Rovnice se separovanými proměnnými V této kapitole se budeme zabývat následující diferenciální rovnicí: y = g(y)f(x), () kde f a g jsou reálné funkce reálné proměnné. Tato rovnice se nazývá rovnice se separovanými proměnnými. V celé kapitole budou písmena I, J označovat otevřené intervaly. Ihned vidíme, že pokud g(y ) =, je y řešením rovnice definovaným na všech intervalech obsažených v definičním oboru funkce f. Toto řešení se nazývá stacionární. Základní věta, která nám umožní najít netriviální řešení rovnice se separovanými proměnnými, je následující: Věta (Řešení rovnice se separovanými proměnnými). Je dána rovnice (). Nechť f(x) je spojitá v I, nechť g(y) je spojitá a nenulová v J. Nechť F (x) resp. G(y) jsou primitivní funkce k f(x) resp. /g(y) v I resp. v J. Označ G (z) funkci inverzní ke G(y). Nechť Ĩ I a c R jsou zvoleny tak, že F (x)+c leží v definičním oboru G (z) (tj. v G(J)) pro všechna x Ĩ. Potom funkce G (F (x) + c), x Ĩ je řešení rovnice (). Poznámka. Předpoklad F (x) + c leží oboru hodnot G je potřeba hlídat formální výpočet totiž může vést k funkci, jejíž definiční obor je větší než interval, na níž tato funkce řeší naši rovnici. Příklad. Najděte všechna maximální řešení rovnice y = y. Řešení. Ihned vidíme jediné stacionární řešení, x R. Dále aplikací předchozí věty nacházíme řešení. pro I = R, J = (, ): G(y) = y, F (x) = x. Tedy G(J) = (, ), Ĩ = (, c). nalezené řešení (x+c), x (, c). Pozor: pro x > c daná funkce NENÍ řešení rovnice.. pro I = R, J = (, ): G(y) = y, G(J) = (, ). Nalezené řešení (x + c), x ( c, ). (Opět není řešení pro x < c). Nevíme však zatím, zda jsou tato řešení maximální a zda jsou všechna. Někdy se může stát, že řešení, které nám dává Věta, nejsou maximální. Máme-li řešení na intervalech (a, b) a (b, c), je možné, že se nám povede funkci spojitě dodefinovat v bodě b a že získáme řešení na větším intervalu (a, c). O této situaci hovoří následující lemma:
Lemma (O slepování). Nechť y (x) : (a, x ) R, y (x) : (x, b) R jsou řešení rovnice y = f(x, y). () Nechť lim y (x) = y = lim y (x). Nechť f(x, y) je spojitá v bodě (x, y ) x x x x + R. Potom funkce y (x), x (a, x ) y (x), x (x, b) y, x = x je řešením rovnice () v celém (a, b). Poznámka. Lemma řeší vlastně jedinou věc: že rovnice je splněna v bodě slepení (x, y ) (jinde je to z předpokladů triviálně jasné) a říká, že to je zaručeno, slepím-li řešení spojitě. Může však nastat i situace, že dvě řešení je možné slepit, přestože v bodě lepení není funkce f spojitá. Řešení. (pokračování) Funkce { (x + c), x < c, x c je dle Lemmatu řešení rovnice y = y v R, neboť vznikne slepením dvou řešení: y (x) = (x + c) v (, c) a y (x) = v ( c, ). Také funkce { (x + c), x > c, x c je řešením rovnice. Tato řešení jsou evidentně maximální, neboť jsou definována na celém R. Zbývá dořešit otázku, zda jsou všechna (samozřejmě nezapomínáme na nulové stacionární řešení). Jak poznáme, že jsme nalezli všechna maximální řešení? Picardova věta o existenci a jednoznačnosti nám dává jednoznačnost řešení v bodech, na jejichž okolí jsou funkce (x, y) f(x)g(y) a (x, y) f(x)g (y) spojité. Máme-li tedy oblast Ω R, v níž jsou tyto funkce spojité, a najdu-li sadu řešení, které Ω vyplní (každým bodem prochází aspoň jedno z nich), pak žádná jiná řešení nejsou. Naopak body, v nichž g (y) neexistuje, jsou obvykle kandidáti na větvení. (V bodě (x, y ) nastává větvení, jestliže jím procházejí dvě řešení, která se neshodují na žádném P (x, δ).) V případě rovnice se separovanými proměnnými však platí silnější věta o jednoznačnosti:
Tvrzení 3 (o jednoznačnosti). Jsou-li f a g spojité v Ω, pak k větvení může dojít pouze v bodech, v nichž g neexistuje nebo není spojitá a zároveň g =. Nepotřebujeme tedy spojitost (x, y) f(x)g (y), pokud g je nenulová. Toto tvrzení si můžete dokázat jako cvičení (viz níže). Řešení. (dokončení) Uvažme opět rovnici y = y. Sada řešení y c (x) = (x c), x (c, ) zjevně vyplňuje horní polorovinu Ω = {(x, y), y > } (bodem (x, y ) Ω prochází řešení, kde c = x y ). Protože f i g jsou v Ω spojité a g navíc nenulová, žádná jiná řešení zde nemohou být. Řešení tvaru (x + c) podobně vyplní dolní polorovinu. K větvení tedy může dojít pouze v bodech (x, ) a všechna tato větvení jsme našli. c c c c. moznost. moznost 3. moznost 4. moznost Takto tedy vypadá celý postup hledání maximálních řešení rovnice ():. Určíme maximální otevřené intervaly obsažené v definičním oboru funkce f. (Tím máme vymezeny maximální intervaly, na kterých můžeme hledat řešení.). Najdeme všechny nulové body funkce g. Je-li g(c) =, potom funkce y c na libovolném intervalu z. kroku je stacionární řešení rovnice (). 3. Určíme maximální otevřené intervaly, na kterých je funkce g nenulová. 4. Vezmeme interval I z. kroku a interval J z 3. kroku. Tedy f je na I spojitá a g je na J spojitá a nenulová. Budeme hledat řešení rovnice (), která jsou definovaná někde v intervalu I a mají hodnoty v intervalu J. Je-li y takové řešení, pak pro něj platí y (x) g(y(x)) = f(x). 3
Nechť F je primitivní funkce k funkci f na intervalu I a G je primitivní funkce k funkci /g na J. Potom existuje konstanta c R taková, že platí G(y(x)) = F (x) + c na definičním oboru řešení y, který nalezneme v následujícím kroku. 5. Nyní zafixujeme c a nalezneme maximální neprázdné otevřené intervaly obsažené v množině {x I; F (x) + c G(J)}. Na každém z těchto intervalů řešení musí mít tvar G (F (x) + c), kde G značí funkci inverzní k funkci G. Ta existuje, neboť G je na intervalu J buď rostoucí nebo klesající. 6. Z řešení nalezených v 5. kroku a singulárních řešení z. kroku slepíme všechna maximální řešení rovnice (). Příklad. Najděte všechna maximální řešení rovnice y = x( + y ) Řešení. Bod : I = R. Bod : rovnice nemá žádné stacionární řešení. Bod 3: J = R. Bod 4: po vydělení + y a integraci dostáváme arctg y = x + c. (3) Protože máme jen jeden interval pro x a jeden pro y, nemusíme zde rozlišovat několik případů a úloha se tím výrazně zjednodušuje. Bod 5: protože funkce G = arctg zobrazuje J = R na ( π/, π/), musí pravá strana rovnosti (3) ležet v intervalu ( π/, π/), tj. x ( π/ c, π/ c). Pokud c π/, je řešení definované na intervalech x ( π/ c, π/ c) a x ( π/ c, π/ c). Pokud c ( π/, π/), pak je definované na intervalu ( π/ c, π/ c). Pokud c π/, řešení neexistuje. Řešení je dané předpisem y = tg(x + c). 4
