Lineární algebra : Polynomy

Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 19. února 2014, 11:30 1

2 0.1 Značení a těleso komplexních čísel Značení N := {1, 2, 3... }... množina přirozených čísel (neobsahuje 0). N 0 := N {0}. Z, Q, R a C... po řadě čísla celá, racionální, realná a komplexní. Pro n N, definujeme ˆn := {1, 2, 3,..., n}. Dále budeme běžně používat symbol a v obyklém smyslu: a n a i := a 1 + a 2 + + a n n a i := a 1 a 2... a n. Další symboly zavedeme během kurzu. Číselné těleso C Přesnou definici číselného tělesa uvedeme později - příklady jsou: Q, R, nebo C. Množina C := {a + ib a, b R}, kde symbol i označuje tzv. imaginární jednotku. Symbol + nemá svůj obvyklý význam, slouží jako "oddělovač"(mohli bychom psát (a, b) místo a + ib). Pro z = a + ib C nazýváme a reálnou částí z a značíme Re z. Číslo b nazýváme imaginární částí z a značíme Im z.

3 Tuto množinu vybavíme dvěma operacemi + : C C C a : C C C, které pro a, b, c, d R definujeme následovně: (a + ib) + (c + id) := (a + c) + i(b + d), (a + ib) (c + id) := (ac bd) + i(ad + bc). Všimněte si, že pravidlo pro násobení bychom dostali formálním roznásobením závorek (a + ib) a (c + id), položíme-li i 2 = 1. Komplexní sdružení Definice 1. Buď z = a + ib, a, b R komplexní číslo. Číslo z := a ib nazýváme číslem komplexně sdruženým k číslu z. Dále z := a 2 + b 2 nazýváme absolutní hodnotou komplexního čísla z. Cvičení: Ověřte následující vlastnosti komplexního sdružení: 1. z + w = z + w, 2. z w = z w, 3. z 2 = z z, pro z, w C. 0.2 Polynomy definice a operace Polynomy Definice 2. Funkce p : C C je polynom, právě když existují n N 0 a α 0, α 1,..., α n C tak, že ( ) n ( x C) p(x) = α i x i. Čísla α 0, α 1,..., α n nazýváme koeficienty polynomu. Množinu všech polynomů označíme P. Dále definujeme stupeň polynomu p jako i=0 St p := max{j N 0 α j 0}, stupeň nulového polynomu p 0 defininujeme 1.

4 Poznámka 3. Definice stupně polynomu má smysl, protože, jak ukážeme později, polynom má své koeficienty (a tedy i stupeň) určeny jednoznačně (až na "nulové koeficienty navíc"). Příklad: Funkce p(x) = 6x 4 + πx 2 + (2 i)x + 1/3 je polynom stupně 4. Polynomy operace Operace sčítání polynomů p a q a násobení polynomu p komplexním číslem α zavádíme stejně jako pro funkce: ( x C)( (p + q)(x) := p(x) + q(x)), ( x C)( (αp)(x) := αp(x)). Množina P je vůči těmto operacím uzavřená, tzn. pro p, q P a α C platí: p + q P a αp P. Cvičení: Ukažte, že pro p, q P platí St(p + q) max(st p, St q). Poznámka 4. Všimněte si, že operace na polynomech lze popsat pouze pomocí jejich koeficientů. Také polynom sám lze chápat jako uspořádanou (n + 1)-tici jeho koeficientů. Algoritmy pro realizaci jednotlivých operací pouze sčítají nebo násobí koeficienty polynomů. S proměnnou x algoritmy vůbec nepracují. 0.3 Fundamentální vlastnosti polynomů Definice 5. Číslo λ C nazveme kořen polynomu p, právě když p(λ) = 0. poly- Kořen nomu Věta 6 (Základní věta algebry). Polynom stupně alespoň 1 má alespoň 1 kořen. Důkaz: Neuvádíme (důsledek Liouvilleovy věty z analýzy fukce komplexní proměnné). Bézoutova věta

5 Věta 7 (Bézoutova). Nechť p je polynom stupně n N 0, λ 0 C. Potom existuje polynom q stupně n 1 tak, že pro x C platí Důkaz: Tabule. p(x) = (x λ 0 )q(x) + p(λ 0 ). Poznámka 8. Všimněte si, že je-li λ 0 C v Bézoutově větě kořenem p, tj. p(λ 0 ) = 0, pak existuje polynom q stupně n 1 tak, že pro x C platí p(x) = (x λ 0 )q(x). Důsledek 9. Polynom stupně n 0 má nejvýše n kořenů. Důkaz: Tabule. Důsledky Bézoutovy 1/2 věty Protože polynom je speciální druh funkce, také rovnosti dvou polynomů p a q budeme rozumět jako rovnosti dvou funkcí. Důsledky Bézoutovy 2/2 věty Tedy p = q def ( x C)(p(x) = q(x)). Je zřejmé, že polynom je jednoznačně určen svými koeficienty. Následující důsledek Bézoutovy věty říká, že je to pravda také obráceně. Důsledek 10. Koeficienty polynomu jsou určeny jednoznačně (až na případné nulové). Nebo-li neexistuje polynom p takový, že n ( x C) p(x) = α j x j = a přitom Důkaz: Tabule. j=0 ( j 0)(α j β j ). n β j x j, j=0 po- na Rozklad lynomu kořenové činitele

6 Věta 11. Nechť p je polynom stupně n 1 tvaru n p(x) = α j x j j=0 a nechť λ 1, λ 2,..., λ k jsou všechny jeho různé kořeny (tj. k n). Potom existují jednoznačně určená čísla n 1, n 2,..., n k N taková, že k n i = n a k p(x) = α n (x λ i ) n i. (1) Důkaz: Tabule. Definice 12. Číslo n i z věty nazýváme násobnost kořene λ i, vyjádření p(x) ve tvaru (1) rozklad polynomu p na kořenové činitele. 0.4 Vlastnosti polynomů s reálnými koeficienty Věta 13. Buď p polynom s reálnými koeficienty a λ 0 C kořen polynomu p. Potom λ 0 je také kořen p a násobnosti kořenů λ 0 a λ 0 jsou stejné. Kořeny polynomu s reálnými koeficienty Důkaz: Tabule. Důsledek 14. Polynom lichého stupně s reálnými koeficienty má alespoň 1 reálný kořen. Důsledek 15. Každý polynom s reálnými koeficienty lze psát ve tvaru součinu polynomů 1. stupně s reálnými koeficienty a polynomů 2. stupně s reálnými koeficienty. Důkaz: Tabule. Příklad: 2 + 2x 3x 2 + 3x 3 x 4 + x 5 = (x 2)(x 2 + 1)(x 2 + 2)

7 Hledání kořenů polynomu Nalézt rozklad polynomu na kořenové činitele, tedy nalézt kořeny (i s jejich násobnostmi), není algrebraicky možné pro obecný polynom p. Pro polynom 1. stupně je to snadné. Vzorce pro kořeny polynomu stupně 2., p(x) = α 0 + α 1 x + α 2 x 2, jistě znáte: λ 1 = α 1 + α1 2 4α 0α 2, λ 2 = α 1 α1 2 4α 0α 2. 2α 2 2α 2 Pro polynomy 3. a 4. stupně vzorce také existují, ale jsou už poměrně komplikované (vizte Cubic and Quartic function, Wikipedia). Pro polynomy stupně 5. a vyššího algebraické vzorce pro kořeny neexistují! Tuto skutečnost dokázali Niels Abel a Évartiste Galois pomocí teorie grup (Abel Ruffini theorem). 0.5 Součin a částečný podíl polynomů, Hornerovo schéma Kromě operací p+q a αp pro p, q P a α C lze polynomy také násobit mezi sebou (jako dvě funkce). Výsledek pq bude zřejmě opět polynom. Jaké jsou ale koeficinty polynomu pq, známe-li koeficienty p a q? poly- Součin nomů Buďte potom n p(x) = α i x i a m q(x) = β j x j, i=0 j=0 pq(x) = m+n r=0 γ r x r, kde γ r = min(m,r) j=max(0,r n) α r j β j

8 Nebo trochu jednodušeji: položíme-li α i = 0 pro i > n a β j = 0 pro j > m, můžeme psát r γ r = α r j β j, j=0 r {0, 1,..., m + n}. Výpočet a obrázek: Tabule. Všimněte si, že platí: St p = n St q = m = St pq = m + n. Částečný polynomů podíl Věta 16. Pro každé p, q P, q 0, existují jednoznačně určené r, z P takové, že platí: 1. p = rq + z, 2. St z < St q. Důkaz: Tabule. Definice 17. Polynom r nazýváme částečný podíl a polynom z nazýváme zbytek při dělení polynomu p polynomem q. K získání částečného podílu a zbytku při dělení polynomu p polynomem q používáme známý algoritmus. Částečný podíl polynomů příklad Ilustrujme si ho nejdříve na příkladě:

9 (2x 5 3x 4 + 3x 3 x 2 6x + 8) : (x 2 2x + 4) = 2x 3 + x 2 3x 11 (2x 5 4x 4 + 8x 3 ) x 4 5x 3 x 2 6x + 8 (x 4 2x 3 + 4x 2 ) 3x 3 5x 2 6x + 8 ( 3x 3 + 6x 2 12x) 11x 2 + 6x + 8 ( 11x 2 + 22x 44) 16x + 52 Náčrt algoritmu: Částečný podíl polynomů obecně p : q = γ k x k + γ k 1 x k 1 + + γ 0 γ k x k q p γ k x k q γ k 1 x k 1 q p (γ k x k γ k 1 x k 1 )q... p (γ k x k + γ k 1 x k 1 + + γ 0 ) q =: z }{{} =:r Algoritmus vždy skončí po konečně mnoha krocích. Algoritmus k dvojici polynomů p a q na vstupu vrátí dvojici polynomů r a z, které mají vlastnosti podle věty o částečném podílu (rozmyslete si, proč). Hornerovo schéma Hornerovo schéma je algoritmus na efektivní vyhodnocení funční hodnoty polynomu p v bodě λ, který je postavený na výrazu: n p(λ) = α i λ i = α 0 + λ(α 1 + λ(α 2 + + λ(α n 1 + λα n )... )). i=0

10 Mezivýpočty (závorky) mohou zůstávat v registru procesoru. Na vyhodnocení jedné závorky stačí jednou násobit a jednou sečíst. Cvičení: Kolik sčítání a násobení potřebuje počítač k vyhodnocení p(λ), použije-li a) vzorec z definice polynomu, b) Hornerovo schéma? Při výpočtu na papír je vhodné zapsat si Hornerovo schéma do třířádkové tabulky následovně: Tři řádky Hornerova schématu α n α n 1 α n 2... α 2 α 1 α 0 λ: λξ n 1 λξ n 2... λξ 2 λξ 1 λξ 0 ξ n 1 ξ n 2 ξ n 3... ξ 1 ξ 0 p(λ) kde a ξ n 1 := α n ξ k 1 := α k + λξ k, pro k = n 1, n 2,..., 1. Věta 18. Třetí řádek Hornerova schématu obsahuje koeficienty polynomu q z Bézoutovy věty, pro který platí: Důkaz: Tabule. p(x) = (x λ)q(x) + p(λ).

Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1

2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární algebru vybudujeme nad obecným číselným tělesem T. Definici číselného tělesa uvedeme až později. Prvky číselného tělesa lze mezi sebou sčítat a násobit. Dále v tělese vždy existují dva význačné prvky označované obvykle symboly 0 a 1, které jsou určeny vztahy: 0 + α = α a 1α = α, α T. Nyní bude docela stačit, budete-li si pod T představovat R nebo C. Definice 1. Nechť jsou dány: číselné těleso T, neprázdná množina V a dvě zobrazení: : V V V, : T V V. Řekneme, že V je lineární prostor nad tělesem T s vektorovými operacemi a, právě když platí (axiomy lineárního prostoru): Lineární prostor axiomatická definice 1. ( a, b V )( a b = b a ), 2. ( a, b, c V )( (a b) c = a (b c) ), 3. ( α, β T )( a V )( α (β a) = (αβ) a ), 4. ( α T )( a, b V )( α (a b) = (α a) (α b) ), 5. ( α, β T )( a V )( (α + β) a = (α a) (β a) ), 6. ( a V )( 1 a = a ), 7. ( θ V )( a V )(0 a = θ). Prvky lineárního prostoru V nazýváme vektory, prvky tělesa T nazýváme skaláry a prvek θ z axiomu 7 nazýváme nulový vektor. Poznámky k definici lineárního prostoru

3 Při definici lineárního prostoru musíme tedy uvést všechno: množinu V, těleso T, zobrazení a. Bude-li třeba, použijeme označení (V, T,, ). Všimněte si, že máme dvě operace "plus", jedna je + mezi skalaláry a druhá mezi vektory z V. Podobné je to pro operaci "krát". Zobrazení budeme dále značit jen +, stejně jako sčítání skalárů. Nebude docházet k nedorozumění, neboť z kontextu bude vždy jasné, sčítáme-li vektory, nebo skaláry. Podobně místo budeme psát nebo znak operace úplně vynecháme (jako pro násobení skalárů). Zkratka LP = lineární prostor. Jednoduché vlastnosti LP Věta 2. Buď V LP nad T. Potom platí: 1. Ve V existuje právě jeden nulový vektor. 2. ( α T )( αθ = θ ). 3. ( a V )( a + θ = a ). 4. Ke každému vektoru z V existuje právě jeden vektor opačný. Tzn., ( a V )( 1 b V )( a + b = θ ). 5. ( α T )( a V )( αa = θ = (α = 0 a = θ) ). Důkaz. Větu dokážeme přímo z axiomů lineárního prostoru, využití axiomu číslo n v rovnosti označíme (An) =. Použití výsledku z předchozího bodu n této věty označíme (n) =. 1. Nechť existují dva nulové vektory θ 1 a θ 2. Pak θ 1 (A7) = 0 a (A7) = θ 2. 2. α θ (A7) = α (0 a) (A3) = (α0) a = 0 a (A7) = θ. 3. a + θ (A6) = 1 a + θ (A7) = 1 a + 0 a (A5) = (1 + 0) a = 1 a (A6) = a.

4 4. Existence: Buď a V. Položme b := ( 1) a (vektor opačný k 1, tj. 1, v tělese vždy existuje). Potom a + b = a + ( 1) a (A6) = 1 a + ( 1) a (A5) = (1 + ( 1)) a = 0 a (A7) = θ. Jednoznačnost: Nechť b 1 a b 2 jsou dva vektory opačné k a V, tedy a + b 1 = a + b 2 = θ. Pak b 1 (3) =b 1 + θ = b 1 + (a + b 2 ) (A2) = (b 1 + a) + b 2 (A1) = (a + b 1 ) + b 2 = θ + b 2 (A1) = b 2 + θ (3) = b 2. 5. Nechť αa = θ a předpokládejme že α 0, potom a = θ, neboť a (A6) = 1 a = ( 1 α α) a (A3) = 1 α (αa) = 1 α θ (2) = θ. Poznámka 3. Opačný vektor b k vektoru a z bodu 4. značíme b = a. 3.2 Příklady lineárních prostorů Příklad: Položíme-li V = T, ověříme, že T je LP nad T. Speciálně tedy R (nad R) nebo C (nad C) jsou příklady lineárních prostorů (ověřte!). Operace + a jsou stejné jako ty tělesové (tj. např. pro T = R jde o standardní sčítání, resp. násobení reálných čísel). Z těchto prostorů lze konstruovat další lineární prostory následujícím způsobem. Cvičení: Ověřte, že množina n-tic T n, n N, s operacemi definovanými "po složkách" tvoří LP nad T. Tzn., že máme T n = {(α 1,..., α n ) α i T, i ˆn} a pro a = (α 1,..., α n ), b = (β 1,..., β n ) a γ T klademe a + b = (α 1 + β 1,..., α n + β) Lineární prostor T n

5 a γa = (γα 1,..., γα n ). Speciálně tak dostaneme LP reálných, resp. komplexních, n-tic R n, resp. C n. Prvky lineárního prostoru R 2 jsou uspořádané reálné dvojice, které sčítáme a násobíme skalárem po složkách. Geometrická interpretace vektorů z R 2 a R 3 Geometricky lze tedy o prvcích R 2 uvažovat jako o bodech roviny x = (x 1, x 2 ). Pro geometrickou ilustraci operací + a je názorné spojit bod (x 1, x 2 ) s pevně zvoleným počátkem θ a uvažovat o prvcích R 2 jako o tzv. orientovaných úsečkách: x 2 x θ x 1 Podobně si lze představit prvky R 3. Geometrická interpretace sčítání vektorů z R 2

6 x 2 + y 2 x 2 y 2 x x + y y x 1 θ y 1 x 1 + y 1 x + y = (x 1, x 2 ) + (y 1, y 2 ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ) Geometrická interpretace vynásobení vektoru z R 2 skalárem αx 2 α x x 2 x βx 1 βx 2 θ x 1 αx 1 β x α x = (αx 1, αx 2 ) (na obr. je α > 1) β x = (βx 1, βx 2 ) (na obr. je β < 0) Lineární prostor matic T m,n

7 Prvky množiny T m,n, kde m, n N, jsou následující soubory čísel z tělesa nazývané matice: α 11 α 12... α 1n α 21 α 22... α 2n A =.... α m1 α m2... α mn Čísla α ij T, kde i ˆm, j ˆn, nazýváme prvky matice. Operace + a definujeme po složkách (podobně jako pro T n ). Snadno ověříme, že (T m,n, T, +, ) je lineární prostor (ověřte axiomy!). Speciálně tak dostáváme prostor reálných matic R m,n, resp. komplexních matic C m,n. Pro nulovou matici budeme používat označení Θ. 3.3 Další příklady lineárních prostorů Množina polynomů P s operacemi definovanými bodově: Lineární prostor polynomů P ( x C)((p + q)(x) = p(x) + q(x)), ( x C)((αp)(x) = αp(x)), pro p, q P a α C, je lineární prostor nad C. Dále zavedeme symbol pro množinu polynomů stupně nejvýše n 1: P n := {p P St p < n}, n N 0. Operace na P n definujeme stejně jako pro P (viz výše). Potom (P n, C, +, ) je lineární prostor (uvědomte si zejména, že P n je uzavřená vůči operacím + a )! Lineární prostor funkcí F

8 Dalším příkladem příkladem lineárního prostoru (nad C) je množina funkcí F := {f : C C}, vybavená operacemi + a, které definujeme opět bodově: pro f, g P a α C. ( x C)((f + g)(x) = f(x) + g(x)), ( x C)((αf)(x) = αf(x)), Pro libovolné n N 0 platí inkluze P n P F. Neobvyklý lineární prostor Položme V = R + (0, ) a T = R. Definujme operace a na následovně: a b := ab, α a := a α, pro libovolné a, b R + a α R. Potom (R +, R,, ) je lineární prostor. Co není linerní prostor Množina nenulových funkcí F \ {0} není LP. R 2 s operací + definovanou křížem : (a, b) + (c, d) = (a + d, b + c), není LP. Konečný lineární prostor Lineární prostor (nad nekonečným tělesem) má buď jediný prvek, nebo jich má nekonečně mnoho (Proč?). Jednobodový LP, tzv. triviální, obsahuje pouze nulový vektor θ. Tedy neexistuje dvouprvkový LP (nad nekonečným tělesem).

9 3.4 Lineární podprostor Definice 4. Nechť V je LP nad tělesem T, P V. Říkáme, že P je podprostor prostoru V, právě když platí: Lineární podprostor 1. ( x, y P )(x + y P ). 2. ( α T )( x P )(αx P ). Značíme P V. Věta 5. Nechť V je LP nad T, P V. Potom P se zúžením operace sčítání vektorů + na P P a operace násobení vektorů skalárem na T P je LP. Důkaz. Označme zúžení operací +, na P V jako + P, P. Ověříme podmínky pro to, aby (P, T, + P, P ) byl lineárním prostorem: Uzavřenost operací + P : P P P a P : T P P plyne z definice podprostoru, jelikož axiomy LP platí pro každé α, β T a a, b, c V, platí i pro každé a, b, c P V, nulový vektor LP V leží i v P, neboť pro každé a P platí 0 a = θ a P je uzavřený na násobení prvkem z tělesa. Cvičení: Buď V LP nad T, P V. Ověřte, že platí: Jednoduché vlastnosti podprostorů 1. θ P. 2. {θ} V a V V. 3. P 1 P P 1 V. Definice 6. Podprostory {θ} a V lineárního prostoru V nazýváme triviální podprostory. Podprostor P V, P V, nazýváme vlastním podprostorem V.

