Derivace goniometrických funkcí Shrnutí Jakub Michálek, Tomáš Kučera Odvodí se základní vztahy pro derivace funkcí sinus a cosinus za pomoci věty o třech itách, odvodí se také několik typických it pomocí geometrických vztahů. Vypočítá se příklad s matematickým kyvadlem. Teoretická část Věta o třech itách Věta: Necht jsou dány tři funkce, které skoro pro všechna x R splňují nerovnost: f (x f (x f 3 (x Jestliže platí x x0 f (x x x0 f 3 (x, tak také musí platit x x0 f (x x x0 f (x. Definice funkcí sinus a cosinus Poznámka: Funkci zde chápame jako pravidlo, které přiřadí některým číslům (z tzv. definičního oboru právě jedno číslo jiné. Definice: Existuje právě jedna dvojice funkcí, která má následující vlastnosti (označíme je a cosx:! (, cosx:. x R : sin x + cos x =. x, y R : sin (x + y = cosxsin y + cosy 3. x, y R : cos(x + y = cosxcos y sinxsin y 4. 0 < xcosx < < x pro 0 < x < Dá se dokázat, že dané vztahy splňuje právě jedna dvojice funkcí a cos x definovaných tak, jak je známe z jednotkové kružnice. Měření úhlů Úhly se měří v radiánech. Celý úhel (360 má velikost π: platí totiž, že úhel je vyjadřován délkou oblouku, který vyseknou ramena úhlu na jednotkové kružnici (kružnice s poloměrem jednotka. Jednotková kružnice Na následujícím obrázku jsou zachyceny důležité goniometrické funkce:
Toto znázornění využívá toho, že dle obvyklé definice (protilehlá ku přeponě atd. je ve jmenovateli zlomku jednička. Důkaz derivace sinu Budeme vycházet z definice derivace: d y (x + h y (x y (x dx d sin(x + h sin (x dx Součet argumentů rozepíšeme podle vlastnosti funkce sinus z definice: sinxcos h + cosxsin h (cosh + cosxsin h = (cosh cosxsin h cosh sin h + = + cosx Nyní pouze zbývá vyšetřit, k čemu se blíží výrazy cos h h a sin h h pro h jdoucí k nule. Úvaha s trojúhelníky Představme si jednotkovou kružnici na obrázku níže. Zřejmě bude platit pro velikost obsahů: S OCB S OEB S OED Pro jednotlivé obsahy trojúhelníků bude platit (vypočítáme podle vzorce pro obsah trojúhelníku:
S OCB = cosx S OED = tanx = cosx U oblouku s výhodou použijeme trojčlenku: úhel π znamená celý obsah kruhu, tedy (pro poloměr jednotka πr = π úhlu x tedy musí připadat obsah x Napíšeme znovu celou nerovnost obsahů a dosadíme do ní: S OCB S OEB S OED cosx x Upravujme tuto nerovnost ekvivalentními úpravami: cosx cosx x cosx Nyní všechny části nerovnosti převrátíme, musíme tedy otočit znaménka nerovnosti. Zapíšeme jako ity: cosx sinx x cosx cosx x cosx Jak známo, má-li funkce v nějakém bodě funkční hodnotu, pak ita v tomto bodě je rovna právě této funkční hodnotě. Protože platí cos0 =, zjednoduší se tato nerovnost na: x Požadavky ne naší itu jsou, aby byla větší rovná jedničce a menší rovná jedničce zárověň. Použijemeli větu nahoře o třech itách, dostáváme pro hledanou itu: x = cos x Nyní je třeba zjistit hodnotu druhé ity x. Zjistíme ji vhodným roznásobením: cosx x cosx cosx + x cosx + cos x x(cosx + sin x x(cosx + x První itu jsme dosadili z předchozího důkazu a druhou jsme zjistili dosazením. Z toho pro derivaci sinu vyplývá: Derivace cosinu d sinx = 0 + cosx = cosx dx Pokud známe derivaci sinu, jednoduše zjistíme derivaci cosinu z rovnice (jinak bychom mohli provést stejnou úpravu jako u sinu, ale použili bychom jiný vzorec: ( π cosx = sin x d dx cosx = d ( π dx sin x ( π = cos x = sin(x 3 cosx + = 0 = 0