Bod 6: Protože v krajních bodech intervalů (± ±π/ c) je lim ±, nalezená řešení nelze prodloužit, jsou tedy maximální. Z věty o jednoznačnosti plyne, že jsme nalezli všechna řešení, protože každým bodem roviny prochází některé z námi nalezených řešení. Skutečně, bodem [x, y ] prochází řešení y = tg(x + c), kde c = arctg y x, definované na intervalu ( π/ c, π/ c), je-li x <, arctg y x π/, nebo na intervalu x ( π/ c, π/ c), je-li x >, arctg y x π/ a nebo na intervalu ( π/ c, π/ c), je-li arctg y x ( π/, π/). Π Π Π Π Π Π sedou prochazeji zespodu omezena reseni bilou prochazeji reseni neomezena zeshora i zespodu Úlohy Nalezněte všechna maximální řešení následujících rovnic:. y = y. y = y 3. y = (3/) 3 y 4. y = y 5. (x 4x)y + y = 6. y = 3x y 7. y = cos y x + 8. y sin x = y ln y 9. y = 3 y. y = exp( (x + y)). yy y + x = x. y = 3 3 y exp x 3. y = y y 5
4. (x + x)y (x + )y = 5. y cos x + y(y + ) sin x = 6. x (x + 4)y = cos y 7. yy = x y 8. xy + y = y 9. y = x+y. e y ( + y ) =. y = y x. y sin x = y ln y, y(π/) = 3. y = +y +x, y() = 4. y = ye x 5. y = e x 5 y 4 6. y = (+y )x +x 7. y = e y cos x 8. ( e x )y = 3e x tg y cos y 9. y = ( + y ) tg x 3. y = x y 3. y = x y 3. y = +y xy 33. y = xy x y x 34. xy cos y + sin y = sin y 35. Najděte maximální řešení počáteční úlohy y xy = b(+xy ), y() = v závislosti na parametru b R. 36. Najděte všechna maximální řešení rovnice y = y x, která jsou omezená. 37. Najděte množinu všech bodů v rovině, kterými prochází právě jedno řešení rovnice y = cos x e y definované na celém R. 38. Najděte všechna A R, pro která existuje řešení rovnice y ( e x ) = 3e x tg y cos y splňující lim x lim x + A. 39. Nechť f je spojitá na okolí bodu x a g je spojitá a nenulová na okolí bodu y. Pak v bodě (x, y ) nedochází k větvení. 6
Řešení ) Má smysl pro x R, stacionární řešení y = na R. Řešíme na intervalech y ( ; ), y (; + ). Po integraci: sgn(y) ln y = x + c, c R. Po úpravách pro y < : y = exp( (x + c)) a pro y > : y = exp(x + c) Závěr: k exp(x sgn(k)), x R, k R. 5 k = 5 k = k = 5 k = - k = -5 ) Má smysl pro x R, stacionární řešení y = ± na R. Řešíme na intervalech y ( ; ), y ( ; ), y (; + ). Po integraci y+ ln( ) = y x + c, c R. Po úpravách pro y ( ; ) a pro y (; + ) máme y = cotgh(x + c) pro y ( ; ) y = tgh(x + c). Závěr: ±, x R; tgh(x + c), x R, c R; cotgh(x + c), x ( ; c) nebo x ( c; + ), c R. 7
3 asymptoty 3.5 3) Má smysl pro x R, stacionární řešení y = na R. Řešíme na intervalech y ( ; ), y (; + ). Po integraci: y = x + c, c R, tj. 3 x > c. Po úpravách pro y < : y = (x + c) 3 a pro y > : y = (x + c) 3. Lze nalepit v c. Závěr: { x ( ; c), ± c R (x + c) 3 x [ c; + ), vycet moznych chovani reseni -c -c I. II. III. 4) Řešíme pro x R a y [ ; ]. Stacionární řešení y = ± na R. Pro y ( ; ) řešíme rovnici y =, po integraci arcsin y = x + c, c R. y Odtud y = sin(x + c), x ( π c; π c). Řešení lze napojovat ve všech bodech, kde y = nebo y =. Každé maximální řešení rovnice je určeno vzorcem sin(x+c) pro x ( π c; π c), na ( ; π c] a na [ π c; + ) kde c je reálné číslo. 8
vycet moznych chovani reseni -c navazani reseni I. II. III. 5) Má smysl pro x R, stacionární řešení y = na R. Řešíme na intervalech x ( ; ), x (; 4), x (4; + ), y ( ; ) nebo y (; + ). Po integraci: ln( y ) = ln( x ) + c, c R. Po úpravách pro y < : 4 x 4 y = k 4 x, k > a pro y > : y = k x 4 4 x, k >. Závěr:, x 4 x R; ±k 4 x, x ( ; ) nebo x (; 4) nebo x (4; + ), x 4 k R +. 6 3 k =.5 k = 3 k = 3 k = -.5 k = - k = - 4 6) Má smysl pro x R, stacionární řešení y = na R. Řešíme na intervalech y ( ; ) nebo y (; + ). Po integraci: = y x3 + c, c R. Po úpravách y =. Závěr:, x R;, x ( ; 3 c) x 3 +c x 3 +c nebo x ( 3 c; + ), c R. 9
4 c = c = 8 c = c = - c = 4 asymptoty 3 7) Má smysl pro x R, stacionární řešení y = π + kπ na R. Řešíme na intervalech y ( π + kπ; π + kπ), k R. Po integraci: tg(y) = arctg(x) + c, c R. Po úpravách y = arctg(arctg x + c) + kπ. Závěr: kπ + arctg(c + arctg(x)), x R, c R, k Z; π + kπ, x R, k Z. 3 Π c =.5 3 Π Π c = - Π c =.5 c = Π Π 3 3 8) Má smysl pro x R, stacionární řešení y = na R. Řešíme na intervalech x (kπ; π + kπ), k Z, y R +. Po integraci: ln ln y = c cos x arctgh(cos x), c R. Po úpravách pro y < : y = exp( c ) = +cosx exp( c tg( x ) ), c > a pro y > : y = exp(c cos x +cos x ) = exp(c tg( x ) ), c >. V x = kπ lze nalepit. Závěr:, x R; exp(c tg( x )), x ((k )π; (k + )π), c R \ {}.
4 c = - c = 3 c =.5 Π 9) Má smysl pro x R, stacionární řešení y = na R. Řešíme na intervalech y ( ; ) nebo y (; + ). Po integraci: 3 3 y = x + c, c R. Po úpravách y = ( x+c 3 )3 pro x ( ; c) nebo x ( c; + ). Závěr: ( x+c 3 )3 ; x ( ; c] ; x ( c; d) c, d R, c d ( x+d 3 )3 ; x = [ d; + ) Π vycet moznych chovani reseni d c c d I. II. III. IV. ) Má smysl pro x, y R, stacionární řešení y = na R. Po integraci: exp y = c exp( x), c >. Po úpravách y = ln(c exp( x)) pro x ( ln c; + ). Závěr: ln(c exp( x)); x ( ln c; + ), c >.
c = e 5 5 c = e c = x 3 c = e 3 5 t ) Má smysl pro x ( ; ) nebo x ( ; ) nebo x (; + ), žádná stacionární řešení. Řešíme na intervalech y ( ; ), y ( ; ), y (; + ). Po integraci: ln y = ln x + c, c R. Po úpravách y = ± + k. Závěr: y = ± + k pro x ( ; ) a pro x x y ( ; ) x ( ; k) nebo x ( k; + ) y = ± + k x 3 x ( ; k) nebo x ( ; ) nebo x ( k; + ) pro k ( ; ) x ( ; ) nebo x (; + ) pro k ( ; ] x ( ; ) nebo x ( k; k) nebo x (; + ) pro k (; ) pro k [; + )