10 Příklady podprostorů V R 2 je podprostor přímka procházející počátkem. Např. P = {(x, y) R 2 x + 2y = 0}. Přímka, která neprochází počátkem, nemůže být podprostor. V R 3 je podprostor přímka nebo rovina procházející počátkem. Např. P 1 = {(x, y, z) R 3 x + 2y = 0 z = 0}, P 2 = {(x, y, z) R 3 x + 2y = 0}, P 3 = {(x, y, z) R 3 2x + y z = 0}. Rovina (či přímka), která neprochází počátkem, nemůže být podprostor. Např. množina {(x, y, z) R 3 2x + y z = 3} není prodprostor R 3! Další příklady podprostorů Polynomy v lineárním prostoru funkcí: P F. Polynomy stupně nejvýše n 1 v lineárním prostoru polynomů: P n P. Pro m n platí: P m P n. K ověření toho, zda je zadaná množina podprostorem nějakého LP, se často hodí následující tvrzení. Lineární podprostor - věta Věta 7. Buď V LP nad T, = P V. Potom P V, právě tehdy když platí: ( α T )( x, y P )(αx + y P ).

11 Důkaz. Dokážeme dvě implikace, neprázdná podmnožina P V je z definice podprostorem, pokud ( x, y P, α T )(x + y P αx P ). 1. ( ) Nechť P V, α T a x, y P. Z uzavřenosti na násobení skalárem plyne αx P, z uzavřenosti na součet pak i αx + y P. 2. ( ) Nechť pro každé α T a x, y P platí αx + y P. Položíme-li α = 1, dostáváme uzavřenost P na součet. Zvolíme-li y = θ, dostáváme uzavřenost P na násobení skalárem. Průnik (lib. počtu) podprostorů je podprostor. Průnik a sjednocení podprostorů Sjednocení podprostorů nemusí být podprostor. Věta 8. Buď {P α α A} neprázdný systém (A ) podprostorů V. Potom platí: P α V. Důkaz. Označme α A P := α A Zřejmě platí P V a také P (protože θ P α pro každé α A, tedy θ P ). Ověříme, že pro každé β T a x, y P platí βx + y P : Z definice P P α pro každé α A. Tedy pro libovolné β T platí P α. (x, y P ) ( α A)(x, y P α ) Pα V = ( α A)(βx + y P α ) (βx + y P ), což znamená, že P je podprostor. Příklad: Uvažujme množiny E 1 := R {0} {(x, 0) x R}, E 2 := {0} R {(0, y) y R}. Potom E i R 2, i = 1, 2, ale E 1 E 2 není podprostor R 2. Kdy sjednocení podprostorů podprostor? je

12 Na příkladu jsme viděli, že sjednocení podprostorů nemusí být podprostor. Sjednocení podprostorů je podprostorem pouze tehdy jsou-li prostory v inkluzi. Cvičení: Buďte P, Q podprostory LP V. Potom P Q V (P Q) (Q P ). podpro- Součet storů Definice 9. Buď V LP nad T. Jsou-li A V a B V, nazýváme jejich součtem množinu A + B := {a + b a A, b B}. Narozdíl od sjednocení, je součet podprostorů vždy podprostor. Věta 10. Buď V LP nad T, P V, Q V. Potom P + Q V. Důkaz. Součet P + Q je zřejmě neprázdný neboť θ P a θ Q, tedy θ = θ + θ P + Q. Nechť α T a x, y P + Q, přičemž x = a 1 + b 1, y = a 2 + b 2, kde a i P, b i Q pro i {1, 2}. Protože αx + y = α(a 1 + b 1 ) + (a 2 + b 2 ) = (αa 1 + a 2 ) + (αb 1 + b 2 ), }{{}}{{} P Q kde jsme využili faktu, že P i Q jsou podprostory, platí αx + y P + Q, tedy P + Q V. Příklad: Na příkladu s podprostory E 1 = R {0} a E 2 = {0} R si uvědomte, jaký je rozdíl mezi množinami E 1 E 2 a E 1 + E 2.

Lineární algebra : Lineární (ne)závislost (4. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:40 1

2 4.1 Lineární závislost a nezávislost V lineárním prostoru můžeme vektory mezi sebou sčítat a násobit je skaláry, tj. můžeme tvořit lineární kombinace. Lineární kombinace Definice 1. Nechť V je LP nad T, x V a (x 1,..., x n ) je soubor vektorů z V. Říkáme, že vektor x je lineární kombinací souboru (x 1,..., x n ), právě když existují čísla α 1,..., α n T taková, že n x = α i x i. Čísla α i, i ˆn, nazýváme koeficienty lineární kombinace. Jestliže ( i ˆn)(α i = 0), nazýváme takovou lineární kombinaci triviální. V opačném případě jde o lineární kombinace netriviální. Poznámka 2. Výsledkem triviální lineární kombinace je vždy θ. Definice 3. Nechť (x 1,..., x n ) je soubor vektorů z V. Řekneme, že soubor (x 1,..., x n ) je lineárně nezávislý (LN), právě když pouze triviální lineární kombinace tohoto souboru je θ. V opačném případě nazýváme soubor lineárně závislý (LZ). Lineární závislost nezávislost a Poznámka 4. Výrokový zápis: (x 1,..., x n ) je LN ( n ) ( α 1,..., α n T ) α i x i = θ ( i ˆn)(α i = 0) (x 1,..., x n ) je LZ ( n ) ( α 1,..., α n T )( i ˆn, α i 0) α i x i = θ

3 Příklady V R 3 je soubor ((1, 2, 3), (5, 7, 8), (3, 3, 2)) LZ. V R 3 je soubor ((1, 2, 3), (4, 7, 8), (3, 4, 2)) LN. V F je soubor (f, g, h) LZ, kde f(x) = sin 2 x, g(x) = cos 2 x, h(x) = 3. V F je soubor (f, g, h) LN, kde f(x) = sin x, g(x) = cos x, h(x) = e x. V P je soubor (p, q, r) LZ, kde p(x) = x 2 + x + 1, q(x) = x + 2, r(x) = x 2 1. Všechny příklady si ověřte podle definice! Cvičení: Procvičování pochopení definice 1. Lineární (ne)závislost nezávisí na pořadí vektorů v souboru. 2. Obsahuje-li soubor dva stejné vektory, potom je LZ. 3. Obsahuje-li soubor nulový vektor, potom je LZ. 4. Soubor délky 1 je LZ, právě když je tvořen nulovým vektorem. 5. Soubor délky 2 je LZ, právě když jeden vektor je násobkem druhého. 6. Přidáním vektoru do LZ souboru vznikne LZ soubor. 7. Odebráním vektoru z LN souboru vznikne LN soubor. Pokuste se jednotlivá tvrzení matematicky zformulovat a dokažte je! Geometrická interpretace na orientovaných úsečkách

4 Dvě orientované úsečky v R 2 (nebo R 3 ) leží v jedné přímce, právě když jsou odpovídající vektory LZ. Tři orientované úsečky v R 3 leží v jedné rovině, právě když jsou odpovídající vektory LZ. Soubor vektorů z R 2 délky 3 je LZ. Soubor vektorů z R 3 délky 4 je LZ. Pojem lineární (ne)závislosti jsme zavedli pouze pro soubory konečné délky. Definici lze ovšem zobecnit na libovolné podmnožiny V. Lineární (ne)závislost nekonečné množiny Poznámka 5. V lineární algebře pracujeme vždy s konečnými lineárními kombinacemi. Nikde neuvidíte symbol n=1. Vůbec pojem konvergentní posloupnost nelze v obecném LP zavést. Definice 6. Buď V LP nad T, M V. Řekneme, že množina M je lineárně závislá (LZ), právě když existují vektory x 1,..., x n M takové, že soubor (x 1,..., x n ) je LZ. V opačném případě je množina M lineárně nezávislá (LN). Poznámka 7. Množina M je tedy LN, právě když každý (konečný) soubor vektorů z M je LN. Poznámka 8. Rozmyslete si, že pokud je M konečná, přechází definice v definici předchozí. Množina {x n n N 0 } P je LN. ne- LN Příklad konečné množiny

5 Cvičení(na přemýšlení ): Ukažte, že množina {f λ λ > 0} F je LN, kde f λ (x) = e λx. 4.2 Lineární obal Lineární obal Definice 9. Buď (x 1,..., x n ) soubor vektorů z V. Množinu všech lineárních kombinací tohoto souboru nazveme lineárním obalem souboru (x 1,..., x n ) a značíme x 1,..., x n. Podobně jako lineární (ne)závislost můžeme i lineární obal definovat pro obecnou podmnožinu V (i nekonečnou). Definice 10. Buď M V Množinu všech lineárních kombinací všech souborů vektorů z množiny M nazveme lineárním obalem množiny M a značíme M. Cvičení: Z definice lineárního obalu ukažte: Jednoduché vlastnosti obalu θ M. x M M = M {x}. M N M N. x, y M α T x + y M αx M. Geometrická představa lineárního obalu Lineární obal nenulového vektoru z R 2 (nebo z R 3 ) je množina všech vektorů ležících ve společné přímce. Lineární obal LN souboru dvou vektorů z R 3 je množina všech vektorů ležících ve společné rovině.

6 Lineární obal LN souboru tří vektorů z R 3 je celé R 3. Obal obalu Lineárním obalením linerního obalu M nevznikne nic nového. Věta 11. Buď M V, potom Důkaz. Dokážeme dvě inkluze: M = M. 1. : Jelikož triviálně platí M M, pak rovnou M M. 2. : Nechť x M. Pak x je lineární kombinací nějakého souboru vektorů z M, tedy ( α 1,..., α n T )( x 1,..., x n M )(x = α 1 x 1 +... + α n x n ). Každý vektor x i M pro i ˆn je sám lineární kombinací nějakého souboru vektorů z M, tedy ( β i,1,..., β i,ki T )( y i,1,..., y i,ki M)(x i = β i,1 y i,1 +... + β i,ki x i,ki ). Zkombinujeme-li tyto výsledky dohromady, dostaneme n n k i n k i x = α i x i = α i β i,j y i,j = (α i β i,j )y i,j, j=1 j=1 tedy x je lineární kombinací konečného souboru vektorů y i,j V (i ˆn, j ˆk i ). neboli x M. Lineární obal a podprostor Věta 12. Buď M V, potom platí: 1. M V. 2. M V M = M.

