Tento text není smosttným studijním mteriálem. Jde jen o prezentci promítnou n p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze n tbuli nejsou zde obsºeny. Text m ºe být postupn uprvován dopl ován. Dtum poslední úprvy njdete u odkzu n stºení souboru. Veronik Sobotíková
KAPITOLA 8: Riemnn v integrál ur itý integrál motivce: výpo et obshu plochy pod grfem funkce 8.1 Úvod ( nejd íve jen pro < b ) Denice: ekneme, ºe mnoºin D, b je d lením intervlu, b, jestliºe je kone ná, b D. Prvky d lení D = {x, x 1,..., x n } intervlu, b íslujeme tk, ºe pltí = x < x 1 <... < x n = b.
Pro funkci f omezenou n, b ozn íme m i,d = inf f (x), M i,d = sup f (x). x x i 1, x i x x i 1, x i Denice: Je-li f funkce omezená n, b D = {x, x 1,..., x n } d lení intervlu, b, pk ísl S(f, D) = S (f, D) = n m i,d (x i x i 1 ) i=1 n M i,d (x i x i 1 ), i=1 nzýváme dolním horním Riemnnovým (integrálním) sou tem funkce f n, b.
V t 8.1: Pro kºdé d lení D intervlu, b pltí (b ) inf f (x) S(f, D) x, b S(f, D) (b ) sup f (x). x, b Denice: D lení D intervlu, b nzýváme zjemn ním d lení D intervlu, b, je-li D D.
Poznámk: Je-li D = {x, x 1,..., x n } d lení intervlu, b D 1 = D { x}, kde x D, pk z ejm S(f, D 1 ) S(f, D) S (f, D 1 ) S (f, D). Odtud pro jkékoliv zjemn ní D d lení D pltí S(f, D ) S(f, D) S (f, D ) S (f, D), protoºe d lení D lze získt z d lení D postupným p idáváním jednoho bodu. V t 8.: Jsou-li D 1, D d lení intervlu, b, pk S(f, D 1 ) S(f, D ).
Denice: Jestliºe sup { S(f, D) D d lení, b } = = inf {S (f, D) D d lení, b } = I, pk íslo I nzýváme Riemnnovým (ur itým) integrálem funkce f n intervlu, b pí²eme I = f (x) dx ( ) p ípdn (R) f (x) dx nebo stru n jen f.... dolní mez; b... horní mez; f... integrnd Poznámk: Riemnn v integrál je denován jen pro funkce omezené - pro jiné funkce není denován horní dolní Riemnn v sou et.
Poznámk: N existenci hodnotu Riemnnov integrálu nemá vliv, zm níme-li hodnotu integrovné funkce v kone n mnoh bodech. Díky tomu lze p ipustit, by integrovná funkce nebyl v kone n mnoh bodech intervlu denován. Poznámk: Pro kºdé d lení D intervlu, b z ejm pltí S(f, D) f (x) dx S (f, D). ( Smoz ejm z p edpokldu, ºe f existuje. )
V t 8.3: Integrál f (x) dx existuje je roven A práv tehdy, kdyº existuje posloupnost (D n ) n=1 lim S(f, D n) = n d lení intervlu, b tková, ºe lim S(f, D n) = A. n Poznámk: Pro (D n ) n=1 z V ty 8.3 z ejm pltí lim n ( S(f, Dn ) S(f, D n ) ) =.
Poznámk: Riemnn v integrál lze zvést tké pomocí Riemnnových integrálních sou t. K tomu krom d lení D = {x,..., x n } uvºujeme je²t mnoºinu τ = {t 1,..., t n }, tkovou, ºe t i x i 1, x i, poloºíme S(f, D, τ) = n f (t i ) (x i x i 1 ). i=1 Integrál pk denujeme jko limitu t chto sou t, pokud p jde norm d lení, tj. mximální délk intervlu vzniklého d lením, k nule. Ob denice Riemnnov integrálu jsou ekvivlentní, tedy existuje-li integrál podle jedné z denic, existuje i podle druhé jeho hodnoty jsou v obou p ípdech stejné.
P íkld 8.1: Pro k R pevné je k dx = k (b ). e²ení: Pro libovolné d lení D = {x, x 1,..., x n } z ejm pltí S(k, D) = k n k(x i x i 1 ) i=1 }{{} n (x i x i 1 ) = k(b ) i=1 = S(f, D).
