10 Funkce více proměnných

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y n ) R n budeme rozumět číslo x y = (x j y j ) 2. j=1 Poznámka. (i) x, y R n : x y = 0 x = y, (ii) x, y R n : x y = y x, (iii) x, y, z R n : x y x z + z y. Definice. (i) Necht x R n, r > 0. Množinu B r ( x) U r ( x) definovanou předpisem B r ( x) = { y R n ; x y < r} nazýváme otevřenou koulí se středem x a poloměrem r nebo také otevřeným okolím bodu x. (ii) Necht x R n, r > 0. Množinu B r ( x) definovanou předpisem B r ( x) = { y R n ; x y r} nazýváme uzavřenou koulí se středem x a poloměrem r. Definice. (i) Necht M R n, x R n. Řekneme, že x R n je vnitřním bodem množiny M, jestliže existuje r > 0 splňující B r (x) M. (ii) Množina M R n se nazývá otevřená, jestliže každý její bod je jejím vnitřním bodem. (iii) Vnitřkem množiny M rozumíme množinu všech vnitřních bodů množiny M. Vnitřek množiny M budeme značit int M. Poznámka. (i) Množina M R n je otevřená M = intm. (ii) Prázdná množina a celý prostor R n jsou otevřené množiny. (iii) Necht A je neprázdná množina indexů. Necht množiny G α R n, α A, jsou otevřené. Pak α A G α je otevřená množina. (iv) Necht m N. Necht množiny G i, i = 1,...,m, jsou otevřené. Pak m i=1 G i je otevřená množina. (Průnik nekonečně mnoha otevřených množin nemusí být otevřená množina: rozmyslete si, že platí: n=1 ( 1 n, 1 n ) = {0}). Definice. (i) Necht M R n a x R n. Řekneme, že x je hraničním bodem množiny M, pokud pro každé r > 0 platí B r ( x) M a zároveň B r ( x) (R n \ M). (ii) Hranicí množiny M rozumíme množinu všech hraničních bodů M. Značíme ji H(M) nebo M. (iii) Uzávěrem množiny M rozumíme množinu M H(M). Uzávěr množiny M značíme M. (iv) Řekneme, že množina M je uzavřená, jestliže obsahuje všechny své hraniční body (tj. H(M) M, neboli M = M). Poznámka. (i) Množina F R n je uzavřená, právě když R n \ F je otevřená.

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 17 (ii) Prázdná množina a celý prostor R n jsou uzavřené (i otevřené). (iii) Necht A je neprázdná množina indexů. Necht množiny F α R n, α A, jsou uzavřené. Pak α A F α je uzavřená množina. (iv) Necht m N. Necht množiny F i, i = 1,...,m, jsou uzavřené. Pak m i=1 F i je uzavřená množina. (Sjednocení nekonečně mnoha uzavřených množin nemusí být uzavřená množina: rozmyslete si, že n=1 1 n,1 1 n = (0,1)). Definice. Necht A R n, A, a x R n. Vzdáleností bodu x od množiny A rozumíme číslo ρ( x,a) = inf{ x y ; y A}. Diametrem (průměrem) neprázdné množiny B R n rozumíme diam B = sup{ x y ; x, y B} a klademe diam = 0. Pokud diam B <, pak říkáme, že B je omezená množina. 10.2 Konvergence v R n Definice. Necht { x n } n=1 je posloupnost prvků Rn. Řekneme, že { x n } n=1 konverguje k y Rn, x n y, jestliže platí lim n x n y = 0. Prvek y nazýváme limitou posloupnosti { x n } n=1. Konvergentní posloupností v R n rozumíme každou posloupnost prvků R n, která má limitu v R n. Věta 10.1 (vlastnosti konvergence). Platí: (i) Necht { x n } n=1 je posloupnost prvků z Rn a existují n 0 N, y R n takové, že x n = y pro každé n n 0. Pak lim n + x n = y. (ii) Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. (iii) Necht A R n. Množina A je uzavřená, právě když limita každé konvergentní posloupnosti prvků z A leží v A. (iv) Necht { x nk } k=1 je posloupnost vybraná z posloupnosti { x n} n=1 prvků Rn, tj., {n k } k=1 je rostoucí posloupnost přirozených čísel. Jestliže lim n + x n = y, pak také lim k + x nk = y. 10.3 Spojitá zobrazení Definice. Necht f : R n R m je zobrazení, a R n a M R n. Řekneme, že f je spojité v bodě a vzhledem k množině M, jestliže a M a platí ε R,ε > 0 δ R,δ > 0 x M : x a < δ f ( x) f ( a)) < ε; f je spojité v bodě a, jestliže je spojité v a vzhledem k R n. f je spojité na M, jestliže je spojité v každém bodě a M vzhledem k M. Definice. Necht M R n a x R n. Řekneme, že x je hromadným bodem množiny M, jestliže ε R,ε > 0: M (B ε ( x) \ { x}). Množinu všech hromadných bodů množiny M značíme M a nazýváme ji derivací množiny M. Body z M \ M nazýváme izolovanými body množiny M.

