Rovnný svazek sl Lze odvodt z obecného prostorového svazku sl vloučením edné dmenze = cos cos =sn e 2 = cos = sn = e 1 e 2 e 1 Určení výslednce r n r = =1 r e 1 r e 2 =...e 1...e 2 : r = n = n =1 =1 n : r = =1 = n =1 cos sn Coprght (c) 2007-2008 Vít Šmlauer Czech Techncal Unverst n Prague, acult of Cvl Engneerng, Department of Mechancs, Czech Republc Permsson s granted to cop, dstrbute and/or modf ths document under the terms of the GNU ree Documentaton Lcense, Verson 1.2 or an later verson publshed b the ree oftware oundaton; wth no Invarant ectons, no ront-cover Tets, and no Back-Cover Tets. A cop of the lcense s ncluded n the secton enttled "GNU ree Documentaton Lcense" found at http://www.gnu.org/lcenses/ 1
Úloha rovnováh a ekvvalence tené ako v prostoru, pouze dvě skalární statcké podmínk (rovna ) Rovnováha n =1 m R =0 =1 : : Ekvvalence n =1 m = =1 : : R = = R = R = R, R, cos R cos =0 sn R sn =0 cos = sn = R 1 R cos R sn R 1 2
Příklad rovnováha Určete osové síl v prutech (zanedbete ohb) =30 kn tažený prut : 0 R =30sn 270 o R 1 sn 180 o R 2 sn 210 o =0 30 0,5 R 2 =0, R 2 = 60 knopačný směr než zavedený 30 o tlačený prut : 0 R =30cos 270 o R 1 cos180 o R 2 cos 210 o =0 0 R 1 3 2 60=0, R 1 =51,96 kn! Př otočení statckých podmínek řešíme soustavu 2 rovnc! zavedení sl R 1 α skutečné působení R 1 =51,96 kn R 2 =60 kn grafcká kontrola R 2 =30 kn =30 kn 3
Příklad ekvvalence Určete početně výsledné namáhání čepu (rovna ), proveďte kontrolu grafck z =10 kn 30 o cos cos =sn = cos α = sn α 0,866 0,5 8,66 kn 5,0 kn =6 kn 130 o 0,643 0,766 3,858 kn 4,596 kn r r =10,73 kn 63,41 o 4,802 kn 9,596 kn r =4,802 2 9,596 2 =10,73 kn =arccos 4,802 10,73 =63,41o (nebo arcsn, arctan)! restrkce funkcí! arcsn 90 ;90, arccos 0;180,arctan 90 ;90 grafcké řešení = r půdors =6 kn 100 o =10 kn 30 o cos=sn r 1 4
Moment síl k bodu íla kromě posunu tělesa způsobue eho rotac okolo os moment [Nm] z M p Pravdlo pravé ruk M s osa rotace M e vžd kolmý na rovnu r ( ), zde Obecně výpočtem determnantu (vektorový součn) r M =M z = r sn = ±p rameno 1 e 2 e 3 M =r = e r r r z r z r z z = M Jednotkové vektor souřadncových os =M e 1 M e 2 M z e 3 =M ; M ; M z M e 1 r z r z e 2 r r e 3 = M z 5
Vektorový součn Vektorovým součnem r e vektor M Velkost M = r sn (plocha rovnoběžníku) Vektor M e kolmý k vektorům r a Vektor r,, M tvoří pravotočvou soustavu M r Vlastnost M=r = r sm=sr =sr =r s r 0 r 1 = r 0 r 1 r 6
Moment síl k bodu Moment e vektorová velčna M = (M ; M ; M z ) Moment síl ležící v rovně M = r z r z 0 M = r r =±p e 1 r z r z 0 e 2 r r e 3 M z Polohový vektor r lze volt lbovolně, nelépe ako kolmé rameno p (sn =1) M =r = r 1 r' = r 1 r' =r 1 = 0 r r 1 r' M p 7
Poučk o momentu Moment se nemění pokud bod leží na rovnoběžné přímce s paprskem síl Důsledek podní část sloupu e namáhána konstantním ohbovým momentem M M p Pozn. ke konstrukc Pokud bod posouváme po ramen semaforu od paprsku, zvětšue se moment lneárně. Výztuha ramene tvoří s ramenem semaforu dvoc sl, která musí lneárně narůstat (ramena maí lneárně proměnnou vzdálenost až ke sloupu) ab bla v rovnováze s momentem 8
