Změna koeficientů PR při změně proměnných Oldřich Vlach oto pojednání doplňuje přednášku M. Šofera na téma Nalezení složek tenzoru napjatosti pro případ rovinné úlohy s povrchem zatíženým kontaktním tlakem dle Hertzovy teorie. Úvod V tomto textu chci krátce nastínit kapitolu diferenciálního počtu více proměnných, zvanou změna koeficientů PR při změně proměnných. Vede mne k tomu skutečnost, že tato látka není běžnou součástí výuky na VŠB, ačkoli je často používaná při matematickém modelování úloh s rotačními symetriemi. Některé PR lze takto převést do tvaru, pro který umíme nalézt analytické řešení. Použité značení Úvodem změníme označení parciálních derivací x i na značení pomocí multiindexu ξ (N {} d a symbolu : funkce f(x,..., x d ; její parciální derivace x i obvyklé značení. ei (f zde použité značení ; e i. { f Výhodou značení pomocí multiindexu je kratší zápis a je také přirozenější; abychom vyjádřili, že chceme znát parciální derivaci f podle i tého argumentu, nepotřebujeme vědět, zda se tento argument se nazývá x i, nebo i.
například z. aké parciální derivace vyšších řádů zapisujeme tímto značením, například pro f(x,..., x 4 je 3 f x x x 4 (f. Označme ještě velikost multiindexu ξ jako ξ d i ξ i. Všechny parciální derivace řádu n pak budou { ξ (f} ξ n. Například pro 5 d 3 a ξ je ξ 7; ξ (f } d je { ξ (f} ξ { (f, (f, (f 7 f x x x x x x 4 x 4 a pro { f x x, f x x, f x x Zápis pomocí multiindexu je velmi efektivní při zápisu parciálních derivací vyšších řádů. Při zápisu parciální derivace prvního řádu ( ei však označení vektoru e i zabírá poněkud mnoho místa, a proto jej budeme na některých místech označovat zkráceně jako i ei. Co přesně znamená změna koeficientů PR při změně proměnných Původní PR je zadána (obecně implicitním vztahem F pro hledanou funkci f (proměnných x,..., x d a pro její parciální derivace až do řádu n: F (x,..., x d, f, { ξ (f} ξ,..., { ξ (f} ξ n. ( Ve vztahu ( chceme zaměnit proměnné x za proměnné y. Jsou dvě možnosti, jak to udělat: { x i g i (y,..., y d ; g C n (R d, R d ( i,..., d : y i u i (x,..., x d ; u C n (R d, R d. Očividně jsou funkce g a u vzájemně inverzní, tedy u g. Hedáme nový vztah H pro funkci h proměnných y,..., y d a její parciální derivace H (y,..., y d, h, { ξ (h} ξ,..., { ξ (h} ξ n tak, aby mezi funkcemi f a h platil vztah nebo h u f tj. h(u(x,..., x d f(x,..., x d, ( h f g tj. h(y,..., y d f(g(y,..., y d. (3 }.