x t ) Má smysl pro x R, stacionární řešení y = na R. Řešíme na intervalech y ( ; ) nebo y (; + ). Po integraci: 3 y = exp(x) + c, c R. Po úpravách y = (c + exp(x)) 3. Pro c < lze slepit v y =. Závěr: (exp(x) + c) 3, x R c R +, (exp x + c) 3 ; x ( ; ln( c)] ; x (ln( c); ln( d)) c, d R { }, c > d (exp x + d) 3 ; x = [ln( d); + ) vycet moznych chovani reseni c = c = - I. II. III. d = - e 3) Má smysl pro x R, stacionární řešení y = na R a y = na R. Řešíme na intervalech y ( ; ), y (; ), y (; + ). Po integraci: 3
ln y = x + c, c R. Po úpravách y =. Závěr:, x R, y c exp x + c exp x, { x R pro c ( ; ] x ( ; ln c) nebo x ( ln c; + ) pro c (; + ) 4 c = -e c = c = -e 4 c = - asymptoty 4) Má smysl pro x R, stacionární řešení y = na R. Řešíme na intervalech x ( ; ), x ( ; ), x (; + ), y ( ; ), y (; + ). Po integraci: ln y = c + ln x + x, c R. Po úpravách y = c(x + x). Závěr: 4 c = c =.4 c = - 4 4
5) Má smysl pro x R, stacionární řešení y = a y = na R. Řešíme na intervalech x ( π + kπ; π + kπ), k Z, y ( ; ), y ( ; ), y y (; + ). Po integraci: ln = ln cos x + c, c R. Po úpravách y+ y =. Závěr:, x R a c cos x c cos x c cos(x) c cos(x) x (kπ arccos( ); kπ + arccos( )), k Z c c pro c ( ; ] [; + ) x (kπ + arccos( ); (k + )π arccos( )), c c pro c ( ; ] [; + ), k Z x R pro c ( ; ) c =.5 c = -. c = - c = -8 c = -7 c = 3 3 Π Π 6) Má smysl pro x R, stacionární řešení y = π + kπ, k Z. Řešíme na intervalech x ( ; ), x (; + ), y ( π +kπ; π +kπ), k R. Po integraci: tg(y) = arctg( x) + c, c R. Po úpravách y = arctg( arctg( x) 8 4x 8 + c). Závěr: kπ + arctg( arctg( x) + c), x ( ; ) nebo 4x 8 4x x (; + ), c R, k Z a kπ + π, x R, k Z. 7) Má smysl pro x R, žádná stacionární řešení. Řešíme na intervalech y ( ; ), y (; + ). Po integraci: 3 y3 = x x +c, c R. Po úpravách y = 3 3(x x + c). Závěr: 3 3(x x + c) na intervalech: Pokud c ( ; ), pak x R. Pokud c =, x ( ; 4 4 ) nebo x ( ; + ). A pokud c ( ; + ), pak x ( ; + c) nebo x ( + c; + 4 4 4 + c) nebo x ( + + c; + ). 4 4 Π 3 Π 5
x c = 6 c = nelze slepit c = 3 t c = 3/4 c = -/4 c = 3/4 c = - 8) Má smysl pro x R, stacionární řešení y = a y = na R. Řešíme na intervalech x ( ; ), x (; + ), y ( ; ), y (; ), y (; + ). Po integraci: ln y = ln x + c, c R. Po úpravách pro y < a y > : y y =, k > a pro < y < : y =, k >. Závěr:, +k x k x +kx x ( ; ) nebo x ( ; + ), k R \ {},,, x R. k k 4 c = -/ mnohoznacnost reseni c = c = / c = - 4 asymptoty 4 4 9) Má smysl pro x R, žádná stacionární řešení. Po integraci: y x + ln = c, c <. Po úpravách y = log ln ln ( x c). Závěr: log ( x c), x ( ; log ( c)), c R. 6
c = - c = - c = - 3 4 c = - 5 4 ) Má smysl pro x R, stacionární řešení y = na R. Řešíme na intervalech y ( ; ), y (; + ). Po integraci: ln exp( y) = x + c, c R. Po úpravách pro y < : y = ln(k exp x + ) a pro y > : y = ln( k exp x). Závěr: { x ( ; ln( k)) pro k ( ; ) ln( + k exp(x)), x R pro k [; + ) 4 c = -e c = - e c = - e 4 c = c =. 4 4 4 ) Má smysl pro x ( ; ) nebo x ( ; +) nebo x (; + ), stacionární řešení y = ± na R. Řešíme na intervalech x ( ; ) a y 7
( ; ). Po integraci: arcsin(y) = arcsin(x) + c, c ( π; π). Po úpravách y = sin(c + arcsin(x)). Na intervalech x ( ; ) nebo x (; + ) a y ( ; ) nebo y (; + ) získáme po integraci argcosh(x) = argcosh(x) + c, c R. Rozebereme-li jednotlivé možnosti a podíváme-li se na to, která řešení je možno jak lepit, obdržíme následující závěr: stacionární řešení: ±, x ( ; ) nebo x ( ; +) nebo x (; + ) řešení pro c ( ; π]: ± cosh(c + argcosh x ), x ( ; cosh c) nebo x (cosh c; + ) řešení pro c ( π; ]: ± cosh(c + argcosh x ), x ( ; cosh c) nebo x (cosh c; + ) řešení pro c [; π): sin(c + arcsin x), x ( ; ) {, x ( ; cos c] sin(c + arcsin x), x [cos c; ) ± cosh(c + argcosh x ), x ( ; ) nebo x (; + ) řešení pro c [π; + ): sin(c + arcsin x), x ( ; ) { sin(c + arcsin x), x ( ; cos c], x [cos c; ) ± cosh(c + argcosh x ), x ( ; ) nebo x (; + ) 8
5 4 3 slepeni 3 4 5 5 4 3 3 4 5 ) Má smysl pro x R, stacionární řešení y = na R. Po integraci: ln ln y = cos(x) ln + c, c R. Po úpravách y = exp(k cos(x) ), +cos(x) +cos(x) k R. Závěr: Řešení splňující počáteční podmínku je, x R. 3) Má smysl pro x R. Po integraci: arctg(y) = arctg(x) + c, c = π. 4 Po úpravách y = exp(k ), k R. Závěr: Řešení splňující počáteční cos(x) +cos(x) podmínku je tg( π 4 + arctg x), x (, tg π 4 ). x 6 4 5 4 3 t 4) Řešíme pro x R a y [; + ). Stacionární řešení y = na R. Pro y y > řešíme rovnici y = exp( x). Po integraci máme y = c exp( x), 9
c R +, pro c exp( x) >. Po úpravě y = (c exp( x)) 4. Závěr:, x R {, x ( ; ln c] 4 (c exp( x)), x ( ln c; + ) pro c R + 4 3 navazani reseni asymptoty 3 4 5 5) Má smysl pro x R, stacionární řešení y = na R. Řešíme na intervalech y ( ; ), y (; + ). Po integraci: 5 y = c 4 exp( x), c R. Po úpravách y = (c 4 exp x) 5. Závěr: (c 4 exp(x)) 5, x R pro c ( ; ] a (c 4 exp x) 5, x ( ; ln( c)) 4, x ( ln( c 4 ); ln( d)) c, d [; + ], c d 4 (d 4 exp x) 5, x ( ln( d; + )) 4
vycet moznych chovani reseni asymptota slepeni I. II. III. IV. V. 6) Má smysl pro x R. Po integraci: arctg(y) = c ln( + x ), c ( π ; + ). Po úpravách y = tg(c ln(x + )). Závěr: tg(c ln(x + )) na intervalu ( exp(c + π) ; exp(c + π) ) pokud c ( π ; π ) a na intervalech ( exp(c + π) ; exp(c π) ) nebo ( exp(c π) ; exp(c + π) ) pokud c [ π ; + ). 6 4 c Π/ c Π/ 4 6 c < Π/ 8 3 3 7) Má smysl pro x R. Po integraci: exp(y) = sin(x) + c, c ( ; + ). Po úpravách y = ln(sin(x) + c). Závěr: ln(sin(x) + c) na intervalech ( arcsin(c) + kπ; arcsin(c) + (k + )π), k Z pro c ( ; ), na intervalech ( π + kπ; 3π + kπ), k Z pro c = a na R pro c (; + ).
