Tyé říklady r řijímaí zkušky d naazujíí magisterský studijní rgramů Meanika těles Na brázku je ačký meanismus nu alié čeradla salaí mtru, na který ůsbí naí mment M a zátěžná síla F. Sestate je lastní ybu rnii.. K isu ly sustay zlte nezáislu suřadnii. Vyjádřete kinetiku energii jak funki tét suřadnie a její časý deriaí.. Vyjádřete zbeněnu sílu. Přitm uažujte i lastní tíy členů.. Sestate lastní ybu rnii ačké meanismu užitím Lagrangeý rni drué druu.. Vli asiní drů zanedbejte. Dán: m, m, I A, F, M, e, r, a, δ, g 9,8 ms - Vačký meanismus - řešení d Ek Ek Q dt Ad. φ Ad. E k IAω m ω ϕ y esinϕ r e ϕ sϕ E k IA me s ( ϕ) ϕ Ad. Q ~ ω M ~ mg~ s ( F sin mg) ~ ω ϕ δ ~ ~ ω e ~ ~ eω sϕ Q M m m ) g F sin δ s Ad. [ ] ϕ ( e
E k ( IA me ϕ s ϕ) ϕ d Ek ( IA me s ϕ) ϕ me sϕ ( sinϕ) ϕ dt ϕ E k m e sϕ ( sinϕ) ϕ ϕ [( m m ) g F sin δ ] e sϕ ( I A me s ϕ) ϕ m e sϕ sinϕ ϕ M Termmeanika Příklad A: V diagrame je zakreslen rnáaí bě salaí ísté mtru. Jsu známi tlaky a telty e še ýznamný bde tt běu (iz. tabulka). Praním médiem je zdu (κ,, r87j/ -.K - ). Jak se tent rnáaí bě nazýá? Určete měrné řiedené a dedené tel, měrnu rái běu a termiku účinnst tt běu. [MPa],,9,9,8 T [K] 88,5 59,8 7,5 75,
Řešení: Dieselů bě ( T T ),5( 7,5 59,8) 9755J. ( T T ) 77,5( 88,5 75, ) 6687J. w 9755 6687 6J. w η t 6687, 9755 r κ 87, 77,5J.. K κr,.87,5j. κ,. K Příklad B: V diagrame je zakreslen rnáaí bě salaí ísté mtru. Jsu známi tlaky a telty e še ýznamný bde tt běu (iz. tabulka). Praním médiem je zdu (κ,, r87j/ -.K - ). Jak se tent rnáaí bě nazýá? Určete měrné řiedené a dedené tel, měrnu rái běu a termiku účinnst tt běu. [MPa],,87,5,88 T [K] 9,5,5 67,5 6,8
Řešení: Ottů bě ( T T ) 77,5( 67,5,5 ) ( T T ) 77,5( 9,5 6,8) 8988J. 659J. w 8988 659 85565J. η t w 659, 8988 r κ 87, 77,5J.. K Meanika tekutin Příklad A: Stante ýsledný silý účinek dy na čtrtálé ík a stante úel, který sírá s drným směrem. Vík má lměr R,6m a délku b,5m. Je lube,m. Hustta dy je /m a tíé zrylení g9,8m/s. R,6 Fx ρg R. b.9,8,,6*,5 76,N F y πr ρg R π.,6 b.9,8.,*,6,5 555,N F F x F y 898,66N tgϕ F F y x ϕ 8,7 Příklad B: Nássku na brázku rtéká da. Výšky jsu,8m,,m. Celká délka trubí je L5m. Průměr trubí je dmm. Sučinitel třeí ztrát je λ,, ztrátý sučinitel na stuu je
,9, každém kleně k, ( místě je ztráta. k ) a e entilu en,5. Jiné ztráty neuažujte. Naište Bernulliu rnii r reálnu kaalinu mezi ladinu a ýtkým trem, yčítejte bjemý tk Q[m /s] a tlaku ztrátu z [Pa] ři růtku dy nássku. Hustta dy je /m a tíé zrylení g9,8m/s. ( ) ( ) ( ) Pa d L s m d Q m s d L g d L g en k z en k en k 8,5.,,9, 5,,7.,..,,5.,,9, 5,,.9,8,8 λ ρ π λ λ ρ ρ
Pružnst a enst
Alikaná matematika. Zdůdněte existeni a určete abslutní extrémy funke f(x, y) xy x y y na úseče M { [x, y] E ; y x, x }.. Je dána funke f(x) ln(x ) x. a) Vyčítejte. a. deriai tét funke. Naište rnii tečny ke grafu tét funke bdě [x, f(x )], je-li x. b) Naište Taylrů lynm T (x) stuně středu x zadané funke f. Pmí T (x) určete řibližně dntu f(x) r x /. ) Naište Lagrangeů tar zbytku R (x). Pmí R (/) dadněte elikst yby řibližné ýčtu dnty f(/) z úly b).,,. a) Určete lastní čísla matie A,,., 8, b) Určete sektrální lměr ρ(a), tj. nejětší z abslutní dnt lastní čísel matie A. ) Zlte jedn z lastní čísel. Naište sustau rni r ýčet lastní ektrů a ty ak určete.. a) Načrtněte lu Q {[x, y, z] E ; z x y, z }. Narněte její arametrizai a naište ektr klmý k lše Q ři tét arametrizai. b) Vyčítejte tk ektré le f (y, x, z) lu Q rientanu nrmálým ektrem, který sírá s ektrem k (,, ) strý úel. ) Vyčítejte tk tt ektré le f lu σ, která je ně rientaným rem tělesa M {[x, y, z] E ; z x y }. ( K ýčtu lze užít Gaussu Ostrgradské ětu). 