Praktická část - Matematické kyvadlo Vlastnosti matematického kyvadla hmotný bod na nehmotné tyči má pouze jeden stupeň volnosti (k určení polohy závaží nám stačí znalost pouze jedné souřadnice používáme souřadnici ϕ, kyvadlo vykonává pouze malé kyvy Fyzikální zvyklosti Je zvykem označovat derivaci podle času tečkou nad danou veličinou. Platí vztahy pro běžné veličiny: rychlost je změna polohy za infinitezimální (nekonečně malý čas, rychlost je tedy derivací času (píšeme jako skalár, obecně je vektor: v = ds dx = ṡ zrychlení je změna rychlosti za infinitezimální čas, tedy derivace rychlosti, tedy druhá derivace polohy: a = dv = d s = s dx dx podobně budeme mít úhelovou rychlost ϕ a úhlové zrychlení ϕ Druhý Newtonův zákon Časová derivace hybnosti se rovná působící síle (derivace hmotnosti v závislosti na čase je nulová. F = dp dt = dmv = v dm dt dt + mdv dt = m s Hmotný bod na matematickém kyvadle má konstantní vzdálenost od místa ohybu l, pro kterou platí: s = l ϕ Protože tíhová síla působí vždy směrem k zemi, bude její velikost ve směru rovnoběžném s okamžitou rychlostí kuličky: F G = mg sin ϕ sin ϕ V teoretické části jsme dokázali, že ϕ 0 ϕ = ϕ 0 sin ϕ = ϕ, pro malé úhly tedy můžeme sinus aproximovat samotným úhlem: F G mgϕ Všimněme si, že pokud je výchylka kladná, zrychlení bude záporné - síla totiž působí proti pohybu. Příslušná pohybová rovnice je tedy: mgϕ = ml ϕ ϕ = g l ϕ Otázka tedy zní: Kterou funkci musíme dvakrát zderivovat, abychom dostali minus tu samou funkci? Pochopitelně se jedná o funkci sinus, jejíž první derivace je cosinus a druhá derivace je minus sinus. Zbylé konstanty se dají velice jednoduše dopočítat (s využitím pravidel o derivaci složené funkce. Řešení této rovnice je tedy: Ve skutečnosti tomu odpovídá i funkce cosinus nebo libovolná lineární kombinace sinu a cosinu, ale vzhledem k počátečním podmínkám je vhodné zvolit funkci sinus. Pro zajímavost předvedeme i normální řešení - nápad jsem převzal z Knihovničky FO, Pohyb těles s odporovými silami, kde nebudeme nic hádat (pravidlo pro derivaci složené funkce: [f (g (x] = g (x f (g (x. Vynásobíme obě strany ϕ ϕ = g l ϕ ϕ, využijeme identity: ϕ ϕ = d ϕ dt, ϕ ϕ = d ϕ dt. Rovnice má tedy tvar 0 = d ϕ dt + d g ϕ dt l. Pouze derivace konstanty je rovna nule (dále máme označení ω = g l : A ω = ϕ ϕ +ω p, A ω ω ϕ dϕ = ϕ, dt =, t = R dϕ = ω A ϕ ω A ϕ ω arcsin ϕ, ϕ = A sinωt. Daná konstanta by se zjistila z A počáteční polohy, která by se dala do rovnice sinus pro půl periody bude jedna lomeno odmocnina ze dvou, tedy A vychází správně pro amplitudu. 4
g ϕ = ϕ 0 sin t l ϕ 0 zde má význam amplitudy (maximální výchylky. Není těžké spočítat odvozenými pravidly zrychlení a rychlost v závislosti na čase (s užitím pravidla pro derivaci složené funkce. Protože perioda funkce sinus jsou π, bude perioda matematického kyvadla f = g π l T = f = π l g 5