P íkld 8.4: Ukºte, ºe 1 sgn x dx = 1. e²ení: Nech n N. Pk pro posloupnost d lení D n = {, 1 n, 1} máme S(f, D n ) = 1 1 n + 1 n 1 n S(f, D n ) = 1 n + 1 n 1 n = 1, 1. Podle V ty 8.3 tedy uvedená rovnost pltí. V t 8.4: Je-li f n intervlu, b spojitá nebo monotonní, pk existuje f (x) dx.
8. Vlstnosti V t 8.5: Nech < b < c. Pk f (x) dx c b c f (x) dx existuje, práv kdyº existují f (x) dx, v tomto p ípd pltí c f (x) dx = f (x) dx + c b f (x) dx ( tzv. ditivit integrálu vzhledem k integr nímu oboru ).
Denice: Nech < b existuje f (x) dx. Pk denujeme b f (x) dx = f (x) dx. Dále denujeme f (x) dx =. Poznámk: P edpokld < b < c ve V t 8.5 lze nhrdit p edpokldem existence integrálu β α = min{, b, c} β = mx{, b, c}. α f (x) dx, kde
V t 8.6: Nech existuje f (x) dx. Jestliºe se g li²í od f n, b v nejvý²e kone n mnoh bodech, pk existuje pltí f (x) dx = g(x) dx. g(x) dx Poznámk: N zákld V t 8.4, 8.5 8.6 st í k existenci f (x) dx, kdyº f je n, b po ástech spojitá ( tj. má tm jen kone n mnoho bod nespojitosti v nich má kone né jednostrnné limity ).
V t 8.7: Nech existují ) b) f (x) dx, (f + g)(x) dx = (c f )(x) dx = c g(x) dx c R. Potom f (x) dx + f (x) dx. g(x) dx,
Je-li nvíc < b, pk c) je-li f n, b, pk f (x) dx, d) je-li f g n, b, pk f (x) dx g(x) dx e) existuje f (x) dx pltí f (x) dx f (x) dx, f) je-li f M n, b, pk B f (x) dx M B A A pro libovolná A, B, b.
D kz: ), b) viz skript V t 1.1 c) z ejmé s ítáme nezáporná ísl d) g f n, b, tedy podle ), b), c) je g f = b) g + ( f ) ) = (g f ) c) e) jen odhd: f (x) f (x) f (x) pro kºdé x, b, tedy f = b) ( f ) d) f d) f
f) 1) A = B z ejmé; ) A < B: B f e) A A B A 3) B < A: B f = f d) A B B A f = M = M(B A) = M B A ; A B f M A B = M B A. )
V t 8.8 Nech existuje pltí: (integrál jko funkce horní meze): F c (x) = f (t) dt c, b. Pk pro funkci x c f (t) dt, x, b ) F c je spojitá n, b F c (c) =. b) Je-li f spojitá v x, b, pk F c(x ) = f (x ). ( Existuje-li jen jednostrnná limit funkce f v x, pk je rovn odpovídjící jednostrnné derivci funkce F v x. )
Poznámk: Funkce f spojitá n intervlu I má tedy n I primitivní funkci pro libovolnou primitivní funkci F k f n I pltí F (x) = F c (x) + F (c) = x c f (t) dt + F (c). P íkld 8.5: Pro funkci x ( f (x) = e t e 4) dt vy²et ete body lokálních extrém, intervly monotonie, konvexity konkávity.
V t 8.9 Jestliºe existuje (, b), pk pltí (Newton-Leibnizov formule): f (x) dx = F (b ) F (+) f (x) dx F je primitivní funkce k f n ( = lim x b F (x) lim x + ) F (x). Pí²eme: F (b ) F (+) = [ F (x) ] b. Poznámk: N volb primitivní funkce ve V t 8.9 nezáleºí. Jsou-li totiº F 1, F primitivní funkce k f n (, b), pk existuje c R tk, ºe F = F 1 + c n (, b), tedy [ F (x) ] b = F (b ) F (+) = (F 1 (b ) + c) (F 1 (+) + c) = = F 1 (b ) F 1 (+) = [ F 1 (x) ] b.
P íkld 8.6: ) k dx = [ k x ] b = k b k = k (b ), b) x dx = [ x ] b = b.
P íkld 8.7: Vypo t te π f (x) dx, kde f (x) = cos x + 3. e²ení: Funkce f je spojitá n, π, tj. integrál existuje. Podle P íkldu 7.3 je G(x) = rctg tg x primitivní funkce k f, ov²em pouze n intervlech ( (k 1)π, (k + 1)π ), k Z, ne tedy n celém intervlu (, π). Musíme proto rozd lit ná² integrál n dv: π f (x) dx = π π f (x) dx + f (x) dx = π = [ rctg tg x ] π [ + rctg tg x ] π = π ( π ) ( ( + π )) = π.
