NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu: Ploch pod první částí grfu funkce se bere s kldným znménkem, ploch nd druhou částí se záporným Získá se celková elektrická náročnost Definice je vhodná pro integrci funkcí, které mjí primitivní funkci Tím jsou vynechány jednoduché funkce typu signum, monotónní funkce se skoky pod V dlší kpitole bude proto uveden znčně obecnějsí definice Výpočet těchto obecnějších integrálů bývá le většinou sveden k výpočtu integrálů z této kpitoly (nebo jsou použity nějké triky) DEFINICE URČITÉHO INTEGRÁLU DEFINICE Necht funkce f je definován n intervlu (, b) jsou splněny následující tři podmínky: 1 f má n (, b) primitivní funkci F ; 2 existují lim x + F (x) = F ( + ), lim F (x) = F (b ); 3 rozdíl F (b ) F ( + ) má smysl Pk se rozdíl F (b ) F ( + ) nzývá Newtonův integrál funkce f n (, b) Znčení kde se nzývá dolní mez b horní mez integrálu F (b ) F ( + ) = (N) f(x) dx, Rozdíl F (b ) F ( + ) se čsto znčí symbolem [F (x)] b x= nebo jen [F (x)] b, [F ] b, Dále se formálně definuje (N) f(x) dx = (N) f(x) dx, pro b >, b c (N) f(x) dx = 0 pro libovolné c c V této kpitole budou probírány jen Newtonovy integrály, proto bude slovo,,newtonův" písmeno,,n" u integrálu někdy vynecháváno N rozdíl od neurčitého integrálu z kpitoly o primitivních funkcích se tento integrál nzývá určitý, protože jeho hodnotou není množin funkcí, le jedno určité číslo Předchozí definice říká, kdy má integrál smysl Jeho hodnot může být i nevlstní Pokud je hodnot f(x) dx vlstní, říká se, že integrál konverguje POZOROVÁNÍ Necht existuje f(x) dx Jestliže c < d b, pk existuje d c f(x) dx Jestliže < c < d < b, pk f N(c, d) Pro kždé c (, b) je c f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx c 1
Pro kždé x (, b) je d dx x f(t) dt = f(x) Z kpitoly o primitivních funkcí je známo, že kždá spojitá funkce n intervlu tm má primitivní funkci (viz větu o konstrukci primitivní funkce) (Integrál spojité funkce) 1 Kždá spojitá omezená funkce n omezeném intervlu náleží do N(, b) 2 Kždá spojitá nezáporná funkce f n intervlu (, b) má integrál f(x) dx ( ten je nezáporný) Důkz Necht F je primitivní funkce k f n (, b) (t existuje) Zbývá ukázt, že existují limity F v krjních bodech rozdíl těchto limit má smysl To je zřejmé, pokud je f spojitá n [, b] (pk je i F spojitá n [, b]) Pro důkz prvního tvrzení stčí dokázt, že existuje vlstní lim F (x) (pro bod b je důkz obdobný), což x + znmená, že pro libovolnou posloupnost x n z (, b) klesjící k je posloupnost {F (x n )} cuchyovská To vyplývá z věty o střední hodnotě: F (x n ) F (x m ) sup{ f(x) ; x (, b)} x n x m Důkz je též sndný pro druhé tvrzení, nebot F je neklesjící (její derivce je nezáporná) tedy má limity v krjních bodech, což je supremum, resp infimum, hodnot F tedy i jejich rozdíl má smysl je nezáporný Nyní bude upřesněn geometrická interpretce z kpitoly o primitivních funkcích (Newton versus Riemnn) Necht f je spojitá funkce n kompktním intervlu [, b] pro kždé n N je zvoleno nějké rozdělení = x 0 < x 1,n < < x kn,n = b intervlu [, b] tkové, že délky jednotlivých intervlů nepřeshují 1/n Pk pro libovolně zvolená čísl c i,n [x i 1,n, x