7 3. Množina M je nejmenší podprostor V obsahující množinu M, nebo-li M = {P V M P }. Důkaz. 1. Z předpokladu M M. Zbývá ověřit zda pro každé x, y M a α T platí αx + y M. αx + y je lineární kombinací vektorů x, y, tedy αx + y M. Podle předchozí věty ovšem M = M. 2. Implikace ( ) platí, neboť z předchozího bodu máme M = M V. Dokážeme implikaci ( ): Nechť M je podprostor, ověříme M = M. Inkluze M M je zřejmá, zvolme tedy x M, x = α 1 x 1 +... + α n x n, pro nějaké α i T, x i M, i ˆn. Protože M je podprostor, leží každý sčítanec α i x i v M. Zřejmě také x M. 3. Buď P libovolný podprostor V. Je-li M P, potom M P = P. Tedy každý podprostor obsahující M musí obsahovat také M, nebo-li platí M {P V M P }. Na druhou stranu množina M je také podprostor obsahující M. Tedy je to jedna z množin v průniku. Proto M {P V M P }. V lineárně závislém souboru existuje vektor, který je lineární kombinací ostatních. Jiná charakterizace lineární závislosti Věta 13. Buď (x 1,..., x n ) soubor vektorů z V. Potom (x 1,..., x n ) je LZ právě tehdy, když ( k ˆn)( x k x 1,..., x k 1, x k+1,..., x n ). Důkaz. Dokážeme dvě implikace:

8 1. ( ) : Je-li soubor (x 1,..., x n ) LZ, existují α,..., α n T takové, že α 1 x 1 +... + α n x n = θ a přitom existuje index k ˆn, pro který α k 0. Rovnici výše upravíme (odečteme sčítance α i x i pro i k a vydělíme nenulovým číslem α k ) na x k = ( α ) i x i, α k i ˆn,i k což znamená, že x k x 1,..., x k 1, x k+1,..., x n. 2. ( ) : Je-li x k x 1,..., x k 1, x k+1,..., x n, pak existují koeficienty β i T takové, že x k = β 1 x 1 +... + β k 1 x k 1 + β k+1 x k+1 +... + β n x n. Odečtením x k a označením β k := 1 dostaneme n β i x i = θ, tedy netriviální (alespoň β k 0) lineární kombinaci souboru (x 1,..., x n ) dávající nulový vektor, což znamená, že (x 1,..., x n ) je LZ. Důsledek 14. Buď (x 1,..., x n ) LZ soubor vektorů z V, n 2. Potom ( k ˆn)( x 1,..., x n = x 1,..., x k 1, x k+1,..., x n ). Pokud do LN množiny přidáme vektor mimo její lineární obal, lineární nezávislost se zachová. Rozšíření lineárně nezávislé množiny Věta 15. Buď M LN množina vektorů z V a y / M. Potom množina M {y} je LN. Důkaz. Nechť x 1,..., x n M a α 1,..., α n+1 T splňující α 1 x 1 +... + α n x n + α n+1 y = θ, dokážeme, že tato lineární kombinace musí být triviální. Uvažujme dva případy:

9 1. Je-li α n+1 = 0, pak se jedná o lineární kombinaci pouze prvků z množiny M. Ta je ovšem LN, tedy α i = 0 pro každé i n + 1. 2. Nechť α n+1 0, v rovnici výše pak lze číslem α n+1 dělit a po zřejmých úpravách dostáváme y = α 1 x 1... α n x n, α n+1 α n+1 což je spor s předpokladem y / M. Situace α n+1 0 tedy nikdy nenastává. Musí tedy α n+1 = 0 a zbytek plyne z 1. bodu.

Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1

2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme, že generuje prostor V, právě když platí: M = V. Báze lineárního prostoru Definice 2. Existuje-li ve V množina vektorů B taková, že 1. B je LN, 2. B generuje V, nazýváme B bází lineárního prostoru V. Příklady bází {(1, 2, 3), (4, 7, 8), (3, 4, 2)} je báze R 3. {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} je báze R 3. Poznámka 3. Jeden LP může mít více různých bází. Později dokážeme, že všechny musí mít stejný počet prvků. Uvažujme LP T n a označme e 1 := (1, 0, 0,..., 0), e 2 := (0, 1, 0,..., 0),. e n := (0, 0, 0,..., 1). Potom soubor (e 1, e 2,..., e n ) je báze T n. Soubor polynomů (1, x,..., x n 1 ) je báze P n. Množina {x n n N 0 } je báze P. Poslední tři uvedené báze nazýváme standardní báze příslušného LP.

3 5.2 Dimenze lineárního prostoru Definice 4. Buď V LP nad T. Označme Dimenze lineárního prostoru N 0 (V ) := {n N 0 každý (n + 1)-členný soubor vektorů z V je LZ} Je-li N 0 (V ) =, říkáme, že V má nekonečnou dimenzi, značíme dim V =. Je-li N 0 (V ), říkáme, že V má konečnou dimenzi a definujeme dim V = min N 0 (V ). Příklad: Uvažujme V = R 2, potom N 0 (R 2 ) = {2, 3, 4, 5,... } a tedy dim R 2 = min{2, 3, 4, 5,... } = 2. Některé vlastnosti dimenze Věta 5. 1. dim V = 0 V = {θ}. 2. Nulový prostor {θ} nemá bázi. 3. Buď n N a nechť ve V existuje n-členný LN soubor. Potom dim V n. 4. Buď n N 0 a nechť ve V každý (n + 1)-členný soubor je LZ. Potom Důkaz. dim V n. 1. Je-li dim V = 0, potom 0 N 0 (V ), a tedy V = {θ}, neboť každý jednočlenný lineární soubor je LZ, z čehož plyne, že každý vektor z V je nulový. Je-li naopak V = {θ}, pak 0 N 0 (V ) a tedy dim V = 0.

4 2. V nulovém vektorovém prostoru neexistuje LN soubor, tudíž {θ} nemůže mít bázi. 3. Existuje-li n členný LN soubor, musí n 1 / N 0 (V ), potom také 0, 1,..., n 2 / N 0 (V ), neboť každá podmnožina LN množiny je též LN. Tedy dim V n. 4. Když každý (n + 1) členný soubor je LZ, je n N 0 (V ), a tedy dim V n. 5.3 Steinitzova věta a její důsledky Věta 6 (Steinitzova o výměně). Nechť (x 1,..., x n ) a (y 1,..., y m ) jsou soubory vektorů z V. Nechť (x 1,..., x n ) je LN a nechť ( i ˆn)(x i y 1,..., y m ). Potom platí: 1. n m, 2. Existují navzájem různé indexy i 1, i 2,..., i n ˆm takové, že y 1,..., y m = x 1,..., x n, (y i i ˆm \ {i 1, i 2,..., i n }). Steinitzova věta o výměně Důkaz: Neuvedeme a nebude vyžadován u zkoušky. Poznámka 7. Tvrzení 1. Steinitzovy věty říká: Délka LN souboru nemůže převýšit počet generátorů! Existence báze Věta 8. Nechť dim V = n N. Potom ve V existuje n-členná báze. Důkaz. Protože dim V = n, je n 1 / N 0 (V ), a tedy ve V existuje LN soubor délky n, který označíme (x 1,..., x n ). Určitě platí, že x 1,..., x n V. Opačnou inkluzi dokážeme sporem. Kdyby existoval prvek x n+1 V takový, že x n+1 / x 1,..., x n, pak by soubor (x 1,..., x n+1 ) byl LN, jak víme z věty vyslovené dříve. Proto by muselo platit, že dim V n + 1, což je spor. Celkem je tedy soubor (x 1,..., x n ) LN a generuje V, je to tedy n-členná báze V.

5 Poznámka 9. Pokud jde o existenci báze v lineárním prostoru není nutný předpoklad konečnosti dimenze. Platí tedy věta: Každý netriviální LP má bázi. Nicméně v důkazu je nutné přijmout politický program strany ZFC z matematického TEMNA. Důkaz neuvedeme a nebude vyžadován. Věta 10. Nechť n N a nechť ve V existuje n-členná báze. Potom dim V = n. Důsledek Steinitzovy věty všechny báze mají stejně prvků Důkaz. Bázi V označme (y 1,..., y n ). Víme, že dim V n. Kdyby dim V > n, musel by existovat LN soubor délky n + 1, označme jej (x 1,..., x n+1 ). Platí ovšem ( i {1,..., n+1})(x i V = y 1,..., y n ). To jsou ovšem předpoklady Steinitzovy věty o výměně, podle které délka LN souboru nemůže převýšit počet generátorů, tj. musí platit n + 1 n, což je spor. Poznámka 11. Z předchozí věty vyplývá, že všechny báze v LP mají stejný počet prvků, kterých je tolik, kolik je dimenze V (neboť dim V je určena jednoznačně). Protože se dimenze shoduje s počtem vektorů jakékoli báze LP, hodí se tato věta při počítání dimenze LP. Stačí v něm najít nějakou bázi. Z každého souboru generátorů lze vybrat bázi. Soubor generátorů obsahuje bázi Věta 12. Nechť {θ} = V = y 1,..., y n. Potom dim V = k n a existují navzájem různé indexy i 1,..., i k ˆn takové, že (y i1,..., y ik ) je báze V. Důkaz. První část tvrzení plyne ze Steinitzovy věty. Druhá část věty plyne z faktu, že v LZ souboru existuje prvek, který lze ze souboru odebrat, aniž by se změnil jeho lineární obal (viz věta v předchozí kapitole). Takto můžu ze souboru (y 1,..., y n ) vybírat tak dlouho, dokud vzniklý soubor nebude LN. To nastane, až bude v souboru zbývat k vektorů, protože dim V = k.

6 Poznámka 13. Věta platí i pokud je V generován nekonečným souborem vektorů. LN soubor lze doplnit na bázi Každý LN soubor lze doplnit na bázi. Věta 14. Nechť (x 1,..., x k ) je LN soubor vektorů z V a dim V = n N. Potom existují vektory x k+1,..., x n V, že (x 1,..., x n ) je báze V. Důkaz. Buť (y 1,..., y n ) báze V. Ze Steinitzovy věty plyne, že k n a že existují navzájem různé indexy i 1, i 2,..., i k ˆn takové, že V = y 1,..., y n = x 1,..., x k, (y i i ˆn \ {i 1, i 2,..., i k }). Máme tedy n členný soubor generátorů obsahující vektory x 1,..., x k. Stačí si rozmyslet, že jsou LN: Kdyby soubor (x 1,..., x k, (y i i ˆn \ {i 1, i 2,..., i k })) byl LZ, můžeme z jeho vektorů vybrat LN soubor délky l < n generující V, což je ve sporu s dim V = n. Poznámka 15. To, že každý LN soubor lze doplnit na bázi, opět zůstává v platnosti i pro LP nekonečné dimenze. dim T n = n, neboť máme standardní bázi. Dimenze základních lineárních prostorů Speciálně tedy dim R n = dim C n = n. dim T m,n = mn, neboť standardní bázi lze volit podobně jako v T n. dim P n = n a dim P =, opět máme standardní bázi.