Je tké moºné pouºít funkci rctg tg x n (, π) π F (x) = pro x = π rctg tg x + π n (π, π) která je, op t podle P íkldu 7.3, primitivní funkcí k f intervlu (, π). Pk dostneme n celém π f (x) dx = F (π ) F (+) = = lim x π ( rctg tg x ) + π lim x + ( rctg tg x ) = π = π.
Poznámk: Uº p ed výpo tem jsme si mohli v²imnout, ºe funkce f je zdol omezená kldnou konstntou, tedy hledný integrál musí být kldný. Konkrétn ji máme tedy podle V ty 8.7 d) je cos x + 3 4, π f (x) dx π 4 dx = 4 π = π!! >. P itom G(π ) G(+) =, tkºe kdybychom zpomn li zkontrolovt, zd je G primitivní funkcí k f n celém intervlu (, π), mohli bychom tkto odhlit chybu, které jsme se dopustili.
Poznámk - Newton v integrál: Je-li F primitivní funkce k funkci f n intervlu (, b) existují-li limity lim F (x), lim x + x b F (x), pk denujeme Newton v integrál funkce f n (, b) p edpisem (N) f (x) dx = lim x b F (x) lim F (x) ( = F (b ) F (+) ) + x (smoz ejm, jen pokud je rozdíl F (b ) F (+) denován). Existují-li Riemnn v i Newton v integrál, pk si jsou rovny.
8.3 Integrce per prtes metod substituce kombince Newton-Leibnizovy formule metod pro neur itý integrál p i pouºití metody substutice je nutné p epo ítt meze integrálu
P íkld 8.8: Pro funkci f (x) = x e x vypo t te 4 f (x) dx. e²ení: Funkce f je n intervlu, 4 spojitá (tedy i omezená), proto integrál existuje. Máme: x = t 4 x e 1 dx = dt x dx = = ( t) e t ( ) dt = 1 1 4 1 = 4 t e t dt = 4 1 t e t dt = = u = t u = 1 v = e t v = e t ( P.P. [t = ] 1 4 e t 1 ) e t dt = = 4 ( ( e ( ) e ) ( e e ) ) = 1 e.
P íkld 8.9: P edpokládejme, ºe existuje f je sudá nebo lichá. Rozepi²me f (x) dx = dopo ítejme první integrál: Tedy f (x) dx = = x = t dx = dt f (x) dx = f (t) dt = f (x) dx + = f (x) dx ( ) f (x) dx f ( t) dt = f (t) dt pro f lichou, f (t) dt pro f sudou. pro f lichou, f (t) dt pro f sudou. f ( t) dt =
P íkld 8.1: P edpokládejme, ºe f je periodická s periodou T po ástech spojitá n R. Pk pro k Z, β < T α = kt + β pltí A) Ab) β+t β α+t α f (t) dt = f (x) dx = T T f (t) dt f (t) dt. Tedy p i integrci periodické funkce nezáleºí n tom, p es který intervl délky periody integrujeme. Integrál je vºdy stejný. B) Je-li nvíc d R, pk β+d β f (x) dx = α+d α f (t) dt. Tedy posun intervlu o násobek periody integrál nezm ní.
P íkld 8.11: Vypo t te π π f (x) dx, kde f (x) = 1 1 + sin x. e²ení: Funkce f je spojitá n intervlu π, π, tedy integrál existuje. Vhodná substituce zde je t = tg x. Funkce tngens v²k není denován n celém intervlu π, π. Proto ná² integrál roztrhneme n n kolik integrál : π π f = 3π π π π 3π π f + f + f + f + f. 3π π π 3π Funkce f je π-periodická, tedy podle P íkld 8.9 8.1 máme π π f P. 8.1B = 3π π f + 3 π π π f + f = 3π P. 8.1B = π f + 3 π π π f + f = 4 f. π π Hodnotu integrálu π π f vypo teme v P íkldu 9.3.
8.4 V t o st ední hodnot V t 8.1 (o st ední hodnot ): Nech f je spojitá n, b. Pk existuje c (, b) tk, ºe f (x) dx = f (c) (b ). f (c) = f (x) dx b...... st ední hodnot funkce f n intervlu, b