záazíů ve frotě EL opět staovíme podle vzorce pro výpočet středí hodoty DN, de áhodou proměou L je počet záazíů ve frotě. Jeliož teto systém etvoří frotu (počet záazíů ve frotě je pořád rove ), platí: EL. Ig. Michal Dorda, h.d. 6
rovozí charateristiy M/M// SHO Využití obslužých lie (systému) κ staovíme a záladě ásledující úvahy. Systém průměrě obsluhuje ES záazíů a je schope obsluhovat záazíů, tedy platí: ES, de ρ azýváme itezitou provozu. Ig. Michal Dorda, h.d. 6
M/M// SHO Systém je tvoře paralelě řazeými homogeími liami. Systém připouští tvorbu froty čeajících záazíů a obsluhu, přicházející záazí achází vždy volé místo v systému, systém tedy eodmítá záazíy (v systému se může teoreticy acházet záazíů). Aby byl systém stabilí, musí platit:. Ig. Michal Dorda, h.d. 62
M/M// SHO Vstupí to je elemetárí s itezitou λ. Doba obsluhy záazía je expoeciálí áhodá proměá s parametrem μ. Ig. Michal Dorda, h.d. 63
řechodový graf M/M// SHO Systém se může acházet ve stavech: systém je prázdý. v systému je záazí v obsluze, ve frotě. v systému se achází záazíů, de =, 2,, ; záazíů je v obsluze, ve frotě. v systému je záazíů, všichi jsou v obsluze, frota je prázdá. v systému je záazíů, de = +, ; záazíů je v obsluze a ve frotě. Ig. Michal Dorda, h.d. 64
řechodový graf M/M// SHO 2 Ig. Michal Dorda, h.d. 65
Rovice globálí rovováhy M/M// SHO 2 Ig. Michal Dorda, h.d. 66
Rovice globálí rovováhy M/M// SHO 2 2 2 Ig. Michal Dorda, h.d. 67
Rovice globálí rovováhy M/M// SHO 2 Ig. Michal Dorda, h.d. 68
Rovice globálí rovováhy M/M// SHO 2 Ig. Michal Dorda, h.d. 69
Rovice globálí rovováhy M/M// SHO 2 Ig. Michal Dorda, h.d. 7
Rovice globálí rovováhy M/M// SHO 2 Ig. Michal Dorda, h.d. 7
Rovice globálí rovováhy M/M// SHO 2 Ig. Michal Dorda, h.d. 72
Rovice globálí rovováhy M/M// SHO 2 Ig. Michal Dorda, h.d. 73
Rovice globálí rovováhy M/M// SHO V tomto případě dostáváme soustavu eoečě moho lieárích rovic s eoečě moho ezámými pravděpodobostmi, de =,,2,,, : pro pro,2,...,, 2,... Ig. Michal Dorda, h.d. 74
Aalyticé řešeí M/M// SHO Z těchto rovic zísáme přímo reuretí vztahy: pro,2,...,, pro,,.... poz. U druhého reuretího vztahu uvádíme platost i pro =, což eodpovídá příslušé rovici globálí rovováhy. Lze se ale sado přesvědčit (dosazeím = do prvího reuretího vztahu), že druhý reuretí vztah platí i v tomto případě. Ig. Michal Dorda, h.d. 75
Aalyticé řešeí M/M// SHO Nyí bychom opět potřebovali vyjádřit vztahy pro výpočet pravděpodobostí jedotlivých stavů pomocí pravděpodobosti stavu, chceme tedy vyjádřit závislost pro =,2,,, a. K tomu využijeme reuretí vzorce, teré jsme si odvodili v předchozím postupu. Ig. Michal Dorda, h.d. 76
Aalyticé řešeí M/M// SHO Ig. Michal Dorda, h.d. 77,...,,2 pro! 3! 2 3 3 2! 2 2! 3 2 3 2 2 Vztah pro výpočet pomocí, vztah platí pouze pro =,2,,!!!
Aalyticé řešeí M/M// SHO Ig. Michal Dorda, h.d. 78,..., pro!!,..., pro!,...a, pro : Víme 2 2 Vztah pro výpočet pomocí, platí pouze pro =,!!! Vztah pro výpočet pomocí, platí pouze pro =,!!!