Vargnonova věta Moment výslednce k určtému bodu e roven součtu momentů ednotlvých sl k témuž bodu M = M =1 Odvození ze svazku sl (přdání další síl k výslednc svazku tvoří opět svazek) n M = M = n n r =r =r r =1 =1 =1 M =1 10 2 2 5 =0 10 2 10 2 5= 22 10 2 5 =1012 knm 1 r r =5 kn r =10 kn r =5 5 kn M 2 m =10 kn 1 m n r 2 m 45 o =10 2 kn =10 kn r =5 kn Lbovolnou sílu možno posouvat lbovolně po paprsku a rozložt v kterémkol bodě na paprsku 9
Příklad přehrada Orava tanovte stupeň bezpečnost prot překlopení betonové hráze 1 bm 25 m 3,125 MN 12 m 250 kpa A~300 m 2 17 m M destab M stab Orentační rozměr 6,9 MN M destab =12 3,125=37,5MNm M stab =17 6,9=117,3 MNm s= M stab M destab =3,128 10
Moment síl M e k předepsané ose Osa rotace může být lbovolně orentovaná, moment k bodu e třeba rozložt do směru předepsané os, M e e skalár ako výsledek skalárního součnu M e =e M s = e M s cos= M s cos z M e M p Předepsaná osa rotace Protíná l paprsek síl osu rotace (p=0), č e l s ní rovnoběžný e statcký moment síl k předepsané ose nulový M e =e r e ez = e r r r z M e ložk vektoru e z =M e M e M z e z e M s,e M s =0 11
Příklad moment k předepsané ose Jak velký kroutící moment způsobue síla na tč? B r O C e z = 10 kn 3 m 2 m 5 m =10 2 2 2 3 2 5 2 ; e= 2 2 2 5 2 ;0; r =2; 0;0m 5 2 2 5 2 3 2 2 3 2 5 2 ; 5 2 2 3 2 5 2 edn. vektor = 0,371; 0;0,928 e e z 0 0,928 M e = e r r r z 2 0 0 z = 0,371 3,24 4,87 8,11 = 0 =3,24 ; 4,87; 8,11 kn 0,37116,22 0 9,74 0,928= 9,04 knm M 0 M 0 M 0z Pozn. Polohový vektor r lze volt lbovolně od os OB k paprsku síl. ložk momentu M sou určen vžd k počátku vektoru r. Př volbě vektoru r = BC vdou však obecně nak složk M. V tomto případě bude např. M o = M B 12
r 1 =r 2 r 0 M =M 1 M 2 M =r 1 r 2 = r 2 r 0 r 2 = Moment dvoce sl k bodu Dvoce sl = steně velké dvě síl opačně orentované Moment dvoce sl k bodu M z r 2 r 1 r 0 p = r 0 = M d M d =±p = Moment dvoce sl e volný vektor, kolmý na rovnu dvou sl, a proto ho Lze lbovolně posouvat v prostoru Nahradt nou dvocí sl o stené velkost M d M d Moment od smkového napětí v korku e v rovnováze s M d 13
Příklad rovnováha momentu dvoce sl Určete síl ve spo nastavovaného trámu =10 kn 2 m 0,8 m =10 kn M d1 M d2 =0 2 0,8 =0 2 100,8 =0 =25 kn 14
Redukce síl k bodu Vádření statckého účnku síl k bodu tělesa (úloha ekvvalence) Použtí: výpočet vntřních sl, redukce více sl r p r = Dvoce sl O íla má k bodu obecně účnek slový a momentový M =r, M =±p íla a moment M sou navzáem kolmé M = r =0 Redukce k počátku rovnné souřadné soustav v rovně (=O) = cos e 1 sn e 2 = cos ; sn = M M =M O = r 0 =M O e 3, M O = 15
Redukce síl k bodu Inverzní úloha nalezení ekvvalentní síl z daného momentu a síl v bodě Jak velké vodorovné zatížení ve výšce 3,2 m nad terénem můžeme přpustt na základové patce, pokud v,ma =20 kn, M,ma =40 knm v =, M =4 20 kn 40 4 kn ma=10 kn rozhodue moment 3,2 m Jaké posouvaící síle a momentu musí vzdorovat průžez procházeící bodem C C Cv ==10 kn M C =3,2=32 knm 0,8 m M C C Cv v,ma M,ma 16
Otázk Které síl maí nulový moment k ose rotace? z osa rotace 3 osa rotace Která dvoce sl způsobue větší namáhání trubk v kroucení? 0,1 m 1 m = 10 kn = 0,8 kn 17
Přednášk z předmětu M1, tavební fakulta ČVUT v Praze Autor Vít Šmlauer Námět, přpomínk, úprav, vlepšení zasílete prosím na vt.smlauer@fsv.cvut.cz Created 10/2007 n OpenOffce 2.3, ubuntu lnu 6.06 Last update eb 21, 2011 18