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 18 Definice. Necht f : R n R m, A R n a necht a R n je hromadným bodem množiny A. Řekneme, že prvek b R m je limitou zobrazení f v bodě a vzhledem k množině A, jestliže platí ε R,ε > 0 δ R,δ > 0 x A, x a: x a < δ = f ( x) b < ε. Je-li A = R n, říkáme, že f má v bodě a limitu b. Označení. Pokud limita f v bodě a vzhledem k A existuje, pak ji značíme lim f ( x) píšeme jen lim f ( x). x a, x R n x a lim f ( x). Místo zápisu x a, x A Věta 10.2 (Heineova věta o limitě). Necht f : R n R m, A D( f ), a A, b R m. Potom jsou následující dvě tvrzení ekvivalentní: (i) lim x a, x A f ( x) = b, (ii) pro každou posloupnost { x n } prvků množiny A, x n a, splňující lim x n = a, platí lim f ( x n ) = b. Věta 10.3 (Heineova věta o spojitosti). Necht f : R n R m, A D( f ), a A. Potom jsou následující dvě tvrzení ekvivalentní: (i) f je spojitá v bodě a vzhledem k množine A, (ii) pro každou posloupnost { x n } prvků množiny A, splňující lim x n = a, platí lim f ( x n ) = f ( a). Poznámka. Platí standardní věty o aritmetice limit, o spojitosti součtu, rozdílu, součinu a podílu. Věta 10.4 (spojitost složeného zobrazení v bodě). Necht f : R n R m a g : R m R k jsou vektorové funkce více proměnných. Necht a P R n, f ( a) Q R m, a necht platí: existuje δ R, δ > 0, takové, že f (B δ ( a) P) Q, f je spojité v bodě a vzhledem k P, g je spojité v bodě f ( a) vzhledem k Q. Pak zobrazení g f je spojité v bodě a vzhledem k P. 10.4 Parciální derivace a totální diferenciál Definice. Necht f : R n R je reálná funkce n proměnných, a R n, 1 i n. Pak parciální derivaci funkce f v bodě a podle i-té proměnné definujeme jako limitu f f( a + t e i ) f( a) ( a) = lim, t 0 t pokud tato existuje vlastní. Symbolem f označujeme parciální derivaci funkce f podle i-té proměnné, tj. funkci, která bodu x přiřazuje hodnotu f ( x). Definice. Necht f je reálná funkce n proměnných, a R n a L : R n R je lineární zobrazení. Řekneme, že L je totální diferenciál funkce f v bodě a, jestliže platí f( a + lim h) f( a) L( h) h 0 = 0. h

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 19 Věta 10.5 (vztah totálního diferenciálu a parciální derivace). Necht L je diferenciál funkce f v bodě a R n. Potom existují parciální derivace f ( a),..., f ( a) x 1 a pro každé h = (h 1,...,h n ) R n platí Jiná značení: (L f ( a) df( a).) h = (h1,...,h n ) (dx 1,...,dx n ) = L(h 1,...,h n ) = f ( a)h }{{} 1 + + f ( a)h n. x 1 x }{{ n } totální diferenciál parciální diferenciály f ( a)(h 1,...,h n ) = f x 1 ( a)h 1 + + f ( a)h n. df( a)(dx 1,...,dx n ) = f ( a)dx }{{} 1 + + f ( a)dx n. x 1 x }{{ n } totální diferenciál parciální diferenciály Věta 10.6. Má-li funkce f v bodě a R n totální diferenciál, je f v bodě a spojitá. Věta 10.7. Necht f je reálná funkce n proměnných, a R n a f x 1,..., Potom má f v bodě a totální diferenciál. f jsou spojité funkce v bodě a. Pouhá existence parciálních derivací (tj. parciálních diferenciálů) ještě neimplikuje existenci totálního diferenciálu! Definice. Necht f je reálná funkce n proměnných, a R n a v R n. Pak derivací funkce f v bodě a podle vektoru v rozumíme (vlastní) limitu f( a + t v) f( a) D v f( a) = lim. t 0 t Necht f je reálná funkce n proměnných, a R n a f ( a) existuje. Pak definujeme gradient funkce f v bodě a jako vektor ( f grad f( a) f( a) = ( a),..., f ) ( a) R n. x 1 Věta 10.8. Necht f je reálná funkce n proměnných, a R n a v R n. Necht existuje f ( a). Pak platí (i) D v f( a) = f( a) v = f ( a)( v) df( a)( v), (ii) max{d v f( a); v = 1} = f( a). Poznámka. Rozmyslete si k důkazu bodu (ii): v = 1 = D v f( a) f( a) v = f( a), f( a) 0, pak v := f( a) f( a) = D f( a) vf( a) = f( a) f( a) = f( a). Geometrický význam gradientu. Gradient funkce v bodě určuje směr největšího růstu funkce.