3 Připomenutí známých vztahů V dalším textu budu používat Einsteinovy sumační konvence; na místech, kde tomu tak není, to bude explicitně zvýrazněno. K následujícímu hraní s výrazy si připomeňme tři vzorce Součin matice-vektor A R n n, v R n Av R n, ( i,..., n : (Av i A ij v j bez Einsteinovy sumační konvence {}}{ n A ij v j. j erivace součinu funkcí ei (f g ei (f g + f ei (g. erivace složené funkce (diferenciální počet funkcí více proměnných f C (R d, R g C (R d, R d, e i (f g ( eα (f g ei (g α. 4 Vzorce pro parciální derivace k-tého řádu Mějme ϕ C k (R d, R, ω C k (R d, R d, zajímá nás vztah mezi { ξ (ϕ ω} ξ k (parciálními derivacemi k-tého řádu složené funkce ϕ ω a { ξ (ϕ ω} ξ k (parciálními derivacemi k-tého a menších řádů vnější funkce ϕ vyčíslovaných ve vnitřní funkci ω. Pro k již byl hledaný vztah uveden v předchozím textu Maticový zápis lze abstraktně napsat jako což konkrétně například pro d znamená ei (ϕ ω ( eα (ϕ ω ei (ω α. ei (ϕ ω ei (ω α eα (ϕ ω, e (ϕ ω e (ϕ ω,, {}} { e (ω e (ω e (ω e (ω e (ϕ ω. (4 e (ϕ ω Pro k l +, l N odvodíme rekurzivní vztah. Pro ξ l je ( derivace součtu derivace součinu ei +ξ(ϕ ω ξ ( ei (ω α eα (ϕ ω ξ ( ei (ω α eα (ϕ ω + ei (ω α ξ ( eα (ϕ ω ei (ω α ξ ( eα (ϕ ω + ei +ξ(ω α eα (ϕ ω. (5 3
Čtenář si jistě všiml, že ve výrazu ξ ( eα (ϕ ω již derivujeme složenou funkci řádu ξ l, tedy o jedna menšího. Například pro k bude lze rekurentní vztah přepsant na maticový zápis ei +e j (ϕ ω ( ei (ω α ej eα (ϕ ω + ei +e j (ω α eα (ϕ ω což konkrétně opět pro d znamená ei (ω α ej (ω β eβ eα (ϕ ω + ei +e j (ω α eα (ϕ ω ei (ω α ej (ω β eα+e β (ϕ ω + ei +e,j (ω α eα (ϕ ω, { }} { e +e (ϕ ω e (ω e (ω e (ω e (ω e (ω e (ω e (ω e (ω e +e (ϕ ω e +e (ϕ ω e +e (ϕ ω e (ω e (ω e (ω e (ω e (ω e (ω e (ω e (ω e (ω e (ω e (ω e (ω e (ω e (ω e (ω e (ω e +e (ϕ ω e +e (ϕ ω e +e (ϕ ω e (ω e (ω e (ω e (ω e (ω e (ω e (ω e (ω e +e (ϕ ω e +e (ω e +e (ω + e +e (ω e +e (ω e (ϕ ω e +e (ω e +e (ω, e (ϕ ω e +e (ω e +e (ω }{{}, a jelikož jsou smíšené parciální derivace záměnné, a v předchozí soustavě by tak byl řádek navíc, zkracuje se na soustavu, { }} { e +e (ϕ ω e (ω e (ω e (ω e (ω e (ω e (ω ( e +e (ϕ ω e (ω e (ω e (ω e (ω + e +e + e +e (ϕ ω e (ω e (ω e (ω e (ω (ϕ ω e +e (ϕ ω e (ω e (ω e (ω e (ω e (ω e (ω e +e (ϕ ω e +e (ω e +e (ω + e +e (ω e +e (ω e (ϕ ω. (6 e +e (ω e +e (ω e (ϕ ω }{{}, 4
5 Aplikace - Laplaceova rovnice Laplaceova rovnice v R lze do dříve zmíněného rámce zavést jako f F (x, x, f, (f, (f, (f, (f, (f id id f (f (f (x, x, (f (f (f kde id (x, x x a id (x, x x. Cílem je převést tuto rovnici do polárních souřadnic x y cos(y (7 x y sin(y y x + x y arctan( x. (8 x 5. Způsob f g h osadíme (7 do vztahů (4 a (6: (f g cos(y sin(y (f g (f g y sin(y y cos(y }{{} (f g N, (y,y N, (y,y (f g {}} { cos (y (f g ( sin(y cos(y sin (y y sin(y cos(y y cos (y sin (y y sin(y cos(y (f g (f g y sin (f g (y y sin(y cos(y y cos (y (f g + sin(y cos(y (f g y cos(y y sin(y (f g. }{{} N, (y,y 5
Což se dá zapsat dohromady jako (f g N (f g { }} { (f g (f g N, (f g (y, y (f g N, N, (f g (f g (f g (f g cos(y sin(y y sin(y y cos(y ( cos (y ( sin(y cos(y ( sin (y sin(y cos sin(y cos(y y y (y sin(y cos(y sin y (y cos(y y cos(y y sin(y y sin (y y sin(y cos(y y cos (y (f g (f g (f g (f g (f g Vraťme se k Laplaceově rovnici: id id f (f (f (x, x (f (f (f id g id g f g (f g (f g (y, y (f g (f g (f g N id g id g f g (f g (f g (y, y (f g (f g (f g V případě Laplaceovy rovnice lze ukázat, že cos(y y sin(y sin(y y cos(y N y (y, y sin (y sin(y y cos(y cos (y y sin(y cos(y sin (y y ( ( ( ( cos y sin(y cos(y (y sin(y y sin cos (y (y cos(y y sin (y sin(y y cos(y y cos (y sin(y y cos(y sin (y y sin(y cos(y cos (y y a protože N (y, y y y, můžeme zapsat Laplaceovu rovnici v polárních souřadnicích (pro h f g jako y (h + (h + y (h y (y (h ( h y + h. y y y y y 6 + y (h, tj.