5. a) Určete fundamentální systém a naište bené řešení mgenní difereniální rnie. řádu ẍ ẋ 5x. b) Užitím metdy dadu naište tar artikulární řešení nemgenní rnie ẍ ẋ 5x e t s t. Partikulární řešení určete. ) Naište bené řešení nemgenní rnie z úly b). 6. Je dána autnmní sustaa ẋ x y, ẏ x(y ). a) Ukažte, že každým bdem fázé riny rází ráě jedna fázá trajektrie tét sustay. b) Určete imliitní tar fázý trajektrií dané sustay. Naište rnii fázé trajektrie, která rází bdem M [, ]. ) Určete šeny bdy rnáy zadané sustay. Další dbné úly lze nalézt nař. následujíí texte: [] S. Kračmar, F. Mráz, J. Neustua: Sbírka říkladů z Matematiky I. Skritum. Česká tenika - nakladatelstí ČVUT, Praa 7 (též ). [] E. Bržíká, M. Kittlerá, F. Mráz: Sbírka říkladů z Matematiky II. Webé stránky Ústau teniké matematiky, ředmět Matematika II, tt://mat.fs.ut.z/. [] S. Čiera: Řešené říklady z Matematiky III. Skritum Strjní fakulty. Vydaatelstí ČVUT, Praa 8.
Alikaná matematika, ýsledky. Daná mnžina M (úsečka) je uzařená a mezená. Zadaná funke je definaná a sjitá E, tedy je sjitá též na mn. M E. Tím je zaručena existene abslutní extrémů, tj. nejětší i nejmenší dnty dané funke na dané úseče. Vyjádření úsečky, tj. y x dsadíme d f(x, y), čímž získáme funki ϕ jedné rměnné x: ϕ(x) f(x, x) 6x x, x,. Jedná se sjitu funki na mezeném uzařeném interalu. Ta nabýá abslutní extrémů, a t některém z tz. kritiký bdů. Mezi ně atří krajní bdy a dále nitřní bdy, niž je deriae nulá neb neexistuje. Ve še nitřní bde interalu, má funke ϕ deriai ϕ (x) x. Rnie ϕ (x) má jediný křen x /. Slu s krajními bdy interalu, tak máme uze tři bdy, e který daná funke může nabýat abslutní maxima, res. minima. Pr zadanu úlu funke du rměnný ještě každém získaném bdě dčítáme dídajíí dntu y. Pak už stačí yčítat funkční dnty f(x, y) tět bde: f(; ) 9, f(; ), f(/; /) 5/. Záěr: Na dané úseče je max f f(/; /) 5/, min f f(; ) 9.. a) Deriae f (x) x, f (x) (x ), tečna: y x, b) T (x) x x, f(/). T (/) /, f 6 (x) (x ), R 8 (x) ( ξ ) x, ξ leží mezi x a x, R (/) f(/) T (/) /.. a) det(a λe) ( λ)(λ λ ), lastní čísl λ, dě kmlexní lastní čísla: λ, ± i, ρ(a) ; r λ jsu lastní ektry X (,, ) T, R,.. a) a b) iz [], řešený říklad 557: Při arametrizai z x y, kde [x, y] B : x y je klmý ektr n (x, y, ). Hledaný tk, tj. lšný integrál Q f d je ak dán dntu djné integrálu B (y, x, z) (x, y, ) dx dy B (x y ) dx dy. Ten yčteme mí lární suřadni s ýsledkem 8 π. Pznámka: Celý ýčet lze říadně rést arametrizaí dané ly mí ylindriký suřadni. ) K ýčtu lze užít Gaussu ětu, jejíž ředklady jsu slněny. Ptm ledaný tk, tj. lšný integrál σ f d je ren trjnému integrálu M dx dy dz, nebt di f. Výsledek 8 π může být získán též bez Gaussy ěty, tj. ýčtem integrálu σ f d jak sučtu Q f d P f d 8 π 8 π, kde la P : x y, z, tj. kru rině z. 5. iz [], řešený říklad.: a) Fundamentální systém tří funke ϕ (t) e t s t, ϕ (t) e t sin t. Obené řešení mgenní rnie je x (t) C e t s tc e t sin t, t R. b) Odad artikulární řešení je x Ae t B s t C sin t. Partikulární řešení je tm x (t) e t 8 s t sin t. ) Obené řešení 8 x(t) x (t) x (t), t R. 6. iz [], řešený říklad.5: a) Jabia matie je sjitá E. b) x (y ) y C, C R, x (y ) y, )[, ], [, ], [, ].