c < c < c > c > c > c > 4 6 c < 3 Π Π Π Π Π 3 Π 8) Řešíme pro x R a y ( π + kπ; π + kπ), k Z. Stacionární řešení y = kπ. Pro y ( π + kπ; kπ) a pro y (kπ; π + kπ) máme po integraci ln tg y = 3 ln e x + c, c R. Označme d = (sgn tg y)e c. Potom tg y = d( e x ) 3, odtud y = kπ + arctg(d(e x ) 3 ). Závěr: kπ + arctg(d(e x ) 3 ), x R, d R, k Z 9) Má smysl pro x ( π + kπ; π + kπ), k Z. Po integraci arctg y = c ln cos x, c ( ; π), neboť pro c π je c ln cos x π, ale arctg y ( π; π). Tedy: tg (c ln cos x ). Π Řešení je definováno na intervalech x (kπ arccos e c π ; kπ arccos e c+ π ), k Z c ( ; π] x (kπ + arccos e c+ π ; kπ + arccos e c π ), k Z c ( ; π] x (kπ arccos e c π ; kπ + arccos e c π ), k Z c ( π; π) 3) Má smysl pro x R. Po integraci máme y = c (x ), c >, neboť pro c je c (x ), ale. Řešení ± c (x ), x ( c; + c) pro c (; + ). 3) Má smysl pro x ( ; ). Stacionární řešení y = ± pro x ( ; ). Po integraci máme rovnici y = c x. Musí platit c x [; ), neboli x (c ; c]. Odtud x ( ; c ) nebo x ( c ; ) pro c (; ) a x ( (c ) ; (c ) ) pro c [; ). Pro jiné hodnoty konstanty c není splněno c x [; ). Podmínka y x (c ) je splněna, k lepení dojde v bodě, kde y = ± x = c. Řešení:
pro c (; ): (c x ), x ( ; c ), x [ c ; c ] (c x ), x ( c ; ) pro c (; ): (c x ), x ( ; c ), x [ c ; c ] (c x ), x ( c ; ) ± (c x ), x ( (c ) ; (c ) ) další řešení: {, x ( ; ] ( x ), x (; ) { ( x ), x ( ; ), x [; ) {, x ( ; ] ( x ), x (; ) { ( x ), x ( ; ), x [; ) ±, x ( ; ) 3) Má smysl pro x ( ; ) nebo x (; + ). Po integraci a vynásobení dvěma y + = ln x + c, c R. Musí být ln x + c, neboli ln x c, tj. x ( ; e c ) nebo x (e c ; + ). řešení na těchto intervalech: ± (ln x + c). 3
33) Řešíme pro x ( ; ), x ( ; ), x (; + ) a y R. Stacionární řešení y = na R. Pro y ( ; ) nebo y (; + ) řešíme rovnici y = x. Po integraci = c + ln y x y x, c R. Odtud y = pro c+ln x x taková, že x exp( c). Závěr: c + ln x, Řešení je definováno pro x ( ; + e c ), x ( + e c ; ), x ( ; ), x (; + e c ), x ( + e c ; + ), pokud c ( ; ) a nebo pro x ( ; + e c ), x ( + e c ; ), x ( ; e c ), x ( e c ; e c ), x ( e c ; ), x (; + e c ), x ( + e c ; + ), pokud c [; + ) 34) Řešíme pro x R a y R. Rovnici upravíme na tvar xy cos y = sin y(sin y ). Stacionární řešení y = kπ, k Z, na R a y = π + kπ, k Z, na R. Pro x a pro y (kπ; π + kπ), y ( π + kπ; (k + y )π) nebo y ((k + )π; (k + )π) máme cos y =. Po integraci sin y(sin y ) x máme ln = ln x + ln c, c sin y R+, odtud = c x. Pro sin y y (kπ; π +kπ) řešení y = arcsin +kπ. Pro y ( π +kπ; (k +)π) +c x řešení y = π arcsin + kπ. Pro y ((k + )π; (k + )π) řešení +c x y = arcsin + (k + )π a řešení y = π arcsin + (k + )π. Řešení c x c x lze spojovat v bodě x =. Závěr: řešení pro y (kπ; π + kπ), ve vzorcích c, d R: stacionární řešení { arcsin + kπ, x ( ; ] c x arcsin d x + kπ, x [; + ) { arcsin + kπ, c x x ( ; ] π arcsin d x x [; + ) { π arcsin + kπ, c x x ( ; ] arcsin d x x [; + ) { π arcsin + kπ, x ( ; ] c x π arcsin d x + kπ, kπ, x R x [; + ) 4
řešení pro y (π + kπ; π + kπ), ve vzorcích c, d R \ {}: arcsin c x + (k + )π, x ( ; c ) arcsin c x + (k + )π, x ( c ; + ) π arcsin c x + (k + )π, x ( ; c ) π arcsin c x + (k + )π, x ( c ; + ) Ve všech vzorcích platí k Z. 35) Má smysl pro x R, po úpravě řešíme rovnici (b + )xy = y b. Pro b = řešení y = nesplňuje počáteční podmínku. Řešíme pro b. Stacionární řešení y = b splní počáteční podmínku pro b =. Pro b ± řešíme na intervalech y ( ; b), y (b; + ). Po integraci: (b + ) ln( y b ) = ln( x ) + c, c R. Po úpravách y b = k exp ( ln(x) b+ ), kde k = e c. Dosazením počáteční podmínky ( y() ) = dostaneme b = k. Řešení ( pro ) y < b: y = b b exp ln( x ) a pro y > b: y = b + b exp ln( x ). b+ b+ Závěr: ( ) pro b ( ; ): b + ( b) exp ln(x), x (; + ) b+ pro b { }: nemá řešení ( ) b (b ) exp ln( x), b+ b, x ( ; ) ( ) pro b ( ; + ): b + (b ) exp ln( x), b+ b, ) x {b} b + ( b) exp, x (; + ) x cx +, ( ln(x) b+ 36) Má smysl pro x ( ; ) a pro x (; + ). Stacionární řešení y = vyhovuje zadání. Řešíme pro y ( ; ) a pro y (; + ). Po integraci: = c, c R. Po úpravě: y = x. Omezená řešení jsou: y x cx+ { x ( ; ) pro c ( ; ), x (; + ) { x ( ; ) x (; + ) pro c (; + ) 5
37) Nejprve vyřešíme diferenciální rovnici. Ta má smysl pro x R a y R. Řešíme tedy rovnici y exp y = cos x, po integraci exp y = sin x + c, c ( ; ). Řešení ln(sin x + c). Určíme hodnotu konstanty c tak, abby definiční obor tohoto řešení bylo celé R: Musí být sin x + c >, odtud c > sin x = sin( x) x R. Tedy c >. Protože pravá strana rovnice je funkce, která je v každém bodě lokálně lipschitzovská vzhledem k proměnné y (neboť je třídy C C ), tak každým bodem roviny R prochází právě jedno řešení. Proto hledanou množinou je množina M = {(x, y) R ; exp y sin x > } (jsou to body roviny ležící nad grafem funkce y = ln( + sin x)). 38) Z příkladu 8 víme, že všechna maximální řešení rovnice mají tvar kπ + arctg(d(e x ) 3 ), kde x R, d R a k Z. Všechna jsou tedy definována na okolí plus i minus nekonečna. Počítejme: lim x kπ + arctg( 8d) a lim kπ + (sgn d) π. Položíme-li lim x + x lim x + y(x), máme kπ+arctg( 8d) = kπ+(sgn d) π. Protože d R arctg( 8d) / {± π}, dostáváme odtud sgn d = d =. Tedy lim x lim x + kπ, k Z. Závěr: A {kπ; k Z} 39) Pokud x y(x) je řešení procházející bodem (x, y ), pak funkce y splňuje rovnici z bodů 4 postupu řešení, tj. G(y(x)) = F (x) + c, kde c = G(y ) F(x ). Protože G jako funkce zobrazující okolí y na okolí x je prostá, lze ji invertovat a tedy G (F (x) + G(y ) F (x )). Řešení je tedy na okolí bodu určeno jednoznačně. (rozmyslete si detaily uvedeného postupu) Homogenní rovnice Uvažujme rovnici kde y = f(x, y), (4) f(λx, λy) = f(x, y), λ. Tato rovnice se nazývá homogenní rovnice. řádu. Ukážeme, že tuto rovnici lze převést substitucí na rovnici se separovanými proměnnými. Postup řešení. Pozorujeme, že (pro x ) je f(x, y) = f(x, x y x ) = f(, y x ), tj. pravá strana rovnice závisí pouze na y/x. 6
Definujeme tedy z(x) = y(x)/x, takže xz(x), y (x) = xz (x) + z(x). Rovnice přechází na xz + z = f(x, xz) = f(, z), tj. z = x[ f(, z) z ], (5) což je rovnice se separovanými proměnnými (pro neznámou funkci z = z(x)). Standarním postupem najdeme z(x) a tedy xz(x). Poznámka. Uvědomme si, že je-li z řešení rovnice (5) na nějakém podintervalu (, + ), nebo (, ), pak je y := z x řešením rovnice (4) na stejném intervalu. Platí i opačná implikace. Protože jsme pro účely výpočtu řešení museli vyloučit případ x =, je v konkrétních případech potřeba na závěr ověřit, zda nalezná řešení můžeme prodloužit až do počátku. Příklad 3. Řešme rovnici x y + xy = x + y. Řešení. Pro x rovnici přepíšeme do tvaru y = xy + x + y x, jedná se tedy o homogenní rovnici. řádu. Substituce xz(x) dává xz + z = z + + z, xz = (z ). To je rovnice se separovanými proměnnými. Zjevně z je řešení, tj. x, x R je řešení původní rovnice. Hledejme řešení za podmínky z, x. Tedy a integrací dostáváme z (z ) = x z = c ln x. Pro I = (, + ), J = (, + ) zobrazuje funkce na levé straně interval J na (, + ). Tedy c ln x (, + ) a zároveň x (, + ), což nám dává 7