i,n ] je k n lim f(c i,n )(x i,n x i 1,n ) = f(x) dx n Důkz Necht ε je libovolné kldné číslo Podle věty o stejnoměrné spojitosti funkce n kompktním intervlu existuje n N tk, že f(x) f(y) < ε jkmile x y < 1/n x, y [, b] Nyní se vezme libovolné rozdělení = x 0 < x 1,m < < x km,m = b popsné ve znění věty, které má délky intervlů nejvýše 1/n V motivčním úvodu bylo ukázáno, že f(x) dx = k m f(c i )(x i,m x i 1,m ) pro nějké body c i (x i 1,m, x i,m ) (uvědomte si, že předpokld nezáporné funkce byl v motivci použit jen n geometrické znázornění ploch, nikoli n výpočet sumy) Pltí tedy f(x) dx k m f(c i,m )(x i,m x i 1,m ) k m f(c i ) f(c i,m ) (x i,m x i 1,m ) ε(b ) k n f(c i,n )(x i,n x i 1,n ) Poznámky 1 Příkldy 1 Otázky 1 2
Cvičení 1 Učení 1 VLASTNOSTI URČITÉHO INTEGRÁLU Definice integrálu dává i návod, jk integrál počítt Jk je vidět z předchozí kpitoly, čsto je třeb při výpočtu primitivní funkce používt mnoh substitucí pk je nutné se vrcet pomocí inverzních funkcí k původní proměnné těchto substitucí Nebo při několik použitích integrce po částech se ve výsledku může hromdit mnoho funkcí Následující vlstnosti určitých integrálů nznčují jiný možný postup, totiž, že není třeb se vrcet při substituci k výchozí proměnné, nebo při integrci po částech lze spoň průběžně doszovt některé hodnoty zkrcovt tím zápis Následující vlstnosti budou uvedeny jen pro přípdy, kdy je Newtonův integrál vlstní Obecnější přípdy budou zmíněny v Poznámkách (Vlstnosti Newtonov integrálu) 1 Jestliže f, g N(, b), α, β R, pk αf + βg N(, b) pltí (αf + βg) = α f + β g 2 Necht c (, b) Náleží-li f do N(, c) i do N(c, b) je spojitá v bodě c, pk f N(, b) c f = f + f c 3 Je-li g, h N(, b) h f g n (, b) f má primitivní funkci n (, b), pk f N(, b) h(x) dx f(x) dx g(x) dx 4 Je-li f N(, b), je f(x) dx = lim bn n n f(x) dx, kde n b n b lim n =, lim b n = b 5 Necht F, G jsou primitivní funkce k f, g resp, n (, b) Potom jestliže prvá strn má smysl je vlstní F g = [F G] b fg dx, 6 Necht f má primitivní funkci n svém definičním oboru Potom β f(x) dx = f(ϕ(t))ϕ (t) dt, α je-li jedn strn konečná, kde ϕ má derivci n (α, β), zobrzuje tento intervl do D(f), přičemž ϕ(α + ) =, ϕ(β ) = b 3
Důkz 1 Důkz prvního tvrzení proved te smi 2 Uvedené podmínky znmenjí, že primitivní funkce F 1, F 2 k f n (, c), (c, b) resp, mjí v c vlstní limity Posunutím npř F 2 o rozdíl těchto limit dodefinováním příslušné hodnoty v c vznikne primitivní funkce k f n (, b), pokud je f spojitá v c (kde je potřeb spojitost?) Zbytek důkzu je zřejmý 3 Necht F, G, H jsou primitivní funkce pro f, g, h Z rovností F (b ) = (G F )(b ) + G(b ) = (F H)(b ) + H(b ) vyplývá, že F (b ) existuje je vlstní (uvědomte si, že funkce G F F H jsou neklesjící) Podobně pro F ( + ) 4 Pro f N(, b) plyne výsledek přímo z definice Newtonov integrálu 5 Necht H je primitivní funkce k fg n (, b) Pk F G H je primitivní funkce k F g n (, b) Zbytek důkzu je zřejmý 6 Necht F je primitivní funkce k f n D(f) Pk F ϕ je primitivní funkce k (f ϕ)ϕ n α, β Jestliže má f(x) dx smysl, plyne rovnost z věty o limitě složené funkce Pokud existuje β α f(ϕ(t))ϕ (t) dt, rovná se [F ϕ] β α, což je totéž jko [F ] b