5. Způsob f h u Postupujeme podobně, jako u předchozího způsobu. Čtenáře upozorňuji, že v následujícím textu není třeba konstruovat celou matici M, ale pouze řádky, které souvisí s nenulovými koeficienty v obecném zápise Laplaceově rovnice: id id f (f (f (x, x (f (f (f id id h u (h u (h u (x, x (h u (h u (h u id id h u (h u (h u (x, x. (9 M (h u (h u (h u Nyní musíme sestavit matici M(x, x. osadíme (8 do vztahů (4 a (6: (h u x x x +x x +x (h u x x (h u x +x x +x (h u }{{} M, (x,x M, (x,x { }} { x x x x x (h u +x (x +x 3 (x +x (h u x x x x x x x (h u +x (x (h u +x 3 (x +x (h u x x x x (h u + x +x x (x +x 3 x x (x +x 3 x (x +x 3 (x +x 3 x x (x +x x x (x +x x x (x +x (x +x } {{ } M, (x,x (h u (h u, 7
tedy M, M(x, x (x, x M, M, což dosadíme zpět do (9: ( x x +x x x +x x (x +x 3 x x (x +x 3 x (x +x 3 M(x, x x +x x x +x x x +x x x (x +x x x +x x x (x +x x x x +x x x (x +x x x +x x +x (h u (h u x +x (h u (h u (x, x (h u x x (x +x 3 x x (x +x 3 x x (x +x 3 x, +x x + x (h u + (h u + x + x (h u (x, x (( y (h + (h + y (h u (x, x ( (h (y, y y (h + (h + y ( h y + h. y y y y y x (x +x x x (x +x x (x +x Zde jsem si dovolil několika nepřesných zápisů, například y (y, y místo správného id (y, y. 5.3 Nevýhody. f g h Problematické je v tomto způsobu nalezení inverze matice N, což se podaří jenom v některých případech.. f h u Zde je problematický převod na tvar (H u (x., 8
6 Aplikace - Biharmonická rovnice Biharmonická rovnice zní f f. Použijeme-li odvozeného vztahu pro Laplaceovu rovnici pak f y y ( h y + h y y y operátor L op { ( }}{ + + (h y y y y y ( f (L op L op (h + + (h y y y y y ( + + ( h + h + h y y y y y y y y y y ( h + h + h + y y y y y y y ( + h + h + h + y y y y y y + ( h + h + h y y y y y y y h + h + 3 h h + 3 h + y 3 y y y y y 3 y 4 y y 3 y y + h h + 3 h + 4 h + 6 h 4 3 h + 4 h y 3 y y y y y 3 y 4 y 4 y y 3 y y y y y + 3 h + 4 h + 4 h y 3 y y y y y y 4 y 4 h h + 4 h + 3 h 3 h + 4 h + 4 h + 4 h. y 3 y y y y 4 y y y 3 y 3 y y y 4 y y y y 4 y 4 9