x (, e c ). Pro I = (, ) dostáváme x ( e c, ). Na těchto intervalech je řešení dáno předpisem z(x) = c + ln x c ln x c + ln x, x. (6) c ln x Podobně pro J = (, + ) a I = (, + ), resp. I = (, ), zobrazuje funkce G interval J na (, ). Máme tedy c ln x (, ) a zároveň x >, resp. x <. Odtud dostáváme řešení na intervalech (, e c ), resp. (e c, + ) definovaná opět předpisem (6). Jsou tato řešení maximální? Protože limity řešení v bodech ±e c zprava a zleva nejsou vlastní, jistě řešení nepůjdou prodloužit tímto směrem. Zbývá vyšetřit prodloužení do počátku. Protože a po dodefinování y() := je y () = lim x y(x) y() x lim x = lim x c + ln x c ln x =, snadno dosazením ověříme, že v bodě x = je rovnice splněna. Dodefinovaná funkce je tedy řešením na celém intervalu ( e c, e c ). Všimněte si, že všechna tato řešení procházejí počátkem a mají zde stejnou derivaci. Můžeme je tedy vzájemně napojovat. Takovéto singulární chování je pro homogenní rovnice typické! Všechna maximální řešení rovnice tedy jsou: c+ ln x x, x > c ln x, x = d+ ln x x, x <, d ln x c, d (, + ] (kde pro c = máme na mysli limitní případ x ) a c + ln x x, x (, e c ), resp. x (e c, + ). c ln x 8
5 5 c = ln 35 c = 3 c = ln 3 5 5 c = ln 5 asymptota 35 5 3 3 Příklad 4. Řešte rovnici y = y x y+x. Řešení. Substituce y = xz vede na xz + z = z z + z = x z + z + Vidíme, že neexistují stacionární řešení a řešení budeme hledat na intervalech I = (, ), I = (, + ) a pro z: J = (, ), J = (, + ). Po vydělení g(z) a zintegrování máme ln z + + arctg z = c ln x. (7) Funkci na levé straně rovnice si označme G. Tuto funkci neumíme zinvertovat (z se nám z rovnice nepovede vyjádřit), nicméně víme, že funkce G je pro z < klesající a pro z > rostoucí a zobrazuje tedy (, ) prostě na (ln π/4, + ) a interval (, + ) prostě tamtéž. Máme tedy nebo-li ln x (, c + π/4 ln ) x (, e c+π/4 ln ), resp. x ( e c+π/4 ln, ). Řešení z je tedy dáno implicitním vztahem (7) a je definováno na jednom z výše uvedených intervalů. Konkrétněji řešení na prvním intervalu je dáno vztahem ln z + + arctg z = c ln x, tj. z + e arctg z = ec x 9
a řešení na druhém intervalu ln z + + arctg z = c ln( x), tj. z + e arctg z = ec x Dosadíme z = y/x, násobíme obě strany x a máme implicitně zadaná řešení y x + y e arctg y/x = e c, c R definovaná na výše uvedených intervalech. Jsou tato řešení maximální? Pro x +, y > máme y e c π/ a x, y > máme y e c +π/, můžeme tedy napojit, pokud c = c + π a získáme řešení na ( e c +π+π/4 ln, e c +π/4 ln ). V krajních bodech tohoto intervalu máme z, tj. y x. Po dodefinování limitou nebude tedy mít původní rovnice smysl. Nalezená řešení jsou tedy maximální. Že jsou všechna plyne opět z věty o jednoznačnosti a z toho, že každým bodem roviny prochází některé z nalezených řešení (to je vidět z následující poznámky). grafy maximalnich reseni jsou souvisle casti spiral lezici nad, respektive pod, grafem funkce y = -x y = -x Poznámka. Řešení předcházející úlohy můžeme elegantně vyjádřit v polárních souřadnicích x = r cos φ, y = r sin φ (r = x + y, φ = arctg y/x + kπ). Řešením úlohy jsou části spirál r = de φ. Více o substitucích v diferenciálních rovnicích se dozvíte v kapitole o nelineárních systémech. Příklad 5. Najděte všechna maximální řešení diferenciální rovnice y = e y/x + y/x. Řešení. Substitucí y = x z převedeme na e z z = /x. 3
Pro x (, ), resp. (, + ) a z R integrací dostaneme e z = ln x + c. Funkce na levé straně zobrazuje interval R na interval (, ), tj. ln x + c <. Odtud tedy x < e c, x (, e c ), resp. x ( e c, ). Ze vztahu mezi x a z dostáváme z(x) = ln( ln x c) a x ln( ln x c) na výše uvedených intervalech. Tato řešení jsou maximální, protože pro x = nemá původní rovnice smysl a v bodech ±e c má řešení nevlastní limitu. Řešení jsou všechna, protože vyplní celou množinu {(x, y) R, x }. c = - ln 5 c = - ln 4 c = - ln 9 5 c = - ln 5 5 c = - ln c = - ln 7 7 4 9 Úlohy 4. (x + y )y = xy 4. x y + xy = y 4. x y = y + xy 43. xy = y( + ln y x ) 3
44. xy + x = x y 45. xyy + x y = 46. (zpracovano DP) xyy = y x 47. xy = x y 48. xy = y x 49. xy = (x + y) 5. x y = y(x y) 5. xyy = x + y 5. xy = y + x + y 53. xyy = 3y x 54. xy y = xy 55. * y + x y = xyy 56. * (x y )y = xy 57. * (4y + 3xy + x )y = (y + 3xy + 4x ) 58. * (y 3x )y + xy = 59. * xy = x +y xy = x +y x+y x+y 6. * x + y + yy = 6. * (x 3 + y 3 )y = x y 6. * y = y x x+y 63. * y = x+y x 64. * y = y cos ( ) ln y x x 65. * y = y+ xy x 66. * xy = y + x y Řešení 4) Řešíme pro x R, y R. Po substituci a úpravě řešíme rovnici xz = z z 3. Stacionární řešení z = a z =. Pro z / {; } a x máme +z ) = x. Po integraci ln( z z z ( z z z+ úpravě dostaneme z = ± +4k x závěr: kx ) = ln( x ) + c, c R. Po, kde k = ±e c. Protože y = xz, dostaváme, x R x, x ( R c ± + 4c x ), x R, c R \ {} 3
4) Řešíme pro x R, y R. Po substituci a úpravě řešíme rovnici xz = (z z). Stacionární řešení z = a z =. Pro z / {; } a x máme z ( ) z z =. Po integraci a úpravě ln( z ) = ln( x )+c, c R. Odtud x z dostáváme z = kx, kde k = kx ±ec. Protože y = xz, dostaváme závěr:, x R x, x R cx3 cx, x R, c ( ; ) x ( ; c ), x ( c ; c ), x ( c ; + ), c (; + ) c (; + ) c (; + ) 4) Řešíme pro x R, y R. Po substituci a úpravě řešíme rovnici xz = z(z + ). Stacionární řešení z = a z =. Pro z / { ; } a x máme z ( ) z z+ =. Po integraci a úpravě dostáváme z = (z +)cx, c R\{}. x Vynásobením x a dosazením y = xz převedeme rovnici na tvar y = cxy +cx. Odtud vypočteme y = x, kde d = pro c, resp. y pro c =. Závěr d x c po napojení řešení v x = : první řešení x,, x R druhé řešení třetí řešení x, x ( ; c) pro c ( ; ) a x (c; + ) pro c (; + ) c x x, x ( ; ] pro c (; + ) nebo x (c; ] pro c ( ; ) c x x, x [; + ) pro d ( ; ) nebo x [; d) pro d (; + ) d x 43) Řešíme pro x R \ {}, y R \ {}, x y >. Po substituci a úpravě řešíme rovnici xz = z ln(z) pro z (; + ). Stacionární řešení z = a z =. Po integraci ln ( ln(z) ) = ln( x ) + c, c R. Tedy z = exp(dx), kde d = ±e c. Řešení nelze napojovat. Celkem tedy dostáváme: x exp(cx), x ( ; ) nebo x (; + ), c R 33