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 20 Velikost gradientu funkce v bodě je zároveň hodnotou (této největší) derivace ve směru gradientu. Definice. Necht f je zobrazení z R n do R k, a R n a L : R n R k je lineární zobrazení. Řekneme, že L je derivací (totálním diferenciálem) zobrazení f v bodě a, jestliže platí f lim ( a + h) f ( a) L( h) h 0 = 0. h Úmluva. Pod termínem "derivace" budeme pro funkce f : R n R k rozumět totéž, co pod termínem "(totální) diferenciál". Věta 10.9. Necht f je zobrazení z R n do R k, které má v bodě a R n derivaci L f (a). Potom je f (a) reprezentováno (Jacobiho) maticí f 1 f Df x Dx ( a) D(f 1 ( a)... 1 ( a) f 1,...,f k ) 2 f ( a) := x 1 ( a)... 2 ( a) D(x 1,...,x n )... f k f x 1 ( a)... k ( a) Věta 10.10. Necht f je zobrazení z R n do R k, a R n a f ( a) existuje. Potom f je spojité v a. Věta 10.11. Necht f je zobrazení z R n do R k, a R n a f j, i = 1,...,n, j = 1,...,k, jsou spojité v a. Potom f ( a) existuje. Věta 10.12 (derivace složeného zobrazení). Necht f je zobrazení z R n do R k, g je zobrazení z R k do R s, a R n a b = f( a) R k. Jestliže existují f ( a) a g ( b), pak existuje ( g f ) ( a) a platí ( g f ) ( a) = g ( b) f ( a). Důsledek 10.13 (řetízkové pravidlo). Necht funkce f 1,...,f k z R n do R mají v bodě a R n totální diferenciál a funkce g z R k do R má v bodě b = (f 1 ( a),...,f k ( a)) totální diferenciál. Definujme funkci h z R n do R předpisem h( x) = g(f 1 ( x),...,f k ( x)). Potom má h v bodě a totální diferenciál a pro i {1,...,n} platí h ( a) = 10.5 Parciální derivace vyšších řádů k j=1 g y j ( b) f j ( a). Definice. Necht f je funkce z R n do R, i,j {1,...,n}, a R n. Parciální derivaci funkce f podle j-té proměnné v bodě a značíme 2 f x j ( a), pokud i j, případně 2 f ( a), pokud i = j. Analogicky značíme x 2 i parciální derivace vyšších řádů. Definice. Necht G R n je otevřená množina, f : G R a p N. Řekneme, že f je třídy C p, jestliže všechny parciální derivace funkce f až do řádu p včetně jsou spojité na G. Množinu všech funkcí f : G R třídy C p označujeme C p (G) a klademe C (G) = p=1 Cp (G). Definice. Necht G R n je otevřená množina, p N { } a f : G R k. Řekneme, že f je zobrazení třídy C p, jestliže všechny jeho složky f 1,...,f k jsou třídy C p.