DŮSLEDEK Necht funkce f, g jsou definovány n intervlu (, b) 1 f(x) dx 0, pokud f N(, b), f(x) 0 n (, b); 2 inf f(x) (b ) f(x) dx sup f(x) (b ), pokud f N(, b) (, b) je omezený; x (,b) x (,b) 3 f(x) dx f(x) dx, pokud f, f N(, b) Poznámky 2 Příkldy 2 Otázky 2 Cvičení 2 Učení 2 EXISTENCE A KONVERGENCE URČITÉHO INTEGRÁLU Jk bylo uvedeno n zčátku kpitoly, rozlišuje se podobně jko u řd existence konvergence integrálu Podobně se též zvádí bsolutní konvergence; oproti řdám se přidává podmínk existence primitivní funkce, by příslušné výrzy měly vůbec smysl: DEFINICE Newtonův integrál f(x) dx konverguje bsolutně, jestliže f má n (, b) primitivní funkci f N(, b), konverguje nebsolutně, jestliže f N(, b), f / N(, b) POZNÁMKA Stejně jko u řd lze i v tomto přípdě očekávt, že bsolutně konvergentní integrál konverguje (Absolutní konvergence) Absolutně konvergentní integrál je konvergentní Důkz Necht F, G jsou primitivní funkce k f, f resp, n (, b) necht f(x) dx konverguje Protože 0 f + f 2 f f + f má primitivní funkci F + G, která je neklesjící, existuje (f(x) + f(x) ) dx podle vlstnosti (3) tento integrál konverguje Použitím vlstnosti (1) se dostne konvergence integrálu f(x) dx (Kritéri konvergence) 4
1 Je-li f omezená spojitá n omezeném intervlu (, b), konverguje integrál f(x) dx bsolutně 2 Srovnávcí kritérium: Necht funkce f je spojitá n (, b) 0 f g n (, b) Jestliže g N(, b) pk i f N(, b) 3 Necht funkce f, g, g jsou spojité g je nvíc monotónní n [, b) Dirichletovo kritérium: Jestliže f má omezenou primitivní funkci n (, b) N(, b) Abelovo kritérium: Jestliže f N(, b) g je omezená, pk f g N(, b) 4 Integrální kritérium konvergence řd: lim g(x) = 0, pk fg Necht f je spojitá nerostoucí n [k, ) Pk f N(k, + ) právě když n=k f(n) konverguje Důkz 1 Důkz plyne z věty o Newtonově integrálu spojité funkce 2 Konvergence f(x) dx plyne z existence (viz věty o Newtonově integrálu spojité funkce) z vlstnosti (3) 3 Jsou splněny předpokldy pro použití integrce per prtes: f(x)g(x) dx = [F (x)g(x)] b F (x)g (x) dx Bod nečiní potíže Protože je g monotónní omezená, má v b vlstní limitu V přípdě Dirichletov kritéri je F omezená lim g(x) = 0 tedy lim F (x)g(x) = 0 V přípdě Abelov kritéri existuje vlstní lim F (x) tedy i lim F (x)g(x) Zbývá ukázt konvergenci F (x)g (x) dx V obou přípdech je F omezená tedy F g K g n [, b) Protože g je monotónní, nemění g znménko g (x) dx konverguje právě když konverguje g (x) dx Poslední integrál se ovšem rovná lim g(x) g() 4 Podle tvrzení druhého důsledku, je pro kždé přirozené n > k n n+1 n f(n) f(x) dx f(n + 1) i=k k i=k Z těchto nerovností plyne výsledek limitováním všech výrzů pro n DŮSLEDEK 1 (nelimitní tvr) Necht f, g jsou spojité nezáporné n [, b) Jestliže existují kldná čísl K, L tk, že n [, b) pltí Kf(x) g(x) Lf(x), pk f N(, b) právě když g N(, b) f(x) 2 (limitní tvr) Necht f, g jsou spojité nezáporné n [, b) Jestliže lim x b g(x) právě když g N(, b) (0, ), pk f N(, b) DŮSLEDEK Necht n [, b) jsou funkce f, g, g, h, h spojité g(x)/h(x) konverguje pro monotónně k nenulovému vlstnímu číslu Pk pk f g N(, b) právě když f h N(, b) Poznámky 3 Příkldy 3 Otázky 3 Cvičení 3 Učení 3 5