44) Řešíme pro x R a y R. Po substituci a úpravě řešíme rovnici xz =. Po integraci z = c + ln x, c R. Odtud y = x(c + ln x ). Protože lim, ale x y y(x) () = lim = lim(c + ln x ) =, nelze řešení x x x spojit v počátku. Závěr: x(ln x + c), x ( ; ) a x (; + ), c R. (Lze řešit také jako lineární rovnici.) 45) Řešíme pro x R, y R. Po substituci a úpravě řešíme rovnici xzz = (z + ). Po integraci ln( + z ) = c ln( x ), c R. Tedy x + y = kx, kde k = ±e c. Závěr: ± c (x c), x (c; ) pro c ( ; ) a x (; c) pro c (; + ) (Lze řešit také jako Bernoulliho rovnici.) 46) Řešíme pro x R a y R. Po substituci a úpravě pro x dostaneme rovnici zz = x, po integraci z = c ln(x ), c R. Nelze napojovat. Závěr: ±x c ln(x ), x ( exp( c ); ) nebo x (; exp( c )), c R (Lze řešit také jako Bernoulliho rovnici.) 47) Řešíme pro x R a y R. Po substituci a úpravě x z = x( z). Stacionární řešení z =. Pro z a x řešíme rovnici z =. Po z x integraci ln( z ) = ln( x ) + c, c R. Po úpravě y = x + k, k R. x Závěr: x + c, x ( ; ) nebo x (; + ) pro c R \ {} x x, x R (Lze řešit také jako lineární rovnici.) 48) Řešíme pro x R a y R. Po substituci a úpravě x z = x. Pro x řešíme rovnici z =, která po integraci přejde v z = ln( x ) + c, x c R. Závěr: x ln x + cx, x ( ; ) nebo x (; + ), c R (Lze řešit také jako lineární rovnici.) 34
49) Řešíme pro x R a y R. Po substituci a úpravě x z = x(z + ). z Pro x řešíme rovnici =. Po integraci ln( z + ) = ln( x ) + c, z+ x c R. Po úpravě y = x + k, k R. Závěr: x c x x, x ( ; ) nebo x (; + ), c R \ {} x, x R 5) Řešíme pro x R a pro y R. Po substituci a úpravě pro x řešíme rovnici xz = z. Stacionární řešení z =. Pro z máme z =. z x Po integraci = ln( x ) + c, c R. Odtud z =, kde c = ln(k), k >, z ln( kx ) a dále y = xz =. Řešení lze napojit v bodě x =. Závěr: x ln( kx ), x R x ln( cx ), x ( ; ) nebo x ( ; + ), c (; + ) c c x ln cx, x ( ; ], c (; + ) c x ln( dx ), x [; ), d (; + ) d, x ( ; ] x ln( cx ), x [; ), c (; + ) c x ln cx, x ( ; ], c (; + ) c 5) Řešíme pro x R a y R. Po substituci a úpravě x 3 zz = x ( z ). Stacionární řešení z = ±. Pro z / { ; } a x máme z ( + z z+) = + c. Po itegraci a úpravě ln( x z ) = ln( x ) c, c R. Po úpravě a uvážení, že y = xz dostáváme závěr: ±x ±x, x R + c, x ( ; min(; c)) nebo x (max(; c); + ), c R\{} x 35
5) Řešíme pro x R a y R. Po substituci a úpravě x z = x + z. z Pro x máme = sgn(x). Po integraci sgn(z) ln ( z + z +z x + ) = sgn(x) ln(x) + c, c R. Označíme-li k = e c, potom k > a pro x > dostaneme z = k x a pro x < dostaneme z = x k = p x, kde p =. kx kx px k Řešení lze napojit v bodě x =. Závěr: c x c = c x, x R, c (; + ) c 53) Řešíme pro x R a y R. Po substituci a úpravě pro x dostaneme rovnici xzz = z. Staconární řešení z = ±. Pro z / { ; } a x přejde rovnice po integraci na tvar ln( z ) = ln( x ) + c, c R. Řešení jdou napojovat pro x =. Závěr: ±x x ( ; ) pro c ( ; ) c cx +, x R pro c {} x ( ; + ) c pro c (; + ) 54) Řešíme pro taková x R a y R, pro která x y. Stacionární řešení y =. Po substituci x z = x z. Pro z a x řešíme rovnici z = sgn(x). Po integraci ln( z ) = sgn(x) ln( x ) + c, c R. Tedy z x z = (c sgn(x) ln( x )), neboť x y z > z = z. Označme c sgn(x) = ln(k) pro k >. Potom z = (ln( k x )). Řešení lze napojit se stacionárním v bodě x = k. Závěr: { x ln (cx), x ( ; c ], x [ ; + ) c pro c ( ; ) pro c (; + ) { x ln (cx), x (; c ], x [ c ; + ) 55) Řešíme pro x R a y R. Substitucí y = xz, y = z + xz převedeme zadanou rovnici po úpravách na tvar x 3 (z )z = x z. Stacionární řešení z = na R. Řešíme pro x a z. Po integraci z ln z = c + ln x, c R. Pro z ( ; ) je z ln z ( ; + ), tedy x ( ; ) nebo x (; + ), pro z (; + ) je z ln z [; + ), tedy x ( ; e c ) nebo x (e c ; + ). Po zpětné substituci z = y a drobné úpravě dostáváme x závěrečný implicitní vztah y = x(c + ln y ), c R, který určuje řešení pro 36
x ( ; ), pro x (; + ), pro x ( ; e c ) a pro x (e c ; + ). Dále máme stacionární řešení pro x ( ; ) a pro x (; + ). Graf řešení definovaného na intervalu ( ; ) leží ve druhém kvadrantu, neboť v tomto případě je z ( ; ), a tedy < xz < +. Graf řešení definovaného na intervalu (; + ) leží ve čtvrtém kvadrantu, neboť v tomto případě je z ( ; ), a tedy < xz <. Graf řešení definovaného na intervalu ( ; e c ) leží ve třetím kvadrantu, neboť v tomto případě je z (; + ), a tedy < xz <. Graf řešení definovaného na intervalu (e c ; + ) leží v prvním kvadrantu, neboť v tomto případě je z (; + ), a tedy < xz < +. Ze vztahu z ln z = c + ln x lze pro x usoudit, že z ln z, odkud z. Pro řešení definované na intervalu ( ; ) nebo na intervalu (; + ) usoudíme ze vztahu z = c + ln y pro x (zleva, resp. zprava, podle toho, zda je řešení definováno pro x <, resp. x > ), že lim, a dále y y(x) y() () = lim = x x x y(x) lim x x = lim x z(x) =, tedy řešení ze druhého kvadrantu nejde spojit s řešením ze čtvrtého kvadrantu (v bodě x = by nebyla vlastní derivace). Pro řešení definované na intervalu ( ; e c ), resp. (e c ; + ) můžeme do vztahu z ln z = c + ln x za x dosadit hodnotu x = ±e z a obdržíme z ln z =. Tato rovnice má pro z (; + ) jediné řešení z =. Můžeme tedy usoudit, že lim lim xz(x) = ±e c, a dále y (±e c ) = x ±e c x ±e c lim y (x) y(x) y(x) = lim x ±e c xy(x) x x ±e c( ) = lim x y(x) x x ±e c( y(x) ) = +, tedy z(x) y(x) x řešení mající graf ve třetím, rep. prvním kvadrantu nelze prodloužit za bod x = e c, resp. před bod x = e c. Dostáváme tak maximální řešení určená implicitním vztahem definovaná na intervalu ( ; ), ( ; e c ), (; + ) a (e c ; + ) a dále stacionární řešení, x R. 56) Řešíme pro x R a y R. Substitucí y = xz, y = z + xz převedeme zadanou rovnici po úpravách na tvar x 3 ( z )z = z 3 + z. Dále řešíme pro x. Stacionární řešení z = na R. Pro z dostáváme z ( ) z z +z =. x Po integraci ln z ln(z + ) = ln x + c, c R. Odtud z = ± 4k x kx k = e c >, a tedy y = xz = ± 4k x. Závěr: k ± 4k x, x ( k k ; k ), kde 57) Řešíme pro x R a y R. Substitucí y = xz, y = z + xz převedeme zadanou rovnici po úpravách na tvar x 3 (4z +3z+)z = 4x (z 3 +z +z+). Dále řešíme pro x. Stacionární řešení z = na R. Pro z dostáváme po dalších úpravách rovnici z ( 3z z + + z+ 37 ) = 4 x. Po integraci
a úpravě ln (z + ) 3 (z + ) = c ln(x 4 ), c R. Pro z ( ; ) je ln (z + ) 3 (z + ) ( ; + ), tedy x ( ; ) nebo x (; + ), pro z (; + ) je ln (z + ) 3 (z + ) ( ; + ), tedy opět x ( ; ) nebo x (; + ).. Označíme-li e c = k >, dostaneme rovnici (z + ) 3 (z + ) = k, kterou po přenásobení x 8 můžeme dále upravit na x 8 tvar (x z + x ) 3 (xz + x) = k Použijeme-li zpětně vztah y = xz, dostaneme po přeznačení c = k závěrečný implicitní vztah (y + x ) 3 (y + x) = c, c [; + ), který určuje řešení pro ( ; ) a pro x (; + ). Z tohoto vztahu však můžeme pro x usoudit, že lim ± 8 c, a potom y () = x =, tedy implicitní vztah 4 (y +x ) 3 (y+x) = c určuje (y lim (x)+3xy(x)+4x ) x 4y (x)+3xy(x)+x pro každé c [; + ) řešení definované na R. 58) Řešíme pro x R a y R. Substitucí y = xz, y = z + xz převedeme zadanou rovnici po úpravách na tvar x 3 z (z 3) = x z( z ). Dále řešíme pro x. Stacionární řešení z =, z =, z = na R. Pro z / { ; ; } + +. Po integraci z +z = ln x + c, c R, neboli označíme-li e c = k >, potom dostáváme po dalších úpravách rovnici z ( 3 z a úpravě ln z z 3 dostaneme vztah z z 3 ) = x = k x. Pro z ( ; ) je z ( ; 3], tedy z 3 9 x ( 3 ; ) nebo x (; 3 ), pro z ( ; ) je z ( ; + ), tedy 9k 9k z 3 x ( ; ) nebo x (; + ), pro z (; ) je z ( ; + ), tedy z 3 x ( ; ) nebo x (; + ), a pro z (; + ) je z ( ; 3], tedy z 3 9 x ( 3 ; ) nebo x (; 3). Po zpětné substituci y = xz a přeznačení 9k 9k c = k dostáváme závěrečný implicitní vztah y x = c, c [; + ), který určuje řešení pro x ( ; ), pro x (; + ), pro x ( 3; ) a pro 9c x (; 3 ). (Uvažujeme-li dále výraz 3, mlčky předpokládáme c >. 