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 21 Věta 10.14. Necht p N { }, G R n, H R k jsou otevřené množiny, f : G R k, g: H R s jsou třídy C p a platí f(g) H. Pak zobrazení g f je třídy C p. Věta 10.15. Necht G R n je otevřená, p N, a funkce f C p (G). Necht a G. Potom hodnota je nezávislá na pořadí indexů i 1, i 2,..., i p. p f 1...p ( a) Poznámka. Tato tzv. záměnnost parciálních derivací obecně neplatí pro funkce, jejichž parciální derivace (až do příslušného řádu včetně) nejsou spojité. Definice. Necht všechny níže uvedené parciální derivace existují. Bud f : R n R n. Divergencí f v bodě a nazvu div f ( a) := j=1 f j x j ( a). Bud f : R 3 R 3. Rotací f v bodě a nazvu rot f e 1 e 2 e 3 ( a) := x y z f 1 f 2 f ( a) = 3 = ( f3 y f 2 z, f 1 z f 3 x, f 2 x f 1 y ) ( a). Definice. Bud f : R n R a necht existují parciální defivace 2 f, j = 1,...,n, v bodě a R n. Hodnotou x 2 j Laplaceova operátoru, aplikovaného na funkci f v bodě a (čteme "Laplace f( a)") nazvu hodnotu f( a) := j=1 2 f x 2 ( a). j Poznámka. Operátory, div a grad lze aplikovat i na vektorové funkce, "po složkách", tj. např. pro f : R n R k je f ( a) k-rozměrný vektor se složkami f j ( a), j = 1,...,k. Při formálním označení = ( x 1,..., ) lze psát tyto formální identity: grad f = f, div f = f, f = ( )f, rot f = f. Cvičení. Ověřte, že pro všechny funkce, mající v daném bodě spojité parciální derivace nejvyššího v identitách použitého řadu, platí tyto identity: div f( x) = f( x), div rot f ( x) = 0, rot rot f ( x) = div f ( x) f ( x).

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 22 10.6 Věty o implicitně zadaných funkcích Věta 10.16 (o implicitně zadané funkci). Necht p N { }, G R n+1 je otevřená množina, F : G R, x R n, ỹ R, [ x,ỹ] G a necht platí: (i) F C p (G), (ii) F( x,ỹ) = 0, (iii) F y ( x,ỹ) 0. Pak existuje okolí U R n bodu x a okolí V R bodu ỹ, že x U! y V s vlastností F( x,y) = 0. Označíme-li toto y jako ϕ( x), je ϕ C p (U), a F ϕ x j ( x,ϕ( x)) ( x) =, kde j {1,...,n}, x U. x F j y ( x,ϕ( x)) Věta 10.17 (o implicitně zadaných funkcích). Necht n,m N, p N { }, G R n+m je otevřená množina, F : G R m, x R n, y R m, [ x, y] G a platí: (i) F C p (G), (ii) F( x, y) = 0, (iii) F 1 y 1 ( x, y) F... 1 y m ( x, y)..... 0. F m y 1 ( x, y) F... m y m ( x, y) Pak existuje okolí U R n bodu x a okolí V R m bodu y, že x U! y V s vlastností F( x, y) = 0. Označíme-li toto y jako ϕ( x), je ϕ C p (U). 10.7 Extrémy funkcí více proměnných Definice. Bud f : R n R a M D(f). Řekneme, že f nabývá v bodě x maxima (resp. minima) na M, jestliže platí y M : f(y) f(x) (resp. y M : f(y) f(x)). Bod x pak nazýváme bodem maxima (resp. minima) funkce f na množině M. Definice. Řekneme, že f nabývá v bodě x lokálního maxima (resp. lokálního minima) vzhledem k M, jestliže existuje δ > 0 takové, že y B δ (x) M : f(y) f(x) (resp. y B δ (x) M : f(y) f(x)). Bod x pak nazýváme bodem lokálního maxima (resp. lokálního minima) funkce f na množině M.

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 23 Definice. Řekneme, že f nabývá v bodě x ostrého lokálního maxima (resp. ostrého lokálního minima) vzhledem k M, jestliže existuje δ > 0 takové, že y B δ (x) \ {x}) M : f(y) < f(x) (resp. y B δ (x) \ {x}) M : f(y) > f(x)). Bod x pak nazýváme bodem ostrého lokálního maxima (resp. ostrého lokálního minima) funkce f na množině M. Symbol max M f (resp. min M f) označuje největší (resp. nejmenší) hodnotu, které funkce f na množině M nabývá (pokud taková hodnota existuje). Definice. Řekneme, že M R n je kompaktní, pokud M je uzavřená a omezená množina v R n. Věta 10.18. Bud M R n neprázdná kompaktní množina a f : M R spojitá na M. Pak f nabývá na M svého maxima i minima (a tedy je m.j. omezená na M). Věta 10.19. Necht G R n je otevřená, a G, j {1,...,n}. Necht funkce f : G R má v bodě a lokální extrém (vzhledem ke G). Pak bud f x j ( a) neexistuje nebo je rovna nule. Definice. Bod a R n nazýváme stacionárním bodem funkce f, pokud grad f( a) = 0, tj. pokud f x j ( a) = 0 pro všechna j = 1,...,n. Definice. Je-li A M n n symetrická matice, pak funkci Q : R n R, definovanou předpisem Q( h) := (A h) h = nazýváme kvadratickou formou (definovanou maticí A). a ij h i h j i,j=1 Definice. Bud Q : R n R kvadratická forma. Řekneme, že Q je pozitivně (negativně) definitní, pokud Q( h) > 0 (< 0) pro všechna h R n, h 0; pozitivně (negativně) semidefinitní, pokud Q( h) 0 ( 0) pro všechna h R n ; indefinitní, pokud existují vektory h, k R n takové, že Q( h) > 0 a Q( k) < 0. Definice. Necht f : R n R má spojité druhé parciální derivace v bodě a R n. Potom zobrazení d 2 f( a) : R n R n R definované předpisem d 2 f( a)( h, h) := nazýváme druhým diferenciálem funkce f v bodě a. i,j=1 2 f x j ( a)h i h j Poznámka. Zobrazení ( h : d ) 2 f( a)( h, h) je kvadratická forma, definovaná tzv. Hessovou maticí druhých derivací, H(f)( a) = 2 n f x. j i,j=1 Věta 10.20 (postačující podmínky lokálního extrému). Budiž f C 2 (G), a G a necht f( a) = 0 (tj. a je stacionárním bodem f). Potom platí: Je-li kvadratická forma h f ( a)( h, h) negativně definitní, nabývá f v bodě a ostrého lokálního maxima.