Aalyticé řešeí M/M// SHO Ig. Michal Dorda, h.d. 79 pro!!!!!!......... pro... 3 2 ravděpodobost opět staovíme z ormativí podmíy pravděpodobosti. Jedá se o eoečou geometricou řadu s prvím čleem a = ρ a vocietem q = ρ, pro součet eoečé geometricé řady platí:. pro q q a s
rovozí charateristiy M/M// SHO ravděpodobost odmítutí záazía ODM : řicházející záazí ebude idy odmítut, ajde-li v oamžiu svého příchodu ěterou z lie eobsazeou, začíá ihed jeho obsluha, v opačém případě se řadí do froty, jejíž déla eí ija omezea: ODM. Ig. Michal Dorda, h.d. 8
rovozí charateristiy M/M// SHO Středí počet záazíů v obsluze ES staovíme podle vzorce pro výpočet středí hodoty DN, de áhodou proměou S je počet záazíů v obsluze. Tedy platí: Ig. Michal Dorda, h.d. 8.......! 2 ** * s s s ES
rovozí charateristiy M/M// SHO Ig. Michal Dorda, h.d. 82....!! * 2.........!! **
rovozí charateristiy M/M// SHO Ig. Michal Dorda, h.d. 83 Středí počet záazíů v obsluze ES lze taé odvodit z rovic globálí rovováhy, teré sečteme: 2,..., pro,,2,... pro.
rovozí charateristiy M/M// SHO Zísaý vztah upravujeme: Ig. Michal Dorda, h.d. 84....,,,
rovozí charateristiy M/M// SHO ro ES musí z defiičího vztahu pro výpočet středí hodoty platit: Ig. Michal Dorda, h.d. 85.... ES
rovozí charateristiy M/M// SHO oužitím tohoto vztahu dostáváme:.... ES Z ormativí podmíy pravděpodobosti plye, že výraz v závorce a levé straě musí být rove, proto dostáváme: ES. Ig. Michal Dorda, h.d. 86
rovozí charateristiy M/M// SHO Středí počet záazíů ve frotě EL opět staovíme podle vzorce pro výpočet středí hodoty DN, de áhodou proměou L je počet záazíů ve frotě. Můžeme tedy psát: Ig. Michal Dorda, h.d. 87. 2 l l l l l l l l l l l l d d d d d d l l l l EL... 3 2 l l
rovozí charateristiy M/M// SHO Středí počet záazíů v systému EK je rove součtu středího počtu požadavů v obsluze a středího počtu požadavů ve frotě. Můžeme tedy psát: EK ES EL 2. Ig. Michal Dorda, h.d. 88
rovozí charateristiy M/M// SHO Využití obslužých lie (systému) κ staovíme a záladě ásledující úvahy. Systém průměrě obsluhuje ES záazíů a je schope obsluhovat záazíů, tedy platí: ES. Ig. Michal Dorda, h.d. 89
M/M//m SHO Systém je tvoře paralelě řazeými homogeími liami. Systém připouští tvorbu froty záazíů čeajících a obsluhu, déla froty je omezea a (m ) míst. Nachází-li příchozí záazí v systému m záazíů, je odmítut (systém je tedy vždy stabilí). Vstupí to je elemetárí s itezitou λ. Doba obsluhy záazía je expoeciálí áhodá proměá s parametrem μ. Ig. Michal Dorda, h.d. 9
řechodový graf M/M//m SHO Systém se může acházet ve stavech: systém je prázdý. v systému je záazí v obsluze, ve frotě. v systému se achází záazíů, de =, 2,, ; záazíů je v obsluze, ve frotě. v systému je záazíů, všichi jsou v obsluze, frota je prázdá. v systému je záazíů, de = +,, m - ; záazíů je v obsluze a ve frotě. m v systému je m záazíů; záazíů je v obsluze a m ve frotě. Ig. Michal Dorda, h.d. 9
řechodový graf M/M//m SHO 2 m Ig. Michal Dorda, h.d. 92
Rovice globálí rovováhy M/M//m SHO 2 m Ig. Michal Dorda, h.d. 93
Rovice globálí rovováhy M/M//m SHO 2 m 2 2 Ig. Michal Dorda, h.d. 94
Rovice globálí rovováhy M/M//m SHO 2 m Ig. Michal Dorda, h.d. 95
Rovice globálí rovováhy M/M//m SHO 2 m Ig. Michal Dorda, h.d. 96
Rovice globálí rovováhy M/M//m SHO 2 m Ig. Michal Dorda, h.d. 97
Rovice globálí rovováhy M/M//m SHO 2 m Ig. Michal Dorda, h.d. 98
Rovice globálí rovováhy M/M//m SHO 2 m Ig. Michal Dorda, h.d. 99
Rovice globálí rovováhy M/M//m SHO 2 m Ig. Michal Dorda, h.d.