9c 9c V případě c= tak máme jen řešení pro x ( ; ) a pro x (; + )) Dále máme stacionární řešení pro x ( ; ) a pro x (; + ). Graf řešení definovaného na intervalu ( ; ) leží ve druhém kvadrantu pro případ z [ ; ), neboť potom je < xz x, a pro případ z (; ] leží ve třetím kvadrantu, neboť potom je x xz <. Graf řešení definovaného na intervalu (; + ) leží v prvním kvarantu pro případ z [ ; ), neboť potom je x xz <, a pro případ z (; ] leží ve čtvrtém kvadrantu, neboť potom je < xz x. Graf řešení definovaného na intervalu ( 3 ; ) 9c leží ve druhém kvadrantu pro případ z ( ; ], neboť potom je x xz < +, a pro případ z [; + ) leží ve třetím kvadrantu, neboť potom je < xz x. Graf řešení definovaného na intervalu (; 3) leží ve 9c čtvrtém kvadrantu pro případ z ( ; ], neboť potom je < xz x, a pro případ z [; + ) leží v prvním kvadrantu, neboť potom je y 3 38
x xz < +. Máme tři typy řešení: ) Libovolné řešení definované na intervalu ( ; ) nebo řešení definované na intervalu ( 3; ), pro které lim (tj. které je klesající), jehož graf 9c x leží ve druhém kvadrantu, lze spojit s libovolným řešením definovaným na intervalu (; + ) nebo s řešením definovaným na intervalu (; 3), pro které 9c (tj. které je klesající), jehož graf leží ve čtvrtém kvadrantu, lim x + přičemž dodefinujeme y() =. (Libovolností řešení máme na mysli, že pro x < může být řešení určenou konstantou c, pro x > může být určeno konstantou c, přičemž může být c c.) To lze, neboť v takovém případě ze vztahu ln z = ln x + c pro x plyne ln z, odkud z 3 z 3 dostáváme z,a tedy potom lim lim xz(x) =. Navíc (bereme-li x x příslušné jednostranné derivace) y y(x) y() y(x) () = lim = lim = lim z(x) = x x x x x, což souhlasí s tím, že spojujeme řešení z druhého kvadrantu se řešením ze čtvrtého kvadrantu. Obdobně se zdůvodní, že každé řešení definované na intervalu ( ; ) nebo řešení definované na intervalu ( 3; ), pro které 9c (tj. které je rostoucí), jehož graf leží ve třetím kvadrantu, lim x lze spojit s libovolným řešením definovaným na intervalu (; + ) nebo s řešením definovaným na intervalu (; 3), pro které lim (tj. které 9c x + je rostoucí), jehož graf leží v prvním kvadrantu, přičemž dodefinujeme y() =. Zdůvodnění se liší jen v tom, že ze znalosti ln z usoudíme z 3 z, což bude souhlasit s tím, že spojujeme řešení ze třetího kvadrantu se řešením z druhého kvadrantu. Tímto postupem dostáváme maximální řešení 9c 9c ). definovaná na intervalech ( ; 3 ), ( 3 ; + ), ( ; + ) a ( 3 ; 3 9c 9c 9c ) Řešení definované na intervalu ( 3; ), jehož graf leží ve druhém kvadrantu (a které je rostoucí) lze spojit s řešením definovaným na intervalu (; 3), jehož graf leží v prvním kvadrantu (a které je klesající), pokud je 9c konstanta c různá od nuly a pro x < stejná jako pro c >. V takovém případě totiž z podmínky ln z pro x usoudíme, že z +. z 3 Ze vztahu y x = c poté můžeme usoudit, že lim, a z rovnice y 3 x c y xy(x) () = lim = =. Proto dodefinujeme y() =. Analogicky x 3x y (x) /c c lze zdůvodnit, že řešení definované na intervalu ( 3 ; ), jehož graf leží ve 9c třetím kvadrantu (a které je klesající) lze spojit s řešením definovaným na intervalu (; 3), jehož graf leží ve čtvrtém kvadrantu (a které je rostoucí) 9c (opět stejná nenulová konstanta c). Rozdíl bude jen takový, že ze vztahu y x = c usoudíme lim, a proto dodefinujeme y() =. Opět y 3 x c c bude platit y () =. Dostáváme tak maximální řešení definovaná na inter- 39
valu ( 3 ; 3 9c 3) Stacionární řešení pro x ( ; ) spojíme v bodě x = hodnotou y() = se stacionárním řešením pro x (; + ). Dostaneme tak maximální řešení definované na R. Jiné spojování řešení již možné není, protože ze vztahu ln z = ln x + c dostáváme pro x, z 3 že z a, kde a { ; ; ; + } a ze vztahu y x = c dostáváme pro y 3 x, že y nebo y, a všechny tyto možnosti jsme již probrali. c Poznámka: Body x = ± 3 odpovídají hodnotám y = ± které leží v 9c 3c množině y 3x =, kde si rovnice vynucuje y (x) = +. 9c ). ) = x. 59) Řešíme na množině {(x, y) R ; x + y }. Substitucí y = xz, z, y = z + xz převedeme zadanou rovnici po úpravách na tvar x z (z + ) = x( z). Rovnici řešíme pro x a bez podmínky z, kterou budeme v průběhu řešení používat nebo nepoužívat dle potřeby. Stacionární řešení z = na R. Po úpravě pro z máme z ( + z Po integraci z + ln z = c ln x, c R. Pro z ( ; ) \ { } je z + ln z ( ; ln 4), tedy x ( ; e 4 ec+ ) nebo x ( 4 ec+ ; + ), a pro z (; + ) je z + ln z ( ; + ), tedy x ( ; ) nebo x (; + ). Po úpravě vztahu máme z + ln xz x = c + ln x. Dosadíme-li z = y, dostaneme po drobné úpravě závěrečný implicitní vztah x y + x ln y x = x ln x + cx, který určuje řešení pro x ( ; ), pro x ( ; 4 ec+ ), pro x (; + ) a pro x ( 4 ec+ ; + ). Dále máme řešení x pro x ( ; ) a pro x (; + ). Graf řešení definovaného na intervalu ( ; ) leží ve třetím kvadrantu, neboť v tomto případě z (; + ), a tedy < xz < x. Graf řešení definovaného na intervalu (; + ) leží v prvním kvadrantu, neboť v tomto případě z (; + ), a tedy x < xz < +. Graf řešení definovaného na intervalu ( ; 4 ec+ ) leží ve druhém kvadrantu a ve třetím kvadrantu, neboť v tomto případě z ( ; ), a tedy x < xz < +. Graf řešení definovaného na intervalu ( 4 ec+ ; + ) leží v prvním kvadrantu a ve čtvrtém kvadrantu, neboť v tomto případě z ( ; ), a tedy < xz < x. Řešení definované na intervalu ( ; ), resp. na intervalu (; + ) nelze v bodě x = navázat, neboť ze vztahu z+ ln z = c ln x pro x dostáváme z+ ln z +, odkud můžeme usoudit, že z +, a ze vztahu z+ ln y x = ln x +c máme ln y x = ln x +c z, tedy pro x dostáváme lim. Potom ale x y y(x) y() () = lim x x y(x) = lim x x = lim x z(x) = +. Pro řešení definovaná na intervalu ( ; 4 ec+ ), resp. ( 4 ec+ ; + ) můžeme ze vztahu z+ ln z = c ln x s vědomostí z ( ; ) usoudit, že lim z(x) =, což je ale x vyloučená hodnota. Tedy maximální řešení jsou řešení určená implicitním vztahem definovaná na intervalech ( ; ), ( ; 4 ec+ ), ( 4 ec+ ; + ) a 4