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 24 Je-li kvadratická forma h f ( a)( h, h) pozitivně definitní, nabývá f v bodě a ostrého lokálního minima. Je-li kvadratická forma h f ( a)( h, h) indefinitní, nenabývá f v bodě a ani lokálního maxima, ani lokálního minima. Poznámka. K určení definitnosti kvadratické formy se často hodí následující pravidlo: Bud A M n n matice kvadratické formy. Označme A 1 M 1 1, A 2 M 2 2..., A n M n n její hlavní diagonální podmatice; necht dále všechny determinanty deta 1,... deta n jsou nenulové. Označme číslem p počet znaménkových změn v posloupnosti {1,detA 1,...detA n }. Potom platí: Kvadratická forma definovaná maticí A je pozitivně definitní p = 0. Kvadratická forma definovaná maticí A je negativně definitní p = n. Věta 10.21 (Lagrangeovy multiplikátory). Necht m,n N, m < n, G R n je otevřená množina, f,g 1,...,g m C 1 (G), M = { z G; g 1 ( z) = 0,g 2 ( z) = 0,...,g m ( z) = 0} a bod z M je bodem lokálního extrému funkce f vzhledem k množině M. Potom je splněna alespoň jedna z následujících podmínek: (I) vektory g 1 ( z), g 2 ( z),..., g m ( z) jsou lineárně závislé, (II) existují reálná čísla λ 1,λ 2,...,λ m R splňující 10.8 Taylorův polynom f( z) + λ 1 g 1 ( z) + λ 2 g 2 ( z) + + λ m g m ( z) = 0. Definice. Necht k N a necht funkce f : R n R má spojité k-té parciální derivace v bodě a R n. Potom zobrazení d k f( a) : R } n {{ R n } R definované předpisem k-krát d k f( a)( h,..., h) := }{{} k-krát j 1,...,j k =1 nazýváme k-tým diferenciálem funkce f v bodě a. k f( a) x j1 x jk h j1 h jk, Definice. Necht pro a R n existuje f (k) ( a), k N {0}. Potom Taylorovým polynomem k-tého řádu funkce f v bodě a rozumíme polynom n proměnných T f, a k ( x) = f( a) + k 1 j! dj f( a)( x a,..., x a ). }{{} j=1 Definice. Řekneme, že množina M R n je konvexní, pokud pro každé dva body x, y M patří do M i celá úsečka, která tyto dva body spojuje. j krát

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 25 Věta 10.22 (Lagrangeův tvar zbytku). Necht G R n je otevřená konvexní množina, f C k+1 (G) (k N {0}), a G, x G. Potom existuje ξ ležící na úsečce spojující body a, x takové, že f( x) = T f, a k ( x) + 1 (k + 1)! dk+1 f( ξ)( x a,..., x a ). }{{} (k+1) krát Věta 10.23 (důsledek: věta o přírůstku funkce). Necht G R n je otevřená konvexní množina, f C 1 (G), a G, x G. Potom existuje ξ ležící na úsečce spojující body a, x takové, že f( x) f( a) = f ( ξ)( x a). Věta 10.24 (Peanův tvar zbytku). Necht f je funkce z R n do R, která je třídy C k (k N) na jistém okolí bodu a R n. Potom platí f( x) T f, a k ( x) lim x a x a k = 0.