Části strjů
Tenlgie Pr álitý ýtažek z nízkulíké eli růměru mm, ýše mm a tlušťe mm: a) načrtněte říslušný nástrj a značte je laní části b) určete rzměry třebné ltaru ) určete třebný čet taů d) určete třebnu sílu lisu ( max. síla na začátku tažení) Při ýčtu zanedbejte zablení dna, aniztrii leu, změny tlušťky leu, řídaek na zarnání kraje ýtažku a tření mezi materiálem a nástrjem. Carakteristiky uažané materiálu: - R m 5 MPa, - sučinitel tažení r. tažnu erai m d /D,6 - sučinitel tažení r říadné další erae m n d n /d n-,8 Řešení: a) stačí brázek e D Tažník Tažnie Přidržač bdy bdy b) Ze zaání bjemu ři nezměněné tlušťe ylýá D 56,9 mm 57 mm bdy ) d D x m x m x m x 56,9 x,6 x,8 x,8 jsu třebné tay bdy d) Nejětší síla dídá síle na řetržení ýtažku ři. tau F R m.π.d.s 5. π.(,6.56,9) 69 N 7 kn 7 t bdy
OBRÁBĚNÍ Pr říad délné sustružení nější álé ly na dluém řídeli na CNC sustruu latí následujíí tenlgiké (řezné) dmínky: arametr zadání A řezná rylst [m/min] 6 (axiální) su f [mm/t], lubka třísky a [mm] enst materiálu Rm [N/mm ] 7 bráběný růměr D [mm] 8 bráběná délka L [mm] Vyčtěte následujíí eličiny r zadaný zůsb brábění: a) táčky řetena n [min - ], které je nutné nastait na strji, b) růřez dřezáané třísky (rsty) A D [mm ], ) řeznu slžku síly F [N] ( slžka ýsledné síly řezání e směru laní ybu ), kefiient k lte rn, d) řezný říkn P [kw] ( užitečný říkn ynalžený na debrání třísky), e) strjní čas t AS [s] ( jak dlu bude nástrj řezu), Vyraání: a) Řezná rylst ůsbí na bdu sučásti. Z t nám ylyne zre π d n. Ten uraíme a i s uažáním rzdílný jedntek dsazaný eličin dstaneme n 6 5 min. π d π 8 b) Průřez dřezáané třísky je dán sučinem axiální suu a lubky třísky, A D f a,,8 mm. ) Řezná slžka síly F se sčítá s mí měrné řezné síly k a růřezu dřezáané třísky A D, F k A D. Měrná řezná síla se sčítá ze zre k k R m, kde: R m je zadaná mez ensti materiálu k.. je knstanta (r sustružení je její dnta 5, zlíme ). Výsledná řezná síla je tedy F k R m A D 7,8 N. d) Řezný říkn P je dán sučinem řezné síly a řezné rylsti, tedy P F, s řilédnutím na různé jedntky P F 6,7 kw. 6 6 e) Nástrj se za jednu táčku sune dntu axiální suu, za minutu se nástrj sune zdálenst suu násbenu táčkami. Strjní čas je ak dílem bráběné délky a minutým suem, tedy (i ředu jedntek) t AS 6 L 6 6 s. f n, 5 (Při ýčtu času našem říadě můžeme ignrat délky náběu a ýběu, jelikž nebyly zadané. I rt, že neznáme nástrju gemetrii, která může linit zejména délku náběu nástrje.)