Rovice globálí rovováhy M/M//m SHO 2 m m m Ig. Michal Dorda, h.d.
Rovice globálí rovováhy M/M//m SHO V tomto případě dostáváme soustavu m+ lieárích rovic s m+ ezámými pravděpodobostmi, de =,,2,,m: pro pro,2,...,,..., m. Ig. Michal Dorda, h.d. 2
Aalyticé řešeí M/M//m SHO Z těchto rovic zísáme přímo reuretí vztahy: pro,2,...,, pro,,..., m. poz. U druhého reuretího vztahu uvádíme platost i pro =, což eodpovídá příslušé rovici globálí rovováhy. Lze se ale sado přesvědčit (dosazeím = do prvího reuretího vztahu), že druhý reuretí vztah platí i v tomto případě. Ig. Michal Dorda, h.d. 3
Aalyticé řešeí M/M//m SHO Nyí si opět vyjádříme vztahy, pomocí terých jsme schopi staovit hodotu pravděpodobosti stavu, de =,,m pomocí pravděpodobosti stavu. Využijeme tomu odvozeé reuretí vztahy. Ig. Michal Dorda, h.d. 4
Aalyticé řešeí M/M//m SHO Ig. Michal Dorda, h.d. 5,...,,2 pro! 3! 2 3 3 2! 2 2! 3 2 3 2 2
Aalyticé řešeí M/M//m SHO Ig. Michal Dorda, h.d. 6 m m,...,, pro!!,...,, pro!!!!!! 2 2 2 2
Aalyticé řešeí M/M//m SHO Ig. Michal Dorda, h.d. 7 pro!! pro!!!!!!......... m m m m m m pro... pro... 3 2 3 2 m m m m m m m m m ravděpodobost opět staovíme z ormativí podmíy pravděpodobosti.
rovozí charateristiy M/M//m SHO ravděpodobost odmítutí záazía ODM : řicházející záazí bude odmítut, ajde-li v oamžiu svého příchodu m záazíů v systému (tedy jsou obsazea všecha místa v obsluze i ve frotě). Můžeme tedy psát: ODM m m! m. Ig. Michal Dorda, h.d. 8
rovozí charateristiy M/M//m SHO Středí počet záazíů v obsluze ES staovíme podle vzorce pro výpočet středí hodoty DN, de áhodou proměou S je počet záazíů v obsluze. Tedy platí: Ig. Michal Dorda, h.d. 9....! 2 ** * m m m m s s s s ES
rovozí charateristiy M/M//m SHO Ig. Michal Dorda, h.d.....!! * 2..........!! ** m m m m m m m
rovozí charateristiy M/M//m SHO Ig. Michal Dorda, h.d. Středí počet záazíů v obsluze ES lze taé odvodit z rovic globálí rovováhy, teré sečteme:.,..., pro,,2,... pro m. m m
rovozí charateristiy M/M//m SHO Zísaý vztah upravujeme: Ig. Michal Dorda, h.d. 2....,,, m m m m m m m m
rovozí charateristiy M/M//m SHO ro ES musí z defiičího vztahu pro výpočet středí hodoty platit: Ig. Michal Dorda, h.d. 3.... m m ES
rovozí charateristiy M/M//m SHO oužitím tohoto vztahu dostáváme:.... m ES Z ormativí podmíy pravděpodobosti plye, že výraz v závorce a levé straě musí být rove m, proto dostáváme: ES m. Ig. Michal Dorda, h.d. 4
rovozí charateristiy M/M//m SHO Středí počet záazíů ve frotě EL opět staovíme podle vzorce pro výpočet středí hodoty DN, de áhodou proměou L je počet záazíů ve frotě. Můžeme tedy psát: EL m l l l m l l l. Ig. Michal Dorda, h.d. 5
rovozí charateristiy M/M//m SHO Středí počet záazíů v systému EK je rove součtu středího počtu požadavů v obsluze a středího počtu požadavů ve frotě. Můžeme tedy psát: EK ES EL m l. m l l Ig. Michal Dorda, h.d. 6
rovozí charateristiy M/M//m SHO Využití obslužých lie (systému) κ staovíme a záladě ásledující úvahy. Systém průměrě obsluhuje ES záazíů a je schope obsluhovat záazíů, tedy platí: ES m. m Ig. Michal Dorda, h.d. 7