7 Poznámka 16. Prostor R n je vždy uvažován nad reálným tělesem R. Podobně C n je LP nad komplexním tělesem C. Lze ale také uvažovat prostor uspořádaných komplexních n-tic C n nad tělesem R, potom platí: Jakou byste v tomto LP volili bázi? dim C n = 2n. 5.4 Dimenze podprostoru a 1. věta o dimenzi Věta 17. Nechť V je LP a P V. Potom Dimenze podprostoru dim P dim V. Je-li navíc P vlastní podprostor V a dim V <, potom dim P < dim V. Důkaz. Je-li dim V = první tvrzení věty platí triviálně. Nechť tedy dim V < a P V. Potom N 0 (V ) N 0 (P ), neboť jsou-li všechny n-členné soubory z V LZ, jsou také všechny n-členné soubory z P LZ. Platí N 0 (P ), protože kdyby N 0 (P ) =, pak také N 0 (V ) = dim V =. Z inkluze N 0 (V ) N 0 (P ) nakonec tedy dostáváme dim P = min N 0 (P ) min N 0 (V ) = dim V. Buď nyní P V vlastní, tj. P V, a nechť dim V = n <. Víme už, že dim P = k n. Je-li dim P = 0, tj. P = {θ}, musí V {θ}, a tedy n = dim V 1. Je-li dim P = k 1, existuje (x 1,..., x k ) báze P. Protože P V, existuje x k+1 V takový, že x k+1 / P, a tedy (x 1,..., x k, x k+1 ) je LN, odkud dim V k + 1. V obou případech platí dim P < dim V. Důsledek 18. Buď P V a dim P = dim V <. Potom P = V. Poznámka 19. Předpoklad dim V < v druhé části tvrzení věty je podstatný. Např. {x 2n n N 0 } je vlastní podprostor P a přitom dim {x 2n n N 0 } = dim P =. Test pro rovnost obalů

8 Lemma 20. Označme X = (x 1,..., x n ) a Y = (y 1,..., y m ) soubory vektorů z V. Potom X = Y, právě tehdy když dim X = dim Y = dim X Y. Důkaz. ( ) : Jestliže X = Y, pak X X = Y a Y X = Y, tedy X Y X = Y. Přechodem k lineárnímu obalu obou stran množinové nerovnosti dostáváme X Y X = X. Protože X X Y, platí také X X Y, takže X Y = X = Y. Když se rovnají obaly, rovnají se i jejich dimenze. ( ) : Protože X X Y a dimenze se rovnají, musejí se rovnat obaly samotné, tj. X = X Y. To samé platí pro Y, takže X = X Y = Y. Direktní součet Definice 21. Bud V LP a = A V, = B V. Součet A + B nazveme direktní, právě když pro každý vektor x A + B existuje jediné a A a jediné b B takové, že x = a + b. Direktní součet značíme A B. Příklad: Položme E 1 := R {0} a E 2 := {0} R, potom E 1 E 2 = R 2. Příklad: Na druhou stranu, platí x, 1 + x 2, 1 = P 3, ale tento součet není direktní. Direktní součet podprostorů Věta 22. Buďte P V, Q V. Potom P + Q je direktní právě tehdy, je-li P Q = {θ}.

9 Důkaz. ( ) : Nechť P + Q je direktní. Kdyby P Q {θ}, existoval by nenulový prvek a P Q a tedy a P a a Q. Nulový prvek θ P + Q by šel rozložit do součtu dvou vektorů z P a Q dvěma způsoby: θ = θ + θ = a + ( a), což by byl spor s direktností součtu P + Q. ( ) : Nechť P Q = {θ} a zároveň P + Q není direktní. Existuje tedy x P + Q takové, že x = a 1 + b 1 = a 2 + b 2, kde a 1 a 2 a a 1, a 2 P, b 1 b 2 a b 1, b 2 Q. Potom ovšem θ a 1 a 2 = b 2 b 1, kde a 1 a 2 P a b 2 b 1 Q a v průniku P Q se tak nachází i nenulový vektor a 1 a 2, což je spor. 1. věta o dimenzi Víme, že jsou-li P a Q podprostory V, jsou také P Q a P + Q podprostory V, a proto má smysl mluvit o jejich dimenzi. Následnující věta ukazuje v jakém vztahu jsou dimenze P Q a P + Q a dimenze P a Q. Věta 23 (1. o dimenzi). Buďte P, Q V, dim P <, dim Q <. Potom platí: dim(p + Q) + dim(p Q) = dim P + dim Q, speciálně pro direktní součet: dim(p Q) = dim P + dim Q. Důkaz: Neuvedeme a nebude vyžadován. 5.5 Souřadnice vektoru vzhledem k bázi Úmluva: Lineární prostor konečné dimenze n N budeme značit V n. Souřadnice vektoru vzhledem k bázi Věta 24. Nechť X = (x 1,..., x n ) je báze V n. Potom ke každému x V n existuje právě jedna uspořádaná n-tice (α 1,..., α n ) T n taková, že n x = α i x i. Důkaz. Existence (α 1,..., α n ) výplývá z toho, že báze generuje LP V n = x 1,..., x n. Jednoznačnost dokážeme sporem. Kdyby existovala další n tice (β 1,..., β n ) T n, taková že ( i ˆn)(α i β i ) a n n x = α i x i = β i x i,

10 potom musí n (α i β i )x i = θ. Soubor (x 1,..., x n ) je ovšem LN, odkud plyne ( i ˆn)(α i β i = 0), což je spor. Definice 25. Číslo α i T z předchozí věty nazýváme i-tá souřadnice vektoru x v bázi X. Dále pro i ˆn zavedeme zobrazení x # i : V n T vztahem x # i (x) := α i. Toto zobrazení nazýváme i-tý souřadnicový funkcionál v bázi X. Příklady Ve standardní bázi E 3 = (e 1, e 2, e 3 ) prostoru R 3 má vektor x = (a, b, c) souřadnice (a, b, c), protože x = ae 1 + be 2 + ce 3. Pro jednotlivé souřadnicové funkcionály máme: e # 1 (x) = a, e# 2 (x) = b, e# 3 (x) = c. Příklady Soubor X = (x 1, x 2, x 3 ), kde x 1 = (1, 1, 1), x 2 = (1, 1, 2), x 3 = (1, 2, 3), je jiná báze R 3. Vektor x = (a, b, c) z R 3 má souřadnice (a + b c, a 2b + c, a + b), protože x = (a + b c)x 1 + (a 2b + c)x 2 + ( a + b)x 3. Pro jednotlivé souřadnicové funkcionály nyní máme: x # 1 (x) = a + b c, x# 2 (x) = a 2b + c, x# 3 (x) = a + b.

11 Příklady Vzhledem ke standardní bázi E 3 = (1, x, x 2 ) prostoru P 3 má vektor a + bx + cx 2 souřadnice (a, b, c). Vzhledem k bázi X = (x 1, 2x, x 2 +2) prostoru P 3 má vektor a+bx+cx 2 souřadnice ( a + 2c, a2 + b2 c, c ). Úmluva: Zavedeme Kroneckerovo delta: Vlastnosti souřadnicového funkcionálu δ ij = { 1, pro i = j, 0, jinak. Věta 26. Nechť i ˆn a x # i (x 1,..., x n ). Potom platí: : V n T je i-tý souřadnicový funkcionál v bázi 1. ( x, y V n )(x # i (x + y) = x# i (x) + x# i (y)), 2. ( x V n )( α T )(x # i (αx) = αx# i (x)), 3. ( j ˆn)(x # i (x j) = δ ij ). Důkaz. 1. Nechť x, y V n. Máme tedy x = n x # i (x)x i a y = n x # i (y)x i. Odtud n n n ) x + y = x # i (x)x i + x # i (y)x i = (x # i (x) + x# i (y) x i. Současně je x + y V n a musí tedy platit x + y = n x # i (x + y)x i. Protože soužadnice jsou určeny jednoznačně (viz předchozí věta), musí platit ( i ˆn)(x # i (x + y) = x# i (x) + x# i (y)). 2. Zcela analogicky jako v předešlém kroku. 3. Opět jako v prvním kroku, vyjdeme z vyjádření x j = n δ ij x i.

12 Souřadnice ve standardní bázi Připomeňme, že pro j-tou složku i-tého vektoru e i standardní báze prostoru T n platí: (e i ) j = δ ij. Vzhledem ke standartní bázi E n = (e 1,..., e n ) prostoru T n má vektor x = (α 1,..., α n ) souřadnice (α 1,..., α n ), neboť n x = α i e i. Analogickou vlastnost mají souřadnice vzhledem ke standardní bázi v prostoru polynomů P n.

Lineární algebra : Lineární zobrazení (6. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 20. května 2014, 22:40 1

2 6.1 Lineární zobrazení Definice 1. Buďte P a Q dva lineární prostory nad stejným tělesem T a A : P Q. Zobrazení A nazveme lineární, právě když platí: Definice lineárního zobrazení 1. ( x, y P )(A(x + y) = Ax + Ay ), 2. ( α T )( x P )( A(αx) = αax ). Množinu všech lineárních zobrazení P do Q značíme L(P, Q). Definice 2. Lineární zobrazení prostoru V do V nazýváme lineární operátor (transformace) na V. Množinu všech lineárních operátorů na V značíme krátce L(V ). Lineární zobrazení prostoru V do tělesa T nazýváme lineární funkcionál na V. Množinu všech lineárních funkcionálů definovaných na V značíme V # a nazýváme duální prostor k prostoru V. Tedy L(V, T ) = V #. Příklady lineárních zobrazení f : R R, f(x) := αx f : C 3 C 2, f(x, y, z) := (x + 2y z, x 2y 3z) A : P P, B : P P, N : F F Ap := p (Bp)(x) := x 0 N(f) := f(0) p(t)dt Zobrazení C, které funkci zobrazí na posloupnost následovně: C(f) := {f(1), f(2), f(3),... }.