(; + ), a řešení x, x ( ; ) nebo x (; + ), které nejde v bodě x = napojit, neboť máme prodmínku x + y. 6) Řešíme pro x R a y R. Substitucí y = xz, y = z + xz převedeme zadanou rovnici po úpravách na tvar x zz = x(z +). Dále řešíme pro x. Stacionární ( řešení z = ) na R. Pro z dostáváme po dalších úpravách rovnici z =. Po integraci + ln z + = c ln x, z+ (z+) x z+ c R. Pro z ( ; ) je + ln z + ( ; + ), tedy x ( ; ) z+ nebo x (; + ), a pro z ( ; + ) je + ln z + [; + ), tedy z+ x ( e c ; ) nebo x (; e c ). Použijeme-li zpětnou substituci y = xz, obdržíme závěrečný implicitní vztah x + ln x + y = c, c R, který x+y určuje řešení pro x ( ; ), pro x (; + ), pro x ( e c ; ) a pro x (; e c ). Dále máme řešení x pro x ( ; ) a pro x (; + ). Graf řešení definovaného na intervalu ( ; ) leží ve druhém kvadrantu, neboť v tomto případě z ( ; ), a tedy x < zx < +. Graf řešení definovaného na intervalu (; + ) leží ve čtvrtém kvadrantu, neboť v tomto případě máme z ( ; ), a tedy < xz < x. Graf řešení definovaného na intervalu ( e c ; ) leží ve druhém kvadrantu a ve třetím kvadrantu, neboť v tomto případě z ( ; + ), tedy < xz < x. Graf řešení definovaného na intervalu (; e c ) leží v prvním kvadrantu a ve čtvrtém kvadrantu, neboť v tomto případě z ( ; + ), tedy x < xz < +. Máme dva typy řešení: ) Libovolné řešení ze druhého kvadrantu (které je klesající), tj. řešení x pro x ( ; ) nebo implicitně určené řešení na intervalu ( e c ; ) můžeme spojit s libovolným řešením ze čtvrtého kvadrantu, tj. s řešením x pro x (; + ) nebo s implicitně určeným řešením na intervalu (; e c ), přičemž konstanta c pro x < se může lišit od konstanty c pro x >. Ze vztahu + ln z + = c ln x usoudíme pro x, z+ že z +, a ze vztahu + ln x + y = c můžeme pro x usoudit, že lim. Dodefinujeme-li y() =, potom (bereme-li příslušné z+ x jednostranné derivace) y y(x) y() () = lim x x y(x) = lim x x = lim x z(x) =, což souhlasí s tím, že spojujeme řešení z druhého kvadrantu s řešením ze čtvrtého kvadrantu. Dostáváme tak maximální řešení definované na intervalu ( ; e c ), ( e c ; + ) a ( e c, e c ). ) Řešení z prvního kvadrantu definované na intervalu (; e c ) můžeme spojit s řešením z druhého kvadrantu definovaným na intervalu ( ; ), pokud je v obou případech určeno stejnou hodnotou konstanty c. Ze vztahu z+ a ze vztahu z+ + ln z + = c ln x nyní usoudíme pro x, že z +, + ln x + y = c poté můžeme pro x usoudit, že 4
lim x ec. Dodefinujeme-li y() = e c, potom (bereme-li příslušné jednostranné derivace) máme y x+y(x) () = lim x y(x) = ec e c =, což souhlasí s tím, že spojujeme klesající řešení. Analogicky lze zdůvodnit, že řešení ze třetího kvadrantu definované na intervalu ( e c ; ) můžeme spojit s řešením ze čtvrtého kvadrantu definovaného na intervalu (; + ), pokud je v obou případech určeno stejnou hodnotou konstanty c. Dodefinujeme y() = e c, a podle předchozího postupu nám vyjde y () =, což souhlasí s tím, že spojujeme rostoucí řešení. Dostáváme tak maximální řešení definované na intervalu ( ; e c ) a ( e c ; + ). Pro tato řešení platí: lim, neboť ze vztahu x ±ec z+ plyne + ln z + = c ln x pro x ±ec + ln z +, což je pro z ( ; + ) možné, jen pokud z+ z, a odtud lim lim xz(x) =. Potom ale y (±e c ) = x ±ec x ±e c x+y(x) lim = lim ) = +. x ±e c y(x) y(x) x ±e c ( x 6) Řešíme pro x R a y R. Substitucí y = xz, y = z + xz převedeme zadanou rovnici po úpravách na tvar x 4 ( + z 3 )z = x 3 z 4. Dále řešíme pro x. Stacionární řešení z = na R. Pro z dostáváme po dalších úpravách rovnici z ( + ) z z = 4 x c R. Pro z ( ; ) je ln z 3z 3 x (; e c 3 ), a pro z (; + ) je ln z 3z 3 (; + ). Po úpravě vztahu máme ln xz x3 3(xz) 3. Po integraci ln z = c ln x, 3z 3 [ ; + ), tedy x 3 ( ec 3 ; ) nebo R, tedy x ( ; ) nebo x = c. Použijeme-li zpětnou substituci y = xz, dostaneme závěrečný implicitní vztah ln y x3 3y 3 = c, c R, který určuje řešení pro x ( ; ), pro x (; + ), pro x ( e c 3 ; ) a pro x (; e c 3 ). Dále máme stacionární řešení pro x ( ; ) a pro x (; + ). Graf řešení definovaného na intervalu ( ; ) leží ve třetím kvadrantu, neboť v tomto případě je z >, tedy i y <. Graf řešení definovaného na intervalu (; + ) leží v prvním kvadrantu, neboť v tomto případě je z >, tedy i y >. Naopak grafy řešení definovaných na intervalu ( e c 3 ; ) (resp. (; e c 3 )) leží ve druhém (resp. čtvrtém) kvadrantu, neboť v tomto případě je z <, a tedy y > (resp. y < ). Máme dva typy řešení: ) Libovolné řešení definované na intervalu ( e c 3 ; ) (mající graf ve druhém kvadrantu), pro které lim (tj. které je klesající), nebo stacionární x řešení pro x ( ; ) můžeme v bodě x = spojit s libovolným řešením definovaným na intervalu (; e c 3 ) (majícím graf ve čtvrtém kvadrantu), pro které lim (tj. které je klesající), nebo se stacionárním x + řešením pro x (; + ), přičemž dodefinujeme y() =. (Libovolností řešení máme na mysli, že pro x < může být řešení určenou 4
konstantou c, pro x > může být určeno konstantou c, přičemž může být c c.) To lze, neboť v takovém případě platí (bereme příslušné jednostranné derivace) y y(x) y() y(x) () = lim = lim = lim z(x) =, protože ze x x x x x vztahu ln z = c ln x pro x plyne, že ln z +, 3z 3 3z 3 a protože navíc víme, že z <, musí nutně lim z(x) = (ve smyslu, x že se z(x) blíží k nule ze záporných hodnot, což souhlasí s tím, že spojujeme řešení z druhého kvadrantu se řešením ze čtvrtého kvadrantu), a protože potom ze vztahu ln y = c plyne, že platí-li lim z(x) =, 3z 3 x potom nutně lim. Dostáváme tak maximální řešení definovaná na x intervalech ( ; e c 3 ), ( e c 3 ; + ), ( ; + ) (použijeme-li stacionární řešení) a ( e c 3 ; e c 3 ). ) Řešení definované na intervalu ( e c 3 ; ) (mající graf ve druhém kvadrantu), pro které ec (tj. které je rostoucí), můžeme v bodě lim x x = spojit řešením definovaným na intervalu (; + ) (majícím graf v prvním kvadrantu a které je rostoucí), pokud je konstanta c pro x < stejná jako pro x >. To lze, neboť: a) pro řešení z druhého kvadrantu ze vztahu ln z = c ln x pro x dostáváme ln z + a odtud s 3z 3 3z 3 vědomostí z < z(x), což implikuje při použití vztahu ln y = c, 3z 3 že lim y(x) = x ec, a tedy i lim x ec (jsme ve druhém kvadrantu, kde y > ); b) pro řešení z prvního kvadrantu ze vztahu ln z = c ln x pro 3z 3 x + dostáváme ln z + a odtud s vědomostí z > z(x) +, 3z 3 což implikuje při použití vztahu ln y = c, že lim y(x) = 3z 3 x + ec, a tedy i lim x ec (jsme v prvním kvadrantu, kde y > ); c) bereme-li příslušené jednostranné derivace, pak y x () = lim y = =. Dostaneme x x 3 +y 3 +e c tak maximální řešení definované na intervalu ( e c 3 ; + ). Analogicky lze zdůvodnit, že Řešení definované na intervalu ( ; ) (mající graf ve třetím kvadrantu), pro které ec (tj. které je rostoucí), můžeme v lim x bodě x = spojit s řešením definovaným na intervalu (; e c 3 ) (majícím graf ve čtvrtém kvadrantu a které je rostoucí) (opět pro stejnou konstantu c). Změna oproti předchozímu zdůvodnění bude jedině taková, že z poznatku lim y(x) = x ec usoudíme lim x ec, protože y <. Dostaneme tak maximální řešení definované na intervalu ( ; e c 3 ). Poznámka: Body x = ±e c 3 odpovídají hodnotám y = e c 3 které leží v množině x 3 + y 3 =, kde si rovnice vynucuje y (x) = +. 6) Řešíme na množině {(x, y) R ; x + y }. Substitucí y = xz, z, y = z+xz převedeme zadanou rovnici po úpravách na tvar x( z z + + 43