3 Další příklady Vzpomeňte si na neobvyklý LP L = R + and tělesem R s operacemi x y := xy, α x := x α. Zobrazení f : R + R, f(x) := ln x je lineární. Souřadnicový funkcionál x # i : V n T je lineární zobrazení! Na množině L(P, Q) definujeme operace: Množina lineárních zobrazení je LP součet zobrazení A, B L(P, Q): ( x P )( (A + B)x = Ax + Bx ), násobení zobrazení A L(P, Q) číslem α T : ( x P )( (αa)x = αax ). Věta 3. Množina L(P, Q) s operacemi zavedenými výše je lineární prostor nad T. Důkaz. Nejprve si uvědomíme, že množina L(P, Q) je neprázdná, neboť existuje alepoň jedno lineární zobrazení P do Q, a to nulové zobrazení Θ, definované pro všechna x P jako Θx = θ Q, kde θ Q je nulový vektor z Q. Dále vyšetříme uzavřenost množiny L(P, Q) vzhledem ke sčítání zobrazení a násobení zobrazení číslem. Buďte A, B L(P, Q). S využitím linearity A, B máme (A+B)(x+y) = A(x+y)+B(x+y) = Ax+Ay+Bx+By = (A+B)x+(A+B)y, (A + B)(αx) = A(αx) + B(αx) = αax + αbx = α(a + B)x. Zcela obdobně bychom ukázali (αa)(x + y) = (αa)x + (αa)(y) a (αa)(βx) = β(αa)x.

4 Zbývá ověřit axiomy lineárního prostoru. Ověříme například komutativitu sčítání vektorů, ostatní axiomy by se ověřili analogicky. Pro libovolný x P jsou Ax a Bx prvky z Q. Máme (A + B)x = Ax + Bx = Bx + Ax = (B + A)x, což jsme chtěli dokázat. Axiom o existenci nulového vektoru je splněn díky nulovému zobrazení Θ. Opačným vektorem k zobrazení A L(P, Q) je ( 1)A. Věta 4. Buďte P a Q LP nad T, A : P Q. Následující 3 tvrzení jsou ekvivalentní: Některé vlastnosti lineárního zobrazení 1. A L(P, Q). 2. ( α T )( x, y P )( A(x + αy) = Ax + αay ). 3. ( n N)( α 1,..., α n T )( x 1,..., x n P ) platí ( n ) n A α i x i = α i Ax i. Důkaz. (1) (2) : Z linearity A platí A(αx + y) = A(αx) + Ay = αax + Ay. (2) (3) : Tvrzení dokážeme matematickou indukcí. Nejprve ukážeme Aθ P = θ Q. Podle bodu 2. platí A(θ P ) = A( x + x) = Ax + Ax = θ Q, kde jsme využili, že pro x P je též x P. Pro n = 1, α 1 T a x 1 P dle bodu 2. máme A(α 1 x 1 ) = A(α 1 x 1 + θ P ) = α 1 Ax 1 + Aθ P = α 1 Ax 1 + θ Q = α 1 Ax 1. Nechť pro n N, (α 1,..., α n ) T n a (x 1,... x n ) P platí ( n ) n A α i x i = α i Ax i. Nyní vezměme libovolně (α 1,..., α n+1 ) T n a (x 1,... x n+1 ) P. Potom ( n+1 ) ( n ) n A α i x i = A α i x i + α n+1 x n+1 = α i Ax i + α n+1 Ax n+1,

5 kde jsme využili indukčního předpokladu. Posldení výraz je roven n+1 α i Ax i. (3) (1) : Stačí dosadit v 3. n = 2 a α 1 = α 2 = 1, resp. n = 1. Další věta říká, že lineární zobrazení zachovává lineární obal vektorů. Věta 5. Nechť A L(P, Q) a M P. Potom A( M ) = A(M). Důkaz. Nechť y A( M ). Potom existuje x M, že Ax = y. Jelikož x M, existují α 1,..., α n T a x 1,..., x n M, že x = n α i x i. Z linearity A dostáváme ( n ) n y = Ax = A α i x i = α i Ax i. Vektor y je tedy lineární kombinací vektorů Ax 1,... Ax n, nebo-li y A(M). Tím máme dokázanou inkluzi A( M ) A(M). Opačnou inkluzi dokážeme obdobně přečtením uvedeného důkazu odspoda nahoru. (Proveďte jako cvičení!) Věta 6. Buďte P,Q lineární prostory nad T a A L(P, Q). Potom Lineární obraz resp. vzor podprostoru je podprostor 1. je-li P P, pak A( P ) Q, 2. je-li Q Q, pak A 1 ( Q) P. Důkaz. Ad 1) Všimněme si, že A( P ), protože P. Dále A( P ) Q. Stačí tedy ukázat, že ( α T )( u, v A( P ))(αu + v A( P )). Pro libovolně volené u, v A( P ) musí existovat x, y P, že u = Ax a v = Ay. Potom αu + v = αax + Ay = A(αx + y). Protože αx + y P, neboť P P, platí αu + v A( P ). Ad 2) Opět si všimněme, že A 1 ( Q), protože minimálně θ A 1 ( Q). Nechť α T, x, y A 1 ( Q). Potom Ax Q, Ay Q. Protože A(αx + y) = αax + Ay Q, platí, že αx + y A 1 ( Q).

6 Poznámka 7. Speciálně tedy platí, že A(P ) Q a také A 1 (Q) P. Věta 8. 1. Lineární obraz LZ souboru je LZ soubor. 2. Lineární vzor LN souboru je LN soubor. Důkaz. Ad 1) Nechť A L(P, Q), kde P, Q jsou lineární prostory nad tělesem T. Nechť (x 1,..., x n ) je LZ soubor z P. Tedy existuje (α 1,..., α n ) T n, že n α i x i = θ P a zároveň existuje i 0 ˆn, že α i0 0. Tedy ( n ) n θ Q = A α i x i = α i Ax i, z čehož plyne, že (Ax 1,..., Ax n ) je LZ. Ad 2) Pokud by existoval LN soubor z Q, jehož lineární vzor by byl LZ, dostali bychom se do sporu s bodem 1. Cvičení: Dokažte následující tvrzení. Inverzní a složené zobrazení 1. Je-li A L(P, Q) bijekce, potom existuje A 1 a je také lineární, tj. A 1 L(Q, P ). 2. Buďte A L(P, Q) a B L(Q, R). Potom složené zobrazení BA definované ( x P )( (BA)x = B(Ax) ) je lineární, tj. BA L(P, R). Jádro, defekt a hodnost Definice 9. Nechť A L(P, Q). Číslo dim A(P ) nazýváme hodnost zobrazení A a značíme h(a). Množinu ker A := {x P Ax = θ} nazýváme jádro zobrazení A, číslo dim ker A nazýváme defekt zobrzení A a značíme d(a).

7 Poznámka 10. Víme, že množina A(P ) Q, má tedy nějakou dimenzi, a proto definice hodnosti zobrazení A má dobrý smysl. Snadno také ověříme, že ker A P (proveďte!), i defekt A je proto dobře definován. Cvičení: Najděte jádro, defekt a hodnost u dříve zmíněných příkladů lineárních zobrazení. To, jestli je lineární zobrazení prosté, poznáme podle jeho jádra. Prosté lineární zobrazení Věta 11. Nechť A L(P, Q). Potom platí: A je prosté ker A = {θ}. Důkaz. Víme, že A(θ P ) = θ Q. Protože A je prosté, neexistuje jiný vektor než θ P, které by A zobrazilo na θ Q. Tedy, ker A = {θ P }.. Tuto implikaci dokážeme sporem. Předpokládejme, že ker A = {θ P } a současně existují x, y P, x y a A(x) = A(y). Tedy Ax Ay = θ Q, s využitím linearity A(x y) = θ Q. To znamená, že x y ker A = {θ P }. Ale x y θ P, neboť x y, čímž dostávámne spor. Věta 12. Nechť A L(P, Q) je prosté. Potom 1. je-li (x 1,..., x n ) LN soubor vektorů z P, je také (Ax 1,..., Ax n ) LN, 2. je-li (y 1,..., y n ) LZ soubor vektorů z A(Q), je také soubor vzorů (x 1,..., x n ) LZ, tj. ( i ˆn)(y i = Ax i ). Důkaz. Ad 2) Je-li (y 1,..., y n ) LZ soubor vektorů z Q, existuje i 0 ˆn, že α i0 0 a zároveň ( n n n ) θ Q = α i y i = α i Ax i = A α i x i. Protože A je prosté, n α i x i ker A = {θ P }. A tak je soubor (x 1,..., x n ) LZ. Ad 1) Kdyby existoval LN soubor, jehož obraz by byl LZ, dostali bychom se do sporu s 1. Známe-li hodnoty lineárního zobrazení A na bazických vektorech, je tím A již plně určeno. Lineární zobrazení určené hodnotami na bázi

8 Věta 13. Nechť P, Q jsou LP nad T. Nechť (x 1,..., x n ) je báze P a nechť (y 1,..., y n ) je soubor vektorů z Q. Potom existuje právě 1 lineární zobrazení A L(P, Q) takové, že ( i ˆn)(Ax i = y i ). Důkaz. Tvrdíme, že zobrazení A lze předepsat jako Ax = n x # i (x)y i pro všechna x P. Nejprve ověříme linearitu n n A(αx + y) = x # i (αx + y)y i = (αx # i (x) + x# i (y))y i n n = α x # i (x)y i + x # i (y)y i = αax + Ay, kde jsem využili linearity souřadnicového funkcionálu x # i. Jednoznačnost dokážeme sporem. Nechť existuje B L(P, Q) takové, že ( i ˆn)(Bx i = y i ) a přitom B A, tj. ( a P )(Ba Aa). Z linearity ale dostáváme ( n ) n n Ba = B x # i (a)x i = x # i (a)bx i = x # i (a)y i = Aa, což je spor. Příklad: Uvažujte A L(P 3, R 3 ) takové, že A1 = (1, 1, 0), Ax = (0, 1, 2), Ax 2 = ( 1, 1, 3). Jak působí A na libovolný polynom z P 3? Představme si obecný problém, že chceme najít všechna řešení rovnice Množina řešení rovnice s lineárním zobrazením Ax = b kde A L(P, Q) a b Q je známý vektor. Problémy tohoto (lineárního) typu se objevují v matematice velice často: soustavy lineárních rovnic, diferenciální a integrální rovnice, rekurentní rovnice, aj. Následující věta udává tvar množiny řešení: stačí znát jediné řešení a jádro A.

9 Věta 14. Nechť A L(P, Q), b Q. Nechť a P takové, že Aa = b, potom platí: A 1 ({b}) = a + ker A. Důkaz. Dokážeme dvě inkluze. Buď nejprve x A 1 ({b}), tj. Ax = b. Tedy A(x a) = θ, neboli x a ker A, odtud x a + ker A. Naopak nechť x a + ker A, tj. z ker A : x = a + z. Platí Ax = A(a + z) = Aa = b, odtud x A 1 ({b}). Příklad: Najděte všechna řešení rekurentní rovnice: x n+1 x n = 2n + 1. 2. věta o dimenzi Věta 15 (2. o dimenzi). Nechť A L(P, Q) a dim P <. Potom h(a) + d(a) = dim P. Důkaz. Pokud je h(a) = 0, pak A(P ) = {θ Q }, tj. A = Θ. Tedy ker A = P, a tak d(a) = dim ker A = dim P. Nechť je tedy h(a) = k N. Bázi A(P ) značme (y 1,..., y k ) a její vzor (x 1,..., x k ). Podle jedné z předchozích vět je (x 1,..., x k ) LN. Označme P = x 1,..., x k. Ukážeme, že ker A P = P. Tvrzení věty potom bude plynout z 1. věty o dimenzi. Nejprve ukážeme ker A+ P = P, direktnost součtu posléze. Protože inkluze ker A+ P P je zřejmá, zaměříme se na opačnou inkluzi: Uvažujme libovolný x P. Chceme najít rozklad x = p + q, kde p P a q ker A. Protože p P, musí platit p = k α i x i, kde koeficienty α 1,..., α k určíme z podmínky q = x k α i x i ker A. Platí k k k θ = A(x α i x i ) = Ax α i Ax i = Ax α i y i, neboli Ax = k α i y i. Odtud i ˆk : α i = y # i (Ax). Tím je ovšem rozklad x = p + q P + ker A určen. Nyní ukážeme, že P ker A = P. Vezměme x P ker A, tj. existují (β 1,..., β k ) T k, že x = k β i x i. Současně platí k k θ = Ax = β i Ax i = β i y i. Odtud plyne, že β i = 0 pro všechny i ˆk, neboť (y 1,..., y k ) je báze A(P ). Potom je ale x = θ, tj. P ker A = {θ}. Příklad: Jaká je hodnost zobrazení A L(P n, P n ), kde Ap := p?

10 6.2 Izomorfní lineární prostory Definice 16. Lineární zobrazení A L(P, Q) které je navíc bijekcí P na Q nazýváme izomorismus. Pokud takové zobrazení existuje z P do Q, říkáme, že P a Q jsou izomorfní a píšeme P = Q. Izomorfismus a izomorfní lineární prostory Cvičení: Ukažte, že 1. složení dvou izomorfismů je izomorfismus, 2. inverze k izomorfismu existuje a je to izomorfismus. Příklad: Sestrojíme jedno důležité izomorfní zobrazení prostoru V n do T n. Buď X = (x 1,..., x n ) báze V n. Definujeme A X : V n T n vztahem Souřadnicový izomorfismus ( x V n )(A X x = ( x # 1 (x),..., x# n (x)) ). Ukážeme, že jde skutečně o izomorfismus (tabule). Zobrazení A X L(V n, T n ) nazýváme souřadnicový izomorfismus v bázi X. Důsledek 17. Buď V n LP dimenze n nad T. Potom V n = T n. K tomu, aby lineární zobrazení mezi prostory konečné (a stejné) dimenze bylo izomorfismem, stačí, aby bylo prosté nebo na. Izomorfismus na prostorech konečné dimenze Věta 18. Nechť A L(P n, Q n ). Potom A je izomorfismus tehdy a jen tehdy, je-li A prosté nebo na. Důkaz. Výplývá přímo z definice. Nechť A je injektivní, ukážeme surjektivitu. Bázi P n označme (x 1,..., x n ). Potom A(P n ) = A x 1,..., x n = Ax 1,..., Ax n Q n. (Ax 1,..., Ax n ) je LN protože (x 1,..., x n ) je LN a A je prosté. Proto dim Ax 1,..., Ax n = n, z čehož plyne A(P n ) = Q n.

11 Nechť A je surjektivní, ukážeme ker A = {θ P }. Nechť Ax = θ Q. Existují (α 1,..., α n ) T n, že x = α i x i. Odtud dostáváme θ Q = Ax = n α i Ax i. Protože A je zobrazení P n na Q n, platí Q n = A(P n ) = Ax 1,..., Ax n. Tedy, (Ax 1,..., Ax n ) je LN. Proto α i = 0 pro každé i ˆn, a tak x = θ P. Věta 19. Buďte P, Q lineární prostory nad T a nechť alespoň jeden má konečnou dimenzi. Potom Izomorfní lineární prostory konečné dimenze P = Q dim P = dim Q. Důkaz. Nechť dim P <. Nechť je nejprve dim P = 0, což je ekvivalentní s P = {θ P }. Buď A izomorfismus P Q. Odtud plyne Q = A(P ) = {θ Q }, a tedy dim Q = 0. Pokud je dim P = n N, označme (x 1,..., x n ) bázi P. Buď A L(P, Q) izomorfismus. Potom Q = A(P ) = A x 1,..., x n = Ax 1,..., Ax n, tj. soubor (Ax 1,..., Ax n ) generuje Q. Jedná se navíc o lineárně nezávislý soubor, neboť (x 1,..., x n ) je LN. Odtud dim Q = n. Nechť dim P = dim Q = 0. Odtud P = {θ P } a Q = {θ Q }. Zobrazení A : P Q definované jako Aθ p = θ Q je hledaným izomorfismem. Nechť dim P = dim Q = n N. Označme (x 1,..., x n ) bázi P a (y 1,..., y n ) bázi Q. Víme, že existuje právě jedno zobrazení A L(P, Q) takové, že Ax i = y i pro všechna i ˆn. Ukážeme, že toto zobrazení je izomorfismus. Předně platí A(P ) = A x 1,..., x n = Ax 1,..., Ax n = Q, tj. zobrazení je surjektivní. Dále buď x ker A, tj. Ax = θ Q. Existuje (α 1,..., α n ) T n, tak že x = n α i x i. Odtud n n θ Q = Ax = α i Ax i = α i y i. Soubor (y 1,..., y n ) je ale báze Q, a tak α i = 0 pro všechny i ˆn. Neboli x = θ P. Dokázali jsme tak ker A = {θ P }. Zobrazení A je tedy injektivní. Důsledek 20. Pro P a Q LP nad T, platí implikace: P = Q dim P = dim Q.

12 Poznámka 21. Předpoklad konečnosti dimenze v implikaci dim P = dim Q < P = Q je podstatný. Např. dim P = dim F =, ale lze ukázat, že P F (důkaz neuvedeme). Izomorfní lineární prostory Protože izomorfní zobrazení přenásí všechny v lineární algebře studované vlastnosti množin vektorů (LN, obal, báze,...), není (z hlediska lineární algebry) mezi izomorfními prostory rozdíl. Můžeme si vybrat v jakém ze vzájemně izomorfních prostorů budeme algebraický problém řešit. Obvykle je volen prostor T n (tedy např. R n ), kde lze použít existující vektorové a maticové algoritmy. Máme-li např. řešit algebraický problém přirozeně formulovaný na polynomech stupně < n, tedy P n, lze si úlohu přeformulovat do C n, zde ji vyřešit, a výsledek opět zobrazit do P n. Jaký byste volili izomorfismus mezi P n a C n? 6.3 Lineární operátory Definice 22. Buď V LP. Zobrazení E : V V definované vztahem ( x V )(Ex = x) nazýváme identický operátor na V. Věta 23. Buď A L(V ). 1. Existuje-li B L(V ) takový, že AB = E, pak je A surjektivní (=na). 2. Existuje-li C L(V ) takový, že CA = E, pak je A injektivní (=prosté). 3. Jsou-li splněny předpoklady bodu 1. a 2., potom je A bijekce a platí B = C = A 1. operá- Lineární tory Důkaz.

13 1. Chceme dokázat, že ( y V )( x V )(y = Ax). Nechť tedy y V. Definujme x := By. Pak Ax = A(By) = (AB)y = Ey = y. 2. Ukážeme, že ker A = {θ}. Nechť x ker A, pak Ax = θ. Odtud θ = Cθ = C(Ax) = (CA)x = Ex = x. 3. A prosté i na, a tedy bijekce. Dále máme A 1 = A 1 E = A 1 (AB) = (A 1 A)B = EB = B. Rovnost C = A 1 ukážeme obdobně. Poznámka 24. Je-li dim V < a je-li splňen předpoklad z bodu 1. nebo 2., potom je A bijekce a platí A 1 = B, resp. A 1 = C. 6.4 Lineární funkcionály* Připomeňme, že všechna lineární zobrazení z V do T tvoří prostor lineárních funkcionálů L(V, T ) V #, nebo-li tzv. duální prostor k V. Lineární funkcionály* Příklad: 1. Souřadnicový funkcionál x # i V n #. 2. Zobrazení ϕ : R 2 R definované ϕ(x, y) = x + y. 3. Zobrazení ψ : P C definované ψ(p) = 1 0 p(x)dx. Věta o dualitě

14 Věta 25. Nechť X = (x 1,..., x n ) je báze V n. Potom soubor X # = (x # 1,..., x# n ) je bází duálního prostoru X #, tedy dim V n # = n. Dále pro souřadnice libovolného ϕ V n # platí n ϕ = ϕ(x i )x # i. Důkaz. Nejprve ukážeme, že X # je LN. Uvažujme n α i x # i = θ. Tedy pro všechny x V n platí n α i x # i (x) = θ. Speciálně pro x j X máme n α i x # i (x j) = θ pro všechny j ˆn. Protože x # i (x j) = δ ij, plyne odtud, že α i = 0 pro všechny i ˆn. Nyní ukážeme, že X # = V n #. Inkluze x # 1,..., x# n V n # je zřejmá. Opačnou inkluzi dokážeme konstruktivně. Mějtme x V n, ϕ V n # libovolné. Pak ( n ) ( n n ) ϕ(x) = ϕ x # i (x)x i = x # i (x)ϕ(x i) = ϕ(x i )x # i (x). Musí proto platit rovnost zobrazení ϕ = n ϕ(x i )x # i, odtud ϕ x# 1,... x# n. Příklad: Uvažujme standardní bázi (e 1, e 2, e 3 ) v R 3. Potom, např. Příklad ilustrující větu o dualitě e # 1 (x, y, z) = x a podobně pro e # 2 a e# 3. Zvolme funkcionál ϕ (R3 ) # definovaný vztahem ϕ(x, y, z) = 2x + 3y z. Potom skutečně platí ϕ = 2e # 1 + 3e# 2 e# 3, neboť ϕ(e 1 ) = 2, ϕ(e 2 ) = 3, ϕ(e 3 ) = 1.

Lineární algebra : Matice a její hodnost (7. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 10:39 1

2 0.1 Gaussova eliminační metoda Definice 1. Uvažujme matici A T m,n. Řekneme, že matice B T m,n vznikla konečným počtem řádkových úprav Gaussovy eliminační metody, pokud B vznikla z A aplikací konečné posloupnosti následujících kroků: 1. prohození i-tého a j-tého řádku, 2. vynásobení i-tého řádku nenulovým číslem z tělesa T, 3. přičtením i-tého řádku k j-tému. Značíme A B. Poznámka 2. Uvědomte si, že libovolná posloupnost jednotlivých kroků GEM je vratná. Tzn., je-li A B, potom B A. Cvičení: Ukažte, že je relace ekvivalence na T m,n. Značení: Buď A T m,n. Pro i ˆm bude A i, T 1,n značit i-tý řádek matice A. Podobně, pro j ˆn bude A,j T m,1 značit j-tý sloupec matice A. GEM zachovává lineární obal řádků Aplikací řádkových úprav GEM na matici A nezměníme lineární obal řádků matice. Věta 3. Nechť A, B T m,n a A B, potom Důkaz: Tabule. A 1,,..., A m, = B 1,,..., B m,. Definice 4. Řekneme, že matice B T m,n je v horním stupňovitém tvaru, právě když l ˆm a přirozená čísla 1 k 1 < < k l n tak, že platí 1. ( i ˆl)(B iki 0), stup- tvar Horní ňovitý matice Gaussova eliminační metoda (GEM)

3 2. ( i ˆl)( j < k i )(B ij = 0), 3. ( i > l)( j ˆn)(B ij = 0). Sloupce k 1,..., k l matice B nazýváme hlavní sloupce, ostatní vedlejší. Ilustrativní obrázek: k 1 k 2 k 3 k l 0 0... 0 0 0... 0 0 0 0 0 0....... 0 0 0... 0 0 0 0 0... 0 0 0 0 0 0... 0 0 0 Věta 5. Každou nenulovou matici A T m,n lze řádkovými úpravami Gaussovy eliminační metody převést na matici B v horním stupňovitém tvaru. GEM a horní stupňovitý tvar matice Důkaz: technický, neuvedeme 0.2 Hodnost matice a její určení Hodnost matice Definice 6. Nechť A T m,n. Hodností matice A nazýváme dimenzi lineárního obalu souboru řádků matice A (jako vektorů z T 1,n ) a značíme h(a). Tedy platí: h(a) = dim A 1,,..., A m,. Poznámka 7. Z definice vyplývá nerovnost: h(a) m. Věta 8. Buďte A, B T m,n. Je-li A B, potom h(a) = h(b). Důkaz: Tvrzení plyne z toho že GEM zachovává lineární obal řádků matice. Určení hodnosti matice

4 Poznámka 9. Je-li B T m,n v horním stupňovitém tvaru, potom h(b) je rovna počtu nenulových řádků matice B. Metoda výpočtu hodnosti matice: Máme-li spočítat h(a), převedeme řádkovými úpravami GEM matici A na matici B, která je v horním stupňovitém tvaru. Počet nenulových řádků matice B je roven h(a). Poznámka 10. Uvědomte si, že metoda výpočtu hodnosti je metodou výpočtu dimenze lineárního obalu vektorů z T n. Můžete ji tedy aplikovat na i na problém, kdy je dáno x 1,... x m T n a chceme spočítat dim x 1,..., x m. Stačí vektory napsat x 1,... x m do řádků matice, úpravami GEM převést tuto matici do horního stupňovitého tvaru. Počet nenulových řádků je pak hledaná dimenze. Pozor: Nedefinujte hodnost matice pomocí uvedené metody pro její výpočet! Pro korektnost takové definice byste museli ukázat, že počet nulových řádků v matici v horním stupňovitém tvaru vzniklé aplikací GEM je vždy stejný. Poznámky k definici hodnosti matice Nepoužívejte definici: Hodnost je maximální počet LN řádků matice. Lineární nezávislost je vlastnost souboru! Výrok nedává vůbec smysl! Hodnost matice je numericky nestabilní. Tzn., dvě matice, jejichž elementy se liší pouze nepatrně (numericky), mohou mít zcela odlišné hodnosti (uveďte příklad). Je dáno y, x 1,..., x m T n. Rozhodněte, zda Metody týkající se lineárních obalů y x 1,..., x m. Metoda: Protože y x 1,..., x m, právě když dim x 1,..., x m = dim x 1,..., x m, y, stačí ověřit, zda hodnost matice, jejíž řádky jsou vektory x 1,..., x m, je stejná jako hodnost matice, ve které je navíc přidán řádek y.

5 Pro dané vektory x 1,..., x r, y 1,..., y s T n chceme ověřit, zda x 1,..., x r = y 1,..., y s. Metoda: Protože rovnost platí, právě když dim x 1,..., x r = dim y 1,..., y s = dim x 1,..., x r, y 1,..., y s, stačí ověřit rovnost hodností příslušných matic. Definice 11. Nechť A T m,n. Matici A T T n,m, kde Transponovaná matice a její hodnost ( i ˆm)( j ˆn)( (A T ) ij = A ji ), nazveme maticí transponovanou k A. Poznámka 12. (A T ) T = A. Věta 13. Nechť A T m,n. Potom Důkaz: Tabule. h(a) = h(a T ). Důsledek 14. Nechť A T m,n. Potom h(a) min(m, n).

Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 12:42 1

2 0.1 Násobení matic Definice 1. Buďte m, n, p N, A T m,n a B T n,p. Matici C T m,p definovanou ( ) n ( i ˆm)( j ˆp) C ij = A ik B kj k=1 nazýváme součinem matic A a B a značíme C = AB. Poznámka 2. Součin AB máme definován pouze tehdy, je-li počet sloupců matice A roven počtu řádků matice B. Výsledná matice AB má tolik řádků, jako matice A a tolik sloupců, jako matice B. ná- mezi Definice sobení maticemi Příklady násobení ( ) 4 1 2 3 5 = (1 4 + 2 5 + 3 6) 6 1 ( ) 4 5 6 2 4 5 6 = 8 10 12 3 12 15 18 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 = 1 1 1 1 2 2 ( ) ( ) 1 1 1 1 = 1 1 1 1 Pozorujeme: Násobení matic není komutativní! ( ) 0 0 0 0 Neplatí implikace: AB = Θ = (A = Θ B = Θ). Co tedy platí?... Vlastnosti maticového násobení

3 Věta 3. V následujících tvrzeních jsou rozměry matic A, B a C vždy takové, aby obsažené výrazy měly smysl. Platí: 1. A(BC) = (AB)C (asociativní zákon) 2. A(B + C) = AB + AC (distributivní zákon) 3. (A + B)C = AC + BC (distributivní zákon) 4. α(ab) = (αa)b = A(αB) 5. (AB) T = B T A T Důkaz: tabule/cvičení Blokové násobení Uvažujme dvě matice sestavené po blocích takto: ( ) ( ) A1,1 A A = 1,2 B1,1 B, B = 1,2. A 2,1 A 2,2 B 2,1 B 2,2 Nechť jednotlivé bloky jsou takového typu, že násobení A i,j B j,k je definováno pro všechna i, j, k ˆ2. Potom platí ( ) A1,1 B AB = 1,1 + A 1,2 B 2,1 A 1,1 B 1,2 + A 1,2 B 2,2. A 2,1 B 1,1 + A 2,2 B 2,1 A 2,1 B 1,2 + A 2,2 B 2,2 (Ověřte!) Analogický výsledek platí i pro jinak vytvořené bloky. Např.: A(B 1 B 2... B p ) = (AB 1 AB 2... AB p ). Uvažujme čtvercové matice A, B T n,n. K výpočtu AB podle definice potřebu- jeme n 3 operací (=vynásobení dvou čísel). Nedalo by se ušetřit? Výpočetní složitost maticového násobení Rekurzivní algoritmus násobení matic: Vychází z blokového násobení. Pro jednoduchost výpočtu složitosti předpokládejme, že rozměr matic n = 2 k, pro nějaké k N. Počet operací označme F (n), potom máme: F (n) = 8F (n/2) = 8(8F (n/4)) = 8(8(8F (n/8))) =... = 8 k F (n/2 k ) = 8 k F (1) = 8 k = (2 k ) 3 = n 3.

4 Položme Strassenův algoritmus X 1 = (A 1 + A 4 )(B 1 + B 4 ), X 5 = (A 1 + A 2 )B 4, X 2 = (A 3 + A 4 )B 1, X 6 = (A 3 A 1 )(B 1 + B 2 ), X 3 = A 1 (B 2 B 4 ), X 7 = (A 2 A 4 )(B 3 + B 4 ), X 4 = A 4 (B 3 B 1 ). Potom platí ( ) ( ) ( ) A1 A 2 B1 B 2 X1 + X = 4 X 5 + X 7 X 3 + X 5. A 3 A 4 B 3 B 4 X 2 + X 4 X 1 X 2 + X 3 + X 6 Rekurzivní Strassenův algoritmus: Vychází z blokového násobení, ale vystačí jen se sedmi součiny. Pro počet operací F (n) nyní dostáváme: F (n) = 7F (n/2) = 7(7F (n/4)) = 7(7(7F (n/8))) =... = 7 k F (n/2 k ) = 7 k F (1) = 7 k = (2 k ) log 2 7 = n 2,807. Dnes nejvýkonější algorimus pro maticové násobení je od Vassilevska Williams (publ. květen 2012), který počítá s přibližně n 2,3727 operacemi. Algoritmy pro rychlé maticové násobení 0.2 Inverzní matice Inverzní matice Definice 4. Matici A T n,n nazýváme čtvercovou maticí řádu n. Matici E T n,n, kde E ij = δ ij, nazýváme jednotkovou maticí n-tého řádu. Poznámka 5. Pokud A, E T n,n, pak AE = EA = A. Definice 6. Buď A T n,n. Existuje-li matice B T n,n taková, že platí AB = BA = E, nazýváme matici A regulární a B inverzní maticí k matici A. Značíme B = A 1. Pokud A není regulární, nazýváme matici A singulární.

5 Obrázek 0.1: Výpočetní složitosti algoritmů pro maticové násobení [zdroj: wikipedia.org] Inverzní matice je nejvýše jedna Důkaz: Tabule. Věta 8. Nechť A, B T n,n jsou regulární, potom AB je regulární a platí Věta 7. Je-li A T n,n regulární, potom je inverzní matice k A určena jednoznačně. Součin regulárních matic je regulární matice (AB) 1 = B 1 A 1. Důkaz: Tabule. Aby B byla inverzní maticí k A, musí podle definice platit dvě rovnosti: Stačí jedna rovnost v definici inverzní matice AB = E a BA = E. Nyní ukážeme, že vlastně stačí, aby platila pouze jedna z rovností. Druhá už je potom také splňena.